Luiz Galdino da Silva

Título da dissertação: RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS NA EDUCAÇÃO BÁSICA: INTERAÇÃO ENTRE A LINGUAGEM MATEMÁTICA E A LÍNGUA MATERNA

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
CENTRO DE EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS NA EDUCAÇÃO BÁSICA:
INTERAÇÃO ENTRE A LINGUAGEM MATEMÁTICA E A LÍNGUA MATERNA

LUIZ GALDINO DA SILVA

Maceió/AL
2012

LUIZ GALDINO DA SILVA

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS MATEMÁTICOS NA EDUCAÇÃO BÁSICA:
INTERAÇÃO ENTRE A LINGUAGEM MATEMÁTICA E A LÍNGUA MATERNA

Dissertação
apresentada
à
Banca
Examinadora da Universidade Federal de
Alagoas, do Programa de Pós-Graduação
em Educação, como exigência para
obtenção do título de MESTRE EM
EDUCAÇÃO
BRASILEIRA,
sob
a
orientação da Profa. Dra. Mercedes Bêtta
Quintano de Carvalho Pereira dos Santos.

Maceió/AL
2012

Catalogação na fonte
Universidade Federal de Alagoas
Biblioteca Central
Divisão de Tratamento Técnico
Bibliotecária Responsável: Fabiana Camargo dos Santos
S568r

Silva, Luiz Galdino da.
Resolução de problemas aritméticos na educação básica : interação entre a
linguagem matemática e a língua materna / Luiz Galdino da Silva. – 2012.
153 f. : il.

.
Orientador: Mercedes Bêtta Quintana de Carvalho Pereira dos Santos.
Dissertação (Mestrado em Educação) – Universidade Federal de Alagoas.
Centro de Educação. Programa de Pós-Graduação em Educação Brasileira.
Maceió, 2012.

Bibliografia: f. 132-135.
Apêndices e anexos: f. 136-153.
1. Educação básica. 2. Ensino de matemática. 3. Matemática – Resolução de
problemas. 4. Interação entre linguagens na educação. 5. Linguagem matemática.
I. Título.
CDU: 373.3:51

Aos meus professores, em especial à minha
Orientadora

Professora

Doutora

Mercedes

Bêtta Quintano de Carvalho Pereira dos
Santos, com quem aprendi, de fato, a ensinar
matemática e a Professora Doutora Maria Inez
Mattoso Silveira, incentivadora deste trabalho.

AGRADECIMENTOS

Este trabalho é resultado de uma longa batalha que se inicia com momentos de
tristeza, tão logo à divulgação do resultado da seleção para o ingresso no curso de
Mestrado, mas que foi imprescindível para reascender a minha crença em um Deus
maior que iluminou pessoas de bem, para que através delas, a justiça prevalecesse
e assim, janelas fossem abertas para que o mundo pudesse ser percebido sob um
novo olhar.

Também é resultado de angústias e alegrias, de dificuldades e descobertas,
elementos que foram determinantes para o meu crescimento pessoal e profissional.

Durante essa longa caminhada tive o incentivo e a colaboração de várias pessoas.

Dentre elas, quero agradecer:

Ao meu filho, o meu anjo, o anjo Luis Gabriel, pessoa que me inspira quase que
diariamente com indagações a respeito de matemática e que teve de abdicar,
nesse momento, a meu favor, de alguns instantes preciosos da sua infância.

À minha orientadora Professora Doutora Mercedes Bêtta Quintano de Carvalho

Pereira dos Santos, pela acolhida, paciência e dedicação, e pelas relevantes
contribuições à pesquisa em educação matemática em Alagoas.

À minha esposa Eliete pela paciência e equilíbrio que usou para me compreender

nos momentos mais angustiantes.

À minha mãe Antonia, professora com quem aprendi as primeiras noções de ler,

escrever e contar e, ao meu pai Benedito, homem simples que me orientou para
vida, dando exemplos de honestidade e perseverança.
Aos meus irmãos, especialmente, aos que escolheram a vida de professor e
seguem acreditando que sempre é possível transformar para melhor.

À minha irmã Iraci pelas contribuições na leitura deste trabalho.

À minha Irmã Vânia e às colegas de curso Rose e Juliane, pelas importantes
contribuições para reflexões sobre esta pesquisa.

Aos alunos, aqui chamados Olga Talita, Andressa, Kelly, Raissa, Luiz Carlos,
Beatriz, Jennifer, Rosa Amélia, João Paulo, Ilana, Cresivando, e, tantos outros que
contribuíram para este trabalho.

Aos professores Ângela, Joubert e Deusa a quem tenho eterna gratidão pela
valiosa colaboração.

Aos gestores Lucy, Márcia Lúcia e Maria Alice e as pedagogas Ana Paula, Cícera,
Piedade e Lúcia, pela acolhida.

A todos os educadores que trabalham na perspectiva de construir caminhos que
possam contribuir para o aprender matemática.

RESUMO

Ao considerar que ler e escrever são requisitos necessários para interpretar
enunciados matemáticos, esta pesquisa buscou investigar em duas escolas
localizadas na cidade de Maceió-AL quais estratégias de resolução de problemas
matemáticos os alunos da educação básica utilizaram, considerando a
compreensão dos mesmos sobre os referidos enunciados. Nesse contexto, partiuse do pressuposto de que as dificuldades de compreensão da linguagem
matemática, na educação formal, têm origem nas dificuldades de compreensão da
língua materna, pois, para se compreender os enunciados dos problemas
matemáticos é necessário ter domínio das linguagens relacionadas aos textos dos
enunciados. Para a referida investigação foi adotada a abordagem qualitativa, na
modalidade de estudo de caso e, utilizou-se como instrumentos de coleta de
dados, uma atividade para diagnóstico, uma atividade de leitura e escrita e uma
entrevista semiestruturada, todos relacionados à resolução de problemas
matemáticos. Os conteúdos da atividade para diagnóstico, da atividade de leitura e
escrita e da entrevista aplicadas aos sujeitos selecionados foram analisados com
base no método da análise de conteúdo. A atividade para diagnóstico teve como
objetivo inicial selecionar os sujeitos da pesquisa, e, posteriormente, gerar
informações sobre as estratégias de resolução de problemas construídas pelos
sujeitos selecionados, informações a serem analisadas, posteriormente, com o
objetivo de investigar a compreensão dos sujeitos em relação aos textos dos
enunciados dos problemas. A atividade de leitura e escrita e a entrevista tiveram
como objetivo auxiliar na investigação de como se processa a interação entre as
linguagens na resolução de problemas matemáticos. Os resultados da investigação
indicam que, mesmo de forma incipiente, parte dos sujeitos da pesquisa utiliza a
interação entra a linguagem matemática e a língua materna para a compreensão
dos enunciados matemáticos.
Palavras chave: Resolução de problemas matemáticos. Educação básica.
Interação entre linguagens.

ABSTRACT

Considering that reading and writing are necessary requisites to interpret
mathematic statements, this research searched to investigate, in two schools
located in Maceió-AL, which strategies of mathematic problem resolution basic
education students used, taking into account their understanding of the referred
statements. In this context, we departed from the belief that the difficulties in
understanding mathematic language, in formal education, has its origins in
understanding mother tongue, since it is necessary to have domination of the
language related to the text of the statements so as to understand them. For the
referred research, a qualitative approach was adopted, by using the case-study
modality. As data collection, an activity for diagnosis, another one for reading and
writing, and a semi-structured interview were used, all of them related to the
resolution of mathematic problems. The contents of the activity for diagnosis, of the
reading and writing activity and of the interview applied to the selected subjects of
the research were analyzed based on the content analysis method. The activity of
diagnosis initially aimed at selecting the subjects of the research and, afterwards,
generating information about the problem resolution strategies built by the selected
subjects. Such information was analyzed later, with the aim of investigating to what
extent had the subjects understood the text of the mathematic problem statements.
The reading and writing activity as well as the interview aimed at helping in the
investigation of how the interaction between the languages is processed in the
resolution of mathematic problems. The results of the investigation indicate that,
although in an incipient way, part of the subjects of the research uses the interaction
between mathematic language and their mother tongue to understand mathematic
statements.
Key words: Mathematic problem resolution. Basic education. Language
interaction.

RESUMEN
Al considerar que la lectura y la escritura son requisitos necesarios para interpretar
declaraciones matemáticas, esta encuesta buscó profundizar en dos escuelas
ubicadas en la ciudad de Maceió-AL qué estrategias de resolución de problemas
matemáticos los estudiantes de educación básica han utilizado, teniendo en cuenta
su entendimiento acerca de los enunciados. En este contexto, hemos partido de la
suposición de que las dificultades en la comprensión del lenguaje matemático en la
educación formal se originan en las dificultades de comprensión de la lengua
materna, porque para comprender las declaraciones de problemas matemáticos es
necesario tener dominio del idioma relacionado con los textos de las declaraciones.
Para esta investigación, fue adoptado enfoque cualitativo en forma de estudio de
caso y utilizados como instrumentos de recopilación de datos, una actividad para el
diagnóstico, una actividad de lectura y escritura y una entrevista semi-estructurada,
todos ellos relacionados con problemas matemáticos. El contenido de la actividad
para el diagnóstico de la actividad de lectura y escritura y entrevista aplicada a
temas seleccionados fueron analizadas basadas en el método de análisis de
contenido. La actividad de diagnóstico tuvo como objetivo inicial seleccionar los
sujetos de la investigación y posteriormente generar información acerca de las
estrategias construidas por los sujetos seleccionados, informaciones para ser
analizadas posteriormente a fin de investigar la comprensión del tema en relación
con los textos de los enunciados de los problemas. La actividad de lectura y
escritura y la entrevista tuvieron la intención de ayudar en la investigación de cómo
se procesa la interacción entre idiomas en resolver problemas matemáticos. Los
resultados de la investigación indican que, aún de forma incipiente, parte de los
sujetos de la búsqueda utiliza la interacción entre el lenguaje de la matemática y la
lengua materna en la comprensión de los problemas matemáticos.
Palabras clave: Resolución de problemas matemáticos. Educación básica.
Interacción entre idiomas.

LISTA DE QUADROS

Quadro 01: IDEB - Resultados e Metas - Projeções para o BRASIL – Ensino
Fundamental.
Quadro 02: IDEB - Resultados e Metas - Projeções para o BRASIL – Ensino Médio.
Quadro 03: IDEB – Alagoas/Maceió - 9º ano do Ensino Fundamental.
Quadro 04: Atividade para diagnóstico aplicada às turmas do 5o ano do Ensino
Fundamental I.
Quadro 05: Atividade para diagnóstico aplicada às turmas do 9o ano do Ensino
Fundamental II.
Quadro 06: Atividade para diagnóstico aplicada às turmas do 3o ano do Ensino
Médio.
Quadro 07: Atividade de leitura e escrita aplicada aos alunos do 5o e 9o ano do
Ensino Fundamental e 3o ano do Ensino Médio.
Quadro 08: Entrevista aplicada aos alunos do 5o e 9o ano do Ensino Fundamental
e 3o ano do Ensino Médio.
Quadro 09: Problema aplicado na atividade para diagnóstico.
Quadro 10: Problema aplicado na atividade para diagnóstico.
Quadro 11: Problema aplicado na atividade para diagnóstico.
Quadro 12: Problema aplicado na atividade para diagnóstico.
Quadro 13: Problema aplicado na atividade para diagnóstico.
Quadro 14: Problema aplicado na atividade para diagnóstico.
Quadro 15: Problema aplicado na atividade para diagnóstico.
Quadro 16: Problema aplicado na atividade para diagnóstico.
Quadro 17: Problema aplicado na atividade para diagnóstico.
Quadro 18: Problema aplicado na atividade para diagnóstico.
Quadro 19: Problema aplicado na atividade para diagnóstico.
Quadro 20: Problema aplicado na atividade para diagnóstico.
Quadro 21: Problema aplicado na atividade para diagnóstico.
Quadro 22: Problema aplicado na atividade para diagnóstico.
Quadro 23: Problema aplicado na atividade para diagnóstico.
Quadro 24: Problema aplicado na atividade para diagnóstico.

Quadro 25: Problema aplicado na atividade para diagnóstico.
Quadro 26: Problema aplicado na atividade para diagnóstico.
Quadro 27: Problema aplicado na atividade para diagnóstico.
Quadro 28: Problema aplicado na atividade para diagnóstico.
Quadro 29: Conteúdos referentes ao problema 01, coletados a partir da entrevistas
e atividade de leitura e escrita, produzidos pelos alunos do 5o ano do ensino
fundamental I, escolas ESC1 e ESC2.
Quadro 30: Conteúdos referentes ao problema 01, coletados a partir da entrevistas
e atividade de leitura e escrita, produzidos pelos alunos do 9o ano do Ensino
Fundamental II, escolas ESC1 e ESC2.
Quadro 31: Conteúdos referentes ao problema 01, coletados a partir da entrevistas
e atividade de leitura e escrita, produzidos pelos alunos do 3o ano do Ensino Médio,
escolas ESC1 e ESC2.
Quadro 32: Plano de curso do quinto ano do ensino fundamental I.
Quadro 33: Plano de curso do nono ano do ensino fundamental II.
Quadro 34: Plano de curso do terceiro do ensino médio.

LISTA DE FIGURAS
Figura 01: Registros do sujeito S502 sobre a resolução do problema 01.
Figura 02: Registros do sujeito S501 sobre a resolução do problema 01.
Figura 03: Registros do sujeito S902 sobre a resolução do problema 03.
Figura 04: Registros do sujeito S30EM1 sobre a resolução do problema 03.
Figura 05: Registros do sujeito S30EM4 sobre a resolução do problema 03.
Figura 06: Registros do sujeito S504 sobre a resolução do problema 02.
Figura 07: Registros do sujeito S502 sobre a resolução do problema 02.
Figura 08: Registros do sujeito S501 sobre a resolução do problema 02.
Figura 09: Registros do sujeito S901 sobre a resolução do problema 01.
Figura 10: Registros do sujeito S9o4 sobre a resolução do problema 01.
Figura 11: Registros do sujeito S30EM3 sobre a resolução do problema 02.
Figura 12: Registros do sujeito S504 sobre a resolução do problema 03.
Figura 13: Registros do sujeito S901 sobre a resolução do problema 02.
Figura 14: Registros do sujeito S502 sobre a resolução do problema 04.
Figura 15: Registros do sujeito S30EM3 sobre a resolução do problema 01.
Figura 16: Registros escritos pelo sujeito S501 sobre a resolução do problema 01.
Figura 17: Registros escritos pelo sujeito S503 sobre a resolução do problema 01.
Figura 18: Registros escritos pelo sujeito S901 sobre a resolução do problema 03.
Figura 19: Registros escritos pelo sujeito S30EM3 sobre a resolução do problema
03.
Figura 20: Registros escritos pelos sujeitos S5 o1 sobre a resolução do problema
02.
Figura 21: Registros escritos pelo sujeito S5o3 sobre a resolução do problema 02.
Figura 22: Registros escritos pelo sujeito S9o1 sobre a resolução do problema 01.
Figura 23: Registros escritos pelo sujeito S3oEM3 sobre a resolução do problema
02.
Figura 24: Registros escritos pelo sujeito S5o4 sobre a resolução do problema 02.
Figura 25: Registros escritos pelo sujeito S9o1 sobre a resolução do problema 02.
Figura 26: Registros escritos pelo sujeito S5o1 sobre a resolução do problema 04.
Figura 27: Registros escritos pelo sujeito S3oEM3 sobre a resolução do problema
01.

SUMÁRIO

1 APRESENTANDO A PESQUISA.........................................................................17
1.1 Interação entre linguagens e resolução de problemas matemáticos.........17
1.2 Da problemática da pesquisa..........................................................................18
1.3 A necessidade de se estabelecer sentidos através da interação entre as
linguagens.......................................................................................................... 20
2 INTERAÇÃO ENTRE AS LINGUAGENS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS.23
2.1 A resolução de problemas no contexto da história da matemática.............23
2.2 A resolução de problemas matemáticos no contexto da educação básica
no Brasil..............................................................................................................25
2.3 Resolução de problemas: objetivo e metodologia de ensino .....................26
2.4 O papel das linguagens na resolução de problemas....................................29
2.4.1 As representações semióticas dos registros matemáticos escritos e seus
respectivos significados.....................................................................................30
2.4.2 Ler e escrever: condição relevante para se compreender a linguagem
matemática........................................................................................................32
2.4.3 Ler e escrever em linguagem matemática: uma questão de interação com a
língua comum....................................................................................................34
2.5 O surgimento da linguagem matemática e a evolução desta ao longo da
história...............................................................................................................38

2.6 O domínio das linguagens: um caminho para a consolidação do
pensamento

matemático

resolução

problemas.........................................................................................................41
2.6.1 A linguagem aritmética................................................................................42
2.6.2 A linguagem algébrica.................................................................................43
2.6.3 A linguagem geométrica..............................................................................46

3 PROCEDIMENTOS DE PESQUISA.................................................................49
3.1 Procedimentos para coleta de dados.........................................................50
3.1.1 Escolha das escolas....................................................................................50
3.1.2 Os sujeitos...................................................................................................52
3.2 Instrumentos de pesquisa...........................................................................53
3.2.1 Atividade para diagnóstico..........................................................................53
3.2.2 Atividade de leitura e escrita.......................................................................58
3.2.3 Entrevista semiestruturada.........................................................................59
3.2.4 Documentos................................................................................................61
3.3 Procedimentos para análises dos dados...................................................61
4 ANÁLISES DOS DADOS DE PESQUISA........................................................67
4.1 Análises dos planos de cursos...................................................................67
4.2 Análises da atividade para diagnóstico.....................................................69
4.2.1 Estratégias de resolução de problemas, com ênfase à compreensão de
enunciados

questões

propostas

âmbito

matemática....................................................................................................69

4.2.1.1Problemas

com

insuficiência

dados,

estilo

problema

capitão.........................................................................................................70
4.2.1.1.1 Quinto ano do ensino fundamental I ....................................................70
4.2.1.1.2 Nono ano do ensino fundamental II .....................................................72
4.2.1.1.3 Terceiro ano do ensino médio..............................................................74
4.2.1.1.4 Considerações acerca dos problemas.................................................77
4.2.1.2 Problema que envolve lógica..................................................................78
4.2.1.2.1 Quinto ano do ensino fundamental......................................................78
4.2.1.2.2 Considerações acerca do problema.....................................................80
4.2.1.3 Problemas que envolvem álgebra elementar..........................................81
4.2.1.3.1 Nono ano do ensino fundamental II.....................................................81
4.2.1.3.2 Terceiro ano do ensino médio..............................................................84
4.2.1.3.3 Considerações acerca dos problemas.................................................86
4.2.1.4 Problemas que envolvem aritmética e álgebra elementar......................87
4.2.1.4.1 Quinto ano do ensino fundamental I....................................................87
4.2.1.4.2 Nono ano do ensino fundamental II.....................................................88
4.2.1.4.3 Considerações acerca dos problemas.................................................89
4.2.1.5 Problemas que envolvem geometria euclidiana.....................................90
4.2.1.5.1 Quinto ano do ensino fundamental I....................................................90
4.2.1.5.2 Terceiro ano do ensino médio.............................................................92
4.2.1.5.3 Considerações acerca dos problemas................................................94
4.3 Análises da atividade de leitura e escrita e entrevista...........................95
4.3.1 Investigando o uso dos conhecimentos da língua materna nas
modalidades oral e escrita, como instrumento para interpretação e
compreensão

enunciados

problemas

matemáticos................................................................................................95
4.3.1.1

Problemas

com

insuficiência

dados,

estilo

problema

capitão.......................................................................................................96
4.3.1.1.1 Quinto ano do ensino fundamental ....................................................96
4.3.1.1.2 Nono ano do ensino fundamental II ...................................................98
4.3.1.1.3 Terceiro ano do ensino médio...........................................................100
4.3.1.1.4 Considerações acerca dos problemas..............................................101

4.3.1.2 Problemas que envolvem lógica..............................................................105
4.3.1.2.1 Quinto ano do ensino fundamental I.....................................................105
4.3.1.2.2 Considerações acerca do problema.....................................................107
4.3.1.3 Problemas que envolvem álgebra elementar..........................................107
4.3.1.3.1 Nono ano do ensino fundamental II.....................................................107
4.3.1.3.2 Terceiro ano do ensino médio..............................................................109
4.3.1.3.3 Considerações acerca dos problemas.................................................112
4.3.1.4 Problemas que envolvem aritmética e álgebra elementar......................112
4.3.1.4.1 Quinto ano do ensino fundamental I....................................................112
4.3.1.4.2 Nono ano do ensino fundamental II.....................................................114
4.3.1.4.3 Considerações acerca dos problemas.................................................116
4.3.1.5 Problemas que envolvem geometria euclidiana......................................117
4.3.1.5.1 Quinto ano do ensino fundamental I.....................................................117
4.3.1.5.2 Terceiro ano do ensino médio..............................................................119
4.3.1.5.3 Considerações acerca dos problemas.................................................122
4.4 Relacionando elementos dos instrumentos de coleta de dados...........122
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS.............................................................................127
REFERÊNCIAS ................................................................................................132
APÊNDICES.......................................................................................................136
ANEXOS.............................................................................................................147

1 APRESENTANDO A PESQUISA

1.1 Interação entre linguagens e resolução de problemas matemáticos

Fazendo um breve relato de minha vida escolar, relembro quando aluno do
primeiro grau, hoje o equivalente ao ensino fundamental, quando tive dificuldades
em compreender a linguagem matemática relacionada à construção das estruturas
lógicas referentes aos textos dos enunciados de problemas matemáticos, elemento
indispensável à compreensão e construção do pensamento matemático1.
As dificuldades advindas da incompreensão da linguagem matemática se
ampliaram por quase todo o percurso em que cursei a educação básica, talvez pelo
fato de não saber vincular esta linguagem aos elementos fundamentais da língua
materna necessários à compreensão de textos.
Quando ingressei na primeira série do ensino técnico, hoje equivalente ao
ensino médio integrado, minhas dificuldades em Matemática constituíam um
problema maior a ser encarado, pois os cursos técnicos profissionalizantes exigiam
um bom domínio dos conhecimentos da parte elementar dessa ciência.
Buscando sanar as dificuldades em Matemática e em Português, trazidas
das séries anteriores, frequentei aulas oficiais de reforço nessas disciplinas, na
antiga Escola Técnica Federal de Alagoas, por volta de 1979, visto que os
conteúdos propostos para serem revisados eram fundamentais na continuidade do
curso técnico.
Como aluno do Curso de Licenciatura em Matemática, já no final da década
de 1980, também convivi com dificuldades semelhantes nos diversos campos da
Matemática, sobretudo, pela falta de domínio da língua materna e, talvez, pelas
dificuldades de relacionar elementos desta com a linguagem matemática
necessária à resolução de problemas, o que também influenciava o aumento das
dificuldades de compreensão de conceitos básicos fundamentais da matemática.
Convém destacar que concluí a graduação - Licenciatura em Matemática no ano de 1989, vindo a atuar como docente a partir de 1991, lecionando na quinta
1

Pensamento matemático: forma de percepção e compreensão das ideias matemáticas.

série do primeiro grau, hoje, sexto ano do ensino fundamental II. Durante a carreira
docente, também lecionei em cursos supletivos de primeiro e segundo graus,
ensino médio, médio integrado ao ensino técnico, educação de jovens e adultos e
educação superior, a maioria, da rede pública de ensino.
Da experiência profissional que adquiri no exercício da docência, lidando
com alunos do ensino médio da rede pública de ensino no Estado de Alagoas,
percebi que a rejeição à matemática não era algo restrito às minhas dificuldades
quando aluno, mas também de outros, que chegam ao final da última etapa da
educação básica, e até mesmo na educação superior, sem ter tido a oportunidade
de compreender essa ciência.
Em todos os segmentos em que lecionei, percebi que os alunos
apresentavam

dificuldades

para

compreender

linguagem

matemática,

independentemente da modalidade e grau de ensino, razão que fortalece a ideia de
que as dificuldades que se tem em construir o pensamento matemático se
intensificam pela incompreensão da língua materna indispensável à compreensão
da linguagem matemática.
1.2 Da problemática da pesquisa

Buscando aprofundar estudo sobre a questão da interação linguagem
matemática e língua materna, tomei como ponto de partida a busca de elementos
que ajudassem a justificar a relevância desse estudo na Educação Básica.
Consultei a legislação brasileira que trata sobre o ensino de matemática,
mais precisamente, os Parâmetros Curriculares Nacionais (1999) e as Diretrizes
Curriculares Nacionais (2008). Num outro momento, busquei informações sobre os
resultados do Índice de Desenvolvimento da Educação Básica - IDEB, criado em
2007, índice oficial do governo brasileiro que tem como finalidade acompanhar a
qualidade do ensino básico no Brasil, bem como estabelecer metas, para que em
todo sistema a educação possa atingir patamares de qualidade que contribuam
para uma mudança considerável da qualidade do ensino no país.
Como o referido índice trata, em sua essência, da qualidade da educação,
acredita-se que quanto melhor o desempenho dos alunos em relação à leitura e a
escrita, maior o IDEB obtido pela escola.

Dos últimos resultados do IDEB referentes ao ano de 2009, divulgados
pelos órgãos educacionais oficiais brasileiros, pode-se constatar sobre a baixa
qualidade do ensino básico nas escolas alagoanas (quadros 01, 02 e 03), questão
bem peculiar ao município de Maceió, o que nesse aspecto, também fortalece a
relevância desse estudo.
Quadro 01: IDEB - Resultados e Metas - Projeções para o BRASIL – Ensino
Fundamental

TOTAL
Pública
Estadual
Municipal
Privada

Anos Iniciais do Ensino Fundamental
Anos Finais do Ensino Fundamental
IDEB Observado
Metas
IDEB Observado
Metas
2005 2007 2009 2007 2009 2021 2005 2007 2009 2007 2009 2021
3,8
4,2
4,6
3,9
4,2
6,0
3,5
3,8
4,0
3,5
3,7
5,5
Dependência Administrativa
3,6
4,0
4,4
3,6
4,0
5,8
3,2
3,5
3,7
3,3
3,4
5,2
3,9
4,3
4,9
4,0
4,3
6,1
3,3
3,6
3,8
3,3
3,5
5,3
3,4
4,0
4,4
3,5
3,8
5,7
3,1
3,4
3,6
3,1
3,3
5,1
5,9
6,0
6,4
6,0
6,3
7,5
5,8
5,8
5,9
5,8
6,0
7,3

Fonte: MEC/Saeb e Censo Escolar.
Quadro 02: IDEB - Resultados e Metas - Projeções para o BRASIL – Ensino
Médio

TOTAL
Pública
Estadual
Municipal
Privada

Ensino Médio
IDEB Observado
2005
2007
2009
2007
3,4
3,5
3,6
3,4
3,1
3,2
3,4
3,1
3,0
3,2
3,4
3,1
2,9
3,2
3,0
5,6
5,6
5,6
5,6

Metas
2009
3,5
3,2
3,2
3,1
5,7

2021
5,2
4,9
4,9
4,8
7,0

Fonte: MEC/Saeb e Censo Escolar.
Quadro 03: IDEB – Alagoas/Maceió - 9º ano do Ensino Fundamental.
Ano

2005

2007

2009

Projeção 2011

Metas projetadas

2,5

2,7

2,9

Alagoas
Maceió

2,4
2,4

2,7
2,6

2,9
2,6

2,9
2,9

Fonte: MEC/Saeb e Censo Escolar.
Da experiência como professor de matemática da educação básica no
estado de Alagoas, e observando os baixos índices do IDEB das escolas
alagoanas, comecei a indagar se os conhecimentos de leitura e escrita dos alunos
são satisfatórios para compreensão de enunciados de problemas matemáticos.
Essa preocupação se deve ao fato de que o ensino dessa ciência, pelas

dificuldades que se têm, pode ser fator decisivo para redução do IDEB obtido pelas
escolas do referido município.
Partindo das indagações levantadas, continuei a investigar, no meu trabalho
docente, como os conhecimentos da leitura e da escrita, quando bem direcionados,
podem auxiliar a compreensão de conceitos matemáticos. Nesse sentido, comecei
a fazer conjecturas sobre a importância da língua materna na compreensão da
linguagem matemática, plano inicial de onde surgiu o objeto deste estudo.
1.3 A necessidade de se estabelecer sentidos através da interação entre as
linguagens

A rejeição à Matemática é uma realidade nas instituições de ensino no
segmento da educação básica brasileira, fato que vem sendo enfatizado por
pesquisadores na atualidade. Isto se deve ao fato de que para se compreender a
Matemática e suas relações com as diversas atividades humanas, bem como, a
importância dessa ciência no estudo de situações relacionadas aos contextos
infinitesimais das dimensões da natureza, é fundamental ter domínio da sua
linguagem. Na realidade, compreender a linguagem do mundo2 também perpassa
pela compreensão da linguagem matemática, pois, há indícios de que tudo o que
vemos, sentimos,

percebemos,

até

imaginamos,

para

que

possamos

compreender é fundamental utilizar linguagens, e em alguns casos, a linguagem
matemática. Por essa razão, a importância da linguagem nos diversos processos
de educação é uma realidade. Nesse sentido, é relevante destacar Henry Giroux,
citado por Carvalho (2009, p.103), quando afirma que a linguagem da educação
não é simplesmente teórica ou prática; é também contextual e deve ser
comprometida em sua gênese e desenvolvimento como parte de uma rede mais
ampla de tradições históricas e contemporâneas, de forma que possamos nos
tornar autoconscientes dos princípios e práticas sociais que lhe dão significado.
A relevância das diversas linguagens, em particular a linguagem matemática,
fica explicitada quando se pretende compreender a natureza, garantir a
2

Consideramos linguagem do mundo como a linguagem necessária à sobrevivência da
humanidade. A referida linguagem é indispensável nos processos de comunicação, nas tomadas de
decisões e na compreensão de fenômenos indispensáveis à vida no planeta.

sobrevivência da humanidade, fazer argumentações, tirar conclusões, realizar
planejamentos, enfim, na tomada de qualquer decisão elas são, fundamentalmente,
importantes.
Partindo desse entendimento, adotamos como objeto de investigação as
dificuldades de compreensão da língua materna e as relações dessa com a
linguagem matemática, haja vista a importância delas na resolução de problemas.
Nesse aspecto, nossa intenção fundamenta-se na necessidade de estudar relações
importantes entre a linguagem matemática e a língua materna3 para fins de
resolução de problemas, pois parece possível que o domínio dos conhecimentos
acerca da leitura e da escrita possa favorecer à compreensão da linguagem
matemática, como também à interpretação dos enunciados dos problemas
matemáticos.
Também cabe destacar que, quando se trata de compreender a matemática
como fundamentalmente importante, frente às explicações dos diversos fenômenos
da natureza, fica evidente que os conhecimentos da matemática não surgem do
acaso, nem se constituem fenômenos isolados da realidade, razão pela qual
fortalece a existência de relações intrínsecas da matemática com as dimensões da
existência humana, o que reforça a necessidade do domínio da língua materna
para auxiliar na compreensão da linguagem matemática. Nessa direção, é
importante destacar Granel, citado por Santos (2009, p. 117), ao afirmar que
linguagem pode ser entendida como uma criação social que utiliza símbolos,
também criados socialmente, enquanto que a linguagem matemática é um sistema
simbólico de caráter formal, cuja elaboração é indissociável do processo de
construção do conhecimento matemático e tem como função principal converter
conceitos matemáticos em objetos mais facilmente manipuláveis e calculáveis
possibilitando inferências, generalizações e novos cálculos que, de outro modo,
seriam impossíveis.
Nessa

perspectiva,

podemos

conjecturar

que

dificuldades

compreensão da linguagem matemática têm início no processo de alfabetização
matemática, nos anos iniciais da escolarização (DANYLUK, 1998, p.20). Presume3

Alguns autores utilizam as terminologias linguagem natural, linguagem comum e linguagem
corrente para fazer referência à linguagem materna.

se que, para compreender e interpretar os enunciados dos problemas matemáticos
é necessário o domínio da leitura e da escrita da língua materna. Assim, para
Danyluk (1998, p.18) “O ato de ler e de ler a linguagem matemática está
fundamentado nos atos humanos de compreender, de interpretar”. Ainda nessa
linha de raciocínio, para D’Amore (2007, p.249), “parece até que a língua da
matemática seja influenciada pela língua comum, muito mais do que poderia
parecer à primeira vista”. Por essa razão, acredita-se que o nível de compreensão
da língua materna pode ser fator relevante na interpretação de enunciados e
resolução de problemas matemáticos, pois, as mensagens implícitas nos textos dos
referidos enunciados precisam ser compreendidas, ou seja, devem estar
relacionadas a significados específicos da linguagem matemática, pois, cada
símbolo ou significante4 deve estar relacionado a uma ideia (DANYLUK, 1998,
p.20). Esta ideia precisa ser explicitada de forma concisa buscando traduzir o
verdadeiro significado para garantir a precisão e a universalidade, características
essenciais do discurso matemático (D’AMORE, 2007, p. 254).
Ainda sob o aspecto da interação entre as linguagens, é importante ressaltar
que a escrita também auxilia os alunos a usarem o seu vocabulário no contexto da
compreensão matemática (POWELL; BAIRRAL, 2006, p. 27). Nesse sentido,
espera-se que, quanto maior o domínio que o aluno exerce sobre a leitura e a
escrita da linguagem comum, bem como o domínio das relações destas com os
registros representativos usados na linguagem matemática, melhor poderá
compreender a linguagem matemática. Portanto, ao considerar que ler e escrever
são requisitos necessários para a interpretação dos enunciados dos problemas
matemáticos, buscou-se investigar em duas escolas localizadas na cidade de
Maceió quais estratégias de resolução de problemas matemáticos os alunos do
quinto5 e nono6 ano do ensino fundamental e terceiro7 ano do ensino médio
utilizaram, para facilitar a compreensão dos textos dos enunciados matemáticos.

