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                    UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS E
MATEMÁTICA (PPGECIM)

EWELLYN AMÂNCIO ARAÚJO BARBOSA

A ARGUMENTAÇÃO NAS AULAS SOBRE PROBABILIDADE DO 5º
ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL: UMA PROPOSTA DE
INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA

Maceió - AL
2023

EWELLYN AMÂNCIO ARAÚJO BARBOSA

A ARGUMENTAÇÃO NAS AULAS SOBRE PROBABILIDADE DO 5º
ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL: UMA PROPOSTA DE
INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA

Dissertação
apresentada
à
banca
examinadora como requisito parcial à
obtenção do Título de Mestre em Ensino
de Ciências e Matemática – Área de
Concentração
“Saberes
e
Práticas
Docentes”, pelo Programa de PósGraduação em Ensino de Ciências e
Matemática da Universidade Federal de
Alagoas.
Orientadora: Profa.
Oliveira Lozada

Maceió - AL
2023

Dra

Cláudia

de

FOLHA DE CATALOGAÇÃO DA BIBLIOTECA

FOLHA DE APROVAÇÃO

AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus, por ter me ajudado em todos os momentos, sendo meu
alicerce e me abençoando com sabedoria e infinita bondade durante todo este período.
Aos meus pais, por terem me ensinado valores e princípios que guardarei por
toda vida. Mainha, para sempre guardarei sua dedicação e amor entrega por mim e
minhas irmãs. Painho, sempre guardarei seus ensinamentos e cuidado para comigo.
Agradeço a minha vólus, por transbordar tanto amor e zelo para que eu pudesse
estudar ao longo desses anos.
A toda minha família, por estarem comigo sempre que precisei, às minhas irmãs
Mili e Bequinha, Weslley, Jane, Titia, Glorinha, Jailton, RJ. Gratidão a todos!
Ao meu avô Agapito, que não está mais nessa vida terrena, mas que estaria feliz
por essa conquista e fazendo mil perguntas, como sempre gostou. Te amarei
eternamente, meu avô.
Aos meus amigos que sempre estiveram presentes, acreditando em mim e me
trazendo alegria nos momentos mais difíceis. Em especial, gostaria de agradecer a
Hadassa e Magão, vocês fazem parte da minha vida e eu amo vocês.
Agradeço as "migles" que sempre me deram apoio e me encorajaram a
prosseguir com mais calma. Aos meus amigos que o trabalho me proporcionou, por
todas as gargalhadas e leveza que me trouxeram em diversos momentos.
Quero agradecer aos meus companheiros de mestrado. Ao Sidney, por ser meu
amigo desde a graduação, compartilhando alegrias e superações ao longo desse
caminho. Ao Felipe, por sempre se manter presente, mesmo de longe. A Jaciara, pela
parceria ao longo desse percurso.
À minha orientadora Profª Drª Claudia de Oliveira Lozada, que não mede
esforços para fazer com qualidade o ensino, a pesquisa e a extensão. Obrigada por
todos os ensinamentos e conselhos que em muitos momentos se tornaram essenciais
para o desenvolvimento deste trabalho. Gratidão!

À banca examinadora que se dispôs a trazer contribuições nesse momento
ímpar e que auxiliarão para o crescimento e melhoria dessa dissertação. Gratidão aos
professores Elton Casado Fireman (UFAL- Universidade Federal de Alagoas) e Márcio
Pironel (IFSP) por fazerem parte desta etapa importante de minha vida.
Agradeço ao Professor Karl W. Kosko, docente associado de Educação
Matemática na Kent State University, que disponibilizou seus artigos acerca do
processo argumentativo em Matemática, contribuindo significativamente para a
construção desta dissertação.
Ao meu esposo, Fernando Marinho, que sempre me apoiou e acreditou em
mim, me incentivando e compartilhando respeito, amor e carinho em nosso
relacionamento. Eu te amo e sou grata a Deus por sua vida!
Por fim, obrigada a todos que participaram diretamente ou indiretamente para a
realização desse trabalho!
"A vida se faz com essas horas, pequenas maravilhas na voz do coração,
mundos se vão, mas essas horas, breves horas, ficarão".

RESUMO
A Base Nacional Comum Curricular (BNCC) considera a argumentação essencial no
processo de aprendizagem, colocando-a como uma das competências gerais a ser
desenvolvida ao longo da Educação Básica. Nesse sentido, a presente pesquisa tem
como objetivo analisar quais as contribuições que o processo argumentativo nas aulas
de Probabilidade no 5° ano do Ensino Fundamental poderá trazer para o
desenvolvimento do pensamento probabilístico. Para tanto, realizamos uma pesquisa
qualitativa caracterizada por uma intervenção, na qual foi elaborada uma trilha de
aprendizagem com tarefas e jogos, numa perspectiva de investigação matemática
(PONTE, 2003), envolvendo conceitos de probabilidade, sendo aplicada para a turma
do 5º ano do Ensino Fundamental de uma escola da rede privada de Maceió (AL).
Fundamentando-se nos padrões discursivos I-R-F (Iniciação-Resposta-Feedback) e IR-A (Iniciação-Resposta-Avaliação) e nos modelos de argumentação propostos por
Toulmin (1958) e Kosko (2018), pudemos analisar as interações discursivas dos alunos
durante a realização das tarefas. Os resultados demonstraram que o grupo
pesquisado não possui o hábito de argumentar nas aulas de Matemática, visto que o
ensino é centrado na resolução de exercícios e problemas com a finalidade de obter
uma resposta numérica sem discuti-la, o que priva os alunos da possibilidade de
argumentação e exposição do pensamento probabilístico, seja de modo oral ou escrito.
Porém, foi constatado que ao utilizar as estratégias de investigação matemática para a
aprendizagem dos conceitos de probabiliidade, com questionamentos que possibilitam
a argumentação e a quebra da tríade: Iniciação-Resposta-Feedback e IniciaçãoResposta-Avaliação, os alunos conseguiram fundamentar e organizar ideias que
outrora não eram capazes de expor. Ademais, o grupo pesquisado apresentou
resistência para o desenvolvimento da argumentação escrita, certamente decorrente da
ausência da produção de textos nas aulas de Matemática, bem como da
preponderância dada pelas mídias sociais aos aspectos visuais e orais, nos quais,
frases curtas com palavras abreviadas tornam o vocabulário dos alunos mais reduzido,
o que não permite a construção de conjecturas e estruturas de justificação mais
robustas. Por fim, também identificamos padrões discursivos que fogem da interação
triádica, proporcionando que sejam desencadeadas argumentações mais consistentes,
que vão além da pura opinião, mas que são pautadas na criticidade, defesa, refutação,
hipóteses e garantia do que está sendo dito ou escrito, sendo que ficou demonstrado
que o grupo pesquisado conseguiu evoluir em relação ao domínio dos conceitos de
probabilidade, concluindo-se que a trilha de aprendizagem contribuiu significativamente
nesse processo, recomendando-se que os professores estimulem as interações
discursivas durante as aulas de Matemática para que a argumentação passe a integrar
o processo ensino-aprendizagem.
Palavras-Chave: Argumentação; Ensino de Probabilidade; Padrões Discursivos;
Investigação Matemática; Anos Iniciais do Ensino Fundamental.

ABSTRACT
The National Common Curricular Base (BNCC) considers argumentation essential in
the learning process, placing it as one of the general skills to be developed throughout
Basic Education. In this sense, this research aims to analyze what contributions the
argumentative process in Probability classes in the 5th grade of Elementary School can
bring to the development of probabilistic thinking. To this end, we conducted a
qualitative research characterized by an intervention, in which a learning path with tasks
and games was developed, from a perspective of mathematical investigation (PONTE,
2003), involving concepts of probability, and was applied to the 5th grade class of
Elementary School in a private school in Maceió (AL). Based on the I-R-F (InitiationResponse-Feedback) and I-R-A (Initiation-Response-Evaluation) discursive patterns
and the argumentation models proposed by Toulmin (1958) and Kosko (2018), we were
able to analyze the students' discursive interactions while performing the tasks. The
results showed that the group studied does not have the habit of arguing in
Mathematics classes, since teaching is centered on solving exercises and problems
with the purpose of obtaining a numerical answer without discussing it, which deprives
students of the possibility of argumentation and exposition of probabilistic thinking,
whether orally or in writing. However, it was found that by using mathematical research
strategies to learn the concepts of probability, with questions that enable argumentation
and the breaking of the triad: Initiation-Response-Feedback and Initiation-ResponseEvaluation, students were able to substantiate and organize ideas that they were
previously unable to express. Furthermore, the group studied showed resistance to
developing written arguments, certainly due to the lack of text production in
Mathematics classes, as well as the predominance given by social media to visual and
oral aspects, in which short sentences with abbreviated words reduce students'
vocabulary, which does not allow for the construction of conjectures and more robust
justification structures. Finally, we also identified discursive patterns that deviate from
triadic interaction, allowing more consistent arguments to be triggered, which go beyond
pure opinion, but are based on criticality, defense, refutation, hypotheses and guarantee
of what is being said or written, and it was demonstrated that the group studied
managed to evolve in relation to the mastery of probability concepts, concluding that the
learning path contributed significantly to this process, recommending that teachers
encourage discursive interactions during Mathematics classes so that argumentation
becomes part of the teaching-learning process.
Keywords: Argumentation; Teaching Probability; Discourse Patterns; Mathematical
Investigation; Early Years of Elementary School.

LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Modelo de Pensamento Probabilístico proposto por Hokor (2023)

38

Figura 2: Elementos de conhecimento de letramento probabilístico

44

Figura 3: Dados antigos utilizados em jogos de azar

47

Figura 4: Coleção dos livros de Matemática analisados

56

Figura 5: Exemplo de atividade para a escrita argumentativa

97

Figura 6: Estrutura da argumentação proposta por Toulmin I

102

Figura 7: Estrutura da argumentação proposta por Toulmin II

104

Figura 8: Estrutura da argumentação proposta por Toulmin III

105

Figura 9: Exemplificando um questionamento

110

Figura 10: Versão traduzida do diagrama proposto por Kosko

112

Figura 11: Esquema da autonomia, tempo e discussão

113

Figura 12: Estrutura da argumentação

123

Figura 13: Aluno 1 e o pôster com a resolução

135

Figura 14: Aluno 2 e o pôster com a resolução

135

Figura 15: Trilha de aprendizagem

146

Figura 16: The Vile Vendor

151

Figura 17: Folha para escrever a explicação do jogo de modo argumentativo

153

Figura 18: Materiais e exemplo prático

155

Figura 19: Cenários desenvolvidos

157

Figura 20: Moldes dos elementos adesivos

158

Figura 21: Quadros com alguns dos elementos

158

Figura 22: Moldes dos tabuleiros e personagens

162

Figura 23: Tabuleiro impresso e personagens já construídos

163

Figura 24: Molde quebra-cabeça

168

Figura 25: Vídeo tutorial do quebra-cabeça

171

Figura 26: Atividade dos quadrinhos

172

Figura 27: Atividade cartolina

174

Figura 28: Moldes probabilinha

175

Figura 29: Desafio mapa do tesouro

181

Figura 30: Questionário a priori impressos

188

Figura 31: Gráfico da pergunta 1 do questionário a priori- Parte A

189

Figura 32: Gráfico da pergunta 2 do questionário a priori- Parte A

190

Figura 33: Gráfico da pergunta 3 do questionário a priori- Parte A

191

Figura 34: Gráfico da pergunta 4 do questionário a priori- Parte A

191

Figura 35: Gráfico da pergunta 5 do questionário a priori- Parte A

192

Figura 36: Pergunta 7 (a) do questionário a priori – Parte A

192

Figura 37: Trecho de resposta de aluno referente à pergunta 7 (b) do questionário a
priori- Parte A
194
Figura 38: Pergunta 8 do questionário a priori – Parte A

195

Figura 39: Gráfico da pergunta 1 do questionário a priori- Parte B

198

Figura 40: Trecho da resposta de aluno referente à pergunta 2 do questionário a prioriParte B
199
Figura 41: Gráfico da pergunta 3 do questionário a priori- Parte B

200

Figura 42: Tirinha da pergunta 5 do questionário a priori- Parte B

202

Figura 43: Gráfico da pergunta 6 do questionário a priori- Parte B

203

Figura 44: Gráfico da pergunta 7 do questionário a priori- Parte B
204
Figura 45: Gráfico da pergunta 8 do questionário a priori- Parte B
205
Figura 46: Trecho de resposta de aluno referente à pergunts 10 (a) do questionário a
priori- Parte B
208
Figura 47: Trecho de resposta de aluno referente à pergunts 10 (b) e (c) do questionário
a priori- Parte B
211
Figura 48: Cadernos individuais impressos para os alunos

212

Figura 49 - Respostas dos alunos A7 e A9 da atividade do jogo The Vile Vendor
Figura 50 - Respostas dos alunos A2 e A10 da atividade do jogo The Vile Vendor
Figura 51: Algumas participantes do jogo tampesca

216

Figura 52: Participante do tampesca de preparando para a sua pescaria

216

Figura 53: Ambiente da atividade “quadraleatórios”

221

Figura 54: Gráfico da pergunta 1 da atividade 1 do encontro 1

225

Figura 55: Gráfico da pergunta 2 da atividade 1 do encontro 1

226

Figura 56: Números para serem circulados da pergunta 3

226

Figura 57: Gráfico da pergunta 3 da atividade 1 do encontro 1

227

Figura 58: Gráfico da pergunta 4 da atividade 1 do encontro 1

227

Figura 59: Frutas do enunciado da pergunta 5 (encontro 1)

228

Figura 60: Gráfico da pergunta 5 da atividade 1 do encontro 1

229

Figura 61: Gráfico da pergunta 6 da atividade 1 do encontro 1

230

Figura 62: Gráfico da pergunta 8 da atividade 1 do encontro 1

231

Figura 63: Gráfico da roleta da questão 9 (Encontro 1)

231

Figura 64: Gráfico da pergunta 10 (a) da atividade 1 do encontro 1

233

Figura 65: Gráfico da pergunta 10 (b) da atividade 1 do encontro 1

233

Figura 66: Gráfico da pergunta 10 (c) da atividade 1 do encontro 1

234

Figura 67: Palavra embaralhada da pergunta 11

235

Figura 68: Gráfico da pergunta 11 (a) da atividade 1 do encontro 1

235

Figura 69: Gráfico da pergunta 11 (b) da atividade 1 do encontro 1

236

Figura 70: Gráfico da pergunta 11 (c) da atividade 1 do encontro 1

237

Figura 71: Gráfico da pergunta 11 (d) da atividade 1 do encontro 1

238

Figura 72: Gráfico da pergunta 11 (e) da atividade 1 do encontro 1

239

Figura 73: vidro com as bolinhas da questão 12

239

Figura 74: Roleta do enunciado da questão 13

241

Figura 75: Gráfico da pergunta 13 (a) da atividade 1 do encontro 1

241

Figura 76: Gráfico da pergunta 13 (b) da atividade 1 do encontro 1

242

Figura 77: Gráfico da pergunta 13 (c) da atividade 1 do encontro 1

243

Figura 78: Gráfico da pergunta 13 (d) da atividade 1 do encontro 1

243

Figura 79: Gráfico da pergunta 13 (e) da atividade 1 do encontro 1

244

Figura 80: Gráfico da pergunta 15 (a) da atividade 1 do encontro 1

246

Figura 81: Gráfico da pergunta 15 (b) da atividade 1 do encontro 1

246

Figura 82: Saquinho de bolas da questão 16 do encontro 1

247

Figura 83: Gráfico da pergunta 16 (a) da atividade 1 do encontro 1

248

Figura 84: Gráfico da pergunta 16 (b) da atividade 1 do encontro 1

248

Figura 85: Gráfico da pergunta 16 (c) da atividade 1 do encontro 1

249

Figura 86: Gráfico da pergunta 2 da atividade 2 do encontro 1

250

Figura 87: Gráfico da pergunta 3 da atividade 2 do encontro 1

250

Figura 88: Gráfico da pergunta 4 da atividade 2 do encontro 1

251

Figura 89: Resposta de um aluno para a atividade 2 do encontro 1

251

Figura 90: Gráfico da pergunta 2 da autoavaliação do encontro 1
Figura 91: Gráfico da pergunta 9 da autoavaliação do encontro 1
Figura 92: Aplicação do jogo correndo ao acaso

252
256
259

Figura 93: Gráfico do tópico 2 da atividade 2 (em grupo) do encontro 2

265

Figura 94: Gráfico do tópico 3 da atividade 2 (em grupo) do encontro 2

265

Figura 95: Gráfico do tópico 4 da atividade 2 (em grupo) do encontro 2

266

Figura 96: Gráfico do tópico 5 da atividade 2 (em grupo) do encontro 2

266

Figura 97: Gráfico do tópico 6 da atividade 2 (em grupo) do encontro 2

267

Figura 98: Gráfico do tópico 2 da atividade final do encontro 2

268

Figura 99: Gráfico do tópico 3 da atividade final do encontro 2

269

Figura 100: Gráfico do tópico sobre conclusão da atividade final do encontro 2 269
Figura 101: Resposta escrita de um aluno referente às perguntas da atividade final do
encontro 2
270
Figura 102: Gráfico da pergunta 2 da autoavaliação do encontro 2

271

Figura 103: Gráfico da pergunta 3 da autoavaliação do encontro 2

272

Figura 104: Gráfico da pergunta 6 da autoavaliação do encontro 2

274

Figura 105: Gráfico da pergunta 7 da autoavaliação do encontro 2

275

Figura 106: Resposta de aluno referente às perguntas da atividade 1 do encontro 3 –
Aluno 1
278
Figura 107: trecho de resposta de aluno referente às perguntas da atividade 1 do
encontro 3 – Aluno 1
278
Figura 108: Gráfico do item 1 da atividade (individual) 1 do encontro 3

279

Figura 109: Gráfico do item 2 da atividade (individual) 1 do encontro 3

280

Figura 110: Gráfico do item 3 da atividade (individual) 1 do encontro 3

281

Figura 111: Gráfico do item 4 da atividade (individual) 1 do encontro 3

281

Figura 112: Gráfico do item 5 da atividade (individual) 1 do encontro 3

282

Figura 113: Jogo do quebra-cabeça impresso

282

Figura 114: História em quadrinhos

286

Figura 115: Um dos grupos das respostas com Probabilidade na história

287

Figura 116: Trecho de resposta de aluno referente às perguntas da atividade 1 do
encontro 4 – Grupo 1
297
Figura 117: Gráfico de nível argumentativo obtido no item 1 da atividade (grupo) 1 do
encontro 4
297
Figura 118: Gráfico do item 2 da atividade (grupo) 1 do encontro 4

298

Figura 119: Gráfico do Item 3 da atividade (grupo) 1 do encontro 4

299

Figura 120: Gráfico do Item 4 da atividade (grupo) 1 do encontro 4

300

Figura 121: Gráfico do Item 5 da atividade (grupo) 1 do encontro 4

300

Figura 122: Gráfico da pergunta 2 da atividade (grupo) 2 do encontro 4

301

Figura 123: Gráfico da pergunta 2 da atividade (grupo) 2 do encontro 4

302

Figura 124: Desafio da estação 5

305

Figura 125: Resposta desafio

306

Figura 126: Gráfico da pergunta 5 do questionário a posteriori- parte A

310

Figura 127: Gráfico da pergunta 1 do questionário a posteriori- parte B

311

Figura 128: Gráfico da pergunta 3 do questionário a posteriori- parte B

312

Figura 129: Gráfico da pergunta 6 do questionário a posteriori- parte B

313

Figura 130: Gráfico da pergunta 8 do questionário a posteriori- parte B

314

Figura 131: Pergunta 9 (a) questionário a posteriori

315

Figura 132: Gráfico da pergunta 9 (b) do questionário a posteriori – Parte B

316

Figura 133: Gráfico da pergunta 10 do questionário a posteriori – Parte B

317

Figura 134: Gráfico da pergunta 11 do questionário a posteriori – Parte B

318

Figura 135: Gráfico da pergunta 1 do questionário a posteriori – Parte C

319

Figura 136: Gráfico da pergunta 1 do questionário a posteriori – Parte C
Figura 137: Saquinho de bolinhas da pergunta 4- Parte C
Figura 138: Gráfico da pergunta 5 do questionário a posteriori – Parte C

320
321
323

LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Significados de Probabilidade

31

Quadro 2: Exigência cognitiva

33

Quadro 3: Habilidades relacionadas à probabilidade previstas pelos Standards do
NCTM
36
Quadro 4: Categorias de pensamento probabilístico segundo Borovcnik (2016)
39
Quadro 5: Estruturação do pensamento probabilístico segundo Borovcnik (2016)
40
Quadro 6: Letramento probabilístico

41

Quadro 7: Probabilidade do 1º ao 5º ano do EF na BNCC

53

Quadro 8: Conteúdo de Probabilidade no 1º e 2º ciclo do EF (PCNs)

57

Quadro 9: Probabilidade no Referencial Curricular de Alagoas (ReCAL)

60

Quadro 10: Momentos que ocorrem durante a realização de uma investigação 71
Quadro 11: Exemplos de tarefas matemáticas

73

Quadro 12: Abordagens comunicativas

76

Quadro 13: Sintetização dos Descritores de Engajamento (DE)

81

Quadro 14: Exemplificação de um questionamento

100

Quadro 15: Exemplificação de um questionamento

108

Quadro 16: Regras para a criação de tarefas

109

Quadro 17: Abordagens comunicativas propostas por Mortimer e Scott

127

Quadro 18: Competências referentes à argumentação e RP no Ensino Fundamental
129
Quadro 19: Resolução e elaboração de problemas nos anos iniciais segundo a BNCC
130
Quadro 20: Organização geral para a aplicação do PE

147

Quadro 21: Organização prevista para discussão do The vile vendor na aula 1
152
Quadro 22: Organização prevista para discussão do Tampesca na aula 1

155

Quadro 23: Organização prevista para discussão dos “Quadraleatórios” na aula 1
159
Quadro 24: Quadro proposto para o fim da aula 1

160

Quadro 25: Tabela de pontos dos personagens

163

Quadro 26: Organização prevista para discussão do jogo “correndo ao acaso” na aula 2
164
Quadro 27: Quadro proposto para o fim da aula 2

166

Quadro 28: Organização prevista para discussão do jogo do quebra-cabeça na aula 3
169
Quadro 29: Organização prevista para discussão do jogo dos quadrinhos na aula 3
172
Quadro 30: Organização prevista para discussão da “probabilinha” na aula 4

176

Quadro 31: Quadro proposto para o fim da aula 4

179

Quadro 32: Quadro de categorização para a análise de resultados

183

Quadro 33: Modelo dos níveis argumentativos a serem classificados

185

Quadro 34: Modelo de transcrição dos turnos de fala

187

Quadro 35: Pergunta 7 (b) do questionário a priori – Parte A

193

Quadro 36: Pergunta 8 do questionário a priori – Parte A

195

Quadro 37: Pergunta 9 do questionário a priori – Parte A

196

Quadro 38: Pergunta 2 do questionário a priori – Parte B

198

Quadro 39: Pergunta 4 do questionário a priori – Parte B

200

Quadro 40: Pergunta 5 do questionário a priori – Parte B

202

Quadro 41: Pergunta 9 do questionário a priori – Parte B

206

Quadro 42: Pergunta 10 (a) do questionário a priori – Parte B

207

Quadro 43: Pergunta 10 (b) do questionário a priori – Parte B

208

Quadro 44: Pergunta 10 (c) do questionário a priori – Parte B

210

Quadro 45: Trecho de fala de uma situação ocorrida durante o jogo

211

Quadro 46 - Pergunta da atividade escrita do The Vile Vendor

212

Quadro 47: Trecho 1 do episódio Tampesca (Encontro 1)

216

Quadro 48: Trecho 2 do tampesca (Encontro 1)

218

Quadro 49: Trecho 1 da atividade “quadraleatórios”

221

Quadro 50: Pergunta 9 da atividade 1 do encontro 1

232

Quadro 51: Pergunta 12 da atividade 1 do encontro 1

240

Quadro 52: Pergunta 14 da atividade 1 do encontro 1

244

Quadro 53: Pergunta 4 da autoavaliação do encontro 1

253

Quadro 54: Pergunta 5 da autoavaliação do encontro 1

254

Quadro 55: Pergunta 6 da autoavaliação do encontro 1

254

Quadro 56: Pergunta 10 da autoavaliação do encontro 1

256

Quadro 57: Pergunta 12 da autoavaliação do encontro 1

256

Quadro 58: Trecho do jogo correndo ao acaso (Encontro 2)

259

Quadro 59: Trecho 1 da atividade escrita 1 do encontro

272

Quadro 60: Pergunta 4 da autoavaliação do encontro 2

273

Quadro 61: Pergunta 5 da autoavaliação do encontro 2

282

Quadro 62: Trecho 1 Atividade quebra-cabeça do encontro 3

286

Quadro 63: Trecho história em quadrinhos encontro 3

289

Quadro 64: Trecho de momentos de apresentação do grupo rosa

294

Quadro 65: Pergunta 8 do questionário a posteriori – Parte B

313

Quadro 66: Pergunta 9 (a) do questionário a posteriori – Parte B

314

Quadro 67: Pergunta 3 do questionário a posteriori – Parte C

319

Quadro 68: Pergunta 4 do questionário a posteriori – Parte C

321

SUMÁRIO
INTRODUÇÃO ......................................................................................................................... 19
CAPÍTULO I ............................................................................................................................. 26
O ENSINO DE PROBABILIDADE NOS ANOS INICIAIS: ASPECTOS COGNITIVOS E
CURRICULARES ..................................................................................................................... 26
1.1 Os estudos de Fischbein, Piaget e outros teóricos sobre a aprendizagem de conceitos
de probabilidade, os significados de probabilidade e as exigências cognitivas .................. 26
1.2

Uma visão geral sobre o pensamento probabilístico ................................................. 40

1.3

A importância da inserção da probabilidade no currículo dos anos iniciais ............... 48

1.4. O ensino de probabilidade nos anos iniciais nos documentos curriculares brasileiros:
uma análise dos PCNs, BNCC, RecAL e PNAIC ............................................................... 55
1.5. O ensino de Probabilidade nos livros do Programa Nacional do Livro e do Material
Didático (PNLD) ................................................................................................................ 64
CAPÍTULO II ............................................................................................................................ 71
ARGUMENTAÇÃO NAS AULAS DE MATEMÁTICA E INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA ....... 71
2.1

A Investigação matemática segundo a concepção de Ponte..................................... 71

2.2

As interações discursivas em sala de aula ................................................................ 76

2.2.1 O engajamento dos alunos ....................................................................................... 78
2.3 O processo de argumentação nas aulas de Matemática: uma análise dos documentos
curriculares ........................................................................................................................ 83
2.4 A argumentação nas aulas de Matemática, o discurso matemático e as linguagens
matemáticas: fundamentos teóricos................................................................................... 91
2.4.1 A argumentação presente na oralidade e a escrita nas aulas deMatemática .......... 96
2.5

A argumentação, a prova e a demonstração ............................................................. 99

2.5.1 O modelo de Toulmin: as contribuições para a análise da estrutura de argumentação
...................................................................................................................................103
2.5.2 A argumentação nas aulas de Matemática segundo Kosko e colaboradores .......... 107
2.5.3 O padrão I-R-F ou I-R-A: contribuições e desvantagens para o processo de
argumentação e para as interações discursivas .............................................................. 115
2.5.3.1 O uso da argumentação nas aulas de Matemática durante as atividades de
Resolução de Problemas (RP): uma análise da contribuição das interações discursivas
visando o desenvolvimento de conceitos de probabilidade nos anos iniciais do Ensino
Fundamental.................................................................................................................... 118
2.5.3.2 Estruturando as ações docentes para o trabalho com a argumentação nas aulas de
Matemática ...................................................................................................................... 122
2.5.3.3 Argumentação durante as atividades de Resolução de Problemas ...................... 129
2.5.3.4 Um estudo sobre o desenvolvimento da argumentação na Resolução de Problemas
...................................................................................................................................133
2.5.3.5

O papel do professor na promoção da argumentação nas aulas de

probabilidade nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental ................................................. 139
CAPÍTULO III ......................................................................................................................... 141
A PROPOSTA METODOLÓGICA, APLICAÇÃO E RESULTADOS ...................................... 141
3.1 Caracterização da pesquisa e dos sujeitos de pesquisa: procedimentos e
abordagem da pesquisa .................................................................................................. 141
3.2 A estrutura da proposta da trilha de aprendizagem na perspectiva da Investigação
Matemática para desenvolver a argumentação nas aulas de Probabilidade .................... 144
3.3 Aplicação da proposta, análise e discussão dos resultados: as categorias de análise
derivadas do ciclo argumentativo dos alunos do 5º ano do Ensino Fundamental ............ 175
3.3.1 Análise do questionário a priori ................................................................................180
3.3.2 Análise das atividades da trilha de aprendizagem.....................................................208
4 CONSIDERAÇÕES FINAIS .......................................................................................... 321
5 REFERÊNCIAS ............................................................................................................ 329
6 APÊNDICES ................................................................................................................. 340
7 ANEXOS ...................................................................................................................... 402

19

INTRODUÇÃO
As discussões sobre o ensino de probabilidade na Educação Básica têm sido
recorrentes nas últimas décadas (LOPES, 2008; TSAKIRIDOU; VAVYLA, 2015),
salientando a importância deste conteúdo para a formação do pensamento probabilístico
desde os primeiros anos de escolaridade, uma vez que as crianças se deparam com
diversas situações no dia a dia que envolvem conceitos de probabilidade (FISCHBEIN,
1984).
Nesse sentido, a Base Nacional Comum Curricular – BNCC (BRASIL, 2018) coloca
que os conteúdos de probabilidade devem ser ensinados desde os anos iniciais do Ensino
Fundamental, com a finalidade de que os alunos sejam capazes de compreender que
nem todos os fenômenos são determinísticos, analisando situações que envolvam o
acaso e a aleatoriedade. Desta forma, passam a desenvolver noções que serão
aprofundadas nos anos finais do Ensino Fundamental e no Ensino Médio, etapa escolar
em que se estrutura o formalismo dos conceitos probabilísticos por meio de modelos
matemáticos (conhecidos como “fórmulas”) para efetuar os cálculos.
Por outro lado, nos anos iniciais com o desenvolvimento das noções de
probabilidade, as crianças vão se familiarizando com o vocabulário e a linguagem
probabilística e a forma adequada com que são utilizados para comunicar o acaso e a
incerteza, como explicam Vasquez e Alsina (2017).
Assim, Tsakiridou e Vavyla (2015) explicam que ao lidar com os conteúdos de
probabilidade as crianças aprendem a aceitar o fato de que algumas situações não são
possíveis de serem previstas com precisão e, então, terão que interpretar criticamente
todas as possibilidades e escolher aquela que é mais provável de acontecer. Deste modo,
as crianças reúnem experiências para situações da vida real, nas quais é necessário
decidir sobre a melhor opção entre muitas diariamente e ao mesmo tempo, como
pontuam os autores, as crianças têm de aceitar o fato de que alguns eventos são
impossíveis de acontecer.
Gal (2005), Franklin et al (2005) e Jones (2005) citados por Tsakiridou e Vavyla
(2015) afirmam que as razões para incluir a probabilidade nas escolas estão relacionadas
com a utilidade da probabilidade para a vida diária como pontuado por outros autores
anteriormente, assim como o seu papel instrumental em outras disciplinas, a necessidade

20

de um conhecimento estocástico em muitas profissões e o papel do raciocínio
probabilístico na tomada de decisão.
Por sua vez, Batanero (2001) recomenda que o ensino de probabilidade contemple
experimentações nas quais os alunos tenham a oportunidade de vivenciar os fenômenos
para compreender os conceitos, assim, a utilização de material concreto, como dados,
moedas, spinners, são essenciais nas atividades práticas, além de serem de fácil acesso.
Além do mais, Vasquez et al. (2019) explicam que atividades práticas para o ensino de
probabilidade possibilitam a contextualização dos conceitos, além de Gelman e Glickman
(2000) constatarem que experiências concretas no processo ensino-aprendizagem de
probabilidade nas quais os alunos participam ativamente auxiliam na compreensão de
conceitos que são considerados mais difíceis.
Ainda sobre o uso de material concreto, Lozada et al. (2021), Lozada, Barbosa e
Santos (2021), Barbosa, Viana e Lozada (2021) e Barbosa e Lozada (2021) sugerem que
jogos (tanto de tabuleiro quanto digital) sejam utilizados para ensinar probabilidade no
Ensino Fundamental, pois o caráter lúdico cria um ambiente de aprendizagem mais
atrativo que constitui um estímulo para despertar o interesse dos alunos para aprender os
conceitos.
Outrossim, a recomendação do uso de material concreto no processo ensinoaprendizagem de probabilidade, como mencionado por meio de experimentação e jogos,
pode favorecer a argumentação, uma vez que os alunos interagem entre si, interagem
com o professor, podendo manifestar oralmente as suas ideias acerca dos conceitos de
probabilidade, justificando, levantando hipóteses, elaborando conjecturas, ou seja,
expondo o seu raciocínio probabilístico. Assim, as aulas de probabilidade devem ser
ministradas de forma a oportunizar aos alunos interações discursivas que possibilitem
explicar a forma com que compreendem os conceitos, bem como momentos para que
desenvolvam a competência escritora que promove também a argumentação escrita.
É relevante pontuar que na maioria das escolas brasileiras, os alunos não têm
oportunidade de manifestar oralmente suas ideias matemáticas, discuti-las, debatê-las,
nem sequer nas aulas de Matemática se trabalha a produção escrita. Assim, os alunos se
limitam a descrever procedimentos matemáticos e indicar o resultado numérico, sem
argumentar sobre as relações conceituais e procedimentais existente acerca do

21

conhecimento matemático e nem tampouco sobre suas aplicações no cotidiano, o que
torna as aulas de Matemática centradas em mecanização de procedimentos (LOZADA,
2007).
Deste modo, a construção e compreensão dos conceitos de probabilidade nas
aulas de Matemática pode partir de situações de argumentação no processo ensinoaprendizagem numa dinâmica dialógica e discursiva. O processo argumentativo está
relacionado à diversos fatores que ocorrem em sala de aula, no planejamento da aula e
na ação docente, como nas interações e padrões discursivos, que se originam de padrões
como o I-R-F (Iniciação-Resposta- Feedback) e o I-R-A (Iniciação- Resposta- Avaliação),
no engajamento dos alunos e atividades correlacionadas à exploração e investigação
matemática, como o que foi constatado nos estudos de Ponte (2003, 2006), Ponte et al
(1999), Kosko e Guilford (2018), Freeman (2006), Leitão (2007), Mortimer e Scott
(2002), Scriven e Paul (1987), Sasseron e Carvalho (2011), Toulmin (1958 apud
ABERDEIN, 2005) entre outros. Estes referenciais dão suporte para a compreensão de
como se desenvolvem os processos argumentativos e como o professor pode agir para
inserir e estimular a argumentação em sala de aula de modo eficaz. Além do mais, a
argumentação é colocada como uma das competências gerais pela Base Nacional
Comum Curricular (BRASIL, 2018) a ser desenvolvida por todos os componentes
curriculares ao longo da Educação Básica.
Tendo em vista a importância do ensino de probabilidade aliado ao processo
argumentativo para a construção dos conceitos e desenvolvimento do pensamento
probabilístico, é que propusemos o presente estudo, partindo da seguinte questão de
pesquisa: “Quais as contribuições que o processo argumentativo pode trazer para a
formação de conceitos de probabilidade no 5º ano do Ensino Fundamental e como esse
processo argumentativo se caracteriza em situações de aprendizagem de uma sequência
didática baseada em atividades investigativas?”
Em virtude do problema de pesquisa levantado, elegemos a seguinte hipótese: as
contribuições do processo argumentativo (seja oral ou escrito) para a formação dos
conceitos de probabilidade, dizem respeito ao desenvolvimento de múltiplas habilidades
e competências, pois possibilitam que os alunos levantem hipóteses, justifiquem,
apresentem diferentes pontos de vista e discutam sobre eles, estabeleçam conjecturas,

22

se familiarizem com o vocabulário e a linguagem específica de probabilidade,
desenvolvendo o pensamento probabilístico; assim, uma sequência didática estruturada
com atividades investigativas podem favorecer um processo argumentativo dialógico e
colaborativo envolvendo afirmações, evidências, avaliação do raciocínio do outro, dando
sentido aos conceitos de probabilidade.
Deste modo, esta pesquisa tem como objetivo geral analisar quais as
contribuições que o processo argumentativo nas aulas de probabilidade no 5° ano do
Ensino Fundamental pode trazer para a formação dos conceitos e para o
desenvolvimento do pensamento probabilístico. Para alcançarmos o objetivo geral,
traçamos um percurso ancorado pelos objetivos específicos que são estes:
•

Realizar um levantamento bibliográfico e documental, para verificar os fundamentos

teóricos acerca da argumentação nas aulas de Matemática e sua relação com as
atividades matemáticas investigativas, bem como a relevância da inserção dos
conteúdos de probabilidade nos anos iniciais do Ensino Fundamental e as
recomendações curriculares;
•

Elaborar e aplicar uma sequência didática que possibilite ao professor do 5º ano do

Ensino Fundamental ensinar probabilidade de modo que as argumentações dos alunos
possam auxiliar na construção dos conceitos probabilísticos;
•

Analisar o processo argumentativo dos alunos no desenvolvimento do conteúdo de

probabilidade no 5º ano do Ensino Fundamental, identificando suas características em
um ambiente com atividades matemáticas investigativas;
•

Analisar os padrões de interação que podem predominar em sala de aula - o IRF

(Iniciação- Resposta- Feedback) ou IRA (Iniciação- Resposta- Avaliação) – durante a
aplicação da sequência didática para o desenvolvimento dos conteúdos de probabilidade
do 5º ano do Ensino Fundamental.
Assim, esta pesquisa é relevante e se justifica pelo fato de que as aulas de
Matemática na maioria das escolas brasileiras são focadas em um modelo tradicional em
que predominam exercícios para fixação de procedimentos mecânicos do que
discussões orais sobre o conteúdo que está sendo desenvolvido. O professor deveria
incentivar os alunos a discutir, argumentar e dialogar sobre o que estão aprendendo,
visto que maioria das vezes pelo modelo de ensino das escolas o aluno não é levado a

23

pensar nem questionar, como observado por Nasser e Tinoco (2003) e Aguilar Júnior e
Nasser (2012).
Ademais, segundo Magalhães e Martinho (2010, p.156) a “Matemática não pode
ser mais vista como uma atividade puramente individual, mas sim como uma atividade
social”, e fazer uso da argumentação nas aulas poderá fazer com que os alunos tenham
uma interação maior e construam o conhecimento de modo coletivo e colaborativo, além
de aprenderem a manifestar as suas ideias, explicar o seu raciocínio, compartilhar o
conhecimento e respeitar o posicionamento dos colegas. Além disso, Sasseron e
Carvalho (2011) enfatizam que a argumentação em sala de aula é útil no processo de
aprendizagem.
Como foi dito anteriormente a BNCC coloca a argumentação como uma
competência geral, pontuando que os alunos devem “argumentar com base em fatos,
dados e informações confiáveis” (BRASIL, 2018, p. 9), portanto, sendo uma competência
deverá ser desenvolvida ao longo da Educação Básica e os diferentes conteúdos de
Matemática oportunizam o desenvolvimento do processo argumentativo, pois os alunos
tem a possibilidade de apoiar o raciocínio com evidências, dando sentido aos
argumentos dos seus pares e fazendo conjecturas sobre relações matemáticas.
Sriraman e Umland (2014) afirmam que no contexto de uma aula de Matemática,
um “argumento matemático” é como uma linha de raciocínio que pretende mostrar ou
explicar porque é que um resultado matemático é verdadeiro. Conforme explicam os
autores, o resultado matemático pode ser uma afirmação geral sobre alguma classe de
objetos matemáticos ou pode simplesmente ser a solução para um problema
matemático que foi colocado. Tomado neste sentido, Sriraman e Umland (2014)
explicam que um argumento matemático pode ser uma prova formal ou informal, uma
explicação de como o aluno chegou a fazer uma conjectura específica, como o aluno
raciocinou.
Para analisar o processo de argumentação é necessário utilizar métodos que
sejam adequados para verificar como a argumentação está sendo desenvolvida pelos
alunos e de como auxilia no pensamento probabilístico, e para tanto, podemos ter como
referência as contribuições provenientes dos estudos de Mortimer e Scott (2002) como
ferramentas de análise dos padrões discursivos com os quais se pode constatar como

24

os alunos constroem os significados relativos aos conceitos. Assim, o professor como
mediador do conhecimento, promovendo a argumentação em sala de aula, possibilitará
a construção dos conceitos de probabilidade de uma forma dialógica fazendo com que
os alunos possam desenvolver seu raciocínio lógico-dedutivo e para que este raciocínio
se desenvolva “é importante que o professor compreenda e aceite diversos níveis de
argumentação e justificação que os alunos possam vir a apresentar para provar um dado
resultado” (AGUILAR JÚNIOR; NASSER, 2012, p.134).
Deste modo, esta pesquisa é pertinente, pois valoriza a construção dos conceitos
de probabilidade em sala de aula a qual é mediada pela linguagem, visto que as
interações discursivas revelam como a aprendizagem está ocorrendo e redirecionam
para práticas docentes inovadoras, além do uso de recursos didáticos variados, podendo
assim demonstrar a importância da probabilidade no cotidiano e de como a Matemática
se faz presente nos diferentes contextos, como coloca D’Ambrósio (2013).
Por sua vez, o conteúdo de probabilidade é considerado essencial nos currículos
escolares e discussões sobre sua relevância ocorreram ao longo das últimas décadas
mostrando que a probabilidade deve ser ensinada a fim de que os indivíduos possam
compreender situações que ocorrem na sociedade (LOPES, 2008). Nesse sentido, a
BNCC (BRASIL, 2018, p. 274) destaca que a probabilidade presente anos iniciais do
Ensino Fundamental deve “promover a compreensão de que nem todos os fenômenos
são determinísticos”, sendo necessário desenvolver a noção de acaso e aleatoriedade,
para que o aluno possa compreender a existência de eventos prováveis, certos e
incertos, ancorando o aprofundamento dos conhecimentos probabilísticos que serão
desenvolvidos nos anos finais e no Ensino Médio.
Notamos que a argumentação ultrapassa o sentido de ser apenas uma
recomendação, mas se torna essencial para que os alunos desenvolvam outras
competências e habilidades nas aulas de Matemática e reconhecendo a importância da
argumentação e buscando sua inserção em sala de aula, é necessário que se entenda
como ocorre o processo argumentativo e suas principais características, como será
relatado nesta dissertação.
Para tanto, a presente pesquisa está dividida em três capítulos: o Capítulo I que
trata da primeira parte do referencial teórico, abordando a importância do ensino de

25

probabilidade nos anos iniciais e seus aspectos cognitivos, além de apresentar como o
conteúdo é abordado pelos principais documentos curriculares; na segunda parte, o
Capítulo II trata do argumentação, como se estrutura o processo argumentativo e os
modelos de interação discursiva entre outros aspectos; o Capítulo III traz a pesquisa
qualitativa, caracterizando os sujeitos de pesquisa, apresentando a estrutura da
sequência didática e os resultados obtidos seguidos da análise e discussão, finalizando
com as considerações finais em que se destacam os principais achados da pesquisa e
suas contribuições e se retoma o problema de pesquisa pontuando a respeito de sua
elucidação.

26

CAPÍTULO I
O ENSINO DE PROBABILIDADE NOS ANOS INICIAIS: ASPECTOS
COGNITIVOS E CURRICULARES
Neste capítulo, trazemos um levantamento bibliográfico, no qual apresentamos estudos
realizados por Fischein, Piaget e outros pesquisadores acerca do pensamento
probabilístico, fundamental para a compreensão de como os alunos assimilam os
conceitos de probabilidade. Em seguida, destacamos a inserção da probabilidade nos
anos iniciais, expondo o levantamento documental que se caracteriza pela análise de
documentos curriculares que abordam o ensino de probabilidade no Brasil, pontuando
seus aspectos, assim como identificamos quais são as habilidades e competências
necessárias para o seu desenvolvimento.

1.1 Os estudos de Fischbein, Piaget e outros teóricos sobre a
aprendizagem de conceitos de probabilidade, os significados de
probabilidade e as exigências cognitivas
Nikiforidou (2018) coloca que Piaget e Fischbein tiveram um papel de destaque
em relação aos estudos acerca do pensamento probabilístico, principalmente estudos
realizados com crianças. O autor afirma que a concepção piagetiana de que as crianças
durante o período pré-operatório acham difícil diferenciar certeza e incerteza vem sendo
substituída pelas concepções oriundas de pesquisas que sustentam a capacidade das
crianças de se envolver com noções de probabilidade. Estes resultados são derivados
de pesquisas recentes que abordam intuições e experiência, conhecimento matemático
informal, alfabetização em probabilidade, desenvolvimento de currículo e design de
tarefas que desempenham um papel significativo na formação e aprimoramento do
pensamento probabilístico inclusive de alunos da pré-escola, estendendo-se para fases
subsequentes do Ensino Fundamental e Médio.
Assim, para falarmos sobre pensamento probabilístico, é necessário revisitar os
estudos de Efraim Fischbein, que se dedicou a pesquisar este tipo de pensamento, em
particular o seu desenvolvimento em crianças. Fischbein nasceu em Bucareste
(Romênia) em 1920, formou-se em Psicologia e junto com Freudenthal e Skemp fundou

27

o Psychology of Mathematics Education (PME), voltado para estudos sobre a psicologia
da aprendizagem da Matemática. Ele afirmava que a aprendizagem não se resume a
absorver informações, mas implica num processo de reconstrução ativo para a
elaboração de estruturas mentais e, para isso, o ensino deve pautar-se nos conceitos
fundamentais, ideias centrais, que possibilitam a organização das estruturais cognitivas
que darão suporte ao domínio de conhecimentos (FISCHBEIN, 1969).
Fischbein faleceu em 1998 e deixou um legado acerca de estudos realizados
sobre o pensamento probabilístico, com destaque para as seguintes obras: “The
Intuitive Sources of Probabilistic Thinking in Children” de 1975, “Intuitions primaries et
intuitions secondaires dans l´initiation aux probabilité” publicado em 1971 em parceria
com Barbat e Minzat, “Does the teaching of probability improve probabilistic intuitions?”
escrito com Gazit e publicado em 1984, “The evolution with age of probabilistic
intuitively based misconceptions” publicado em 1997 com Schnarch.
Fischbein em seu livro “The Intuitive Sources of Probabilistic Thinking in Children”
publicado em 1975, explica que não se pode ignorar as noções intuitivas sobre a
probabilidade que as crianças manifestam, enfatizando que o raciocínio de toda criança
é constituído por heurísticas e por intuição. Assim, estes aspectos têm grande
importância para o pensamento probabilístico, considerando que o substrato intuitivo
primário está disponível num domínio relativamente inconsistente e ambíguo, daí as
crianças

construírem

inicialmente

noções

equivocadas

sobre

conceitos

de

probabilidade. Fischbein (1975) recomenda que o currículo seja organizado para que
esse substrato intuitivo primário seja melhorado com o auxílio de metodologias que
ajudem as crianças a construírem novas intuições que sejam compatíveis com o
conhecimento de probabilidade. Para ele, a intuição probabilística é de caráter subjetivo
e autoevidente.
Fischbein (1975) esclarece que as intuições têm funções análogas na relação
entre ação e operações intelectuais. As intuições podem ocorrer antes das operações
cognitivas ou durante, facilitando a continuidade e a fluência. Elas também podem
ocorrer depois de operações analíticas, sintetizando os resultados de análises numa
visão global de significância unitária e dar assistência na transferência de decisão para
o nível de ação. Para Fischbein (1975), as intuições não são confinadas, elas são

28

intrínsecas para raciocinar. Para tanto, explica que ações autônomas internalizadas na
forma de operações intelectuais adquirem o caráter de intuição, vão se estabilizando e
tornam-se mais ágeis e com fluência dado o passar do tempo.
O autor pontua que a intuição se divide em três categorias: pré-operacional,
operacional e pós-operacional. A intuição pré-operacional é derivada de experiências
prévias que são relevantes para a ação presente e implicam em domínio, agilidade,
adaptabilidade e eficiência na ação apropriada e perduram além do período préoperacional que foi definido por Piaget. A intuição operacional está envolvida com o
raciocínio, fazendo com que a conclusão seja tomada como verdadeira quando é dada
como premissa e em geral, como aponta Fischbein, a intuição é expressa por regras
formais de lógica e podem ser consideradas intuições operacionais básicas. Por outro
lado, Fischbein fala em intuições operacionais específicas derivadas, que são aquelas
que antecipam solução em atividades de resolução de problemas, também chamadas
de esquemas antecipados. A intuição pós-operacional é um tipo de intuição sintetizada
por experiências prévias em estruturas operacionais automatizadas que permitem
soluções rápidas em problemas práticos atuais.
Fischbein também classifica a intuição em primária e secundária. A intuição
primária é formada antes e independente de instrução sistemática, ou seja, de uma
instrução estruturada como é dada na escola. As intuições espaciais, por exemplo,
fazem parte desta categoria, que engloba as intuições operacionais fundamentais que
regulam o pensamento lógico. As intuições secundárias são aquelas que são formadas
depois de um processo sistemático de instrução e elas permitem que o indivíduo
transcenda as aquisições cognitivas primárias. Elas transmitem os produtos da
experiência social na forma, principalmente, de verdades científicas e as intuições
matemáticas ou aquelas dos cientistas se enquadram nessa categoria, sendo
denominada de intuição refinada por Félix Klein e segundo grau de intuição por Severi.
Assim, Fischbein acredita que as crianças são capazes de perceber conceitos de
probabilidade desde cedo, pois são baseados em intuições, ou seja, desenvolvem
ideias intuitivas acerca dos conceitos. E muitas dessas ideias intuitivas podem ser
derivadas da probabilidade informal que está firmemente estabelecida na cultura
comum, fora do ambiente escolar, como explica Sharma (2012). O autor coloca que

29

muitas explicações dos alunos nem sempre são baseadas em princípios probabilísticos,
mas são baseadas nas crenças e nas experiências cotidianas, ou seja, os alunos
baseiam seu raciocínio e estimativas em suas crenças sobre o mundo e eventos
culturais.
Assim, para Sharma (2012) aspectos cognitivos, afetivos e contextuais estão
inter-relacionados quando os alunos interpretam tarefas de probabilidade e que muitas
vezes os alunos argumentam com base em conhecimento cultural e não com base em
dados numéricos. O autor pontua inclusive que a probabilidade pode ser entendida
como um tipo de conhecimento cultural que todas as culturas criam, mas que pode não
necessariamente parecer o mesmo de um ambiente cultural para outro e com um
grande número de grupos étnicos em salas de aula regulares em todo o mundo com
programas de probabilidades gerais, é importante ouvir os alunos para compreender o
que pode ou não ser pertinente para esses alunos em termos de pensamento
probabilístico e como as ideias culturais que eles possuem e as diversidades culturais
que se manifestam na sala de aula, podem impactar na aprendizagem dos conceitos.
Deste modo, identificando e compreendendo esses aspectos, os professores e os
responsáveis pela elaboração do currículo podem trabalhar juntos para encontrar
maneiras de ajudar os alunos a desenvolver da melhor forma o pensamento
probabilístico.
Comumente é perceptível os equívocos de base intuitiva que os alunos cometem
em relação à compreensão dos conceitos de probabilidade. Fischbein e Schnarch
(1997) constataram por meio de uma pesquisa realizada com alunos da 5ª, 7ª, 9ª e 11ª
séries que alguns equívocos se fortaleceram com a idade, enquanto outros se
enfraqueceram e esses equívocos fazem parte do processo de aprendizagem.
Retornando ao trabalho de Fischbein publicado em 1994 e que abrange o ensino
de Matemática, sem apontar uma unidade temática específica, o autor coloca que há 3
componentes básicos da Matemática como atividade humana: componente formal,
algorítmico e intuitivo. Novamente, o autor traz a ideia de intuição para o seu trabalho,
desta vez, caracterizando a atividade matemática em geral. Sobre o componente
formal, Fischbein (1994) explica que ele se refere à axiomas, definições, teoremas e
provas, que são como componentes ativos no processo de raciocínio. O autor enfatiza

30

que eles têm que ser inventados ou aprendidos, organizados, verificados e usados
ativamente pelo aluno. Fischbein (1994) esclarece que a compreensão do que significa
rigor numa construção hipotético-dedutiva, a coerência e a consistência, a capacidade
de pensar proposicionalmente, não são aquisições espontâneas do adolescente,
porque surgem de acordo com o estágio de desenvolvimento, no caso, o estágio
operatório formal, que deve ocorrer a partir dos 12 anos e que são potencialidades que
apenas um processo instrucional adequado será capaz de moldar e transformar em
realidades mentais ativas. Ou seja, há necessidade do processo de ensino ser bem
planejado para que possa levar ao desenvolvimento desses aspectos na estrutura
cognitiva do aluno.
Já o componente algorítmico engloba técnicas de resolução e estratégias
padrão, ou seja, a capacidade de manipular objetos matemáticos, mas acima de tudo é
preciso compreender a base formal (definições e teoremas) que justifica um algoritmo.
O autor pontua que é um equívoco acreditar que conhecendo um sistema de conceitos,
axiomas, teoremas, provas e definições tal como são expostos formalmente nos livros
didáticos, o aluno tornará capaz de resolver problemas matemáticos. Para Fischbein
(1994), as capacidades matemáticas também são armazenadas na forma de
procedimentos de resolução, teoricamente justificados, que devem primeiramente
compreendidos, treinados ativamente para que a sua manipulação seja realizada de
modo correto, mas sobretudo, o aluno deverá desenvolver competências para
identificar como, quando, em que situação os procedimentos são aplicados, para que
são aplicados e qual o significado da aplicação.
Ele prossegue, enfatizando que o raciocínio matemático não pode ser reduzido a
um sistema de procedimentos de resolução, como comumente se vê, ou seja, é esta
ideia que a maioria das pessoas, inclusive os professores têm sobre o raciocínio
matemático. É preciso que ao aluno aprenda a justificar formalmente os procedimentos
matemáticos, compreender a razão disso, porque se os procedimentos de resolução
não são apoiados por uma justificação formal e explicíta, eles serão esquecidos com
passar do tempo, ou seja, houve apenas uma mecanização de procedimentos sem
significado. Daí, quando os alunos têm que lidar com situações-problema fora do
padrão com que estão acostumados, o sistema mais complexo de habilidades mentais

31

permanece congelado e inativo porque não foi desenvolvido, apenas houve
mecanização de procedimentos aplicáveis às situações conhecidas, como se fosse um
adestramento. Fischbein (1994) recomenda que os alunos, por exemplo, ao
aprenderem as operações aritméticas básicas, aprendam, não apenas os algoritmos em
si, mas também o porquê que são utilizados determinados procedimentos,
compreendendo o que estão fazendo e não apenas mecanizando os procedimentos. O
autor esclarece que o aprendizado cego dos algoritmos leva a tipos de uso indevido e
que a ausência de uma compreensão clara da estrutura formal e da justificação, a
semelhança superficial dos problemas propostos pelo professor pode levar às
generalizações erradas. Ele afirma que esta profunda simbiose entre significado e
competências é uma condição básica para um raciocínio matemático produtivo e
eficiente.
Quanto à componente intuição, este pode ser denominado de cognição intuitiva,
compreensão intuitiva, solução intuitiva é refere-se ao grau de aceitação subjetiva e
direta por um indivíduo de uma noção, teorema ou solução. Fischbein (1994) explica
que a cognição intuitiva é um tipo de cognição que é aceita diretamente, sem a
sensação de que seja necessário qualquer tipo de justificativa, sendo caracterizada, em
primeiro lugar, pela (aparente) autoevidência. Portanto, a intuição é um componente da
aprendizagem matemática, não se restringindo apenas ao conteúdo probabilístico, mas
em relação a este apresenta algumas especificidades como citamos.
Fischbein (1994) destaca a importância da interação entre os componentes
intuitivo, formal e algorítmico no momento em que se realiza uma atividade matemática,
mas esclarece, que no caso do processo de compreensão e resolução de problemas,
podem surgir interações conflitantes, porque às vezes, um esquema de resolução é
aplicado inadequadamente devido a semelhanças superficiais, desconsiderando as
restrições formais. E às vezes, um esquema de resolução, profundamente enraizado na
mente do aluno, é aplicado erroneamente, apesar de uma compreensão intuitiva e
potencialmente correta.
Ele ressalta que normalmente, é a interpretação intuitiva baseada numa
experiência individual primitiva, limitada, mas fortemente enraizada, que aniquila o
controle formal ou os requisitos da solução algorítmica, e assim distorce ou mesmo

32

bloqueia uma relação matemática correta. Daí, ser importante o professor observar as
respostas dos alunos e direcioná-los para compreenderem o equívoco cometido e
manifestar a resposta correta. Para tanto, o professor precisa conhecer sobre esses 3
componentes, entender como interagem, para poder identificar os conflitos entre esses
componentes manifestados pelos alunos em uma atividade matemática e também
identificar quais são as fontes das ações equivocadas na resolução da atividade.
Por sua vez, Batanero (2005) apud Vásquez (2019) explica que para melhorar o
processo ensino-aprendizagem de probabilidade, os professores devem conhecer os
diferentes significados de probabilidade para compreender as dificuldades que os
alunos enfrentam na construção dos conceitos. Deste modo, Batanero (2005) classifica
os significados da seguinte forma:
- Significado intuitivo: se caracteriza pela utilização de frases e expressões
coloquiais para quantificar eventos incertos expressando o grau de crença em relação a
eles. Batanero (2005) coloca que as primeiras ideias sobre probabilidade, que surgem
ligadas às apostas, esperança, vitória em um jogo e ao conceito de jogo justo, não
tinham sido definidas até que foram feitas tentativas para atribuir números aos graus de
crença para comparar a probabilidade de diferentes eventos, como o uso da técnica de
enumeração.
- Significado laplaciano ou clássico: este significado é concebido por Laplace
que afirma que a probabilidade de um evento que pode ocorrer apenas em um número
finito de modos é dada como uma fração cujo numerador é o número de casos
favoráveis e cujo denominador é o número de todos os casos possíveis”, havendo a
necessidade de se reduzir eventos de um determinado tipo a um determinado número
de casos igualmente possíveis. Batanero (2005) pontua que essa definição é restrita e
se aplica ao cálculo de probabilidades de eventos simples, não podendo ser aplicada a
experimentos com um número infinito de possibilidades ou àqueles casos em que o
espaço amostral é finito e a condição de simetria não pode ser aceita. Vásquez (2019)
coloca que esse significado é predominante no contexto escolar por ser mais
simples e ser aplicado em situações específicas já citadas por Batanero (2005).
- Significado frequencial: este significado está relacionado com a concepção de
Bernoulli que sugeriu que poderia atribuir probabilidades a eventos aleatórios que

33

aparecem em vários campos do conhecimento, a partir da frequência relativa observada
em uma grande série de tentativas do experimento, mas, em geral, não se obtém
valores exatos e apenas estimativas e alguns eventos não podem ser repetidos no
experimento, o que inviabiliza a aplicação da teoria da probabilidade.
- Significado subjetivo: neste caso, considerando a regra de Bayes, as
probabilidades a priori (antes de realizar um experimento) de várias causas, uma vez
observadas suas consequências, podem se transformar em probabilidades a posteriori,
perdendo o caráter objetivo que lhes é atribuído pela concepção de frequência. Na
abordagem subjetiva não é necessário repetir o experimento nas mesmas condições
para dar sentido à probabilidade, o que amplia o campo de aplicação, como no estudo
das decisões em economia ou no diagnóstico médico, mas perdura a controvérsia
sobre o status científico das probabilidades subjetivas.
- Significado matemático ou axiomático: decorre do desenvolvimento de uma
teoria matemática formalizada da probabilidade e, desta forma, a probabilidade é vista
como um modelo matemático que pode ser usado para descrever e interpretar a
realidade dos fenômenos aleatórios, com utilidade em quase todos os campos da
atividade humana, como a Ciência, Política e Gestão.
Batanero (2005) sistematiza em quadro os elementos que caracterizam os
diferentes significados de probabilidade, como podemos ver a seguir:
Quadro 1 – Significados de Probabilidade
Significado da
Probabilidade

Campos de
Problemas

Algoritmos e
Procedimentos

Unidades
Linguísticas

Definições e
Propriedades

Intuitivo

• Sorteios
• Adivinhação

Linguagem comum

Laplaciano ou

Cálculo de
esperanças ou
riscos em jogos
de azar

Manipulação de
geradores de sorte:
dados, cartas.
• Combinatória
• Proporções
• Análise prévia da
estrutura
do
experimento

Opinião
imprevisível,
crença
• Proporção
de
casos favoráveis
e possíveis
• Equiprobabilidad
e de eventos
simples
• Limite
de
frequências
relativas
• Caráter objetivo
baseado
em
evidência
empírica
• Caráter
subjetivo
• Passível de
revisão com
experiência
Função
mensurável

Clássico

Frequencial

Subjetivo

Matemático ou
Axiomático

Estimativas de
parâmetros em
população

Aprimoramento
do conhecimento
sobre eventos
incertos, mesmo
não repetível
Quantificar a
incerteza de
resultados em
experimentos
aleatórios

• Triângulo aritmético
• Lista de eventos
• Fórmulas
combinatórias

• Registro de dados • Tabelas e gráficos
estatísticos
a
estatísticos
posteriori
• Curvas de densidade
• Ajuste de curvas • Tabelas numéricas
matemáticas
aleatórias
• Análise matemática • Tabelas
de
• Simulação
distribuição
Expressão
de
• Teorema
de
probabilidade
Bayes
condicional
• Atribuição
de
probabilidade
subjetiva
Símbolos
• Teoria
de
conjuntistas
Conjuntos
• Álgebra
de
Conjuntos

Alguns Conceitos
Relacionados
• Sorte
• Destino
• Esperança
• Equitatividade (ser justo)
• Independência

• Frequência relativa
• Universo
• Variável aleatória
• Distribuição
probabilidade

de

• Probabilidade condicional
• Distribuição a priori e a
posteriori
• Espaço amostral
• Espaço de probabilidade
• Conjuntos de Borel

34

abstratos

• Teoria de Medidas

Fonte: Elaborado pela autora da Dissertação com base nos estudos de Batanero (2005, p. 256)

Batanero (2005) explica que os professores devem abordar os diferentes
significados de probabilidade nas aulas de Matemática, mas que devem ser inseridos
progressivamente e distribuídos entre os diferentes anos escolares e níveis de ensino,
a partir de ideias intuitivas sobre acaso e probabilidade, relacionando com os elementos
que os compõem, de modo que os alunos consigam atingir um trânsito flexível entre os
diferentes significados, pois isso só pode ser alcançado depois de um longo processo.
A autora ainda pontua que as simulações e experimentos são importantes no
ensino de probabilidade, pois ajudam a esclarecer paradoxos, mas não são suficientes,
pois é necessário o estudo da probabilidade apoiada na experiência estocástica.
Por sua vez, é importante citar os estudos realizados por Piaget e colaboradores
sobre a aprendizagem de conceitos de probabilidade. Piaget e Inhelder publicaram nos
anos 50 a obra “The origin of the idea of chance in children”, que foi uma das pioneiras
na investigação sobre as origens da ideia de acaso e probabilidade em crianças e
jovens. Os autores associaram a formação das ideias de acaso e probabilidade com os
estágios de desenvolvimento que foi concebido por Piaget.
Piaget e Inhelder (1975) definiram os seguintes três estágios de desenvolvimento
da cognição de probabilidade: No estágio 1 – estágio pré-operatório (antes dos 7 a 8
anos), as crianças não adquirem o conceito de probabilidade e não conseguem
distinguir entre eventos aleatórios e casuais; estágio 2 – estágio das operações
concretas (8 a 12 anos), as crianças começam a diferenciar entre certeza e incerteza e
qualificam probabilidade em situações simples; no estágio 3 – operações lógico-formais
(por volta dos 12 anos), as crianças podem fazer conexões entre lógica dedutiva e
probabilidade e fazer cálculos de probabilidade, o que permite determinar o conjunto de
casos possíveis e o acesso ao raciocínio proporcional. No entanto, há várias críticas ao
que foi proposto por Piaget e Inhelder (1975) e que decorrem de estudos posteriores
inclusive o que foi realizado por Fischbein e outros pesquisadores posteriormente nos
anos 80, 90 e 2000, que apontaram que a instrução escolar tem papel fundamental na
transformação das intuições primárias em conceito operativo de probabilidade
(FISCHBEIN; GAZIT, 1984), além de que a faixa etária definida pelos estágios não

35

contém exatidão, pois em alguns países, pesquisas como a realizada por Carpenter
(1981) apontaram que havia alunos que não manifestaram o que havia sido previsto por
Piaget e Inhelder para os estágios em relação ao conhecimento de probabilidade.
Ao passo que Bryant e Nunes (2012) reconhecem a importância de se ensinar
conceitos de probabilidade desde cedo e num documento intitulado de “Children’s
understanding of probability” publicado em 2012, os autores trazem os aspectos
basilares para a abordagem da probabilidade em idade precoce.
Os autores iniciam o documento colocando que há exigências cognitivas para a
compreensão da probabilidade, ou seja, os alunos devem se basear na compreensão
de quatro aspectos diferentes dos eventos e da sequência em que eles ocorrem, pois a
probabilidade é um conceito complexo e estabelecem quatro exigências cognitivas:
Quadro 2 – Exigência cognitiva
Exigência cognitiva

Finalidade

Compreender
a
aleatoriedade
Trabalhando o espaço
amostral

Para entender a natureza e as consequências da aleatoriedade e o uso
da aleatoriedade em nossa vida cotidiana.
Reconhecer que o primeiro e o passo essencial na resolução de
qualquer problema de probabilidade é descobrir todos os possíveis
eventos e sequências de eventos que podem acontecer. O conjunto de
todos os eventos possíveis é chamado de 'espaço amostral' e calcular
o espaço amostral não é apenas uma parte necessária do cálculo das
probabilidades de determinado evento, mas também um elemento
essencial para entender a natureza da probabilidade.
Comparando
e Probabilidades são quantidades baseadas em proporções, e é preciso
quantificando
calcular essas proporções para fazer a maioria (mas não todas) as
probabilidades
comparações das probabilidades de dois ou mais eventos. Essas
proporções podem ser expressas como decimais, como frações ou
como proporções.
Compreender
a Um a associação entre dois tipos de eventos pode acontecer
correlação (ou relações aleatoriamente
ou,
alternativamente,
pode
representar
um
entre eventos)
relacionamento genuíno. Para descobrir se existe uma relação não
aleatória ou não, temos que atentar para a relação entre evidências
confirmadoras e não confirmadas e verificar se a frequência de casos
confirmados pode ter acontecido por acaso. Isso significa que, para
entender as correlações, precisamos entender todas as três ideias
mencionadas acima.
Fonte: Elaborado pela autora da Dissertação com base nos estudos de Bryant e Nunes (2012, p.
4, tradução nossa)

Após relacionar as quatro exigências cognitivas, Bryant e Nunes (2012)
comentam sobre alguns aspectos importantes sobre a aprendizagem de probabilidade,
que enumeramos abaixo:

36

- Sobre aleatoriedade: os autores apontam que as crianças têm mais
dificuldade que os adultos em compreender o conceito de aleatoriedade. Apontam
estudos recentes dos anos 2000 em que colocam que por volta dos dez anos de idade,
muitas crianças percebem que existe uma associação entre aleatoriedade e
imparcialidade e que um erro típico manifestado por crianças e adultos é desconsiderar
a independência de eventos sucessivos em uma situação aleatória, ou seja, cometem o
erro de julgar que, após uma sequência de um tipo de resultado, um resultado diferente
é mais provável na próxima vez.
- Sobre o espaço amostral: apontam que o conceito de espaço amostral tem
sido negligenciado nas pesquisas sobre as ideias das crianças acerca do acaso, que se
concentram principalmente no entendimento das crianças sobre a aleatoriedade e em
sua capacidade de quantificar e comparar probabilidades. Bryant e Nunes (2012)
afirmam que em muitos problemas de probabilidade é necessário não apenas listar
todas as possibilidades no espaço amostral, mas também classificá-las. Por exemplo,
num lançamento de dois dados a forma como se registra o resultado pode trazer uma
determinada implicação: os resultados poderão ser equiprováveis ou não; assim, os
resultados individuais são equiprováveis, mas os resultados agregados (como soma de
dois números) não. Ainda ressaltam que para trabalhar o espaço amostral, a criança
deve imaginar o futuro de uma maneira particular e pensar em todos os eventos
possíveis que podem ocorrer em um contexto particular, ou seja, demonstrar o espaço
amostral como um espaço de amplas possibilidades.
- Sobre quantificar probabilidades: Bryant e Nunes (2012) explicam que a
probabilidade é uma quantidade, ou seja, é uma quantidade baseada em proporções e
geralmente é expressa como um número decimal, uma porcentagem ou uma razão. A
solução para a maioria dos problemas de probabilidade repousa no cálculo de uma ou
mais proporções, mas alguns podem ser resolvidos com base em relações simples
como 'mais' ou 'maior'. Daí, apontam a questão do raciocínio proporcional sobre
probabilidade que é difícil para crianças pequenas, como no caso de comparar duas ou
mais probabilidades diferentes. Outra dificuldade das crianças seria em relação à
probabilidade condicional, em que tem a possibilidade de calcular probabilidades
condicionais corretamente se a informação básica for fornecida como números

37

absolutos do que como frações decimais. Deste modo, recomendam ensinar as
crianças sobre probabilidades apresentando-as primeiro como razões, em vez de
frações, que pode valer para probabilidades condicionais, bem como para
probabilidades simples.
- Sobre correlações: os autores explicam que quando dois eventos acontecem
juntos, sua coincidência pode ser uma ocorrência aleatória ou o resultado de um
relacionamento genuíno e como a maioria dessas relações é imperfeita, temos que
descobrir se a imperfeição da associação equivale à aleatoriedade ou a um acaso.
Dessa forma, Bryant e Nunes (2012) enfatizam que pensamento correlacional também
depende de as crianças perceberem que a maneira de descobrir se uma associação é
aleatória ou não é considerar a quantidade relativa de evidências que confirmam e
refutam, mas que para essa análise é necessária registros sistemáticos e sua
quantificação. Os registros são importantes, pois quando as pessoas usam o raciocínio
intuitivo simples, muitas vezes são vítimas de um viés de confirmação: elas prestam
mais atenção à confirmação do que à evidência que não confirma. Estudos recentes
publicados nos anos 70, 80 e 90 e apontado pelos autores evidenciam que apenas uma
minoria aprende a considerar e relacionar os dois tipos de evidência (confirmadoras e
não-confirmadoras).
Ao longo do documento, os autores pontuam que muitos estudos realizados por
Piaget e colaboradores com bebês e crianças (no final da década de 50) são pouco
conclusivos e demandam de novos testes para aferir aspectos sobre a aprendizagem
da probabilidade e o desenvolvimento de noções, como o que foi apontado em diversos
estudos posteriores, citando o estudo de Waismeyer, Meltzoff e Gopnik (2015) depois
de observar a evidência probabilística, as crianças escolheram agir sobre o objeto com
maior probabilidade de produzir o efeito. Os resultados desse estudo demonstraram
que as crianças podem aprender sobre causa e efeito sem tentativa e erro ou instrução
linguística na tarefa, simplesmente observando os padrões probabilísticos de
evidências resultantes das ações imperfeitas de outros agentes sociais, ou seja, a
compreensão intuitiva das estatísticas e a ponderação das probabilidades de um
cenário de causa e efeito mostram que as crianças pequenas não precisam passar por

38

tentativa e erro para aprender, pois elas podem apenas observar o que as outras
pessoas fazem.
Taylor (2011) explica que a compreensão acerca da teoria da probabilidade é
essencial para entender áreas como a de política, relatórios sobre clima, genética,
esportes e apólices de seguro, além de nos ajudar a tomar decisões ao longo da vida.
A autora coloca que mudanças ocorreram ao longo do tempo nos currículos escolares
com a finalidade de inserir a probabilidade na escola primária, citando que o NCTM
(2000), um dos órgãos que se destaca mundialmente na elaboração de currículos,
recomenda em seus standards que desde a pré-escola até a 12ª série, os alunos
possam compreender e aplicar conceitos básicos de probabilidade.
Sobre as recomendações do NCTM (2000), Taylor (2011) esclarece que o
documento argumenta que se os alunos forem entender a probabilidade em um nível
mais profundo no Ensino Médio e na faculdade, então as habilidades necessárias para
seu domínio deve começar nas séries elementares, assim o aprendizado da
probabilidade nas séries iniciais fornecerá aos alunos uma base mais sólida para
estudos posteriores. Além disso, segundo a autora, o documento elaborado pelo
NCTM (2000) coloca que o tipo de raciocínio usado na probabilidade nem sempre é
intuitivo e, portanto, pode não ser desenvolvido em crianças pequenas se não estiver
incluído no currículo.
A autora ainda pontua que a inclusão de atividades que tratam de probabilidade
experimental no Ensino Fundamental melhora as habilidades de resolução de
problemas pelas crianças e oferece uma variedade de desafios para elas, além de que
a experiência com probabilidade pode contribuir para o conhecimento conceitual dos
alunos sobre como trabalhar com dados e acaso, devendo-se trabalhar além da
probabilidade experimental, a probabilidade teórica, com o uso de gráficos, diagramas
de árvore e procedimentos simples de contagem.
Sobre os standards publicados pelo NCTM em 2000 e que tratam do ensino de
probabilidade desde os anos iniciais, cabe destacar que a probabilidade aparece em
uma unidade intitulada “Análise de Dados e Probabilidade” com o objetivo de que os
alunos aprendam “[...] métodos estatísticos apropriados para analisar dados, fazer
inferências e previsões com base em dados, e entender e usar os conceitos básicos de

39

Probabilidade” (NCTM, 2000, p. 4). Abaixo, trazemos no quadro 3 sintetizadas as
habilidades que devem ser desenvolvidas pelos alunos segundo o NCTM (2000):
Quadro 3 – Habilidades relacionadas à probabilidade previstas pelos Standards
do NCTM
Série escolar

Habilidades

Do pré-K até a 2ª série

▪
discutir eventos relacionados às experiências dos alunos como
prováveis ou improváveis.
▪
descrever eventos como prováveis ou improváveis e discutir o
grau de probabilidade usando palavras como certo, igualmente provável e
impossível;
▪
prever a probabilidade de resultados de experimentos simples e
testar as previsões;
▪
entenda que a medida da probabilidade de um evento pode ser
representada por um número de 0 a 1.
▪
entender e usar a terminologia apropriada para descrever eventos
complementares e mutuamente exclusivos;
▪
usar proporcionalidade e um entendimento básico de
probabilidade para fazer e testar conjecturas sobre os resultados de
experimentos e simulações;
▪
calcular probabilidades para eventos compostos simples, usando
métodos como listas organizadas, diagramas de árvore e modelos de
área.
▪
compreender os conceitos de espaço amostral e distribuição de
probabilidade e construir espaços amostrais e distribuições em casos
simples;
▪
usar simulações para construir distribuições de probabilidade
empíricas;
▪
calcular e interpretar o valor esperado de variáveis aleatórias em
casos simples;
▪
compreender os conceitos de probabilidade condicional e eventos
independentes;
▪
entender como calcular a probabilidade de um evento composto.

Na 3ª a 5ª séries

Na 6ª a 8ª séries

Na 9ª a 12ª séries

Fonte: Elaborado pela autora da Dissertação (2022) com base no NCTM (2000)

O que está previsto nos standards do NCTM (2000) em relação às habilidades a
serem desenvolvidas para os anos iniciais no que se refere ao conteúdo de
probabilidade se assemelha com o que é proposto pela BNCC (BRASIL, 2018),
diferenciando-se apenas em relação à Educação Infantil, que no caso do documento
brasileiro não coloca a probabilidade como conteúdo a ser aprendido em nenhum de
seus campos de experiência.
Oparnica, Sudžuković e Zobenica (2016) defendem a inserção da probabilidade
na Educação Infantil constatando por meio de pesquisa realizada com alunos que estes

40

aprendem noções de probabilidade intuitivamente. Os autores afirmam que a
probabilidade está ao nosso redor, por toda parte, em situações do cotidiano e que
muitos alunos do Ensino Médio e do Ensino Superior têm dificuldades para entender
probabilidade, mas se aprendessem sobre probabilidade desde cedo, eles entenderiam
o conceito intuitivamente e poderia ser muito mais fácil para eles compreenderem a
probabilidade.
Os autores colocam que os pesquisadores nas décadas de 70 e 80 começaram
a explorar possibilidades de introduzir a probabilidade no currículo das escolas
primárias, pontuando benefícios como: a experiência com probabilidade pode contribuir
para o conhecimento conceitual dos alunos sobre como trabalhar com dados e acaso;
aprender sobre problemas relativos à probabilidade contribui para o qualidade do
raciocínio matemático, encoraja os alunos a pensar matematicamente sobre os
problemas do dia-a-dia, estimula o interesse dos alunos em estudar Matemática e
aumenta a atenção e concentração. Desta forma, muitos países introduziram a
probabilidade na escola primária. Veremos nos próximos tópicos a importância da
inserção da probabilidade no currículo dos anos iniciais, seguindo-se de uma análise
dos principais referenciais curriculares e o que propõe para o ensino de probabilidade
nesta etapa de escolaridade.

1.2 Uma visão geral sobre o pensamento probabilístico
Hokor (2023) coloca a necessidade de se promover a alfabetização probabilística
uma vez que situações envolvendo probabilidade estão presentes no cotidiano e na
profissão de muitas pessoas. O autor explica que uma pessoa alfabetizada
probabilisticamente é capaz de interpretar, avaliar criticamente, analisar, julgar, decidir e
comunicar sobre situações incertas e fazer escolhas e assumir as consequências
dessas escolhas. Hokor (2023, p. 2) explica que essas habilidades decorrem do
desenvolvimento de raciocínio probabilístico, que é a “maneira como as pessoas
raciocinam sobre situações incertas e tomam decisões com base nos resultados
prováveis”. Segundo Hokor (2023, p. 32) a “habilidade de identificar os resultados mais
prováveis na incerteza constitui pensamento probabilístico”. O autor propõe o seguinte
modelo para o pensamento probabilístico:

41

Figura 1 – Modelo de Pensamento Probabilístico proposto por Hokor (2023)

Fonte: Hokor (2023, p. 32)

Esse modelo de pensamento probabilístico envolve a identificação de todos os
resultados possíveis, avaliando o grau de possibilidade de previsões de eventos futuros
que tem elementos de dúvida, para então se tomar uma decisão.
Já Borovcnik (2016, p. 1500) coloca a “alfabetização probabilística como a
capacidade de usar conceitos e métodos relevantes em contexto e problemas
cotidianos. ” Borovcnik (2011) propõe um primeiro modelo de pensamento probabilístico
a partir de 5 categorias: a. probabilidade como índice de surpresa; b. o feedback de
situações probabilísticas é indireto; c. a alternativa causal à aleatoriedade; d. o conflito
entre ações e reflexões; e. critérios não probabilísticos para decisões. Este modelo é
mais específico do que o de Hokor (2023) que se fundamenta na incerteza e tomada de
decisão.
Borovcnik (2016) reordenou essas categorias de pensamento probabilístico
intuitivo em forma de habilidades fazendo correspondência com as categorias
anteriormente definidas, como vemos no quadro abaixo:

42

Quadro 4 – Categorias de pensamento probabilístico segundo Borovcnik
(2016)
Categorias do pensamento probabilístico
Correspondência com o proposta de 2011
a capacidade de equilíbrio entre elementos a. probabilidade como índice de surpresa; e.
psicológicos e formais
critérios não probabilísticos para decisões
o entendimento de que faltam critérios b. o feedback de situações probabilísticas é
diretos para o sucesso
indireto
a capacidade de separar aleatoriedade e c. a alternativa causal à aleatoriedade
causalidade
a capacidade de separar refletir sobre um d. o conflito entre ações e reflexões
problema e tomar uma decisão
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação a partir do trabalho de Borovcnik (2016)

Borovcnik e Batanero (2016) determinam os componentes do pensamento
probabilístico que são estes: a. influência do julgamento de probabilidade anterior, b.
assimetria de probabilidades condicionais, c. caráter teórico da independência, d. o
problema das pequenas probabilidades, e. correlação como dependência probabilística.
A

partir

desses

componentes

Borovcnik

(2016)

estabeleceu

novas

correspondências que são mostradas no quadro a seguir:
Quadro 5 – Estruturação do pensamento probabilístico segundo Borovcnik (2016)
Estruturação do
pensamento
probabilístico
Caráter
teórico
da probabilidade

Correspondência com as categorias
do pensamento probabilístico

Estruturação do
pensamento probabilístico
considerando o aspecto
risco
Carácter
teórico
da
probabilidade
e
independência

c. Caráter teórico da independência; d. O
problema das pequenas probabilidades
combinando TSP (Teoria subjetivista da
probabilidade) , TAP (Teoria a priori da
probabilidade) e TFP (Teoria frequentista
da probabilidade)
Probabilidade
a.
Influência
do
julgamento
de Probabilidade condicional
condicional
probabilidade anterior; b. Assimetria de
probabilidades condicionais; com base
em sua dependência de julgamentos
anteriores, como bem como a assimetria
de probabilidades relativas à direção do
condicionamento;
Conceitos
e. Correlação como
dependência Conceitos como evidências
baseados
em probabilística;
como
dependência probabilísticas de construção
evidências
probabilística como conceituado pelo de correlação
probabilísticas
coeficiente de correlação ou chances
relativas.
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação a partir do trabalho de Borovcnik (2016)

43

Ainda que pesem as complementações feitas por Borovcnik (2016), podemos
considerar este modelo como um parâmetro de como o pensamento probabilístico se
configura, mas ainda há outros elementos que devem ser considerados para que se
tenha um modelo mais completo e talvez definitivo sobre o pensamento probabilístico.
Tarr e Jones (1997) propuseram um modelo de pensamento probabilístico
baseado em vários níveis de maturidade cognitiva e em vários conceitos probabilísticos,
como espaço amostral, probabilidade de um evento, probabilidade condicional e
independência. Como tal, as estruturas fornecem uma visão geral coerente dos tipos de
raciocínio probabilístico que se espera que os alunos do Ensino Médio tragam para a
sala de aula, mas tem como ponto de referência a independência, ou seja, quando o
aluno se defronta com eventos dependentes e independentes em situações que
envolvem probabilidade. É um modelo muito específico, não abrange outros conceitos
de probabilidade, mas fornece uma visão geral do pensamento probabilístico dos
alunos do Ensino Médio. Os níveis estabelecidos são estes: (1) Nível Subjetivo, (2)
Nível Transitório, (3) Nível Informal Quantitativo e (4) Nível Numérico. No nível
subjetivo, os alunos aplicam entendimentos incompletos da habilidade ou aplicam
estratégias intuitivas para resolver problemas relacionados; no nível transitório, os
alunos demonstram alguma compreensão da habilidade e usam estratégias às vezes
eficazes para resolver problemas relacionados; no nível informal quantitativo, os alunos
têm uma compreensão essencial da habilidade e começam a aplicar estratégias
eficazes para resolver problemas relacionados; no nível numérico, os alunos dominam a
habilidade e aplicam estratégias eficazes para resolver problemas relacionados com
soluções numéricas precisas.
Ainda assim, com esta proposta de Tarr e Jones (1997), entendemos que seja
necessário o estabelecimento de um novo modelo mais completo e que consiga
abranger mais conceitos de probabilidade e situações.
Gal (2005) propôs um modelo de letramento probabilístico, bastante genérico,
como podemos ver abaixo e que pode ser correlacionado com o pensamento
probabilístico:

44

Quadro 6 – Letramento probabilístico
Elementos de conhecimento

1. Grandes ideias: Variação, Aleatoriedade, Independência,
Previsibilidade/Incerteza.
2. Calculando probabilidades: Maneiras de encontrar ou estimar a
probabilidade de eventos.
3. Linguagem: Os termos e métodos usados para comunicar sobre
o acaso.
4. Contexto: Compreender o papel e as implicações das questões
probabilísticas e mensagens em vários contextos e no discurso
pessoal e público.
5. Questões críticas: Questões para refletir ao lidar com
probabilidades
Elementos de disposição
1. Postura crítica.
2. Crenças e atitudes.
3. Sentimentos pessoais em relação à incerteza e ao risco (por
exemplo, aversão ao risco).
Fonte: Elaborado pela autora da Dissertação a partir do trabalho de Gal (2005, p. 51)

O modelo é inspirado numa proposta que Gal fez para o letramento estatístico,
sendo menos específica. Gal (2005) esclarece que o que constitui um nível suficiente
de conhecimento ou entendimento na área de probabilidade não pode ser definido em
termos absolutos, pois há diferentes culturas e contextos de vida, assim, segundo o
autor, a idade e o histórico dos alunos impactam em seu conhecimento de mundo,
capacidade de lidar com conceitos abstratos ou capacidade e vontade de criticar seus
próprios pensamentos ou os dos outros sobre probabilidade, chance e incerteza.
Para Gal (2005), como se vê no quadro 6, o letramento probabilístico é
composto por cinco categorias de elementos de conhecimento, que são considerados
fundamentais para o aluno desenvolver habilidades de interpretar e resolver situações
probabilísticas do mundo real. Tais elementos de conhecimento são: cálculo de
probabilidade, grandes ideias, linguagem, questões críticas e o contexto, devendo
existir uma inter-relação no decorrer do processo de aprendizagem, sendo primordial
uma articulação entre esses elementos para que um aprendizado efetivo possa ser
alcançado.
No que se refere ao elemento “grandes ideias”, Gal (2004) destaca a relevância
da aleatoriedade, independência e variação, visto que esses conceitos não são triviais
e que é fundamental uma abordagem de forma conjunta para que os alunos percebam
conexões entre esses conceitos. Nesse sentido, esses componentes são premissas
para a compreensão das grandes ideias complementares que são a previsibilidade e a

45

incerteza, que se relacionam ao risco e à confiança, essenciais para o estudo de
probabilidade. Gal (2005) explica que embora alguns aspectos dessas grandes ideias
possam ser representados por símbolos matemáticos, a sua essência não pode
captada por notações técnicas, de modo que os alunos devem compreender a
natureza abstrata geral dessas ideias apenas de modo intuitivo. Além do mais, ressalta
que essas três grandes ideias - aleatoriedade, independência e variação – são muito
complexas e estão ligadas aos conceitos de regularidade, co-ocorrência e estabilidade,
que não são discutidos quando se ensina probabilidade.
Partindo para o “cálculo de probabilidades”, Gal (2005) destaca que os alunos
devem ter a habilidade de determinar a probabilidade de eventos para compreender
processos probabilísticos e o autor enfatiza que em sala de aula é preciso que haja
enfoque nos significados de probabilidade de modo completo, fazendo com que os
alunos se familiarizem com os diferentes métodos para determinar a probabilidade de
eventos aleatórios. Contudo, o planejamento das aulas demanda criatividade e estudos
mais amplos para inserir a probabilidade de modo mais simples e direto, visto que em
nosso cotidiano podemos analisar diversas situações nas quais a probabilidade não é
destacada, nem ensinada.
Já no elemento de conhecimento denominado “linguagem”, Gal (2005) afirma
que há a necessidade de implementar no âmbito educacional o vocabulário
relacionado à probabilidade por meio de situações que promovam, mesmo que de
modo gradual a linguagem probabilística, para se utilizar de modo consciente termos e
frases relacionadas à aleatoriedade, à probabilidade e ao acaso. Braga, Ballejo e Viali
(2022) salientam que a falta de convivência com os termos probabilísticos pode gerar
consequências negativas, como as dificuldades no entendimento de situações
cotidianas em que esse conhecimento se faz necessário.
Segundo Gal (2005), o “contexto” é um dos elementos principais para fazer com
que os alunos consigam se envolver no estudo da probabilidade, já que está presente
em diversas áreas da vida deles. Ao compreender o contexto o aluno observa melhor a
relevância do acaso nas mais diversas situações, além de perceber em quais
circunstâncias essas situações são mais presentes, como por exemplo, na previsão do
tempo, nas decisões pessoais e mundiais.

46

No elemento de conhecimento que Gal (2005) denominou de “questões críticas”
é destacada a importância do professor saber quais indagações que envolvem
contextos probabilísticos devem ser feitas em sala de aula para promover reflexões
pertinentes para os alunos desenvolverem melhor sua criticidade em suas respostas.
Para o autor, é imprescindível a presença da postura crítica para se obter reflexões e
questionamentos que validem e forneçam uma veracidade para determinada afirmação
relacionada à probabilidade. Ademais, Gal (2005) sugere que existem cinco passos
que podem auxiliar no processo crítico, que é a compreensão do contexto da
informação, sua fonte, o caminho percorrido para a sua produção e comunicação, os
significados que ela busca transmitir e a interpretação reflexiva sobre os elementos
citados anteriormente. Uma estratégia que foi utilizada no produto educacional desta
dissertação de Mestrado para que os alunos pudessem participar ativamente do
processo de aprendizagem da probabilidade, foi inserir a argumentação em sala de
aula, de modo que pudessem justificar, validar e compreender suas afirmações como
colocam (AGUILAR JÚNIOR; NASSER, 2012). Esse elemento das questões críticas se
relaciona diretamente com tal estratégia argumentativa e contribui para a consolidação
do letramento probabilístico.
Braga, Ballejo e Viali (2022) baseados em Gal (2005) chamam de letramento
probabilístico, a capacidade de “obter, empregar, interpretar e comunicar concepções
referentes à Probabilidade, objetivando o gerenciamento de demandas oriundas do
mundo real que envolve incertezas e riscos” (BRAGA; BALLEJO; VIALI, 2022, p. 5). Os
estudos de Braga, Ballejo e Viali (2022) sintetizam o modelo de letramento que foi
proposto por Gal (2005) e pode ser observado na figura 2 abaixo, em que são
mostrados os elementos de conhecimentos que discutimos anteriormente e que são
considerados fundamentais para a compreensão da probabilidade de modo integral:

47

Figura 2 - Elementos de conhecimento do letramento probabilístico proposto por
Gal (2005)

Fonte: Braga, Ballejo e Viali (2022, p. 6)

Retornando ao pensamento probabilístico, Taram, Sukestiyarno e Rochmad
(2021) explicam que pensamento probabilístico é um tipo de habilidade de pensamento
que pertence às Habilidades de Pensamento de Ordem Superior e que os alunos
precisam ter a capacidade de pensamento probabilístico para enfrentar a vida que é
cheia de incertezas. Por meio de uma pesquisa qualitativa, os autores conseguiram
estabelecer cinco etapas do processo de pensamento probabilístico. São elas: (1)
entender o problema da incerteza que precisa ser resolvido; (2) identificar todas as
possibilidades que ocorrerão a partir de um problema; (3) agrupar os resultados do
evento identificado; (4) determinar a probabilidade dos eventos ocorridos; e (5)
verificação dos resultados. Estes indicadores também são muito gerais havendo a
necessidade de estabelecer componentes mais específicos para determinar como o
pensamento probabilístico se configura nos diferentes níveis de ensino, para que os
professores possam planejar as suas aulas e rubricas no sentido de avaliar se o
pensamento probabilístico está se desenvolvendo.
Considerando o que foi exposto sobre pensamento probabilístico e letramento
probabilístico, podemos dizer que o pensamento probabilístico integra o letramento
probabilístico, uma vez que este aborda as grandes ideias, ou seja, visa promover a

48

compreensão dos conceitos que envolvem a probabilidade e ao objetivar o
desenvolvimento do letramento probabilístico se está possibilitando também o
desenvolvimento do pensamento probabilístico.
Deste modo, procuramos traçar uma visão geral acerca do pensamento
probabilístico e seus componentes relacionando-o com o letramento probabilístico.
Passemos ao próximo tópico.