Significante: terminologia usada para fazer referências aos símbolos ou registros semióticos
utilizados na linguagem matemática (D’AMORE, 2007, p. 265; 266).
5

Escolheu-se o quinto ano do ensino fundamental I pelo fato de esta série representar um momento
de transição entre duas etapas do ensino fundamental em que o domínio da linguagem matemática e
da língua materna passa a ser requisito essencial para a continuidade.

2 INTERAÇÃO ENTRE AS LINGUAGENS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS

2.1 A resolução de problemas no contexto da história da matemática

Resolver problemas de forma intuitiva é um ato que se faz presente nas
diversas fases que marcaram a história da humanidade. A descoberta do fogo,
talvez, há trezentos mil anos, os registros cuneiformes, há cerca de quatro mil anos,
são evidências que podem ser entendidas como alternativas para solucionar
problemas de cada época (BOYER, 2010, p.2 e 6).
No ensino de matemática, a questão da resolução de problemas vem
ocupando lugar de destaque desde a antiguidade (ALLEVATO; ONUCHIC, 2004,
p.213). Convém destacar que o termo “problema” pode ter enfoques distintos
quando se trata de contextos distintos.
Na concepção da educação contemporânea, o problema pode ser entendido
como

instrumento

aprendizagem

indispensável

construção

conhecimento. Tratando da concepção de pesquisa, problema é o objeto a ser
investigado; é o foco para o qual a pesquisa deve ser direcionada; é uma situação
para a qual se busca uma resposta através de um método específico com regras
claras e preestabelecidas.
No contexto da matemática, problema constitui uma situação ou atividade
para ser solucionada, para tanto, é necessário acionar o conhecimento matemático.
Enfim, “problema” é algo um tanto complexo que requer tratamento específico, tanto
pelo caráter da subjetividade, quanto pela importância que representa na pesquisa e
no processo de aprendizagem. Nesse sentido, problema é uma dificuldade que
precisa ser superada. É algo que precisa ser resolvido e necessita de solução. É
tudo aquilo que estamos interessados em fazer, mas não sabemos, pois não existe
um método ou regra específica para se chegar à solução (ALLEVATO; ONUCHIC,
2004, p.213).
6

Escolheu-se o nono ano do ensino fundamental II pelo fato de que a conclusão dessa etapa
requerer a consolidação de conceitos básicos relacionados à linguagem matemática e à língua
materna.
7

Escolheu-se o terceiro ano do ensino médio pela importância da compreensão da linguagem
matemática e da língua materna na conclusão da educação básica.

O que pode caracterizar um problema para determinado sujeito, pode não ter
o mesmo sentido para outro.
No universo matemático, os problemas podem ser aritmético, algébrico,
geométrico, etc. Essencialmente matemático ou não, um problema pode ter caráter
científico importante, ou ser um mero desafio ou enigma (POLYA, 2006, p.2).
Problemas podem ser de qualquer tipo. Nesse sentido, o termo problema não
está restrito a nenhum assunto em particular. Por estas razões, os graus de
dificuldades quanto à resolução podem estar relacionados com a capacidade de
percepção e organização de cada sujeito, o que, supostamente, depende, do
mobilizar o conhecimento prévio, do dar sentido através do relacionar contextos,
questões relevantes que podem levar o sujeito a tomar decisão em relação a um
provável plano de resolução.
Dependendo da capacidade de percepção do sujeito em relação à solução de
um determinado problema, a compreensão poderá ser mais simples, mais complexa,
ou não poderá haver compreensão. Fazendo referência a esta questão, comenta
Dante:
Intuitivamente, todos nós temos uma ideia do que seja um problema. De
maneira genérica, pode-se dizer que é um obstáculo a ser superado, algo a
ser resolvido que exige o pensar consciente do indivíduo para solucioná-lo.
O que é um problema para alguns pode não ser para outros, ou o que é um
problema num determinado contexto pode não ser em outro. (2009,

p.11).
Quanto à resolução de um problema matemático, é pertinente destacar que
resolver um problema é encontrar a resposta que venha apresentar uma saída
adequada e convincente para um obstáculo antes posto. Para tanto, é preciso que
se adotem caminhos e utilizem-se meios que possam levar à solução mais
apropriada para a situação que caracterizou a dificuldade que precisava ser
resolvida. Nesse aspecto, cabe registrar:
Resolver um problema é encontrar os meios desconhecidos para um fim
nitidamente imaginado. Se o fim por si só não sugere os meios, se por isso
temos de procurá-los refletindo conscientemente sobre como alcançar o fim,
temos um problema. Resolver um problema é encontrar um caminho onde
nenhum outro é conhecido de antemão, [...]. Resolver problemas é da
própria natureza humana. Podemos caracterizar o homem como o “animal

25
que resolve problemas”; seus dias são preenchidos com aspirações não
imediatamente alcançáveis. (POLYA, apud DANTE, 2009, p.13).

Problemas famosos estão por toda parte. A história da matemática faz
referência a alguns tipos. Os aritméticos, os algébricos e os geométricos, (BOYER
2010, p.11). Além desses, os problemas de lógica e os que tratam de insuficiência
de dados também fazem parte do cenário matemático.
Na especificidade de nossa investigação, a resolução de problemas
matemáticos perpassa pela interação entre linguagens, pois, o ponto de partida para
solucionar um problema é a compreensão da linguagem do enunciado. Se o
enunciado não for bem entendido, compromete a possibilidade de identificar as
partes principais do problema, ou seja, a incógnita, os dados e a condicionante
(POLYA, 2006, p.5).

2.2 A resolução de problemas matemáticos no contexto da educação básica no
Brasil
A história da educação brasileira tem revelado a importância do ensino da
matemática para o desenvolvimento de sujeitos. A linguagem matemática, pela sua
utilidade em auxiliar o desenvolvimento da capacidade de resolver problemas, de
tomar decisões, de fazer inferências, tirar conclusões e fazer argumentações, passa
a ser imprescindível no cenário atual da educação básica. Assim, precisa ser
conhecida, estudada e compreendida, no intuito de dar suporte ao universo de
possibilidades com o qual está relacionada. Nesse sentido, as Diretrizes Curriculares
Nacionais para o ensino de matemática no ensino médio, enfatizam:
Ao final do ensino médio, espera-se que os alunos saibam usar a
Matemática para resolver problemas práticos do quotidiano; para modelar
fenômenos de outras áreas do conhecimento; compreendam que a
matemática é uma ciência com características próprias, que se organiza via
teoremas e demonstrações; percebam a matemática como um
conhecimento social e historicamente constituído; saibam apreciar a
importância da matemática no desenvolvimento científico e tecnológico.

(MEC/SEB, 2008, p.69).
Por essa razão, nosso estudo intenciona investigar como os alunos da
educação básica usam os conhecimentos da língua materna para compreender a

linguagem matemática, mais precisamente, como os significados da língua materna
podem contribuir na compreensão de elementos conceituais específicos da
matemática, buscando dar sentido às interpretações dos enunciados dos problemas
matemáticos e sua consequente resolução nos mais variados contextos.
2.3 Resolução de problemas: objetivo e metodologia de ensino

Apesar da importância do papel que a matemática deve desempenhar no
desenvolvimento da sociedade, o despreparo do professor dessa área vem
contribuindo para o aumento das dificuldades de aprendizagem dessa ciência nos
diversos níveis de ensino. Há evidências que “não há um caminho único para se
ensinar e aprender matemática” (ALLEVATO; ONUCHIC, 2004, p.213 e 214).
Pensar o ensino de matemática sob o aspecto da resolução de problemas tem sido
uma preocupação constante de pesquisadores da área, pois através da resolução
de problemas é possível relacionar uma ideia matemática a uma diversidade de
contextos, na intenção de se chegar à compreensão (ALLEVATO; ONUCHIC, 2004,
p.222 e 223).
Como os problemas matemáticos estão relacionados a diversos contextos,
tomar decisões para resolvê-los não é uma tarefa elementar, pois, requer o uso de
habilidades que possibilitem mobilizar um conjunto de ações organizadas na
intenção de se chegar a uma meta preestabelecida (ECHEVERRIA; POZO, 1998,
p.14).
Resolver problemas matemáticos se configura como um dos principais
objetivos de que tratam os Parâmetros Curriculares Nacionais para o ensino de
matemática, isto talvez pela evidente necessidade de se entender a matemática
para dela fazer uso no cotidiano.
Por outro lado, a resolução de problemas deve ser entendida como um
instrumento de aprendizagem. Este instrumento deve contribuir para que se
desenvolva a capacidade de questionamento, para que se construa a atitude de
procurar respostas, pois são essas ações que contribuem na busca do significado
(ECHEVERRIA; POZO, 1998, p.14).

Como já foi dito, os problemas matemáticos vêm ocupando lugar especial no
currículo escolar desde a antiguidade (ALLEVATO; ONUCHIC, 2004, p.213). Eles
estão por toda a parte, seja na concepção educacional da atualidade como
instrumento metodológico indispensável à construção do conhecimento, seja sob o
ponto de vista da pesquisa onde é tido como o foco para o qual a investigação deve
ser direcionada, seja na concepção de ensino de matemática, onde é instrumento
metodológico a ser usado no processo ensino aprendizagem, como meio que
possibilita relacionar contextos diversos a ideias matemáticas.
Problema matemático pode ser entendido como uma situação ou atividade
que, para ser solucionada, exige-se o pensar matemático, ação relevante que se
estabelece a partir da mobilização do conhecimento matemático. Nessa direção, é
fundamental entender a resolução de problemas como um conjunto de ações
organizadas para se chegar a uma meta (ECHEVERRIA; POZO, 1998, p.14). O que,
por outro lado, também pode ser entendido como um veículo através do qual o
currículo possa ser desenvolvido, indo além de objetivo da aprendizagem
matemática, pois funciona como meio de se fazer matemática (ALLEVATO;
ONUCHIC, 2004, p.221 e 222).
Na realidade, a resolução de problemas como caminho metodológico contribui
para que o sujeito possa “pensar sobre” determinada situação, e, partindo desse
entendimento, possa “dar sentido” às ideias relacionadas a partir dos enunciados
(ALLEVATO; ONUCHIC, 2004, p.223).
Compreender um problema requer a compreensão da linguagem através da
qual está expressa a tarefa proposta (ECHEVERRIA; POZO, 1998, p.24). A
incompreensão das linguagens presentes no texto do enunciado de um problema
matemático pode interferir na compreensão de elementos característicos da
linguagem matemática, que por não serem conhecidos pelos sujeitos do processo,
se configuram como grandes obstáculos na compreensão, o que impedem o
desenvolvimento de estratégias de representação do pensamento matemático8 a ser
utilizado nas resoluções.

Pensamento matemático: forma de percepção e compreensão das ideias matemáticas.

Pessupõe-se que não basta apenas conhecer a linguagem matemática,
espera-se que o conhecimento da língua materna possa promover a interação entre
linguagens para assim auxiliar na compreensão do que está posto nos enunciados
dos problemas, para então adotar a representação mais adequada, ou seja, a que
melhor se encaixa na linguagem usada no enunciado do problema a ser resolvido
(ECHEVERRIA e POZO, 1998, p.26). Partindo desse entendimento, a escolha dos
caminhos e dos meios mais apropriados para se chegar à solução é uma
consequência natural.
Resolver um problema matemático não é algo tão elementar. Isso porque a
estrutura lógica relacionada ao enunciado e imaginada pelo sujeito que resolve o
problema se constitui de elementos conceituais universais. Tais elementos se
complementam das operações fundamentais e respectivas propriedades, que devem
traduzir na íntegra as ideias constantes nos textos dos enunciados. Nesse aspecto,
os elementos da língua materna, os significantes bem relacionados com os seus
respectivos significados na linguagem matemática, além da necessidade de domínio
de regras e propriedades inerentes às operações de cálculo, devem ser quase que
na sua totalidade, requisitos essenciais à resolução de um problema matemático.
O que chamamos de estrutura lógica do pensamento é a representação
simbólica de como o sujeito compreende o enunciado. Tal estrutura de resolução é a
representação da estratégia desenvolvida pelo indivíduo, ou seja, o seu plano de
ação, que pode ser um desenho, uma imagem, um gráfico, um simples cálculo
numérico, chegando até as famosas equações bem características da álgebra
elementar.
A evolução da matemática desde as civilizações primitivas até os dias atuais
perpassa pelas resoluções de problemas práticos do quotidiano como os
relacionados aos “conhecimentos dos estiradores de corda egípcios”, às margens do
rio Nilo, em torno de 1650, séc. XVII a.C., no Antigo Egito (BOYER, 2010, p. 12).
Das ideias primitivas até o desenvolvimento de grandes invenções contemporâneas,
sempre existiu uma dificuldade a ser superada que, possivelmente, necessitou de
alguma ideia matemática. A esse respeito, faz-se mister acrescentar o que enfatiza
Boyer, quando afirma:

29
Podemos fazer conjeturas sobre o que levou os homens da Idade da Pedra
a contar, medir e desenhar. Que os começos da matemática são mais
antigos que as mais antigas das civilizações é claro. Ir além e identificar
categoricamente uma origem determinada no espaço e no tempo, no
entanto, é confundir conjetura com história. (2010, p.5).

Mesmo admitindo que a matemática tenha se libertado, em parte, das
limitações sugeridas por observações da natureza, tornando-se uma ciência pura,
ela não perdeu, em suas especificidades, o caráter de estar a serviço da resolução
de problemas.
É fato que a criação dos números pode ser entendida como a maior invenção
da humanidade e que esta invenção, juntamente com o desenvolvimento da
linguagem numérica, foi fundamental para o desenvolvimento do pensamento
matemático.
Se os números surgiram da necessidade do cotidiano, ou se esta serviu para
ajudar explicitar o que já estava subentendido na mente do homem primitivo, isto
tem pouca relevância. O que se sabe, é que não há como ignorar a importância
dessa invenção primitiva para o desenvolvimento de uma linguagem própria da
matemática, que por sua vez contribui para o desenvolvimento do pensamento
matemático abstrato e consequentemente para a evolução da resolução de
problemas matemáticos.

2.4 O papel das linguagens na resolução de problemas

Compreender as informações presentes no texto do enunciado de um
problema matemático requer a compreensão de elementos presentes nas
linguagens envolvidas. Se por um lado há necessidade da língua materna para
entender o significado de algumas palavras e expressões importantes na
compreensão de uma ideia, por outro, a língua materna também pode ter um papel
relevante, no sentido de auxiliar na compreensão de conceitos matemáticos
essenciais ao uso adequado da linguagem matemática necessária, como também,
na estruturação do plano de ação a ser utilizado para se chegar à solução de um
problema.

2.4.1 As representações semióticas dos registros matemáticos escritos e seus
respectivos significados

É válido enfatizar que a compreensão dos registros matemáticos escritos
perpassa pelo domínio da linguagem matemática, bem como da linguagem comum.
Nesse sentido, Echeverria e Pozo (1998, p.36), ressaltam que “a matemática não
pode funcionar como uma linguagem sem conteúdo, como um conjunto de regras
sintáticas na qual o conteúdo semântico seria secundário ou irrelevante.” A
necessidade de interações entre as linguagens torna-se evidente, pois a linguagem
materna pode não ser suficiente, mas, torna-se necessária à compreensão de
elementos característicos da linguagem matemática presentes na resolução de
problemas. Sobre essa questão, afirma D’Amore:
As representações semióticas são representações cuja produção não é
possível sem a mobilização de um sistema semiótico: assim, as
representações semióticas podem ser produções discursivas (em língua
natural, em língua formal) ou não discursivas (figuras, gráficos,
esquemas,...). E essa produção não responde unicamente ou
necessariamente a uma função de comunicação: pode responder apenas
a uma função de objetivação (por si mesma) ou a uma função de
tratamento. (2007, p.264).

Para escrever em linguagem matemática situações características de textos
de enunciados de problemas matemáticos na intenção de contribuir para
interpretação e resolução desses problemas, o uso de representações semióticas
também denominadas de registros representativos são fundamentais.
Na construção das estruturas de resolução dos problemas os referidos
registros tornam-se essenciais. Mas é preciso perceber que significantes diferentes
podem ter um mesmo significado e cada um deles pode se adequar a
representações distintas de uma mesma situação, podendo haver necessidade de
uniformização, no intuito de facilitar a compreensão das operações. Nessa
perspectiva vale destacar que:
[...], muitas vezes, em Matemática, são utilizados significantes diferentes
para um mesmo significado. Por exemplo, os três significantes diferentes
1

0,5; 1/2; 5.10
representam o mesmo objeto. Eles são, portanto,
significantes diferentes de um mesmo significado assumido como objeto e,

31
consequentemente, denominado significado-objeto. (D’AMORE, 2007,

p.265; 266).
Determinados conceitos matemáticos importantes relacionados à geometria
analítica, desde a introdução até a utilização na resolução de problemas, requerem
o uso dos registros representativos no intuito de possibilitar a compreensão de
ideias que exigem um pouco de abstração. O conjunto dos números reais, mais
especificamente as formas possíveis de se representar intervalos reais, ou seja, a
forma gráfica, por colchetes, e a forma algébrica, é outro exemplo de significantes
distintos com um mesmo significado.

Nesse mesmo raciocínio, as formas de

representar uma reta, as formas de representar uma circunferência, como também
as representações de uma cônica, são outros exemplos que ratificam a importância
do uso adequado das representações semióticas quando da leitura, interpretação e
resolução de um problema matemático. Sabe-se, porém, que compreender
situações dessa natureza, geralmente, requer o conhecimento de outras disciplinas,
residindo nesse aspecto a importância do conhecimento da linguagem corrente.
O fato de os objetos matemáticos não serem perceptíveis ou observáveis
com o auxílio de instrumentos, como ocorre em outras áreas do conhecimento, tais
como, a astronomia, a física, a biologia, contribuiu para o desenvolvimento de um
sistema de representação, código semiológico próprio, para a matemática que, a
partir de figuras geométricas, gráficos e escritas algébricas, torna-se possível
construir estruturas representativas do raciocínio matemático. Nesse contexto,
comenta Duval:
Lembramos que uma das características importantes da atividade
matemática é a diversidade dos registros de representação semiótica que
ela mobiliza obrigatoriamente. No entanto, essa diversidade raramente é
levada em conta no ensino. Ora, se se quer analisar as dificuldades de
aprendizagem em matemática, é preciso estudar prioritariamente a
conversão das representações e não os tratamentos. (2003, p.30).

Essas estruturas, denominadas de representações semióticas, também
conhecidas como registros representativos, ou ainda significantes, necessitam da
língua comum, para que, a partir da fala e da escrita, se estabeleçam significados,
buscando

também garantir

a precisão, a concisão e

a universalidade,

características

fundamentais

linguagem

matemática,

que

devem

ser

preservadas quando da resolução de um problema, tornando claro o entendimento
(D’AMORE, 2007, p.254). Fazendo referência a essa questão, Powell e Bairral
(2006, p.27) ressaltam que “A escrita ajuda os alunos não só a adquirirem um
vocabulário rico como também a usarem-no no contexto da sua compreensão
matemática.” Essas questões também são observadas por Machado (1998, p.97)
ao afirmar que “De um modo geral, a linguagem ordinária e a Matemática utilizamse de tantos termos “anfíbios”, ora com origem em uma, ora com origem em outra,
que às vezes não percebemos a importância desta relação de troca, minimizando
seu significado”.
Portanto, aproximar a linguagem matemática da língua materna é de grande
relevância para que se fortaleça o processo de alfabetização matemática já no
início da educação básica, pois, apesar da língua materna e da linguagem
matemática possuírem características distintas, utilizar a primeira para se
compreender a segunda talvez não seja o suficiente, mas possa ser de grande
relevância para a solução de problemas, visto que, quando se recorre a um
raciocínio hipotético e dedutivo onde há necessidade de formular e comprovar
hipóteses, o pensar matemático vai muito além da aplicação de regras e algoritmos,
o que supostamente fortalece a importância da interação entre as linguagens em
evidência (ECHEVERRIA; POZO, 1998, p.36).

2.4.2 Ler e escrever: condição relevante na compreensão da linguagem matemática

Entende-se por linguagem uma criação social que utiliza símbolos, criada
num

primeiro

momento

com

objetivos

comunicação

expandida,

posteriormente, com a evolução da humanidade, assumindo funções que vão muito
além do simples ato de comunicar.
A primeira das linguagens que temos contato é a linguagem natural, aquela
que a criança aprende no convívio familiar. Este acervo linguístico é de grande
utilidade uma vez que é a partir das primeiras experiências adquiridas no convívio
familiar que se armazenam conhecimentos essenciais para ampliação do convívio

social, bem como o desenvolvimento da competência comunicativa nas mais
diversas situações de interação.
Nas interações sociais aperfeiçoa-se a língua natural ou língua materna. A
partir da escola, a língua materna deve ser utilizada de uma forma mais
consistente, pois, conforme enfatiza Klüsener (1998, p.181), “Todas as expressões
e termos utilizados pelos alunos devem estar sempre repletos de significados.” É
nesse momento que a linguagem materna se enriquece de símbolos com
significados importantes, fundamentais para ler e escrever. Nesse contexto, há
indícios de que a leitura e a escrita possibilitam ir muito além da comunicação. A
partir delas passamos a compreender o mundo através de outras linguagens, cada
uma delas com seus fins, com seus significantes e significados específicos, mas
que possuem vínculos diretos com a linguagem materna, pelo simples fato da
necessidade a que se destinam.
A escola, enquanto instituição responsável pela sistematização do saber
acadêmico, precisa ter o ato de ler e escrever como sua finalidade precípua,
possibilitando o melhor para a formação de seus alunos.
Ler e escrever são tarefas indissociáveis a qualquer área do conhecimento.
Através da leitura e da escrita é possível se comunicar com o mundo com mais
facilidade. Nesse aspecto, Guedes e Souza afirmam:
Ler e escrever são tarefas da escola, questões para todas as áreas, uma
vez que são habilidades indispensáveis para a formação de um estudante,
que é responsabilidade da escola. Ensinar é dar condições ao aluno para
que ele se aproprie do conhecimento historicamente construído e se insira
nessa construção como produtor do conhecimento. Ensinar é ensinar a ler
para que o aluno se torne capaz dessa apropriação, pois o conhecimento
acumulado está escrito nos livros, revistas, jornais, relatórios, arquivos.
Ensinar é ensinar a escrever porque a reflexão sobre a produção de
conhecimento se expressa por escrito. (1998, p.15).

É pertinente ressaltar que o ato de ler vai além de decodificar uma
simbologia e de memorizar conceitos e definições. Segundo Silveira (2005, p.89),
“Só há leitura quando, diante da informação visual, o leitor consegue produzir
sentidos. São esses sentidos que levam à compreensão, que é a base da leitura.
Ler, portanto, é compreender.”
Compreender uma linguagem é ter habilidade para se expressar sobre ela, é
interpretar a sua simbologia a partir de seus significantes e significados, é saber

utilizá-la para seus fins específicos, sendo, portanto fundamental relacioná-la com a
linguagem corrente.
Tratando dessa questão no contexto escolar e relacionando à necessidade
de compreensão de enunciados de problemas, comenta Carvalho:
Nunca é demais ressaltar que o importante é favorecer ao aluno pensar
sobre os enunciados, pedir que eles transformem as situações propostas
criando outras perguntas, outros dados, possibilitando, assim, a percepção
do aluno para o fato de que não há um problema único com resposta
única, o que há são diferentes estratégias de resolução, uma mais simples
do que outras. (2007, p.29).

2.4.3 Ler e escrever em linguagem matemática: uma questão de interação com a
língua comum

A dificuldade de ler e de escrever em linguagem matemática perpassa,
sobretudo, pela falta de domínio da língua corrente9, pois, se a língua materna não
for utilizada de maneira adequada, certamente haverá dificuldades de compreensão
de elementos da linguagem matemática, fato que, supostamente, pode influenciar
na resolução de problemas por parte do aluno (KLÜSENER 1998, p.190).
Outro ponto que pode intensificar a dificuldade de compreensão da
linguagem matemática é a abundância de símbolos, sinais e notações existentes
nessa linguagem. Como cada símbolo ou signo possui um significado dentro de sua
respectiva linguagem, para se compreender a linguagem matemática seria
necessário ter certo domínio das ferramentas de leitura, ou seja, compreender o
que os símbolos sinais e notações representam dentro da linguagem (CARRASCO,
1998). Sem o domínio de tais ferramentas, ler e compreender a linguagem
matemática explícita ou não nos textos de enunciados de problemas, pode se
constituir numa tarefa difícil. Fazendo referência a essas questões comenta
Carrasco:
A dificuldade de ler e escrever em linguagem matemática, [...] impede
muitas pessoas de compreenderem o conteúdo do que está escrito, [...] de
fazerem matemática. Nesse sentido, duas soluções podem ser
apresentadas. A primeira consiste em explicar e escrever, em linguagem
usual, os resultados matemáticos. [...]. Uma segunda solução seria a de
9

Língua corrente é uma expressão utilizada para fazer referência à língua materna.

35
ajudar as pessoas a dominarem as ferramentas de leitura, ou seja, a
compreenderem o significado dos símbolos, sinais e notações. (1998, p.

194).
Cabe considerar nesse contexto o distanciamento entre a linguagem
corrente e linguagem matemática já no início da escolarização, estendendo-se por
todo o percurso da educação básica. Essa questão é bem evidente nos diversos
contextos escolares. Percebe-se que, ao longo da educação básica, a escola
alfabetiza na linguagem materna sem considerar a relação desta com a linguagem
matemática. Daí uma das justificativas que reforçam o argumento de que a maioria
dos alunos não é, de fato, matematicamente alfabetizada. Por essas razões, a
dissociabilidade entre a linguagem natural e a linguagem matemática contribui para
que, no percurso da educação básica, poucos alunos compreendam que o
conhecimento matemático deve auxiliar o sujeito na compreensão da realidade.
Nessa linha, é importante destacar o que afirma Klüsener, citado por Fonseca e
Cardoso (2009, p. 71), quando diz que “[...] na atualidade, as linguagens
matemáticas estão presentes em quase todas as áreas do conhecimento. Por isso,
o fato de dominá-las passa a constituir-se um saber necessário considerando o
contexto do dia-a-dia.”
Proporcionar aos alunos a possibilidade de conhecer elementos importantes
da linguagem corrente que são fundamentais na compreensão da linguagem
matemática, ou até se pensar na possibilidade de ensinar durante toda a
escolarização a trabalhar as duas linguagens de forma integrada, possibilitando
assim uma alfabetização matemática consistente, eis o grande desafio da escola.
Nesse contexto, enfatiza Danyluk:
Assim considerada, entendo que a alfabetização matemática diz respeito
aos atos de aprender a ler e a escrever a linguagem matemática, usada
nas séries iniciais da escolarização. Compreendo a alfabetização
matemática, portanto, como fenômeno que trata da compreensão, da
interpretação e da comunicação dos conceitos matemáticos ensinados na
escola, tidos como iniciais para a construção do conhecimento
matemático. Ser alfabetizado em matemática, então, é compreender o que
se lê e escrever o que se compreende a respeito das primeiras noções de
lógica, de aritmética e de geometria. Assim, a escrita e a leitura das
primeiras ideias matemáticas podem fazer parte do contexto de
alfabetização. (1998, p.20).