1.3

A importância da inserção da probabilidade no currículo dos anos iniciais
A teoria da Probabilidade estuda os experimentos aleatórios, mostrando a

chance de ocorrência de eventos aleatórios relacionados aos espaços amostrais
desses ensaios em várias áreas das “ciências físicas, biológicas e sociais, como por
exemplo a química, a física, a biologia, a agricultura, a medicina, a genética, o setor de
seguros, finanças e economia, astronomia, engenharia, meteorologia, pesquisa de
opinião pública” e entre outros (ASSIS et al., 2023, p. 8). O ensino de probabilidade
vem ganhando destaque, pois é importante e necessário para contribuir na formação
integral de cidadãos, já que nos assuntos atrelados à probabilidade os estudantes
podem desenvolver habilidades para tomar decisões adequadas e conscientes ao se
deparar com fenômenos não determinísticos.
Desde a Antiguidade, percebemos que a probabilidade está envolvida na
sociedade, tanto no modo formal através das descobertas matemáticas que foram
surgindo ao longo dos tempos, quanto no modo implícito com as situações diárias em
que o ser humano se depara. Percebe-se que o pensamento probabilístico está
presente em situações como atravessar a rua, em jogos de azar, ao analisar o tempo e
inferir a chance de fazer sol ou chuva, até mesmo na tentativa e erro de algum
experimento que não segue um mesmo padrão de ocorrência, o ser humano é capaz de
perceber que há chance ou possibilidade de algo ocorrer. O pensamento probabilístico
se desenvolve em diferentes estágios ao longo da vida do aluno levando-o a refletir
sobre os fenômenos não determinísticos, fazendo com que diversas formas de
pensamento e intuições sejam formadas, como apontado por Fischbein (1984).
Segundo Silva (2016), a palavra “probabilidade” tem origem no Latim, que tem
por significado “provar ou testar” (probare) e afirma que a Teoria das Probabilidades se

49

iniciou a partir do interesse da sociedade em estudar as possibilidades de algo ocorrer
ou não ocorrer, tendo “início com os jogos de azar disseminados na Idade Média”,
sendo que “esse tipo de jogo é comumente praticado através de apostas, na ocasião
também era utilizado no intuito de antecipar o futuro” (SILVA, 2016, p.13). Como
observado, a probabilidade se encontra na vida das pessoas há muitos séculos, desde
sua noção mais intuitiva, até alcançar noções mais complexas e formuladas com o
início dos estudos probabilísticos de modo científico.
Ademais, Coutinho (2007, p.51) explica que “a noção de acaso é bastante
complexa e recebeu diversas interpretações ao longo da história das ciências e da
filosofia, uma vez que se vincula a nossa própria interpretação de mundo.” Para a
autora, os povos que habitavam na Mesopotâmia ou Egito antigo, relacionavam a ideia
do acaso aos poderes divinos ou sobrenaturais e este tipo de percepção permaneceu
no comportamento da humanidade por muito tempo e ainda é presente em
determinadas culturas quando se observa o contexto histórico. Em continuidade, a
autora pontua que mesmo os jogos de lazer que envolviam o uso de dados feitos com
barro cozido, era associado a uma “dimensão mística ou psicológica do acaso”
(COUTINHO, 2007, p. 52).
Quanto ao desenvolvimento do ramo probabilístico na Matemática, já era
conhecido o cálculo de proporções e raciocínio que envolvia a combinação, porém
Coutinho (2007, p. 52) esclarece que “é surpreendente observar que encontraremos os
primeiros estudos de combinatória aplicada à análise destes jogos somente no séc.
XVI, principalmente com G. Cardano e, no início do séc. XVII, com Galileu”. Um dos
motivos apontados por Pichard (1997, p. 107, apud COUTINHO, 2007, p. 52) para este
estudo tardio foi assim explicado:
Uma primeira razão é que um tratado científico sobre os jogos de azar não
seria, provavelmente, sério, pois os jogos eram coisas fúteis aos olhos dos
sábios. Umaoutra razão, certamente mais importante, é que o resultado de um
sorteio “ao acaso” é a expressão da vontade divina, e como tal, não deveria
ser calculada, pois nãodevemos desafiar Deus (ou o Diabo).

Além disso, matemáticos como Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre Fermat
(1601-1655) contribuíram sobre os estudos da probabilidade levantando hipóteses que
envolviam a ideia de resultados que eram possíveis em situações que relacionavam

50

apostas em jogos de dados (ver figura 3), fazendo com que a Teoria das Probabilidades
fosse sendo conduzida como parte da Ciência (SILVA, 2016). Ademais, o
desenvolvimento da Teoria da Probabilidade tem “sido estimulado pela variedade das
suas aplicações e simultaneamente, cada avanço da teoria tem permitido o
alargamento da sua esfera de influência” (ASSIS et al., 2023, p. 8).
Figura 3 - Dados antigos utilizados em jogos de azar

Fonte: Roberto1 (2016)

Diante disto, quando analisamos que o conteúdo probabilístico está presente
como essencial no contexto escolar, devemos entender sua importância no contexto
histórico e matemático, para assim proporcionar uma abordagem adequada do
conteúdo, que leve o aluno à compreensão do que está sendo ensinado, observandose as origens dos conceitos. Ademais, para Lopes (1998) a utilidade do ensino de
Probabilidade e Estatística se dá pela necessidade do ser humano em dominar tais
conhecimentos para atuarem na sociedade, de modo que possam lidar com situações
do cotidiano e consequentemente compreender melhor o mundo ao seu redor.
É possível perceber que a probabilidade teve seu desenvolvimento através de
contribuições de matemáticos brilhantes, formando e consolidando a Teoria das
Probabilidades que hoje é tão essencial para o mundo em diversos aspectos. Ademais,
vale ressaltar que cada aluno irá trazer consigo suas experiências extraescolares
relacionadas ao conteúdo de probabilidade e estes alunos não necessariamente
saberão formalizar seus conhecimentos prévios, mas poderão associar ao conteúdo
probabilístico. O professor deverá valorizar as experiências prévias dos alunos, como
1

ROBERTO, Vagner. História e representações brinquedos. Disponível em: https://www.slideshare.net/ProfVagner/histria-erepresentaes-brinquedos. Acesso em: 10 abr. 2022.

51

previsto pelas Diretrizes Curriculares Nacionais (DCNs) para a Educação Básica,
aliando o conteúdo ao que acontece na realidade e no contexto em que os alunos estão
inseridos.
Lopes (2008, p. 60) aponta que “faz-se necessário que a escola proporcione ao
estudante, desde os primeiros anos da escola básica, a formação de conceitos que o
auxiliem no exercício de sua cidadania”. Com isto, surge a reflexão de como o conteúdo
de probabilidade deve ser inserido ao longo do percurso escolar dos alunos, em que os
conceitos probabilísticos e estatísticos devem:
Ser trabalhados desde os anos iniciais da educação básica para não privar o
estudante de um entendimento mais amplo dos problemas ocorrentes em sua
realidade social. Não é possível esperarmos que nosso aluno chegue ao ensino
médio para iniciarmos conteúdos essenciais para o desenvolvimento de sua
visão de mundo (LOPES, 2008, p. 61).

Um dos documentos importantes que norteiam a Educação Básica é a Base
Nacional Comum Curricular (BNCC) que apresenta competências e habilidades que
os alunos devem desenvolver ao longo de sua trajetória escolar. A BNCC (BRASIL,
2018) considera que o conteúdo de probabilidade é essencial, não apenas quando os
alunos estão mais maduros durante o Ensino Médio, mas afirma que a probabilidade
deve estar presente desde os anos iniciais do Ensino Fundamental, com o intuito de
que os alunos compreendam que nem todos os eventos serão determinísticos, pois
trazem uma visão cristalizada da certeza oriunda da Educação Infantil.
A BNCC (BRASIL, 2018) apresenta objetos de conhecimento que recomendam
ao professor o ensino de noções do acaso, análise da ideia da aleatoriedade em
acontecimentos do cotidiano, chegando até mesmo ao próprio cálculo de probabilidade
de eventos equiprováveis, mostrando que a probabilidade é um conteúdo essencial e
relevante desde o início da formação dos alunos. Antes da BNCC (BRASIL, 2018) é
possível notar que os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs) não detalhavam tão
bem como se daria o ensino de probabilidade nos anos iniciais do Ensino Fundamental,
podendo ser vista uma notória mudança com o surgimento da BNCC. Lopes em
pesquisa realizada em 2008, anterior à BNCC, já destacava que o estudo de conceitos
probabilísticos desde os anos iniciais seria essencial para a formação da criança.
Samá e Goulart (2019) e Samá e Silva (2020) destacam a relevância do ensino
de probabilidade na perspectiva escolar, visto que:

52

O estudo da Probabilidade e Estatística se concentrava apenas no Ensino
Superior. No entanto, devido à demanda social por compreender e interpretar
uma série de informações que fazem parte do nosso dia a dia tornou-se
imprescindível a inclusão do ensino dessa área do conhecimento na Educação
Básica (SAMÁ; SILVA, 2020, p. 4).

Nesse sentido, Lopes (2003) destaca a importância de ensinar e aprender
probabilidade desde os anos iniciais da Educação Básica por meio da problematização
de temas reais que tenham significado para o aluno, “para não privar o estudante de
um entendimento mais amplo dos problemas ocorrentes em sua realidade social”
(LOPES, 2003, p. 4).
Destacamos que o papel do professor é essencial no processo de aprendizagem
do aluno para este alcance um bom domínio do conteúdo probabilístico e da
argumentação. Deste modo, surge o questionamento sobre como os professores,
principalmente dos anos iniciais lidam com o conteúdo de probabilidade, visto que
muitos ainda não possuem domínio nos tópicos previstos pela BNCC, sendo um dos
fatores que influenciam para que a probabilidade não seja ensinada de modo
adequado, ou seja, muitas vezes é negligenciada nos anos iniciais do Ensino
Fundamental.
Observando as práticas docentes, nota-se que na disciplina de Matemática,
muitos conteúdos são ministrados de modo limitado (POZO; CRESPO, 2009), não
abrangendo toda a amplitude que podem alcançar, mesmo na Educação Básica. Sabese que uma das formas de orientação para os docentes é através do bom
conhecimento acerca dos documentos norteadores da Educação Básica (EB) para que
possam desenvolver adequadamente os conteúdos previstos para todos os anos e
séries, visando o pleno desenvolvimento do estudante, como sugere a Lei de Diretrizes
e Bases (LDB).
Além disso, o professor não pode simplesmente incluir ou excluir determinados
conteúdos do currículo sem ao menos analisar as consequências dessa ação, pois
ao fazer isso os docentes estão exercendo um posicionamento em que legitimam
algumas crenças e deslegitimam outras (LOPES, 1998). Este é o caso, do conteúdo de
probabilidade que muitas vezes acaba sendo ensinado de modo limitado no Ensino
Fundamental (EF) e no Ensino Médio (EM) mesmo sendo essenciais durante o

53

processo escolar do aluno, com abordagens restritas às fórmulas matemáticas,
desprovidas de experimentação e contextualização.
Em complemento, Lopes (2008) explica que o desenvolvimento de Probabilidade
e Estatística na Educação Básica tem sido fruto de pesquisas em diversas partes do
mundo, buscando justificar sua relevância através das publicações de trabalhos de
pesquisa, ressaltando a importância do aluno desenvolver as competências e
habilidades referentes ao conteúdo de probabilidade, possibilitando uma base sólida
para compreenderem estudos em áreas científicas como na Biologia e analisar as
mudanças do mundo em que vivemos, agilizando as tomadas de decisões e previsões.
A finalidade do estudo de probabilidade para os anos iniciais do Ensino
Fundamental segundo a BNCC (BRASIL, 2018) como já mencionamos é de fazer com
que o aluno compreenda que nem todos os fenômenos são determinísticos. A BNCC
(BRASIL, 2018) frisa do 1º ao 5º ano a importância da utilização do cotidiano para
promover e introduzir o conceito de probabilidade, possibilitando ao aluno perceber a
Matemática na prática, reconhecendo que nem todos os fenômenos irão fornecer os
mesmos resultados, embora partindo de um mesmo contexto ou circunstância.
As noções que envolvem fenômenos determinísticos e não determinísticos
podem ser observadas em momentos simples da vida dos alunos, proporcionando
períodos em que o aluno participe do processo de construção do conhecimento com
suas vivências e justificativas. Por exemplo, é sabido que se colocarmos a água em um
bule sobre o fogo, com o tempo ela irá ferver. Sabemos também que se colocarmos a
água em um recipiente no congelador, ela irá congelar, correto? Tais fenômenos são
previsíveis e dentro das mesmas circunstâncias irão fornecer resultados idênticos. Por
outro lado, se analisarmos uma urna com 10 bolinhas, sendo 5 azuis e 5 vermelhas,
notamos que se pegarmos uma bolinha ao acaso, mesmo nas mesmas circunstâncias
não poderemos afirmar com certeza qual será a bolinha que foi pega, mostrando que
em certos casos, temos que lidar com a incerteza, prevendo e estimando as chances de
algo ocorrer. Percebe-se que o contexto em que o aluno está inserido, bem como suas
vivências devem ser valorizadas no planejamento das aulas pelo professor, visando
sempre a aprendizagem, com a finalidade de lhe assegurar uma formação sólida para
estudos posteriores (BRASIL, 1996).

54

Além disso, reafirma-se a notoriedade do uso do cotidiano no ensino de
probabilidade, mesmo sob à luz dos Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs),
documento anterior à BNCC, deixando nítido que o tema já vem sendo discutido há um
longo tempo, porém na prática são vistos poucos resultados no que se refere ao ensino
eficaz dos conceitos que envolvem a probabilidade.
Através dos PCNs ficou explicitado que a ideia de estar alfabetizado “supõe
saber ler, interpretar e concluir à luz de um conjunto de dados, bem como compreender
a natureza aleatória de uma série de fenômenos que ocorrem no dia a dia”, portanto, se
reitera a importância da abordagem dos conceitos de probabilidade tendo em vista sua
presença no cotidiano dos alunos em diversas situações.
Ao analisarmos a proposta da BNCC (BRASIL, 2018) para os anos iniciais
do Ensino Fundamental, notamos que os conteúdos previstos para o 5º ano se
relacionam à compreensão do espaço amostral, bem como o cálculo de eventos
equiprováveis, almejando que os alunos possam desenvolver habilidades para
apresentar todos os resultados possíveis de um experimento aleatório e até mesmo
determinar a probabilidade de ocorrência de um resultado em eventos aleatórios,
quando todos os resultados possuem as mesmas chances de acontecer. Tais conceitos
não aparecem de modo abrupto no 5º ano, mas a BNCC (BRASIL, 2018) apresenta
tópicos probabilísticos desde o 1º ano do Ensino Fundamental e recomenda aos
professores desenvolverem do 1º ao 4º ano as noções de acaso, a análise da ideia de
aleatório em situações do cotidiano, espaço amostral e a análise de chances de
eventos aleatórios, mostrando que o conteúdo de probabilidade deve ser ensinado de
modo coerente e nítido desde os anos iniciais do Ensino Fundamental, com o intuito
do aluno entender que nem todas as situações que ocorrem são determinísticas,
contemplando a finalidade do estudo de probabilidade que é desenvolver noções que
serão aprofundadas nos anos finais e Ensino Médio.
Nesse sentido, é importante que sejam inseridas metodologias de ensino e
ferramentas pedagógicas

durante o

planejamento

das aulas pelo

professor,

contemplando um ensino de probabilidade que proporcione a experimentação, como
sugere Batanero (2010) e os jogos, como já mencionamos na introdução desta

55

dissertação. Vejamos a seguir como os documentos curriculares propõem o ensino de
probabilidade.

1.4 O ensino de probabilidade nos anos iniciais nos documentos curriculares
brasileiros: uma análise dos PCNs, BNCC, RecAL e PNAIC
O ensino de probabilidade no Brasil foi inserido em 1997, através dos
Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), documentos que orientavam a estruturação
do currículo escolar, porém, a ideia era de um ensino explorado por meio de situaçõesproblema simples e o aluno teria o contato com a probabilidade a partir do segundo
ciclo das escolas, por volta dos seus onze anos de idade (BRAGA; BALLEJO; VIALI,
2022).
Ademais, ao observar as Diretrizes Curriculares Nacionais (DCNs), em seu art.
13, é dito que o currículo “configura-se como o conjunto de valores e práticas que
proporcionam a produção, a socialização de significados no espaço social e contribuem
intensamente para a construção de identidades socioculturais dos educandos”
(BRASIL, 2013, p. 66). Nota-se, então que esta visão é pós-crítica, visto que o currículo
vai além de conteúdo ou disciplinas, focando também na valorização das experiências
dos educandos. Em continuidade, ao falar de currículo, sabemos que o documento
atual que norteia a Educação Básica é a Base Nacional Comum Curricular (BNCC),
constituída por:
Conhecimentos, saberes e valores produzidos culturalmente, expressos nas
políticas públicas e gerados nas instituições produtoras do conhecimento
científico e tecnológico; no mundo do trabalho; no desenvolvimento das
linguagens; nas atividades desportivas e corporais; na produção artística; nas
formas diversas de exercício da cidadania; e nos movimentos sociais. (BRASIL,
2013, p. 67)

No que se refere às disciplinas escolares, a BNCC (BRASIL, 2018) apresenta as
competências e habilidades previstas para todos os anos e séries da Educação Básica.
A seguir, no quadro 7, serão apresentadas as competências e habilidades previstas
para a disciplina de Matemática acerca do conteúdo de Probabilidade do 1º ao 5º ano
do Ensino Fundamental, em que poderemos analisar que as noções probabilísticas

56

estão presentes desde os anos iniciais do Ensino Fundamental, colaborando para uma
aprendizagem integral do estudante:
Quadro 7 – Probabilidade do 1º ao 5º ano do EF na BNCC
BNCC (BRASIL, 2018)

FINALIDADE

Promover a compreensão
de que nem todos os fenômenos são determinísticos
Objetos de
conhecimento

Noções de acaso

Habilidades

(EF01MA20) Classificar eventos envolvendo o acaso, tais
como “acontecerá com certeza”, “talvez aconteça” e “é
impossível acontecer”, em situações do cotidiano.

Objetos de
conhecimento

Análise da ideia de aleatório em situações do cotidiano

Habilidades

(EF02MA21) Classificar resultados de eventos cotidianos
aleatórios como “pouco prováveis”, “muito prováveis”,
“improváveis” e “impossíveis”.

Objetos de
conhecimento

Análise da ideia de acaso em situações do cotidiano:
espaço amostral

Habilidades

(EF03MA25) Identificar, em eventos familiares aleatórios,
todos os resultados possíveis, estimando os que têm
maiores ou menores chances de ocorrência.

Objetos de
conhecimento

Análise de chances de eventos aleatórios

Habilidades

(EF04MA26) Identificar, entre eventos aleatórios
cotidianos, aqueles que têm maior chance de ocorrência,
reconhecendo características de resultados mais
prováveis, sem utilizar frações.

1º ANO

2º ANO

3º ANO

4º ANO

Objetos de
conhecimento

5º ANO
Habilidades

Espaço amostral: análise de chances de eventos
aleatórios
Cálculo de probabilidade de eventos equiprováveis
(EF05MA22) Apresentar todos os possíveis resultados de
um experimento aleatório, estimando se esses resultados
são igualmente prováveis ou não.
(EF05MA23) Determinar a probabilidade de ocorrência de
um resultado em eventos aleatórios, quando todos os
resultados possíveis têm a mesma chance de ocorrer

57

(equiprováveis).
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação com base na BNCC.

De acordo com o quadro acima notamos que a finalidade do ensino de
probabilidade para esta etapa do Ensino Fundamental é fazer com que os alunos
entendam que nem todos os fenômenos são determinísticos. É importante observar que
no 1º ano a abordagem do conteúdo se inicia de modo bastante natural, propondo que
o aluno classifique determinados eventos do cotidiano com a noção de algo que
“acontecerá com certeza”, “talvez aconteça” ou “é impossível acontecer”.
Deste modo, pretende-se que os alunos iniciem intuitivamente o processo de
aprendizagem dos conceitos. É essencial que o aluno tenha em mente a ideia de que
muitos acontecimentos não ocorrem da mesma forma, praticando a mesma ação.
Sabemos que se colocarmos água no congelador, ela irá congelar, se colocarmos a
água na panela sob o fogo, ela irá ferver, visto que são eventos determinísticos. Agora
se experimentarmos lançar um dado não viciado sob uma mesma circunstância por
duas vezes, não podemos garantir com 100% de certeza qual o número que estará na
face após o lançamento, ou seja, dentro de uma mesma circunstância o lançamento do
dado não é algo que ocorre de modo determinado, mas sim aleatório. O professor pode
introduzir esta noção tendo como parâmetro o cotidiano, utilizando as vivências de seus
alunos para contribuir no processo de aprendizagem do conteúdo de probabilidade
para que desenvolvam as suas primeiras noções.
No 2º ano a ideia de aleatoriedade já pode ser abordada de modo um pouco
mais

robusto,

utilizando

termos

como

“pouco

prováveis”,

“muito

prováveis”,

“improváveis” e “impossíveis” ao analisar eventos aleatórios do cotidiano. Ao chegar no
3º ano, é previsto que os alunos já lidem com a ideia de acaso relacionando o espaço
amostral, podendo identificar e estimar o conjunto de resultados possíveis, que
possuem menores ou maiores chances de ocorrer em eventos aleatórios. Prosseguindo
para o 4º ano, nota-se que o foco é a análise de chances de eventos aleatórios, porém
sem utilizar frações, podendo o aluno reconhecer características de resultados que são
mais prováveis ou não.
Finalmente, no 5º ano é previsto que os alunos tenham o conhecimento acerca
do espaço amostral e do cálculo de probabilidade de eventos equiprováveis, fazendo

58

com que o aluno apresente todos os possíveis resultados de experimentos aleatórios e
determine a probabilidade de ocorrência de um resultado em eventos que são
aleatórios e tem a mesma probabilidade de ocorrer.
Pudemos observar que o conteúdo de probabilidade não deve surgir apenas
no 5º ano do Ensino Fundamental ou apenas no Ensino Médio, mas sim desde
os anos iniciais do Ensino Fundamental, de maneira coerente e despertando a
curiosidade do aluno para aquilo que será visto no futuro de modo mais formal,
relacionando o seu cotidiano com a Matemática na prática, ultrapassando os muros de
um ensino que foca puramente no mecanicismo. Deste modo, o ensino de
probabilidade do 1º ao 5º ano inicia-se de maneira intuitiva e progride para a aquisição
das primeiras noções, mas sem o emprego de fórmulas para efetuar cálculos.
Ademais, notamos que as orientações descritas na BNCC (BRASIL, 2018)
acerca do ensino de probabilidade nos anos iniciais do Ensino Fundamental podem
gerar um certo desconforto para professores que não estão acostumados a inserir este
conteúdo de modo adequado em suas aulas. Muitas vezes esse desconforto é
resultado da falta de domínio do conteúdo durante a sua formação inicial docente,
ressaltando a importância de formações continuadas que possam encorajar e fornecer
conhecimento e ferramentas didáticas que podem ser úteis no processo do ensino
probabilístico.
Finalizando a análise sobre a BNCC (BRASIL, 2018) acerca do nosso
tema, observamos a relevância do cotidiano durante o ensino de probabilidade, já que
a BNCC do 1º ao 5º ano no conteúdo de probabilidade cita a palavra “cotidiano”,
enfatizando a necessidade de se trabalhar nessa vertente durante o processo de ensino
e aprendizagem, fazendo com que as crianças já saibam que suas experiências podem
ser valorizadas também à luz do currículo.
Em complemento, abordaremos como era exposto o ensino de probabilidade do
1º ao 5º ano do Ensino Fundamental nos Parâmetros Curriculares Nacionais de
Matemática (PCNs), sendo que no final dos anos 80, período da publicação do
documento, a estrutura curricular era nomeada de 1ª a 4ª série do Ensino Fundamental.
Os PCNs foi um documento anterior à BNCC, que também considerava o ensino de
Probabilidade e Estatística como importante desde os primeiros ciclos, “devendo o

59

professor abordar elementos da estatística, da combinatória e da probabilidade, desde
os ciclos iniciais” (BRASIL, 1997, p. 84).
Os PCNs (BRASIL, 1997, p. 40), colocam o ensino de probabilidade, no bloco do
“Tratamento da Informação”, pontuando que:
Com relação à probabilidade, a principal finalidade é a de que o aluno
compreenda que grande parte dos acontecimentos do cotidiano são de
natureza aleatória e é possível identificar prováveis resultados desses
acontecimentos. As noções de acaso e incerteza, que se manifestam
intuitivamente, podem ser exploradas na escola, em situações nas quais o
aluno realiza experimentos e observa eventos (em espaços equiprováveis).

Nestre trecho, os PCNs (BRASIL, 1997) deixam claro a ênfase na observação
dos fenômenos e realização de experimentos para o ensino de probabilidade,
recomendação encontrada em diversas pesquisas sobre ensino de probabilidade.
Notamos que o ponto principal dos PCNs (BRASIL, 1997) é que os alunos
reconheçam que os acontecimentos do cotidiano são em maioria de natureza aleatória
(como jogar dados, lançar moedas, tirar carta de baralho, etc) ao passo que a BNCC
(BRASIL, 2018) tem como ponto principal que os alunos reconheçam que nem todos os
fenômenos são determinísticos. Assim, os documentos partem de nomenclaturas
diferentes para dar ênfase à aspectos que possuem a mesma finalidade.
É importante destacar que na época dos PCNs (BRASIL, 1997), o Ensino
Fundamental era dividido em ciclos, sendo o 1º ciclo correspondente às antigas 1ª e 2ª
séries e o 2º ciclo correspondia às antigas 3ª e 4ª séries. Organizamos o quadro 8 com
os principais pontos acerca da probabilidade presentes nos primeiros ciclos do Ensino
Fundamental:
Quadro 8- Conteúdo de Probabilidade no 1º e 2º ciclo do Ensino Fundamental
(PCNs)
PCNs
Aprender noções de
estatística, de
probabilidade e de
combinatória.
TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO

OBJETIVOS DO EF

Compreender que grande
parte dos acontecimentos
do cotidiano são de
natureza aleatória e é
possível identificar
prováveis resultados

60

OBJETIVOS 1º CICLO
CONTEÚDOS CONCEITUAIS
E PROCEDIMENTAIS 1º
CICLO

OBJETIVOS 2º CICLO

CONTEÚDOS CONCEITUAIS
E PROCEDIMENTAIS 2º
CICLO

desses acontecimentos.
As noções de acaso e
incerteza, que se
manifestam intuitivamente,
podem ser exploradas na
escola, em situações nas
quais o aluno realiza
experimentos e observa
eventos (em espaços
equiprováveis).
não identificado
não identificado
Identificar características
de acontecimentos
previsíveis ou aleatórios a
partir de situaçõesproblema, utilizando
recursos estatísticos e
probabilísticos.
Exploração da ideia de
probabilidade em
situações-problema
simples, identificando
sucessos possíveis,
sucessos seguros e as
situações de “sorte”.
Utilização de informações
dadas para avaliar
probabilidades.

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação com base nos PCNs (1997)

Os PCNs (BRASIL, 1997) colocam a probabilidade no bloco de Tratamento da
Informação junto com as noções de estatística e combinatória, englobando as análises
das informações de natureza diferentes oriundas de acontecimentos do cotidiano, como
dados de pesquisas estatísticas, diversas combinações que podem ser feitas com dois
objetos por exemplo, procurando entrelaçar conceitos de probabilidade com ideias
estatísticas e de combinações. Na BNCC (BRASIL, 2018), os conteúdos de
probabilidade estão concentrados na unidade temática “Probabilidade e Estatística”,
sendo que a combinatória é abordada com ênfase em problemas de contagem e
diagrama de árvore.
Ao observar os objetivos do primeiro ciclo, notamos que não há algo concreto
que relacione diretamente o conteúdo de probabilidade, embora implicitamente
possamos adaptar o conteúdo de probabilidade aos termos usados nos PCNs como

61

“justificativa e espírito de investigação” (BRASIL, 1997, p. 49), porém de modo geral, o
primeiro ciclo está nitidamente mais voltado para o conteúdo de Estatística que o de
Probabilidade.
Além disso, ao longo dos PCNs o conteúdo de probabilidade somente é
evidenciado no 2º ciclo, em que é esperado que o aluno possa identificar características
de acontecimentos aleatórios ou previsíveis a partir de situações-problema, podendo
utilizar recursos estatísticos e probabilísticos também. No que se refere aos conteúdos
conceituais e procedimentais do 2º ciclo, fica explícito que o professor deverá promover
a exploração da ideia de probabilidade e a utilização de informações dadas para avaliar
probabilidades, tendo presente a utilização de situações-problema simples.
Apesar dos PCNs destacarem teoricamente a importância da probabilidade
desde os primeiros ciclos não fica evidente as orientações para o ensino de
probabilidade no primeiro ciclo. Além disso, podemos fazer uma comparação com a
BNCC e notar que a Base detalha mais acerca de seus objetivos, competências,
habilidades e objetos de conhecimentos (conteúdos) a serem desenvolvidos com o
conteúdo de probabilidade. Ao analisarmos a probabilidade presente no 2º ciclo dos
PCNs, notamos que poderia ser algo mais aprofundado, já que contempla duas séries.
Por fim da análise dos PCNs, notamos que mesmo resumidamente, os
Parâmetros Curriculares Nacionais já tinham a concepção de que a probabilidade era
um tema que merecia destaque, além disso, vale ressaltar que os PCNs indicavam que
o cotidiano também deve ser envolvido durante o processo de ensino deste tema,
levantando mais uma vez a necessidade de se trabalhar com as experiências
extraescolares dos estudantes para contribuir com a aprendizagem.
Em prosseguimento, analisaremos o Referencial Curricular de Alagoas
(ReCAL),

que

é

um

“documento

para

todo

território

alagoano,

construído

democraticamente, com participação dos alagoanos, mas principalmente, professores
e instituições de ensino de Alagoas” (ALAGOAS, 2019, p.13). Além disso, sabemos
que cada país difere segundo sua cultura, língua materna e entre outros, daí, quando
voltamos nosso olhar para o âmbito educacional sabemos que cada estado possui
necessidades, costumes e contextos específicos, por isso é relevante também analisar

62

o que Referencial Curricular de Alagoas apresenta em seu documento, visto que as
aplicações realizadas nessa pesquisa foram realizadas em Maceió, Alagoas.
Partindo dessas ideias, elencamos o que o Referencial Curricular de Alagoas
apresenta acerca do ensino de Probabilidade, sabendo que o Referencial irá consultar
a Base Nacional Comum Curricular para nortear suas ideias, bem como analisar as
orientações obrigatórias para assim conduzir aquilo que o Estado de Alagoas pode
implementar, respeitando a autonomia que existe em cada Estado de unir aquilo
essencial no momento de elaboração do currículo. A seguir, no Quadro 9, temos a
relação das principais características do ensino de Probabilidade no ReCAL:
Quadro 9- Probabilidade no Referencial Curricular de Alagoas (ReCAL)
PROBABILIDADE
É muito comum que pessoas julguem
Interagir com seus pares de forma
impossíveis eventos que nunca viram acontecer.
cooperativa, trabalhando coletivamente no
Nessa fase, é importante que os estudantes
planejamento
e
desenvolvimento
de
verbalizem, em eventos que envolvem o acaso,
pesquisas para responder a questionamentos
os resultados que poderiam ter acontecido em
e na busca de soluções para problemas, de
oposição ao que realmente aconteceu, iniciando
modo a identificar aspectos consensuais ou
a construção do espaço amostral. p. 484.
não na discussão de uma determinada
questão, respeitando o modo de pensar dos
colegas e aprendendo com eles. p.487-488
Compreender as relações entre conceitos e
procedimentos dos diferentes campos da
Faz-se necessário recorrer à contagem de um
Matemática (Aritmética, Álgebra, Geometria,
conjunto discreto de elementos. Para resolver
Estatística e Probabilidade) e de outras áreas
tais problemas, além de outros, de
do conhecimento, sentindo segurança quanto à
modelagem discreta, os conteúdos de
própria capacidade de construir e aplicar
combinatória ganham crescente importância
conhecimentos matemáticos, desenvolvendo a
na formação matemática.p. 484
autoestima e a perseverança na busca de
soluções. p. 487
BNCC (EF- ANOS INICIAIS)
Promover a compreensão de que nem todos os fenômenos são determinísticos. Para isso, o início
da proposta de trabalho com probabilidade está centrado no desenvolvimento da noção de
aleatoriedade, de modo que os estudantes compreendam que há eventos certos, eventos
impossíveis e eventos prováveis. p. 484
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

O documento em questão possui um quadro organizador curricular, que
apresenta os objetos de conhecimento, habilidades e Desdobramentos Didáticos
Pedagógicos (DesDP) do que é previsto para cada ano escolar, que é idêntico ao que a
BNCC propõe, como apresentado no Quadro 7. Diante disto, buscamos apresentar

63

aquilo que ainda não foi exposto neste trabalho, retirando as intersecções presentes
entre a BNCC e o Referencial Curricular de Alagoas que já foram discutidas
anteriormente.
Percebe-se na primeira linha do Quadro 9 que é destacada a importância de se
trabalhar as ideias de acaso e aleatoriedade em sala de aula, mostrando o que se
pretende com o ensino de probabilidade, informando que muitos alunos podem julgar
erroneamente eventos que nunca viram acontecer, destacando também a importância
da ação cooperativa com outros alunos, bem como a essencialidade da verbalização
como meio dos alunos apresentarem seus conhecimentos e socializarem com seus
pares aquilo que pensam, promovendo discussões e argumentações que propiciem
uma melhor compreensão do conteúdo probabilístico.
Em continuidade, o Referencial Curricular de Alagoas enfatiza a necessidade dos
alunos compreenderem as relações entre conceitos e procedimentos de diversos
campos da Matemática, incluindo a Probabilidade, bem como outras áreas de
conhecimento, fazendo com que o aluno possua segurança em construir e aplicar
aprendizados da disciplina de Matemática, promovendo assim a autoestima e
perseverança do estudante na busca de soluções (ALAGOAS, 2019).
Ao final da análise do Referencial, notamos que acerca do ensino de
probabilidade nos anos iniciais do Ensino Fundamental, o intuito é bastante semelhante
ao que a BNCC propõe, de promover a compreensão de que nem todos os fenômenos
são determinísticos, mesmo sob circunstâncias ou condições iguais, centrando a
proposta do ensino de probabilidade no desenvolvimento da noção de aleatoriedade, de
modo a possibilitar que os alunos compreendam a existência de eventos certos,
prováveis ou impossíveis.
Ademais, através das análises realizadas nos documentos referentes à BNCC,
PCNs e Referencial Curricular de Alagoas constatamos que o ensino de probabilidade
é considerado importante em todos eles, sendo de fato necessário à sua inserção
efetivamente desde os anos iniciais do Ensino Fundamental. Também enaltecemos a
contribuição do ensino de probabilidade para o aprendizado e desenvolvimento dos
alunos como cidadãos capazes de relacionar o que aprendem com suas experiências
no cotidiano e mundo em que vivem.

64

Constatamos que apesar dos PCNs destacarem a necessidade do ensino
probabilístico desde os primeiros ciclos, não há um aprofundamento específico sobre o
que é previsto durante esse processo. Em contrapartida, na BNCC podemos notar que
existem mais detalhes e objetivos quanto ao ensino de probabilidade, orientando
professores de modo mais nítido sobre aquilo que deve ser ensinado ao longo da
Educação Básica.
Com isso, o Referencial Curricular de Alagoas tem como fundamento as
orientações da BNCC e acrescenta algumas considerações que não estão presentes
na BNCC, fazendo com que o currículo estadual respeite sua autonomia, seguindo
aquilo que já é previsto no documento nacional e agregue às suas condições,
contribuições extras, visando sempre os melhores caminhos para o aprendizado do
aluno.
Outro documento relevante que enaltece o ensino de probabilidade durante os
anos iniciais do Ensino Fundamental é o PNAIC (Pacto Nacional pela Alfabetização
na Idade Certa), que é um programa do governo brasileiro lançado em 2012 com o
objetivo de promover a alfabetização das crianças até os oito anos de idade (até o final
do 3º ano do Ensino Fundamental). O PNAIC buscava assegurar que todas as crianças
brasileiras desenvolvessem habilidades de leitura, escrita e Matemática nos primeiros
anos escolares, visando garantir uma base sólida para a aprendizagem ao longo de
suas vidas. O PNAIC era uma política pública e foi um esforço significativo para lidar
com os desafios educacionais do país e melhorar os indicadores de aprendizado das
crianças brasileiras nos primeiros anos de escola.
O PNAIC foi executado de 2013 a 2017 em 5 edições numa cooperação entre
Estados, municípios, Distrito Federal e a União. Promoveu a formação docente
continuada para que os professores melhorassem as práticas pedagógicas e
consequentemente os índices de alfabetização. Para a formação docente foram
confeccionados materiais didáticos, denominados de Cadernos.
O Caderno 7, publicado em 2014, aborda a temática da Educação Estatística e
inclui a importância do estudo da Probabilidade nos anos iniciais da Educação Básica
no ensino de Matemática. Destaca-se a necessidade de relacionar os conceitos
matemáticos da probabilidade com as situações cotidianas vividas pelos alunos, de

65

maneira a fazer com que eles tenham contato com o tema em diversos momentos,
extrapolando o ambiente da sala de aula. Desta forma, o professor possibilitará aos
alunos um aprendizado mais sólido e significativo, uma vez que há identificação dos
alunos com os contextos e situações.
O Caderno sugere que os conceitos de resultado aleatório, evento provável e
improvável, evento certo e impossível, espaço amostral, dentre outros, podem ser
introduzidos através da apresentação de jogos como dados, par ou ímpar e bingo. O
documento do PNAIC faz diversas sugestões de problemas e situações que um
professor pode trazer à tona em sala de aula e esses recursos educativos se mostram
eficazes no ensino da probabilidade, pois incentivam o pensamento crítico dos alunos,
levando-os a desenvolver o raciocínio, no que antes se fazia apenas com princípios
intuitivos. Na rotina das crianças em sala de aula podem ser inseridos conceitos de
probabilidade, como por exemplo, num sorteio para definir um aluno auxiliador do
professor por um dia, sorteio para definir um aluno auxiliador/monitor para suas aulas,
ou de no dia do aniversário do aluno (a) colocar dois ou mais papeis com o seu nome
dentro de um recipiente e assim, perguntar se ele tem a mesma chance de ser sorteado
em relação aos demais. (BRASIL, 2014). Desta forma, as crianças devem ser capazes
de concluir que em determinada situação, uma criança pode ter mais chances que
outras ou podem ter chances iguais. O importante é que elas consigam, através da
vivência, assimilar os diferentes cenários e o que isso implica no sentido probabilístico.
Diante disso, entende-se o quão importante é desenvolver, pouco a pouco, o
estudo da probabilidade desde os anos iniciais, relacionando o meio em que as
crianças estão inseridas. Além disso, ao unir as orientações dos documentos
analisados neste tópico é possível notar a recomendação acerca de diferentes
abordagens do conteúdo de probabilidade que podem ser usadas pelo professor para
estimular o interesse dos alunos de uma forma prática e lúdica. Passemos ao
apontamento sobre a análise de livros didáticos e como abordam os conteúdos de
probabilidades nos anos iniciais.

66

1.5 O ensino de Probabilidade nos livros do Programa Nacional do Livro do
Material Didático (PNLD)
A fim de realizar a análise dos livros didáticos de Matemática dos anos iniciais no
contexto da Probabilidade, selecionamos duas coleções de livros do Programa Nacional
do Livro Didático (PNLD) para verificar como a Probabilidade vem sendo abordada
nesses materiais e quais aspectos são enfatizados para que o pensamento
probabilístico seja desenvolvido desde os anos iniciais do Ensino Fundamental. As
obras analisadas fazem parte de duas coleções do PNLD, uma é intitulada como
coleção “Desafio Matemática” que foi lançada em 2021, na sua primeira edição e tem
como autor Ênio Silveira. Já a outra coleção é intitulada como “Buriti Mais Matemática”,
lançada em 2021 em sua segunda edição, tendo Maria Regina como autora. Para cada
coleção foram analisados cinco livros (do 1º ao 5º ano do Ensino Fundamental),
buscando destacar se a Probabilidade é inserida seguindo o que recomenda a BNCC,
se relaciona o ensino de probabilidade com as competências e habilidades previstas e
se é dada a ênfase necessária para o desenvolvimento do pensamento probabilístico.
Vejamos os livros selecionados:
Figura 4 – Coleção dos livros de Matemática analisados

Fonte: Editora Moderna (2021)

O livro do primeiro ano da coleção Desafio Matemática inicialmente informa que
a obra tem como princípios norteadores a BNCC e a Política Nacional de Alfabetização
(PNA), além de expor as competências e habilidades previstas pela BNCC que os
estudantes

deveriam

desenvolver

nessa

etapa

da

Educação

Básica.

Estas

67

características estão presentes nos outros quatro livros dessa coleção que podem ser
vistos no decorrer deste trabalho. Além disso, é importante destacar que para o primeiro
ano do Ensino Fundamental é recomendado que na temática de Probabilidade o aluno
compreenda as noções de acaso e que possa classificar eventos envolvendo o acaso,
tais como “acontecerá com certeza”, “talvez aconteça” e “é impossível acontecer”, em
situações do cotidiano (BRASIL, 2018).
Neste primeiro livro analisado da coleção Desafio Matemática, percebemos que
o conteúdo probabilístico é apresentado apenas na unidade 7 com duas situaçõesproblema envolvendo a aleatoriedade e o acaso através do uso da roleta e do
lançamento de dados. Apesar da temática de probabilidade ser colocada neste
material, percebe-se que há apenas uma página que se destina ao ensino do acaso
dentro de todo o livro, fazendo com que na temática de Probabilidade e Estatística, a
parte envolvendo a Estatística tenha sido mais explorada do que os aspectos que
envolvem a Probabilidade.
Já no livro do primeiro ano da coleção Buriti Mais Matemática, temos que a
apresentação inicial da obra aponta os aspectos metodológicos que serão abordados e
que a BNCC pauta as atividades e conteúdos expostos no livro; todas as obras dessa
coleção que foram abordadas nesse trabalho seguem essa mesma estrutura inicial,
alterando o necessário nos objetos do conhecimento. As noções de acaso aparecem
nas unidades 1 (Os números) e 3 (Figuras geométricas) através de situações-problema
contextualizadas com o jogo de tabuleiro, lançamento de dados, nos quais os
estudantes trabalham a ideia de certeza e incerteza.
Em continuidade, para o segundo ano do Ensino Fundamental a BNCC orienta
que o aluno deve analisar a ideia de aleatório em situações do cotidiano, classificando
se os eventos são “pouco prováveis”, “muito prováveis”, “improváveis” e “impossíveis”.
A partir disto, analisamos o segundo livro da coleção Desafio Matemática que surge
com a probabilidade de modo explícito na unidade 9 (Localização e movimento) com a
atividade intitulada como “Investigando a chance” em um problema que relaciona as
possibilidades de se escolher ao acaso algumas meias dentro de uma gaveta com
cores diferentes. Como observado no livro do primeiro ano desta mesma coleção a
Probabilidade aparece, mas não é colocada como destaque e é pouco explorada.

68

Partindo para a análise do segundo livro da coleção Buriti Mais Matemática é
notado que os conceitos probabilísticos se iniciam na unidade 1 (Localização e
movimento), com uma situação-problema que envolve a classificação de eventos
prováveis ou impossíveis. Ademais, na unidade 5 (Multiplicação) é apresentada uma
situação-problema utilizando dois dados de 6 faces em que são feitos questionamentos
sobre as diversas possibilidades de se obter valores numéricos com a soma das duas
faces voltadas para cima. Com isso, notamos que a coleção Buriti Mais Matemática
apresentou mais atividades que a coleção Desafio Matemática nos livros do 2º ano no
que se refere aos tópicos probabilísticos.
Em prosseguimento, ao explorar os livros do 3º ano direcionamos nosso olhar
para as atividades que relacionavam a análise da ideia de acaso em situações do
cotidiano: espaço amostral, verificando se há como identificar em eventos aleatórios
todos os resultados possíveis, estimando os que têm maiores ou menores chances de
ocorrência (BRASIL, 2018).
Em princípio, expomos a análise do livro do 3º ano da coleção Desafio
Matemática, em que a obra apresenta a ideia da aleatoriedade na unidade 6 (Medidas
de comprimento e tempo) na seção “Investigando a chance”, onde existem duas
situações-problema envolvendo diversos questionamentos sobre o acaso que auxiliam
na construção do conhecimento do estudante através do lançamento de dados e
moedas. Já na obra do 3º ano da coleção Buriti Mais Matemática a temática de
Probabilidade aparece na unidade 4 (Localização e movimentação), no tópico
“Entender a ideia de chance”, onde há três situações-problema contextualizando a
Probabilidade através da escolha aleatória de números/cores para estimar os eventos
que tem maiores ou menores chances de ocorrência. Ademais, o conteúdo
probabilístico neste livro teve mais ênfase do que nas obras anteriores dessa mesma
coleção, sendo também inserido na unidade 7 (Mais grandezas e medidas), contendo
mais três situações-problema robustas e contextualizadas através do lançamento de
dados e moedas.
Em prosseguimento será apresentada a análise dos livros do 4º ano das
coleções selecionadas, em que a BNCC propõe que nesta etapa o aluno deve aprender
sobre a análise de chances de eventos aleatórios, identificando entre eventos aleatórios

69

cotidianos aqueles que têm maior chance de ocorrência, reconhecendo características
de resultados mais prováveis, sem utilizar frações (BRASIL, 2018).
Iniciamos a análise do livro do 4º ano da coleção Desafio Matemática, onde a
Probabilidade surge com situações-problema na unidade 6 (Mais multiplicações e
divisões) e na unidade 7 (Ângulos e medidas de tempo), utilizando a ideia de
Probabilidade contextualizada através do sorteio de bolas em uma urna, do sorteio de
camisas e lançamento de moedas. Já no livro do 4º ano da coleção Buriti Mais
Matemática, a Probabilidade é exposta com situações-problema na unidade 2 (Adição e
subtração) e na unidade 4 (Multiplicação e divisão) e na seção já intitulada como
Probabilidade, que tem por objetivo identificar, entre eventos aleatórios, aqueles em
que há maior chance de ocorrência, reconhecendo características de resultados mais
prováveis. Nesta parte do livro são apresentadas quatro situações-problema
envolvendo o sorteio de cores através de uma roleta, além dos problemas relacionando
o sorteio de bolas em urnas para fazer a análise das cores que podem ser sorteadas
com maior ou menor chance.
Por fim, apresentaremos a análise dos livros das duas coleções do 5º ano do
Ensino Fundamental, sabendo que agora o foco para esta etapa segundo a BNCC é de
que os estudantes compreendam sobre o espaço amostral e sobre o cálculo de
Probabilidade de eventos equiprováveis (quando todos os resultados possíveis têm a
mesma chance de ocorrer). No livro do 5º ano da coleção Desafio Matemática a
Probabilidade é apresentada na unidade 4 (Multiplicação) e na unidade 7 (Mais
Geometria), apresentando situações-problema que envolvem o lançamento de duas
moedas e um sorteio, trabalhando a ideia de espaço amostral e dos resultados
igualmente prováveis. O diferencial deste livro é que também são apresentados
problemas sobre a Probabilidade nas unidades 8 (Números na forma de fração) e 9
(Números na forma decimal), pois nas obras anteriores dessa coleção a Probabilidade
era colocada de modo mais superficial, tendo uma evolução considerável no livro do 5º
ano, com mais situações-problema que trabalham diretamente os objetivos propostos
pela BNCC.
Já no último livro analisado do 5º ano da coleção Buriti Mais Matemática a
Probabilidade aparece na Unidade 1 (Números naturais) e na unidade 5 (Frações) onde

70

são apresentadas situações-problema que envolvem o espaço amostral, noções de
acaso e representação da Probabilidade por meio de fração, em que é esperado que o
estudante perceba a relação entre os números e frações com a Probabilidade,
analisando o conjunto formado por todos os resultados possíveis, fazendo com que o
aluno possa determinar a probabilidade de ocorrência de um evento em um
experimento aleatório em que cada resultado possível tem a mesma chance de ocorrer
através dos conceitos aprendidos. Observa-se que a Probabilidade nessa obra seguiu o
mesmo padrão que as já analisadas anteriormente nessa coleção, mas a Probabilidade
poderia ser colocada de modo mais enfático, já que os objetos do conhecimento e
habilidades previstas para o 5º ano são um pouco mais abrangentes que nos anos
anteriores.
Diante de tudo que foi discutido anteriormente, constatamos que o conteúdo de
Probabilidade vem sendo colocado nos livros didáticos das coleções analisadas, porém
ainda não há um destaque para a Probabilidade, visto que maioria dos livros destinam
poucas situações-problema ao longo das unidades, havendo mais ênfase desta
temática na Coleção Buriti Mais Matemática do que na coleção Desafio Matemática.
Ademais, destacamos que todas as obras forneciam instruções sobre a BNCC, bem
como problemas e atividades direcionadas aos objetivos propostos acerca da
Probabilidade, mesmo que de modo reduzido.
Concluímos que nas duas coleções abordadas foi dado mais destaque ao
conteúdo de Probabilidade a partir dos livros do 4º e 5º ano de cada coleção, sendo os
livros do 1º, 2º e 3º ano menos abrangentes no que se refere à quantidade de
situações-problema e desafios relacionados a Probabilidade. Por fim, é válido destacar
que ainda é preciso que os livros didáticos deem mais ênfase aos conceitos
probabilísticos, de modo que o professor compreenda a essencialidade de se ensinar e
aprender a Probabilidade desde os anos iniciais, para que o pensamento probabilístico
seja formado de maneira consistente na estrutura cognitiva dos alunos e não de modo
fragmentado e superficial.

71

CAPÍTULO II
ARGUMENTAÇÃO NAS AULAS DE MATEMÁTICA E
INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA
Este capítulo abordará aspectos da investigação matemática em sala de aula,
ressaltando sua relevância e sua relação com a argumentação, sendo pontuado vários
aspectos acerca do processo argumentativo e as interações discursivas, além do
modelo de Toulmin e suas contribuições para a análise da estrutura de argumentação e
a análise das características do padrão I-R-F e I-R-A. Por fim, destacaremos a
importância do papel do professor na promoção da argumentação nas aulas de
Probabilidade nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental, relacionando as ideias que
foram mencionadas anteriormente sobre o processo argumentativo no contexto
escolar.
2.1

A investigação matemática segundo a concepção de Ponte
Ao falar sobre investigação em sala de aula, podem surgir muitas definições e

interpretações de cada professor, segundo suas experiências e contato com o tema.
Nos estudos de Ponte (2003) afirma-se que essa variedade de contextos para o termo
“investigação” solicita que façamos uma definição de modo mais assertivo para que
não haja interpretações equivocadas. A ideia de investigação adotada nesta
dissertação é a proposta por Ponte (2003, p. 4), que “envolve atividades de
complexidade variável, realizadas tanto por profissionais – os “investigadores” – como
pelas pessoas em geral, na sua vida de todos os dias”, além de conter a argumentação
como um dos momentos do processo de investigação matemática.
O trabalho investigativo durante as aulas de Matemática possibilita que os
alunos construam e/ou fortaleçam a sua “compreensão de conceitos, procedimentos,
representações e ideias matemáticas” (PONTE et. al. 2015, p. 114). Ademais, os
alunos são convidados a desempenhar um protagonismo na interpretação das
questões propostas, representação e concepção de estratégias de resolução, sendo
capazes de justificar e apresentar para os demais envolvidos em sala de aula, como o

72

professor e os colegas de turma (PONTE et. al. 2015). Os autores prosseguem
informando que na investigação matemática os alunos são chamados para:
Desempenhar um papel ativo na interpretação das questões propostas, na
representação da informação apresentada e na conceção e concretização de
estratégias de resolução, que devem ser capazes de apresentar e justificar aos
seus colegas e ao professor (PONTE et. al. 2015, p. 114).

Ao fazer uso da investigação matemática o aluno é estimulado a levantar
hipóteses, criar conjecturas, analisar padrões e generalizações que outrora não seriam
possíveis, como discutido por Ponte (2003), o que auxilia no desenvolvimento, por
exemplo, do pensamento probabilístico. Em continuidade, a investigação matemática
possibilita que o aluno tenha protagonismo e que pense de modo mais crítico diante
das situações-problema que são apresentadas, indo de encontro com o que é proposto
pelos principais documentos que norteiam a Educação Básica, como a BNCC, LDB e
DCN’s, que destacam a importância e necessidade de os estudantes desenvolverem
sua criticidade e protagonismo diante do mundo que o cerca.
Dessarte, a investigação faz com que os alunos utilizem conhecimentos prévios
para resolver um problema que não é solucionado de modo imediato, fazendo uso dos
seus próprios métodos e valorizando o desenvolvimento do raciocínio do aluno com
tarefas caracterizadas como abertas ou mais desafiantes (PONTE, 2015).
Dado esse contexto acerca da investigação, é importante que entendamos como
se dá o funcionamento de uma investigação matemática na prática. Ponte et al. (1999)
informam que durante a realização de uma investigação, quatro momentos
principais são relacionados: um que envolve o conhecimento da situação, onde há
uma investigação inicial, outro momento é o do processo de formulação de conjecturas,
o penúltimo é o de inclusão da realização de testes/ conjecturas e o último momento se
refere à argumentação, demonstração e avaliação do trabalho que foi realizado
(PONTE, 2003). O autor também destaca que cada momento pode abranger diversas
atividades e que não necessariamente elas ocorrem nessa sequência, podendo seguir
um modo desordenado. Por exemplo, a conjectura inicial pode aparecer em simultâneo
com a formulação das questões e o teste de uma conjectura pode levar à novas
formulações (PONTE, 2003). Os momentos durante a realização de uma investigação
podem ser mais bem observados logo abaixo, no quadro 10:

73

Quadro 10- Momentos que ocorrem durante a realização de uma investigação
MOMENTOS DE UMA INVESTIGAÇÃO

ATIVIDADES

•

Exploração e formulação de questões

•
Reconhecer uma situaçãoproblema
•
Explorar a situação- problema
•
Formular questões

•

Formulação de conjecturas

•
•

Organizar dados
Formular conjecturas

•

Teste e reformulação de conjecturas

•
•

Realizar testes
Refinar uma conjectura

•

Justificação e Avaliação

•
Justificar uma conjectura
•
Avaliar o raciocínio ou o resultado do
raciocínio

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação, adaptado de Ponte (2003)

Notemos que é de extrema relevância que o professor tenha cuidado com o tipo
de problema que apresentará aos alunos para conduzir uma investigação, visto que
um problema é diferente do exercício, comumente ainda realizados em maior parte das
aulas de Matemática. Segundo Polya (1945) um problema se trata de um
questionamento no qual o aluno não possui uma resolução de modo imediato,
enquanto um exercício é resolvido com algum algoritmo ou método já conhecido. Em
complemento, Ponte (2003) destaca que há pontos em comum entre exercícios e
problemas no que se refere à clareza sobre o que é dado e o que é solicitado, e em
ambos os contextos o enunciado trará essas indicações, mas numa investigação há o
ponto de partida que seria uma:
Situação aberta, ou seja, a questão não está completamente definida, cabendo
a quem investiga um papel fundamental na sua concretização. Sendo possível
concretizar de vários modos os pontos de partida, os pontos de chegada,
naturalmente são também diferentes. Ao requerer a participação ativa do aluno
na própria formulação das questões a estudar, favorecemos o seu
envolvimento na aprendizagem (PONTE, 2003, p. 9).

Salientamos que independente dos conceitos que discutimos acerca de
exercícios, problema e investigação sempre teremos tais convenções relativas aos
sujeitos que estão inseridos nesses ambientes de aprendizagem, visto que uma tarefa
planejada para ser um problema pode causar um nível de complexidade enorme para

74

determinado aluno e ser algo trivial para outro aluno que tem mais afinidade ou prática
com o mesmo tipo de problema.
Ademais, Ponte (2003, p. 9) vai afirmar que “para uma dada pessoa, uma certa
tarefa pode ser o ponto de partida para uma investigação ou uma situação evocativa de
investigações e aprendizagens já realizadas”. Ao elaborar uma tarefa de investigação o
docente deverá buscar mecanismos para possibilitar que o aluno possa agir como um
“matemático”, no sentido de formular questões e refutações, apresentando seus
resultados através da argumentação e discussão com o professor e a sua turma
(PONTE, 2003). Nessa perspectiva, conseguimos compreender que é necessário
entender as tarefas matemáticas como dinâmicas de acordo com os sujeitos para os
quais estão sendo apresentadas e que elas devem ser previamente planejadas para
que se alcance aquilo que está sendo buscado pedagogicamente pelo professor. A
seguir, no quadro 11 podemos ver uma exposição com diferentes tarefas matemáticas
caracterizadas como exercício, problema ou investigação, contendo exemplos para
cada categoria e indicação do público-alvo para suas respectivas intencionalidades
educacionais:
Quadro 11- Exemplos de tarefas matemáticas
Tarefas matemáticas

Exemplos

Sujeitos

Exercício

Resolva a equação: 2x+23= 3+7x
Calcular a diagonal de um
paralelepípedo retângulo do qual
são conhecidos o comprimento,
a largura e a altura (Pólya,
1945).
Escreva em coluna os 20
primeiros múltiplos de 5.
Observe nos algarismos das
unidades e das dezenas. O que
você observa? E o que acontece
com os múltiplos de 4 e de 6? E
com os múltiplos de outros
números?

Alunos do 8º ano

Problema

Investigação

Alunos do 8º ano

Alunos do 5º ano

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022), adaptado de Ponte (2003)

Ao observar o quadro 11, nota-se que a ideia investigativa exige mais
questionamentos, mais exploração por parte dos alunos, protagonismo e discussões
para que determinado objetivo seja alcançado, enquanto no exercício o aluno faz o

75

uso de procedimentos já conhecidos e mais previsíveis para se obter a solução da
equação. Em paralelo, entendemos que durante o ensino de Matemática, muitas
práticas docentes arcaicas prevalecem em sala de aula, conservando uma visão de
uma Matemática que é predominantemente procedimental. Por outro lado, muito se
discute sobre metodologias de ensino que valorizem e possibilitem o protagonismo do
aluno durante a construção do conhecimento, porém na prática e na observação
docente percebemos que o ensino de Matemática pautado puramente em exercícios é
comum, fazendo com que ideias como as apresentadas sobre investigação matemática
ainda sejam consideradas de difícil implementação em sala de aula.
Além disso, para que a investigação seja inserida no contexto escolar é preciso
existir um processo de compreensão e planejamento, tendo em vista que o professor
deverá compreender os principais conceitos para que durante uma aula, haja de fato o
ensino investigativo. É importante salientar que não estamos condenando ou buscando
abolir as tarefas caracterizadas como exercícios, mas apresentamos um leque de
possibilidades que não se limitam apenas aos processos mecânicos que são
demasiadamente utilizados.
Diante de tudo que foi dito anteriormente acerca dos tópicos investigativos em
sala de aula, consideramos que a investigação matemática, principalmente pela
perspectiva de Ponte (2003), se torna essencial em nossa pesquisa, tendo em vista
que o ensino de probabilidade aliado aos aspectos investigativos nas aulas
desencadeará

habilidades

e

competências

que

se

relacionam

ao

processo

argumentativo, como a realização de testes e conjecturas, avaliação do raciocínio,
formulação de questões e refinamento de uma conjectura. Além disso, o aluno
conseguirá assimilar melhor os conceitos probabilísticos e a realidade que está
inserido, pois a Matemática permeia nossa vida e cotidiano, como enfatizado por Ponte
e Quaresma (2012), fazendo com que o uso da investigação matemática no processo
de aprendizagem do conteúdo de probabilidade contribua positivamente para o
processo argumentativo que buscamos alcançar, como o proposto no objetivo geral
desta pesquisa.

76

2.2

As interações discursivas em sala de aula
No tópico anterior, falamos sobre a investigação matemática e observamos que

alguns

pontos

dos

momentos

investigativos

se

encaixavam

com

aspectos

argumentativos que posteriormente serão mais bem detalhados. Quando discutimos
acerca da argumentação, compreendemos que existem diversas formas que ela pode
ser expressa, seja por meio da escrita, das interações discursivas em sala de aula,
nas justificativas, entre outros. Tais formas de expressão ocorrem principalmente
quando planejada e orientada pelo professor, porém sabemos que há discursos em
sala de aula que ocorrem normalmente, que podem ou não se caracterizar em uma
argumentação, mesmo mediada e possibilitada. Além disso, quando o docente
ministra um determinado conteúdo, geralmente a fala predominante é a do professor e
os estudantes não são engajados nem convidados a participar da aula ativamente,
corroborando para a construção de um dos padrões discursivos mais recorrentes no
meio escolar que veremos nesse tópico.
Ademais, Carvalho e Giordan (2017) apontam sobre a importância dos
questionamentos nas interações discursivas para a elaboração de significados e
baseados em Mortimer e Scott (2002) eles discutem que as diversas formas que os
professores interagem em sala de aula ao abordar determinados conteúdos se torna
marcante, podendo proporcionar um ambiente em sala de aula cuja interação seja
predominante, realizando perguntas que motivam os alunos a pensarem e articularem
ideias de acordo com os seus pontos de vista. Além disso, o professor pode propor
tarefas em que a discussão tenha momentos de maior liderança por parte dele, quando
o planejamento exige, porém é imprescindível que os alunos também possuam seus
momentos de discussões, principalmente com um direcionamento adequado do
professor, que seria o de possibilitar falas em que os alunos através do estudo
investigativo tenham auxílio, compreensão e justificativas durante a realização de
determinada tarefa ou questionamento que fora solicitado (CARVALHO; GIORDAN,
2017). Em complemento, Giordian (2008, apud CARVALHO; GIORDIAN 2017, p. 2)
afirma que a sala de aula é “como um espaço socialmente organizado, o universo
de interlocução dos alunos não pode ser reduzido a uma única voz, seja ela a voz do
professor ou do autor do livro didático, de um cientista, evocada por qualquer mídia.”

77

Entendendo a necessidade de inserir as interações e padrões discursivos em sala de
aula para contribuir no processo argumentativo, principalmente no que se refere à
oralidade, precisamos conhecer quais são esses tipos de interações e padrões
discursivos que ocorrem no meio escolar, especificamente na sala de aula.
Nesse sentido, ao analisar diversos estudos sobre a abordagem das interações
e padrões discursivos, percebemos a importância de se entender a ocorrência de
determinados comportamentos do professor e aluno. Veremos que há um padrão que
mais ocorre em sala de aula, independente do componente curricular trabalhado, o
chamado I-R-A (Iniciação- Resposta- Avaliação do professor) ou o I-R-F (IniciaçãoResposta- Feedback do professor), que será abordado na penúltima seção deste
capítulo sobre a argumentação, além de verificar sua utilidade e/ou propostas de
intervenção para alteração desses padrões triádicos em sala de aula.
Ademais, Mortimer e Scott (2002) pontuam que a abordagem comunicativa é o
centro da ferramenta de análise para o professor trabalhar suas intenções e conteúdo
de ensino, por intermédio das diferentes intervenções que promovem padrões de
interações distintos. Essas abordagens discutidas por Mortimer e Scott (2002) e
Carvalho e Giordian (2017) são classificadas em quatro classes comunicativas, que
foram reconhecidas a partir do discurso entre professor e alunos ou entre alunos e
alunos. De modo geral, essas abordagens têm como base dois grandes aspectos, que
são o discurso de diálogo ou de autoridade e o discurso interativo ou não interativo, isto
é: a abordagem interativa/ dialógica, interativa/ de autoridade, não-interativa/ dialógica
e não-interativa/ de autoridade. No trabalho de Mortimer e Scott (2022, p. 288) todas as
abordagens são descritas como sendo:
Interativo/dialógico: professor e estudantes exploram ideias, formularam
perguntas autênticas e oferecem, consideram e trabalham diferentes pontos de
vista. (b) Não-interativo/dialógico: professor reconsidera, na sua fala, vários
pontos de vista, destacando similaridades e diferenças. (c) Interativo/de
autoridade: professor geralmente conduz os estudantes por meio de uma
sequência de perguntas e respostas, com o objetivo de chegar a um ponto
de vista específico. (d) Não-interativo/ de autoridade: professor apresenta
umponto de vista específico.

A partir dessas descrições, sintetizamos as informações principais no quadro 12,
destacando as quatro classes sobre as abordagens comunicativas:

78

Quadro 12- Abordagens comunicativas
Interativo

Não- Interativo

Dialógico

(a) Interativo/ Dialógico

(b) Não-Interativo/ Dialógico

De autoridade

(c) Interativo/ de autoridade

(d) Não-Interativo/ de
Autoridade

Fonte: Elaborado pela autora da Dissertação (2022) com base nos estudos de Mortimer e Scott (2002)

Dentro das quatro classes acima, percebemos através dos artigos já discutidos
nesta dissertação (acerca de práticas docentes com o conteúdo de probabilidade), que
a abordagem comunicativa mais recorrente em sala de aula são as: não- interativo/ de
autoridade (d), podendo em determinados casos ocorrer a não- interativa/ dialógico (b)
e a interativo/ de autoridade (c). Tais classes apresentadas podem ser aplicadas pelo
papel do professor na condução do discurso em sala, podendo considerar as
interações que também ocorrem entre os alunos (CARVALHO; GIORDIAN, 2017).
Além disso, as abordagens de comunicação e os padrões discursivos podem ser
unidos ao que discutimos acerca da investigação matemática, visto que a depender da
classe e padrão que está sendo promovido o aluno desenvolve habilidades e
processos presentes nos momentos investigativos que discutimos no início deste
capítulo.
Ao inserir as ideias presentes na investigação matemática, nas abordagens
comunicativas e interações discursivas, acreditamos que o aluno tem mais ferramentas
e possibilidades de expor os seus pontos de vista, podendo participar de ambientes
argumentativos, tendo um melhor engajamento durante as aulas de Matemática, já que
suas falas e opiniões serão valorizadas no processo de aprendizagem de
probabilidade, desenvolvendo sua criticidade e protagonismo.

2.2.1 O engajamento dos alunos
Para um professor fazer com que sua turma tenha atenção e foco naquilo que
está sendo ministrado é essencial para a construção do conhecimento que o aluno
esteja engajado e comprometido durante o processo de aprendizagem. Contudo, no

79

componente curricular de Matemática os desafios vão para além de planejar o
conteúdo teórico e suas tarefas, visto que muitos alunos possuem aversão e até
mesmo medo ao se falar da Matemática. Um dos caminhos que muitos docentes
encontram para fazer com que o aluno tenha mais engajamento em sala de aula é
tornando a abordagem do conteúdo mais atrativa através do uso de diferentes
metodologias de ensino, fazendo o uso de materiais digitais, tecnológicos e
manipuláveis a fim de se promover uma melhor compreensão daquilo que está sendo
dito. Além disso, segundo os estudos de Araújo e Mazur (2013, p. 372):
O ponto principal para promover o engajamento dos estudantes durante a
aula é que haja mudança nas atividades que realizam. As exposições orais
devem ser curtas e intercaladas com outras atividades individuais ou
colaborativas, tais como discussões em aula, exercícios de fixação ou
trabalhos do tipo “mão na massa” como os realizados em laboratórios
(ARAÚJO; MAZUR, 2013, p. 372).

Com esta estratégia de ensino o aluno renovará sua atenção a cada mudança
de atividades e fará uso dos novos conceitos estudados, aprimorando a habilidade de
armazenamento e retenção de informações trabalhadas (ARAUJO; MAZUR, 2013).
Ademais, sabemos que elaborar uma aula que contenha diversos tipos de tarefas e
práticas, se torna cansativo e muitas vezes utópico dependendo da realidade de cada
professor, principalmente se o docente possuir uma grande carga horária semanal.
Entretanto, existem mecanismos que podem ser utilizados para promover o
engajamento em sala de aula, que é o de inserir a discussão e falas por parte dos
alunos no processo de ensino-aprendizagem de qualquer que seja o conteúdo
(ARAUJO; MAZUR, 2013). A oralidade e discussões para a sala de aula trazem
conhecimentos que jamais seriam observados se o professor agisse em todos os
momentos com a abordagem comunicativa não-interativo/de autoridade (d) e utilizasse
apenas questionamentos que se limitassem ao padrão I-R-F ou I-R-A. Para Barcellos e
Coelho (2019) aprender envolve investigação e exploração em relação ao modo com
que os alunos enxergam o mundo, mas para que isso possa acontecer, eles precisam
se engajar em um “processo pessoal de construção e de atribuição de significados”
(BARCELOS; COELHO, 2019, p. 184).

80

O engajamento em sala de aula pode trazer soluções positivas no que se refere
ao desempenho acadêmico, ao interesse pelas aulas e diminuição de evasão escolar,
tendo em vista que um aluno engajado terá motivos para considerar a sua vida escolar
como prioridade em detrimento de tantos fatores dificultosos que seriam considerados
se o aluno não estivesse motivado, como sugerem Sasseron e Souza (2019). Os
autores baseados em outras pesquisas elencam três principais modos de engajamento:
O engajamento comportamental, relacionado à participação dos alunos em
atividades escolares, sejam estas curriculares ou não; o engajamento
emocional identificado pelas reações positivas e negativas na relação com
colegas, professores, escola e atividades; e o engajamento cognitivo, que se
caracteriza pelo compromisso e vontade no exercício das atividades.
(SASSERON; SOUZA, 2019, p. 141).

Ao observar essas características percebemos algo positivo acerca do
engajamento: a sua multidimensionalidade, já que há olhares diferentes e dinâmicos,
possibilitando relações mais holísticas em suas conceituações (SASSERON; SOUZA,
2019). Além disso, é válido destacar que o engajamento considera as interações em
sala de aula como relevantes para o surgimento e manutenção do engajamento, ou
seja, as abordagens comunicativas e padrões discursivos que são adotados podem ser
aliadas para que haja a promoção do engajamento nas aulas de Matemática.
Dentro dessas três dimensões de engajamento, existem os Descritores de
Engajamento (DE) caracterizando aspectos que possibilitam as avaliações em sala de
aula em relação ao engajamento que parece existir nos aspectos das dimensões do
engajamento comportamental, emocional e cognitivo. Souza (2015) esclarece que os
DE se encaixam em três grupos, que são eles: o Engajamento (E), o Engajamento
Disciplinar (ED) e o Engajamento Disciplinar Produtivo (EDP). Podemos evidenciar o
Engajamento (E) através das interações discursivas dos alunos com os alunos e dos
alunos com o professor em sala de aula. Já o Engajamento Disciplinar (ED) se
relaciona à “força da situação de ensino”. Sasseron e Souza (2019, p. 142) explicam
que “o Engajamento Disciplinar não ocorre porque os estudantes envolvem-se com a
temática em questão, mas porque, estando em situações de ensino, é esperado que
assim se comportem”. Em continuidade, o Engajamento Disciplinar Produtivo (EDP)
representa o progresso intelectual realizado pelos alunos, expressando a construção

81

de entendimento sobre os conceitos e práticas, relacionando as tarefas e tópicos da
disciplina que está sendo trabalhada, neste caso, a de Matemática.
Tanto na modalidade de Engajamento (E), do Engajamento Disciplinar (ED) e do
Engajamento Disciplinar Produtivo (EDP) há três ramificações que cada uma possui e
baseamos as explicações de tais ramificações através dos apontamentos de Sasseron
e Souza (2019) (op. cit.):
•

Na modalidade de Engajamento (E), teremos os subtópicos E1, E2 e E3. O E1

(Engajamento 1) estará relacionado às manifestações para a construção de um plano
de trabalho para resolução de um problema apresentado e pode ser detectado nas
falas e ações dos alunos que manifestem uma tentativa de resolver a situação não
apoiada em qualquer ideia anterior.
•

O E2 (Engajamento 2) está vinculado ao trabalho colaborativo e se caracteriza

pelo trabalho em grupo.
•

O E3 (Engajamento 3) se caracteriza pelas manifestações de envolvimento

emocional dos alunos com a(s) tarefa(s), evidências de interesse e desinteresse
analisando a proposta trazida pelo docente.
•

Na modalidade Engajamento Disciplinar (ED), teremos os subtópicos (ED1,

ED2 e ED3). O ED1 (Engajamento Disciplinar 1) está relacionado à manifestação de
ideias e hipóteses que auxiliem na construção de estratégias para a resolução do
problema. Tais ações podem ocorrer de modo individual ou coletivo e para concretizar
essas ideias existem as evidências de ED2 (Engajamento Disciplinar 2). Se nesse
processo de estratégias e ações para a resolução de um problema houver
manifestações que possuam envolvimento emocional por parte dos alunos (como
desânimo e/ou êxito), encontramos indicativos de ED3 (Engajamento Disciplinar 3).
Diante das descrições apresentadas para as ED, podemos dizer que ele está
relacionado à realização da resolução de um problema e possui traços marcantes do
trabalho e envolvimento dos discentes com a atividade proposta.
Já na modalidade de Engajamento Disciplinar Produtivo (EDP), há os
subtópicos (EDP1, EDP2 e EDP3) que iremos detalhar logo abaixo. Mas antes disso, é
importante salientar que esta modalidade deve apresentar características que
evidenciem o trabalho para além de uma perspectiva didática.

82

Deste modo, “o interesse ganha contornos de apropriação pelo indivíduo, que
passa a agir não apenas porque a ele foi solicitada a execução de uma tarefa, mas
porque deseja construir ideias sobre o fenômeno ou a situação em questão”
(SASSERON; SOUZA 2019, p. 143). A seguir, faremos as identificações dos (EDP1,
EDP2 e EDP3):
•

Para reconhecer o EDP1 (Engajamento Disciplinar Produtivo 1) é necessário

detectar manifestação de relações explicativas através do teste de ideias e refinamento
dessas construções.
•

Já quando existem manifestações de que tais construções explicativas, junto aos

contextos de aplicação e validade ocorreram de modo colaborativo, identificamos o
EDP2 (Engajamento Disciplinar Produtivo 2)

•

A partir do momento em que há uma manifestação de apropriação de ideias em

discussões para a análise de outras vertentes, que vão além de uma tarefa em sala de
aula, conseguimos identificar o EDP3 (Engajamento Disciplinar Produtivo 3).
Com o intuito de sintetizar essas informações, podemos analisar o quadro 13
elaborado por Souza (2015) com esses Descritores de Engajamento:
Quadro 13- Sintetização dos Descritores de Engajamento (DE)
Engajamento

Engajamento Disciplinar

Engajamento Disciplinar
Produtivo

E1: Discussão sobre o tema
colocado em questão pelo
problema

ED1: Discussão sobre ideias e
hipóteses para a construção de
um plano de trabalho para a
resolução do problema

EDP1: Discussão sobre
sofisticação de ideias e
construção de relações
explicativas

E2: Presença de trabalho
colaborativo

ED2: Presença de trabalho
colaborativo para concretização
de ações, proposições e/ ou
análises de ideias

EDP2: Presença de trabalho
colaborativo na construção da
explicação e reconhecimento de
limites nas suas aplicações

E3: Presença de características
emocionais

ED3: Presença de
características emocionais
relacionadas às ações para a
resolução do problema

EDP3: Presença do uso de
ideias em outros contextos,
revelando a apropriação do
conhecimento

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022) com base nos estudos de Souza (2015)

Com isso, as ideias apresentadas sobre o engajamento são úteis nessa
pesquisa, visto que a maioria dos estudos que envolvem o engajamento fazem o uso
das interações discursivas, que se torna essencial para o processo argumentativo.

83

Ademais, os Descritores de Engajamento farão com que a análise da existência de
engajamento em sala de aula ocorra mais precisamente, contribuindo

para

constatações mais sólidas e consistentes no que se refere ao engajamento dos
estudantes durante o ensino de probabilidade nos anos iniciais na disciplina de
Matemática. Para ancorar essas ideias ao processo argumentativo, precisamos
informar ao leitor quais as perspectivas, conceitos e abordagens que utilizamos para
analisar através de um bom referencial teórico, a argumentação nas aulas de
Matemática, seja de modo escrito ou oralizado. Os próximos tópicos terão como foco
expor de modo mais profundo aquilo que entendemos como argumentação, bem como
seus processos e modelos que serão adotados a fim de se obter uma melhor
compreensão sobre o processo argumentativo em sala de aula.

2.3 O processo de argumentação nas aulas de Matemática: uma análise dos
documentos curriculares
Uma das formas de contribuir para que o aluno adquira uma postura ativa e seja
protagonista de seu processo de aprendizagem é promover aulas de Matemática nas
quais a argumentação seja um elemento presente para a construção e discussão dos
conceitos matemáticos e suas aplicações no dia a dia, manifestando sua capacidade de
explicar, justificar, conjecturar, levantar hipóteses, demonstrar, refutar, defender e
reavaliar suas ideias, heurísticas, estratégias e raciocínio, num ambiente dialógico,
aproximando-o mais do universo matemático e levando-o a perceber que a Matemática
é uma construção humana, acessível e que não precisa ser temida. Assim, o aluno
desenvolve também a capacidade de convencer, persuadir, posicionar-se, além de
desenvolver o pensamento crítico e analítico.
Aulas de Matemática nas quais se promova a argumentação diante de conceitos
que estão sendo construídos ou problemas que são propostos para resolução, são
praticamente raras. Notamos que o professor desconhece como se trabalha a
argumentação nas aulas de Matemática, uma vez que precisa estar relacionada a uma
tarefa matemática bem estruturada e mediada adequadamente para que os alunos
manifestem o processo argumentativo. Kosko, Rougee e Herbst (2014) colocam que um

84

componente essencial para os professores desenvolverem a argumentação nas aulas
de Matemática é o uso de estratégias de questionamento pelo professor, de modo com
que os alunos expliquem e justifiquem as resoluções matemáticas e a forma com que
compreendem determinado conceito.
A argumentação nas aulas de Matemática é prevista nos documentos
curriculares brasileiros. Os Parâmetros Curriculares Nacionais (BRASIL, 1997)
direcionados ao 1º e 2º ciclos (1ª à 4ª série, atualmente correspondendo do 1º ao 5º
ano), ou seja, os anos iniciais do Ensino Fundamental, logo no início da caracterização
da área de Matemática, colocam que “a comunicação tem grande importância e deve
ser estimulada, levando-se o aluno a “falar” e a “escrever” sobre Matemática” (BRASIL,
1997, p. 19), o que pressupõe a importância do processo argumentativo nas aulas de
Matemática. Mais adiante, alia a capacidade de argumentar ao desenvolvimento da
cidadania, que deve ser um dos preceitos do ensino de Matemática, afirmando que:
(...) para exercer a cidadania, é necessário saber calcular, medir, raciocinar,
argumentar, tratar informações estatisticamente, etc. (...)Para tanto, o ensino de
Matemática prestará sua contribuição à medida que forem exploradas
metodologias que priorizem a criação de estratégias, a comprovação, a
justificativa, a argumentação, o espírito crítico, e favoreçam a criatividade, o
trabalho coletivo, a iniciativa pessoal e a autonomia advinda do
desenvolvimento da confiança na própria capacidade de conhecer e enfrentar
desafios. É importante destacar que a Matemática deverá ser vista pelo aluno
como um conhecimento que pode favorecer o desenvolvimento do seu
raciocínio, de sua capacidade expressiva, de sua sensibilidade estética e de
sua imaginação. (BRASIL, 1997, p. 25-26)

Para que haja um ambiente em que a argumentação seja favorecida é
necessário que o professor faça a mediação adequada e, para tanto, os PCNs
(BRASIL, 1997, p. 31) orientam que os professores promovam “o debate sobre
resultados e métodos”, além de “proporcionar um ambiente de trabalho que estimule o
aluno a criar, comparar, discutir, rever, perguntar e ampliar ideias”, ou seja, estimule o
aluno a manifestar suas ideias e explicá-las.
Os PCNs (BRASIL, 1997, p. 37) ainda colocam a argumentação num contexto de
comunicação dentro das finalidades a serem atingidas pelo ensino de Matemática ao
preceituar que no Ensino Fundamental se deve levar o aluno a:
Comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar
resultados com precisão e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso
da linguagem oral e estabelecendo relações entre ela e diferentes
representações matemáticas (grifo nosso).

85

Os PCNs (BRASIL, 1998, p. 56) voltados para os anos finais do Ensino
Fundamental, anteriormente denominado de 3º e 4º ciclos (5ª a 8ª série – atualmente
denominado de 6º a 9º ano do Ensino Fundamental) repetem os preceitos básicos em
relação à argumentação nos ciclos iniciais, colocando como um dos princípios
norteadores que:
O ensino de Matemática deve garantir o desenvolvimento de capacidades
como: observação, estabelecimento de relações, comunicação (diferentes
linguagens), argumentação e validação de processos e o estímulo às formas
de raciocínio como intuição, indução, dedução, analogia, estimativa (grifo
nosso).

O documento situa a argumentação dentro de um contexto de aprendizagem
centrada na construção de significados, bem como reflexiva no sentido de ajudar os
alunos a resolverem problemas do cotidiano, compreenderem a lógica das resoluções
matemáticas que elaboram e a forma com que comunicam essas ideias e tomam
decisões:
O estímulo à capacidade de ouvir, discutir, escrever, ler ideias matemáticas,
interpretar significados, pensar de forma criativa, desenvolver o pensamento
indutivo/dedutivo, é o caminho que vai possibilitar a ampliação da capacidade
para abstrair elementos comuns a várias situações, para fazer conjecturas,
generalizações e deduções simples como também para o aprimoramento das
representações, ao mesmo tempo que permitirá aos alunos irem se
conscientizando da importância de comunicar suas ideias com concisão.
(BRASIL, 1998, p. 63).

Deste modo, nota-se que os PCNs (BRASIL, 1997, 1998) recomendam que as
aulas de Matemática viabilizem as interações discursivas para que os alunos aprendam
a se comunicar matematicamente seja oralmente ou por escrito e utilizem as diferentes
formas de representação do conhecimento matemático e de sua linguagem.
Os Parâmetros Curriculares para o Ensino Médio - PCNEM (BRASIL, 2000, p.
40) por sua vez assinalam que num mundo com uma diversidade social, cultural e
profissional, todas as áreas de alguma forma requerem alguma competência
matemática “e a possibilidade de compreender conceitos e procedimentos matemáticos
é necessária [...] para tirar conclusões e fazer argumentações [...]”. O documento
prossegue colocando que “a aquisição do conhecimento matemático deve estar
vinculada ao domínio de um saber fazer Matemática e de um saber pensar matemático”

86

(BRASIL, 2000, p. 41) e a resolução de problemas é um caminho para isso, e nesse
cenário é essencial desenvolver a capacidade de comunicação, expressão,
representação e utilização da linguagem matemática, considerando processos
fundamentais como conjecturar, buscar regularidades e generalizações:
Esse domínio passa por um processo lento, trabalhoso, cujo começo deve ser
uma prolongada atividade sobre resolução de problemas de diversos tipos, com
o objetivo de elaborar conjecturas, de estimular a busca de regularidades, a
generalização de padrões, a capacidade de argumentação, elementos
fundamentais para o processo de formalização do conhecimento matemático e
para o desenvolvimento de habilidades essenciais à leitura e interpretação da
realidade e de outras áreas do conhecimento. (BRASIL, 2000, p. 41-42)

Os PCNEM (BRASIL, 2000) finalizam citando novamente a argumentação tendo
como referência o mundo que cerca o aluno e trazem entre o rol de competências e
habilidades elencadas no subdomínio “Investigação e compreensão”, o preceito de
“discutir ideias e produzir argumentos convincentes:
Dentre esses valores e atitudes, podemos destacar que ter iniciativa na busca
de informações, demonstrar responsabilidade, ter confiança em suas formas de
pensar, fundamentar suas ideias e argumentações são essenciais para que o
aluno possa aprender, se comunicar, perceber o valor da Matemática como
bem cultural de leitura e interpretação da realidade e possa estar melhor
preparado para sua inserção no mundo do conhecimento e do trabalho.
(BRASIL, 2000, p. 45-46).

Sobre a linguagem matemática que integra o processo de argumentação,
Morgan et al. (2014) explicam que ela fornece um meio de descrever as maneiras pelas
quais os alunos estão se engajando em uma atividade matemática. Os autores chamam
a atenção para as novas tecnologias que mudaram as formas de se comunicar
trazendo

novos

recursos

semióticos,

mais

dinâmicos,

manipuláveis

e

com

representações multiplamente ligadas e novas formas de interação humana, como as
formas assíncronas (muito utilizada durante a pandemia pelas escolas), criando novos
repertórios matemáticos linguísticos em contextos que agora são multilíngues, pois há a
possibilidade de conexão com pessoas de diferentes lugares para a construção do
conhecimento, o que amplia a variedade de registros quando se considera a
Matemática como uma atividade discursiva e rica culturalmente.
Morgan et al. (2014) pontuam que as aulas de Matemática devem oportunizar o
desenvolvimento da competência matemática linguística dos alunos, que além de estar

87

ligada ao desenvolvimento da cognição matemática é importante ressaltar como a
linguagem molda e é moldada por toda a experiência humana. Os autores afirmam que
mesmo que haja essa força modeladora das escolhas de linguagem, é preciso
vislumbrar possibilidades de mudança, a partir da compreensão dos contextos de
aprendizagem matemática e como a linguagem opera nestes contextos, no sentido de
mudar as dinâmicas linguísticas e romper as relações de poder que privilegiam certos
discursos, ampliando o espaço para que os alunos se manifestem e expressem suas
ideias, favorecendo a argumentação e o aprendizado da Matemática.
Retornando à questão curricular, a Base Nacional Comum Curricular (BRASIL,
2018, p. 9) coloca a argumentação como uma das competências da Educação Básica,
que garanta aos alunos mais do que comunicar-se, mas defender suas ideias e
posicionar-se, postulando que devem:
Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular,
negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e
promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo
responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em
relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

Além do mais, já na Educação Infantil estabelece que desde cedo se deve
estimular situações comunicativas para que os alunos interajam, ampliem e enriqueçam
o vocabulário, adquiram diferentes recursos de expressão, compreensão e apropriação
da língua materna. As habilidades relativas ao desenvolvimento da linguagem e da
comunicação são explicitadas no campo de experiências “Escuta, fala, pensamento e
imaginação”, colocando que um dos objetivos é levar os alunos a “argumentar e relatar
fatos oralmente, em seqüência temporal e causal, organizando e adequando sua fala
ao contexto em que é produzida” (BRASIL, 2018, p.55). Para o campo de experiência
“Espaços,

tempos,

quantidades,

relações

e

transformações”

que

trata

do

desenvolvimento das noções matemáticas, a BNCC (BRASIL, 2018) recomenda que os
alunos sejam estimulados a indagar.
Para a etapa do Ensino Fundamental, a BNCC (BRASIL, 2018, p. 58) preconiza
o estabelecimento do desenvolvimento do pensamento com a comunicação,
preceituando que:
O estímulo ao pensamento criativo, lógico e crítico, por meio da construção e do
fortalecimento da capacidade de fazer perguntas e de avaliar respostas, de
argumentar, de interagir com diversas produções culturais, de fazer uso de
tecnologias de informação e comunicação, possibilita aos alunos ampliar sua

88

compreensão de si mesmos, do mundo natural e social, das relações dos seres
humanos entre si e com a natureza (grifo nosso).

Mais adiante, ao tratar da área de Matemática no Ensino Fundamental, a BNCC
(BRASIL, 2018, p. 266) coloca a argumentação como uma das competências contidas
no letramento matemático:
O Ensino Fundamental deve ter compromisso com o desenvolvimento do
letramento matemático, definido como as competências e habilidades de
raciocinar, representar, comunicar e argumentar matematicamente, de modo
a favorecer o estabelecimento de conjecturas, a formulação e a resolução de
problemas em uma variedade de contextos, utilizando conceitos,
procedimentos, fatos e ferramentas matemáticas (grifo nosso).