A dificuldade de apropriação da linguagem matemática talvez se dê pela falta
de vínculos entre esta e a linguagem corrente. A compreensão do que está explícito
ou implícito no texto do enunciado de um problema matemático, depende, num
primeiro plano, do domínio das ferramentas da linguagem materna, linguagem esta
carregada de signos, com respectivos significados, cada um deles necessários à
compreensão do que se deseja transmitir a partir de uma mensagem posta. Num
plano posterior, é fundamental conhecer a linguagem matemática, pois esta possui
características próprias e específicas, relacionadas à precisão, à concisão e à
universalidade. Por esse motivo, admitimos como pressuposto que não se
adquirem competências matemáticas sem que se tenha o mínimo de competências
na linguagem comum. Assim sendo, determinados termos usados em matemática
não são compreendidos sem o conhecimento do significado na linguagem corrente.
Sobre esse aspecto, ressalta D’Amore:
A língua na qual se faz matemática possui um “código semiológico
próprio”; isso acarreta várias convenções, mais ou menos explícitas: existe
o uso de escritas específicas, as expressões simbólicas, como as
fórmulas. Às vezes, elas se encontram inseridas em frases que, de resto,
pertencem à língua comum. Esse código desenvolve duas funções: uma
função de designação (recorre-se a designação para nomear um objeto);
[...] uma função de localização; [...]. (2007, p.254).

Desse modo, a necessidade de vínculos entre a linguagem comum e a
linguagem matemática é uma realidade que precisa ser considerada no processo
de aprendizagem matemática. O estabelecimento de vínculos entre as duas
modalidades de linguagens aqui referidas só é possível por meio da prática efetiva
de leitura, que ultrapassa a capacidade de decifrar e “de decodificar os símbolos da
linguagem escrita, mas exige a capacidade de atribuir significados, de processar e
interpretar criticamente as informações veiculadas.” (CORRÊA, 2009, p.97).
Nesse sentido, o nível de compreensão da linguagem corrente também
constitui fator determinante na interpretação de enunciados e resolução de
problemas matemáticos. Portanto, resolver um problema matemático para muitos
alunos, principalmente no início da escolarização, não é algo tão simples. Trata-se
de uma atividade que para ser realizada exige conhecimentos não só da linguagem
matemática, como também da linguagem materna, haja vista a necessidade de

traduzir elementos importantes relacionados aos conceitos básicos, imbricados nos
enunciados. A esse respeito, Klüsener destaca:
Dessa forma, torna-se necessário resgatar, na prática pedagógica, a
proposição de tarefas matemáticas envolvendo as diferentes expressões
da linguagem no desenvolvimento dos conceitos, noções e do próprio
pensamento. Todavia, a linguagem matemática e sua compreensão, sem
tropeços, somente serão possíveis à medida que a língua materna for
utilizada de maneira adequada, já que a informação matemática, na
maioria dos casos, nos chega mediante a linguagem oral ou gráfica.

(1998, p.190).
Importa enfatizar que as dificuldades de compreensão de enunciados de
problemas também têm a ver com elementos de comunicação com origem na
linguagem comum. Trata-se aqui das dificuldades do aluno em dar respostas aos
problemas, talvez pela sua incapacidade de verbalização10. É compreensível, nesse
aspecto, que a capacidade de verbalização esteja relacionada aos conhecimentos
da linguagem comum, indispensáveis à compreensão de termos específicos das
diversas linguagens. Dessa forma, sendo a matemática essencial às diversas
atividades humanas pela sua importância em estudos de situações relacionadas a
diferentes contextos, urge que se busquem alternativas para que o ensino da dessa
ciência possibilite a aquisição de conhecimentos necessários à compreensão de
diferentes realidades. Nesse sentido é importante fazer referencia ao que afirma
Carrasco:
[...], paradoxalmente, justo essa área de conhecimento, que tem uma
relevância tão grande dentro da sociedade e da escola, em particular, é a
mais incompreendida pelas pessoas e, consequentemente, a que atinge
maior índice de reprovação escolar. [...] é possível destacar que as
dificuldades com a matemática residem, principalmente, no
desconhecimento dos limites da matemática, na incompreensão das
relações que se estabelecem entre a matemática e as outras áreas de
conhecimento e na impossibilidade de se ler e escrever a matemática.

(1998, p.193).
Dentre as diversas funções, a principal finalidade da linguagem comum é a
comunicação. Por meio da linguagem matemática também é possível perceber o
mundo, expressar resultados de experiências desenvolvidas, argumentar sobre

Entende-se por verbalização a transmissão do conhecimento através de palavras.

determinada questão, tirar conclusões, fazer planejamentos e, posteriormente, se
tomar decisões.
2.5 O surgimento da linguagem matemática e a evolução ao longo da história
Acredita-se que a contagem tenha surgido no período paleolítico11 onde o
homem primitivo fazia marcações em ossos de animais e entalhes em pedras,
provavelmente com a intenção de aperfeiçoar uma linguagem que servisse para
auxiliá-lo no seu dia a dia. Mais adiante, com o aperfeiçoamento da ideia intuitiva
da contagem, surge o número e sua representação simbólica, invenção importante
para o desenvolvimento e aperfeiçoamento da linguagem numérica disseminada
posteriormente entre as diversas civilizações.
A Matemática surge como parte da vida diária do homem sendo uma
construção coletiva, com contribuições de diversas civilizações. O que hoje existe
de inovações matemáticas deriva das ideias primitivas.
Conjectura-se que numa fase mais adiantada da humanidade, os dedos das
mãos e pés foram recursos importantes utilizados pelo homem para representar
coleções. Hipóteses levantadas convergem para o fato de que o homem utilizava
os dedos das mãos e pés para contar em grupos de cinco, dez e até vinte. Na
realidade, dessa ideia provavelmente tenha surgido as primeiras bases numéricas,
sendo a base dez uma das grandes invenções com lugar de destaque na
matemática contemporânea.
A noção intuitiva de contar e a evolução desse ato nas diversas civilizações
ao longo dos tempos levaram a criação de representações importantes para a
humanidade. O uso constante de tais representações veio facilitar o convívio, o que
resultou, posteriormente, na utilização de uma forma de representação comum
entre povos de uma mesma civilização. A reconfiguração de expressões utilizadas
em algumas culturas veio contribuir para o aperfeiçoamento da linguagem
numérica, elemento indispensável para exprimir abstrações, o que fez dessa
linguagem, senão a maior, mas uma das mais importantes criações humanas que
veio a favorecer o desenvolvimento da matemática contemporânea.
11

Paleolítico: expressão usada no estudo da história da humanidade para fazer referência à idade da
pedra lascada.

Escritos registrados no Papiro de Rhind12, importante documento do séc.
XVII a.C. contém informações que deixam fortes indicações sobre o uso da
linguagem numérica já naquela época, com destaque especial à linguagem
aritmética relacionada a alguns dos problemas matemáticos de questões variadas,
copiadas pelo escriba Ahmes (BOYER 2010, p.10).
Por volta do séc. XVII a.C, já havia registros importantes de problemas
egípcios também copiados no papiro de Ahmes, dos quais, alguns deles são do
tipo aritmético. Havia também outros que merecem a designação de algébricos
pelo caráter da linguagem apresentada. Segundo Boyer (2010, p.11), “O prob. 24,
por exemplo, pede o valor de aha sabendo que aha mais um sétimo de aha dá 19.”
Aha13 foi a expressão utilizada para representar uma incógnita.Tais informações
evidenciam a importância da linguagem algébrica para expressar ideias
matemáticas daquela época. Vale lembrar que muito tempo depois, os estudos
realizados por Peacock por volta de 1791 d.C., separavam a álgebra em álgebra
aritmética e álgebra simbólica, o que ressalta relações importantes entre esses dois
campos da matemática (BOYER, 2010, p.399). As discussões iniciadas por
Peacock possibilitaram amplo debate sobre a verdadeira natureza da álgebra e a
importância dela para a matemática.
Também é importante destacar alguns registros de investidas da civilização
egípcia para desenvolver métodos capazes de auxiliar o cálculo de áreas, o que
vem confirmar o surgimento de elementos da linguagem geométrica já naquela
época. Segundo Boyer (2010, p.12), “a área de um triângulo isósceles era achada
tomando a metade do que chamaríamos de base e multiplicando isso pela altura.”
Esses pontos evidenciam fortes indícios de que os problemas matemáticos
relacionados às diversas civilizações da antiguidade já faziam referência a registros
de

representações

bem

característicos

das

linguagens

matemáticas

contemporâneas, seja da aritmética, da álgebra ou da geometria. Tais registros,
sejam na antiguidade ou em tempos mais próximos, foram de grande utilidade para
12

Papiro de Rhind: rolo de papiro com cerca 0,30 m de altura por 5m de comprimento, comprado
em 1858 por Henry Rhind numa cidade à beira do rio Nilo. Também conhecido como papiro de
Ahmes em honra ao escriba Ahmes que o copiou por volta de 1650 a.C.
13

A palavra aha, que significa monte, montão, foi criada pelos egípcios para representar
quantidades, sem, necessariamente, recorrer ao numeral. A referida palavra era usada pelos
egípcios para representar um valor desconhecido, o que a álgebra denomina de incógnita.

auxiliar no desenvolvimento de estratégias de resolução de situações que
caracterizam problemas matemáticos.
Na educação básica, os registros da linguagem aritmética têm uma maior
exclusividade

na resolução de problemas que trazem em sua gênese

especificidades de cálculos numéricos. Nesse aspecto, a linguagem aritmética tem
em sua essência a simbologia numérica, bem como a simbologia específica das
operações fundamentais com os números.
Nos problemas que exigem a necessidade de generalizações e abstrações,
a aritmética não participa como elemento principal, mas tem um caráter decisivo na
construção das estruturas do pensamento matemático bem como na referida
resolução. Nesse contexto, os elementos ou registros representativos da álgebra
elementar ou álgebra clássica, mais precisamente os coeficientes e as incógnitas,
passam a ter maiores destaques.
Convém destacar que cada linguagem possui os seus elementos
representativos, ou seja, os seus significantes, estes bem relacionados com os
respectivos

significados.

Na aritmética, operadores

numéricos com suas

características próprias e universais funcionam como leis que devem ser
obedecidas em sua totalidade.
Cada registro representativo desempenha um papel dentro da linguagem,
sendo imprescindível o conhecimento de seu significado. Na álgebra eles podem
assumir a função de coeficiente, incógnita e etc. São usados para possibilitar uma
aproximação do abstrato ao concreto.
Na geometria euclidiana trabalhada na educação básica, os registros de
representações também são essenciais. Como exemplo deles tem-se os registros
representativos das figuras planas e das figuras espaciais que auxiliam na
estruturação do pensamento matemático, fundamental para a compreensão de
enunciados e posterior resolução de problemas.
A matemática que se tem hoje foi construída partindo do conceito de
número, grandeza e forma, o que leva a conjecturar nesse contexto que a
aritmética e a geometria estão bem mais próximas do homem primitivo do que a
álgebra, visto que foi ele quem, de forma intuitiva, utilizou as primeiras ideias que
têm maior aproximação aos dois primeiros campos citados (BOYER, 2010 p.01). Já

a álgebra, campo da matemática que trata das abstrações, deduções e
demonstrações, fundamental nas generalizações pelo seu caráter formalista,
assume papel importante em momento posterior.
2.6 O domínio das linguagens: um caminho para a consolidação do
pensamento matemático na resolução de problemas

Perceber ideias matemáticas se constitui no marco inicial para o despertar
do pensamento matemático. Compreender a essência dessas ideias requer
conhecimentos de outros elementos essenciais, tais como, os conceitos, as
linguagens

representação

contextos.

Como

“compreender

essencialmente relacionar”, como dizem Onuchic e Allevato (2004, p.222), pode-se
deduzir que a compreensão se concretiza quando o aluno é capaz de relacionar
uma determinada ideia matemática a contextos diversos, o que, supostamente,
requer a interação entre linguagens para a consolidação do pensamento
matemático.
Quando tratamos de interpretações e resoluções de problemas matemáticos,
é importante considerar que os enunciados dos referidos problemas estão
intimamente ligados a um gênero textual cuja característica básica está
relacionada ao raciocínio dedutivo e hipotético. Nesse aspecto, ter clareza sobre a
linguagem da lógica, da aritmética, da álgebra e da geometria é fato relevante a
ser considerado na interpretação do problema, pela importância dessas linguagens
desde a construção da estratégia de resolução, até a compreensão do que foi
proposto.
Compreende-se a lógica como a representação das estruturas e operações
do pensamento; a aritmética, como o campo da matemática que estuda as
propriedades dos números, mais precisamente as regras de cálculos para operálos; a álgebra como o campo da matemática relacionado às leis e processos com
entidades abstratas, ou seja, os termos desconhecidos que denominamos de
incógnitas, elementos bem característicos da álgebra elementar, e a geometria o
campo destinado aos estudos das formas.

Na resolução de um problema matemático, as linguagens da lógica, da
aritmética, da álgebra, e da geometria devem estar muito bem relacionadas com
os textos dos enunciados dos problemas específicos, de forma a representar,
através dos registros de cada linguagem, a clareza do pensamento matemático
explícito e/ou oculto nos textos dos enunciados propostos.
É necessário entender que a primeira etapa de resolução de um problema
matemático trata da compreensão. Num segundo momento é preciso estabelecer
um plano de ação. Em seguida executa-se o plano. Por último, discute-se a
resolução, no sentido de verificar se há coerência entre a solução encontrada, o
plano estabelecido e as informações contidas no enunciado (POLYA, 2006, p.4).
De um modo geral, há indicações de que não se realiza o percurso
estabelecido por Polya através das fases por ele estabelecidas para se resolver um
problema sem o uso da interação entre as linguagens dos diversos campos da
matemática com a língua materna.

2.6.1 A linguagem aritmética

Não há registros precisos que indiquem quando teria o homem começado a
fazer matemática. Há indícios de que as primeiras manifestações humanas sobre o
uso de matemática se iniciam a partir do ato de contar. É fundamentado nessa
discussão que há suposições de que elementos constituintes do que hoje
chamamos aritmética, tenham sido talvez as primeiras manifestações humanas
sobre a ciência matemática.
A história registra o ato dos pastores controlarem suas ovelhas fazendo
marcas no cajado ou contando pedras, ação que deu origem a primeira operação
matemática (CARVALHO, 2010, p.13). O ato de relacionar, um a um, elementos
de dois conjuntos distintos, talvez tenha ocorrido bem muito antes do ato de medir,
mesmo sabendo que este último, também caracteriza relacionar, pois medir é o ato
de comparar.
Da necessidade do homem controlar quantidades nasce o número, ideia
intuitiva, que mais adiante, em decorrência do avanço da humanidade foi ampliada

e aperfeiçoada dando origem ao que foi denominado de sistemas de numeração
(CARVALHO, 2010, p.13).
Dos sistemas de numeração desenvolvidos pela humanidade, destacamos o
sistema hindu, que mais adiante ficou conhecido como sistema de numeração indoarábico, pelo fato da divulgação deste pelos povos árabes (CARVALHO, 2010,
p.15).
Em qualquer sistema há necessidade de regras para operações. Nos
sistemas numéricos estas regras estão bem definidas e, para efeito de
organização, foram sistematizadas em um campo matemático denominado de
aritmética. Do ponto de vista teórico, a aritmética envolve o estudo das
propriedades dos números, mais precisamente as regras de cálculos para operálos. Nesse sentido, num primeiro plano, os números ocupam lugar de destaque na
matemática, pois, indicam representação de uma quantidade resultante de uma
comparação entre uma grandeza e uma unidade. Se a grandeza é discreta, a
comparação é uma contagem e, o resultado é um número natural (DANTE, 2004,
p.21).
Pela importância dos números nos diversos campos da matemática, e, em
particular, na resolução de problemas matemáticos, compreender o significado da
aritmética é de extrema necessidade. Afinal, a compreensão de qualquer que seja
o campo da matemática requer a compreensão de números, bem como, das
linguagens necessárias para operá-los.

2.6.2 A linguagem algébrica

A Álgebra tem em sua origem a tendência à generalização e abstração,
características importantes que fazem dessa ciência o grande elo entre os diversos
campos da matemática, inclusive a lógica (FIORENTINI; MIGUEL; MIORIM, 1993,
p. 83).
O desconhecimento da importância da álgebra tem contribuído para que
seus elementos conceituais, bem como a sua linguagem, sejam pouco explorados
nos diversos contextos da educação básica no Brasil, fato que torna pouco
importante, para alguns, o uso desse campo da matemática na compreensão do

pensamento matemático e na resolução de problemas, razão pela qual possa se
intensificar a rejeição à matemática nesse segmento da educação brasileira.
Estudos revelam que o trabalho com a álgebra vem ocorrendo de forma
automatizada sem qualquer significação social e lógica, ou seja, completamente
dissociada dos contextos (FIORENTINI; MIGUEL; MIORIM, 1992, p. 40). Nesse
sentido, o ensino da álgebra vem acontecendo de forma superficial, não
contribuindo para que os objetivos desse campo da matemática possam ser
compreendidos em seu sentido mais amplo, ou seja, a possibilidade de dar suporte
aos demais campos do conhecimento matemático.
Convém registrar que a base conceitual da álgebra vai muito além das
incógnitas, dos famosos x e y. Para Fiorentini, Miguel e Miorim (1993, p.78), o
objeto de estudo dessa ciência ultrapassa “o domínio exclusivo do estudo das
equações e das operações clássicas sobre quantidades generalizadas, discretas
ou contínuas. Assim sendo, o desconhecimento de questões conceituais e
postulacionais vem contribuir para que haja equívocos na interpretação do
verdadeiro sentido e objetivos desse campo da matemática.
Outro ponto importante a ser considerado é que a álgebra possui uma
linguagem universal. Ela evoluiu a partir de contribuições de culturas diversas, a
exemplo, a egípcia, a babilônica, a grega, a chinesa, a hindu, a arábica, e a
européia, o que permitiu uma linguagem concisa de maior amplitude, condição
necessária e suficiente para transitar entre todos os campos da matemática
(FIORENTINI; MIGUEL; MIORIM, 1993, p.79).
Na realidade, a álgebra, que nos últimos tempos ficou muito bem delineada
entre álgebra clássica ou elementar14 e álgebra moderna ou abstrata15, passou por
grandes debates ao longo dos tempos, tendo a sua linguagem, no seu processo de
evolução, passado por três momentos importantes: a fase retórica ou verbal onde

A álgebra clássica, álgebra antiga ou álgebra elementar trata do estudo das equações e métodos
de resolvê-las.
15

A álgebra moderna ou abstrata estuda as operações arbitrariamente definidas sobre objetos
abstratos, estruturas matemáticas não necessariamente interpretáveis em termos quantitativos, tais
como grupos, anéis, corpos, etc. (FIORENTINI; MIGUEL; MIORIM, 1993, p.78).

não se fazia o uso de símbolos para representar o pensamento algébrico16, uma
vez que este era representado integralmente na linguagem corrente; a fase
sincopada em que se utilizava uma forma mais abreviada e concisa onde se
usavam palavras e símbolos; e a fase simbólica, momento em que o pensamento
algébrico passa a ser representado somente através de símbolos (FIORENTINI;
MIGUEL; MIORIM, 1993, p.79 e 80).
Apesar do avanço considerável que teve a linguagem algébrica nos seus
aspectos exteriores, para Fiorentini, Miguel e Miorim (1993, p.80), foi a “significação
atribuída aos símbolos”, o grande passo que aproximou linguagem e pensamento
algébrico, possibilitando um maior grau de concisão dessa linguagem, o que
contribuiu para o avanço da álgebra desde a resolução de problemas elementares
até se chegar ao cálculo infinitesimal.
Falando mais especificamente da álgebra clássica ou elementar, é
importante perceber que qualquer problema que possa ser solucionado através dos
números, certamente pode ser relacionado a partir de equações. Tal questão fica
bem evidente na linguagem cotidiana pela incorporação do verbo “equacionar”,
pois, é simples compreender que equacionar um problema é construir uma
provável igualdade através da qual se torna possível resolvê-lo (GARBI, 2009,
p.01).
As equações algébricas17, ao menos do ponto de vista prático, talvez,
representem a parte mais importante da matemática. Em seus aspectos mais
elementares, elas estão presentes nas diversas situações do cotidiano, o que vem
a confirmar o papel das referidas equações na resolução de problemas.
Cabe salientar, portanto, que as formas mais simples de equações
algébricas aparecem quase que naturalmente nos argumentos de pensadores
matemáticos antigos, o que se confirma a partir do momento em que o homem

Pensamento algébrico: forma de percepção e compreensão das representações e generalizações
das ideias matemáticas abstratas.
17

De acordo com Garbi (2009, p.4), equações algébricas são aquelas em que a incógnita aparece
apenas submetida às chamadas operações algébricas: soma (adição), subtração, multiplicação,
divisão, potenciação inteira (embora a potenciação inteira seja um caso particular de multiplicação
de n fatores iguais, ela está sendo deixada em destaque por questão de clareza) e radiciação.

começou a calcular, contar rebanhos, trocar produtos, contabilizar impostos, como
também nas construções das primeiras obras de engenharia (GARBI, 2009, p.5).
A possibilidade de relacionar contextos à álgebra permite criar um ambiente
propício à aprendizagem matemática de uma forma significativa, (BORRALHO;
CABRITA; PALHARES; VALE, 2007, p.5.). Vale ressaltar que a linguagem
algébrica tem especificidades tanto da linguagem aritmética quanto da linguagem
natural (KLÜSENER, 1998, p.190). Nessa direção, os conhecimentos prévios
adquiridos pelo sujeito podem servir como estratégias para a compreensão da
linguagem algébrica pela linguagem natural, contribuindo para que se perceba que
matemática não é apenas manipulação de símbolos que obedecem a regras, mas
que, acima de tudo, pode contribuir na compreensão e construção de padrões18
(KLÜSENER, 1998, p.183).
Há situações em que a álgebra está muito relacionada à generalização da
aritmética na intenção de buscar padrões numéricos. É importante ter clareza de
que a busca por padrões numéricos é apenas uma das diferentes perspectivas que
a álgebra proporciona. A possibilidade de criar padrões diversos de generalização
faz desse campo da matemática uma poderosa estratégia de resolução de
problemas, talvez, pelo fato de poder relacionar a linguagem algébrica a diferentes
contextos da vida real (BORRALHO; CABRITA; PALHARES; VALE, 2007, p.5).
Assim, fica evidente a riqueza e a importância da álgebra no desenvolvimento da
matemática e áreas afins, bem como a utilidade na construção de estratégias de
resolução de problemas matemáticos.

2.6.3 A linguagem geométrica

Os primeiro registros matemáticos têm relações importantes com o contar e
o medir. Registros primitivos relacionados com conceito de número, grandeza e
forma podem ter suas origens nos primeiros tempos da humanidade, (BOYER,
2010, p.1).
Alguns problemas primitivos que caracterizam sobrevivência são de
natureza geométrica, fato que nos leva a conjecturar que a matemática possa ter
18

Padrão é um modelo representativo que serve como comparativo. É uma generalização de
situações que possuem características comuns.

nascido na geometria, pois, os conceitos matemáticos que estão mais próximos de
nossa percepção são de natureza geométrica.
O desenvolvimento da fase simbólica da geometria pode ter suas origens
nos triângulos e nas pirâmides do antigo Egito, local onde Tales passou longos
períodos buscando explicações teóricas para fatos empíricos anteriormente
descobertos naquela região (MLODINOW, 2010, p. 25).
A ideia intuitiva de contar, ou seja, a ideia de relacionar objetos um a um,
talvez tenha sido o marco inicial, o ponto de partida para o desenvolvimento do
pensamento abstrato, o caminho pelo qual possa ter contribuído para o
desenvolvimento de ideias matemáticas posteriores.
Antes dos gregos, a geometria era puramente experimental, sem que
houvesse uma preocupação com os princípios matemáticos que regiam os
conhecimentos geométricos. Por volta de 600 a.C., filósofos e matemáticos gregos,
entre os quais podemos citar Tales de Mileto e Pitágoras, passaram a reorganizar
conhecimentos da época, sendo atribuído a Tales o título de primeiro matemático
verdadeiro, por ser o precursor da organização dedutiva da geometria (BOYER,
2010, p.32).
Acredita-se que a geometria foi realmente desenvolvida a partir do grego
Euclides, considerado o organizador e sistematizador dos conhecimentos
geométricos que outros povos haviam desenvolvido de forma desordenada. Esta
questão, talvez possa justificar o fato de Euclides não ter reivindicado originalidade
em relação à sua obra (MLODINOW, 2010, p. 40).
A história da geometria tem sua origem no Egito e está relacionada ao
problema da reconstituição dos limites dos terrenos após as enchentes do Nilo,
surgindo, então, como ciência empírica. Entretanto, o momento culminante no
desenvolvimento da geometria como ramo da matemática se produz quando
Euclides escreve “Os Elementos (século II a.C)”, sintetizando o saber geométrico
de sua época.
Euclides de Alexandria foi o homem, cuja obra, pela sua abordagem
filosófica, definiu a natureza da matemática. Considerado por muitos o arquiteto do
primeiro relato abrangente sobre a natureza do espaço bidimensional, através do
raciocínio puro, Euclides deixou em sua obra “Os Elementos” uma importante

contribuição sobre a geometria, por apresentar definições precisas, permitindo uma
ampla compreensão de todas as palavras e símbolos constituintes da linguagem a
qual utilizou (MLODINOW, 2010, p. 40). Seu grande trabalho foi reunir em 13 livros,
sob o título de “Os Elementos”, provavelmente, tudo o que se sabia sobre
geometria em seu tempo.

Segundo Giovanni (1994, p.408), “para Euclides, a

Geometria era uma ciência dedutiva cujo desenvolvimento partia de certas
hipóteses básicas: axiomas ou postulados.” 19
Na geometria de Euclides se faz destaque especial à primeira
axiomatização na história da matemática, contribuindo e fortalecendo o uso das
demonstrações como

meio de argumentar

e contrargumentar

sobre as

propriedades do espaço bi e tridimensional. Segundo Labore, citado por Gálvez
(2001, p. 237), a geometria da matemática não é o estudo do espaço e de nossas
relações com o espaço, mas lugar em que é exercido um raciocínio levado à sua
excelência máxima.
As ideias desenvolvidas por Euclides foram essenciais para fundamentar
estudos importantes relacionados à matemática e áreas afins. A geometria
euclidiana, pelas relações de proximidades aos diversos contextos, continua sendo
amplamente utilizada nos dias de hoje, e, pela importância da mesma, se constitui
em elemento essencial a ser trabalhado nos currículos da educação básica, devido
à importância dela na resolução de problemas.

Conforme destaca Giovanni (1994), um axioma ou postulado é uma sentença ou proposição que
não é provada ou demonstrada e é considerada como óbvia ou como um consenso inicial,
necessário para a construção ou aceitação de uma teoria.

3 PROCEDIMENTOS DE PESQUISA

Para o desenvolvimento desta pesquisa optou-se pela abordagem
qualitativa, a qual tem o ambiente natural como sua principal fonte de dados. Nessa
abordagem metodológica, o pesquisador, ao realizar o seu trabalho, passa a ser
parte da pesquisa, pois interpreta os fenômenos em seu contexto, atribuindo-lhes
significado, desempenhando um papel importante, sendo considerado um
instrumento de destaque, pois cabe a ele identificar, registrar e descrever
detalhadamente situações dos contextos da vida real (FORMOSINHO apud
CARVALHO, 2009, p.23). Esses elementos serão de grande relevância para a
pesquisa. Segundo Ludke e André citado por Fiorentini e Lorenzato (2007, p. 108),
a observação possibilita um contato pessoal e estreito do pesquisador com o
fenômeno pesquisado, o que apresenta uma série de vantagens. Em primeiro lugar,
a experiência direta é sem dúvida o melhor teste de verificação da ocorrência de
um determinado fenômeno.
Para a abordagem ora apresentada, será adotada a modalidade de estudo
de caso que é entendido como um método ou modelo didático de pesquisa que
auxilia no estudo detalhado de um contexto, de um indivíduo, de uma única fonte
de documentos, de um acontecimento específico.
Um caso pode ser uma pessoa, um evento, uma entidade, uma instituição, e
até mesmo um programa. Na realidade, o estudo de caso visa a uma descoberta e
procura fazer a interpretação de um contexto, buscando retratar a realidade de
forma profunda a partir de uma representação sistemática de uma instância
específica

significativa

todo,

fundamentado

num

quadro

teórico

preestabelecido. Nessa direção, Fiorentini e Lorenzato, comentam:
O caso não significa apenas uma pessoa, um grupo de pessoas ou uma
escola. Pode ser qualquer “sistema delimitado” que apresente algumas
características singulares e que façam por merecer um investimento
investigativo especial por parte do pesquisador. Nesse sentido, o caso
pode ser uma instituição, um programa, uma comunidade, uma
associação, uma experiência, um grupo de professores de uma escola,
uma classe de alunos ou até mesmo um aluno diferente dos demais que
apresente características peculiares. (2007, p.110).

Por esta razão e entendendo que a modalidade adotada atende ao estudo
proposto, e por considerar que ler e escrever são requisitos necessários para a
interpretação dos enunciados dos problemas matemáticos, foram delimitados como
universo de pesquisa duas escolas localizadas na cidade de Maceió, onde
investigamos quais estratégias de resolução de problemas matemáticos os alunos
do quinto e nono ano do ensino fundamental e terceiro ano do ensino médio
utilizaram, considerando a compreensão dos enunciados matemáticos.
3.1 Procedimentos para coleta de dados

A coleta de informações em campo exigiu negociações prévias com os
envolvidos. Dessa forma, todos os sujeitos que participaram da pesquisa, quando
maiores de idade, assinaram Termo de Consentimento Livre e Esclarecido (Anexo
A) inteirando-se dos objetivos e procedimentos a serem adotados. Quanto aos
menores de idade, os referidos termos foram assinados pelos seus responsáveis
legais.