Por conseguinte, dentre as competências específicas de Matemática para o
Ensino Fundamental, a BNCC (BRASIL, 2018, p. 267) traz novamente a argumentação
e recomenda que o processo ensino-aprendizagem deverá “desenvolver o raciocínio
lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos convincentes,
recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo”.
Nos anos finais coloca que “é importante iniciar os alunos, gradativamente, na
compreensão, análise e avaliação da argumentação matemática; isso envolve a leitura
de textos matemáticos e o desenvolvimento do senso crítico em relação à
argumentação neles utilizada” (BRASIL, 2018, p. 299), ou seja, a habilidade de
argumentar deve estar ligada à leitura, que contribui para o desenvolvimento de um
aporte linguístico.
O que se nota na análise das habilidades relacionadas a cada objeto de
conhecimento (conteúdos matemáticos) é que não há referência à argumentação, pois
já está inclusa num contexto mais amplo das competências específicas de Matemática.
Considerando-se como as práticas docentes costumam se desenvolver, seria
importante sinalizar nas competências dos objetos de conhecimentos, a habilidade de
argumentar, para que o professor elabore atividades mais focadas e esse
direcionamento pode ser feito pelas secretarias municipais e estaduais de Educação
nos seus referenciais curriculares que são pautados pela Base Nacional Comum
Curricular, bem como trazer orientações de como o professor pode desenvolver o
processo

argumentativo

nas

desconhecem esse processo.

aulas

de

Matemática,

pois

muitos

professores

89

Já para o Ensino Médio, a argumentação é colocada como uma competência,
diferentemente do Ensino Fundamental, em que ora é colocada como uma competência
da Educação Básica ora é colocada como capacidade ou habilidade ao longo do texto
orientativo da BNCC (BRASIL, 2018) como citamos anteriormente. Essa dualidade
mostra o espectro e as facetas da argumentação que é composta com o conhecer e o
saber fazer, ou seja, o aluno tem que desenvolver a capacidade de mobilizar recursos
cognitivos e colocá-los em prática quando estiver em uma situação em que tenha que
argumentar.
Vejamos o que a BNCC (BRASIL, 2018, p. 530-531) coloca então de modo
amplo e na competência específica 3 para a argumentação nas aulas de Matemática no
Ensino Médio, destacando a formação das conjecturas e justificativas:
Com relação à competência de argumentar, seu desenvolvimento pressupõe
também a formulação e a testagem de conjecturas, com a apresentação de
justificativas, além dos aspectos já citados anteriormente em relação às
competências de raciocinar e representar. 3. Utilizar estratégias, conceitos,
definições e procedimentos matemáticos para interpretar, construir modelos e
resolver problemas em diversos contextos, analisando a plausibilidade dos
resultados e a adequação das soluções propostas, de modo a construir
argumentação consistente (grifo nosso).

Na competência específica 3, ainda deixa claro que na resolução de problemas
deve existir o momento em que os alunos irão justificar as resoluções e expô-las,
apresentando a argumentação, inclusive utilizando ferramentas tecnológicas:
Para resolver problemas, os estudantes podem, no início, identificar os
conceitos e procedimentos matemáticos necessários ou os que possam ser
utilizados na chamada formulação matemática do problema. Depois disso, eles
precisam aplicar esses conceitos, executar procedimentos e, ao final,
compatibilizar os resultados com o problema original, comunicando a solução
aos colegas por meio de argumentação consistente e linguagem
adequada. (...) Cabe ainda destacar que o uso de tecnologias possibilita
aos estudantes alternativas de experiências variadas e facilitadoras de
aprendizagens que reforçam a capacidade de raciocinar logicamente, formular
e testar conjecturas, avaliar a validade de raciocínios e construir
argumentações (BRASIL, 2018, p. 535-536, grifo nosso).

A argumentação ainda aparece nas competências específicas 4 e 5. Na
competência 4, se referindo à representação matemática, novamente a argumentação
matemática é citada, pois argumentar engloba também os diferentes registros de
representação semiótica:
Ao conseguirem utilizar as representações matemáticas, compreender as ideias
que elas expressam e, quando possível, fazer a conversão entre elas, os
estudantes passam a dominar um conjunto de ferramentas que potencializa de

90

forma significativa sua capacidade de resolver problemas, comunicar e
argumentar; enfim, ampliam sua capacidade de pensar matematicamente
(BRASIL, 2018, p. 538, grifo nosso).

Na competência 5, a argumentação retorna, pois, o destaque é para a
formulação de explicações e argumentos e validação das conjecturas:
Ao formular conjecturas com base em suas investigações, os estudantes devem
buscar contraexemplos para refutá-las e, quando necessário, procurar
argumentos para validá-las. Essa validação não pode ser feita apenas com
argumentos empíricos, mas deve trazer também argumentos mais “formais”,
incluindo a demonstração de algumas proposições. (BRASIL, 2018, p. 540).

Esse posicionamento relaciona à argumentação ao desenvolvimento do
raciocínio hipotético-dedutivo. No Ensino Médio, a BNCC (BRASIL, 2018) ao contrário
do se constatamos em relação ao Ensino Fundamental, coloca uma habilidade
específica para a unidade temática “Números e Álgebra” citando a argumentação, pois
nesta unidade temática ficam evidentes outras habilidades a serem desenvolvidas
como reconhecer padrões, generalizar, deduzir, conjecturar e que estão ligadas
diretamente à argumentação:
(EM13MAT104) Interpretar taxas e índices de natureza socioeconômica (índice
de desenvolvimento humano, taxas de inflação, entre outros), investigando os
processos de cálculo desses números, para analisar criticamente a realidade e
produzir argumentos. (BRASIL, 2018, p. 543)

Não se encontra em outras unidades temáticas do Ensino Médio explicitamente
menção à argumentação, mas consideramos um ponto positivo em termos curriculares
porque direciona o trabalho do professor para uma prática docente mais assertiva. Mas,
como podemos definir a argumentação no processo educativo? Para Leitão (2007, p.
75) a argumentação é “uma atividade discursiva que se caracteriza pela defesa de
pontos de vista e consideração de perspectivas contrárias”. Além disso, a necessidade
de defender determinado ponto de vista e responder a estas perspectivas contrárias,
gera um processo de negociação no discurso, onde as concepções podem ser
formuladas, transformadas e revistas (LEITÃO, 2007).
Em complemento, Ferraz e Sasseron, (2017) entendem que a argumentação
além de um ato discursivo plural, vai buscar tornar nítida determinada situação, objeto
ou fenômeno através de alegações, que são respaldadas por justificativas e outros
elementos que vão garantir a validade desta, considerando três níveis hierárquicos no
discurso argumentativo, que são: os objetos de sentido, articulação e persuasão, em

91

que os objetos de sentido se referem ao desenvolvimento da compreensão pessoal dos
fenômenos sob investigação, a articulação está ligada ao engajamento mais profundo e
crítico com as evidências que são apresentadas e a persuasão que é basicamente uma
explicação mais robusta dos fenômenos estudados, como colocam Berland e Reiser
(2009 apud FIELDING-WELLS, 2013).
Por outro lado, para uma argumentação ser válida, deve envolver elementos
como a justificativa e defesa, além de outros elementos que compõem o processo
argumentativo como a afirmação (postura e posição assumida), o fundamento (o
suporte ou evidência que é necessário para permitir que a reivindicação seja aceita) e o
mandato (TOULMIN, RIEKE, JANIK, 1984 apud FIELDING- WELLS, 2013).
Com isso, nota-se que a inserção da argumentação em sala de aula não implica
apenas na possibilidade da fala e discurso dos alunos durante as aulas, mas há uma
análise que avalia a consistência dos discursos que os caracterizam ou não como um
bom argumento em seus diversos níveis, como exposto anteriormente. O professor que
deseja inserir a argumentação nas aulas de Matemática devendo se atentar ao bom
planejamento, avaliação adequada e bom preparo para a condução e mediação durante
o processo de ensino e aprendizagem, com o objetivo de fazer com que os alunos
possam aprender e construir conhecimentos através de seus próprios argumentos e
reflexões e com criticidade e coerência.

2.4 A argumentação nas aulas de Matemática, o discurso matemático e as
linguagens matemáticas: fundamentos teóricos
Considerando a importância da argumentação em sala de aula e as
possibilidades de associação entre essa perspectiva e o ensino de probabilidade nas
aulas de Matemática, apresentaremos a relevância e necessidade da inserção do
processo argumentativo no meio escolar sob o olhar de diversos estudiosos que
pesquisaram sobre o tema e observando o que os principais currículos que norteiam a
Educação Básica nos informam e sugerem.
Nessa perspectiva, percebemos que o uso da argumentação é tido como
essencial na BNCC (BRASIL, 2018), que coloca a argumentação como sendo a sétima
competência geral a ser desenvolvida pelos alunos ao longo da Educação Básica, ou

92

seja, é algo que deve ser perpassado em todos os níveis e etapas, bem como em
todas as áreas de conhecimento. Além disso, o National Council of Teachers of
Mathematics (NCTM), principal entidade que trata dos currículos norte-americanos da
Educação Básica e com influência mundial, recomenda que a prática docente em
Matemática deve possibilitar aos alunos a construção de argumentos viáveis para que
analisem e critiquem o raciocínio de outros. Essas ideias se intensificam quando
analisamos a realidade da Educação Brasileira, que apesar dos avanços e estudos que
ampliam a visão do ensino e da aprendizagem ainda precisa evoluir em diversos
aspectos, como por exemplo, o de fazer com que a Matemática seja uma disciplina em
que se utilize argumentos, interpretações, sentido e conexões para que a solução de
determinado problema possa trazer significados e aprendizado efetivo.
Nesse sentido, vemos que a Matemática ainda é tida por muitos como a Ciência
que foca puramente em cálculos e ações prioritariamente procedimentais, fazendo com
o que a fala de Pozo e Crespo (2009, p. 23) de que a “aprendizagem escolar tende a
exigir dos alunos aquilo para o que eles estão menos dotados: repetir ou reproduzir as
coisas com exatidão” seja algo ainda presente atualmente. Devido a esta forma
errônea de perceber a Matemática, surge a necessidade de enxergá-la como uma
Ciência que produz sentido e lógica em toda e qualquer ação.
Para tanto, acreditamos que inserir a argumentação no meio escolar,
principalmente na disciplina de Matemática não é uma tarefa simples e feita de modo
simplório, pois exige que o professor tenha conhecimento do que se quer alcançar com
essa argumentação e do que ela irá representar durante sua prática pedagógica, além
de conhecer como o processo deve ser desenvolvido. Muitos docentes, ainda na
formação inicial na Licenciatura em Matemática sequer ouviram falar sobre
argumentação matemática e nem este aspecto é contemplado em disciplinas
pedagógicas, como a de Ensino de Matemática ou Didática da Matemática. O pouco
que os licenciandos veem são as formas de se fazer demonstrações e provas –
desenvolvimento de procedimentos matemáticos – que também estão relacionados à
argumentação, mas a forma de expressar oralmente ou por escrito, dissertando com o
uso da língua portuguesa para explicar, expor o raciocínio, defender ideias, não são
enfocados durante a formação inicial. Assim, os futuros professores não sabem como

93

trabalhar a argumentação nas aulas de Matemática e as raras oportunidades que os
alunos têm para falar dizem respeito a recitar as respostas numéricas das atividades
propostas, sem explicá-las ou sequer questioná-las.
Por outro lado, para Colonnese et al. (2015) a argumentação no ensino de
Matemática é potencialmente positiva, produz benefícios e envolvimento em práticas
de aprendizagem, além de trabalhar com os processos cognitivos. Ademais, Simon e
Richardson (2009 apud FIELDING-WELLS, 2013, p. 290) afirmam que “o potencial para
introduzir os alunos em práticas e discursos específicos de um assunto é um dos
principais benefícios para a introdução de explicação e argumentação em sala de aula”.
A argumentação, assim como a investigação matemática citada no início deste
capítulo pode produzir um sentido amplo, fazendo com que seja necessário que
definamos e delimitemos o conceito para a expressão argumentativa em nosso
trabalho. Muitos pensam que argumentar é apenas expor opiniões ou responder
um questionamento com a resposta que se quer ouvir. Porém, argumentar envolve a
defesa de ideias, exposição de suas opiniões com bases fundamentadas, levantamento
de hipóteses, conclusão, premissas e entre outros aspectos que são considerados
essenciais em um processo argumentativo como será mostrado mais adiante.
A argumentação quando abordada no contexto educacional é exposta de modo
mais genérico em alguns estudos, englobam ideias argumentativas aristotélicas, que se
baseiam num argumento com premissas (razões) e conclusões (opinião). Em
contrapartida, a estrutura argumentativa de Toulmin (1958), que será mais bem
detalhada nos tópicos posteriores aponta para além da visão aristotélica de que
argumentar seria “apresentar um conjunto de razões ou provas que fundamentam uma
conclusão” (WESTON, 2009, p. 5). Tal definição para a argumentação não está posta
de modo errôneo, mas observamos que há outros fatores que podem ser
complementados para que a definição fique mais robusta e adequada para o objetivo
desta dissertação. Além disso, nos estudos de Sasseron e Carvalho (2011) a
argumentação também pode ser entendida como:
Todo e qualquer discurso em que aluno e professor apresentam suas opiniões
em aula, descrevendo ideias, apresentando hipóteses e evidências, justificando
ações ou conclusões a que tenham chegado, explicando resultados
alcançados. Neste sentido, tomando-a em sentido tão amplo, acreditamos
haver dois vieses que precisam ser igualmente considerados durante o trabalho

94

em sala de aula: um destes vieses diz respeito à estrutura do argumento e o
outro trata de sua qualidade (SASSERON; CARVALHO, 2011).

Notamos que o processo argumentativo engloba dois fatores importantes, o
primeiro se relaciona à estrutura que o argumento está sendo construído e a partir da
argumentação obtida podemos entrar no segundo fator, que relaciona à qualidade
desse argumento que foi feito. O fato de o aluno argumentar não significa que o
processo foi finalizado, mas que sua fala/escrita se encaixou nos padrões
argumentativos e que agora o professor pode avaliar a qualidade desses argumentos.
Segundo Leitão (2012) a argumentação seria uma atividade cognitivo-discursiva
realizada quando um ou mais sujeitos se empenham para solucionar uma
divergência de opinião, formulando hipóteses que defendam os seus pontos de vista,
fazendo o uso da criticidade para que se analise a plausibilidade das perspectivas
contrárias. Ademais, Leitão (2012, p. 26) prossegue informando:
Mesmo que em sua forma mais óbvia, a argumentação ocorra entre dois ou
mais indivíduos, é o exame sistemático dos fundamentos e limites de
argumentos divergentes (...) a característica básica que, em última instância,
define a argumentação.

A ideia de Sasseron e Carvalho (2011) se interliga ao que Leitão (2007, p. 75)
apresenta acerca da argumentação, ao falar que ela é “uma atividade discursiva que se
caracteriza pela defesa de pontos de vista e consideração de perspectivas contrárias”.
Com essas informações, nos perguntamos como seria validar um argumento de
crianças dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental? A ideia é que os conceitos
argumentativos permaneçam, porém, devemos ter a ideia de que as declarações
dessas crianças não serão tão robustas quanto as declarações de alunos do Ensino
Médio por exemplo, tendo em vista sua fase cognitiva e etapa escolar. Quando a
criança inicia suas declarações no processo argumentativo há uma conexão das
informações fornecidas e com a alegação, que podem ser chamadas de mandados,
proposições e entre outros. Para Kosko e Guilford (2018), essas declarações:
Servem a papéis mais simples de passar de um ponto em um argumento para
outro, enquanto outras fazem um pouco mais (ou seja, justificam por que
algumas declarações são apropriadas). Para complicar ainda mais as coisas,
as declarações de algumas crianças são menos precisas do que outras e
incluem algumas, mas não todas, partes de uma explicação completa (KOSKO;
GUILFORD, 2018, p. 46)

95

Em continuidade, notamos que a argumentação pode ocorrer de modo oral e de
modo escrito, porém no mundo digital que vivemos, fica cada vez mais difícil fazer com
que as crianças brasileiras queiram ou se engajem para realizar uma argumentação
escrita, visto que elas acreditam ser mais “rápido” falar do que escrever, focando mais
nas justificativas que podem fazer de modo oral do que escrito.
Aprender a se engajar na justificação matemática é um processo difícil para os
alunos, mas também é um aspecto essencial da aprendizagem (KOSKO; GUILFORD,
2018). Ademais, Kosko e Wilkins (2015) mostram que mesmo com o desejo do
professor de implementar a discussão e argumentação nas aulas de Matemática, há
um caminho a se percorrer para que haja o envolvimento efetivo dos alunos. Os
autores falam que este processo não ocorre de modo rápido e que se caracteriza como
“uma transição lenta que exige que os alunos ajam de forma cada vez mais autônoma,
pois o professor continua a facilitar a discussão e as interações de várias maneiras” (p.
369). Isso significa que mesmo sendo um processo de difícil inserção nas aulas, ao
longo do tempo, os alunos começam a desenvolver disposições matemáticas mais
autônomas e se engajam durante as ações discursivas para que sejam mais efetivas.
Ou seja, à medida que os professores possibilitam a autonomia dos alunos, eles
começam a se envolver de modo mais autônomo, o que contribui significativamente
para o processo argumentativo em sala de aula (KOSKO; WILKINS, 2015).
Ainda nessa perspectiva argumentativa, Macagno e Walton (2010) falam sobre o
processo argumentativo e sobre a força de palavras persuasivas e emotivas como meio
de gerar discussões e argumentos mais completos. Os autores afirmam que:
As palavras têm sido consideradas argumentativas por causa de sua
“conotação”, ou significado emotivo oculto, ou por causa de um sistema de
valores de alguma forma implícito pela palavra. No entanto, analisar o poder
argumentativo das palavras em termos de conteúdos ocultos levanta a questão
de determinar como e por que as palavras emotivas podem ser instrumentos
argumentativos tão poderosos e quais são as relações entre palavras,
argumentação e definições. Além disso, uma análise da estrutura da
argumentação por palavras argumentativas é necessária para fornecer um
método para distinguir entre usos falaciosos e razoáveis de palavras emotivas.
Se as palavras emotivas estão intimamente relacionadas aos valores, não fica
claro como os valores e as palavras estão ligados e como os valores implícitos
podem mudar simplesmente modificando a definição de uma palavra
(MACAGNO; WALTON, 2010, p. 2000).

96

Essas concepções são relevantes, pois faz com que o professor perceba que até
o modo que uma mesma palavra é colocada numa frase pode causar um efeito
argumentativo diferente. Por exemplo, a frase “George e Betina têm a mesma altura” é
retoricamente diferente de “George é tão alto quanto Betina” (MACAGNO; WALTON,
2010). Todos esses detalhes devem ser observados para que a promoção da

argumentação possa ocorrer de modo satisfatório, mesmo sabendo que o
planejamento é dinâmico, o professor pode nortear suas aulas com ideias de
questionamentos específicos a fim de gerar discussões e argumentações pertinentes
durante a aula de Matemática.

2.4.1 A argumentação presente na oralidade e a escrita nas aulas de
Matemática
A partir das concepções apresentadas acerca da argumentação, podemos
perceber que ela possui características próprias que vão além de expor opiniões, visto
que é preciso ter fundamentação, levantamento de hipóteses, conclusões, refutações e
entre outros aspectos que defendam a ideia apresentada. De acordo com tais
concepções, observamos que não podemos limitar a argumentação apenas de modo
oral, pois ela também ocorre de modo escrito.
Além disso, não podemos considerar que a argumentação e escrita se
desenvolvem na mesma velocidade ou processo, visto que muitos alunos conseguem
verbalizar muito bem suas ideias e não conseguem expor de modo escrito tais ideias
de modo coerente, como percebido por Kosko e Wilkins (2015) e por Kosko e Guilford
(2018) ao analisar a autonomia dos estudantes no contexto argumentativo. Nesse
sentido, Kosko e Guilford (2018) ainda pontuam que o discurso matemático geralmente
envolve os alunos fornecendo algum procedimento para justificar suas interpretações
quando os alunos são apresentados a uma Matemática que vai além do contar e
mostrar, são motivados a justificar suas descobertas, desenvolvendo aspectos
essenciais no processo argumentativo.
Ademais, “um meio de desenvolver as habilidades de justificação das crianças
é incentivar o uso de vários tipos de exemplos e a generalização desses exemplos por
parte dos alunos” (KOSKO; GUILFORD, 2018, p. 48). Em prosseguimento, Fielding-

97

Wells (2013) realizou um estudo de investigação matemática com base em evidências
argumentativas

e foi constatado que as práticas de argumentação apoiam a

visibilidade dos processos cognitivos, permitindo aos professores identificar e aprimorar
a compreensão dos alunos nesse quesito.
No que se refere à argumentação de modo oral, nos apoiaremos nas ideias das
interações discursivas e das abordagens comunicativas apresentadas no início desse
capítulo através dos estudos de Mortimer e Scott (2002), Carvalho e Giordian (2017),
Chiaro e Leitão (2005) e Nunes-Macedo, Mortimer e Green (2004). Todas essas ideias
serão relacionadas à perspectiva da investigação matemática proposta por Ponte et. al.
(2015), Ponte e Quaresma (2012) e por Ponte (2003; 2006) e do engajamento
nas aulas de Matemática, já que essas concepções são importantes para desenvolver
habilidades presentes no processo argumentativo.
Em paralelo, para dar suporte à argumentação escrita, nos baseamos no
trabalho de Colonnese et al. (2015) que discorre sobre a importância da análise da
escrita durante o uso da argumentação em sala de aula e oferece exemplos de como
ela pode ser obtida. Para esses autores, é importante que o aluno exponha dados,
afirmações, garantias e conclusões para dar suporte aos seus argumentos orais e
escritos e eles elencaram uma estrutura com critérios específicos, nos quais o aluno
pode saber exatamente onde expor cada tópico argumentativo, como mostra a figura 5
abaixo:
Figura 5- Exemplo de atividade para a escrita argumentativa

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação, adaptado de Colonnese et al. (2015, p. 11)

98

A ideia da atividade acima é fazer com que o aluno exponha de modo escrito o
seu argumento, tendo uma espécie de passo a passo para que ela seja realizada.
Inicialmente, há um argumento curto, em que o aluno deve analisar se concorda ou
discorda e depois terá que criar estratégias para defender sua afirmação inicial. A
atividade prossegue com o passo seguinte, que se caracteriza como evidências/
fundamentos, em que o aluno deve fundamentar a sua resposta anterior, podendo
ser através de um desenho, de um modelo representativo e utilizando ideias
matemáticas. Ao finalizar essa etapa, o aluno parte para a garantia que seria a
conexão que existe entre a etapa de evidências/fundamentos e a de afirmação e tais
etapas fazem com que o aluno acabe construindo aspectos argumentativos
importantes que outrora não iria expor se não tivesse a atividade direcionada dessa
forma, visto que os alunos não têm o costume de escrever para explicar suas soluções
nas aulas, e quando se fala dessa escrita na perspectiva argumentativa na disciplina de
Matemática, o número de alunos que a fazem se torna bem menor.
Com base nessas discussões podemos fazer variações dessas atividades
escritas, englobando aspectos como o levantamento de hipóteses, conclusão,
precisão, refutação e entre outros que podem ser inseridos de acordo com a
necessidade do planejamento da aula. Vale ressaltar que a oralidade e a escrita estão
presentes no contexto escolar desde os primórdios, mesmo que com outras
intencionalidades, porém fazer com que essas características sejam potencializadas
para se enquadrarem como parte de um processo argumentativo é um desafio que
deve ser vencido, visto que todo aluno inserido na Educação Básica precisa aprender a
argumentar e tornar natural ao longo de seu desenvolvimento o uso de argumentos e
discussões em todos os componentes curriculares, incluindo a Matemática, que nada
mais é do que conectar ideias.
Como sugestão para estimular a argumentação de modo oral e escrita, Barbosa
e Lozada (2022) propõe o uso de recursos tecnológicos. Para tanto, as autoras indicam
a plataforma Quizizz, destacando três funcionalidades que podem auxiliar na promoção
de argumentos orais e escritos que são: open-ended (permite que os alunos escrevam
as respostas, explicando o raciocínio), áudio-response (gravação das falas explicando

99

as respostas) e vídeo-response (permite gravação, realizando a explicação por meio da
oralidade conjugada com imagens), além das funções draw e slide que possibilitam
explorar o caráter visual das simbologias e textos explicativos, podendo acrescentar um
áudio ao slide. As autoras lembram que para que ocorra o processo argumentativo oral
ou escrito é necessário que o professor interaja na plataforma e na sala de aula,
estimulando as interações discursivas nas quais a argumentação pode ser
desencadeada. A seguir, veremos as relações entre a argumentação, a prova e a
demonstração.

2.5

A argumentação, a prova e a demonstração
É notório que os cursos de Licenciatura em Matemática e Bacharelado em

Matemática tem como presença marcante em toda formação a prova e a
demonstração. Os graduandos precisam rotineiramente nas aulas demonstrar
teoremas, analisar proposições, provar que algo está coerente, provar que algo é um
absurdo para se chegar em alguma conclusão, refutar afirmações e entre outros tipos
de necessidades matemáticas que exijam essas habilidades.
Existem diversas formas de demonstrações e provas que são comuns de se
usar para alcançar a certeza de que algo é correto, errado ou equivocado, caso a prova
e demonstração apresentem convencimento de que alguma afirmação é verdadeira ou
não, deveríamos dizer que elas devem ser incluídas como parte da argumentação
escolar? A argumentação permeia a vida da nossa sociedade em diversos momentos,
mesmo que a argumentação não seja possibilitada ao longo dos anos escolares como
deveria, se tornando extremamente relevante ao longo do processo de ensinoaprendizagem. Acreditamos que os docentes deveriam ser motivados a estudarem
mais a respeito da argumentação e fugirem da bolha superficial sobre o que seria
argumentar em sala de aula.
Ao longo de nossa pesquisa fizemos um levantamento sobre estudos que
falavam sobre argumentação nas aulas de Matemática e quais características eram
mais recorrentes no processo argumentativo que era escolhido. Nesse levantamento
bibliográfico, percebemos que alguns autores colocavam que o processo argumentativo

100

se limitava à realização de provas e demonstrações matemáticas rigorosas, fator que
só é mais bem aprofundado fora da Educação Básica. Além disso, notamos que
a prova aparecia muito mais caracterizada como algo ligado à argumentação do que as
justificativas e conclusões, confirmando o que Cirillo et al. (2015) constataram, que há
uma atenção muito mais específica à prova do que à justificação e argumentação em
Matemática.
No trabalho de Cirillo et al. (2015) os autores afirmam que para diferenciar
argumentação de prova/demonstração é um desafio, visto que na literatura, as
classificações oferecidas diferem de acordo com a perspectiva do pesquisador, do foco
da pesquisa e dos dados que estão sendo analisados. Ademais, os autores pontuam
que “só recentemente começamos a ver educadores matemáticos oferecendo
definições explícitas dessas construções em seu trabalho; isso é irônico, dada a
importância das definições no campo da própria matemática” (CIRILLO et al., 2015, p.
3).
Deste modo, é interessante que apresentemos algumas diferenças para estas
definições, dado o amplo sentido que estas palavras fornecem para a interpretação de
cada um, pois ao analisarmos da perspectiva mais acadêmica, a prova e demonstração
requer um rigor matemático utópico para o contexto escolar. Isso não significa que a
demonstração e a prova numa análise mais rebuscada não possa ocorrer na Educação
Básica, mas que é uma construção que para se tornar natural, deve ser implementada
desde os anos iniciais da Educação Básica, como recomenda a BNCC (BRASIL, 2018),
além

de

ter

critérios

avaliativos específicos

para

analisar

a

evolução

do

desenvolvimento dessa prova e demonstração no que se refere à justificação,
levantamento de hipóteses e conclusões, que são características que já observamos
serem essenciais durante o processo argumentativo.
Em complemento, o problema de considerar a argumentação apenas como
provas e demonstrações matemáticas fazem com que o conceito de argumentação se
restrinja ao componente curricular de Matemática ou áreas afins, fazendo com que a
riqueza de elementos argumentativos seja reduzida a algo que de fato pode nem ser
caracterizado como a argumentação que é prevista nos documentos oficiais de
Educação Básica.

101

O processo de prova e demonstração pode aparecer durante a construção da
argumentação, mas não significa que do contrário é válido, visto que um aluno
pode levantar hipóteses, justificá-las e fazer conclusões que são válidas sem que haja
necessariamente uma prova ou demonstração rigorosa (no sentido acadêmico). Um
exemplo disso, seria expor ao aluno um questionamento que pode promover aspectos
argumentativos sem que haja necessariamente uma demonstração ou prova rigorosa:

Quadro 14- Exemplificação de um questionamento

Dudu estava com um disco de vinil do cantor Bon Jovi cujo raio é igual a 5 cm, ao
colocar em sua vitrola ele percebeu que o tamanho do seu disco era maior que o
local destinado. Ele queria saber a área que corresponde o espaço que seu vinil
ocuparia. Com isso, qual seria a ideia que deveria ser utilizada para calcular essa
área? Como eu encontro a área que ele quer descobrir? Existe alguma outra
informação necessária para concluir esse questionamento?
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2020)

Num questionamento como este, o aluno pode informar que a área do vinil
corresponde à área de um círculo, cuja área pode ser expressa por A= πr², e como o
raio é igual a 5 cm, temos que A= π. 5². Isto é, a área do disco de vinil é igual a 25 π
cm². Ao analisar isso, o aluno pode refletir sobre o número π e saber se pode fornecer
outra forma de solução, caso o valor aproximado para π seja substituído. Com esse
questionamento, o aluno pode expor suas justificativas de modo escrito e/ou oral, que
pode ser uma espécie de prova para justificar sua solução, mas que não é necessário a
prova e demonstração matemática de como se chegou na fórmula da área, por
exemplo. Ou seja, é possível dar soluções com argumentações convincentes, sem
que haja a prova rigorosa de tudo que foi utilizado.
No trabalho de Barbosa e Lozada (2021) as autoras partem do pressuposto de
que a argumentação e a prova são um processo que vai do raciocínio pessoal ao
arranjo de cadeias dedutivas de argumentos e que atividades investigativas em aulas
de Matemática favorecem que os alunos expliquem, raciocinem, argumentem e provem.

102

Além do mais, as autoras deixam claro que sem direcionamentos adequados do
professor, os alunos raramente se envolvem em explicações ou argumentações durante
a aula. No caso da argumentação, pode promover a passagem do raciocínio como
processo, ou seja, produção de argumentos, para expressão de argumentos,
contribuindo para o desenvolvimento da competência argumentativa e avaliação de
textos argumentativos. Por isso, solicitar que os alunos escrevam a resposta
dissertando é também um meio de avaliar a produção de argumentos.
De modo geral, a argumentação, a prova e a demonstração de acordo com a
literatura podem ser identificadas em dois grandes aspectos: o primeiro deles seria o de
que elas seriam complementares e caracterizadas como tópicos importantes no
processo argumentativo como um todo e o segundo seria a perspectiva de que a prova
e a demonstração são elementos distintos que não precisam estar inseridos no
processo argumentativo ou são analisados sob outros olhares, como mostram os
trabalhos de Walton e Sarton (2013) e Cirillo et al. (2015).
Por conseguinte, acreditamos que a argumentação possui um sentido amplo, por
isso a delimitamos nos tópicos anteriores, para melhor direcionar nossos objetivos. Do
mesmo modo, como a prova e a demonstração geram demasiadas interpretações,
definimos aqui a demonstração e a prova como um apoio que pode ser evidenciado ao
longo de um processo argumentativo, mas que não temos o foco de estender tais
definições com a rigorosa prova e demonstração matemática no sentido acadêmico.
Entendemos que todo tipo de estratégia com o intuito de desenvolver dados, hipóteses,
conclusões, refutações e defesas de ideias possuem características importantes para o
processo argumentativo e a consideraremos válidas para a nossa pesquisa.
Nesse sentido, a ideia de demonstração e prova que mais nos contempla é a
apresentada no trabalho de Walton e Sarton (2013) em que é apresentado que a prova
e/ou demonstração serviria como um auxílio para alcançar a razão e/ou defesa numa
discussão. Daí, a prova e demonstração atuaria como “um filtro de movimento em
movimentos locais em uma troca de diálogo e como um critério de terminação que
determina o resultado da prova ou não ao final do diálogo” (WALTON; SARTON, 2013,
p. 126). Com isso, ficam expostas as ideias argumentativas, atreladas às noções de
prova e demonstração que podem ocorrer ao longo do desenvolvimento argumentativo

103

e como tais características devem ser analisadas sob o olhar da nossa pesquisa. No
tópico a seguir, trazemos a estrutura de argumentação proposta por Toulmin.

2.5.1
O modelo de Toulmin: as contribuições para a análise da estrutura de
argumentação
Na observação do que já foi apresentado sobre a argumentação e suas
principais características, percebemos que os conceitos como hipóteses, defesa,
justificação, conclusão e entre outros são recorrentes e que as premissas e conclusões
são importantes no processo argumentativo, porém Toulmin (1958) esclarece que a
estrutura argumentativa é composta pela Reinvindicação (C), Dados (D), Mandado/
Garantia (W), Qualificador (Q), Refutação (R) e o Suporte (B), abrangendo mais
elementos que outrora foram falados na visão aristotélica. Logo abaixo, na figura 6,
podemos observar um bom esquema visual para a estrutura argumentativa adaptada do
trabalho de Toulmin (1958 apud ABERDEIN, 2005):
Figura 6- Estrutura da argumentação proposta por Toulmin I

Fonte: Toulmin (1958 apud ABERDEIN, 2005)

Como citado anteriormente e observado na figura acima, a estrutura de Toulmin
(1958 apud ABERDEIN, 2005) propõe que um argumento é uma reivindicação (C)
derivada de dados (D) de acordo com um mandado (W). Além disso, o argumento pode
ter um modal qualificador (Q), como "necessariamente" ou "presumivelmente", que
explica a força do mandado. Se o mandado não fornece necessidade, suas condições
de exceção ou refutação (R) podem ser observadas. Também podemos acompanhar o
suporte (B) que sustenta o mandado, como mostrado na Figura 6. Toda essa estrutura

104

de argumentação elaborada por Toulmin merece uma análise pormenorizada de como
pode ser transposta para as aulas de Matemática, dada a sua complexidade.
Sobre a estrutura trazida por Toulmin (1958 apud ABERDEIN, 2005), os
argumentos críticos matemáticos são argumentos sobre Matemática, não argumentos
em Matemática, uma vez que eles estão apelando para o extra-matemático a fim de
resolver uma disputa que não pode ser resolvida por meios puramente matemáticos,
daí a importância de a argumentação matemática transcender cenários exclusivamente
matemáticos, encontrando apoio em outras áreas do conhecimento para se perfazer.
O autor também ressalta que o conteúdo característico da Matemática é a prova
matemática que consiste em argumentos regulares e, na maioria das vezes, constituem
uma sequência de etapas, a partir de premissas, passando por um resultado
intermediário após o outro até a conclusão eventual. Explica ainda que na maioria das
provas matemáticas de várias etapas, o qualificador (e a refutação) será o mesmo em
cada etapa, permitindo mesclar os layouts das etapas separadas em um, combinando
determinados componentes dos dados, as garantias (e, se necessário, o apoio) de cada
etapa para produzir um único layout para toda a prova. Em complemento, Aberdein
(2005) esclarece que onde diferentes etapas têm qualificadores diferentes, o
qualificador para toda a prova representaria o grau de certeza da etapa menos certa,
além de que pode existir uma ambiguidade dialética quando um argumento carrega
reconstrução de duas maneiras distintas, demonstrando que a prova pode estar mal
formulada ou constituir uma falácia.
Nesse sentido, Toulmin (2006 apud COTTICA; SEIDE, 2013, p. 320) reflete
sobre “quais são os critérios que levam o que uma pessoa diz ser avaliado como
algo bom, acertado, que merece crédito e imagina uma situação na qual um homem
tenha feito uma asserção e foi desafiado a defendê-la”. Deste modo, para ele o padrão
de uma boa argumentação não seria baseado apenas na asserção, mas também
envolve respostas às possíveis refutações que podem ser feitas, utilizando a
justificativa para afirmar o seu ponto de vista, promovendo assim um raciocínio
argumentativo. Um outro exemplo de representação da estrutura apresentada por
Toumin é a de compará-la com uma espécie de gangorra, como pode ser visto na figura
7:

105

Figura 7- Estrutura da argumentação proposta por Toulmin II

Fonte: Adaptado pela autora (2022) a partir da concepção de Toulmin (1958)

A Figura 7 mostra que a estrutura de Toulmin se assemelha a uma “gangorra”,
que mantém a reinvindicação em equilíbrio quando dada uma boa garantia para tal.
Com isso, entendemos que mesmo com a grande quantidade de informações e
elementos que a estrutura proposta por Toulmin apresenta, o professor pode identificar
e promover tais elementos argumentativos através de estratégias orais ou escritas. A
seguir, apresentaremos uma última esquematização (figura 8) desses tópicos propostos
por Toulmin (1958), com o intuito de fazer com que o leitor analise qual das
representações lhe fornece um maior nível de compreensão, quanto à estrutura desse
processo:
Figura 8- Estrutura de Toulmin (representação III)

Fonte: Adaptado pela autora (2022) a partir da concepção de Toulmin (1958)

106

Para esta dissertação, buscamos utilizar os elementos da estrutura de Toulmin
(1958) principalmente ao planejar as atividades de modo oral. Tais elementos também
aparecem ao longo das atividades escritas (não necessariamente todos os elementos),
mas eles fazem parte do planejamento docente para ser atingido durante o processo
argumentativo. Ao analisarmos um problema matemático, percebemos que os dados
(D) se encaixam com as informações que são precisas e reais, isto é, dadas no
problema. A garantia (W) irá fornecer uma justificativa, junto ao apoio (B), que pode
servir como um complemento para essa justificativa baseada nos dados. Ao fazer esse
processo, a refutação (R) irá agir como a negação das duas informações anteriores (W)
e (B), para assim se chegar a um qualificador (Q), que provavelmente será a sua
conclusão/ reinvindicação (C).
Tais características argumentativas propostas por Toulmin (1958) foram
encaixadas no planejamento das nossas atividades aqui propostas e poderão
auxiliar

professores

a identificarem esses processos que muitas vezes são

possibilitados ao longo da argumentação, mas que não é conhecido como parte de uma
estrutura coesa e extremamente relevante no que se refere aos estudos relacionados à
argumentação. Além disso, é natural que em uma situação-problema que vise a
ambientação à argumentação haja a identificação dos dados, justificativas, refutações e
conclusões, interligando as ideias já apresentadas acerca da argumentação em nosso
referencial teórico.
Com isso, trouxemos a ideia proposta por Toulmin (1958) e como os seus
elementos serão observados sob o olhar da pesquisa apresentada nesta dissertação,
que é o de unir as definições aqui já adotadas e identificar suas possíveis relações com
os elementos apresentados por Toulmin através das atividades focadas no
desenvolvimento argumentativo por parte dos alunos do 5º ano nas aulas de
Matemática.

107

2.5.2 A argumentação nas aulas de Matemática segundo Kosko e colaboradores
Estudos

recentes

de

reforma

na

Educação

Matemática

encorajam

o

envolvimento dos alunos na argumentação e sugerem que isso pode melhorar sua
compreensão da Matemática (NCTM, 2007). Através disso, os alunos devem ser
possibilitados a construir argumentos viáveis e ter criticidade quanto ao raciocínio e
afirmações que lhes são apresentadas (STAPLES et al. 2016). Neste tópico,
abordaremos o modelo de argumentação matemática proposto por Kosko de modo
mais aprofundado, que a define como sendo “um processo de validação de uma
afirmação” (KOSKO; GUILFORD, 2018, p. 43).
Para Kosko e Singh (2016) o desenvolvimento do argumento matemático na
Educação Básica é relativamente ignorado, embora várias descrições e modelos de
como as crianças se envolvem em argumentação e/ou prova matemática mais
sofisticada tenham sido propostas, a grande maioria das tais descrições se concentram
apenas em argumentos generalizados. Eles prosseguem informando que esse viés
para a generalização é compreensível, dada a necessidade de generalização no
desenvolvimento desejado de processos de prova. No entanto, há a negligência dos
aspectos da argumentação matemática infantil que podem preceder a inferência e a
generalização.
Neste sentido, Kosko e Guilford (2018) afirmam que pelo fato de a argumentação
ser um gênero que perpassa as múltiplas áreas de conhecimento é necessário que haja
a distinção e nitidez entre a argumentação matemática e outras formas de
argumentação, principalmente nos anos iniciais. Além disso, quando os alunos se
envolvem em argumentação, eles estão transmitindo suas experiências matemáticas e
a forma como os alunos transmitem essas experiências é significativamente importante
(KOSKO; GUILFORD, 2018).
De acordo com a definição proposta por Kosko e Guilford (2018) entende-se que
a argumentação é um processo e identificar onde os alunos dos anos iniciais estão
envolvidos nesse processo pode ser uma tarefa difícil. Segundo Kosko e Wilkins (2015)
o envolvimento efetivo do aluno durante uma atividade discursiva não ocorre

108

rapidamente após o professor implementar tais práticas em sala de aula, sendo uma
transição lenta que exige que os alunos atuem com autonomia, visto que o professor
tende a facilitar a discussão e interação em vários momentos do processo de
aprendizagem. Ademais, Kosko e Wilkins (2015) sinalizam que a implementação da
argumentação em sala de aula faz com que, ao longo do tempo, os alunos socializem
soluções matemáticas autônomas e se envolvam em ações discursivas mais efetivas.
O processo argumentativo proposto por Kosko e Guilford (2018, p. 44) se
assemelha ao que Toulmin (1958) também apresenta em seu trabalho, visto que para
os autores:
Um argumento matemático envolve a construção de informações fornecidas em
uma tarefa para propor declarações que suportem uma afirmação. Essas
declarações que conectam as informações fornecidas com a reivindicação
recebem muitos nomes (garantias, proposições e entre outros).

A partir disso, Kosko e Guilford (2018) defendem que algumas dessas
declarações servem de funções que passam de um ponto a outro em um argumento,
enquanto outras fazem um pouco mais (justificam por que algumas declarações são
apropriadas). No sentido prático, as declarações de algumas crianças são menos
precisas do que as de outras e incluem algumas, mas não todas, partes de uma
explicação completa, tornando o processo argumentativo ainda mais complexo de se
analisar.
Diante de tantas características apresentadas durante o processo argumentativo,
Kosko e Guilford (2018) elaboraram um esquema de classificação para a
argumentação matemática, que inclui recontagens matemáticas, procedimentos,
descrições e explicações. Durante a recontagem matemática os alunos irão informar
o que fizeram numa tarefa, mas não são consistentemente explícitas sobre a
Matemática. Já na parte procedimental é esperado que os alunos transmitam ações
matemáticas explícitas, mas as justificativas podem estar ausentes ou não explícitas
(KOSKO; GUILFORD, 2018). No que se refere à descrição matemática é esperado
que o aluno forneça uma justificação nítida e explícita, podendo fornecer também uma
explicação matemática, incluindo uma justificativa que identifica nitidamente uma
definição, propriedade ou regra matemática. Para Kosko e Guilford (2018) os alunos
que apresentam apenas descrições matemáticas ao invés de explicações podem

109

precisar de um auxílio para serem mais explícitos a fim de promover a argumentação de
modo holístico. Logo abaixo, no quadro 15, há uma sintetização do esquema
argumentativo proposto por Kosko e Guilford (2018):
Quadro 15- Exemplificação de um questionamento
Tópicos do processo argumentativo
Recontagem Matemática

Descrição
Informar o que foi feito em uma tarefa, mas
não há algo explícito matematicamente em
sua explicação.
Procedimentos
Ações matemáticas explícitas e justificativas
ausentes ou não explícitas
Descrições
Fornece uma justificação nítida e explícita
Explicações
Identifica nitidamente uma definição,
propriedade ou regra matemática
Fonte Elaborado pela autora da dissertação, adaptado de Kosko e Guilford (2018)

É importante frisar que nem sempre as tarefas irão solicitar a argumentação por
parte dos alunos, por isso é essencial que as tarefas sejam bem direcionadas para se
cumprir o objetivo almejado pelo professor, pois em uma tarefa simplista, as soluções
também tendem a ser simplistas (KOSKO; GUILFORD, 2018). Além disso, Kosko e
Herbst (2012) apontam que o professor desempenha um papel de extrema relevância
durante a promoção da argumentação, onde deve existir a formulação de perguntas
que apresenta aos alunos o contexto das atividades didáticas. Segundo Kosko e Herbst
(2012), quando o professor solicita a solução de problemas, descrição das estratégias
utilizadas e explicação das respostas expostas através da argumentação, seja escrita
ou oral, há um maior engajamento e ganho no desempenho da área de conhecimento
que se está trabalhando. Outrossim, os autores enfatizam que a escolha de tarefas
adequadas é uma habilidade crucial para os professores de Matemática, e que é
importante que esses professores sejam capazes de refletir criticamente sobre suas
escolhas e adaptá-las para atender às necessidades específicas de seus alunos
(KOSKO; HERBST, 2012).
Através dessa reflexão Kosko e Guilford (2018) desenvolveram três regras
práticas para a criação de tarefas que podem promover uma escrita mais detalhada. A
primeira regra é a criação de uma tarefa que não seja simplista, pois os alunos não se
aprofundarão para uma solução mais robusta da tarefa. A segunda regra se concentra
na estrutura do número e na sentença de número, em que os alunos geralmente

110

escrevem com mais detalhes e precisão. Por exemplo, ao solicitar que o aluno resolva
32+25= 13 + ? sem adicionar o total em nenhum dos membros incentiva a composição
e decomposição de números para relacionar a estrutura dos números em cada lado da
equação para encontrar uma solução. Por fim, a terceira regra apresentada por Kosko e
Guilford (2018) é a de fornecer exemplos de estratégias de solução já feitas por alguns
alunos e pedir para que as crianças, no caso dos anos iniciais, expliquem ou critiquem
aquilo que foi feito. A terceira regra é relevante porque faz com que os alunos sejam
provocados a criticar e discutir entre seus pares as possíveis soluções e verificar se a
solução apresentada é correta ou não. De modo geral, as três regras podem ser
observadas no quadro 16 abaixo:

Quadro 16- Regras para a criação de tarefas
Regra
1ª
2ª

Descrição
Tarefa não simplista
Concentração na estrutura do número e na
sentença do número
3ª
Apresentação de exemplos de estratégias de
solução já feitas por alguns alunos e pedir
para que os estudantes inseridos na
atividade proposta, expliquem ou critiquem
aquilo que foi feito.
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação, adaptado de Kosko e Guilford (2018)

Unindo o esquema de classificação da argumentação e as regras para a criação
das tarefas, a figura 9 mostra um exemplo adaptado do que pode ser apresentado ao
aluno como meio de promover discussões e argumentações orais e/ ou escritas:

111

Figura 9- Exemplificação de um questionamento

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação, adaptado de Kosko e Guilford (2018)

Note que ao fazer com que o aluno realize a recontagem matemática,
procedimentos, descrição e explicação de suas justificativas, há uma ligação direta com
as definições argumentativas propostas por Leitão (2012), visto que há uma defesa de
ponto de vista, para que o aluno defenda se a solução estaria correta ou não. Além
disso, as ideias propostas por Kosko e Guilford (2018) e Kosko e Wilkins (2015) se
unem com as de Toulmin (1958) no que se refere às reinvindicações, garantia e
fundamentos em paralelo com as declarações que dão suporte a uma afirmação,
propostas por (KOSKO, GUILFORD, 2018). As atividades e tarefas propostas nessa
dissertação uniram as principais ideias da concepção de argumentação de autores que
seguissem linhas complementares, como meio de buscar promover a argumentação em
sala de aula.

112

Apesar da classificação do processo argumentativo e das instruções para a
criação de uma tarefa matemática que promova a argumentação apresentadas por
Kosko e Guilford (2018) sejam úteis para tornar a argumentação matemática dos alunos
mais explícitas e precisa, não é garantido que todos os alunos falem ou escrevam de
modo nítido e preciso. Além disso, quando um aluno fornece uma justificativa, tal
justificativa estará correta se for considerada uma razão aceita para fazer algo.
Segundo Kosko e Guilford (2018, p. 46):
As razões matemáticas aceitas estão relacionadas a alguma faceta da atividade
generalizadora, como examinar relações, derivar uma regra ou definição
matemática ou aplicar a matemática a um novo cenário. Assim, as justificativas
que examinam as relações podem ser transmitidas tacitamente por meio da
relação de objetos matemáticos ou explicitamente por meio da identificação da
relação.

Com isso, entende-se que as justificativas que se concentram em uma regra ou
definição matemática podem ser transmitidas de modo implícito por meio de uma
descrição da pesquisa através de vários exemplos ou através da declaração de uma
definição, propriedade ou regra matemática (KOSKO; GUILFORD, 2018). Os autores
prosseguem esclarecendo que devido aos diferentes tipos de justificação (tácita ou
explícita) é compreensível que muitas vezes essas diferenças passem despercebidas
pelos professores ao analisar a escrita de seus alunos, diante da profundidade de
conhecimento que se tenha acerca dos processos argumentativos e da justificação.
Outro fator que Kosko e seus colaboradores destacam durante a inserção da
argumentação nas aulas de Matemática, que se relaciona com o que abordamos
anteriormente, é a dúvida presente entre o que seria prova, justificação e
argumentação. No estudo de Cirillo et al. (2015) é exposto que apesar de haver um
consenso sobre a importância desses conceitos para a aprendizagem da Matemática,
há uma falta de clareza em relação às suas definições e aplicações. Segundo Cirillo et
al. (2015) a argumentação, justificativa e prova são conceituadas de várias maneiras na
literatura de Educação Matemática existente. Por vezes, as descrições desses objetos e
processos são compatíveis ou complementares; outras vezes, são inconsistentes e até
contraditórios. As inconsistências nas definições e uso dos termos argumentação,
justificação e prova destacam a necessidade de mais trabalhos acadêmicos abordando
essas e outras construções relacionadas (CIRILLO et al. 2015).

113

Através dessas problemáticas, Cirillo et al. (2015) concluem que argumentação,
justificação e prova são conceitos inter-relacionados, mas distintos. Enquanto a
argumentação é um processo que envolve a apresentação de razões para uma
determinada afirmação, a justificação é a apresentação de evidências que apoiem
essas razões, e a prova é a confirmação da validade dessas evidências. Partindo dessa
ideia de se analisar a argumentação, justificação e prova de modo inter-relacionado,
Kosko (apud STAPLES et al, 2016) criou um diagrama que pode ser observado na
figura 10:
Figura 10- Versão traduzida do diagrama proposto por Kosko

Fonte: Diagrama proposto por Kosko (2016, p. 38) em um trabalho desenvolvido com Staples et
al. (2016)

No diagrama acima, Kosko (apud STAPLES et al, 2016) mostra que a prova
seria um subconjunto do argumento e uma prova, no entanto, poderia servir como uma
justificação (um exemplo simplista é um teorema que foi comprovado servindo como
justificativa em outra prova). Da mesma forma, Kosko (op. cit) afirma que um argumento
poderia servir como justificação (embora não necessariamente no contexto da prova). É
válido ressaltar que tantos conhecimentos sobre argumentação, justificativa e prova
devem ser estudados pelo docente antes da inserção da argumentação em sala de

114

aula, com o intuito de saber os conceitos básicos que envolvem a argumentação e suas
demais vertentes.
Fazer com que os alunos se engajem na justificação e argumentação
matemática é um processo difícil para eles e também para os professores, no que se
refere a interpretar se um aluno está fornecendo uma justificativa matematicamente
suficiente ou não (KOSKO; GUILFORD, 2018). Ainda nessa perspectiva, Kosko e
Wilkins (2015) verificaram em seus estudos que embora a implementação da
argumentação seja gradual, ao longo do tempo dessa implementação há um maior
encorajamento por parte do docente na realização de perguntas investigativas (por
exemplo, por que, explique como). À medida que se faz perguntas mais investigativas,
é solicitada as descrições dos alunos, mas a maioria das explicações significativas
ainda podem partir do professor. No entanto, quando se trabalha mais a promoção da
autonomia, os alunos podem começar a fornecer descrições matemáticas mais
completas e a responder às declarações uns dos outros, promovendo a argumentação
através de explicações e justificativas.
Kosko e Wilkins (2015) argumentam que a autonomia é fundamental para o
sucesso dos alunos em Matemática e que os professores desempenham um papel
importante na promoção dessa autonomia. Em essência, deve-se permitir aos alunos
um certo grau de autonomia antes de se envolverem na qualidade da argumentação
matemática que inclui justificativas, explicações e ouvir as contribuições dos outros
(KOSKO; WILKINS, 2015). Além disso, os autores apresentam um esquema que
relaciona a autonomia (Figura 11), discussão/ argumentação e o tempo:
Figura 11- Esquema da autonomia, tempo e discussão

Fonte: Kosko e Wilkins (2015)

115

Neste esquema foi feito um modelo de crescimento simples de argumentação no
qual foi permitido relacionar o tempo que influencia na autonomia e discussão em sala
de aula e nele é possível perceber que para a promoção da argumentação/ discussão,
é

necessário

um

certo

período

para

a

implementação

da

autonomia

e

consequentemente da argumentação/discussão.
Percebemos

que

as

ideias

de

autonomia,

engajamento

e

atividades

investigativas surgem inevitavelmente durante o processo argumentativo e vão ao
encontro do que já foi discutido acerca desses temas por meio dos estudos de Ponte
(2003), Sasseron e Souza (2019) e Araújo e Mazur (2013), enaltecendo a relevância da
argumentação matemática no meio escolar, mostrando os benefícios que podem ser
obtidos mesmo após um período gradual de implementação da argumentação nas
aulas de Matemática.
No próximo tópico, serão abordados os padrões de interações discursivas nos
quais a argumentação pode emergir.

2.5.3 O padrão I-R-F ou I-R-A: contribuições e desvantagens para o processo
de argumentação e para as interações discursivas
Enaltecemos anteriormente a importância das interações discursivas em sala de
aula, desde o contexto do professor ao contexto que o aluno está inserido e foi
percebido que em uma sala de aula há interações verbais que são bastante previsíveis
na relação entre professor e aluno, gerando uma espécie de padrão discursivo que
ocorre durante o processo de ensino e aprendizagem.
Muitas vezes, no contexto escolar ainda predomina a visão hierárquica entre
professor e aluno, em que o professor é o único detentor do conhecimento e faz com
que os alunos não atuem como protagonistas da construção de seu conhecimento.
Além disso, as relações presentes na abordagem comunicativa entre professor-aluno e
aluno-aluno levanta o questionamento de como se dá esse padrão discursivo
“previsível” em sala de aula e como ele pode ser benéfico ou maléfico para a
aprendizagem de probabilidade no 5º ano do Ensino Fundamental.

116

Para Aguilar Júnior e Nasser (2012), o modelo de ensino que geralmente é
ofertado não estimula o aluno a ser participante do processo de aprendizagem, mas
sim um mero espectador que recebe inúmeras informações sem significado ou sentido
para ele. Eles ainda complementam que os professores possuem uma certa dificuldade
em analisar a justificativa feita por seus alunos, considerando muitas vezes somente o
cálculo numérico como ideal de solução, reproduzindo o rigor que outrora era exigido
no meio acadêmico, sem conseguir fazer a separação entre a academia e a realidade
do contexto escolar (AGUILAR JÚNIOR; NASSER, 2012).
Chiaro e Leitão (2005) afirmam que a relação assimétrica ainda presente entre
professor e aluno, junto com a previsibilidade dos resultados presentes nas discussões
em sala de aula fazem com que este ambiente se torne um local pouco propício para a
argumentação. As autoras ainda asseguram que as ações discursivas e a mediação do
professor se tornam essenciais na implementação da argumentação em sala de aula.
No trabalho de Solino e Sasseron (2019, p. 579) as interações discursivas ou a
linguagem que são propiciadas em sala de aula vão ser “cruciais na transformação do
pensamento cotidiano para o pensamento conceitual ou científico e é, por esta razão,
que se torna fundamental que a professora crie um ambiente dialógico entre os alunos
para que haja desenvolvimento cognitivo”.
Além disso, como a argumentação se relaciona às interações verbais em sala de
aula, observamos na pesquisa de Mortimer e Scott (2002) a constatação de que há
padrões de interação em sala de aula entre professor e aluno que podem favorecer um
melhor aprendizado e consequentemente argumentações mais sólidas e válidas. Com
isso, entendemos que a argumentação tem relações diretas com as interações verbais,
que podem ser desenvolvidas ao longo do ensino de probabilidade, utilizando os
conceitos de acaso, eventos aleatórios, espaço amostral e outros conceitos que fazem
parte do cotidiano dos alunos, promovendo discussões válidas que favoreçam uma
boa argumentação e contribuindo para o cumprimento dos objetivos do nosso trabalho.
Um dos padrões mais recorrentes no ensino brasileiro é o I- R-A (IniciaçãoResposta- Avaliação do professor) ou o I-R-F (Iniciação- Resposta- Feedback do
professor), em que o professor inicia o processo dialógico, realizando algum
questionamento ao aluno, obtém uma resposta simplista como “sim” ou “não” e finaliza

117

este turno com uma avaliação ou fornecendo um feedback se o que foi respondido pelo
aluno foi correto ou não. Contudo, não deveria existir uma limitação ao questionamento
do aluno e resposta do professor, visto que concentrar a aula na mera pergunta do
professor, resposta do aluno e feedback do professor em determinado questionamento
não produzirá justificações, nem desenvolverá conceitos que se aproximem de uma
argumentação convincente.
Neste sentido, ao explorar um dos estudos de Carvalho e Giordian (2017) que
teve o objetivo de analisar as interações e padrões em sala de aula com alunos do 5º
ano do Ensino Fundamental relacionando o ensino de Ciências com essas interações,
houve a confirmação de que há uma tendência de controle excessivo por parte dos
professores nas discussões que são feitas por meio dos questionamentos durante o
magistério. Os autores prosseguem colocando que quando o aluno procura romper com
essas estruturas triádicas, cria-se um conflito, visto que há uma modificação da
dinâmica das interações em sala de aula que de certo modo “foge” do controle do
professor (a) e por isso é evitado ou reprimido em maioria dos métodos práticos de
ensino, visto que o professor (a) pode analisar essa quebra de tríade como algo
negativo, fazendo com que a tríade I-R-A ou I-R-F prevaleça no sentido estrutural e
temático.
Ademais, Nunes-Macedo, Mortimer e Green (2004, p. 28) concluíram em sua
aplicação nessa vertente discursiva que existiram poucos questionamentos dos alunos
para com a professora, “o que significa que o discurso na sala de aula tem funções
diferentes para os participantes; alunos e professora assumem papéis sociais que
marcam uma assimetria ou hierarquia na relação de ensino”.
Diante disto, se faz necessário que em nossa pesquisa, haja uma preocupação
em fazer com que esses padrões triádicos e papéis puramente assimétricos ocorram
com menor frequência, a fim de promover um ambiente argumentativo, no qual o
professor possa estimular um padrão dialógico não triádico como destacam Mortimer e
Scott (2002):
Em algumas interações o professor apenas sustenta a elaboração de um
enunciado pelo aluno, por meio de intervenções curtas que muitas vezes
repetem parte do que o aluno acabou de falar, ou fornecem um feedback para
que os estudantes elaborem um pouco essa fala. Essas interações geram
cadeias de turnos não triádicas do tipo I-R-P-R-P... ou I-RF-R-F.... onde P

118

significa uma ação discursiva de permitir o prosseguimento da fala do aluno e F
um feedback para que o aluno elabore um pouco mais sua fala (MORTIMER;
SCOTT, 2002, p. 288).

Diante disso, percebemos que o padrão que contempla a tríade I-R-A ou I-R-F é
o mais comum em sala de aula, porém entendemos que limitar a sala de aula apenas à
essa tríade não possibilita que o aluno desenvolva elementos argumentativos
suficientes, visto que não haveria espaço para uma discussão. Ainda que seja difícil
promover ambientes argumentativos nas aulas de Matemática é importante que o
professor, mesmo consumindo um certo tempo em uma aula exploratória e discursiva,
possa fazer com que suas interações discursivas fujam da tríade, como proposto por
Mortimer e Scott (2002).
Para isso, é preciso que o docente tenha em mente que os questionamentos
que devem ser feitos a fim de fugir do padrão I-R-F ou I-R-A devem ser bem mais
intencionados, visto que a sala de aula pode aderir ou não a esta tentativa de inserção
do processo argumentativo que prevê uma discussão mais longa que a habitual. Além
disso, fazer com que as aulas possuam padrões diferentes dos já mencionados faz com
que o docente crie estratégias de como engajar os alunos a participarem das aulas com
mais convicção, propriedade e criticidade em relação ao tema proposto, em nosso
caso, a probabilidade. No tópico seguinte, apresentamos uma forma de promover a
argumentação na sala de aula verificando o tipo de interação discursiva predominante.

2.5.3.1 O uso da argumentação nas aulas de Matemática durante as atividades de
Resolução de Problemas (RP): uma análise da contribuição das interações
discursivas visando o desenvolvimento de conceitos de probabilidade nos anos
iniciais do Ensino Fundamental
O atual cenário da Educação sinaliza que os professores precisam inovar ainda
mais seus métodos de ensino e se reinventar a cada dia, visto que com a pandemia do
Covid 19 em 2020 e a adoção do ensino remoto, ficou evidente o descompasso entre o
sistema de ensino e a transformação digital. No que diz respeito à rede pública, esta foi
veementemente afetada, trazendo à tona novamente questões como evasão escolar e
analfabetismo, que pareciam ter sido mitigadas, provocadas desta vez, pela

119

inviabilidade de acesso às aulas em virtude da falta de recurso tecnológico. Contudo,
cabe ressaltar que documentos curriculares como Parâmetros Curriculares Nacionais,
publicados no final dos anos 90, e a Base Nacional Comum Curricular publicada em
2018, já mencionavam a importância da inserção das tecnologias digitais de informação
e comunicação no contexto educativo, no entanto, não foram plenamente implantadas
pelas políticas públicas.
Antes do ensino híbrido e remoto, adotados no período pandêmico de
2020/2021, diversos alunos já tinham aversão pela disciplina de Matemática e com a
nova dinâmica de aulas através das plataformas de webconferência, percebe-se que
muitos alunos têm mais dificuldade no aprendizado de Matemática e de outras
disciplinas do que no modo presencial, pois há vários fatores que contribuem, como
problemas com a conexão e/ou falta de pacote de dados para o acesso, falta de
equipamentos tecnológicos, falta de auxílio familiar com as atividades escolares, o
professor pode não ter domínio da tecnologia e dos recursos que estão sendo utilizados
e/ou não possui equipamentos adequados, entre outros.
Outro aspecto observado no ensino remoto é a baixa e/ou nenhuma participação
dos alunos durante as aulas, em que na maior parte do tempo os alunos ficam com o
microfone e câmeras desligados, e quando o professor faz um questionamento acerca
do conteúdo, o silêncio é mantido.
Por outro lado, não é novidade que a disciplina de Matemática é considerada um
terror para muitos alunos (SANTOS, 2008), não sendo um problema atual, mas um
problema comum. Isso faz com que as pessoas acreditem em uma Matemática
distante, complexa e que é compreendida apenas por pessoas com altas habilidades ou
as consideradas inteligentes. Esses estereótipos são criados por um discurso
historicamente construído e endossado pela mídia como coloca Silveira (2011).
Com o tempo, essas visões se cristalizam e “passam adiante sedimentando uma
rede de impressões, juízos e desconfianças relativos à Matemática que se antecipa a
qualquer esforço mais sistemático de aprendizagem e alimenta um círculo vicioso”
(SANTOS, 2008, p. 32). Assim, muitos alunos chegam à escola com uma ideia préconcebida sobre a Matemática, causando-lhe resistências internas à aprendizagem e
aversão à Matemática, o que pode se arrastar por toda a sua trajetória escolar,

120

impedindo o desenvolvimento de habilidades e competências necessárias para lidar
com a Matemática em seu cotidiano. Essa visão traz outra consequência que é a forma
com que o aluno internaliza a dinâmica da aprendizagem de Matemática como
reprodução, sem conexão com seu cotidiano, porque na maior parte das vezes, o
ensino de Matemática se resume à aprendizagem procedimental, manipulação de
algoritmos e quase nenhuma aplicação do conhecimento.
Pozo e Crespo (2009, p. 23) afirmam que “a aprendizagem escolar tende a exigir
dos alunos aquilo para o que eles estão menos dotados: repetir ou reproduzir as coisas
com exatidão”. Os autores prosseguem afirmando que a aprendizagem não é
reproduzir ou fazer fotocópias daquilo que está sendo ensinado, destacando também
que ensinar não se baseia em fazer um envio rápido que vai diretamente para a mente
do aluno, esperando que o aluno reproduza exatamente aquilo no dia da prova (POZO;
CRESPO, 2009)
Diante disso, qual o papel do professor de Matemática mediante esse cenário?
Quais metodologias ou recursos pedagógicos poderiam ser utilizados para que os
alunos possam melhor entender a Matemática e expor suas opiniões, justificativas,
certezas e dúvidas?
Acreditamos que um dos caminhos que o professor de Matemática pode buscar
inserir em suas aulas, independente da modalidade de ensino (remoto, presencial ou
híbrido), é o uso da oralidade e argumentação, visto que a argumentação é considerada
uma das competências gerais da BNCC (BRASIL, 2018, p. 9), podendo contribuir para
o aprendizado, criticidade e maior participação dos alunos:
Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular,
negociar e defender ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e
promovam os direitos humanos, a consciência socioambiental e o consumo
responsável em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em
relação ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta.

Além disso, é válido destacar que o professor deve analisar as interações
discursivas que ocorrem nas aulas de Matemática, verificando como os alunos se
comunicam, estruturam e manifestam suas ideias matemáticas, no que diz respeito à
construção dos conceitos matemáticos, justificação das estratégias de resolução de
problemas, levantamento de hipóteses e como confirmam ou refutam as hipóteses,
como fazem conjecturas, como questionam as respostas dos colegas.

121

Por outro lado, o papel do professor para a promoção das interações discursivas
é de suma relevância, pois em geral articula estratégias enunciativas (MORTIMER et
al., 2007) que ocorrem a partir de sua ação comunicativa para iniciar um conteúdo,
colocar uma problematização, indagar acerca de resultados de uma tarefa matemática
e, deste modo, as interações discursivas podem surgir e a argumentação se manifestar.
Kosko, Rougee e Hersbt (2014) inclusive apontam que o uso de estratégias de
questionamento pelo professor é um componente-chave da argumentação matemática,
e para ser eficaz, o professor deve pedir aos alunos que expliquem e justifiquem as
suas resoluções para as tarefas matemáticas e compreensões acerca do conteúdo. Os
autores afirmam que a argumentação dos alunos deve servir como base para o
professor investigar como o aluno compreende os conceitos matemáticos e desenvolve
seu raciocínio.
Rojo (2001, p. 104) pontua acerca da importância das interações discursivas nas
aulas, afirmando que devem implicar em “uma análise que pretenda iluminar a
construção do discurso e do conhecimento a partir de trocas linguísticas em sala de
aula, não pode senão ter como base o próprio fluxo de discurso na interação”.
Entendemos que a sala de aula, seja ela virtual ou presencial, é um espaço de relações
sociais em que a linguagem é um elemento essencial para a construção do
conhecimento e formação dos alunos, como seres situados em contextos históricos e
culturais (NUNES-MACEDO; MORTIMER; GREEN, 2004), amplamente ricos que estão
na escola e além dela.
Por sua vez, a metodologia de resolução de problemas quando aplicada
adequadamente pode estimular as interações discursivas e o processo argumentativo
nas aulas de Matemática. Cabe frisar que o PISA 2021 (Programa Internacional de
Avaliação de Estudantes), que tem como foco a alfabetização matemática, estabelece a
relação entre argumentação e resolução de problemas ao tratar do raciocínio
matemático e pontuar que na resolução de problemas, os alunos devem construir e
comunicar explicações, justificativas e argumentos sobre as estratégias utilizadas para
se chegar à solução.
Hershkowitz, Tabach e Dreyfus (2017) corroboram com o que o PISA 21 coloca,
afirmando que a argumentação está relacionada ao processo de raciocínio, uma vez

122

que a argumentação implica em fazer análise de informações de resultados de
processo de raciocínio sobre procedimentos e estratégias para encontrar uma solução,
os resultados da análise serão comunicados e que na argumentação se busca
justificativa para as crenças, atitudes e valores para influenciar a outra parte.
Desta forma e, centrando na problemática aqui exposta, apresentamos uma
análise da aplicação de uma tarefa para promover a argumentação por meio da
resolução de problemas.
Em complemento, à questão de pesquisa central desta dissertação, levantamos
a seguinte questão norteadora, enunciando desta forma: Qual a contribuição da
argumentação durante a Resolução de Problemas para a aprendizagem de conceitos
matemáticos nos anos iniciais do Ensino Fundamental?
Buscaremos apresentar pontos pertinentes sobre o tema, a fim de se fazer
conclusões e obter respostas para a questão de norteadora, trazendo perspectivas para
reflexões e mudanças a respeito da dinâmica das aulas de Matemática com vistas à
promoção de interações discursivas com maior frequência para a construção do
conhecimento probabilístico nos anos iniciais do Ensino Fundamental.

2.5.3.2 Estruturando as ações docentes para o trabalho com a argumentação nas
aulas de Matemática
Um dos caminhos que visam uma melhor compreensão acerca dos conteúdos de
Matemática pelos alunos, fornecendo-lhes mais segurança e articulação coerente e
consistente das ideias matemáticas, seria o uso da argumentação nas aulas. Juntandose à argumentação, a análise das interações que ocorrem durante a prática docente,
serve para que professor possa refletir e observar aquilo que está sendo feito em sala
de aula, se está restringindo e limitando o aluno em suas ações orais, ou valorizando
apenas suas contribuições escritas e/ou reproduções exatas do conteúdo exemplificado
durante o processo de aprendizagem, ou seja, uma aula em que problematizações não
figuram nas situações didáticas propostas. Ademais, Nacarato (2012, p. 25) pontua
que:
A postura indagadora e problematizadora do professor, como mediador do
processo, é fundamental. Ele precisa aprender a dar tempo para os alunos se

123

colocarem, expressarem suas ideias, evitando dar respostas prontas, mas
sempre instigando o grupo com novas questões. Um professor questionador
promove o desenvolvimento de alunos também questionadores e autônomos
intelectualmente.

Na observação das práticas docentes, nota-se que apesar de todos os avanços
ao longo da história envolvendo os métodos de ensino, muitas vezes o aluno vai à
escola e assume o papel de mero espectador, em que simplesmente assiste o que está
sendo supostamente ensinado pelo professor. Sabe-se também que há uma dificuldade
em motivar o aluno e fazê-lo participar das aulas, para assim construir de forma ativa o
novo conhecimento. Com isto, surge a reflexão em como inserir métodos de ensino e
recursos pedagógicos que possam fazer com que o aluno seja protagonista e tenha a
possibilidade de se tornar crítico e reflexivo quanto ao mundo em que vive.
O uso da argumentação em sala de aula pode ser um dos caminhos para os
alunos participarem das aulas com mais frequência, principalmente quando o professor
propicia esses momentos de modo adequado, visando a promoção do aprendizado.
Leitão (2007) concebe a argumentação como sendo uma atividade discursiva que pode
ser caracterizada através da defesa de pontos de vista, além de considerar
perspectivas contrárias. Nesse mesmo trabalho, a autora afirma que a “necessidade
comunicativa de defender um ponto de vista e responder à oposição cria, no discurso,
um processo de negociação no qual concepções sobre o mundo (conhecimento) são
formuladas, revistas e transformadas” (LEITÃO, 2007, p. 75).
Ademais, como já mencionamos, a Base Nacional Comum Curricular (BRASIL,
2018) -

que prevê competências e habilidades a serem desenvolvidas durante a

Educação Básica - pontua que a argumentação é considerada essencial, devendo ser
utilizada no contexto escolar, podendo contribuir para o aprendizado. O NCTM (National
Council of Teachers of Mathematics), principal entidade que trata dos currículos norteamericanos da Educação Básica e com influência mundial, recomenda que a prática
docente em Matemática deve possibilitar aos alunos a construção de argumentos
viáveis para que analisem e critiquem o raciocínio de outros. O documento coloca que é
importante que o aluno desenvolva conjecturas, explore-as e verifique a veracidade
delas, e corroborando com o PISA 21 relaciona a argumentação ao processo de
raciocínio.

124

Hahn e Oaksford (2012) explicam que as habilidades de argumentação não são
desenvolvidas facilmente e que atividades realizadas conjuntamente em sala de aula
podem contribuir para desenvolver a competência argumentativa, pois consideram a
argumentação como uma prática social que ocorre em diferentes contextos.
A argumentação vai além de uma resposta dada pelo aluno; ela tem que ser
respaldada em uma boa justificativa, defesa, persuasão, reinvindicação, dentre outros
aspectos, como observado no trabalho de Fielding-Wells (2013). Em complemento,
Leitão (2013, p. 87) constata que a argumentação é “uma atividade discursiva
privilegiada em relação ao processo de construção do conhecimento porque nela o
argumentador é

confrontado

com perspectivas alternativas (dúvidas,

críticas,

argumentos contrários) às quais precisa responder”.
Toulmin (1958) apud Aberdein (2005) traz uma estrutura da argumentação. Ele
começa com o pensamento de que um argumento é uma reivindicação (C) derivada de
dados (D) de acordo com um mandado (W). O argumento pode ter um modal
qualificador (Q), como "necessariamente" ou "presumivelmente", que explica a força do
mandado. Se o mandado não fornece necessidade, suas condições de exceção ou
refutação (R) podem ser observadas. Também podemos acompanhar o suporte (B) que
sustenta o mandado. A estrutura da argumentação está representada graficamente na
Figura 12:
Figura 12- Estrutura da argumentação

Fonte: Aberdein (2005)

125

Sobre a estrutura trazida por Toulmin (1958), Aberdein (2005) explica que os
argumentos críticos matemáticos são argumentos sobre Matemática, não argumentos
em Matemática, uma vez que eles estão apelando para o extra-matemático a fim de
resolver uma disputa que não pode ser resolvida por meios puramente matemáticos,
daí a importância da argumentação matemática transcender cenários exclusivamente
matemáticos, encontrando apoio em outras áreas do conhecimento para se perfazer.
O autor também ressalta que o conteúdo característico da Matemática é a prova
matemática que consiste em argumentos regulares e, na maioria das vezes, constituem
uma sequência de etapas, a partir de premissas, passando por um resultado
intermediário após o outro até a conclusão eventual. Explica ainda que na maioria das
provas matemáticas de várias etapas, o qualificador (e a refutação) será o mesmo em
cada etapa, permitindo mesclar os layouts das etapas separadas em um, combinando
determinados componentes dos dados, as garantias (e, se necessário, o apoio) de cada
etapa para produzir um único layout para toda a prova.
Aberdein (2005) esclarece que onde diferentes etapas têm qualificadores
diferentes, o qualificador para toda a prova representaria o grau de certeza da etapa
menos certa, além de que pode existir uma ambiguidade dialética quando um
argumento carrega reconstrução de duas maneiras distintas, demonstrando que a
prova pode estar mal formulada ou constituir uma falácia.
Toulmin (2006 apud COTTICA; SEIDE, 2013, p. 320) reflete sobre “quais são os
critérios que levam o que uma pessoa diz ser avaliado como algo bom, acertado, que
merece crédito e imagina uma situação na qual um homem tenha feito uma asserção e
foi desafiado a defendê-la”. Deste modo, para Toulmin (2006 apud COTTICA; SEIDE,
2013) o padrão para uma boa argumentação não seria baseado apenas na asserção,
mas também envolve respostas às possíveis refutações que podem ser feitas,
utilizando a justificativa para afirmar o seu ponto de vista, promovendo assim um
raciocínio argumentativo (COTTICA; SEIDE, 2013).
Toda essa estrutura de argumentação elaborada por Toulmin mereceu uma
análise pormenorizada de como pode ser transposta para as aulas de Matemática,
dada a sua complexidade em um tópico anterior da dissertação.

126

Albano e Iacono (2019) partem da ideia de que a argumentação e a prova são
um processo que vai do raciocínio pessoal ao arranjo de cadeias dedutivas de
argumentos e que atividades investigativas em aulas de Matemática favorecem que os
alunos expliquem, raciocinem, argumentem e provem. Além do mais, os autores deixam
claro que sem direcionamentos adequados do professor, os alunos raramente se
envolvem em explicações ou argumentações durante a aula.
Para tanto, sugerem a utilização de um aplicativo interativo digital que consiste
em disponibilizar uma questão aberta para que os alunos construam a resposta
escolhendo, arrastando e justapondo alguns dos blocos para elaborar várias frases,
sendo que algumas delas podem ser aceitáveis como respostas corretas à questão
colocada, outras talvez apenas parcialmente aceitáveis e, finalmente, outras não
aceitáveis por se tratar de respostas incorretas. Esse aplicativo é utilizado como um
andaime para converter o pensamento do aluno em uma frase comunicável, sob
algumas regras pré-fixadas que podem ser sócio-matemáticas e linguísticas. No caso
da argumentação, pode promover a passagem do raciocínio como processo, ou seja,
produção de argumentos, para expressão de argumentos, contribuindo para o
desenvolvimento da competência argumentativa e avaliação de textos argumentativos.
Por isso, solicitar que os alunos escrevem a resposta dissertando é também um meio
de avaliar a produção de argumentos.
Esclarecem ainda que o fato do aplicativo mostrar blocos de linguagem de
acordo com alguns critérios permite colocar a atenção do aluno em alguns pontoschave e orientar de alguma forma o pensamento, como o foco na necessidade de
justificar (conjunções causais) o que não é natural, mesmo diante da demanda explícita
“justifique sua resposta”, ou em algum conceito matemático envolvido ou necessário
para a prova, como critérios de divisibilidade.
Percebemos assim, que a argumentação não é um processo simples e que a
fala, a linguagem e a oralidade estão muito interligadas ao processo argumentativo, e
também observamos que durante uma aula existem interações verbais diversas por
parte do professor e do aluno, surgindo então um questionamento: será que existe um
padrão predominante entre as interações verbais presentes em sala de aula? Como
essas interações podem interferir no processo de aprendizagem dos alunos?

127

O estudo acerca das interações em sala de aula vem sendo realizado nos
últimos anos com uma produção significativa na área de Ensino de Ciências e
Matemática, como mostramos em tópicos anteriores. Destacamos os estudos de
Mortimer e Scott (2002) que abordam sobre as interações discursivas presentes nas
aulas e sua dinâmica. Além disso, Socha e Marin (2015) colocam que em cada sala de
aula serão encontrados diferentes tipos de interação entre professor e aluno, tendo
salas de aula em que a interação do tipo verbal ocorre com frequência, em que o
professor dialoga com os alunos, propiciando um bom ambiente de aprendizagem,
fazendo com que através dessas interações sejam trocadas ideias, opiniões e
construção de sentidos sobre os conteúdos que são explorados. Porém, as autoras
afirmam que há salas de aula em que o professor não possibilita e não valoriza as falas
dos alunos, limitando as mesmas, havendo no máximo o momento entre pergunta feita
pelo professor e resposta por parte dos alunos, sem que tenham acesso ao feedback
de suas respostas, (SOCHA; MARIN, 2015).
Amaral, Scott e Mortimer (2003) falam sobre a estrutura analítica que se baseia
em um exame do tipo de discurso que é produzido em sala de aula, informando que
existem cinco principais aspectos, sendo eles: as intenções do professor, conteúdo,
abordagem comunicativa, padrões de interação e intervenção do professor.
Além disso, as autoras abordam sobre alguns padrões de interação, tais como
IRA (Iniciação- Resposta- Avaliação) “onde o maior interesse do professor é o de
avaliar o aluno, simplesmente” (SOCHA; MARIN, 2015, p. 202) e o IRF (IniciaçãoResposta-Feedback). Socha e Marin (2015) explicam que o padrão IRF é um dos mais
presentes em sala de aula e pode não estimular os alunos durante o processo de
aprendizado, visto que muitos professores ainda possuem um discurso autoritário,
fazendo que quando ocorra a interação verbal, ela se apresente como sendo (pergunta
do professor, resposta do aluno e feedback feito pelo professor) informando se a
resposta está correta ou não.
Em contrapartida as autoras ressaltam que “em alguns momentos ou devido ao
assunto abordado durante a aula o professor fica impossibilitado de dar voz ao aluno,
sendo necessário atuar como única voz; com isso não podemos afirmar que o aluno
não esteja aprendendo” (SOCHA; MARIN, 2015, p. 206).

128

Há também o caso em que ocorrem interações mais frequentes, devido ao
melhor planejamento do professor em propiciar momentos de falas para seus alunos,
permitindo que possam melhor organizar suas colocações e falas. Mortimer e Scott
(2002 p. 288) identificaram que esse padrão é do tipo “I-R-P-R-F (Iniciação pelo
professor, resposta do aluno, P significa que o professor permitiu que o aluno
prosseguisse em sua fala, R é a nova resposta/fala do aluno e F um feedback dado
pelo professor)”.
Mortimer e Scott (2002) também colocam que o modo como o professor trabalha
suas intenções e conteúdos através das diferentes intervenções pedagógicas irá
proporcionar diferentes padrões de interações e os autores chamam este processo de
abordagem comunicativa. Ademais, tais abordagens podem ser definidas por classes,
que tem como base duas dimensões que analisam a caracterização do discurso
presente entre os alunos e entre professor e aluno, desta maneira tem-se o discurso
dialógico ou de autoridade e o discurso interativo ou não-interativo (MORTIMER;
SCOTT, 2002), como vemos no quadro 17 a seguir que já foi citado em outro tópico
desta dissertação:
Quadro 17- Abordagens comunicativas propostas por Mortimer e Scott
Interativo

Não-Interativo

Dialógico

(a)Interativo/ Dialógico

(b) Não-Interativo/Dialógico

De autoridade

(c) Interativo/ de autoridade

(d) Não-Interativo/ de autoridade

Fonte: Adaptado de Mortimer e Scott (2002)

Os autores detalham em seu trabalho o que cada abordagem irá contemplar,
sendo respectivamente:
(a) Interativo/dialógico: professor e estudantes exploram ideias, formularam
perguntas autênticas e oferecem, consideram e trabalham diferentes pontos de
vista. (b) Não-interativo/dialógico: professor reconsidera, na sua fala, vários
pontos de vista, destacando similaridades e diferenças. (c) Interativo/de
autoridade: professor geralmente conduz os estudantes por meio de uma
sequência de perguntas e respostas, com o objetivo de chegar a um ponto de
vista específico. (d) Não-interativo/ de autoridade: professor apresenta um
ponto de vista específico. (MORTIMER; SCOTT, 2002, p. 288).

Não podemos esquecer que as ações comunicativas do professor têm um papel
de extrema importância para que na manifestação da argumentação, o aluno possa
levantar hipóteses, justificativas, reinvindicações, entre outros, sendo essencial a

129

intervenção do professor para o desenvolvimento da sua proposta de aula, de modo a
facilitar a aprendizagem dos alunos através dos instrumentos que utiliza (SOCHA,
MARIN, 2015). Considerando o que foi exposto, passemos ao tópico sobre o uso da
argumentação durante as atividades de Resolução de Problemas, que constituem o
prosseguimento deste tema.

2.5.3.3 Argumentação durante as atividades de Resolução de Problemas
Para relacionarmos a argumentação às atividades de RP, é preciso entender o
que é um problema. Para isto, Polya (1978 apud ROMANATTO, 2012 p. 301) explica
que “ter um problema significa buscar conscientemente por alguma ação apropriada
para atingir um objetivo claramente definido, mas não imediatamente atingível”. Deste
modo, um problema matemático pode ser considerado uma situação que necessita da
realização de uma série de ações para se obter uma solução que não está explícita
desde o início, mas que é construída (ROMANATTO, 2012).
Romanatto (2012) ao comentar sobre a expressão “resolução de problemas” cita
que George Polya foi o primeiro grande incentivador da resolução de problemas como
estratégia metodológica na prática docente, tendo como proposta tornar os alunos de
Matemática “bons resolvedores de problemas” (ROMANATTO, 2012, p. 301).
Com isto, Romanatto (2012) conclui que a resolução de problemas está ligada ao
envolvimento em uma atividade ou tarefa em que a sua solução ou seu método de
resolução não é explícito de imediato. Além disso, o autor prossegue informando que os
alunos devem aplicar seus conhecimentos matemáticos, para assim fazer com que a
resolução de problemas não se concentre apenas em aprender Matemática, mas
também fazê-la.
Quando os alunos estão inseridos em contextos que se tem a oportunidade de
se resolver problemas, em que podem utilizar diferentes tipos de estratégias,
formulando problemas e, consequentemente vai permitir que os alunos aumentem a
sua motivação, sejam encorajados a tomar decisões, procurar padrões, comunicar,
discutir ideias e estabelecer conexões (VALE; PIMENTEL; BARBOSA, 2015).
Romanatto (2012, p. 302) reitera a importância acerca de se criar espaço para
que os alunos se integrem com formulação e resolução de problemas:

130

Os estudantes deveriam ter oportunidades frequentes para formular, tentar e
solucionar problemas desafiadores que requerem uma quantidade significativa
de esforço e deveriam, então, ser encorajados a refletir sobre seus
conhecimentos.

Nota-se então que com o uso da Resolução de Problemas de modo adequado
são esperadas algumas consequências positivas por parte dos alunos, dentre elas,
destacamos a de se comunicar, discutir ideias, tomar decisões, buscar padrões,
formular e tentar resolver problemas. Esses aspectos citados estão associados aos
processos argumentativos e as interações verbais que ocorrem em sala de aula, visto
que com a comunicação e discussão de ideias os alunos podem argumentar, expor
suas ideias, bem como defendê-las.
Trabalhos como o de Stock (2015) irão considerar as argumentações e
justificativas dos alunos durante uma resolução de problema, analisando suas ideias e
ações para desenvolver a solução do problema proposto, bem como investigar como a
argumentação pode contribuir no processo de aprendizagem da Matemática. Em
contrapartida, Stock (2015) salienta, que muitos alunos não conseguem verbalizar ou
descrever o que fazem, porém enfatizam que isso não implica totalmente na não
compreensão do problema, pois existem outros fatores envolvidos nas interações
sociais. Analisando as competências específicas de Matemática para o Ensino
Fundamental apresentadas no quadro 18, fica evidente a importância da argumentação
(ligada ao desenvolvimento do raciocínio) e da resolução de problemas:
Quadro 18- Competências referentes à argumentação e RP no Ensino
Fundamental
Competências referentes à argumentação
Competência 2: Desenvolver o raciocínio
lógico, o espírito de investigação e a capacidade
de
produzir
argumentos
convincentes,
recorrendo aos conhecimentos matemáticos
para compreender e atuar no mundo.
Competência
4:
Fazer
observações
sistemáticas de aspectos quantitativos e
qualitativos presentes nas práticas sociais e
culturais, de modo a investigar, organizar,
representar e comunicar informações relevantes,
para interpretá-las e avaliá-las crítica e
eticamente,
produzindo
argumentos
convincentes.

Competências referentes à resolução de problemas
Competência 5: Utilizar processos e ferramentas
matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis,
para modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e
de outras áreas de conhecimento, validando estratégias e
resultados.
Competência 6: Enfrentar situações-problema em
múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas,
não diretamente relacionadas com o aspecto práticoutilitário, expressar suas respostas e sintetizar conclusões,
utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos,
tabelas, esquemas, além de texto escrito na língua
materna e outras linguagens para descrever algoritmos,
como fluxogramas, e dados).

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação com base na BNCC (BRASIL, 2018)

131

Por sua vez, ao longo das unidades temáticas de Matemática dos anos iniciais
do Ensino Fundamental, podemos identificar no quadro 19 as habilidades que se
referem à elaboração e resolução de problemas:
Quadro 19- Resolução e elaboração de problemas nos anos iniciais
segundo a BNCC
Ano

Unidade
Temática

Escolar
1º ano

Números

2º ano

Números

3º ano

Números

Habilidade
(EF01MA08) Resolver e elaborar problemas de adição e de subtração,
envolvendo números de até dois algarismos, com os significados de
juntar, acrescentar, separar e retirar, com o suporte de imagens e/ou
material manipulável, utilizando estratégias e formas de registro
pessoais.
(EF02MA06) Resolver e elaborar problemas de adição e de subtração,
envolvendo números de até três ordens, com os significados de juntar,
acrescentar, separar, retirar, utilizando estratégias pessoais.
(EF02MA07) Resolver e elaborar problemas de multiplicação (por 2, 3,
4 e 5) com a ideia de adição de parcelas iguais por meio de estratégias
e formas de registro pessoais, utilizando ou não suporte de imagens
e/ou material manipulável. (EF02MA08) Resolver e elaborar
problemas envolvendo dobro, metade, triplo e terça parte, com o
suporte de imagens ou material manipulável, utilizando estratégias
pessoais.
(EF03MA05) Utilizar diferentes procedimentos de cálculo mental e
escrito, inclusive os convencionais, para resolver problemas
significativos envolvendo adição e subtração com números naturais.
(EF03MA06) Resolver e elaborar problemas de adição e subtração
com os significados de juntar, acrescentar, separar, retirar, comparar e
completar quantidades, utilizando diferentes estratégias de cálculo exato
ou aproximado, incluindo cálculo mental. (EF03MA07) Resolver e
elaborar problemas de multiplicação (por 2, 3, 4, 5 e 10) com os
significados de adição de parcelas iguais e elementos apresentados em
disposição retangular, utilizando diferentes estratégias de cálculo e
registros. (EF03MA08) Resolver e elaborar problemas de divisão de
um número natural por outro (até 10), com resto zero e com resto
diferente de zero, com os significados de repartição equitativa e de
medida, por meio de estratégias e registros pessoais.

Grandezas e
Medidas

(EF03MA24) Resolver e elaborar problemas que envolvam a
comparação e a equivalência de valores monetários do sistema
brasileiro em situações de compra, venda e troca.

Probabilidade
e Estatística

(EF03MA26) Resolver problemas cujos dados estão apresentados em
tabelas de dupla entrada, s de barras ou de colunas.