3.1.1 Escolha das escolas

Na intenção de se trabalhar com universos de sujeitos variados e devido às
dificuldades de encontrar, na cidade de Maceió, escola pública que ofertasse do
quinto ano do ensino fundamental ao terceiro ano do ensino médio, para efeito de
organização, decidiu-se adotar dois grupos assim definidos: ESC120, para
representar a rede particular, envolvendo apenas uma escola e, ESC221, para fazer
referência às duas escolas da rede pública.
Tal decisão foi fundamentada na necessidade de atingir todas as séries
previamente estabelecidas

para a investigação. Nesse sentido, o grupo

denominado ESC1 ficou constituído de apenas uma escola, pois a mesma ofertava
todas as séries da educação básica, o que contribuiu para a coleta de dados em
todas as séries estabelecidas na investigação. Já o grupo definido como ESC2, em

20
21

ESC1: representação utilizada para nomear o grupo particular que participou da pesquisa.
ESC2: representação utilizada para nomear o grupo público que participou da pesquisa.

uma das escolas foram coletados dados no quinto ano do ensino fundamental e, na
outra, no nono ano do ensino fundamental e no terceiro ano do ensino médio.
Na escolha do universo para coleta dos dados a serem utilizados neste
estudo, foram adotados os critérios que seguem:

a. Escolas sediadas na cidade de Maceió

Em se tratando da localização, foi definida a cidade de Maceió visando à
redução de custos e a facilidade de locomoção por parte do pesquisador.

b. Escolas de educação básica pertencentes à rede pública e rede particular

A primeira escolha trata do vínculo da pesquisa com a educação básica.
Quanto à escolha da rede pública e da rede particular a intenção que se teve foi ter
uma amostragem das duas principais esferas que ofertam a educação básica na
cidade de Maceió, no tocante ao fenômeno investigado.

c. Facilidade de acesso para o desenvolvimento da pesquisa

Quanto a essa questão, um fator de grande relevância considerado foi a
disponibilidade da gestão, bem como dos professores responsáveis pelas turmas.
Nesse sentido, as consultas feitas aos gestores, em alguns casos, foram
encaminhadas por telefone, onde foram agendados momentos com os mesmos e
com os respectivos coordenadores pedagógicos das escolas escolhidas.
Num segundo momento, foi apresentado o projeto de pesquisa e a carta
solicitando autorização para realização de coleta de dados entre os sujeitos (Anexo
B).
Outro ponto considerado fundamental foi o interesse dos alunos em
participar de todas as fases do processo, ou seja, responder a atividade para
diagnóstico e, responder a atividade de leitura e escrita e entrevista complementar,
caso fosse selecionado na atividade para diagnóstico.

O pedido para a realização da pesquisa foi encaminhado ao Comitê de Ética
em Pesquisa em 10 de dezembro de 2010 e aprovado em 29 de fevereiro de 2012.

d. Escolas com ofertas em 2011 do quinto e do nono ano do ensino fundamental e
terceiro ano do ensino médio

Em um primeiro plano, esta decisão teve como objetivo delimitar o universo
de investigação para facilitar a coleta e análise dos dados.
Como o objeto da investigação refere-se à educação básica e trata da
interação entre a língua portuguesa e a linguagem matemática na interpretação dos
enunciados dos problemas matemáticos, adotaram-se os anos finais de cada nível
de ensino, ou seja, quinto ano do ensino fundamental I, nono ano do ensino
fundamental II e terceiro ano do ensino médio, pela significação dessas etapas para
a pesquisa, visto que os anos investigados tratam da conclusão de cada etapa.

3.1.2 Os sujeitos

Os sujeitos da pesquisa são 12 (doze) alunos da educação básica, dos
quais, 4 (quatro) deles cursam o quinto ano do ensino fundamental I, 4 (quatro)
cursam o nono ano do ensino fundamental II e 4 (quatro) cursam o terceiro ano do
ensino médio, de forma que, metade dos sujeitos de cada série pertence ao grupo
denominado ESC1 e a outra metade ao grupo ESC2.
Para elencar dois sujeitos de cada uma das séries envolvidas na pesquisa foi
aplicada uma atividade para diagnóstico em cada uma das turmas escolhidas nas
escolas que participaram da pesquisa, totalizando aproximadamente 120 (cento e
vinte) alunos, com faixa etária de 10(dez) a 13(treze) anos para o quinto22 ano,
14(catorze) a 17(dezessete) anos para o nono23 ano e 16(dezesseis) a 18(dezoito)
anos para o terceiro24 ano.
A partir da análise da atividade para diagnóstico os sujeitos foram
selecionados segundo os critérios:
22

Ensino Fundamental I.
Ensino Fundamental II.
24
Ensino Médio.
23

I. Um aluno por turma que obteve bom rendimento na atividade para
diagnóstico e que apresentou respostas corretas com estratégias interessantes;
II. Um aluno por turma que não obteve bom rendimento na atividade para
diagnóstico e apresentou respostas confusas e incompletas.
Para efeito das análises dos dados, os sujeitos da pesquisa foram nomeados
atendendo ao seguinte roteiro:
S501, S502, S503 e S504, para nomear os quatro sujeitos do quinto ano do
ensino fundamental I;
S901, S902, S903, S904, para nomear os quatro sujeitos do nono ano do ensino
fundamental II;
S30EM1, S30EM2, S30EM3, S30EM4, para nomear os quatro sujeitos do
terceiro ano do ensino médio.
Observamos que de acordo com o roteiro anteriormente citado, os dois
primeiros sujeitos nomeados em cada série, ou seja, os indicados pelos índices 1 e
2, pertencem ao grupo ESC1, enquanto que os indicados pelos índices 3 e 4,
pertencem ao grupo denominado ESC2.
3.2 Instrumentos de pesquisa

Os instrumentos utilizados para a coleta de dados constam de:
a- Atividade para diagnóstico;
b- Atividade de leitura e escrita; e,
c- Entrevista semiestruturada.

3.2.1 Atividade para diagnóstico

A partir do contato feito com os gestores das escolas e depois de
confirmadas as autorizações, foram agendados momentos com cada turma em que
todos os alunos das salas foram orientados a responder a atividade para
diagnóstico que tratou de situações problemas onde foram abordados aspectos
aritméticos, algébricos e geométricos.

Os enunciados dos problemas propostos na atividade foram direcionados de
acordo com a série ou nível específico de ensino e conforme os interesses da
pesquisa. Nesse sentido, nos problemas propostos nas referidas atividades, as
informações que poderiam contribuir na interpretação e solução dos mesmos foram
bem enfatizadas nos textos dos enunciados. Além disso, os enunciados dos
problemas sugeridos foram bem adequados às séries envolvidas na pesquisa e em
concordância com os planos de cursos, (Anexo C), fornecidos pelas escolas.
As referidas atividades foram aplicadas pelos professores da disciplina, na
presença da equipe pedagógica da escola e do pesquisador.
É importante salientar que a atividade para diagnóstico foi identificada e teve
como objetivo inicial auxiliar na seleção dos sujeitos para as etapas seguintes, ou
seja, atividade de leitura e escrita e entrevista. Para seleção referida o tipo de
registro apresentado na atividade para diagnóstico e os critérios25 já elencados
foram decisivos para a escolha dos sujeitos da pesquisa. Também é importante
destacar que, para efeito de análises, essa pesquisa também utilizará as
estratégias de resolução de problemas construídas na atividade para diagnóstico
pelos doze sujeitos selecionados.

a. Um aluno por turma que obteve bom rendimento na atividade para diagnóstico e que
apresentou respostas corretas com estratégias interessantes;
b. Um aluno por turma que não obteve bom rendimento na atividade para diagnóstico e
apresentou respostas confusas e incompletas.

Quadro 04: Atividade para diagnóstico aplicada às turmas do 5o ano do Ensino
Fundamental I

Problema 01:
Em um navio há vinte e sete carneiros e doze cabras. Qual a idade do
capitão?
Problema 02:
Numa casa há quatro cantos, em cada canto há um gato, cada gato vê três
gatos. Qual o total de gatos que existem na casa?
Problema 03:
Tinha uma quantia em reais guardada em um cofrinho. Gastei R$ 150,00 e
ainda tenho R$ 270,00. Quanto eu tinha no cofrinho?
Problema 04:
A parte destacada na malha quadriculada abaixo representa uma figura na
bandeira da escola de João. Cada lado do quadradinho mede 1 metro. Quantos
metros de fita serão necessários para contornar essa figura?

Fonte: Problema 01- Adaptado do texto Contrato Didático, (Silva, 2008, p.55).
Problemas 02 e 03 Adaptados do livro Problemas? Mas que Problemas?!
Estratégias de resolução de problemas matemáticos em sala de aula. (Carvalho,
2007, p.21 e 26). Problema 04 – Extraído da Prova Brasil 2009.

Quadro 05: Atividade para diagnóstico aplicada às turmas do 9o ano do Ensino
Fundamental II
Problema 01:
Em uma granja há galinhas e coelhos, num total de 26 cabeças e 64 pés.
Quantas são as galinhas e quantos são os coelhos?

Problema 02:
Uma professora ganhou ingressos para levar 25% (vinte e cinco por cento)
de seus alunos ao circo da cidade. Considerando que essa professora leciona
para 36 alunos, quantos alunos ela poderá levar?
Problema 03:
Imagine que você seja o maquinista de um trem que partiu da estação
ferroviária localizada no centro de Maceió-Al, com 20 pessoas, das quais, 10 são
jovens, e os demais formam um grupo de dois casais de idosos acompanhados de
seis crianças. Em seguida, pára na estação de Bebedouro e descem 3 jovens e
entram 8 senhoras. Mais adiante, na estação de Fernão Velho, descem 4 jovens e
sobem 11 componentes de um grupo de pastoril, folguedo típico do Estado de
Alagoas. Sabendo-se que até a estação ferroviária de Lourenço de Albuquerque
localizada na cidade de Rio Largo-Al, destino final do percurso, houve apenas
mais uma parada, provavelmente na cidade de Satuba-Al, onde subiu um grupo de
forró composto por 4 membros, e que o trem chegou ao destino final com apenas
16 pessoas, qual é a idade do maquinista?

Fonte: Problema 01 - Adaptado pelo autor desta dissertação. (2012). Problema 02 Prova Brasil 2009. Problema 03 - Construído pelo autor desta dissertação. (2012).

Quadro 06: Atividade para diagnóstico aplicada às turmas do 3o ano do Ensino
Médio
Problema 01:
Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a
partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para uma
tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas.

As sobras de material da produção diária das tampas grandes, médias e pequenas
dessa empresa são doadas, respectivamente, a três entidades: I, II e III, para
efetuarem reciclagem do material. A partir dessas informações, qual das três
entidades recebe menos material?
Problema 02:
O nível da água em um reservatório rebaixa segundo um comportamento linear
representado pela relação entre as variáveis t e V, onde t é o tempo dado em
minutos e V é o volume dado em litros. A partir das observações que se iniciam
com a abertura de uma torneira observa-se a relação entre as variáveis t e V, de
acordo com os dados que seguem: V(0) = 500, V(1) = 490, V(2) = 480,..., V(49)
=10 e V(50) = 0. De acordo com os dados do enunciado, responda:Qual o volume
de água que existia no reservatório antes da torneira ser aberta?Em quanto tempo
o reservatório estará completamente vazio?Qual a vazão de rebaixamento?
Problema 03:
O elevador de um edifício de 10 andares parte do térreo com 4 pessoas: duas
mulheres, 1 homem e uma criança. Pára no 5o andar e aí sai uma mulher e entram
3 homens. No 7o, saem 2 pessoas. Sabendo-se que houve apenas mais uma
parada no 9o onde não desceu nenhuma criança e que o elevador chegou ao 10o
andar com 11 pessoas, pergunta-se qual é a idade do ascensorista?
Fonte: Problema 01 - ENEM 2004. Problema 02 - Adaptado pelo autor desta
dissertação. (2012). Problema 03 - Adaptado do texto: Contrato Didático, (Silva,
2008, p.57).

3.2.2 Atividade de leitura e escrita

A atividade de leitura e escrita foi respondida por dois alunos de cada série
por turma, escolhidos a partir dos critérios26 elencados e teve como finalidade
coletar informações sobre o nível de leitura e escrita dos sujeitos selecionados.
Nesse momento, deveriam participar dois alunos por turma, num total de
12(doze), escolhidos a partir da atividade para diagnóstico anteriormente aplicada.
No grupo ESC1, um aluno do terceiro ano do ensino médio, previamente
selecionado para essa etapa, não compareceu. Por esse motivo, os dados de
nossa investigação referem-se apenas a 11(onze) sujeitos selecionados.
A referida atividade foi constituída conforme modelo que segue.
Quadro 07: Atividade de leitura e escrita aplicada aos alunos do 5o e 9o ano do
Ensino Fundamental e 3o ano do Ensino Médio.
Orientações para responder a Atividade de Leitura e escrita
I. As questões que seguem foram propostas na atividade para diagnóstico
da qual você participou.
II. Utilize o espaço reservado à resolução de cada questão para escrever
suas respostas de acordo com os enunciados dos problemas que seguem.
TIPO I:
Pergunta única para todos os problemas:
Como você entendeu o enunciado do problema? Escreva cada etapa que
você utilizou até chegar à solução.
TIPO II:
Pergunta única para todos os problemas:
Se você não entendeu o enunciado do problema, explique o porquê de
não ter entendido.
Fonte: Construído pelo autor desta dissertação. (2012).

Nessa atividade, os sujeitos selecionados explicitaram, quando possível,
através da escrita, sobre a compreensão ou não dos enunciados dos problemas
matemáticos anteriormente propostos na atividade para diagnóstico.

a.Um aluno por turma que obteve bom rendimento na atividade para diagnóstico e que
apresentou respostas corretas com estratégias interessantes;
b.Um aluno por turma que não obteve bom rendimento na atividade para diagnóstico e
apresentou respostas confusas e incompletas.

A seleção para esta etapa obedeceu aos critérios:
a. Um aluno por turma que obteve bom rendimento na atividade para
diagnóstico e que apresentou respostas corretas com estratégias interessantes foi
submetido à atividade do tipo I;
b. Um aluno por turma que não obteve bom rendimento na atividade para
diagnóstico e apresentou respostas confusas e incompletas foi submetido à
atividade do tipo II.
.
3.2.3 Entrevista semiestruturada

Os 11 (onze) sujeitos selecionados que participaram da atividade de leitura e
escrita também participaram da entrevista semiestruturada atendendo ao roteiro
que segue.

Quadro 08: Entrevista aplicada aos alunos do 5o e 9o ano do Ensino Fundamental
e 3o ano do Ensino Médio
Perguntas: QUINTO ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL I

1. O que você utilizou para encontrar a idade do capitão?
2. Como você percebeu o total de gatos que existia na casa?
3. Como você encontrou a quantia? Há como provar que no cofrinho existia
essa quantia?
4. Como você encontrou a quantidade de fita necessária?
Perguntas: NONO ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL II

1. Explique como você entendeu o problema. Você relacionou algum dado
do problema com conhecimentos matemáticos?
2. O que você entende por 25% (vinte e cinco por cento)?
3. Como calculou a idade do maquinista? Que operação matemática
utilizou?
Perguntas: TERCEIRO ANO DO ENSINO MÉDIO

1. Explique como você entendeu o problema. Houve necessidade de usar a
fórmula da área do quadrado e do círculo?
2. Como os dados do enunciado ajudaram a encontrar a resposta?
3. Explique como você entendeu o problema. Em que informações você se
fundamentou para afirmar a idade do ascensorista?
Fonte: Construído pelo autor desta dissertação. (2012).
Na entrevista também foram coletadas informações sobre a compreensão ou
não dos sujeitos sobre os enunciados dos problemas que constituíram a atividade
para diagnóstico e a atividade de leitura e escrita. A intenção que se teve nesse
momento foi investigar como os sujeitos utilizaram os recursos da língua materna

para interpretar os enunciados dos problemas matemáticos e como relacionaram
elementos das linguagens envolvidas até chegar à solução do problema.
As entrevistas foram gravadas em áudio, com tempo médio de seis minutos
por sujeito entrevistado e transcritas integralmente pelo pesquisador. As entrevistas
foram realizadas em diferentes momentos, atendendo à disponibilidade da escola,
dos sujeitos participantes e da equipe pedagógica.
Todas as atividades foram acompanhadas pela coordenação pedagógica da
escola e autorizadas pelos pais ou responsáveis pelos sujeitos participantes da
pesquisa.

3.2.4 Documentos

Os planos de curso da disciplina matemática referentes às séries envolvidas
na investigação tiveram como utilidade auxiliar na delimitação dos conteúdos a
serem trabalhados nas atividades e entrevistas aplicadas aos alunos e,
posteriormente, aos sujeitos da pesquisa.
Os documentos consultados foram:
a. plano de curso da disciplina matemática do quinto ano do ensino fundamental I;
b. plano de curso da disciplina matemática do nono ano do ensino fundamental II;
c. planos de curso da disciplina matemática do terceiro ano do ensino médio;
Para melhor visualização dos documentos observar Anexo C.
3.3 Procedimentos para análises dos dados

Entender o significado de um registro matemático requer o conhecimento de
elementos conceituais e elementos de linguagens bem peculiares, pois, para
D’Amore (2007, p.248) “a Matemática desenvolveu uma espécie de língua
particular para transmitir o seu pensamento”. Por essa razão, acredita-se na
necessidade de o aluno usar o português específico e instrumental necessário à
compreensão da linguagem matemática.
Compreender o processo de interação entre a linguagem matemática e a
língua materna é algo muito singular, pois se por um lado temos que entender a

língua particular da matemática, por outro, precisamos compreender o significado
do registro produzido, o que, supostamente, requer conhecimentos da língua
natural27 para uma análise mais detalhada. Nesse sentido, o uso do método de
análise de conteúdo é de grande relevância, visto que a possibilidade do
pesquisador fazer inferências é um recurso de grande utilidade (FRANCO, 2008, p.
24). Nesse aspecto, para que o conteúdo explícito e/ou implícito revelado nos
registros produzidos por um sujeito possa ser bem interpretado, no sentido de que
os resultados tenham relevância para a investigação, também é fundamental
considerar os contextos nos quais as mensagens foram produzidas, sejam elas
verbais (oral ou escrita), figurativas ou documentais (FRANCO, 2008, p.19).
No caso específico do nosso estudo, a análise do conteúdo teve como
objetivo buscar nas mensagens explícitas e/ou implícitas nas estratégias de
resolução de problemas utilizadas pelos sujeitos selecionados, elementos que
pudessem ser utilizados no sentido de se construir argumentos que indicassem
para a existência de relações importantes entre a linguagem matemática e a língua
materna usadas para fins de compreensão de enunciados de problemas
matemáticos.
As estratégias de resolução de problemas as quais nos referimos tratam dos
registros representativos do tipo: desenhos, gráficos, esquemas, textos escritos
etc., construídos na atividade para diagnóstico.
Também se utilizou para análises os conteúdos de textos escritos produzidos
na atividade de leitura e escrita e conteúdos verbais coletados nas entrevistas,
instrumentos de coleta de dados aplicados aos 11 (onze) sujeitos selecionados.
Os conteúdos referentes às estratégias construídas na atividade para
diagnóstico, aos textos construídos na atividade de leitura e escrita e às
informações verbais decorrentes da entrevista, todos produzidos pelos sujeitos
selecionados, foram analisados, tomando-se como referência as categorias de
análises, assim definidas:
a. Problemas com insuficiência de dados, estilo problema do capitão;
b. Problemas que envolvem lógica;
27

Língua natural é uma expressão utilizada para fazer referência à língua materna.

c. Problemas que envolvem álgebra elementar;
d. Problemas que envolvem aritmética e álgebra elementar;
e. Problemas que envolvem geometria euclidiana.
Esta análise teve como objetivo, investigar nos registros produzidos pelos
sujeitos se existem elementos relacionados à interação entre as linguagens, ou
seja, quais estratégias de resolução de problemas matemáticos os alunos
utilizaram considerando a compreensão dos mesmos sobre os enunciados.
A análise dos dados produzidos pelos sujeitos a partir dos instrumentos
anteriormente anunciados foi pautada na análise de conteúdo. Segundo Bardin
citado por Franco (2008, p.24), a análise de conteúdo pode ser considerada como
um conjunto de técnicas de análises de comunicações, que utiliza procedimentos
sistemáticos e objetivos de descrição do conteúdo das mensagens. [...]. A intenção
da análise do conteúdo é a inferência de conhecimentos relativos às condições de
produção e de recepção das mensagens, inferência esta que recorre a indicadores
(quantitativos ou não).
Para aprofundar as análises dos dados referentes às cinco categorias
elencadas, num primeiro momento, foram escolhidas a partir da atividade para
diagnóstico, estratégias construídas pelos sujeitos selecionados e consideradas
significativas, do ponto de vista do objeto a ser investigado.
Ainda de acordo com as cinco categorias elencadas anteriormente, também
foram analisados os conteúdos mais significativos selecionados a partir da
atividade de leitura e escrita e entrevista, aplicadas aos sujeitos da pesquisa.
Tomou-se

este

caminho

intenção

identificar

elementos

argumentativos que pudessem contribuir para a confirmação e/ou refutação do que
adotamos anteriormente como pressupostos, pois o nosso foco de análise é o
processo de interação entre a linguagem matemática e a língua materna na
resolução de problemas. É por essa razão que estamos interessados nos registros
de representação, textos e falas produzidos pelos sujeitos, pois segundo Franco
(2008, p. 16) “o que está escrito, falado, mapeado, figurativamente desenhado e/ou
simbolicamente explicitado”, sempre será o marco inicial para identificar uma
mensagem, seja ela explícita e/ou implícita.

Os dados coletados foram analisados de acordo com as etapas que seguem:

Primeira etapa: análise dos planos de curso

A análise dos planos de cursos da disciplina matemática das três séries
envolvidas na pesquisa, ou seja, quinto e nono ano do ensino fundamental e
terceiro ano do ensino médio teve como finalidade auxiliar na construção das
atividades

serem aplicadas

aos

alunos

das

escolas

participantes

consequentemente, aos sujeitos da pesquisa.
Para a escolha das situações problemas constituintes da atividade para
diagnóstico houve o cuidado de relacionar cada texto do enunciado a ser proposto
com os conteúdos abordados nos planos de curso das séries investigadas. Nesse
sentido, foi observado se o objetivo que se pretendia atingir com a aplicação de
cada problema elencado na atividade para diagnóstico preservava relações com os
objetivos dos planos de cursos anteriormente citados, lembrando, portanto, que o
objeto de investigação desta pesquisa enfatiza a relação entre as linguagens na
compreensão do pensamento matemático implícito nos enunciados dos problemas
matemáticos.

Segunda etapa: análises das estratégias de resolução de problemas produzidas na
atividade para diagnóstico pelos sujeitos selecionados

Num primeiro plano, esta etapa teve como objetivo selecionar os sujeitos da
pesquisa, conforme critérios já elencados. Por outro lado, as estratégias
construídas pelos sujeitos selecionados também foram analisadas na intenção de
investigar se as mesmas indicam relações relevantes com as linguagens
envolvidas que possam auxiliar na compreensão dos textos dos enunciados dos
problemas propostos na atividade para diagnóstico.

Terceira etapa: análise da atividade de leitura e escrita e entrevista

Num primeiro momento esta etapa da pesquisa teve como finalidade obter
informações dos sujeitos acerca dos conhecimentos de leitura e escrita da língua
portuguesa, o nível de vocabulário e a capacidade de verbalização. Nesse sentido,
procurou-se investigar como os 11 (onze) sujeitos selecionados utilizaram os
conhecimentos da língua materna na compreensão dos enunciados de problemas
matemáticos e, posteriormente, na estruturação do pensamento matemático e
construção da estratégia de resolução do problema.
Num momento posterior, buscou-se investigar se a capacidade de
verbalização dos sujeitos selecionados tem relevância significativa na estruturação
do pensamento matemático e se o sujeito a utiliza para fazer a interação entre a
língua materna e a linguagem matemática.

Quarta etapa: relacionando elementos presentes nos instrumentos de coleta de
dados

Na intenção de delimitar a investigação foram definidas como elementos de
análises cinco categorias de problemas.
Os resultados das análises de cada etapa foram comparados na intenção de
identificar elementos que pudessem contribuir para a confirmação e/ou refutação
das hipóteses levantadas.
Os resultados das análises das estratégias de resolução de problemas
produzidas na atividade para diagnóstico pelos sujeitos selecionados, dos textos
construídos por esses sujeitos na atividade de leitura e escrita, e das informações
complementares produzidas pelos mesmos sujeitos quando participaram da
entrevista, foram utilizados para uma análise comparativa, na intenção de
aprofundar estudos em relação ao objeto investigado.
Vale lembrar que as representações semióticas são essenciais na
construção do pensamento matemático (MACHADO, 2003, p.13). Por essa razão,
ficou definido iniciar as análises pelas estratégias de resolução utilizadas pelos
sujeitos selecionados. Por outro lado, os registros escritos podem auxiliar na

compreensão de como se processa a matematização nos sujeitos (POWELL;
BAIRRAL, 2006, p.16). Nessa direção, é provável que os registros escritos também
possam auxiliar na compreensão do processo de interação entre as linguagens
envolvidas nos textos dos enunciados dos problemas matemáticos.

4 ANÁLISE DOS DADOS DE PESQUISA

Para dar início às análises dos dados, é relevante destacar que adotamos
como pressuposto que o domínio dos conhecimentos acerca da leitura e da escrita
da língua materna favorecem a compreensão da linguagem matemática, como
também a interpretação dos enunciados dos problemas.
É pertinente enfatizar que os registros escritos trazem, em sua essência,
informações que precisam ser compreendidas. Entender o teor das mensagens
transmitidas requer conhecimento da linguagem natural. Conhecimentos estes que
a partir do processo de decodificação contribuem na interpretação do que, de certa
forma, possa estar implícito na mensagem do texto.
No caso da nossa investigação, procurou-se identificar mensagens
relevantes registradas pelos sujeitos participantes, desde a interação dos mesmos
com os enunciados dos problemas propostos, sejam elas manifestadas através de
algoritmos, ou outras estratégias, quais sejam, registros representativos, do tipo:
desenhos, gráficos e textos em linguagem corrente, de forma que as alternativas
adotadas tenham ou não levado à compreensão e resolução do problema.

4.1 Análises dos planos de cursos
Pelas dificuldades de acesso aos planos de curso do grupo ESC2, as
análises deste item estão restritas aos documentos do grupo ESC1. Por esta razão,
mesmo considerando semelhanças entre os conteúdos programáticos trabalhados
nos dois grupos investigados, as análises constantes neste espaço não
representam a realidade do grupo denominado ESC2.
É válido acrescentar que os objetivos gerais do quinto e nono ano do
ensino fundamental e terceiro ano do ensino médio encontram-se registrados nos
planos de curso do grupo ESC1, conforme seguem. Os referidos objetivos também
estão dispostos no Anexo C.
Permitir ao educando um conhecimento sistemático sequenciado dos
elementos e das relações que compõem o universo matemático, a fim de
que o aluno possa desenvolver o raciocínio lógico, interpretando com
coerência a linguagem matemática, visando a sua aplicabilidade na
o
resolução de problemas. (ESC1, 5 ano do ensino fundamental).

Aprender Matemática de forma contextualizada, integrada a outros
conhecimentos, buscando propiciar aos alunos situações que os levem a
uma motivação no querer aprender, capacitando-o para compreender e
interpretar situações, para se apropriar de linguagens específicas,
argumentar, analisar e avaliar, tirar conclusões próprias, tomar decisões,
generalizar e para muitas outras ações necessárias à sua formação.

(ESC1, 9o ano do ensino fundamental e 3o ano do ensino
médio).
Nos objetivos elencados, há indicações de que a linguagem matemática e a
resolução de problemas vêm sendo enfatizadas no ensino da escola denominada
de ESC1. Por outro lado, os planos não explicitam se a resolução de problemas é
apenas um objetivo do ensino da matemática ou se é tratada como uma
metodologia de ensino a ser adotada para fins de aprendizagem do aluno.
Cabe ressaltar que atualmente, no ensino, é preconizado que o professor
provoque no aluno o interesse por descobertas. Tal interesse, certamente, só será
despertado se algumas adaptações forem implementadas na prática pedagógica
através de escolhas cuidadosas das questões a serem trabalhados, e, a partir das
discussões realizadas sobre os problemas, o aluno possa ser incentivado a falar,
agir e refletir, enfim, a buscar respostas para as suas indagações (BROUSSEAU,
apud FREITAS, 2008, p.84). Dessa forma, o aluno entende que o problema foi
escolhido para que ele possa aprimorar os conhecimentos, que servirão como base
na aquisição de conhecimentos novos, fundamentais para o seu amadurecimento e
crescimento.
Sob o aspecto da aprendizagem, os planos de cursos apontam a
possibilidade de preocupação com a compreensão, com a contextualização, com
as linguagens envolvidas nesse processo e, com a questão da generalização. Fato
que, supostamente, pode acenar para viabilização de discussão e construção de
padrões na resolução de problemas matemáticos.
Quanto ao conteúdo programático abordado observa-se que o plano de
curso do quinto ano do ensino fundamental I, faz referência os conteúdos
relacionados ao campo da aritmética, com pouca ênfase à álgebra e à geometria.
Já no nono ano do ensino fundamental II, a álgebra tem o seu espaço ampliado,
enquanto que a geometria aparece de forma um tanto incipiente. O campo da
geometria chega a ter destaque especial no plano de curso do terceiro ano do

ensino médio, enfatizando, quase que na totalidade, a geometria euclidiana e a
geometria analítica.
De acordo com as propostas enfatizadas nos planos de cursos, não há
nenhum elemento que caracterize inovação ou retrocesso quanto às concepções
de ensino. Pelo que está exposto nos referidos planos, é perceptível que os
mesmos não transmitem clareza quanto às concepções curriculares adotadas nas
instituições investigadas.
4.2 Análises da atividade para diagnóstico

4.2.1 Estratégias de resolução de problemas, com ênfase à compreensão de
enunciados de questões propostas no âmbito da matemática

O foco de discussão, aqui, trata das estratégias de resolução de problemas
matemáticos, produzidas pelos onze sujeitos selecionados. Nosso interesse é
investigar como as referidas estratégias traduzem a compreensão desses sujeitos
em relação aos textos dos enunciados dos problemas propostos. Nessa direção,
passaremos a analisar registros de representação28 considerados significativos,
pela importância de seus conteúdos para identificação de elementos que apontem
para a interação entre a língua materna e a linguagem matemática. Nesse sentido,
intencionamos investigar como os sujeitos selecionados utilizam os conhecimentos
dessas linguagens na compreensão dos enunciados.
Na intenção de compreender como essa interação se processa, seguem as
análises de registros representativos, construídos pelos sujeitos da pesquisa
quando da resolução dos problemas apresentados na atividade diagnóstica.
Para facilitar a compreensão, as análises foram realizadas conforme as
categorias29 de análises anteriormente elencadas e conforme roteiro a seguir:

Para efeito das análises constantes nesta investigação denominamos de registro de
representação as estratégias do tipo: desenhos, gráficos e esquemas utilizados pelos sujeitos nas
resoluções dos problemas propostos.
29

Categorias de análises: I. Problemas com insuficiência de dados, estilo problema do capitão; II.
Problemas que envolvem lógica; III. Problemas que envolvem álgebra elementar; IV. Problemas que
envolvem aritmética e álgebra elementar; V. Problemas que envolvem geometria euclidiana.

4.2.1.1 Problemas com insuficiência de dados, estilo problema do capitão

4.2.1.1.1 Quinto ano do ensino fundamental I
Quadro 09: Problema aplicado na atividade para diagnóstico
Problema 01. Em um navio há vinte e sete carneiros e doze cabras. Qual a idade
do capitão?
Fonte: Adaptado do texto Contrato Didático, (SILVA, 2008, p.55).
No problema 01 é solicitado do aluno conhecimento de leitura e
compreensão de textos, pois, há necessidade de que o mesmo compreenda o
enunciado, para que a partir da compreensão, se estabeleça um plano de ação
visando uma tomada de decisão quanto a uma provável solução (POLYA, 2006,
p.4).
Observando os registros apresentados na figura 01, pode-se depreender
que na tentativa de encontrar a idade do capitão o sujeito S502 usou um algoritmo 30,
configurado pela operação da adição dos números que representavam as
quantidades de carneiros e cabras. Nesse sentido, as mensagens registradas por
esse sujeito deixam subentendido que, para ele, na resolução de um problema
matemático o cálculo pode ser indispensável.

Consideramos algoritmos todos os estilos de procedimentos que envolvam cálculos.

Figura 01: Registros do sujeito S502 sobre a resolução do problema 01.

Fonte: Atividades aplicadas pelo autor desta dissertação. (2012).
Nas mensagens produzidas pelo sujeito S502 há indicações de que as
dificuldades de compreensão de elementos da língua materna presentes no texto
do enunciado, bem como, as relações dessa com as informações transmitidas em
linguagem matemática, podem ter contribuído para que o mesmo não tenha
percebido que no problema em cheque há insuficiência de dados. O que pode tê-lo
induzido a adotar o algoritmo como o caminho, considerado, mais adequado para
se chegar a uma suposta solução, quando disse:
O capitão tem 39 anos de idade.

As informações resultantes dos registros escritos por esse sujeito deixam
índicos de que o contrato didático31 estabelecido ao longo de sua vida escolar pode
ter priorizado o uso de algoritmos em detrimento ao uso de estratégias de leitura e
compreensão de textos de enunciados de problemas matemáticos.

Contrato didático é um conjunto de regras, em sua maioria implícitas, que os sujeitos de uma
relação didática, ou seja, aluno e professor devem prestar conta um ao outro (BROUSSEAU apud
SANTOS, 2008, p.50).

Figura 02: Registros do sujeito S501 sobre a resolução do problema 01.

Fonte: Atividades aplicadas pelo autor desta dissertação. (2012).
Ainda em relação ao problema do capitão, o sujeito S501 afirma:
Não existe capitão.

A reposta desse sujeito indica que ele percebeu a essência do enunciado,
quando afirmou que não existe capitão. Dessa forma, há indicações de que o bom
domínio da língua materna pode ter contribuído na percepção de uma provável
armadilha deixada pala influência dos números.

4.2.1.1.2 Nono ano do ensino fundamental II
Quadro 10: Problema aplicado na atividade para diagnóstico
Problema 03. Imagine que você seja o maquinista de um trem que partiu da
estação ferroviária localizada no centro de Maceió-AL, com 20 pessoas, das
quais, 10 são jovens, e as demais formam um grupo de dois casais de idosos
acompanhados de seis crianças. Em seguida, pára na estação de Bebedouro e
descem 3 jovens e entram 8 senhoras. Mais adiante, na estação de Fernão
Velho, descem 4 jovens e sobem 11 componentes de um grupo de pastoril,
folguedo típico do Estado de Alagoas. Sabendo-se que até a estação ferroviária
de Lourenço de Albuquerque, localizada na cidade de Rio Largo-AL, destino final
do percurso, houve apenas mais uma parada, provavelmente na cidade de
Satuba-AL, onde subiu um grupo de forró composto por 4 membros, e que o trem
chegou ao destino final com apenas 16 pessoas, qual é a idade do maquinista?
Fonte: Construído pelo autor desta dissertação. (2012).

O problema, ora em discussão, trata de um texto matemático carregado de
informações numéricas que precisam ser interpretadas no sentido de se perceber
que os dados constituintes dessa questão não são suficientes para se responder
ao que foi proposto. Isto nos leva a acreditar que a boa leitura auxilia na seleção
das informações que levaria o aluno a uma tomada de decisão, fato que pode
evidenciar a necessidade de domínio de uma linguagem mínima na resolução de
problemas matemáticos (PAIS, 2008, p.37).
Apesar da insuficiência de dados, os registros da figura 03 demonstram que
o sujeito S904 procurou solucionar o problema através de um algoritmo constituído
de operações aritméticas elementares, tentando relacionar os números referentes
às informações dadas com a idade do maquinista, não conseguindo obter êxito em
sua resposta, ao afirmar:
O maquinista tem 20 anos.

S902 Figura 03: Registros do sujeito sobre a resolução do problema 03.

Fonte: Atividaes aplicadas pelo autor desta dissertação. (2012).
Este fato deixa indicações de que o referido sujeito, provavelmente, não
conseguiu compreender o texto do enunciado, como também pode ficar
subentendido que esse sujeito tem a concepção de que resolver problemas
matemáticos sempre deve estar relacionado a uma solução numérica, e, que nesse

aspecto, sempre deve aplicar um algoritmo para se obter a solução. Dessa forma, a
lógica do contrato didático, segundo a qual um problema deve ter uma e uma só
resposta vigora para que tal resposta possa ser obtida usando todos os dados
numéricos presentes no enunciado (SILVA, 2008, p.56). Estas questões podem ter
contribuído para a incompreensão das linguagens envolvidas. O que pode ficar
evidente que os conhecimentos da linguagem matemática dissociados da língua
comum podem não produzir os sentidos necessários à compreensão, não sendo
suficientes para que o sujeito possa construir um plano de resolução que
proporcione êxito (POLYA, 2006, p.4).

4.2.1.1.3 Terceiro ano do ensino médio
Quadro 11: Problema aplicado na atividade para diagnóstico
Problema 03. O elevador de um edifício de 10 andares parte do térreo com 4
pessoas: duas mulheres, 1 homem e uma criança. Pára no 5o andar e aí sai uma
mulher e entram 3 homens. No 7o, saem 2 pessoas. Sabendo-se que houve
apenas mais uma parada no 9o onde não desceu nenhuma criança e que o
elevador chegou ao 10o andar com 11 pessoas, pergunta-se qual é a idade do
ascensorista.
Fonte: Adaptado do texto: Contrato Didático, (SILVA, 2008, p.57).
A ideia da aplicação deste tipo de problema também teve como propósito
relacionar as estratégias construídas com o possível domínio de interpretação do
texto do enunciado proposto.
A figura 04 enfatiza a estratégia de compreensão utilizada pelo sujeito
S30EM1, onde, no seu plano de ação construído há indicações de que num primeiro
momento, o referido sujeito pode ter tido a intenção de adotar o algoritmo como
caminho. Isto fica subentendido quando o mesmo tenta relacionar o número de
cada andar do edifício com as pessoas citadas em cada um dos referidos andares.
Observa-se, também, que mais adiante, o sujeito S30EM1, direcionou suas
análises às estratégias de interpretação de texto, quando registrou:

75
Já que só havia uma criança e esta não desceu até a última parada,
conclui-se que ela é o ascensorista, tendo entre 5 e 12 anos de idade.

Apesar do esforço, o referido sujeito não obteve sucesso. Isto talvez, pela
falta de coerência na interpretação das informações dadas, pois o mesmo também
não percebeu que o problema também trata de insuficiência de dados.
Conforme já enfatizado em nossas discussões, a resolução de problemas
matemáticos exige algumas competências, entre elas, a exigência de uma
linguagem mínima (PAIS, 2008, p.37). A falta de tal competência pode interferir na
capacidade de percepção de relações importantes entre as informações do texto
do enunciado e a pergunta a ser respondida.
Figura 04: Registros do sujeito S30EM1 sobre a resolução do problema 03.

Fonte: Atividades aplicadas pelo autor desta dissertação. (2012).

Além disso, as dificuldades de compreensão do enunciado também podem
ter contribuído para o sujeito acreditar que se existem números, estes devem ser
usados para se encontrar a solução do problema, pois, toda resolução de problema
matemático deve ter cálculos.
A figura 05 trata da estratégia utilizada pelo sujeito S30EM4 na intenção de
compreender a proposta do enunciado.
Figura 05: Registros do sujeito S30EM4 sobre a resolução do problema 03.

Fonte: Atividades aplicadas pelo autor desta dissertação. (2012).
Os registros produzidos deixam indícios de que o sujeito S30EM4 também
procurou levantar algumas informações na intenção de aplicar algum tipo de
algoritmo. Por outro lado, também há indicações de que o sujeito percebeu
incoerência no plano de resolução adotado, optando por concluir, através da
afirmação:
A idade dele está entre 18 e 69 anos, pois é a partir de dezoito que se
pode trabalhar como ascensorista e, é a partir de 69 que se aposenta.

4.2.1.1.4 Considerações acerca dos problemas

Independentemente do nível dos sujeitos investigados, os registros
produzidos pela maioria quanto aos problemas com insuficiência de dados, deixam
indícios de que na interação dos sujeitos com os enunciados pode ter havido
insuficiência na interpretação do texto, pois os registros apresentados por eles
podem sinalizar que os mesmos recorrem a outros recursos para auxiliar na
interpretação. Também há indícios de que a falta de domínio dos conhecimentos
de leitura pode ter induzido os sujeitos a utilizar estratégias de resolução
equivocadas, pois, “a exigência de uma linguagem mínima, quer seja para a
compreensão de textos ou para a própria expressão de uma ideia” é competência
necessária à resolução de problemas (PAIS, 2008, p.37). Nesse aspecto,
incoerências nas informações, geralmente, podem contribuir para que o sujeito que
não tenha um bom conhecimento das linguagens envolvidas no texto do enunciado
possa acreditar que o algoritmo é o melhor caminho para se chegar a uma provável
solução.
Como o foco principal da resolução de problemas é a compreensão, e esta
se inicia no “dar sentido” a partir de uma reflexão das ideias explícitas e/ou
implícitas no enunciado, há indicações de que faltou aos sujeitos “pensar sobre” o
enunciado, para então investigar a existência de coerência entre as informações
dadas e a pergunta a ser respondida, o que, supostamente, seria necessário a
compreensão dos elementos das linguagens envolvidas, no caso específico dessa
investigação, a linguagem corrente e a linguagem matemática (ALLEVATO;
ONUCHIC, 2004, p.223).

4.2.1.2 Problema que envolve lógica

4.2.1.2.1 Quinto ano do ensino fundamental
Quadro 12: Problema aplicado na atividade para diagnóstico
Problema 02. Numa casa há quatro cantos, em cada canto há um gato, cada
gato vê três gatos. Qual o total de gatos que existem na casa?
Fonte: Adaptado do livro Problemas? Mas que Problemas?! Estratégias de
resolução de problemas matemáticos em sala de aula. (CARVALHO, 2007, p.21).
Na situação problema em evidência, considerada de fácil compreensão para
os que dominam as linguagens envolvidas no texto do enunciado, houve relatos
que podem evidenciar dificuldades de interpretação.
A figura 06 trata do registro construído pelo sujeito S504, que, buscando
elementos que pudessem auxiliar na sua compreensão, recorreu a um desenho
como estratégia.
Analisando o registro produzido é perceptível incoerências entre o esquema
construído e o resultado encontrado. Nesse aspecto, podemos inferir que o sujeito
teve dificuldades de relacionar as informações numéricas com o contexto, mesmo
tendo representado a situação proposta.
Figura 06: Registros do sujeito S504 sobre a resolução do problema 02.

Fonte: Atividades aplicadas pelo autor desta dissertação. (2012).
Os registros da figura 07, construídos pelo sujeito S502, também podem
indicar dificuldades de compreensão de significados relacionados à língua materna.

Figura 07: Registros do sujeito S502 sobre a resolução do problema 02.

Fonte: Atividades aplicadas pelo autor desta dissertação. (2012).
Esse sujeito, talvez por não ter conseguido relacionar a palavra canto com o
verdadeiro sentido transmitido através do texto do enunciado proposto, recorreu de
imediato às operações da adição e da multiplicação, explicitando, talvez, muito
pouca, ou quase nenhuma relação contextual, chegando a afirmar:
Há na casa 21 gatos.

A palavra canto, explicitada no problema dando sentido de lugar ou espaço
da casa, pode ter contribuído na incompreensão da “ideia intuitiva de contar”.
A dificuldade de relacionar elementos da linguagem matemática aos
contextos da vida real também pode ter contribuído para que esse sujeito não
tenha conseguido produzir sentidos (SILVEIRA, 2005, p.89). Dessa forma, as
regras formais do bom pensar, sem a possibilidade de conhecimentos contextuais,
não garantem uma solução eficaz (ECHEVERRIA; POZO, 1998, p.30). Nessa
direção, pode-se perceber que o uso de estratégias sem a compreensão do texto
do enunciado também pode não ser suficiente para resolver um problema
matemático.

Figura 08: Registros do sujeito S501 sobre a resolução do problema 02.

Fonte: Atividades aplicadas pelo autor desta dissertação. (2012).
Ainda em relação a este problema, a figura 08 indica outra forma de
expressar a ideia transmitida no mesmo enunciado. Nesse caso, o sujeito S501,
através de sua estratégia, deixa indícios de que usou apenas noções de contagem.

4.2.1.2.2 Considerações acerca do problema

Um bom plano para se resolver um problema matemático é aquele que
resultou da compreensão, pois compreender é o foco central da resolução de
problemas (ALLEVATO; ONUCHIC, 2004, p.223).
Para Carvalho (2007, p.17 e 18), recursos diversos “como desenhos,
tabelas, esquemas, apoio de materiais concretos e, se for o caso, aplicando a
operação, possibilita o rompimento de um trabalho linear no ensino da
matemática”, o que acena para o processo de interação da linguagem matemática
com a língua materna no processo de compreensão, pois, segundo Allevato e
Onuchic (2004, p.222), “compreender é essencialmente relacionar” o que, nesse
aspecto, fica subentendido a importância de uma suposta interação entre as
linguagens envolvidas no enunciado.

4.2.1.3 Problemas que envolvem álgebra elementar

4.2.1.3.1 Nono ano do ensino fundamental II
Quadro 13: Problema aplicado na atividade para diagnóstico
Problema 01. Em uma granja há galinhas e coelhos, num total de 26 cabeças e
64 pés. Quantas são as galinhas e quantos são os coelhos?
Fonte: Adaptado pelo autor desta dissertação. (2012).
Esse problema trata de um dos clássicos utilizados no ensino da matemática
da educação básica, quando da necessidade de se introduzir o estudo dos
sistemas de equações lineares, utilizando, nesse aspecto, o recurso de relacionar
para compreender. Nessa direção, os contextos no ensino da matemática devem
contribuir para consolidar a compreensão, o que, exige conhecimentos das
linguagens envolvidas (ALLEVATO; ONUCHIC, 2004, p.222). Do contrário, a
matemática passaria a ser uma linguagem sem conteúdo, um conjunto de regras
sintáticas onde o conteúdo semântico seria secundário e de pouca importância, o
que deixa indicações da relevância da interação entre as linguagens no processo
de compreensão do enunciado (ECHEVERRIA; POZO, 1998, p.36).
A

seguir,

faremos

algumas

considerações

sobre

duas

soluções

apresentadas, pois as mesmas possuem caráter significativo para o estudo em
questão.
Os registros da figura 09 indicam que o sujeito S901 fez opção pelos recursos
da álgebra elementar, mais precisamente, os sistemas de equações lineares.

Figura 09: Registros do sujeito S901 sobre a resolução do problema 01.

Fonte: Atividades aplicadas pelo autor desta dissertação. (2012).
Pelo detalhamento da execução do plano adotado na resolução, há
indicações de que o referido sujeito tem uma boa intimidade com os conhecimentos
algébricos, pois, isto fica bem delineado quando fez relação da incógnita x com
galinhas e y com coelhos. O que, pode-se perceber que o sujeito também
conseguiu relacionar o conteúdo matemático com o contexto real, provavelmente,
usando conhecimentos da linguagem matemática e da língua materna na intenção
de compreender o que foi proposto no texto do enunciado.
Já o sujeito S9o2, talvez pelo desconhecimento dos conteúdos algébricos,
optou por outro tipo de estratégia. Os registros através dos quais o mesmo utilizou,
na figura 10, deixam indícios de que a estratégia adotada, num primeiro plano,
pode indicar para o uso de tentativas.

Figura 10: Registros do sujeito S9o4 sobre a resolução do problema 01.

Fonte: Atividades aplicadas pelo autor desta dissertação. (2012).
Procurando interpretar o que foi produzido pelo sujeito S9o4, fica subentendido
que o esquema/gráfico foi utilizado para constituir parte do plano de ação por ele
estabelecido.
A partir da análise dos conteúdos produzidos, pode-se observar que o sujeito
utilizou dois esquemas gráficos, um deles para galinhas e outro para coelhos. Ao
lado do esquema utilizado para fazer referência às galinhas há o algarismo 2, o que
pode indicar que o sujeito fez referência à quantidade de pés que cada galinha
possui. Quando o sujeito utilizou o outro esquema para fazer referência aos
coelhos, relacionou com o algarismo 4, deixando indicações quanto à quantidade
de patas relacionadas a cada coelho.
O fato de o sujeito S9o4 apresentar duas respostas distintas, apesar do
esquema explícito na resolução, deixa indícios de que o mesmo possa não ter
compreendido a mensagem implícita no enunciado.
A incompreensão das informações postas na questão pode ter dificultado no
processo de relacionar elementos da língua materna com um provável conteúdo
matemático, seja ele sobre noções de lógica, aritmética e/ou álgebra elementar.
Nesse aspecto, as regras formais do bom pensar, sem a possibilidade de
conhecimentos contextuais não garantem uma solução eficaz para um problema
matemático (ECHEVERRIA; POZO, 1998, p.26). A dificuldade de compreensão

pode estar relacionada à falta de domínio do conteúdo semântico, como também
das noções básicas da álgebra elementar e da capacidade de relacionar contextos.
A estratégia usada pelo sujeito S9o4 sobre este problema revela
conhecimentos precários sobre o conteúdo algébrico. Estratégia dessa natureza se
espera de alunos de séries elementares e não de um aluno que está finalizando o
ensino fundamental. Vale lembrar que o ensino da álgebra na educação básica
ainda parece estar em estado de inércia, o que contribui para que ainda se faça
pouco uso de tais conhecimentos na resolução de problemas matemáticos, nesse
segmento da educação (FIORENTINI; MIORIM; MIGUEL, 1993, p.78).

4.2.1.3.2 Terceiro ano do ensino médio
Quadro 14: Problema aplicado na atividade para diagnóstico
Problema 02. O nível da água em um reservatório rebaixa segundo um
comportamento linear representado pela relação entre as variáveis t e V, onde t é
o tempo dado em minutos e V é o volume dado em litros. A partir das
observações que se iniciam com a abertura de uma torneira observa-se a relação
entre as variáveis t e V, de acordo com os dados que seguem: V(0) = 500, V(1) =
490, V(2) = 480,..., V(49) =10 e V(50) = 0. De acordo com os dados do
enunciado, responda: Qual o volume de água que existia no reservatório antes
da torneira ser aberta? Em quanto tempo o reservatório estará completamente
vazio? Qual a vazão de rebaixamento?
Fonte: Construído pelo autor desta dissertação. (2012).
O problema 02, em destaque, também traz clara possibilidade de relacionar a
linguagem matemática a contextos da vida real, sendo necessário o domínio de
significados com origem na língua comum, além de outros, com origem na
linguagem matemática.
Os registros construídos pelo o sujeito S3oEM3, na figura 11, ilustram a
compreensão sobre o problema proposto.
Nos registros utilizados há indicações de que o sujeito S3oEM3 fez uso de
elementos básicos do contexto da vida real presentes no enunciado. Como
exemplos, a representação do reservatório e, o rebaixamento do nível da água,

este último, para relacionar com o registro representativo da linguagem
matemática, referente ao gráfico de uma função afim decrescente. O que,
supostamente, comprova o domínio do conhecimento deste conteúdo matemático.
Figura 11: Registros do sujeito S30EM3 sobre a resolução do problema 02.

Fonte: Atividades aplicadas pelo autor desta dissertação. (2012).
Nos registros construídos, o sujeito S3oEM3 demonstra ter conhecimentos do
caráter da linearidade do fenômeno, representando a situação através de uma reta
decrescente, questão que anteriormente estava implícita no texto do enunciado, e,
para ser externada havia necessidade da compreensão dos pares ordenados
representados através da notação de função, a exemplo, V(0) = 500. Nesse
sentido, também pode-se perceber que o sujeito foi buscar elementos da
linguagem matemática, ou seja, representações de pares ordenados, para
compreender o problema e fundamentar as suas afirmações. Aspecto que indica
que para compreender como utilizar elementos da linguagem matemática, em uma
situação específica, há necessidade da compreensão de elementos de outras
linguagens que podem auxiliam na interpretação do significado atribuído ao
símbolo (D’AMORE, 2007, p.243). Fato que pode caracterizar a interação entre as
linguagens no processo de compreensão do enunciado do problema em evidência.

4.2.1.3.3 Considerações acerca dos problemas

Para resolver um problema matemático é necessário

mobilizar

conhecimento matemático. Contudo, este conhecimento quando dissociado de
elementos que auxiliam na compreensão, pode não ser suficiente. Nesse contexto,
sendo a compreensão o foco da resolução de problemas, há de se considerar que
esta também deveria ser o foco do ensino de matemática (ALLEVATO; ONUCHIC,
2004, p.223). Nessa direção, para Silveira (2005, p.93) “compreender é construir
pontes entre o novo e o já conhecido”, elementos relevantes quando se trata da
necessidade de relacionar.
Por outro lado, resolver um problema matemático é utilizar recursos, ou seja,
as famosas estratégias que serão fundamentais para construção do caminho a ser
percorrido entre o texto do enunciado e a solução (CARVALHO, 2007, p.17 e 18).
O que, supostamente, deixa em evidência a importância da interação entre as
linguagens no processo de compreensão do problema.
O problema relacionado ao nono ano do ensino fundamental II poderia ser
resolvido a partir de um simples recurso gráfico (esquema/desenho), de tentativas,
ou, de uma forma mais específica, usando os conhecimentos de álgebra elementar,
mais precisamente os sistemas de equações lineares.
Dos sujeitos elencados em nossas análises um adotou o método de
sistemas de equações, o outro usou o método das tentativas.
Na realidade, as estratégias adotadas utilizam o cálculo como ferramenta.
Entretanto, o sujeito que utilizou a álgebra através dos sistemas de equações
conseguiu dar uma maior clareza na resolução, haja vista a possibilidade de
relacionar contexto e conteúdo matemático.
Quanto ao problema proposto ao terceiro ano do ensino médio, a
compreensão de significados relevantes tanto da linguagem matemática como da
língua comum, implícitos no texto do enunciado, pode ser o caminho mais curto
para se resolver este problema. Por outro lado, o domínio do conteúdo algébrico
relacionado à teoria das funções polinomiais de grau 1, pela aproximação deste
conteúdo a temas do cotidiano, pode se constituir na possibilidade de relacionar o

contexto da sala de aula com o contexto da vida real, de uma forma fácil, clara e
objetiva.

4.2.1.4 Problemas que envolvem aritmética e álgebra elementar

4.2.1.4.1 Quinto ano do ensino fundamental I

Quadro 15: Problema aplicado na atividade para diagnóstico
Problema 03. Tinha uma quantia em reais guardada em um cofrinho. Gastei R$
150,00 e ainda tenho R$ 270,00. Quanto eu tinha no cofrinho?
Fonte: Adaptado do livro Problemas? Mas que Problemas?! Estratégias de
resolução de problemas matemáticos em sala de aula. (CARVALHO, 2007, p.26).
Tratando do enunciado do problema 03, que envolve mudança ou
transformação (CARVALHO, 2007, p.25), é importante enfatizar que a referida
questão trata de um problema aditivo e que o caminho mais simples para se chegar
à solução seria recorrer ao algoritmo da adição, o que está explícito através do
registro construído pelo sujeito S503, na figura 12.
Figura 12: Registros do sujeito S504 sobre a resolução do problema 03.

Fonte: Atividades aplicadas pelo autor desta dissertação. (2012).
Outro fato importante que podemos destacar em relação à resolução desse
problema, é que também poderia ser resolvido usando elementos de álgebra
elementar, pois, a quantia guardada a qual o enunciado se refere poderia ser
tratada como uma incógnita.

Mesmo sabendo que no ensino fundamental I não se trabalha a linguagem
algébrica, a ideia algébrica poderia ter sido percebida de forma incipiente por algum
sujeito.

4.2.1.4.2 Nono ano do ensino fundamental II
Quadro 16: Problema aplicado na atividade para diagnóstico
Problema 02. Uma professora ganhou ingressos para levar 25% (vinte e cinco
por cento) de seus alunos ao circo da cidade. Considerando que essa professora
leciona para 36 alunos, quantos alunos ela poderá levar?
Fonte: Prova Brasil 2009.
O problema 02 trata dos conteúdos de razão e proporção.
Na realidade razão significa um quociente cujo divisor é diferente de zero.
Nesse mesmo raciocínio, razão centesimal ou porcentagem também trata de um
quociente, só que nesse aspecto, o divisor é igual a 100.
A figura 13 ilustra a execução do plano de resolução do sujeito S901. Os
registros produzidos podem indicar que, o referido sujeito preferiu relacionar as
informações do enunciado com os conhecimentos de regra de três simples.
Figura 13: Registros do sujeito S901 sobre a resolução do problema 02.

Fonte: Atividades aplicadas pelo autor desta dissertação. (2012).
Apesar de apresentar um simples algoritmo, fica subentendido que o sujeito
relacionou a razão centesimal com outra razão cujo divisor é uma incógnita,
deixando indicações de que os conhecimentos de álgebra elementar podem não

ser suficientes, mas são importantes para relacionar elementos da língua corrente
com elementos da linguagem matemática na resolução de problemas.

4.2.1.4.3 Considerações acerca dos problemas

Resolver um problema, aplicando diretamente o algoritmo, não significa que
se tenha compreendido.
Fazendo referência ao problema proposto ao quinto ano do ensino
fundamental I há casos em que o sujeito opta pela famosa “conta de mais ou conta
de menos” sem perceber os significados dessas operações em sua essência.
Há indícios de que decodificar a mensagem implícita no texto de um
enunciado de um problema matemático requer, além de conhecimentos da
matemática e de sua linguagem própria, bons conhecimentos de leitura. Segundo
Duval (apud Machado, 2003, p.18), “a passagem de um enunciado em língua
natural a uma representação em outra forma de registro toca um conjunto
complexo de operações para designar os objetos”. O que, supostamente, deixa
evidências quanto à necessidade da interação entre a linguagem matemática e a
língua materna na resolução de problemas.
Quanto ao problema proposto ao nono ano do ensino fundamental II, os
registros produzidos pelo sujeito analisado, no caso, S9o1, deixa fortes evidências
de que o sentido dos conceitos deve ter relevância significativa na construção e
execução do plano de ação que norteará a compreensão e posterior resolução do
problema (PAIS, 2008, p.57).

4.2.1.5 Problemas que envolvem geometria euclidiana

4.2.1.5.1 Quinto ano do ensino fundamental I
Quadro 17: Problema aplicado na atividade para diagnóstico
Problema 04. A parte destacada na malha quadriculada abaixo representa uma
figura na bandeira da escola de João. Cada lado do quadradinho mede 1 metro.
Quantos metros de fita serão necessários para contornar essa figura?

Fonte: Prova Brasil 2009.
Esse problema trata da malha quadriculada.
Os registros construídos pelo sujeito S502 deixam indícios de que a proposta
do enunciado não foi compreendida, o que pode indicar que o sujeito não tenha se
apropriado das noções básicas de contar, elementos indispensáveis para se
compreender situação problema dessa natureza. A solução desse problema
poderia ser obtida contando apenas os segmentos de um metro que contornavam a
parte destacada da malha quadriculada.

Figura 14: Registros do sujeito S502 sobre a resolução do problema 04.

Fonte: Atividades aplicadas pelo autor desta dissertação. (2012).
Também há indicações de que a dificuldade de compreensão do enunciado
do problema, por parte do sujeito S502, pode estar associada ao desconhecimento
de conceitos básicos de geometria plana, tais como: conceito de lado, de
comprimento e de área. O que, nesse aspecto, segundo Powell e Bairral (2006,
p.24) pode caracterizar “falha na compreensão matemática ou na linguagem”
contida no enunciado da questão. Além disso, na atividade de resolução de
problemas matemáticos o sentido dos conceitos tem relevância significativa na
construção e execução do plano de ação (PAIS, 2008, p.57). Assim, a língua
materna pode ser elemento relevante na busca dos sentidos que levam à
compreensão.