Números

(EF04MA03) Resolver e elaborar problemas com números naturais
envolvendo adição e subtração, utilizando estratégias diversas, como
cálculo, cálculo mental e algoritmos, além de fazer estimativas do
resultado. (EF04MA05) Utilizar as propriedades das operações para
desenvolver estratégias de cálculo. Problemas envolvendo diferentes
significados da multiplicação e da divisão: adição de parcelas iguais,
configuração retangular, proporcionalidade, repartição equitativa e

4° ano

132

medida (EF04MA06) Resolver e elaborar problemas envolvendo
diferentes significados da multiplicação (adição de parcelas iguais,
organização retangular e proporcionalidade), utilizando estratégias
diversas, como cálculo por estimativa, cálculo mental e algoritmos.
(EF04MA07) Resolver e elaborar problemas de divisão cujo divisor
tenha no máximo dois algarismos, envolvendo os significados de
repartição equitativa e de medida, utilizando estratégias diversas, como
cálculo por estimativa, cálculo mental e algoritmos. (EF04MA08)
Resolver, com o suporte de imagem e/ou material manipulável,
problemas simples de contagem, como a determinação do número de
agrupamentos possíveis ao se combinar cada elemento de uma coleção
com todos os elementos de outra, utilizando estratégias e formas de
registro pessoais

5º ano

Grandezas e
Medidas

(EF04MA25) Resolver e elaborar problemas que envolvam situações
de compra e venda e formas de pagamento, utilizando termos como
troco e desconto, enfatizando o consumo ético, consciente e
responsável.

Números

(EF05MA07) Resolver e elaborar problemas de adição e subtração
com números naturais e com números racionais, cuja representação
decimal seja finita, utilizando estratégias diversas, como cálculo por
estimativa, cálculo mental e algoritmos. (EF05MA08) Resolver e
elaborar problemas de multiplicação e divisão com números naturais e
com números racionais cuja representação decimal é finita (com
multiplicador natural e divisor natural e diferente de zero), utilizando
estratégias diversas, como cálculo por estimativa, cálculo mental e
algoritmos. (EF05MA09) Resolver e elaborar problemas simples de
contagem envolvendo o princípio multiplicativo, como a determinação do
número de agrupamentos possíveis ao se combinar cada elemento de
uma coleção com todos os elementos de outra coleção, por meio de
diagramas de árvore ou por tabelas.

Álgebra

(EF05MA11) Resolver e elaborar problemas cuja conversão em
sentença matemática seja uma igualdade com uma operação em que
um dos termos é desconhecido. (EF05MA12) Resolver problemas que
envolvam variação de proporcionalidade direta entre duas grandezas,
para associar a quantidade de um produto ao valor a pagar, alterar as
quantidades de ingredientes de receitas, ampliar ou reduzir escala em
mapas, entre outros. (EF05MA13) Resolver problemas envolvendo a
partilha de uma quantidade em duas partes desiguais, tais como dividir
uma quantidade em duas partes, de modo que uma seja o dobro da
outra, com compreensão da ideia de razão entre as partes e delas com
o todo.

Grandezas e
medidas

(EF05MA19) Resolver e elaborar problemas envolvendo medidas das
grandezas comprimento, área, massa, tempo, temperatura e
capacidade, recorrendo a transformações entre as unidades mais usuais
em contextos socioculturais.
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação com base na BNCC (BRASIL, 2018)

Nota-se que há uma predominância da elaboração e resolução de problemas na
unidade temática “Números” que trata de Aritmética e pouca referência para a unidade
temática “Probabilidade e Estatística”. É importante frisar que não basta elaborar ou

133

resolver problemas, é fundamental que os alunos justifiquem e discutam sobre as
estratégias de resolução, manifestem seus argumentos, além do professor propor
problemas que estejam relacionados ao cotidiano dos alunos, o que estimula o
interesse dos alunos e auxilia no desenvolvimento da competência crítica acerca do
papel da Matemática na sociedade, bem como o professor deve planejar ações
comunicativas que favoreçam a argumentação durante a resolução de problemas. Cabe
dizer que a trilha de aprendizagem que integra o produto educacional desta
dissertação, apresenta a resolução de problemas nas atividades investigativas
propostas, daí este tópico ter sido inserido na dissertação. Com as considerações feitas
até aqui, no próximo tópico trataremos da metodologia e da análise de uma tarefa para
promover a argumentação por meio da resolução de problemas no 4º ano do Ensino
Fundamental.

2.5.3.4 Um estudo sobre o desenvolvimento da argumentação na Resolução de
Problemas
Com vistas a ilustrar a propositura do trabalho com argumentação durante
atividades que envolvem a Resolução de Problemas, faremos a análise de uma
experiência realizada no 4º ano do Ensino Fundamental (4th Grade – Elementary
School - 4ª série nos Estados Unidos, onde foi realizada a experiência aqui relatada)
sobre argumentação nas aulas de Matemática com RP.
A experiência tomada para a análise englobou os estudos preliminares da
pesquisa de Mestrado como resultado da fundamentação teórica, sendo que
posteriormente atividades que focam a argumentação foram aplicadas em turmas dos
anos iniciais de uma escola da rede particular de ensino de Maceió, assim que as aulas
retornaram presencialmente. Deste modo, analisamos uma experiência já realizada e
que integra os estudos realizados pelo Projeto Inside Mathematics da University of
Texas at Austin. O projeto tem como objetivo fornecer ferramentas e recursos de ensino
e aprendizagem de Matemática para apoiar as práticas docentes e disseminar as
experiências de sala de aula formando uma comunidade de aprendizagem profissional
onde se discute sobre processo de aprendizagem de Matemática. Deste modo,
analisamos um vídeo sobre a prática em sala de aula disponibilizados na página do

134

projeto. Os vídeos são organizados por série escolar e por tópicos dos padrões
curriculares estabelecidos pelo NCTM.
O padrão analisado foi o “Padrão 3: Construir argumentos viáveis e criticar o
raciocínio dos outros” e os vídeos retratam trechos das práticas em sala de aula que
envolviam atividades voltadas para o desenvolvimento da argumentação matemática,
em que os professores engajam os alunos na formulação, crítica e defesa de
argumentos do raciocínio matemático.
Sobre o papel do professor para a promoção da argumentação, o projeto coloca
que os professores devem possibilitar o desenvolvimento da capacidade dos alunos de
construir argumentos viáveis e criticar o raciocínio dos outros, de modo que se
envolvam em um discurso matemático ativo. Isso pode fazer com que os alunos
expliquem e discutam seus processos de raciocínio em voz alta ou sinalizem a
concordância/discordância com um sinal de mão. Assim, o professor tem várias
alternativas de iniciar um tipo de ação comunicativa, seja dialógica ou autoridade
(interativos ou não interativos) para estimular a argumentação, como o professor da
Educação Infantil que pode trazer várias abordagens para um problema e pedir aos
alunos que identifiquem razões plausíveis para cada abordagem, bem como identificar
erros matemáticos nas abordagens. O professor dos anos finais do Ensino
Fundamental, pode trazer um gráfico mostrando uma comparação de análise de custo
de vários planos de plataforma de streaming de vídeos e pedir aos seus alunos para
formular e defender uma maneira de mostrar quando cada plano se torna mais
econômico, assim como um professor do Ensino Médio pode envolver ativamente seus
alunos em conjecturas estendidas sobre as condições de prova na construção de
quadriláteros, testando suas suposições e questionando suas abordagens.
Sobre o padrão 3, o projeto coloca que alunos com proficiência matemática
entendem e usam suposições, definições e resultados previamente estabelecidos na
construção de argumentos. Esses alunos fazem conjecturas e constroem uma
progressão lógica de declarações para explorar a verdade de suas conjecturas, assim
como são capazes de analisar situações dividindo-as em casos e podem reconhecer e
usar contraexemplos, assim como justificam suas conclusões, as comunicam aos
outros e respondem aos argumentos dos outros. Também raciocinam indutivamente

135

sobre os dados, apresentando argumentos plausíveis que levam em consideração o
contexto do qual os dados surgiram. Alunos com proficiência matemática também são
capazes de comparar a eficácia de dois argumentos plausíveis, distinguir lógica ou
raciocínio correto do que é falho e - se houver uma falha em um argumento - explicar o
que é. Recomendam que os alunos do Ensino Fundamental podem construir
argumentos usando referentes concretos, como objetos, desenhos, diagramas e ações.
Esses argumentos podem fazer sentido e estar corretos, embora não sejam
generalizados ou formalizados até os anos escolares posteriores. Mais tarde, os alunos
aprendem a determinar os domínios aos quais um argumento se aplica. Os alunos de
todos os anos escolares podem ouvir ou ler os argumentos dos outros, decidir se fazem
sentido e fazer perguntas úteis para esclarecer ou melhorar os argumentos.
Escolhemos uma turma dos anos iniciais para apresentar a forma como a
professora conduziu as atividades de resolução de problemas guiadas por um contexto
que privilegiasse a argumentação. O vídeo é de uma turma da 4º série da Elementary
School (equivalente ao 4º ano do Ensino Fundamental brasileiro), sendo voltado para
uma atividade envolvendo frações. Os alunos são organizados em duplas. A professora
inicia a ação comunicativa com um discurso de autoridade interativo, recordando sobre
as formas de representação de fração e explicando sobre a atividade. Distribui o
material e os alunos terão que montar um pôster com cartolina, no qual podem mudar,
modificar e explicar as escolhas que fizeram, considerando os problemas que estão nos
cartões que ela distribuiu e as questões norteadoras acerca da atividade proposta (que
foram projetadas na lousa por meio de Datashow), que são estas: explicar o porquê
escolheram o agrupamento de respostas, como sabem que todos os cartões
representam a mesma quantidade, ao compartilhar com o colega a sua resposta o que
aprendeu com a discussão, enfatizando para os alunos que eles tem que mostrar o
raciocínio deles nas respostas. Após dar um tempo para os alunos resolverem as
questões, ela passa de dupla em dupla, solicitando que expliquem as respostas.
A seguir destacamos as explicações de dois alunos, juntamente com o pôster
(figura 13) que elaboraram: A1: Eu selecionei este grupo porque é fácil de explicar. Eu
sei que os cartões representam a mesma quantidade porque todos eles são iguais a
dois...igual a dois sextos, exceto o da reta numérica, e é equivalente a dois sextos.

136

Quando eu compartilhei meu pôster eu aprendi que a reta numérica não tem que ser
dois sextos. Pode ser, pode ser algo mais, contato que seja equivalente a dois sextos.
Figura 13- Aluno 1 e o pôster com a resolução

Fonte: Acervo do Projeto Inside Mathematics (2021)

Este aluno procura colocar mais elementos em sua explicação, embora faltem
mais evidências de que está estruturando uma argumentação para justificar sua
resposta. Esta postura deve ser decorrente do fato de que os alunos não estão
acostumados com atividades que envolvem argumentação. A seguir (figura 14) a fala
do Aluno 2: A2: Eu sei que todos os cartões representam a mesma quantidade porque
eles são iguais a 28 quartos. E quando eu compartilhei o meu pôster com outro colega
eu aprendi que nem todas as respostas eram as mesmas.
Figura 14- Aluno 2 e o pôster com a resolução

Fonte: Acervo da autora da Dissertação (2022)

137

Neste caso, o aluno consegue reconhecer a diversidade de representações da
quantidade 28 quartos nos cartões e identificar que dizem respeito à mesma
quantidade. Nesse sentido, consegue ainda que intuitivamente, diferenciar a conversão
dos registros semióticos presentes nos cartões. Também percebeu que os cartões
distribuídos pela professora não eram iguais, o que gerou respostas diferentes. Mas,
ainda oralmente não expressa com mais detalhes a justificativa, assim como o aluno A1
também não o fez, não estruturando argumentos, mas apenas explicações
simplificadas mais ligadas aos procedimentos e relações matemáticas.
O vídeo não focou nas justificativas escritas que estavam no pôster, mas sim na
oralidade dos alunos, em como a fala deles poderia refletir (ou não) argumentos mais
robustos. Na fala dos alunos apresentados no vídeo não foram identificadas provas e
demonstrações como integrantes de um processo de argumentação ou relato detalhado
de raciocínio. As crianças deram explicações simplificadas, o que demonstra que o
trabalho realizado consiste numa iniciação à argumentação, com exploração das ideias
principais dos alunos e um discurso de autoridade interativo que remete a posicionar a
professora como principal agente do direcionamento da dinâmica da atividade de
resolução de problemas, colocando o aluno na centralidade no momento em solicita
que manifestem oralmente suas ideias.
Após a aplicação da atividade com os cartões com problemas, a professora deu
o relato dela acerca da atividade e colocou que os alunos usaram a linguagem
matemática correta nas explicações, que geralmente eram curtas, mas esperava que
eles avançassem na produção de argumentos. Salientou que a atividade possibilitou
que ficassem mais focados e interagissem com os colegas compartilhando as
respostas. Ela colocou que para estimular a argumentação criou juntamente com os
alunos, os diários de Matemática, nos quais documentam o raciocínio matemático e
regularmente

os

diários

serão

resgatados

para

ver

se

houve

avanço

no

desenvolvimento das ideias matemáticas e o que precisar ser feito para desenvolver as
habilidades que ainda não foram desenvolvidas.
O vídeo demonstrou que a professora utilizou recursos didáticos auxiliares
(confecção de um pôster e cartões) na atividade de RP e argumentação, evidenciando
que as atividades de argumentação podem utilizar materiais variados. Por outro lado, o

138

vídeo também demonstrou que promover a argumentação nas aulas de Matemática dos
anos iniciais pode não ser uma tarefa fácil (como apontado por Hahn e Oaksford, 2012),
além de requerer planejamento, exige que o professor observe as características de
seus alunos, conceba pré-atividades para que os alunos vão se acostumando com a
dinâmica da atividade de resolução de problemas e argumentação, selecione
problemas que estimulem a argumentação, além de se atentar para a forma de
condução da atividade (estratégias enunciativas do professor), pois senão os alunos
podem dispersar e até mesmo gerar indisciplina.
Com o tempo, e com maior frequência de atividades que favoreçam a
argumentação por meio de RP, os alunos dos anos iniciais vão se habituando e
construindo argumentos mais elaborados, sendo possível fazer conjecturas, provas e
demonstrações, apresentar justificativas coerentes e as interações discursivas se
integram de modo natural às aulas de Matemática, deixando de ser pontuais ou
somente quando são iniciadas, ou solicitadas pelo professor. Observamos pela
pesquisa bibliográfica que existe um padrão que mais se repete em sala de aula, o IRF,
que é aquele em que o professor fala sobre o conteúdo em sala de aula, faz alguma
pergunta relacionada ao tema para o aluno e o responde com certo ou errado na
maioria das vezes, não criando a possibilidade de se estabelecer uma interação verbal
oral mais aprofundada, de modo que o aluno reflita sobre ou encontre meios para
resolver o questionamento, argumentando e justificando de modo plausível. No vídeo,
foi observado esse tipo de padrão, sendo essencial que o professor modifique o seu
padrão dando mais espaço para os alunos nas interações, propiciando momentos em
que os alunos tenham a oportunidade de argumentar, valorizando as falas dos alunos e
encontrando meios de potencializá-las, para que raciocinem de modo mais consistente,
sem ignorar aquilo que apresentaram com seus conhecimentos prévios ou já formados
sobre determinado conteúdo.
A atividade aqui relatada inspirou a elaboração da atividade com a cartolina que
integra a trilha de aprendizagem trazendo a argumentação com foco no ensino de
probabilidade nos anos iniciais e que é parte do produto educacional desta dissertação.
Por fim, procuramos apresentar as potencialidades da argumentação e
interações verbais por meio da metodologia de RP durante o processo ensino-

139

aprendizagem de Matemática nos anos iniciais, abrindo-se caminhos para que
defendam, justifiquem, mudem ou reivindiquem suas afirmações e, isso faz com que se
tornem mais críticos, analisem melhor suas colocações e o raciocínio dos outros,
reflitam mais sobre suas respostas e participam ativamente da construção do
conhecimento.

2.5.3.5

O papel do professor na promoção da argumentação nas aulas de

probabilidade nos Anos Iniciais do Ensino Fundamental
Francisco (2022) pontua que promover a argumentação nas aulas é um desafio
para os professores de todos os níveis de ensino. Ele explica que para o professor
trabalhar com argumentação em sala de aula, ele deve conhecer o processo
argumentativo e para tanto é necessário analisar o conhecimento matemático para o
ensino que é oriundo da formação inicial do professor. Um dos aspectos que o autor
chama atenção é para que o professor também aprenda a compreender a forma com
que os alunos raciocinam e argumentam, para que possa apoiar a prática da
argumentação em sala de aula de maneira eficaz. Daí, ser fundamental que os cursos
de Licenciatura em Matemática tenham disciplinas específicas que instrumentalizem os
professores para que saibam implantar a argumentação em sala de aula.
Rumsey e Langral (2016) apresentam estratégias para que o professor possa
promover o uso da argumentação pelos alunos: fornecer suporte linguístico (suporte de
comunicação através da introdução de estruturas de linguagem e demonstrar seu uso
durante as discussões), discutir conteúdos familiares (perguntar aos alunos sobre o que
sabem acerca de determinado conteúdo, ou seja, quais conhecimentos prévios
possuem), especificar condições (explicar as estruturas da argumentação e seus
elementos), manipular conteúdo familiar para ser desconhecido (este tipo de atividade
pode ajudar a preparar os alunos para enfrentarem com confiança a exploração de
situações matemáticas desconhecidas em etapas futuras da escolarização).
Bersch (2019) coloca que um dos problemas enfrentados para a promoção da
argumentação em sala de aula é a dificuldade que os alunos têm com a linguagem
quando escrevem suas justificações, daí a importância de se dar suporte linguístico aos

140

alunos para desenvolver a competência escritora e também que os professores
escolham material didático adequado para desenvolver competências argumentativas.
Passemos ao Capítulo III da dissertação que aborda a estrutura e aplicação da trilha de
aprendizagem visando promover a argumentação tendo como conteúdo norteador os
conceitos de probabilidade no 5º ano do Ensino Fundamental.

141

CAPÍTULO III
A PROPOSTA METODOLÓGICA, APLICAÇÃO E RESULTADOS

Neste capítulo, descrevemos o procedimento metodológico traçado para
elucidação do problema de pesquisa, detalhando sobre os instrumentos de coleta e
análise de dados, bem como caracterizando os sujeitos e o lócus da pesquisa e
aplicação da trilha de aprendizagem.
3.1
Caracterização da pesquisa e dos sujeitos de pesquisa: procedimentos e
abordagem da pesquisa
O estudo apresentado nesta dissertação possui natureza qualitativa, a qual
Creswell, (2007, p. 184) destaca que:
A investigação qualitativa emprega diferentes alegações de
conhecimento, estratégias de investigação e métodos de coleta e análise
de dados, têm passos únicos na análise de dados e usam estratégias
diversas de investigação.

Minayo et al (2001, p. 14) ainda colocam que “a pesquisa qualitativa envolve o
trabalho com muitos significados, motivos e atitudes”, portanto, o pesquisador observa o
processo e seu significado, visando interpretar o objeto de estudo.
É válido ressaltar que numa pesquisa qualitativa é comum o pesquisador
permanecer envolvido numa experiência com os participantes, além disso, um dos
papéis do pesquisador é discutir, comentar, incluir e observar os fenômenos sociais de
modo holístico (CRESWELL, 2007). Entender o papel do pesquisador em uma pesquisa
qualitativa fornecerá suporte para a discussão sobre a coleta de dados, na qual será
compreendida quais passos devem ser feitos para que se recolham informações
através de meios como a entrevista, observações diretas, documentos, materiais, além
de estabelecer procedimentos para registrar informações conforme explica Creswell
(2007).
Creswell (2007) coloca que numa coleta de dados é importante que sejam
identificados os locais ou os indivíduos que serão selecionados para o estudo, além de

142

indicar os tipos de dados que serão coletados. O autor afirma que os pesquisadores
coletam várias formas de dados e investem seu tempo unindo informações no ambiente
pesquisado e alguns procedimentos de coleta ganham notoriedade, como entrevista e
os materiais de áudio e visual.
Deste modo, cabe salientar que a abordagem da pesquisa ocorreu por meio de
um estudo de caso, com o qual se buscou explorar em profundidade o fenômeno que
estava

sendo estudado, analisando suas peculiaridades pormenorizadamente.

(CRESWELL, 2007). Esta abordagem foi útil, visto que um dos intuitos da pesquisa é
fazer uma exploração dos argumentos que serão externados por alunos de uma turma
do 5º ano do Ensino Fundamental durante a aplicação de uma trilha de aprendizagem.
Para tanto, também, foi utilizada a observação participante (ANGROSINO, 2009) para
compreender os sujeitos em ação, havendo a participação da pesquisadora na
aplicação da trilha de aprendizagem, essencial para a analisar e compreender o
comportamento dos sujeitos pesquisados através de suas argumentações acerca de
probabilidade e seus respectivos processos de fala. Essas argumentações dos alunos
do 5º ano foram constatadas e observadas através das aulas ministradas que foram
gravadas. Além disso, as falas foram transcritas para se obter uma melhor análise do
processo argumentativo dos alunos ao longo do desenvolvimento das atividades
propostas na trilha de aprendizagem.
A presente pesquisa ocorreu de forma presencial com alunos pertencentes à
uma escola privada de Educação Básica, que se localiza em Maceió (Alagoas), no
bairro de Graciliano Ramos. A seleção da escola foi realizada considerando o critério
de disponibilidade para a aplicação do Produto Educacional, bem como a escola
possuir o ano escolar para o qual é voltada a pesquisa, no caso, o 5º ano do Ensino
Fundamental.
Os sujeitos da pesquisa são alunos do 5º ano do Ensino Fundamental, que
tiveram o contato com o conteúdo de probabilidade somente durante o período de
aplicação do Produto Educacional, ou seja, o conteúdo de probabilidade não foi
abordado nos anos anteriores conforme previsto pela BNCC (BRASIL, 2018).
A metodologia de análise, utilizou aspectos da análise de discurso, em que o
“processo de análise discursiva tem a pretensão de interrogar os sentidos estabelecidos

143

em diversas formas de produção, que podem ser verbais e não verbais, bastando que
sua materialidade produza sentidos para interpretação” (CAREGNATO; MUTTI, 2006,
p. 680). Além disso, com o intuito de analisar os dados obtidos com maior clareza e
organização utilizamos também a análise do conteúdo proposta por Bardin (1977), que
sugere a elaboração de categorias para que possamos analisar os dados seguindo uma
estrutura coerente para melhor apresentar os resultados obtidos.
Nesse sentido, analisamos a predominância entre dois padrões presentes nas
interações discursivas que envolvem o discurso em sala de aula, constatando o padrão
IRF (Iniciação – Resposta - Feedback) e o padrão IRA (Iniciação – Resposta Avaliação), padrões que podem ser observados em alguns trabalhos, como por
exemplo no de Amaral, Scott e Mortimer (2003), no qual são apresentadas algumas
relações entre o conteúdo e a forma do discurso em aulas.
Aplicamos esta proposta metodológica em seis momentos, com o uso de uma
sequência didática em forma de trilha de aprendizagem. Segundo Zabala (1998, p. 18)
a trilha de aprendizagem na perspectiva da sequência didática seria um “um conjunto
de atividades ordenadas, estruturadas e articuladas para a realização de certos
objetivos educacionais, que têm um princípio e um fim conhecido tanto pelos
professores como pelos alunos”. Diante disto, a sequência didática visa auxiliar o
professor no processo de ensino e aprendizagem de seus alunos, além de pretender
através da sua aplicação, a análise das argumentações dos alunos, de modo que estas
análises possam causar uma reflexão e mudanças nas práticas docentes a fim de
possibilitar caminhos para um melhor aprendizado dos conteúdos de probabilidade.
Os seis encontros citados englobam a apresentação do conteúdo, a utilização de
recursos didáticos que influenciam nas interações discursivas, juntamente com
atividades e jogos para que promovam a argumentação. As aulas sempre que
necessário foram gravadas, para serem analisadas posteriormente com os critérios já
apresentados acerca dos padrões das interações discursivas. Estas análises foram
feitas após a transcrição das falas dos alunos, para deste modo se chegar às
conclusões pertinentes para a pesquisa, com o propósito de se validar a hipótese
colocada.

144

3.2
A estrutura da proposta da trilha de aprendizagem na perspectiva da
Investigação Matemática para desenvolver a argumentação nas aulas de
Probabilidade
A proposta das atividades e aulas descritas nesse tópico serão orientadas para
uma execução de 4 encontros, com mais dois momentos para a aplicação do
questionário a priori e a posteriori, totalizando seis momentos. Propomos como Produto
Educacional uma trilha de aprendizagem para promover a investigação matemática. A
trilha de aprendizagem elaborada é baseada em 5 estações, que representam os
quatro momentos propostos para a aplicação do Produto Educacional. O último
encontro foi dividido em estação 4 e estação 5, com atividades e jogos que foram
realizados durante os encontros. Tais estações são orientadas por planos de aula
específicos, informando os objetivos, atividades, conteúdos e jogos que deverão ser
utilizados nos encontros previstos e que constam detalhados no Produto Educacional
publicado separado no repositório do Programa de Mestrado.
Pensando numa participação ativa dos estudantes neste processo, colocamos as
5 estações (atividades e jogos) da trilha num contexto relacionado a uma espécie de
“ilha do tesouro”, onde o aluno deverá passar pelas 5 estações para se chegar no
objetivo final que é encontrar o tesouro perdido. A trilha de aprendizagem foi intitulada
como “Probabililha” e o aluno deve realizar todas as atividades das cinco estações,
buscando chegar ao tesouro perdido no último encontro, utilizando os diversos
conhecimentos probabilísticos e argumentativos que possuem e aqueles que serão
desenvolvidos ao longo da trilha. A seguir, na Figura 15, podemos ver a trilha de
aprendizagem:
Figura 15– Trilha de Aprendizagem

Fonte: Acervo da autora da dissertação (2022)

145

O material da trilha elaborada “Probabililha” será disponibilizado para o aluno
com um layout específico para impressão com as atividades e jogos destinados para
cada estação, sendo assim denominado de caderno do aluno. A organização do
presente material está com as orientações para cada estação, visando alcançar o
objetivo desta pesquisa de Mestrado, que é o de “analisar quais as contribuições que
o processo argumentativo nas aulas de probabilidade no 5° ano do Ensino
Fundamental traz para o desenvolvimento do pensamento probabilístico”.
A trilha de aprendizagem é flexível e o professor poderá adaptar, implementar e/
ou reduzir alguma das atividades dependendo de sua necessidade em sala de aula.
Lembrando que o foco de nossa pesquisa é o 5º ano do Ensino Fundamental, e por
isso, buscamos desenvolver atividades que englobassem as ideias que deveriam ter
sido vistas também nos anos anteriores ao 5º ano, com o intuito de analisar o
conhecimento e aprendizagem dos estudantes acerca dos conteúdos propostos pela
BNCC (BRASIL, 2018).
No decorrer do detalhamento da aplicação, elaboramos/adaptamos o Quadro
33 que informa alguns níveis argumentativos que podem ser conferidos para guiar o
leitor ao longo da dissertação, visto que adaptamos três níveis argumentativos que
pretendem ser alcançados no processo.
O Quadro 20 mostra de modo geral o que pretendemos fazer ao longo da
aplicação do Produto Educacional (PE), considerando as estações da trilha de
aprendizagem. Cabe dizer que ao final de cada estação, os alunos responderão a uma
autoavaliação com o objetivo de averiguar se os conceitos de probabilidade foram
construídos e assimilados pelos alunos. Vejamos o quadro com a descrição das
estações da trilha de aprendizagem:
Quadro 20- Organização geral para a aplicação do PE
Encontro

Estação

duração

Atividade

Objetivo
Probabilístico

Objetivo argumentativo/
comunicativo

Pré-aula 1

-

2h/ aula

Aplicação do
questionário a
priori+ sugestão
de atividade
para casa com o
jogo das

Sondar os
conhecimentos
probabilísticos
prévios

Analisar o que os
estudantes entendem por
argumentação e suas
estruturas.

146

bebidas (The
Vile Vendor)
Tampesca/
Quadraleatórios/
Atividade sobre
o jogo The Vile
Vendor +
atividades
escritas+
autoavaliação

Aula 1

1

2h/ aula

Aula 2

2

2h/ aula

Correndo ao
Acaso+
atividades
escritas+
autoavaliação

Análise da ideia
de acaso em
situações do
cotidiano:
espaço
amostral

Aula 3

3

3h/ aula

Análise de
chances de
eventos
aleatórios

Aula 4

4e5

2h/ aula

Quebra –
cabeça/
Quadrinho com
balões/
Apresentação
cartolina +
atividades
escritas+
autoavaliação
Probabilinha+
atividades
escritas+
autoavaliação+
finalização da
trilha de
aprendizagem

Pós- aula
4

-

1h/ aula

Aplicação do
questionário a
posteriori

Noções de
acaso e a
análise da ideia
de aleatório em
situações do
cotidiano

Espaço
amostral:
análise de
chances de
eventos
aleatórios e
cálculo de
probabilidade
de eventos
equiprováveis
Analisar os
conhecimentos
probabilísticos
construídos
após a
aplicação

Utilizar um padrão
discursivo não-triádico e
trabalhar a estrutura
proposta por Toulmin,
podendo focar no mínimo
nos dados, fundamentos
e garantias, para um
primeiro momento (aqui,
a argumentação
aristotélica pode
prevalecer, por ser um
momento inicial)
Utilizar um padrão
discursivo não-triádico
(Mortimer e Scott) e
trabalhar a estrutura
proposta por Toulmin,
incluindo no mínimo os
dados, garantias e
fundamentos
Utilizar um padrão
discursivo não-triádico
(Mortimer e Scott) e
trabalhar a estrutura
proposta por Toulmin
(podendo não ter
refutação, mas discutindo
sobre)
Utilizar um padrão
discursivo não-triádico
(Mortimer e Scott) e
trabalhar a estrutura
proposta por Toulmin
(aqui a ideia é que toda a
estrutura apareça nas
atividades orais e/ ou
escritas)

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Analisar se a
compreensão
argumentativa foi
inalterada/
alterada/criada e
observar se a estrutura
de Toulmin foi
apresentada

147

A pré-aula com duração de 2 horas/aula consiste numa apresentação à trilha de
aprendizagem e foi composta pelo questionário a priori, junto com uma atividade digital
(Jogo “The Vile Vendor- O Vil Vendedor”) para que os alunos tivessem algum contato
com a probabilidade antes da aula 1, uma vez que não foram trabalhados conteúdos de
probabilidade nos anos anteriores.
O questionário a priori é composto por duas partes: parte A com 9 questões
para averiguar sobre a argumentação nas aulas de Matemática e a parte B com 10
questões para verificar os conhecimentos sobre probabilidade. Este questionário deve
ser aplicado com o auxílio devido, caso os alunos sintam alguma dificuldade em relação
ao que está sendo solicitado e serão instruídos para o acesso ao jogo The vile vendor,
sugerido para casa, com o intuito de levantar discussões acerca do tema na aula
posterior.
No Apêndice B podemos visualizar o questionário a priori que foi elaborado com
o intuito de sondar os conhecimentos probabilísticos prévios e analisar o que os
estudantes entendem por argumentação. O questionário pode ser implementado de
modo físico (impresso em papel) ou digital (Com o Google Forms) caso a escola possua
os instrumentos necessários para tal, no caso desta pesquisa, o questionário inicial foi
aplicado de modo impresso. Já o questionário a posteriori pode ser observado no
Apêndice C e foi aplicado de modo presencial, porém utilizando plataforma digital com
formulário online, no caso, o Google Forms.
Após a aplicação do questionário a priori, o professor deve orientar os alunos a
acessarem um jogo digital como atividade para casa. O jogo proposto é o The Vile
Vendor (O Vil Vendedor)2. O jogo é basicamente uma máquina de bebidas em que o
aluno terá que analisar as chances de se obter determinada bebida ou não. Nesse jogo
são trabalhados os conceitos sobre acontecimentos que podem ser classificados como
impossível, improvável, igual (chances iguais), provável e certo, que deveriam ter sido
vistos ao longo dos anos anteriores para que no 5º ano eles conseguissem solucionar
tais desafios com mais facilidade e convicção.

2

O jogo pode ser acessado por meio do link a seguir e deve ser disponibilizado para os alunos:
http://www.scootle.edu.au/ec/viewing/L118/index.html#

148

Além disso, elaboramos um vídeo tutorial3 ensinando como o jogo pode ser
utilizado

e quais são suas principais caraterísticas e objetivos. Vejamos a interface do

jogo:
Figura 16 - The Vile Vendor

Fonte: Site Scootle (2022)

O intuito do contato com o jogo é que os alunos
discutir sobre a

possam ter ideias para

probabilidade no decorrer da primeira aula, para participarem da

construção dos conceitos probabilísticos que se almeja desde o início do processo.
Para iniciar a aula, o professor deve fazer algumas perguntas referentes ao jogo
The Vile Vendor, proposto para que os alunos executassem em casa. É importante
lembrar, que em princípio, os alunos poderão desenvolver suas falas com
argumentações aristotélicas e que devem ser valorizadas para que se alcance os
tópicos sugeridos por Toulmin posteriormente. Como pode ser visto no quadro 21,
propomos uma sugestão de ações que o professor pode fazer ao longo da aula,
lembrando que as abordagens comunicativas e os padrões discursivos foram expostos
nesta dissertação e podem ser revistos caso haja o esquecimento das siglas e
indicações presentes no quadro.
A seguir, trazemos o quadro 21 que expõe a organização da aula 1, com as
perguntas a serem feitas pelo professor, o nível argumentativo, a abordagem
comunicativa e o padrão discursivo:
3 Vídeo tutorial: THE VILE VENDOR - https://youtu.be/IphTN8mGmgI

149

Quadro 21- Organização prevista para discussão do The Vile Vendor na Aula 1
ATIVIDADE
ENVIADA
PARA
CASA

AÇÃO DO
PROFESSOR E
POSSÍVEIS
PERGUNTAS
Quais elementos
sobre probabilidade
vocês conseguiram
observar ao longo
do jogo?

THE VILE
VENDOR

NÍVEL
ARGUMENTATIVO
ESPERADO

Respostas com
justificativas

Vocês se
surpreenderam com
algum resultado no
Justificativa a partir de
jogo?
suas respostas
Podem dar
exemplos?
De acordo com oque
vocês analisaram,
quando um
acontecimento é certo Justificativa econclusão
e quando é
impossível?

ABORDAGEM
COMUNICATIVA
(VER QUADRO
3, p. 79 e 80)

PADRÃO
DISCURSIVO

(a)

I-R-A

(a)

I-R-P-R-F

(a) / (b)

I-R-P-R-A

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

A aula prossegue a partir dessa motivação para revisar alguns conceitos de
probabilidade envolvendo as ideias do acaso e de como se pode classificá-las
(impossível, improvável, igual, provável ou certo), como inclusive propõe o jogo que foi
discutido logo acima. Os alunos deverão explicar como a máquina funciona e determina
a classificação do evento, argumentando por escrito numa folha impressa que será
fornecida como mostramos a seguir:

150

Figura 17 – Folha para escrever a explicação sobre o jogo de modo
argumentativo

Fonte: Acervo da autora da dissertação (2022)

Após esta etapa inicial de revisão, o professor deve se atentar aos tópicos
argumentativos que deverão ser construídos com base no que Toulmin (1958) propôs
em seus trabalhos que abrangem as hipóteses, justificativas e conclusões, como já
exposto anteriormente.
Com esta atividade, inicia-se a investigação matemática com os alunos
questionando-os acerca de como a máquina seleciona as bebidas determinando o tipo

151

de evento e se há alguma regularidade nisso, ou seja, conforme explicam Ponte,
Brocardo e Oliveira (2003), os alunos percorrem quatro momentos, que neste caso
deve se desenvolver desta forma: os alunos começam explorar a situação observando
o funcionamento da máquina, em seguida formulam questões sobre como ela funciona
e determina o tipo de bebida a ser selecionada, seguindo-se da formulação de
conjecturas acerca da combinação de tipos de bebidas para determinar o tipo de evento
probabilístico, a realização de testes para verificar as combinações relacionadas aos
tipos de eventos, o refinamento das conjecturas e finalmente a argumentação
demonstrando como os eventos ocorrem a partir das bebidas selecionadas, avaliando o
percurso que foi realizado para se chegar à conclusão final.
Então, se chega à Probabililha, com as instruções iniciais e passa-se à Estação
1. Esta estação tem uma duração de 2 horas/aula para realização de atividades. As
duas atividades da Estação 1 em forma de jogo de tabuleiro foram elaboradas e
detalhadas passo a passo em um vídeo que mais adiante será exposto através de um
link para acesso colocado em nota de rodapé nesta dissertação.
A Estação 1 se inicia com a “Atividade 1 - Atividades de Ambientação à
Argumentação 1” com um conjunto de 16 questões extraídas e adaptadas de dois
livros didáticos que visam resgatar conceitos sobre probabilidade aprendidos em anos
anteriores – pontuamos que a turma na qual a pesquisa foi realizada não teve contato
com conteúdos de probabilidade, portanto, seria a primeira vez e pudemos averiguar se
conseguiram resolver utilizando seus recursos cognitivos, habilidades de leitura e
interpretação e bases matemáticas. Considerando o que Fischbein (1975) coloca
acerca da intuição sobre probabilidade, ou seja, dos sujeitos construírem noções
intuitivas é que essas questões foram propostas.
. As questões envolviam o conceito de acaso, classificação de eventos,
probabilidade envolvendo frações, situações com dados, spinners e recipientes com
objetos para serem retirados como sacos e potes de vidro. Os resultados relativos às
questões serão demonstrados na análise, mais adiante. Passemos aos jogos.
Os jogos de tabuleiro são “Tampesca” e “Quadraleatórios” e tem por objetivo
desenvolver/revisar as noções de acaso e a análise da ideia de aleatório em situações
do cotidiano. O Tampesca é um jogo que pode ser aplicado desde o 1º ano do Ensino

152

Fundamental e tem como inspiração uma atividade montessoriana que também
desenvolve aspectos motores dos alunos. O jogo é composto por: um recipiente (de
preferência transparente) para colocar água, tampinhas de garrafa PET coloridas,
prendedores de roupa ou palitos de picolé e máscara para os olhos.
Como o nome do jogo já sugere, o aluno será vendado e deverá, com o auxílio
de seu grupo ou dupla, pescar as tampinhas que estão boiando no recipiente. Qual o
intuito?

Os estudantes

ao

final

da

pescaria

de

tampinhas

irão

responder

questionamentos acerca das cores de tampinhas que foram pescadas e analisar se há
uma probabilidade maior ou menor de se pescar uma tampinha de determinada cor,
mesmo que vendado (a). Dessa forma, se trabalham as ideias probabilísticas que
envolvem o acaso e reflexões sobre ter maior ou menor chance de algum evento
ocorrer. A seguir, vemos fotos com os materiais utilizados no jogo e como se executa o
jogo:
Figura 18 - Materiais e exemplo prático

Fonte: Acervo da autora da dissertação (2022)

Como pode ser visto na figura acima, os materiais utilizados são de fácil acesso
e de baixo custo e o professor pode inclusive pedir o auxílio dos alunos para a obtenção
das tampinhas, ou seja, os alunos podem trazer as tampinhas de garrafa PET. Em nota
de rodapé, eestá o link do vídeo tutorial do Tampesca 4.

4

O tutorial que explica esta atividade com um exemplo prático pode ser acessado através do link abaixo:
https://youtu.be/httvJ5YprVw

153

No Quadro 22 podem ser observadas as sugestões de questionamentos, níveis
argumentativos, abordagem comunicativa e padrões discursivos esperados durante a
realização do Tampesca:
Quadro 22- Organização prevista para discussão do Tampesca na Aula 1

ATIVIDADE

AÇÃO DO
NÍVEL
PROFESSOR E
ARGUMENTATIVO
ABORDAGEM
POSSÍVEIS
ESPERADO
COMUNICATIVA
PERGUNTAS
Quais as cores de
tampinhas que você
pescou? Você acha
Respostas com
que houve uma maior
justificativas, dados,
chance de ter
fundamentos e garantias
(a)
pego essa cor?
nível 2
Qual a tampinha mais Justificativa a partir de
difícil de serpescada, suas respostas,dados,
estandovendado(a)? E
fundamentos e
porquê?
garantias nível 2

(a)/ (b)

Faça uma análisedas
tampinhas no
recipiente e discuta
sobre quais tampinhas
tem mais chancesde
TAMPESCA serem pegas epor qual
Justificativa e conclusão.
motivo.
Dados,fundamentos e
Ou você acha que
(a) / (b) / (c)
garantias nível 3
todas têm a mesma
chance de
ser pescada?

PADRÃO
DISCURSIVO

I-R-A-P-R-F

I-R-P-R-F

I-R-P-R-A-P-R-F

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Observamos que aqui os tópicos propostos por Toulmin começam a aparecer,
porém o nível 3 (Quadro 33) pode demorar um pouco para ser alcançado por vários
fatores, como a não compreensão do aluno, dificuldades em expressar suas
justificativas e demais tópicos que pretendemos desenvolver. Além disso, pode não ser
possível prosseguir um diálogo que se caracterize como uma argumentação ao longo
das falas e o professor deve se adaptar para buscar retomar o foco e objetivo que se
propôs a alcançar, mesmo sabendo que alguns aspectos planejados podem não
ocorrer e outros podem se desenvolver com mais facilidade do que o esperado, por
exemplo.

154

A próxima atividade desenvolvida foi o jogo “Quadraleatórios5”, que pode ser
aplicado do 2º ano em diante, pois tem o objetivo de trabalhar os conteúdos referentes
à análise da ideia de aleatório em situações do cotidiano, além de fazer com que o
aluno classifique resultados de eventos cotidianos aleatórios como “pouco prováveis”,
“muito prováveis”, “improváveis” e “impossíveis”, como propõe a BNCC (BRASIL, 2018).
O jogo possui dois quadros que foram criados com dois cenários (um cenário de
floresta, outro cenário de uma praia); esses cenários são os quadros que receberão
elementos

que

se

encaixam

em:

“pouco

prováveis”,

“muito prováveis”,

“improváveis” e “impossíveis” . Tais elementos foram criados na plataforma do
Canva e impressos em formato de adesivos.
A ideia é que os alunos analisem os elementos e classifiquem se tais elementos
fazem parte de algum cenário exposto nos cartazes e como podem ser descritos. O
professor deve instigar os alunos para que eles também trabalhem com criticidade, a
fim de se obter uma boa argumentação por meio do diálogo e discussão com seus
pares e o professor. Abaixo, na Figura 19, temos um dos cenários do jogo:
Figura 19- Cenários desenvolvidos

Fonte: Acervo da autora da dissertação (2022)

5 O jogo desenvolvido pode ser melhor entendido através do vídeo elaborado que pode ser acessado nesse link:

https://youtu.be/A3myAsw3lJw

155

Os quadros foram feitos à mão, mas podem ser elaborados de modo digital e
impresso com o cenário que o professor desejar. O exemplo dos quadros aqui
expostos são sugestões que podem ser seguidas ou adaptadas. Ademais, para a
criação deste jogo utilizamos: 02 papéis 40, lápis de cor, papel adesivo (para imprimir
os elementos), arte com os elementos necessários que foram feitos com o Canva. Nas
figuras 20 e 21, apresentamos alguns dos elementos já inseridos, após os
questionamentos e mediação do professor:
Figura 20- Moldes dos elementos adesivos

Fonte: Acervo da autora da dissertação (2022)

Figura 21- Quadros com alguns dos elementos

Fonte: Acervo da autora da dissertação (2022)

156

As sugestões, dentre as muitas que podem ser feitas nessa atividade com o
Quadraleatórios pode ser vista no quadro 23:
Quadro 23- Organização prevista para discussão dos “Quadraleatórios” na Aula 1

ATIVIDADE

QUADRALEATÓRIOS

AÇÃO DO
PROFESSOR E
POSSÍVEIS
PERGUNTAS
O elemento “x”
pertence a
algum dos
cenários aqui?
Porquê?
Escolha dois
elementos e
cole nos
quadros. “Por
que você
classificou
esses
elementos
nessas
categorias?
Eles poderiam
ficar nos dois
cenários? Por
qual motivo?
Dentre os
adesivos, você
consegue dizer
se há algum
elemento
impossível de
se encontrar
nos cenários
propostos? Por
qual motivo?
As ideias que
você utilizou
envolve a
probabilidade?
Os elementos
que você
classificou são
com base em
que
conhecimentos?
Você consegue
observar
alguma dessas
escolhas em
seu cotidiano?

NÍVEL
ARGUMENTATIVO
ESPERADO

ABORDAGEM
COMUNICATIVA

PADRÃO
DISCURSIVO

Respostas com
justificativas,
dados,
fundamentos e
garantias nível 2

(a)

I-R-A-P-R-F

Justificativas e
conclusões. Dados,
Fundamentos e
garantias nível 2

(a)/ (b)

I-R-P-R-F
e I-R-A

Justificativa e
conclusão. Dados,
fundamentos e
garantias nível 3

(a) / (b) / (c)

I-R-P-R-A-PR-F

Justificativa e
conclusão. Dados,
fundamentos e
garantias nível 3

(a) / (b) / (c)

I-R-P-R-A-PR-F

Fonte: Elaborado pela autora da Dissertação (2022)

157

Obviamente a aula trará mais oportunidades para questionamentos e
mediações que deverão ser feitas pelo professor e as sugestões aqui feitas servem para
facilitar o caminho para se chegar ao objetivo final da atividade. Ao final da aula 1, para
encerrar a Estação 1, o professor irá propor uma atividade para ser feita e entregue na
aula posterior. A atividade irá trabalhar a argumentação dos alunos de modo escrito,
como pode ser visto no quadro 24:
Quadro 24- Quadro proposto para o fim da Aula 1
Nome:

Data:

/

/

Argumento: Peter Parker disse que as tampinhas vermelhas no Tampesca sempre terão mais
chances de serem pegas, você concorda ou discorda de Peter?
Afirmação
(Concorda ou discorda)
Dados/Evidência/
Fundamentos
• Desenhe uma imagem.
• Faça um modelo
representativo.
• Utilize ideias matemáticas.
Garantia
Conecte a evidência/
fundamentos e a afirmação, ou
seja, apresente a hipótese que
liga os fatos à conclusão.
Conclusão
Apresente a resposta final
interligando todas as ideias.