4.2.1.5.2 Terceiro ano do ensino médio

Quadro 18: Problema aplicado na atividade para diagnóstico
Problema 01.Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques
cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura.
Para uma tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas
pequenas.

Este problema também é bem específico de geometria euclidiana plana e
estabelece relações importantes com contextos reais.
Num primeiro plano, para se compreender a proposta do enunciado, talvez,
fosse necessário ter domínio de alguns conceitos básicos de geometria plana.
É válido salientar que desvendar o sentido dos conceitos é um grande passo
para a compreensão dos enunciados dos problemas matemáticos (PAIS, 2008,
p.57).
Os registros da figura 15 ilustram a estratégia de resolução construída pelo
sujeito S30EM3. Na estratégia construída, há indicações do uso do conceito básico
de área, talvez, na intenção de auxiliar na compreensão da informação contida no
enunciado proposto.

Figura 15: Registros do sujeito S30EM3 sobre a resolução do problema 01.

Fonte: Atividades aplicadas pelo autor desta dissertação. (2012).
Através da estratégia de resolução apresentada pelo sujeito S30EM3, tornase perceptível a relação entre os diâmetros dos círculos de cada figura geométrica
apresentada, aspecto que pode demonstrar o domínio de elementos das
linguagens pelo sujeito.
Quando o sujeito S30EM3 registrou em seu plano de ação:
Todos irão receber a mesma quantidade de material. Logo, todas as
sobras vão ser iguais.

Esta decisão deixa evidências de que esse sujeito, para chegar a esta
conclusão, além de comparar as figuras, utilizou algoritmos para confirmar o
resultado obtido.
O plano de ação estabelecido por esse sujeito sinaliza, que, mesmo sendo
possível compreender o enunciado do problema a partir de outra estratégia, o
cálculo pode ter o induzido à ideologia da certeza. Infere-se, assim, que para esse
sujeito, a matemática é quem impõe as verdades, pois, nesse aspecto, o cálculo é
incontestável (CARVALHO, 2009, p.107).
Considerando que esse sujeito tenha percebido a solução do problema a
partir da relação de proporcionalidade entre as figuras apresentadas, a
comparação entre o resultado obtido, quando do uso de proporções entre as

figuras geométricas e o resultado obtido através do cálculo, também pode ter sido
útil para auxiliar na compreensão de outros conceitos matemáticos que envolvem o
problema. Este fato pode ser importante para uma aprendizagem significativa, pois,
a possibilidade de relacionar é essencial à compreensão, aspecto que deveria ser o
foco principal e o objetivo da resolução de problemas e do ensino de matemática
(ALLEVATO; ONUCHIC, 2004, p.223).

4.2.1.5.3 Considerações acerca dos problemas

A figura utilizada para auxiliar na compreensão do enunciado do problema
geométrico, aplicado no quinto ano do ensino fundamental I, mais precisamente, o
problema da malha quadriculada, trata de uma representação semiótica ou registro
representativo muito usual na linguagem matemática, mais especificamente, na
linguagem geométrica, ou seja, os paralelogramos, em seus casos particulares, os
quadrados e os retângulos.
Como cada linguagem possui suas especificidades, entendê-las em sua
essência não é nada trivial, pois, para compreender como utilizar o significante em
uma situação específica, há necessidade de compreensão de elementos de outras
linguagens que auxiliam na compreensão do significado atribuído ao significante,
razão pela qual a compreensão, de fato, de um problema, não se resume apenas à
automatização de algum método sem se apropriar do conhecimento e da
linguagem relacionada ao mesmo (D’AMORE, 2007, p.243).
Quanto ao problema aplicado no terceiro ano do ensino médio, observando
detalhadamente as construções geométricas apresentadas e utilizando algumas
noções básicas de proporcionalidade entre os diâmetros, seria possível
compreender a sua essência e perceber a solução sem depender exclusivamente
de algoritmos.

4.3 Análises da atividade de leitura e escrita e entrevista

4.3.1 Investigando o uso dos conhecimentos da língua materna nas modalidades
oral e escrita, como instrumento para interpretação e compreensão de enunciados
de problemas matemáticos

Esta etapa da pesquisa teve como finalidade aprofundar a discussão sobre a
relação existente entre a compreensão do enunciado de um problema matemático
e os conteúdos dos textos orais e escritos relacionados aos problemas propostos
na atividade para diagnóstico. Os conteúdos foram produzidos na atividade de
leitura e escrita e na entrevista, pelos sujeitos selecionados.
Entendendo que as estratégias de resolução dos problemas, produzidas
pelos sujeitos na atividade para diagnóstico não seriam suficientes para concluir
estudo sobre as hipóteses levantadas, também adotamos como elementos de
análises, os conteúdos coletados na atividade de leitura e escrita e na entrevista.
Definimos como foco de análises os textos e as falas considerados
significativos pela importância do conteúdo para identificação de elementos que
pudessem indicar para a interação entre a língua materna e a linguagem
matemática na resolução de problemas. Assim, buscamos investigar como se
processa a interação entre a linguagem matemática e a língua materna na
resolução de problemas matemáticos.
Reafirmamos que a intenção que se teve a partir desse momento foi
investigar com maior profundidade como os sujeitos participantes usam os
conhecimentos da língua materna na interpretação e compreensão dos enunciados
de problemas matemáticos.
Na intenção de delimitar o processo de análise, adotamos o roteiro que
segue. O mesmo roteiro também foi usado na análise da atividade para
diagnóstico, seguindo as categorias32 de análises anteriormente elencadas.

4.3.1.1 Problemas com insuficiência de dados, estilo problema do capitão

4.3.1.1.1 Quinto ano do ensino fundamental I

Quadro 19: Problema aplicado na atividade para diagnóstico
Problema 01. Em um navio há vinte e sete carneiros e doze cabras. Qual a
idade do capitão?
Fonte: Adaptado do texto Contrato Didático, (SILVA, 2008, p.55).

Os registros escritos da figura 16 e produzidos na atividade de leitura e
escrita ilustram a compreensão do sujeito S501 sobre o problema do capitão.
Figura 16: Registros escritos pelo sujeito S501 sobre a resolução do problema 01.

Fonte: Atividades aplicadas pelo autor desta dissertação. (2012).
O texto produzido pelo sujeito S501 retrata a compreensão do enunciado do
problema em evidência. Há indícios de que esse sujeito tenha percebido não haver
dados suficientes para se calcular a idade do capitão, quando escreveu:
Nessa questão só havia dizendo quantos animais de cada tipo tinha e não
havia dizendo nada sobre um suposto capitão.

O ato de perceber está relacionado ao processo de decodificação, elemento
indispensável para a busca de sentidos (SILVEIRA, 2005, p.29). A compreensão do
sujeito sobre aquilo que se lê depende da capacidade de poder relacionar a
informação do texto com o seu conhecimento prévio, o que nesse aspecto,
fortalece a importância do processo de interação entre as linguagens envolvidas na

resolução de problemas matemáticos (SILVEIRA, 2005, p.93). Nessa direção,
compreender a linguagem através da qual o problema está sendo apresentado é
uma atitude relevante para se escolher o caminho que possa levar a uma provável
solução (ECHEVERRIA; POZO, 1998, p.24).
Os registros escritos apresentados na figura 17, pelo sujeito S503, produzidos
na atividade de leitura e escrita, também podem retratar as dificuldades de
compreensão desse sujeito, em relação ao mesmo problema. Quando escreveu:
Eu entendi que a conta seria assim, eu iria pegar o total de carneiros e de
cabras e iria formar o resultado com uma conta de +.

Por meio dos registros escritos pode-se inferir que esse sujeito não
percebeu a questão da insuficiência de dados, talvez pelas dificuldades de
compreensão do texto do enunciado, ou ainda, por acreditar na cultura de que a
resolução de um problema matemático tem que ter cálculos.
Figura 17: Registros escritos pelo sujeito S503 sobre a resolução do problema 01.

Fonte: Atividades aplicadas pelo autor desta dissertação. (2012).
Perguntado aos sujeitos na entrevista: O que você utilizou para encontrar
a idade do capitão? Responde o sujeito S502:
Eu juntei 27 dos carneiros e 12 das cabras, pois só tinha esse valor para
dizer a idade do capitão. Eu juntei, pois não tinha outros números para
juntar.

Sobre a mesma indagação, outro sujeito responde:

98
A idade do capitão não tem nada a ver com carneiros e com cabras. São
0
quantias e não são idades deles. (S5 4).

Tais afirmações podem sinalizar para a necessidade do uso da
linguagem corrente na compreensão do texto do enunciado de um problema
matemático, mesmo que seja de forma incipiente.

4.3.1.1.2 Nono ano do ensino fundamental II

Quadro 20: Problema aplicado na atividade para diagnóstico
Problema 03. Imagine que você seja o maquinista de um trem que partiu da
estação ferroviária localizada no centro de Maceió-AL, com 20 pessoas, das
quais, 10 são jovens, e as demais formam um grupo de dois casais de idosos
acompanhados de seis crianças. Em seguida, pára na estação de Bebedouro e
descem 3 jovens e entram 8 senhoras. Mais adiante, na estação de Fernão
Velho, descem 4 jovens e sobem 11 componentes de um grupo de pastoril,
folguedo típico do Estado de Alagoas. Sabendo-se que até a estação ferroviária
de Lourenço de Albuquerque, localizada na cidade de Rio Largo-AL, destino
final do percurso, houve apenas mais uma parada, provavelmente na cidade de
Satuba-AL, onde subiu um grupo de forró composto por 4 membros, e que o
trem chegou ao destino final com apenas 16 pessoas, qual é a idade do
maquinista?
Fonte: Construído pelo autor desta dissertação. (2012).
Sobre a situação problema 03, agora em destaque, os registros da figura 18,
produzidos pelo sujeito S901 retratam:
Essa questão foi a mais difícil que achei nos primeiros minutos que peguei
a questão. Como eu poderia achar o valor? Li, reli. Depois voltei ao início
da questão. “Imagine que você seja o maquinista de um trem.” E depois,
bom, como eu sou o maquinista, a maquinista tem a minha idade. 14 anos.

Figura 18: Registros escritos pelo sujeito S901 sobre a resolução do problema 03.

Fonte: Atividades aplicadas pelo autor desta dissertação. (2012).
A mensagem escrita deixa fortes indícios de que esse sujeito procurou fazer
uso da linguagem corrente na intenção de compreender o enunciado.
Observa-se que no texto produzido na figura 18, o sujeito S901 indaga a si
mesmo, quando diz:
Como eu poderia achar o valor? Li, reli.

Este ato pode subentender que foi feito o retorno ao texto na busca da
compreensão.
Perguntado na entrevista: Como calculou a idade do maquinista? Que
operação matemática utilizou? O sujeito S904, afirma:
Também não entendi muito bem porque eu não sabia que cálculos usar,
só que eu fiz assim, somei as pessoas que ficaram e as que saíram, então
a idade é 32 anos.

A referida afirmação deixa evidências sobre as dificuldades que esse sujeito
tem para relacionar as informações do texto do enunciado com conteúdos

100

matemáticos. Isto, supostamente, pode ter levado à incompreensão, induzindo o
sujeito a utilizar um cálculo de forma incoerente.

4.3.1.1.3 Terceiro ano do ensino médio

Quadro 21: Problema aplicado na atividade para diagnóstico
Problema 03. O elevador de um edifício de 10 andares parte do térreo com 4
pessoas: duas mulheres, 1 homem e uma criança. Pára no 5o andar e aí sai
uma mulher e entram 3 homens. No 7o, saem 2 pessoas. Sabendo-se que
houve apenas mais uma parada no 9o onde não desceu nenhuma criança e que
o elevador chegou ao 10o andar com 11 pessoas, pergunta-se qual é a idade do
ascensorista.
Fonte: Adaptado do texto: Contrato Didático, (SILVA, 2008, p.57).
Fazendo referência ao problema 03, em destaque, no registro escrito
relacionado à figura 19, o sujeito S30EM3, escreve:
Como a questão dá ênfase a idade e o exercício não informou, não é
possível obter a solução da questão.

A decisão do sujeito acena para uma questão de maturidade, apesar de
ainda incipiente, sobre a importância da leitura e interpretação do texto do
enunciado, no processo de resolver problemas. A percepção da insuficiência de
dados pode ser uma indicação da relevância da interação entre as linguagens na
resolução de problemas matemáticos.

101

Figura 19: Registros escritos pelo sujeito S30EM3 sobre a resolução do problema
03.

Fonte: Atividades aplicadas pelo autor desta dissertação. (2012).
Quando foi proposto na entrevista: Explique como você entendeu o
problema. Em que informações você se fundamentou para afirmar a idade do
ascensorista?
O sujeito S30EM1, responde:
Entendi que ele pede a idade do ascensorista e para isso coloca uma
situação do elevador onde nele entra e sai as pessoas, entre elas homem,
mulheres e uma criança. No quinto, esta não saiu, havendo possibilidade
desta sair no último, pois no quinto não desceu uma criança. Sendo a
idade do ascensorista. Já que só havia uma criança e esta não desceu até
a última parada, conclui-se que ela é o ascensorista, tendo entre 5 e 12
anos de idade.

Esta afirmação deixa indicações de que esse sujeito pode não ter dado a
importância necessária ao texto do enunciado, pois, preferiu enveredar pelo
caminho das informações numéricas, ou, talvez, fazer conjecturas sobre as
indagações feitas.

4.3.1.1.4 Considerações acerca dos problemas

Tomando como referência os conteúdos da atividade de leitura e escrita e
entrevista semiestruturada relacionadas ao problema aplicado no quinto ano do

102

ensino fundamental I, podemos elencar categorias como adição com as
expressões “juntei” e “conta de mais”, e, falta de dados com a expressão “Acho que
falta dado” e “Não tem nada a ver”.
Tratando da categoria de problemas com insuficiência de dados, mais
especificamente ao que foi aplicado no quinto ano do ensino fundamental I, os
sujeitos que responderam a idade do capitão desconsiderando o texto do
enunciado basearam-se em palavras chaves:
o

Conta de mais. (S5 3).
o

Juntei. (S5 2).

Nessa direção, há indícios de que esses sujeitos não desenvolveram a
capacidade de interpretação de textos de enunciados de problemas matemáticos,
não tendo, portanto, desenvolvido “atos de aprender a ler e a escrever a linguagem
matemática usada nas séries iniciais da escolarização”, Danyluk (1998, p.20).
Outros sujeitos levaram em conta o enunciado em sua essência e
basearam-se em expressões do tipo:
o

Não tem nada a ver. (S5 4).
o

Acho que falta dados. (S5 1).

Quanto aos sujeitos que relacionaram com a categoria falta de dados, há
indicações de que já desenvolveram certo domínio de leitura e escrita e assim
conseguem fazer uma breve interação entre a linguagem matemática e a língua
materna.
O fato dos sujeitos S5o3 e S5o2 terem relacionado o termo “juntei” e a
expressão “conta de mais” com a operação da adição, deixa indícios de que nesse
nível da educação básica ainda se tem a ideia equivocada, de que todo problema
matemático deve ter uma solução que tem o cálculo como fundamento. Fato que
fica bem evidente nas respostas dadas pelos sujeitos:
Eu entendi que a conta seria assim: eu iria pegar o total de carneiros e de cabras e
o
iria formar o resultado com uma conta de mais. (S5 3).

103
Eu entendi, pois já estudei adição, então: Eu juntei 27 dos carneiros e 12 das
cabras, pois só tinha esse valor para dizer a idade do capitão. Eu juntei, pois não
o

tinha outros números para juntar. (S5 2).

Tais respostas evidenciam que para esses sujeitos, a língua materna é
pouco representativa na interpretação de um problema matemático. Nesse sentido,
também observamos que foi dada maior importância à parte do enunciado que
tratava de número. Este aspecto foi prioridade para uma tomada de decisão quanto
a uma suposta operação que levasse a um resultado, sem a preocupação com o
sentido concreto e bem fundamentado na proposta do texto do enunciado.
Por outro lado, os outros sujeitos selecionados procuraram buscar na
mensagem do texto elementos que pudessem dar significado à pergunta. Acreditase que estes sujeitos, por terem uma maior capacidade de compreensão,
procuraram construir argumentos que auxiliassem numa interpretação mais
consistente. Vejamos os argumentos registrados pelos sujeitos S5o4 e S5o1,
respectivamente, na atividade de leitura e escrita e entrevista:
A idade do capitão não tem nada a ver com carneiros e com cabras. São
quantias e não são idades deles.
Nessa questão só havia dizendo quantos animais de cada tipo tinha e, não
havia dizendo nada sobre um suposto capitão. Aí dizia que tinha carneiros
e cabras, mas não tinha dizendo nada sobre o capitão. Dizia que tinha
carneiros e cabras, mas não dizia capitão com tal idade. Acho que falta
dados, ou então era pra ser assim mesmo.

A clareza e concisão dos argumentos ora apresentados fazem inferir que os
dados numéricos, por si só, não são suficientes para resolver um problema
matemático, o que, nesse aspecto, pode-se destacar Echeverria e Pozo (1998,
p.36), quando afirmam que “a matemática não pode funcionar como uma
linguagem sem conteúdo, como um conjunto de regras sintáticas na qual o
conteúdo semântico seria secundário ou irrelevante”. Nesse sentido é preciso que
os dados numéricos estejam vinculados a outros elementos da língua materna que
possam estabelecer sentidos, possibilitando uma relação de coerência entre as
informações relevantes do texto e a pergunta para a qual se deseja uma resposta.
Os argumentos apresentados pelos sujeitos nas declarações que seguem,
podem indicar que eles fizeram uso das informações implícitas nos enunciados que
foram propostos.

104
A idade do capitão não tem nada a ver com carneiros e com cabras.

(S5o4).
Não havia dizendo nada sobre um suposto capitão. Acho que falta dados.

(S5o1).
Assim, pode-se pressupor que a compreensão de um problema matemático
requer uma boa leitura e interpretação do texto do enunciado. Estas ferramentas
são fundamentais para a estruturação do pensamento matemático.
Com relação ao problema 03, aplicado no nono ano do ensino fundamental
II, os textos escritos pelos sujeitos selecionados e as afirmações advindas da
entrevista indicam que a compreensão da linguagem corrente pela maioria dos
sujeitos participantes pode ter auxiliado na interpretação coerente do enunciado.
Vejamos as afirmações dos sujeitos:
o

A maquinista tem a minha idade. 14 anos. (S9 1).
Era para você imaginar que era o maquinista. A idade do maquinista é 14
o
anos. (S9 2).
Então ele está perguntando quantos anos eu tenho, no caso 14 anos.

(S9o3).
Eu não sabia que cálculos usar. Somei as pessoas que ficaram e as que
o
saíram. (S9 4).

Nos registros produzidos há indicações de que o sujeito S9o4 foi o único que
não percebeu a essência do texto do enunciado proposto.
Quanto ao problema 03, aplicado no terceiro ano do ensino médio, talvez
pelas dificuldades de relacionar as informações dadas com a pergunta a ser
respondida, alguns sujeitos da pesquisa fizeram suposições, o que pode
subentender ausência de informações para responder a pergunta. Em destaque os
registros dos sujeitos participantes:
o

A idade deve estar entre 18 e 69 anos. (S3 EM4).
Já que só havia uma criança e esta não desceu até a última parada,
conclui-se que ela é o ascensorista, tendo entre 5 e 12 anos de idade.

(S3OEM1).

105

Os problemas em discussão tratam de insuficiência de dados. Todavia,
independentemente, da tipologia a qual pertença o problema, compreender a
linguagem através da qual o mesmo está sendo apresentado é o ponto de partida
para que se possa tomar qualquer decisão, para se estabelecer um plano de ação
(ECHEVERRIA; POZO, 1998, p.24).

4.3.1.2 Problemas que envolvem lógica

4.3.1.2.1 Quinto ano do ensino fundamental I
Quadro 22: Problema aplicado na atividade para diagnóstico
Problema 02. Numa casa há quatro cantos, em cada canto há um gato, cada
gato vê três gatos. Qual o total de gatos que existem na casa?
Fonte: Adaptado do livro Problemas? Mas que Problemas?! Estratégias de
resolução de problemas matemáticos em sala de aula. (CARVALHO, 2007, p.21).
Quando foi perguntado na atividade de leitura e escrita sobre a
compreensão desse problema, o sujeito S5o1 escreveu:
Se em cada um dos 4 cantos havia 1 gato, cada gato não veria ele mesmo
e só os outros 3 gatos que estavam nos outros 3 cantos.

Figura 20: Registros escritos pelos sujeitos S5 o1 sobre a resolução do problema
02.

Fonte: Atividades aplicadas pelo autor desta dissertação. (2012).
Perguntado sobre a compreensão do mesmo problema ao sujeito S5o3 o
mesmo afirma:

106
Eu entende por que se em uma casa há quatro cantos em cada canto há
um gato e cada gato vê três gatos o total de gatos vai ser 16 porque 4x4 é
igual a 16.

Figura 21: Registros escritos pelo sujeito S5o3 sobre a resolução do problema 02.

Fonte: Atividades aplicadas pelo autor desta dissertação. (2012).
Em se tratando da entrevista, perguntou-se aos sujeitos selecionados: Como
você percebeu o total de gatos que existia na casa?
O sujeito S5o3 afirma:
Eu entendi que cada gato ficava em um cômodo, e cada gato via os outros
três gatos dos outros cômodos, e assim vai então chegar a conclusão que
havia 4 gatos.

Ainda tratando dessa indagação, responde o sujeito S5o4:
Eu entendi que se em uma casa há quatro cantos e em cada canto há um
gato e cada gato vê três gatos o total de gatos vai ser 12 porque 4x3 é
igual a 12.

As afirmações evidenciadas indicam que independentemente da resposta
encontrada, todos os sujeitos recorreram a elementos da língua corrente no sentido
de se buscar à compreensão do enunciado. Entretanto, alguns dos sujeitos, talvez
pela incapacidade de relacionar elementos das linguagens envolvidas no texto do

107

enunciado do problema, ou, pela influência dos contratos didáticos estabelecidos
nas escolas, preferiram optar pelo algoritmo.

4.3.1.2.2 Considerações acerca do problema

Perceber as ideias matemáticas e representá-las adequadamente seria de
fato, o grande trunfo para resolver problemas matemáticos.
Considerando a lógica como o campo da matemática responsável pelas
representações das estruturas e operações do pensamento, as tipologias de
problemas relacionadas a este campo da matemática nem sempre são bem aceitas
pelos iniciantes da matemática, talvez, pelo fato destes, não dominarem elementos
básicos para interpretação, compreensão e resolução de problemas matemáticos.
No problema em evidência, percebe-se que nível de interpretação é mínimo.
Mesmo assim, apesar de alguns sujeitos da pesquisa terem percebido o foco
central do enunciado, nos registros produzidos fica claro que os relatos de outros
sujeitos indicam que as dificuldades encontradas não tratam talvez de lógica, mas,
provavelmente, da compreensão da leitura da língua materna.

4.3.1.3 Problemas que envolvem álgebra elementar

4.3.1.3.1 Nono ano do ensino fundamental II
Quadro 23: Problema aplicado na atividade para diagnóstico
Problema 01. Em uma granja há galinhas e coelhos, num total de 26 cabeças e
64 pés. Quantas são as galinhas e quantos são os coelhos?
Fonte: Adaptado pelo autor desta dissertação. (2012).
Os registros da figura 22, produzidos pelo sujeito S9o1 sobre o problema 01,
deixam indicações sobre a utilização de relações importantes entre o texto do
enunciado e a linguagem algébrica. Pode-se perceber que o referido sujeito deixa
evidências quanto ao uso de incógnitas, ficando esta atitude mais explícita quando

108

fez referências às equações: x + y = 26, relacionando a quantidade de cabeças de
animais e, 2x + 4y = 64, quando fez referência à quantidade de pés.
Quando foi perguntado na atividade de leitura e escrita, sobre a
compreensão do sujeito S9o1, em relação ao problema em evidência, ele responde:
Bom, primeiro, no enunciado são dados dois valores desconhecidos, o
número de galinhas e o número de coelhos. Os mesmos valores que ele
pede para descobrir no fim da questão. Depois, ao ler, vi que são dados
alguns valores que poderiam ajudar. Como cada animal tem uma cabeça,
fiz a equação x+y=26, e depois, como a galinha tem 2 pés e o coelho 4, fiz
a outra equação 2x+4y=64.O que resultou num sistema de equações.

Na entrevista, quando foi indagado: Explique como você entendeu o
problema. Você relacionou algum dado do problema com conhecimentos
matemáticos?
O sujeito S9o1 responde:
Dois valores desconhecidos. Como cada animal tem uma cabeça, fiz a
equação x+y=26. Como a galinha tem 2 pés e o coelho 4, fiz a outra
equação 2x+4y=64.

109

Figura 22: Registros escritos pelo sujeito S9o1 sobre a resolução do problema 01.

Fonte: Atividades aplicadas pelo autor desta dissertação. (2012).
Os registros construídos indicam que o sujeito em destaque consegue
relacionar com certa desenvoltura elementos da linguagem matemática e da língua
materna.
4.3.1.3.2 Terceiro ano do ensino médio
Quadro 24: Problema aplicado na atividade para diagnóstico
Problema 02. O nível da água em um reservatório rebaixa segundo um
comportamento linear representado pela relação entre as variáveis t e V, onde t
é o tempo dado em minutos e V é o volume dado em litros. A partir das
observações que se iniciam com a abertura de uma torneira observa-se a
relação entre as variáveis t e V, de acordo com os dados que seguem: V(0) =
500, V(1) = 490, V(2) = 480,..., V(49) =10 e V(50) = 0. De acordo com os dados
do enunciado, responda: Qual o volume de água que existia no reservatório
antes da torneira ser aberta? Em quanto tempo o reservatório estará
completamente vazio? Qual a vazão de rebaixamento?
Fonte: Construído pelo autor desta dissertação. (2012).

110

Os registros da figura 23 ilustram o pensamento do sujeito S3 oEM3 em
relação à compreensão do problema 02.
Os dados enfatizados deixam indícios de que esse sujeito procurou
relacionar conteúdos matemáticos com a situação problema, quando afirmou:
Poderia ser resolvido pela fórmula f(x) = ax+b, porém, não consegui extrair
com firmeza os dados da questão. Resolvi a questão por meio da lógica.
V(0) é o valor inicial, então só poderia se o dado que o exercício citou para
V(0).

Ao afirmar que o problema poderia ser resolvido pela fórmula f(x) = ax+b,
pode-se inferir que o sujeito procurou relacionar com os conceitos básicos de
função polinomial de grau 1, mais precisamente a função afim, pois fez claras
evidências ao modelo representativo dessa função, através da linguagem
algébrica. Nesse aspecto, para Pais (2008, p.57) “o sentido de um conceito está
fortemente associado à atividade de resolução de problemas”, o que deixa
evidências do uso dos conhecimentos das linguagens presentes nos textos dos
enunciados.
Figura 23: Registros escritos pelo sujeito S3oEM3 sobre a resolução do problema
02.

Fonte: Atividades aplicadas pelo autor desta dissertação. (2012).

111

Nos registros do sujeito S3oEM3 também há indícios da importância de
relacionar contextos. O que indica que a língua materna pode não ser suficiente,
mas é necessária na interpretação e resolução de problemas matemáticos.
O sujeito S3oEM3 também confunde alguns elementos da linguagem
matemática quando tenta interpretar informações referentes a pares ordenados
representados por significantes pouco explorados no universo da educação básica,
conforme registrou:
Com relação ao tempo a questão informou que o tempo era em minuto, no
qual V(49) = 49 minutos; V(0) = 1 minuto.

Este fato nos leva a inferir que, quando não se compreende a linguagem
matemática e não se tem domínio da língua materna, questões elementares do
contexto também podem não ser compreendidas. Ainda nesse aspecto, vale
destacar as dificuldades de compreensão desse sujeito em relação à questão 2.b.
Quando foi perguntado sobre o tempo de esvaziamento do reservatório, o sujeito
S3oEM3 afirmou:
Entendi 50 seg de min depende da vazão.

A resposta confusa e incompleta deixa indícios da importância que se deve
dar à língua materna e ao conhecimento prévio, para relacionar contextos na
resolução de problemas. Vale destacar que, o conhecimento prévio é indispensável
para mobilizar o pensar ativo e reflexivo para que a compreensão ocorra
(ALLEVATO; ONUCHIC, 2004, p.220).
Quando foi perguntado na entrevista: Como os dados do enunciado ajudaram
a encontrar a resposta?
O sujeito S3o EM3 responde:
Não consegui extrair com firmeza os dados da questão. Resolvi a questão
por meio da lógica.

A resposta do sujeito deixa dúvidas quanto ao seu plano de ação. Se por um
lado ele afirma que não conseguiu extrair os dados do enunciado do problema, em
contrapartida ele diz que resolveu por meio da lógica, como se a lógica não

112

dependesse de uma explicação precisa e concisa. Esta afirmação pode indicar
uma provável incompreensão do sujeito em relação ao problema proposto.

4.3.1.3.3 Considerações acerca dos problemas

problemas

análise

tratam

álgebra

elementar,

mais

especificamente dos conteúdos algébricos referentes ao ensino fundamental II e
início do ensino médio.
Estudos revelam que o trabalho com a álgebra vem ocorrendo de forma
automatizada, sem qualquer significação social e lógica, ou seja, dissociada dos
contextos (FIORENTINI; MIGUEL; MIORIM, 1992, p. 40). Apesar desse indicativo,
os sujeitos participantes conseguiram bons resultados na resolução dos problemas
algébricos apresentados. Isto talvez se deva a capacidade dos mesmos para
relacionar elementos das linguagens envolvidas nos textos dos enunciados dos
problemas propostos.

4.3.1.4 Problemas que envolvem aritmética e álgebra elementar
4.3.1.4.1 Quinto ano do ensino fundamental I

Quadro 25: Problema aplicado na atividade para diagnóstico
Problema 03. Tinha uma quantia em reais guardada em um cofrinho. Gastei R$
150,00 e ainda tenho R$ 270,00. Quanto eu tinha no cofrinho?
Fonte: Adaptado do livro Problemas? Mas que Problemas?! Estratégias de
resolução de problemas matemáticos em sala de aula. (Carvalho, 2007, p.26).
A situação problema 03 trata de um problema aditivo, usando mudança ou
transformação.
A figura 24 ilustra que o sujeito S5o1 usou um algoritmo, representado pela
operação da adição, para relacionar com as informações presentes no texto do
enunciado do problema.

113

Figura 24: Registros escritos pelo sujeito S5o4 sobre a resolução do problema 02.

Fonte: Atividades aplicadas pelo autor desta dissertação. (2012).
Por se tratar de um problema, cuja solução poderia ser encontrada a partir
da aplicação de um simples algoritmo, todos os sujeitos selecionados conseguiram
encontrar a resposta.
Perguntado ao sujeito S5o4 sobre a sua compreensão em relação a esse
problema, ele afirma:
Eu entendi que tinha uma quantia de 420 reais, porque fazendo uma conta
de mais com aqueles dois números iria dar o resultado da quantia que
tinha no cofrinho.

Quando foi perguntado na entrevista: Como você encontrou a quantia? Há
como provar que no cofrinho existia essa quantia? Os sujeitos respondem:
Gastei 150,00 e fiquei no cofrinho com 270,00. Então eu tinha 420,00
O
reais. (S5 2).
o

Somei e cheguei ao resultado que era R$ 420,00. (S5 4).

As afirmações dos sujeitos deixam evidências que este tipo de problema,
talvez por exigir pouco conhecimento de interpretação, geralmente, é automatizado
quase que inconscientemente pelo aluno. Nesse sentido, prioriza-se o cálculo,
desprezando-se o verdadeiro sentido da operação matemática.

114

4.3.1.4.2 Nono ano do ensino fundamental II

Quadro 26: Problema aplicado na atividade para diagnóstico
Problema 02. Uma professora ganhou ingressos para levar 25% (vinte e cinco
por cento) de seus alunos ao circo da cidade. Considerando que essa
professora leciona para 36 alunos, quantos alunos ela poderá levar?
Fonte: Prova Brasil 2009.
Figura 25: Registros escritos pelo sujeito S9o1 sobre a resolução do problema 02.

Fonte: Atividades aplicadas pelo autor desta dissertação. (2012).
Quanto à resolução do problema 02, ilustrado na figura 25, o sujeito S9o1
deixa implícito em seus registros informações, que supostamente, acenam para a
interação entre as linguagens como forma de auxiliar na compreensão do
problema. Perguntado sobre a sua compreensão, o referido sujeito afirma:
Nesse caso, não utilizei a regra normal da porcentagem (a fórmula), achei
melhor fazer uma regra de 3 simples, pois tinha um valor desconhecido,
que era o número de alunos que ela poderia levar. Então, depois o resto
foi mais fácil. Se 100% da turma é igual a 36 alunos, 25% é igual a x. Fiz
meios pelos extremos e pronto.

115

Mais uma vez, há indicações de que o sujeito em evidência, supostamente,
usou conhecimentos da linguagem algébrica na intenção de relacionar com o texto
do enunciado, ao invés de tentar resolver utilizando algoritmos e fórmulas prontas.
Ainda perguntando sobre a compreensão desse mesmo problema, o sujeito
S9o2 afirma:

É para levar 25% de 36 alunos, ou seja,

25
 36 .
100

Esta afirmação pode indicar que esse sujeito compreende alguns conceitos
básicos relacionados ao cálculo de porcentagem. Como também consegue
relacionar as informações do texto do enunciado com elementos importantes da
linguagem matemática, mesmo dando maior ênfase ao algoritmo. Este fato indica o
uso da interação entre as linguagens envolvidas no problema, na busca da
compreensão.
Tratando ainda sobre a compreensão do problema 02 o sujeito S9o4 escreve:
Eu não entendi muito bem mas fiz pela lógica de 36 só poderá levar 25%
em tão ela poderá levar 18 alunos.

A referida afirmação deixa indícios de que a falta de compreensão da
mensagem implícita no enunciado, como também a falta de domínio de conteúdos
matemáticos, mais especificamente, os conteúdos relacionados aos conceitos
básicos de porcentagem, contribuíram na incompreensão e consequentemente nas
dificuldades de definição de um plano de resolução.
Perguntado na entrevista: O que você entende por 25% (vinte e cinco por
cento)?
O sujeito S9o3, responde:
Então pensei: supondo que 36 fosse 100%, 25% também será a 4
dele.

parte

Nesse caso, os registros desse sujeito indicam que o mesmo possui certo
domínio do conteúdo matemático relacionado aos conceitos de porcentagem e

116

consegue relacionar estes conteúdos com as mensagens postas no texto do
enunciado, apesar de expressar pouca clareza nas suas afirmações.

4.3.1.4.3 Considerações acerca dos problemas

O problema aplicado no quinto ano do ensino fundamental I poderia ser
resolvido a partir da aplicação de um simples algoritmo. Para tanto era preciso
compreender elementos básicos envolvidos, para então definir pelo uso da
operação da adição, o que foi feito por todos os sujeitos da pesquisa.
Vale lembrar que incluímos este problema na categoria algébrico e
aritmético. Apesar da ideia algébrica não ter sido percebida por nenhum dos
sujeitos da pesquisa, o problema poderia ser resolvido usando conhecimentos
elementares de álgebra, onde a quantia desconhecida poderia ser tratada como
incógnita. Sobre esse dado, é importante enfatizar que o campo da álgebra não é
trabalhado nesse nível de ensino, mesmo admitindo que essas ideias já possam
ser percebidas por alguns alunos nessa fase da educação básica.
O problema aplicado no nono ano do ensino fundamental II podia ser tratado
como algébrico caso fizesse opção pelo conceito de regra de três simples. Por
outro lado, também poderia ser tratado como aritmético se fosse utilizado as
operações elementares para o cálculo de porcentagem.
Quanto a este problema, há indicações de que os sujeitos da pesquisa
procuraram interpretar as informações do enunciado buscando relacionar contexto
e conteúdo matemático, o que pode evidenciar a necessidade de interação entre as
linguagens na resolução de problemas matemáticos.

117

4.3.1.5 Problemas que envolvem geometria euclidiana

4.3.1.5.1 Quinto ano do ensino fundamental I

Quadro 27: Problema aplicado na atividade para diagnóstico
Problema 04. A parte destacada na malha quadriculada abaixo representa
uma figura na bandeira da escola de João. Cada lado do quadradinho mede 1
metro. Quantos metros de fita serão necessários para contornar essa figura?

Fonte: Prova Brasil 2009.
Conforme registros da figura 26 há indicações de que o sujeito S5o1
compreendeu a relação existente entre o enunciado e o registro geométrico
apresentado na situação problema. Nesse aspecto, as informações registradas por
ele indicam que por trás do texto do enunciado estava implícita a ideia de contar.
Ainda em relação à interpretação desse problema, o sujeito S5o1, mesmo
com pouca clareza, expõe a sua compreensão na figura 26, quando escreve:
Primeiro contei quantos lados tinham e depois multipliquei por esse
número.

118

Figura 26: Registros escritos pelo sujeito S5o1 sobre a resolução do problema 04.

Fonte: Atividades aplicadas pelo autor desta dissertação. (2012).
De forma quase semelhante, o sujeito S5o3 também pouco esclarece em
relação à compreensão, quando afirma:
Eu entendi que no quadro malha tinha muitos quadrados e cada lado tinha
1 metro então contei e cheguei ao resultado.

Perguntado na entrevista: Como você encontrou a quantidade de fita
necessária?
O sujeito S5o4 responde:
Eu entendi porque se cada lado mede um metro só é contar todos os
lados.

Ainda sobre esta indagação, responde o sujeito S5o2:
Essa eu não entendi direito mais fiz. Como só tinha 4 quadradinhos dentro
desse espaço e não tinha mais quadradinhos em destaque então eu fiz
4x1 que deu 4.

De acordo com as informações prestadas na atividade de leitura e escrita e
entrevista, há indicações de que os sujeitos da pesquisa procuraram recorrer a
elementos das linguagens presentes no enunciado, na intenção de compreender o
problema.
Como o problema apresentou um desenho geométrico como recurso para
auxiliar na compreensão do enunciado, isto pode ter sido relevante para a definição

119

do plano de ação, o que ficou bem explícito no registro do sujeito S5o4 ao relacionar
a ideia do enunciado com a noção de contar. Já em relação ao sujeito S5o2, as
informações contidas nos registros por ele produzidos, indicam que, esse sujeito
tem pouca compreensão das noções básicas de geometria, mais precisamente
aquelas relacionadas aos conceitos de perímetro e área, além da ideia intuitiva de
contar. Este fato fica evidente, quando o mesmo fez uma opção equivocada pelo
algoritmo da multiplicação.
4.3.1.5.2 Terceiro ano do ensino médio
Quadro 28: Problema aplicado na atividade para diagnóstico
Problema 01.
Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques cilíndricos a
partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a figura. Para uma
tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas pequenas.

Fonte: ENEM 2004.
A figura 27 ilustra a compreensão do sujeito S3oEM3 sobre a situação
problema 01 aplicada no terceiro ano do ensino médio.
Perguntado ao sujeito S3oEM3 em relação à compreensão do problema em
evidência, o mesmo responde:

120
Fiz os cálculos para saber qual dos tipos iria possuir a maior quantidade
de sobras. Porém, percebi que seria a mesma quantidade para todos.
Mesmo que tivesse variação de quantidade, não poderia obter a resposta
com clareza, pois não tinha especificando o número das figuras.

As afirmações registradas pelo sujeito em destaque indicam que, apesar do
mesmo ter adotado o cálculo como instrumento para se chegar à resposta, também
pode ter utilizado os resultados numéricos para realizar comparações, fato que
pode estar relacionado à retrospectiva da resolução (POLYA, 2006, p.5). O sujeito
talvez tenha tentado fazer uma provável retrospectiva na intenção de verificar a
existência de coerência entre os resultados obtidos e o que foi proposto no
enunciado.
Por outro lado, quando o sujeito afirma:
Mesmo que tivesse variação de quantidade, não poderia obter a resposta
com clareza, pois não tinha especificando o número das figuras.

Esta afirmação deixa indícios de que o sujeito possa não ter compreendido o
sentido da palavra “respectivamente”, usada no enunciado no sentido de relacionar
a cada um em particular, ou em separado. O que pode acenar para a importância
da interação entre as linguagens envolvidas no enunciado do problema.
Nessa mesma direção também é perceptível a incompreensão do problema
pelo sujeito S3oEM4.
Quando foi perguntado sobre o entendimento em relação à questão
proposta, o sujeito S3oEM4 responde:
A medida que a empresa produz mais tampas em um mesmo quadrado
mais espaço sobra. Então a III receberia mais material.

A falta de clareza desse sujeito em relação a sua resposta pode indicar que
a dificuldade de compreensão das linguagens envolvidas, como também a falta de
domínio do conhecimento matemático, mais precisamente os conhecimentos
relacionados ao cálculo de áreas de figuras planas, possam ter contribuído para
que ele não percebesse elementos importantes que pudessem contribuir na
compreensão do problema. Nesse sentido, pode-se inferir que a falta de domínio
das linguagens envolvidas no enunciado tenha levado o sujeito a uma interpretação
equivocada do problema.

121

Figura 27: Registros escritos pelo sujeito S3oEM3 sobre a resolução do problema
01.

Fonte: Atividades aplicadas pelo autor desta dissertação. (2012).
Quando solicitado e perguntado na entrevista: Explique como você entendeu
o problema. Houve necessidade de usar a fórmula da área do quadrado e do
círculo?
O sujeito S3oEM1 afirma:
Foi utilizado o cálculo da área do quadrado, ou seja, a fórmula. Em todas
2
elas o resultado deu 4m , tratando-se de três áreas iguais. Logo após esse
processo foi necessário calcular a área do círculo em cada quadrado. No
primeiro foi somente um cálculo e o raio do círculo, era do mesmo
tamanho do lado do quadrado; já na média foram quatro, sendo a metade
do lado o raio dos quatro círculos, ou melhor, o diâmetro, sendo metade
dele o raio, em todos os casos citados e na pequena, são calculados 16
vezes, sendo a primeira a de menor material.

Nas informações transmitidas por esse sujeito fica subentendida a falta de
domínio de conteúdos matemáticos referentes ao cálculo de áreas de figuras
planas, quando afirmou:

122
No primeiro foi somente um cálculo e o raio do círculo, era do mesmo
tamanho do lado do quadrado.

A afirmação do sujeito sugere equívocos na interpretação do enunciado,
talvez pela falta de domínio de alguns conceitos importantes da geometria plana.
Como exemplo pode-se citar a dúvida estabelecida entre raio e diâmetro, o que
pode ter levado a uma solução incoerente.

4.3.1.5.3 Considerações acerca dos problemas

O problema apresentado ao quinto ano do ensino fundamental I foi incluído
na categoria relacionada à geometria euclidiana plana, pelo fato do enunciado
apresentar registros constituintes desse campo da matemática.
Apesar da importância dos registros geométricos apresentados para a
compreensão do enunciado, há indícios de que os sujeitos da pesquisa
perceberam que a solução do problema estava relacionada com a noção de contar.
Já o problema aplicado no terceiro ano do ensino médio envolve conceitos
de geometria euclidiana plana, mais especificamente os relacionados ao cálculo de
áreas de figuras planas. O que requer, nesse aspecto, o domínio de outros
conceitos que serão necessários para a compreensão e posterior resolução.
Outro aspecto que pode ter contribuído para a incompreensão do enunciado
do problema em evidência foi a dificuldade de perceber a relação de
proporcionalidade entre os raios dos círculos envolvidos na questão. O que fica
subentendido que falhas na compreensão dos conceitos matemáticos contribuem
para interpretações equivocadas do texto do enunciado.

4.4. Relacionando elementos dos instrumentos de coleta de dados

Das análises das estratégias de resolução e dos textos orais e/ou escritos
construídos pelos sujeitos da pesquisa, há indicações que, independentemente do
nível de escolaridade investigado, aconteceram coincidências.
Na categoria de problemas a qual denominamos problemas com
insuficiência de dados, foram identificados elementos que corroboram com os
resultados da pesquisa realizada por Brousseau. Isso ficou subentendido quando

123

alguns dos sujeitos da pesquisa optaram pelo algoritmo, em detrimento às
informações implícitas nos textos dos enunciados que poderiam indicar para a
possibilidade de identificação de elementos que acenavam para a insuficiência de
dados.
Quando questionados sobre a resolução dos problemas.
Sobre a idade do capitão, afirma o sujeito S5o2:
Eu juntei 27 dos carneiros e 12 das cabras, pois só tinha esse valor para
dizer a idade do capitão. Eu juntei, pois não tinha outros números para
juntar.

Sobre a idade do maquinista, responde o sujeito S9o4:
Também não entendi muito bem porque eu não sabia que cálculos usar,
só que eu fiz assim, somei as pessoas que ficaram e as que saíram, então
a idade é 32 anos.

Por outro lado, ainda sobre as análises dessa categoria de problemas foram
identificadas situações, nos três níveis de ensino investigados, onde as estratégias
de resolução construídas pelos sujeitos da pesquisa podem indicar que eles
buscaram relacionar elementos das linguagens envolvidas na intenção de
compreender o texto do enunciado do problema proposto, o que pode ter
contribuído para uma interpretação correta. Sobre esse aspecto destacamos:
Nessa questão só havia dizendo quantos animais de cada tipo tinha e não
o
havia dizendo nada sobre um suposto capitão. (S5 1).
A idade do capitão não tem nada a ver com carneiros e com cabras. São
o
quantias e não são idades deles. (S5 4).
Então ele está perguntando quantos anos eu tenho, no caso 14 anos.

(S9o3).
Como a questão dá ênfase a idade e o exercício não informou, não é
o
possível obter a solução da questão. (S3 EM3).

Quando tratado do problema de lógica, pôde-se perceber que as
dificuldades também permaneceram.

124

No quinto ano do ensino fundamental I, única série onde foi aplicada essa
categoria de problema, no material produzido pelos sujeitos investigados pode
haver evidências de que também corroboram com os resultados da pesquisa de
Brousseau. Assim destacamos os registros produzidos pelos sujeitos:
Eu entende por que se em uma casa há quatro cantos em cada canto há
um gato e cada gato vê três gatos o total de gatos vai ser 16 porque 4x4 é
o
igual a 16.( S5 3).
Eu entende por que se em uma casa há quatro cantos em cada canto há
um gato e cada gato vê três gatos o total de gatos vai ser 12 porque 4x3 é
o
igual a 12. (S5 4).

Nessa mesma categoria de problemas também encontramos elementos que
podem ser relacionados ao uso da língua materna para a compreensão dos textos
dos enunciados propostos. Verificou-se que alguns dos sujeitos não conseguiram
evoluir em relação à interpretação, talvez pelo fato de não terem domínio da
linguagem

mínima

necessária

compreensão

dos

primeiros

conceitos

matemáticos, no caso, as primeiras noções de lógica, de aritmética e de geometria
(PAIS, 2008, p.37). Sobre este fato, merecem destaque os registros dos sujeitos
que acenaram para o domínio de uma linguagem mínima necessária, mesmo que
isto tenha ocorrido de forma incipiente:
Se em cada um dos quatro cantos havia um gato, cada gato não veria ele
mesmo e só os outros três gatos que estavam nos outros três cantos.

(S5o1).
Eu entendi que cada gato ficava em um cômodo, e cada gato via os outros
três gatos dos outros cômodos, e assim vai então chegar a conclusão que
o
avia 4 gatos. (S5 3).

Quanto à resolução dos problemas que envolveram princípios algébricos,
identificamos elementos

importantes

que podem indicar, de forma mais

contundente, a interação entre a linguagem matemática e a língua materna, talvez
pelo fato da álgebra trazer essa possibilidade de uma forma mais precisa e assim
permitir uma concisão entre elementos das duas linguagens. Esta questão pode
ficar evidente nos registros produzidos pelo sujeito (S9o1), quando afirmou:

125
Bom, primeiro, no enunciado são dados dois valores desconhecidos, o
número de galinhas e o número de coelhos. Depois, ao ler, vi que são
dados alguns valores que poderiam ajudar. Como cada animal tem uma
cabeça, fiz a equação x+y=26, e depois, como a galinha tem 2 pés e o
coelho 4, fiz a outra equação 2x+4y=64.

As ideias transmitidas a partir dos registros produzidos podem indicar que os
sujeitos buscaram elementos da língua materna na intenção de dar sentidos, às
respostas (SILVEIRA, 2005, p.93). Ainda nessa linha, vale a pena destacar que o
conhecimento prévio é indispensável para mobilizar o pensar ativo e reflexivo, para
que o sujeito possa compreender, pois, a compreensão é o principal objetivo da
resolução de problemas (ALLEVATO ;ONUCHIC, 2004, p.220).
Na categoria de problemas que trataram de aritmética e álgebra elementar
os registros produzidos também podem indicar a ideia que se tem sobre o cálculo
como elemento indispensável na resolução de problemas (SILVA, 2008, p.56). Os
registros que seguem podem enfatizar com certa clareza essa questão:
o

Somei e cheguei ao resultado que era R$ 420,00. (S5 4).
É para levar 25% de 36 alunos, ou seja,

25
 36 . (S9o2).
100

Vale destacar que alguns elementos textuais produzidos pelos sujeitos
investigados podem indicar para a importância da leitura e interpretação de textos
na resolução de problemas matemáticos. Fato este, de certa forma, implícito no
registro do sujeito S9o1, quando afirmou:
[...], não utilizei a regra normal da porcentagem (a fórmula), achei melhor
fazer uma regra de 3 simples, pois tinha um valor desconhecido, que era o
número de alunos que ela poderia levar.[...]. Se 100% da turma é igual a
36 alunos, 25% é igual a x. Fiz meios pelos extremos e, pronto.

Tais afirmações revelam a necessidade desse sujeito de utilizar a interação
entre as linguagens na intenção de compreender o texto do enunciado do problema
matemático.
Além disso, quando o sujeito S9o1 afirma:

126
Fiz meios pelos extremos e, pronto.

Este ato deixa subentendido que foi usada a propriedade fundamental da
proporção. O que mais uma vez pode indicar a necessidade de domínio de uma
linguagem mínima na resolução de problemas, seja em relação à matemática, seja
em relação à língua materna.
A última categoria de problemas analisados trata de geometria euclidiana
plana. De forma similar ao ocorrido nas categorias anteriormente analisadas, os
registros produzidos também acenam tanto para a influência do cálculo, como para
elementos textuais da língua materna. Nesse aspecto, vale destacar o que alguns
dos sujeitos afirmaram:
Essa eu não entendi direito mais fiz. Como só tinha 4 quadradinhos dentro
desse espaço e não tinha mais quadradinhos em destaque então eu fiz
O
4x1 que deu 4. (S5 2).
Fiz os cálculos para saber qual dos tipos iria possuir a maior quantidade
de sobras. Porém, percebi que seria a mesma quantidade para todos.

(S3OEM3).
Se por um lado há indicações do uso de algoritmos sem que seja dada
ênfase à questão da leitura, a interpretação do texto do enunciado para fins de
compreensão também foi utilizada na intenção de se estabelecer sentido, o que
pode ficar subentendida a necessidade da interação entre as linguagens na
compreensão dos textos dos enunciados dos problemas matemáticos.

127

5 CONSIDERAÇÕES FINAIS

No desenvolvimento dessa pesquisa, foi possível perceber que mapear o
caminho percorrido desde a leitura do texto do enunciado de um problema
matemático até a estruturação do pensamento matemático, é algo que requer
grande esforço por parte de quem o faz.
O caminho que se deve percorrer na intenção da compreensão do problema,
inicia-se na leitura do texto e complementa-se com as fases ou etapas de
resolução de problemas, que parte da definição do plano de ação, estendendo-se
até a retrospectiva (POLYA, 2006, p.4).
Convém enfatizar que a compreensão, fase que supostamente tem fortes
relações com a língua materna, faz desencadear todo o processo de resolução.
Através das estratégias de resolução adotadas, os elementos constituintes
do plano de ação estabelecido contribuem para relacionar contextos e conceitos.
Para tanto, torna-se necessário fazer a interação entre as linguagens presentes no
texto do enunciado do problema.
O percurso adotado durante a resolução de um problema é algo inerente ao
sujeito. Da compreensão do enunciado até uma provável solução, elementos que,
às vezes não estão explícitos nos registros construídos pelo sujeito, podem
contribuir para esclarecer se foram utilizadas estratégias que apontem para a
interação entre as linguagens no processo de compreensão.
É provável que as estratégias utilizadas possam estabelecer elos entre as
linguagens, buscando, dessa forma, uma continuidade entre as informações dadas
no enunciado, na intenção de representar o pensamento matemático abstrato
através de uma linguagem que possibilite a conversão das informações
matemáticas em representações fáceis de serem manipuladas.
Partimos do pressuposto de que ler e escrever são requisitos necessários
para a interpretação de enunciados de problemas matemáticos. Nesse sentido,
investigamos em duas escolas, localizadas na cidade de Maceió, quais estratégias
de resolução de problemas matemáticos os alunos do quinto e nono ano do ensino
fundamental e terceiro ano do ensino médio utilizaram, para a compreensão dos
enunciados dos problemas matemáticos.

128

De acordo com os registros produzidos na atividade para diagnóstico, na
atividade de leitura e escrita e na entrevista, pôde-se concluir que, mesmo de forma
incipiente, tanto os alunos do grupo ESC1, quanto os do grupo ESC2 utilizaram a
interação entre a linguagem matemática e a língua materna na interpretação dos
enunciados matemáticos, na intenção de compreender o problema. É provável que
a interação possa ter ocorrido a partir de uma suposta compreensão explicitada
através das estratégias de resolução utilizadas, bem como dos registros textuais
orais e/ou escritos produzidos pelos sujeitos colaboradores desta investigação.
De uma forma global, as estratégias de resolução e os registros textuais
orais e/ou escritos produzidos nas resoluções dos problemas propostos indicam
uma melhor compreensão, com pequena diferença, dos sujeitos pertencentes ao
grupo ESC1 em relação aos sujeitos do grupo ESC2.
Conforme demonstram os resultados, tanto no grupo ESC1 quanto no grupo
ESC2, em alguns dos problemas aplicados, parte dos sujeitos investigados
produziu estratégias do tipo: desenhos, gráficos e equações algébricas, como
também, recorreram à produção de pequenos textos como resultado da
compreensão. Este fato revela que, mesmo que o plano de ação adotado não
tenha levado à solução adequada do problema, fica evidente a relevância da
estratégia construída para fins de compreensão do texto do enunciado. O que, se
confirma, que todo plano de ação é resultado de uma suposta compreensão.
Os resultados também revelam que, tanto nos contextos aritméticos,
algébricos e geométricos, assim como, nos contextos que trataram de insuficiência
de dados, a postura de parte dos sujeitos teve forte tendência à prática
convencional do ensino de matemática, modelo que, se sustenta na concepção de
que todo problema matemático deve ter uma solução, sendo os procedimentos do
cálculo, o caminho mais adequado para se chegar a uma resposta.
De forma pontual, pôde-se perceber que alguns dos sujeitos da pesquisa,
em todas as séries investigadas, recorreram à língua materna, mesmo
apresentando dificuldades na conciliação das linguagens, foco deste estudo. Este
fato pode ser atribuído à necessidade de domínio de uma linguagem mínima
necessária à interpretação dos enunciados dos problemas propostos. Entende-se
assim que tal domínio pode não ser suficiente, porém, se constitui como um

129

instrumento necessário na construção da estratégia que pode levar o sujeito à
compreensão de um problema matemático.
Saber usar a matemática para resolver problemas práticos do quotidiano,
desponta, senão, como o principal, mas como um dos objetivos em destaque nas
Diretrizes Curriculares Nacionais (MEC/SEB, 2008, p.69). Certamente, a aquisição
da habilidade de resolver problemas exige como competências, conhecimentos de
elementos de outras linguagens. Nessa perspectiva, podemos considerar que a
aquisição de tais competências não ocorre de forma isolada, o que nessa direção,
pode-se destacar a língua materna como elemento relevante para auxiliar na
compreensão de problemas, o que, nesse aspecto, reforça a importância da
interação entre as linguagens no processo de compreensão do texto do enunciado
(ALLEVATO; ONUCHIC, 2004, p.222). Este fato acena para a necessidade da
dialogicidade entre o português e a matemática, na compreensão de conceitos e
consequentemente na resolução de problemas matemáticos.
Entender a matemática como disciplina de cunho dialógico, cuja linguagem
precisa ser dominada de forma significativa, pressupõe-se que se entenda também
a necessidade de interação entre as linguagens, no sentido de contribuir para que
o aprendiz possa compreender as informações constantes no enunciado para
facilitar a resolução do problema.
A interação entre a linguagem matemática e a língua materna é requisito
necessário que deve ser considerado na resolução de problemas. Cabe lembrar
que tanto quem ensina, quanto quem aprende precisa ter consciência dessa
interação.
Urge compreender a necessidade de se entender a matemática, colocandoa como uma linguagem necessária à vida, à compreensão e representação da
realidade. Além disso, a construção do conhecimento não ocorre de forma
compartimentalizada, o que nesse aspecto, justifica a importância do processo de
interação entre linguagem matemática e língua materna na compreensão de
enunciados de problemas matemáticos.
Por outro lado, também é importante compreender o espaço da
dialogicidade em sala de aula, no intuito de se estabelecer um elo entre as
linguagens, espécie de fio condutor para se perceber o sentido e garantir a

130

compreensão, elemento indispensável à resolução de problemas. O que, nessa
perspectiva, as linguagens envolvidas são fundamentais nesse processo.
Na realidade, o grande passo para iniciar a resolução de um problema
matemático se inicia na leitura e compreensão do texto do enunciado, pois, a
compreensão depende do saber relacionar o novo ao conhecimento já adquirido
(SILVEIRA, 2005, p.93).
Também é importante destacar a relevância da língua materna na mediação
do diálogo entre os conteúdos matemáticos presentes nos textos dos enunciados
dos problemas matemáticos. Através da linguagem matemática, instrumento de
representação do pensamento matemático indissociável do processo de construção
do conhecimento matemático, é que se busca a consolidação do diálogo entre os
conteúdos matemáticos, o que proporciona a compreensão (GRANEL apud
SANTOS, 2009, p. 117).
Constatou-se, também, nessa investigação, que, de forma pontual, algumas
estratégias construídas pelos sujeitos da pesquisa indicam que, no final da
educação básica, há uma melhora no processo de compreensão dos problemas
matemáticos, quando comparado às séries iniciais investigadas. Vale registrar que
nas séries iniciais, alguns dos sujeitos participantes da pesquisa construíram
estratégias que indicam a falta de domínio das linguagens envolvidas. Este fato
vem fortalecer a importância do domínio de uma linguagem mínima necessária à
resolução de problemas matemáticos (PAIS, 2008, p.37).
Resultados deste estudo também indicam que, para alguns sujeitos
investigados, a língua materna é pouco significativa, isto, talvez, se deva à lógica
estabelecida nos contratos didáticos, que podem ter priorizado o cálculo (SILVA,
2008, p.56). Por outro lado, pôde-se constatar que esses sujeitos, em alguns
casos, mesmo de forma inconsciente, recorrem à língua materna como forma de
entender os enunciados e facilitar o uso de elementos da linguagem matemática na
resolução de problemas matemáticos.
Por essas razões, alertamos para a importância de considerar no processo
de resolução de problemas, elementos relevantes, tais como: a linguagem adotada
pelo professor de matemática, a linguagem dos textos do livro didático, como
também a linguagem dos problemas a serem proposto ao aluno. Enfim, convém

131

destacar que a dificuldade de se compreender um problema matemático, também
perpassa pela incompreensão das linguagens presentes no texto do enunciado.
Importante também destacar que alguns dos sujeitos da pesquisa usaram de
estratégias para resolver problemas que seriam resolvidos com auxílio de
conhecimentos algébricos, a exemplo, as equações. Esta atitude denota a
fragilidade dos conhecimentos matemáticos desses sujeitos, principalmente, por
estarem em séries terminais do ensino fundamental e médio.
Sinalizamos também para a precariedade do ensino da matemática que se
evidencia, muitas vezes, na forma de resolução dos alunos, questão de maior
preocupação, principalmente por ocorrer nas series terminais.
Também é importante ressaltar a necessidade de se falar em matemática
como algo presente em nosso dia a dia e não apenas restrito ao diálogo entre os
que fazem matemática aprofundando algumas das especificidades dessa ciência,
pois, a matemática constitui parte da vida diária de qualquer sujeito.
Pela importância da matemática dentro da sociedade e da escola e pelas
dificuldades de compreensão dessa ciência, o que tem levado a altos índices de
reprovação escolar, seria desejável priorizar uma prática pedagógica que
valorizasse e incentivasse o trabalho interdisciplinar. Nessa direção, a possibilidade
de ler, escrever e compreender matemática, bem como, compreender as relações
que se estabelecem entre a matemática e outras áreas, seria de grande utilidade
para o despertar do interesse pela matemática por parte do aluno.
Diante das teorias que embasaram esta pesquisa e da identificação das
dificuldades dos sujeitos em resolver problemas, foram expostas possíveis
alternativas que podem contribuir na compreensão de conceitos matemáticos, por
meio de uma interface entre as linguagens discutidas no decorrer desta
investigação.
Espera-se, por enquanto, que os resultados desse estudo passam contribuir
para reflexões sobre o trabalho do professor de matemática que atua na educação
básica, como também, possa trazer benefícios para o avanço didático e
interdisciplinar do ensino da matemática.

132

REFERÊNCIAS

ALLEVATO, Norma Suely Gomes; ONUCHIC, Lourdes de La Rosa. Novas
reflexões sobre o ensino-aprendizagem da Matemática através da Resolução de
Problemas. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiani; BORBA, Marcelo de Carvalho
(Org.). Educação Matemática: pesquisa em movimento. São Paulo: Cortez, 2004.
BARDIN, Laurence. Análise de Conteúdo. Lisboa, Edições 70 Ltda., 2010.
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2007.

136

APÊNDICES

137

Apêndice A: Tabulação dos dados da atividade de leitura e escrita e
entrevistas
Quadro 29: Conteúdos referentes ao problema 01, coletados a partir da entrevistas
e atividade de leitura e escrita, produzidos pelos alunos do 5o ano do ensino
fundamental I, escolas ESC1 e ESC2.
Sujeito
Entrevistado

Explique como você entendeu o
enunciado do problema.

Palavra ou expressão
recorrente/categoria

S501

Nessa questão só havia dizendo
quantos animais de cada tipo tinha e,
não havia dizendo nada sobre um
suposto capitão. Aí dizia que tinha
carneiros e cabras, mas não tinha
dizendo nada sobre o capitão. Dizia
que tinha carneiros e cabras, mas não
dizia capitão com tal idade. Acho que
falta dados, ou então era pra ser assim
mesmo.
Eu entendi, pois já estudei adição,
então: Eu juntei 27 dos carneiros e 12
das cabras pois só tinha esse valor
para dizer a idade do capitão. Eu
juntei, pois não tinha outros números
para juntar.
Eu entendi que a conta seria assim: eu
iria pegar o total de carneiros e de
cabras e iria formar o resultado com
uma conta de mais.
A idade do capitão não tem nada a ver
com carneiros e com cabras. São
quantias e não são idades deles.

Acho que falta dados.

S502

S503

S504

Fonte: Construído pelo autor desta dissertação. (2012).

Juntei.

Conta de mais.

A idade do capitão não
tem nada a ver.

138

Quadro 30: Conteúdos referentes ao problema 01, coletados a partir da entrevistas
e atividade de leitura e escrita, produzidos pelos alunos do 9o ano do Ensino
Fundamental II, escolas ESC1 e ESC2.
Sujeito
Entrevistado
S901

Explique como você entendeu o
enunciado do problema.

Bom, primeiro, no enunciado são
dados dois valores desconhecidos, o
número de galinhas e o número de
coelhos. Os mesmos valores que ele
pede para descobrir no fim da
questão. Depois, ao ler, vi que são
dados alguns valores que poderiam
ajudar. Como cada animal tem uma
cabeça, fiz a equação x+y=26, e
depois, como a galinha tem 2 pés e o
coelho 4, fiz a outra equação
2x+4y=64.O que resultou num
sistema de equações.
S902
Galinha e coelho têm cabeça, então
são 26 dividido por dois. Galinha tem
duas patas e coelho 4 patas, então
teremos que dividir 64 sendo 4 para
coelhos e dois para galinha.
0
S9 3
Eu identifiquei o total de pés que era
64 e tive a seguinte lógica que dentro
desses 64 há galinhas e coelhos e
que galinha tem 2 pés e coelhos 4
pés. Então montei o enunciado na
minha forma de lógica. Tive que
pensar em dois números no qual um
supostamente fosse galinha e o
outro coelho.Daí fui colocando vários
números até chegar ao resultado.
S904
Eu entendi que há galinhas e
coelhos em tão eu pensei o seguinte
uma galinha tem dois pés e uma
cabeça e um coelho tem quatro e
uma cabeça em tão fiz da maneira
seguinte imaginei 40 galinhas e 24
coelhos e somei as patas e as
cabeças.
Fonte: Construído pelo autor desta dissertação. (2012).

Palavra ou expressão
recorrente/Categoria
Cada animal tem uma
cabeça, fiz a equação
x+y=26.
Como a galinha tem 2
pés e o coelho 4, fiz a
outra equação
2x+4y=64.

Galinha e coelho têm
cabeça.
Galinha tem duas patas
e coelho 4 patas.
Tentativa
.

Pensei o seguinte uma
galinha tem dois pés e
uma cabeça e um
coelho tem quatro e uma
cabeça.

139

Quadro 31: Conteúdos referentes ao problema 01, coletados a partir da entrevistas
e atividade de leitura e escrita, produzidos pelos alunos do 3o ano do Ensino Médio,
escolas ESC1 e ESC2.
Sujeito
Explique como você entendeu o
Entrevistado enunciado do problema.
S30EM1

Palavra ou expressão
recorrente/Categoria

Foi utilizado o cálculo da área do Foi utilizado o cálculo da
quadrado, ou seja, a fórmula e em área do quadrado, ou
todas elas o resultado deu 4m2, seja, a fórmula.
tratando-se de três áreas iguais.
Logo após esse processo foi
necessário calcular a área do círculo
em cada quadrado. No primeiro foi
somente um cálculo e o raio do
círculo, era do mesmo tamanho do
lado do quadrado; já na média foram
quatro, sendo a metade do lado o
raio dos quatro círculos, ou melhor, o
diâmetro, sendo metade dele o raio,
em todos os casos citados e na
pequena, são calculados 16 vezes,
sendo a primeira a de menor
material.
S30EM2
Não compareceu.
0
S3 EM3
Fiz os cálculos para saber qual dos
Fiz os cálculos.
tipos iria possuir a maior quantidade
de sobras. Porém, percebi que seria
a mesma quantidade para todos.
0
S3 EM4
Entendi. A medida que a empresa
mais tampas em um
produz mais tampas em um mesmo
mesmo quadrado mais
quadrado mais espaço sobra. Então
espaço sobra.
a III receberia mais material.
Fonte: Construído pelo autor desta dissertação. (2012).

140

Apêndice B: Atividades para diagnóstico resolvidas
1. Atividade para diagnóstico - Ensino Fundamental I: 5o Ano
Questão1. Em um navio há vinte e sete carneiros e doze cabras. Qual a
idade do capitão?
Comentário: Não há dados suficientes para encontrar a idade do capitão, pois, não há
nenhuma relação entre as informações matemáticas presentes no texto do
enunciado do problema proposto e a idade do capitão.

Questão 2. Numa casa há quatro cantos, em cada canto há um gato, cada
gato vê três gatos. Qual o total de gatos que existem na casa?
Comentário: O texto do enunciado afirma que na casa existem quatro cantos e que em cada
canto existe um gato. Este fato já é suficiente para concluir que o total de gatos
que existem na casa é igual a quatro.

Questão 3. Tinha uma quantia em reais guardada em um cofrinho. Gastei R$
150,00 e ainda tenho R$ 270,00. Quanto eu tinha no cofrinho?
Comentário I: Usando conhecimentos de aritmética, mais especificamente o campo aditivo, é
fácil perceber que o que foi gasto, adicionado ao que ainda tem, obtém-se a
quantia que existia inicialmente guardada no cofrinho.
Comentário II: Usando conhecimentos de álgebra elementar, pode-se equacionar a partir da
representação.
Quantia – 150,00 = 270,00
Para se obter o equilíbrio da equação, acrescentamos R$ 150,00, antes e
depois da igualdade.
Quantia – 150,00 +150,00 = 270,00 +150,00
Assim, podemos perceber que:
Quantia = 420,00

141

Questão 4. A parte destacada na malha quadriculada abaixo representa uma
figura na bandeira da escola de João. Cada lado do quadradinho mede 1
metro.

Quantos metros de fita serão necessários para contornar essa figura?
Comentário: Observando a parte em destaque na malha quadriculada, é possível perceber
que existem dez segmentos de reta cujo comprimento de cada um deles
equivale a 1 metro. Portanto, o total de fita que serão necessários para contornar
a figura em destaque é: 10 x 1 metro = 10 metros.

142

2. Atividade para diagnóstico - Ensino Fundamental II: 9o Ano
Questão 1. Em uma granja há galinhas e coelhos, num total de 26 cabeças e
64 pés. Quantas são as galinhas e quantos são os coelhos?
Comentário I: Discutindo a solução algébrica
Usando os conhecimentos de álgebra elementar, mais precisamente o conteúdo de
sistemas de equações.
Observando o texto do enunciado do problema, pode-se perceber que existem dois
elementos importantes que precisam ser equacionados, ou seja, o número de cabeças e o
número de pés dos animais citados.
Sabe-se, que dentro das condições normais, tanto galinha, quanto coelho possui
cabeça. Daí, o total de cabeças de galinhas que representamos pela incógnita G, adicionado
ao total de cabeças de coelhos que iremos representar pela incógnita C, chega-se ao total de
26 cabeças, ou seja, G  C  26 .
Por outro lado, considerando as condições normais, galinha possui dois pés e, coelho
quatro pés. Dessa forma, a quantidade de pés de galinha multiplicada pela quantidade de
cabeças de galinhas, nos dá o total de pés de galinhas, ou seja, 2G. Usando o mesmo
raciocínio, a quantidade de pés de coelhos multiplicada pela quantidade de cabeças de
coelhos, nos dá o total de pés de coelhos, ou seja, 4C. Assim, adicionando o total de pés de
galinhas 2G, ao total de pés de coelhos 4C, obtém-se o total de 64 pés. Assim
representamos: 2G  4C  64 .

G  C  26
, conclui-se
2G  4C  64

Por fim, resolvendo o sistema constituído pelas equações: 
que no quintal existem 20 galinhas e 6 coelhos.
Comentário II: Usando lógica
Etapa i: representa as 26 cabeças.

Etapa ii: Imaginar que todos os animais fossem galinhas. Dessa forma, distribui 2
pés para cada cabeça. Assim, de 26 cabeças vezes 2 pés, obtém-se 52 pés.
Etapa iii: Se todos os animais fossem galinhas, ainda sobravam 12 pés. Como
coelhos possuem quatro pés, devem-se distribuir mais dois pés dos 12 que sobraram, para
cada animal.
Etapa iv: Contar os animais que possuem dois pés e os animais que possuem
quatro pés.

143

Questão 2. Uma professora ganhou ingressos para levar 25% (vinte e cinco
por cento) de seus alunos ao circo da cidade. Considerando que essa
professora leciona para 36 alunos, quantos alunos ela poderá levar?
Comentário I: Usando o cálculo de porcentagem.
25% de 36 = (25/100)x36 = 9 alunos
Comentário I: Usando regra de três simples.
(100/25) = (36/x alunos)
x = 9 alunos.

Questão 3. Imagine que você seja o maquinista de um trem que partiu da
estação ferroviária localizada no centro de Maceió-AL, com 20 pessoas, das
quais, 10 são jovens, e os demais formam um grupo de dois casais de idosos
acompanhados de seis crianças. Em seguida, pára na estação de Bebedouro
e descem 3 jovens e entram 8 senhoras. Mais adiante, na estação de Fernão
Velho, descem 4 jovens e sobem 11 componentes de um grupo de pastoril,
folguedo típico do Estado de Alagoas. Sabendo-se que até a estação
ferroviária de Lourenço de Albuquerque localizada na cidade de Rio Largo-AL,
destino final do percurso, houve apenas mais uma parada, provavelmente na
cidade de Satuba-AL, onde subiu um grupo de forró composto por 4
membros, e que o trem chegou ao destino final com apenas 16 pessoas, qual
é a idade do maquinista?
Comentário: Quando o enunciado afirma: “Imagine que você seja o maquinista de
um trem”. Independentemente das informações matemáticas presentes no texto do enunciado
do problema, fica evidente que a idade do maquinista é a mesma idade do leitor do texto.

144

3. Atividade para diagnóstico - Ensino Médio: 3o Ano
Questão 1. Uma empresa produz tampas circulares de alumínio para tanques
cilíndricos a partir de chapas quadradas de 2 metros de lado, conforme a
figura. Para 1 tampa grande, a empresa produz 4 tampas médias e 16 tampas
pequenas.

1
metro
2
1
Raio pequeno: RP 
metro
4
Raio médio: RM 

1
1
RG , R P  RG .
2
4
Desse raciocínio pode-se deduzir que: RG  2 RM  4 RP .
Assim, relacionando os raios, temos: RM 

Relacionando as áreas, temos: AG  RG   ( 2 RM )   (4 R P )

145
2

Assim, AG  RG  4R M  16R P , Ou seja, as áreas em destaque em cada caso são
iguais. Portanto, as sobras também serão iguais.
Comentário II: Calculando os valores numéricos das áreas
Usando o conceito de área círculo: A  R

Calculando-se a área em destaque em cada caso, temos:
2

AG  RG  4R 2 M  16R 2 P
1
1
AG   12  4 ( ) 2  16 ( ) 2
2
4
1
1
AG   12  4 ( ) 2  16 ( ) 2
2
4

AG  AM  AP   m2
Logo, as áreas em destaque em cada caso são iguais. Portanto, as sobras também serão
iguais.

Questão 2. O nível da água em um reservatório rebaixa segundo um
comportamento linear representado pela relação entre as variáveis t e V, onde
t é o tempo dado em minutos e V é o volume dado em litros. A partir das
observações que se iniciam com a abertura de uma torneira observa-se a
relação entre as variáveis t e V, de acordo com os dados que seguem: V(0) =
500, V(1) = 490, V(2) = 480,..., V(49) =10 e V(50) = 0. De acordo com os
dados do enunciado, responda:
Qual o volume de água que existia no reservatório antes da torneira ser
aberta?
Interpretando as informações dadas no enunciado, observa-se que V (0)  500 . O
registro representativo indica que quando o tempo era zero minuto, o volume do reservatório
era 500 litros de água. De onde se conclui que, antes da torneira ser aberta o volume de água
que existia no reservatório era de 500 litros de água.

Em quanto tempo o reservatório estará completamente vazio?
Interpretando as informações dadas no enunciado, observa-se que V (50)  0 . O
registro representativo indica que quando o tempo atingiu 50 minutos, o reservatório estava
completamente vazio.

146

Qual a vazão de rebaixamento?
Interpretando a relação: V(0) = 500, V(1) = 490, V(2) = 480,..., V(49) =10 e V(50) =
0, pode-se perceber que, a cada minuto, o volume de água no reservatório diminui de 10
litros. Portanto, a vazão de rebaixamento é de 10 litros por minuto.
Observação: Outra forma de resolver esse problema seria relacionar o fenômeno do
enunciado com o modelo da função polinomial de grau 1, ou seja, V (t )  at  b . É possível
perceber na relação, V(0) = 500, V(1) = 490, V(2) = 480,..., V(49) =10, que o reservatório
perde volume de água igual, em intervalos de tempos iguais.

Questão 3. O elevador de um edifício de 10 andares parte do térreo com 4
pessoas: duas mulheres, 1 homem e uma criança. Pára no 5o andar e aí sai
uma mulher e entram 3 homens. No 7o, saem 2 pessoas. Sabendo-se que
houve apenas mais uma parada no 9o onde não desceu nenhuma criança e
que o elevador chegou ao 10o andar com 11 pessoas, pergunta-se qual é a
idade do ascensorista.
Comentário: Não há dados suficientes para encontrar a idade do ascensorista, pois, não há
como relacionar as informações matemáticas presentes no texto do enunciado
do problema proposto com a idade do ascensorista.

147

ANEXOS

148

Anexo A: TCLE
1. Termo de Consentimento Livre e Esclarecido (T.C.L.E.)
“O respeito devido à dignidade humana exige que toda pesquisa se processe após
consentimento livre e esclarecido dos sujeitos, indivíduos ou grupos que por si e/ou por seus
representantes legais manifestem a sua anuência à participação na pesquisa.” (Resolução. nº 196/96IV, do Conselho Nacional de Saúde)
2. Eu,................................................................................................, tendo sido convidad(o,a) a
participar como voluntário (a) do estudo da pesquisa RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS
MATEMÁTICOS NA EDUCAÇÃO BÁSICA: INTERAÇÃO ENTRE A LINGUAGEM MATEMÁTICA E A
LÍNGUA MATERNA, a ser realizado em escolas da cidade de Maceió, pertencentes à rede pública e
rede privada de ensino, recebi do(a) Sr. Luiz Galdino da Silva, do Centro de Educação da
Universidade Federal de Alagoas, responsável por sua execução, as seguintes informações que me
fizeram entender sem dificuldades e sem dúvidas os seguintes aspectos:
Que o estudo se destina a compreender se os conhecimentos acerca da língua portuguesa
dos alunos do quinto e nono ano do ensino fundamental e terceiro ano do ensino médio de duas
escolas localizadas na cidade de Maceió são satisfatórios para interpretação dos enunciados
matemáticos.
Que esse estudo começará em 15/03/2011 e terminará em 15/04/2011.
Que o estudo será feito da seguinte maneira: atividade para diagnóstico a ser aplicada aos
alunos (as) de duas escolas da cidade de Maceió, das quais, uma pertencente à rede pública e outra
à rede privada; e, atividade de leitura e escrita e entrevista complementar para dois alunos
selecionados por turma.
Que eu participarei das seguintes etapas: atividade para diagnóstico, atividade de leitura e
escrita e entrevista complementar.
Que não existem outros meios conhecidos para se obter os mesmos resultados.
Que a participação no estudo não me causará nenhum incômodo.
Que a participação no estudo não trará riscos à minha saúde física ou mental.
Que, sempre que desejar será fornecido esclarecimentos sobre cada uma das etapas do
estudo.
Que, a qualquer momento, eu poderei recusar a continuar participando do estudo e, também,
que eu poderei retirar este meu consentimento, sem que isso me traga qualquer penalidade ou
prejuízo.
Que as informações conseguidas através da minha participação não permitirão a identificação
da minha pessoa, exceto aos responsáveis pelo estudo, e que a divulgação das mencionadas
informações só será feita entre os profissionais estudiosos do assunto.
Que eu não deverei ser indenizado por qualquer despesa que venha a ter com a minha
participação nesse estudo.
Finalmente, tendo eu compreendido perfeitamente tudo o que me foi informado sobre a minha
participação no mencionado estudo e estando consciente dos meus direitos, das minhas
responsabilidades, dos riscos e dos benefícios que a minha participação implica, concordo em dele
participar e para isso eu DOU O MEU CONSENTIMENTO SEM QUE PARA ISSO EU TENHA SIDO
FORÇADO OU OBRIGADO.
Endereço do(a) participante-voluntário(a)
Domicílio: (rua, praça, conjunto):
Bloco /Nº: /Complemento:
Bairro/CEP/Cidade: /Telefone/e-mail:
Ponto de referência:

149
Contato de urgência: Sr(a).
Domicílio: (rua, praça, conjunto):
Bloco/Nº: /Complemento:
Bairro/CEP/Cidade: /Telefone/e-mail:
Ponto de referência:

Endereço do(os) responsável(is) pela pesquisa (OBRIGATÓRIO):
Instituição: Universidade Federal de Alagoas/ Centro de Educação
Endereço Campus A. C. Simões, BR 104 - Norte, Km 97, Cidade Universitária Bloco /Nº: /Complemento:
Bairro /CEP/Cidade: Tabuleiro dos Martins, CEP 57072-970, Maceió- AL.
Telefones p/contato: (82) 32414523 e 9924 6289 (pesquisador)

ATENÇÃO: Para informar ocorrências irregulares ou danosas durante a sua participação no
estudo, dirija-se ao: Comitê de Ética em Pesquisa da Universidade Federal de Alagoas:
Prédio da Reitoria, sala do C.O.C. , Campus A. C. Simões, Cidade Universitária, Telefone: 32141041
Maceió, ___de ____________ de 2010.

Assinatura do(a) voluntário(a) ou responsável
legal

Nome e Assinatura do responsável pelo estudo

150

Anexo B: Carta solicitando autorização para realização da pesquisa

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
CENTRO DE EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO
MESTRADO EM EDUCAÇÃO BRASILEIRA

Prezado (a) Gestor (a),
Como aluno regular do Mestrado - Programa de Pós-Graduação em
Educação – PPGE - Centro de Educação – CEDU - Universidade Federal de
Alagoas – UFAL venho solicitar, nesta oportunidade, a vossa autorização para
aplicação de atividade diagnóstica e atividade de leitura e escrita com
entrevista, junto aos alunos da disciplina Matemática, no 5o e 9o ano do Ensino
Fundamental e 3o ano do Ensino Médio da Escola .................................................,
sob a sua Gestão. Os dados a serem coletados serão utilizados para fins de estudos
cujos resultados constarão em nossa dissertação de Mestrado, que tem como título:
Resolução de Problemas Matemáticos na Educação Básica: interação entre a
linguagem matemática e a língua materna, sob a orientação da Profa. Dra.
Mercedes Bêtta Quintano de Carvalho Pereira dos Santos.
Sua autorização é de suma importância, sem a qual não se poderá realizar
este estudo investigativo que será fundamental para o desenvolvimento de nossa
pesquisa.
Outrossim, informo-vos que o material coletado será utilizado apenas para
fins de pesquisa e que os resultados da mesma serão encaminhados a esta escola
tão logo concluído os resultados finais.
LUIZ GALDINO DA SILVA
Assinatura:________________________________________________________
Aluno Regular do PPGE/CEDU/UFAL
Matrícula no 10130314 RG: 330 950 – SSP/AL CPF: 376266634 20
Tel.: (82) 3241-4523 e 9924-6289
AUTORIZAÇÃO PARA APLICAÇÃO DE ATIVIDADE DIAGNÓSTICA E ATIVIDADE
DE LEITURA E ESCRITA COM ENTREVISTA
Eu,
__________________________________________________________________,
identificado (a) como Gestor (a) da Escola .......................................... relacionada
abaixo, autorizo a aplicação de atividade diagnóstica e atividade de leitura e
escrita com entrevista, aos alunos da disciplina Matemática na Educação Básica,
no 5o e 9o ano do Ensino Fundamental e 3o ano do Ensino Médio.
Maceió, _____ de ________________ 2011.
Assinatura: ________________________________________________________
Escola: ........................................................
RG: ________________________________ CPF:___________________________

151

Anexo C: Planos de Cursos do grupo ESC1
Quadro 32: Plano de curso do quinto ano do ensino fundamental I
CURSO: ENSINO FUNDAMENTAL l – 5o ANO
COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA
PROFESSOR:
OBJETIVO GERAL:
Permitir ao educando um conhecimento sistemático sequenciado dos elementos e das relações
que compõem o universo matemático, a fim de que o aluno possa desenvolver o raciocínio lógico,
interpretando com coerência a linguagem matemática, visando a sua aplicabilidade na resolução
de problemas.
METODOLOGIA DE ENSINO:
A disciplina será desenvolvida por meio de aulas teóricas, seminários, análises de gráficos,
discussões, debates, exercícios de sala e/ou casa e trabalhos práticos, orais e escritos, entre
outros.
Unidade I
Unidade II
Unidade III
Conteúdos:
Conteúdos:
Conteúdos:
 O homem cria símbolos
 Resolvendo problemas
 Múltiplos e divisores de um
número natural
 Numeração
 Tópicos de geometria
 Números primos
 Os números naturais
 Formas geométricas planas
 Decomposição
de
um
 Sistema
de
numeração  Segmento de reta
número natural em fatores
decimal
 Polígonos
primos
 Ordens e classes
 Triângulos
 Frações
 Simbologias
 Quadriláteros
 Frações e porcentagem
 Operações com números  Circunferência
 Operações com frações
naturais
 Sistema de medidas
 Expressão numérica
 Combinações

AVALIAÇÃO:
Observações a partir de instrumentos para registros (aspecto cognitivo, habilidades e
atitudes), situações escritas, (trabalhos, provas,...) e orais (debates, explicações justificativas,
argumentações,...) análise do erro como caminho para buscar o acerto, autoavaliação.
BIBLIOGRAFIA:
A Conquista da Matemática
 José Ruy Giovanni
EDITORA: FTD – 4o ano.
OBSERVAÇÕES:

152

Quadro 33: Plano de curso do nono ano do ensino fundamental II
o

CURSO: ENSINO FUNDAMENTAL II - 9 ANO
COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA
PROFESSOR:
OBJETIVO GERAL:
Aprender Matemática de forma contextualizada, integrada a outros conhecimentos, buscando
propiciar aos alunos situações que os levem a uma motivação no querer aprender, capacitando-o
para compreender e interpretar situações, para se apropriar de linguagens especificas,
argumentar, analisar e avaliar, tirar conclusões próprias, tomar decisões, generalizar e para
muitas outras ações necessárias a sua formação.
METODOLOGIA DE ENSINO:
A seleção de conteúdos organizados em temas ou de outra forma é apenas uma primeira decisão
de caráter pedagógico. É preciso também cuidar de outros aspectos didático-pedagógicos, tendo
em vista que a proposta é a de articular conteúdos e competências e a forma de trabalho é
determinante para que muitas das competências almejadas possam se desenvolver.
A utilização de recursos como computador, calculadora, jogos, podem contribuir para o
desenvolvimento intelectual do aluno. Além do livro-didático, aulas expositivas, avaliações
continuas, trabalhos individuais ou em grupos, uso de multimídia, seminários, pesquisa de
campo, debates e outros.
Unidade I
Unidade II
Unidade III
Unidade IV
Conteúdos:
Conteúdos:
Conteúdos:
Conteúdos:
●Potenciação
●Equação do 2.° grau ●Semelhança
●Noções
de
●Radiciação
●Equações redutíveis ●Relações
métricas trigonometria
ao 2° grau
no triângulo retângulo ●Polígonos regulares
●Equações
●Noções
de ●Circunferência
e
fracionárias
probabilidade
arcos
●Equações
●Noções
de ●Área das superfícies
biquadradas
estatística
planas
●Equações irracionais ●Funções

AVALIAÇÃO:
Na atual perspectiva de um currículo de Matemática para o ensino fundamental e médio, novas
funções são indicadas à avaliação, na qual se destacam uma dimensão social e uma dimensão
pedagógica.
As formas de avaliação devem contemplar também as explicações, justificativas e
argumentações orais, uma vez que estas revelam aspectos do raciocínio que muitas vezes não
ficam evidentes nas avaliações escritas.
Sendo assim, é fundamental que os resultados expressos pelos instrumentos de avaliação,
sejam eles, trabalhos, provas, registros das atitudes dos alunos, forneçam ao professor
informações sobre as competências de cada aluno.
BIBLIOGRAFIA:
Ana Lucia Bordeaux, Cléa Rubinstein, Elizabeth França, Elizabeth Ogliari e Gilda Portela,
Matemática em ação.
Edwaldo Bianchini, Matemática.
OBSERVAÇÕES:

153

Quadro 34: Plano de curso do terceiro do ensino médio
CURSO: ENSINO MÉDIO – 3o ANO
COMPONENTE CURRICULAR: MATEMÁTICA
PROFESSOR:
OBJETIVO GERAL:
Aprender Matemática de forma contextualizada, integrada a outros conhecimentos, buscando
propiciar aos alunos situações que os levem a uma motivação no querer aprender, capacitando-o
para compreender e interpretar situações, para se apropriar de linguagens específicas,
argumentar, analisar e avaliar, tirar conclusões próprias, tomar decisões, generalizar e para
muitas outras ações necessárias à sua formação.
METODOLOGIA DE ENSINO:
A seleção dos conteúdos organizados em temas ou de outra forma é apenas uma primeira
decisão de caráter pedagógico. É preciso também cuidar de outros aspectos didáticospedagógicos, tendo em vista que a proposta é a de articular conteúdos e competências e a forma
de trabalho é determinante para que muitas das competências almejadas possam se
desenvolver.
Unidade I
Conteúdos:
 Geometria plana
 Geometria espacial I

Unidade II
Conteúdos:
 Geometria espacial II
 Geometria analítica I

Unidade III
Conteúdos:
 Geometria analítica II
 Geometria analítica III
 Números complexos

AVALIAÇÃO:
Na atual perspectiva de um currículo de Matemática, para o ensino fundamental e médio,
novas funções são indicadas à avaliação, na qual se destacam uma dimensão social e uma
dimensão pedagógica.
As formas de avaliação devem contemplar também as explicações, justificativas e
argumentações orais, uma vez que estas revelam aspectos do raciocínio que muitas vezes não
ficam evidentes nas avaliações escritas.
Sendo assim, é fundamental que os resultados expressos pelos instrumentos de avaliação,
sejam eles trabalhos, provas, registros das atitudes dos alunos, forneçam ao professor
informações sobre as competências de cada aluno.

BIBLIOGRAFIA:
1. MATEMÁTICA FUNDAMENTAL – UMA NOVA ABORDAGEM
VOLUME ÚNICO
 José Ruy Giovanni
 José Roberto Bonjorno
 José Ruy Giovanni Jr.
EDITORA: FTD

OBSERVAÇÕES: Propostas para aula de campo:
1. Hidrelétrica de Xingó