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Ao fim do Encontro 1 que abrangeu a Estação 1, o aluno deverá responder
uma autoavaliação constituída por 12 questões como forma de refletir e analisar os
pontos mais compreendidos e menos compreendidos ao longo da aplicação da pré-aula
e da Estação 1, abrangendo o conceito de acaso que foi abordado, aspectos da
argumentação presentes na atividade e nos jogos de tabuleiro (Tampesca e

158

Quadraleatórios) e o jogo digital “The Vile Vendor” abordado na pré-aula. A
autovaliação consta do Apêndice A no caderno do aluno.
Em prosseguimento, a aula 2 aborda a Estação 2, teve um tempo de 2
horas/aula para ser realizada e se inicia com o jogo intitulado “Correndo ao Acaso”.
Uma atividade de investigação será aplicada antes do jogo a fim de que se verifique
conhecimentos que se espera já terem sido assimilados sobre a Probabilidade
integrando com o processo argumentativo, em que se solicita aos alunos que resolvam
a situação-problema e, em seguida, descrevam por escrito os aspectos constituintes da
investigação matemática citados por Ponte, Brocardo e Oliveira (2003). A situaçãoproblema denominada de “Atividades de Ambientação à Argumentação 2” envolve o
lançamento de uma moeda e o conceito de espaço amostral.
Após

concluída

a

atividade

de

investigação

para

a

ambientação

à

argumentação na Estação 2, o jogo de tabuleiro “Correndo ao Acaso” deve ser
aplicado. Com o jogo o aluno deverá compreender a ideia de acaso em situações do
cotidiano, além de identificar, em eventos familiares aleatórios, todos os resultados
possíveis, estimando os que têm maiores ou menores chances de ocorrência. Os
materiais utilizados para a criação desse jogo foram moldes6 para o tabuleiro, dados de
4 faces e 6 faces, personagens (moldes) e tesoura e cola (para cortar e finalizar a
construção dos personagens). Abaixo, estão os moldes dos tabuleiros e personagens:
Figura 22- Moldes dos tabuleiros e personagens

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)
6

Os moldes de tabuleiro estão disponíveis no link abaixo, estes não foram desenvolvidos pela autora da dissertação:
Molde tabuleiro ilha: https://www.alamy.com/cute-cartoon-maze-game- template-illustration-image418792912.html
Molde tabuleirofazenda: https://br.freepik.com/vetores-gratis/jogo-de- tabuleiro_1546317.htm#query=tabuleiro&position=0&from_view=search
Personagens (moldes desenvolvidos pela autora da dissertação): foram feitos utilizando o Canva.

159

Figura 23 - Tabuleiro impresso e personagens já construídos

Fonte: Acervo da autora da dissertação (2022)

A seguir, no quadro 25, há a tabela com os pontos correspondentes aos
personagens:
Quadro 25- Tabela de pontos dos personagens
CORRENDO AO ACASO
GATO

NO MÁXIMO 10 PONTOS

TARTARUGA

NO MÁXIMO 4 PONTOS

COELHO

NO MÁXIMO 6 PONTOS

PREGUIÇA

NO MÁXIMO 4 PONTOS

PORQUINHO

NO MÁXIMO 6 PONTOS

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

O jogo funciona da seguinte forma:
1- O estudante escolherá um personagem para avançar as casas no jogo.
2- Cada jogador deverá utilizar os dados disponíveis e seguir a regra
apresentada no quadro acima.

160

3- Vence o jogador que primeiro chegar ao final da trilha no tabuleiro.
Em que momento a Probabilidade aparece nesse jogo? Na maioria dos
momentos! Percebemos que o fato de saber qual personagem o aluno ficou, já introduz
a ideia da aleatoriedade, pois querendo ou não ele vai analisar a pontuação máxima
que seu personagem pode avançar a cada rodada. O interessante desse jogo é que
nem sempre o personagem que pode “correr mais” conseguirá ser o vencedor, pois o
avanço de cada personagem depende da aleatoriedade presente nos dados. Além
disso, é possível analisar o que mais teria chances de ocorrência ou não e trabalhar a
ideia do espaço amostral durante o lançamento dos dados.
Diante disso, o professor irá solicitar que os alunos anotem suas jogadas até o
fim do jogo, para assim iniciar as discussões e questionamentos pertinentes sobre o
“Correndo ao Acaso”, estimulando o processo de argumentação. Seguem as sugestões
em relação as ações do professor para essa atividade (Quadro 26):
Quadro 26- Organização prevista para discussão do jogo “Correndo ao Acaso”
na Aula 2

ATIVIDADE

CORRENDO
AO ACASO

AÇÃO DO
PROFESSOR
E POSSÍVEIS
PERGUNTAS
Com o seu
personagem,
as chances
totais de se
observar um
número par no
lançamento do
dado (ou
dados) é
grande? Por
qual motivo?
Qual o número
de chances
totais?
Em quais dos
personagens
você apostaria
que iria vencer
a corrida? Por
quê?
Você se
surpreendeu
com o
vencedor da

NÍVEL
ARGUMENTATIVO
ESPERADO

ABORDAGEM
COMUNICATIVA

PADRÃO
DISCURSIVO

Respostas com
justificativas,
dados,
fundamentos e
garantias nível 2

(a)/ (b)

I-R-A-P-R-F

Justificativas e
conclusões. Dados,
Fundamentos e
garantias nível 2

(a)/ (b)

I-R-F e
I-R-P-R-F

Justificativa e
conclusão. Dados,
fundamentos e
garantias nível 3

(a)/ (b) / (c)

I-R-P-R-A-P-RF

161

partida? O
personagem
era o mais
rápido?
Explique por
que você acha
que o
personagem
que venceu a
partida
conseguiu a
vitória
Qual a
pontuação
máxima que
eu posso obter
em um
lançamento de
um dado de 4
faces? E de 6
faces? Você
achou o jogo
justo? Por
quê?

a)
/
(b)
/
(c)

Justificativa e
conclusão. Dados,
fundamentos e
garantias nível 3

I-R-P-R-A-P-RF

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Ao fim da aula, o professor aplicará uma atividade - Atividade 2 do Encontro 2 para estimular o processo argumentativo de modo escrito, solicitando aos alunos a
análise do argumento e descrição dos componentes, como se vê no quadro 27:
Quadro 27- Quadro proposto para o fim da aula 2
Nome:

Data:

/

/

Argumento: Maria Fifi estava falando com seu amigo Pedro que no jogo “Correndo ao
acaso” o personagem que tem a maior probabilidade de vencer é a tartaruga.
Afirmação
(Concorda ou discorda)
Dados/Evidência/
Fundamentos
• Desenhe uma imagem.
• Faça um modelo
representativo.
• Utilize ideias matemáticas.

162

Garantia
Conecte a evidência/
fundamentos e a afirmação, ou
seja, apresente a hipótese que
liga os fatos à conclusão.

Conclusão
Apresente a resposta final
interligando todas as ideias.

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Por fim, encerrando o 2º Encontro, é aplicada uma autoavaliação composta
por 7 perguntas para verificar se os alunos compreenderam as ideias de acaso, espaço
amostral e evento aleatório e sobre as dificuldades que tiveram em ralação ao processo
argumentativo e seus elementos. A autoavaliação consta do Apêndice A desta
dissertação.
Já para a 3ª aula que aborda a Estação 3, as atividades previstas envolvem um
jogo de quebra-cabeça e uma atividade que envolve alguns quadrinhos e o tempo
estimado de aplicação é de 3 horas/aula. O foco destas atividades se concentra em
desenvolver o conhecimento acerca da análise de chances de eventos aleatórios e
identificação entre eventos aleatórios cotidianos, aqueles que têm maior chance de
ocorrência, reconhecendo características de resultados mais prováveis, sem utilizar
frações.
A atividade que será aplicada antes da execução desses jogos pode ser
encontrada no Apêndice A (no documento do Produto Educacional), intitulada como
“Atividade (Individual) 1 do Encontro 3”. Esta atividade tem como objetivo
desenvolver a análise de chances para eventos aleatórios e trabalha a perspectiva
investigativa matemática. Composta por uma situação-problema envolvendo spinners,
solicita que os alunos dissertem sobre a resposta, detalhando os elementos que
compõem a argumentação, como hipóteses, justificativa e conclusão.
Ao início da aula o professor retomará os conceitos desenvolvidos na atividade
da aula anterior e irá iniciar o conteúdo de probabilidade relembrando que ao saber
todas as possibilidades de determinado experimento, estamos na verdade definindo o

163

seu espaço amostral. Além disso, nesta aula é importante que o professor introduza a
ideia da refutação (isso se ainda não tiver feito), para prosseguir com os tópicos
previstos nos estudos de Toulmin. O jogo do quebra-cabeça tem o intuito de fazer com
que os alunos respondam questionamentos com respostas legítimas para que assim
possam obter uma peça (ou mais) do quebra-cabeça.
A cada resposta correta os estudantes adquirem uma peça (o número de peças
que o estudante irá ganhar por resposta correta pode ser adaptado de acordo com o
tempo que o professor possui em sala de aula e entre outros), e caso erre alguma
resposta não haverá punição, continuará com o número de peças que possui. O jogo se
encerra quando o aluno/grupo, montar o quebra-cabeça por completo.
É recomendada que esta atividade seja executada em grupo para que os alunos
dialoguem entre si e informem apenas um resultado para as perguntas (as
perguntas devem ser relacionadas ao conteúdo destacado no plano de aula).
Sugerimos 5 questionamentos, em que o primeiro questionamento vale uma peça e os
quatro últimos questionamentos valem 2 peças cada. Para o planejamento desse jogo
também utilizamos alguns materiais para elaborar os questionamentos, como baralho,
tampinhas, moedas e dados. Os materiais utilizados para o jogo do quebra-cabeça
foram molde7 para o quebra-cabeça, tampinhas, moedas e dados. Abaixo, vemos na
Figura 24 o molde do quebra-cabeça:
Figura 24- Molde quebra-cabeça

Fonte: Elaborado pela autora da Dissertação (2022)
7

Molde do quebra-cabeça foi elaborado com o Canva pela autora da dissertação.

164

São inúmeros os questionamentos que podem ser feitos a partir desse material,
aqui no quadro 28 fazemos a sugestão de 5 questionamentos que podem ser feitos
para que os alunos obtenham as peças do quebra-cabeça ao longo da aplicação:
Quadro 28- Organização prevista para discussão do jogo do Quebra-Cabeça na
Aula 3

ATIVIDADE

QUEBRACABEÇA

AÇÃO DO
PROFESSOR E
POSSÍVEIS
PERGUNTAS
No lançamento
de uma moeda,
existe alguma
vantagem em
um apostador
que escolhe
cara ou coroa?
Por qual
motivo? Qual a
probabilidade
de se obter uma
cara no
lançamento de
uma moeda?
(vale 1 peça)
Ao lançar um
dado, qual a
probabilidade
de eu obter um
número ímpar?
Você apostaria
100 reais que
acertaria um
número ímpar
no lançamento
de um dado?
(vale 2 peças)
Analise as
cartas do
baralho e
informe qual o
espaço
amostral =
{naipes de
ouros} (vale 2
peças)
Caso você
tenha um
recipiente com
tampinhas
(analisar a
quantidade de
tampinhas

NÍVEL
ARGUMENTATIVO
ESPERADO

Justificativas e
conclusões. Dados,
Fundamentos e
garantias, precisão
nível 2

Respostas com
justificativas,
dados, precisão
fundamentos,
garantias, precisão
e refutação nível 2

Justificativa e
conclusão. Dados,
fundamentos e
garantias nível 3/
precisão +
refutação nível 2

Justificativa e
conclusão. Dados,
fundamentos e
garantias nível 3/
precisão +
refutação nível 2

ABORDAGEM
COMUNICATIVA

PADRÃO
DISCURSIVO

(a)/ (b)

I-R-A-P-R-F

(a)

I-R-F e
I-R-P-R-F

I-R-P-R-A-P-RF

(a)/ (b) / (c)

a) /
(b)
/
(c)

I-R-P-R-A-P-RF

165

existentes),
qual a
probabilidade
de se obter a
cor preta? Caso
você ganhasse
um iphone se
obtivesse
aleatoriamente
uma tampinha
preta, acha que
ganharia?
Explique sua
resposta (vale 2
peças)
A palavra
Maceió foi
escrita em um
papel e
recortou-se as
letras
separadamente.
Caso o Peter
Parker tente
pegar uma
dessas letras
ao acaso, qual
seria a
probabilidade
de se obter a
letra M? Há
alguma letra
que possua
mais chances
de ser pega?
(vale 2 peças)

Justificativa e
conclusão. Dados,
fundamentos e
garantias nível 3/
precisão +
refutação nível 2

(a)/
(b)/
(c)

I-R-P-R-A-P-RF
e I-R-A

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Além disso, foi produzido um vídeo tutorial8 para explicar como se executa o jogo
do quebra-cabeça:

8 Vídeo tutorial do quebra-cabeça: https://youtu.be/R-KY4KoDeb0

166

Figura 25 – Vídeo tutorial do Quebra-Cabeça

Fonte: Acervo da autora da dissertação (2022)

Após a aplicação do quebra-cabeça, será proposta uma segunda atividade em
sala de aula que envolverá uma espécie de história em quadrinhos. O mesmo
grupo que jogou durante o quebra-cabeça será mantido para este momento. A atividade
apresenta uma arte com quadrinhos e balões em branco para serem preenchidos
pelos alunos com contextos probabilísticos. Para a elaboração desta atividade, será
preciso da arte dos quadrinhos9, lápis/caneta para escrever nos balõezinhos. Abaixo, na
figura 26, vemos a arte dos quadrinhos:
Figura 26 - Atividade dos quadrinhos

Fonte: Elaborado pela autora da Dissertação (2022)

9 Arte dos quadrinhos foi feito com o Canva.

167

O ideal nesse momento é que os alunos trabalhem em equipe e devem finalizar a
historinha dos quadrinhos no tempo determinado pelo professor. Consideramos 10 a 15
minutos um tempo bom para preencher os quatro quadrinhos, principalmente porque os
estudantes trabalharão em grupo, o que facilita o andamento da atividade. Seguem
abaixo as sugestões para o andamento da aplicação no que se refere à ação do
professor:
Quadro 29- Organização prevista para discussão do jogo dos quadrinhos na Aula
3

ATIVIDADE

QUADRINHOS

AÇÃO DO
PROFESSOR E
POSSÍVEIS
PERGUNTAS

NÍVEL
ARGUMENTATIVO
ESPERADO

ABORDAGEM
COMUNICATIVA

A partir de qual
quadrinho você
conseguiu inserir algo
probabilístico?
Qual elemento
você quis utilizar e
porquê?

Justificativas e
conclusões. Dados,
Fundamentos e
garantias, precisão
nível 2

(a)/ (b)

I-R-A-P-R-F

(a)/ (b)

I-R-F e
I-R-P-R-F

Você teve dificuldades
Respostas com
para fazer a atividade? justificativas, dados,
Conseguiria meinformar
precisão
quais objetos presentes
fundamentos,
nos quadrinhos
garantias, precisãoe
poderiam ser utilizados refutação nível 2
no contexto da
probabilidade?
Explica pra
mim?

PADRÃO
DISCURSIVO

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Ao final da aplicação dessas atividades descritas acima, propomos uma
atividade final com o uso de cartolina denominada de “Mural da Argumentação –
Fala Aí - Argumentação escrita e oral por meio de investigação matemática”, com
o intuito de identificar se o aluno conseguiu desenvolver elementos essenciais do
processo argumentativo. A atividade propõe a formação de grupos com 3 a 4 alunos e
apresenta uma situação-problema investigativa relacionada ao conteúdo para eles
buscarem expor suas resoluções e identificar aspectos como hipóteses levantadas,

168

justificativa, argumentação e conclusão. Após preencher a cartolina, os grupos devem
responder 4 questões para avaliar se compreenderam os conceitos de probabilidade
envolvidos na situação-problema, se tiveram dificuldade em resolvê-la, se tiveram
dificuldade em redigir o texto argumentando a resposta e em qual etapa da
investigação matemática tiveram mais dificuldade. Cada grupo recebe uma situaçãoproblema diferente e irá preencher a cartolina, como podemos ver o modelo na Figura
27:
Figura 27: Atividade Cartolina

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Com esta atividade, esperamos que os alunos consigam compreender os
conceitos de probabilidade, preencham os dados corretamente e relacionem a
situação-problema proposta com a argumentação escrita. É importante que após a

169

atividade o professor faça uma exposição das cartolinas para os alunos observarem
suas construções e valorizarem seu processo de aprendizagem. Também o professor
deverá sistematizar os conhecimentos construídos através das discussões para que os
alunos possam relembrar o que estão aprendendo, como meio de revisar e fixar o
conteúdo.
A autoavaliação do terceiro encontro é composta por 12 questões que
visam avaliar se os alunos aprenderam o conceito de eventos aleatórios e de
chances de ocorrência, bem como avaliar aspectos relacionados à investigação
matemática e à argumentação. A autoavaliação está no Apêndice A desta
dissertação.
O quarto encontro envolve o desenvolvimento de duas estações: a Estação 4
e a Estação 5 e o tempo utilizado para a sua realização foi 2 horas/aula.

Esse

encontro inicia-se com a Estação 4 que envolve a aplicação do jogo chamado
“Probabilinha” e a fase final da trilha de aprendizagem “Probabililha” que integra
a Estação 5 que será melhor explicada posteriormente.
A Estação 4 começa com uma atividade de ambientação à argumentação,
retomando os conceitos de espaço amostral, análise de chances de eventos aleatórios
e cálculo de probabilidade de eventos equiprováveis, por meio de uma situaçãoproblema investigativa, que solicita que o aluno argumente em sua resposta
preenchendo os campos da atividade relacionados à resolução matemática, hipóteses,
justificativa, conclusão, enfatizando o ponto da argumentação acerca de convencer de
que a sua resposta está correta. Em seguida, o jogo ‘probabilinha” é iniciado. A
“probabilinha” é um jogo que apresenta a ideia de uma amarelinha envolvendo
probabilidade em suas perguntas. Foi elaborado um vídeo explicativo do jogo cujo link
de acesso está em nota de rodapé10.
O jogo funciona da seguinte forma:
1- O estudante irá ser questionado e deverá responder à pergunta que foi feita ,
caso a resposta esteja correta, ele avança 2 casas;
2- Caso a resposta esteja incorreta, ele volta uma casa;

10 Vídeo tutorial do Jogo Probabilinha: https://youtu.be/F70LrShQEGY

170

3- O estudante finaliza o jogo quando chega ao “céudado”.
Uma das vantagens de se utilizar a Probabilinha é que é um jogo dinâmico, pois
pode ser executado de modo virtual (via plataformas online), de modo presencial, com o
molde que pode ser impresso ou até mesmo construindo uma amarelinha com E.V.A
para que os alunos joguem de modo literal uma amarelinha para se alcançar o
“céudado”. A seguir, na Figura 28, apresentamos o molde da Probabilinha:
Figura 28- Molde probabilinha

Fonte: Acervo da autora da Dissertação (2022)

Assim, como esses jogos que apresentamos na trilha, o professor pode utilizar
diversos recursos didáticos concretos como sugere Batanero (2010) que possibilitem
questionamentos pertinentes acerca da Probabilidade. Os materiais utilizados no jogo
probabilinha são estes: molde para impressão da amarelinha11, tampinha de plástico
(para marcar as casas da amarelinha), moedas, dados e cubo mágico.

11

Molde da probabilinha: foi feito com o Canva.

171

Sugerimos alguns questionamentos que podem ser feitos ao longo da aplicação
do jogo, além de apontarmos quais níveis argumentativos são esperados nessa fase:
Quadro 30- Organização prevista para discussão da “Probabilinha” na Aula 4

ATIVIDADE

PROBABILINHA

AÇÃO DO
PROFESSOR E
POSSÍVEIS
PERGUNTAS
Quantas
perguntas você
precisaria acertar
consecutivamente,
partindo do início
para chegar ao
céudado? Se
Você possui um
dado de 4 faces,
qual a
probabilidade de
em um
lançamento se
obter o número 5?
Se o cubo mágico
está com todos os
lados montados.
Qual a
Probabilidade de
se lançar o cubo
mágico e obter a
face da cor azul?
Você consegue
me informar o
resultado em
forma de
porcentagem? Os
eventos desse
experimento são
equiprováveis?
Consegue me
explicar o porquê?
Se eu lançar duas
moedas ao
mesmo tempo, as
chances de obter
uma cara aumenta
ou diminui em
relação ao
lançamento de
uma única
moeda? Porque?
Existe alguma
possibilidade de
no lançamento de
uma moeda eu

NÍVEL
ARGUMENTATIVO
ESPERADO

ABORDAGEM
COMUNICATIVA

PADRÃO
DISCURSIVO

(a)/ (b)

I-R-A-P-R-F

Respostas com
justificativas,
dados, precisão
fundamentos,
garantias, precisão
e refutação nível 3

(a)/ (b)/ (c)

I-R-F e
I-R-P-R-F

Justificativa e
conclusão. Dados,
fundamentos e
garantias nível 3/
precisão +
refutação nível 3

(a)/ (b) / (c)

Justificativas e
conclusões. Dados,
Fundamentos,
garantias e
precisão nível 3

I-R-P-R-A-PR-F

172

saber o resultado
(com toda
certeza)?
Em um bingo
escolar, você está
quase ganhando o
prêmio. Mas falta
um número de sua
cartela ser
sorteado.
Sabendo que a
urna ainda possui
10 números, qual
a probabilidade de
se obter o número
que falta na sua
cartela?
Caso o bingo
possua 100 bolas
inicialmente,
podemos dizer
que as chances
de se sortear um
número dentre
elas possuem a
mesma chance?
Os participantes
do probabilinha
são tampinhas
plásticas
coloridas. Imagine
que você tem um
recipiente com 15
tampinhas, sendo
5 azuis, 7
vermelhas e 3
verdes. Qual das
tampinhas
possuem maior
chance de serem
pegas ao acaso?
E qual possui
menos chance?
Há uma chance
igual para cada
tampinha?

Justificativa e
conclusão. Dados,
fundamentos e
garantias nível 3/
precisão +
refutação nível 3

(a)/ (b) / (c)

I-R-P-R-A-PR-F

Justificativa e
conclusão. Dados,
fundamentos e
garantias nível 3/
precisão +
refutação nível 3

(a)/ (b) / (c)

I-R-A e
I-R-P-R-A-PR-F

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Ao final do jogo, deve ser aplicada a atividade descrita no quadro 31, que visa
averiguar se o conceito de espaço amostral foi assimilado e verificar se aspectos que
compõem o processo argumentativo foram manifestados:

173

Quadro 31: Quadro proposto para o fim da Aula 4
Nome:
Data:
/
/
Argumento: A capitã Marvel está jogando Probabilinha e afirmou que no lançamento de um
dado comum, o espaço amostral é igual a seis. Sobre essa afirmação, você:
Afirmação
(Concorda ou discorda)
Dados/Evidência/
Fundamentos
• Desenhe uma imagem.
• Faça um modelo
representativo.
• Utilize ideias matemáticas.
Garantia
Conecte a evidência/
fundamentos e a afirmação,
ou seja, apresente a
hipótese que liga os fatos à
conclusão.
Conclusão
Apresente a resposta final
interligando todas as ideias.
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Após as atividades realizadas, deverá ser aplicada uma autoavaliação sobre a
Estação 4 que contém 7 questões, para avaliar se os alunos compreenderam os
conceitos de espaço amostral, chances de ocorrência de eventos, eventos
equiprováveis, sobre aspectos do processo argumentativo e sobre o jogo probabilinha.
A autoavaliação está no Apêndice A da dissertação.
Após a realização das atividades da Estação 4, os alunos são direcionados às
atividades da Estação 5 que encerram a trilha de aprendizagem.
Nesta quinta estação, os alunos serão colocados num contexto de tomada
de decisão na tentativa de conseguir a liberdade da ilha e o tesouro perdido. De modo
geral, os alunos encontrarão o tesouro respondendo à questão abaixo que envolve a
chance de sair determinada cor de chave, justificando a resposta, como vemos na
Figura 29:

174

Figura 29 – Desafio do Mapa do tesouro

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Em seguida, é anunciado que os alunos chegaram à última estação da
Probabililha, que estão nas proximidades do baú e precisam informar qual é a
localização adequada para que cheguem no ponto em que o tesouro está enterrado.
Ao responder ao questionamento o grupo irá encontrar o baú com o tesouro
perdido, porém ele estará trancado com um cadeado que só se abrirá com a tomada
de decisão do grupo que deverá escolher dois botões para apertar: um azul e um
vermelho. Um botão abre o tesouro e o outro faz com que haja uma explosão que
destrói todas as riquezas desse baú. Qual botão o seu grupo irá escolher? Qual a
probabilidade de se ter as riquezas?

175

A partir disto, o professor coloca em um envelope a resposta que seria a
“correta”. O grupo que ganhar as “riquezas” irá também ganhar a liberdade da ilha. O
grupo que ficar sem riquezas também ganhará um brinde de participação nas 5
estações, porém terão que passar mais um tempo na ilha como consequência do
acaso (decisão errada). Diante disso, a trilha de aprendizagem é finalizada com uma
autoavaliação composta por 9 questões com a finalidade de verificar se os alunos ao
longo da trilha conseguiram compreender conceitos básicos de probabilidade como
acaso, eventos aleatórios, eventos equiprováveis e espaço amostral, bem como o
significado de probabilidade e sua generalização como a divisão do número de eventos
pelo número de resultados possíveis, além avaliar o processo argumentativo e a
experiência de ter realizado a trilha de aprendizagem.
Finalizada a parte da trilha de aprendizagem, na aula 5 os alunos responderam
ao questionário a posteriori, composto por 3 partes: na parte A com 5 questões
relativas aos aspectos didáticos e metodológicos do produto educacional, a parte B
com 13 questões relacionadas ao desenvolvimento da argumentação e dos conceitos
de probabilidade e a parte C com 8 questões que abrangem os conhecimentos de
probabilidade para verificar se foram desenvolvidos e assimilados.
Com isso, passemos ao próximo tópico para a descrição da aplicação da trilha
de aprendizagem com a análise e discussão dos resultados.

3.3
Aplicação da proposta, análise e discussão dos resultados: as categorias
de análise derivadas do ciclo argumentativo dos alunos do 5º ano do Ensino
Fundamental
Neste tópico relataremos sobre a aplicação da proposta da trilha de
aprendizagem e apresentaremos a análise e discussão dos resultados obtidos durante
a aplicação das atividades da trilha e dos jogos baseados na argumentação aliada ao
ensino de probabilidade.
Para a criação das categorias, que serão de grande auxílio na análise do
conteúdo, elaboramos um quadro de categorização, onde há o critério adotado para a
análise, a sigla da categoria, a categoria e a descrição da categoria. No local destinado
aos critérios, elencamos dois, um referente às respostas corretas e outro referente às

176

respostas erradas. Para as categorias, elencamos aquilo que mais foi recorrente em
relação aos critérios estabelecidos.
Para o critério das respostas corretas, elaboramos quatro categorias, que
receberam as siglas acompanhadas da letra C (referente à correta) antes das suas
iniciais. Nesse critério das respostas corretas, estabelecemos as categorias:
Argumentação Matemática (C- AM), Domínio Conceitual (C- DC), Argumentação
Intuitiva (C- AI) e Ausência da argumentação (C- AA). Já para o critério das respostas
erradas, estabelecemos as cinco categorias: Erro conceitual (E- EC), Erro
Argumentativo (E- EA), Erro Interpretativo (E- EI), Erro Matemático (E- EM) e o Erro por
Desconexão Lógica (E- DL). Todas as categorias foram descritas e expostas no
quadro 32, quadro este que foi utilizado para analisar grande parte das questões
propostas nas atividades, além de fornecer uma análise mais precisa quanto às
respostas e devolutivas dos alunos:
Quadro 32- Quadro de categorização para a análise de resultados
Critério

Sigla da
categoria

Categoria

Descrição da categoria

C-AM

Argumentação
Matemática

Resposta correta, baseada em dados,
justificativas, conclusões e garantias
respaldadas matematicamente pelo processo
argumentativo (escrito ou oral).

C-DC

Domínio Conceitual

Resposta correta, derivada dos conceitos
probabilísticos aprendidos, porém sem
argumentação matemática.

C-AI

Resposta correta, porém, baseada em
Argumentação Intuitiva ideias empíricas do ambiente no qual o aluno
está inserido

Resposta
correta

C-AA

Ausência de
Argumentação

E-EC

Erro Conceitual

E-EA

Erro Argumentativo

Resposta correta, porém, com total
ausência de elementos que justificam sua
resolução, não apresentando o procedimento
matemático ou justificativa do raciocínio que
utilizou para chegar na
resposta.
Resposta errada por falta de compreensão
acerca da probabilidade.
Resposta errada por ausência das
características essenciais ao processo
argumentativo.

177

Resposta
errada

Erro Interpretativo

E-EM

Erro Matemático

E-DL

Erro por Desconexão
Lógica

Em branco
Ausência
de resposta

Resposta errada por interpretação
equivocada do problema proposto.

E-EI

AR - EB
AR - NS

Resposta errada por falha em
procedimentos de cálculos e estratégias
matemáticas.
Resposta errada sem qualquer relação com
probabilidade ou argumentação,
impossibilitando a análise. Neste caso, o
aluno coloca qualquer tipo de resposta, sem
conexão lógica com o conteúdo envolvido
na questão.

O aluno deixa de responder, entregando a
espaço de resposta em branco.

Manifestação escrita
de não saber a
O aluno manifesta por escrito que não sabe
resposta/não saber a resposta, não sabe responder. Geralmente
responder
expressa-se por: “Não sei.”

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Estabelecidos esses critérios e entendendo que um dos objetos de análise que é
a argumentação possui diversos elementos a serem analisados para que seja
constatado se houve ou não um processo argumentativo, percebemos que haveria a
necessidade de também se organizar algo que classificasse um determinado
argumento. Ao analisar todas as perspectivas argumentativas e os principais elementos
que as caracterizam, criamos o quadro 33 baseado nos principais teóricos abordados,
que identifica o nível argumentativo do aluno de acordo com as características e
elementos que forem fornecidos por eles. Ou seja, o quadro 33 se caracteriza como um
auxiliar de modelo argumentativo que buscou ser desenvolvido para a aplicação.
Vejamos o quadro:
Quadro 33- Modelo dos níveis argumentativos a serem classificados
Grupo ou estudante
NÍVEIS
ARGUMENTATIVOS
REINVINDICAÇÃO/
AFIRMAÇÃO
A reivindicação é o
que deve ser
mostrado como
verdadeiro ou não
verdadeiro.

3

2

1

A afirmação é correta
e nitidamente
declarada

A afirmação é
precisa, mas pode
ser obscura ou
confusa.

A afirmação não é
precisa ou
não incluído no
argumento.

178

EVIDÊNCIA
A “matemática".
Pode levar a
forma de equações,
tabelas, gráficos,
diagramas, palavras,
símbolos, etc.
GARANTIA
Explique como são
as provas
relevantes para a
afirmação.

PRECISÃO
A linguagem utilizada
deve
ser precisa o
suficiente para
comunicar as ideias
com nitidez
suficiente.
REFUTAÇÃO
Exceções que
podem ser
explicitadas para
comprovar sua
afirmação e garantia
EXPECTATIVA AO
FIM DE TODO O
PROCESSO
COMPONENTES
Matemática válida e
os argumentos têm
uma reivindicação,
evidência e garantia.

As evidências
suportam a
afirmação. É precisa
e completa.

As evidências
suportam a
reivindicação, mas
pode estar
incompleta
ou algo impreciso.

A evidência não
suporta
a reivindicação. está
incompleto
e/ou impreciso.

A garantia explica
como as
evidências suportam
a alegação/
afirmação. Isto
refere-se a uma
determinada regra
que torna a evidência
verdadeira.

A garantia explica
como o
evidências suportam
a alegação/
afirmação,
mas pode estar
incompleto ou
nítido.

A garantia não
suporta
a evidência, ou não
está lá.

O argumento é
preciso. Vocabulário
Matemático
é usado e a
linguagem comunica
as ideias com nitidez.

O argumento é
pouco preciso.
Pouco do
vocabulário
matemático
é usado. A
linguagem usada
comunica
as ideias, mas pode
não estar nítido
ou confuso.

O argumento não é
preciso. O
vocabulário
matemático não é
usado, e a linguagem
não é nítida
(confusa).

A refutação é
adequada, fazendo
com que a afirmação
e garantia
permaneçam ideais

A refutação é pouco
adequada, fazendo
com que a afirmação
e garantia possam
ser enfraquecidas

A refutação não é
adequada, fazendo
com que a afirmação
e garantia não
permaneça sendo
ideal

Argumentação
esperada

Argumentação pouco
esperada

Argumentação não
esperada

O argumento
matemático
tem todos os três
componentes:
alegação, evidência
e garantia.

O argumento
matemático
tem dois
componentes.

O argumento
matemático
tem um ou nenhum
componente.

Fonte: Adaptado de Leitão (2007), Sasseron e Carvalho (2011), Toulmin (1958) pela autora da dissertação
(2022)

Notemos que o quadro acima contempla as ideias argumentativas propostas por
Leitão (2007), Sasseron e Carvalho (2011), Toulmin (1958 apud ABERDEIN, 2005),
que vão ao encontro dos objetivos propostos na pesquisa realizada nesta dissertação
de Mestrado. Outro aspecto essencial da análise é a transcrição de falas de
determinados períodos da aplicação.

179

Para tanto, elaboramos o quadro 34 que serviu como modelo para a realização
dessas transcrições. O referido quadro é constituído por cinco aspectos gerais: o turno,
a transcrição da fala e os indicadores de engajamento, os padrões discursivos e a
abordagem comunicativa. Aqui, caracterizamos um turno como sendo um período de
fala de uma pessoa que falou (manifestação oral) e a finalizou com uma pausa. A
transcrição da fala foi realizada em momentos que foram observadas características
importantes para a análise e colocamos também os indicadores de engajamento que
transpareceram ao longo desses turnos de fala, de acordo com o quadro de
indicadores de engajamento apresentado anteriormente. A seguir, temos um exemplo,
de como seria feito o preenchimento desse quadro de transcrição de fala:
Quadro 34- Modelo de transcrição dos turnos de fala
Turnos de fala relevantes de determinada atividade/ jogo
Indicadores de
Padrões
Abordagem
Nível
Turno
Transcrição da fala
engajamento
discursivos comunicativa argumentativo
P: Quais elementos da
I-R-P-R
(b)
2
Probabilidade você observa
1
aqui?
2

3

4

A1: As porcentagens
P: Só isso? E por qual
motivo a porcentagem faria
parte da Probabilidade?
A1: Pelo motivo de a
probabilidade de algo
ocorrer variar entre 0% e
100%

Exemplos: E1,
ED1

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Notemos que para preservar a identidade do aluno, caracterizamos cada aluno
um com a sigla A, seguida de numerações distintas para representar alunos diferentes.
Exemplo: A1 significa “Aluno 1”, que é diferente do A2 “aluno 2”. Ao longo dos
encontros a identificação dos alunos pode mudar, isto é, o A1 do primeiro encontro não
necessariamente será o A1 do segundo encontro, visto que a frequência física em sala
de aula e frequência discursiva não ocorrem de forma linear. Ademais, consideramos a
letra P, para identificar a professora (autora desta pesquisa), no quadro de transcrição

180

de falas. A partir desses quadros elaborados para a análise, conseguiremos avançar
para as discussões e resultados da aplicação do Produto Educacional (PE).
Durante a construção da trilha de aprendizagem e elaboração dos jogos e
atividades, já havia o planejamento de se aplicar um questionário a priori antes do
primeiro dia de aplicação do PE com o intuito de fazer uma avaliação diagnóstica sobre
o que os estudantes sabiam a respeito da probabilidade e da argumentação de modo
prévio. Ao fazer com que os alunos exponham seus conhecimentos prévios, o
professor pode analisar os principais pontos que devem ser potencializados para que
os objetivos pedagógicos sejam mais bem alcançados, visto que ao analisar antes da
aplicação o que os alunos apresentam, há a possibilidade de o professor fazer alguma
mudança necessária, se for preciso, antes da aplicação da trilha de aprendizagem.
Diante disso, foi estabelecido com a direção da escola os dias de aplicação da
trilha de aprendizagem e separamos um dia de uma semana anterior à aplicação do
primeiro encontro da trilha para realizar as partes burocráticas da pesquisa, que foi o
de levar as documentações de consentimento dos pais e estudantes para participação
na pesquisa e a aplicação do questionário a priori. Esse processo de recolhimento das
documentações necessárias que deveria preencher o período de dois dias (para que os
pais assinassem e os alunos trouxessem no dia posterior), acabou durando quatro dias
para que todos trouxessem as documentações e assim conseguirmos iniciar a
aplicação, prorrogando para a semana posterior o planejamento que havia sido feito
para o primeiro encontro. A aplicação da trilha e questionários ocorreu no final do
setembro e início do mês de outubro de 2022, sendo que a realização dos encontros
para a aplicação da trilha de aprendizagem foi em dois dias de cada semana entre
setembro e outubro e houve momento de remanejamento do Encontro 3 em virtude do
calendário da escola. Passemos agora à análise do questionário a priori.

3.3.1 Análise do questionário a priori
Ao aplicar o questionário a priori, percebemos que houve uma certa resistência
dos

alunos

para

respondê-lo,

alegando

que

o

questionário

tinha

muitos

questionamentos e conteúdos que não tinham sido estudados ainda. A professora que
estava dando suporte na sala informou que eles não possuem o costume de executar

181

atividades mais longas e interpretativas, sendo esse um dos motivos pelo qual eles
estavam se queixando. Os alunos utilizaram cerca de duas horas para concluírem o
questionário e informaram que não haviam estudado probabilidade ainda, pelo menos
não até o mês de setembro de 2022, o que dificultou a resolução de alguns itens
presentes no questionário. É válido ressaltar que o questionário a priori foi feito pelos
alunos na modalidade impressa e depois acoplado ao formulário online para melhor
visualização das respostas obtidas:
Figura 30- Questionários a Priori impressos

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Durante a aplicação do questionário a priori, obteve-se um total de 15 respostas
dos alunos que se encontravam presentes no local. O questionário era composto por
duas partes, A e B e iniciamos a análise das respostas para as questões da parte A
que contém 9 perguntas. Este questionário pode ser encontrado no Apêndice A desta
dissertação. Iniciamos a análise com a parte A do questionário. A questão 1
perguntava se nas aulas de Matemática, o professor dá oportunidade para explicarem
o raciocínio quando estão respondendo alguma questão que ele perguntou e o
resultado foi este apresentado na Figura 31:

182

Figura 31: Gráfico da pergunta 1 do questionário a priori – Parte A

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Notamos que todos os alunos responderam à questão 1 unanimemente na
primeira opção, o que mostra, aparentemente que há espaço no ambiente de sala de
aula, disponibilizado pelo professor, para exposição de argumentos e raciocínios dos
alunos, possibilitando debates e troca de ideias entre eles.
Na questão 2, perguntou-se aos alunos se o professor propõe momentos para
que haja argumentação, ou seja, para que possam explicar pontos de vista acerca
de conceitos, ideias matemáticas, estratégias de resolução

de

questões

e

problemas que são propostos, e os resultados estão expostos no gráfico da Figura 32 a
seguir:
Figura 32: Gráfico da pergunta 2 do questionário a priori – Parte A

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Predominaram as opções (a) e (b), totalizando juntas 93,4% dos alunos. Essas
opções remetem às respostas afirmativas sobre o questionamento realizado na
questão anterior, o que indica a existência de mecanismos incentivadores de
momentos de argumentação dentro da sala de aula, embora uma parte tenha afirmado

183

“às vezes”, o que indica que a análise que fizemos afirmando que aparentemente há
abertura para a fala dos alunos, se confirmou. A opção (d) foi marcada por 6,6% do
total de alunos, o que corresponde a um aluno somente, isso mostra que ainda pode
existir algum percentual mínimo de alunos que não se sentem incentivados a participar
com contribuições de raciocínio e ideias nas aulas. Na questão 3, perguntou-se se nas
aulas de Matemática, eles têm oportunidade de falar, expressar suas ideias
matemáticas e as respostas foram estas da Figura 33:
Figura 33- Gráfico da pergunta 3 do questionário a priori – Parte A

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Notamos que o padrão da resposta anterior se repete, onde a maioria (93,3%)
marcou a opção (b) afirmando que há oportunidade durante as aulas de expressar as
ideias matemáticas e dúvidas em qualquer momento que necessitarem. A questão 4
questionava se nas aulas de Matemática os alunos costumam escrever as suas
respostas por meio de textos, explicando, justificando o porquê utilizaram determinada
estratégia de resolução e os resultados foram estes:
Figura 34- Gráfico da pergunta 4 do questionário a priori – Parte A

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

184

Um percentual de 53,3% de alunos respondeu que opta em escrever suas
respostas através

de

operações

matemáticas,

enquanto

46,7%

dos alunos

responderam que costuma escrever pequenos textos em suas resoluções de questões
de Matemática, o que sinaliza que o foco ainda é nos procedimentos e aspectos
numéricos, embora um quantitativo considerado apontou que disserta as respostas,
mas isso só poderá ser confirmado com a aplicação da trilha de aprendizagem.
Na questão 5, foi perguntado se os alunos já tiveram a oportunidade de
argumentar nas aulas de Matemática e este foi o resultado (Figura 35):
Figura 35- Gráfico da pergunta 5 do questionário a priori – Parte A

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Notamos que a maioria dos alunos (86,7%) respondeu que já teve oportunidade
de argumentar nas aulas de Matemática, enquanto 13,3% responderam de maneira
contrária a essa afirmação, o que é positivo para o que se espera em relação às
atividades da trilha de aprendizagem.
Para a pergunta 6, foi questionado aos alunos se eles acreditam que é possível
argumentar nas aulas de Matemática e obteve-se unanimidade nas respostas, em que
todos os alunos concordaram que é possível argumentar nas aulas de Matemática,
expondo o raciocínio matemático e os pontos de vista desde que haja a oportunidade
para tanto seja oralmente ou por escrito. Na questão 7 foi apresentada uma tirinha e
dois questionamentos acerca dos argumentos da personagem Mafalda:

185

Figura 36- Pergunta 7 (a) do questionário a priori – Parte A

Fonte: Quino12 (2003, p. 127, tira 2)

Quanto ao item a da questão 7, há unanimidade na resposta, em que todos
responderam que identificaram um argumento exposto por parte da personagem da
tirinha. Quanto ao item b, que solicitou que identificassem qual era o argumento da
Mafalda no último quadrinho, estas foram as respostas dos alunos, mostradas na
quadro 35, que foram transcritas:
Quadro 35- Pergunta 7 (b) do questionário a priori – Parte A
Repostas dos alunos ao item b da questão 7
A1: Não sei.
A2: Não entendi.
A3: Ela disse que ele já comeu o animal.
A4: Ela disse que ele comeu um animal e ficou pensativo.
A5: Pro menino o argumento de Mafalda não é bom.
A6: Foi o último quadrinho.
A7: As pessoas nos julgam se matamos algum animal inocente, mas se alimentam com
derivados de animais mortos.
A8: E se você não concorda, porque então você come frango, peixe, carne...?
A9: Ela argumentou se porque não devemos matar formigas e sim outros animais.
A10: Não sei.
A11: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU
A12: É triste, mas alguns bichos a gente tem que matar e se vocês não concordam por que
come alguns animais e para comê-los tem que matá-los?
A13: Ele não gostou
A14: Ele perguntou por que ela matou a formiga, mas ela disse a ele que ele come alguns
animais e para comê-los tem que matá-los.
A15: Não entendi
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Dos 15 alunos que responderam à questão aberta, 5 expressaram não saber
respondê-la ou deixaram em branco (A1, A2, A10, A11, A15), sendo identificados como
12 Extraído do livro: QUINO, J. L. Toda Mafalda. São Paulo: Martins Fontes, 2003.

186

categoria AR (EB/NS) do quadro de categorização para análise de resultados; 5
alunos cometeram erros de interpretação em suas respostas (A3, A4, A5, A6, A13),
encaixando-se na categoria E-EI e, por fim, os outros 5 alunos responderam
adequadamente à questão, enquadrando-se na categoria C-AI.
Para isso, a resposta considerada correta foi aquela que o aluno caracterizou,
mesmo que de modo parcial, a argumentação feita por Mafalda através do
questionamento para o outro personagem sobre ele condenar a sua ação a respeito da
formiguinha, mas fazendo o “mesmo” em seu cotidiano, o que leva os alunos a
refletirem sobre uma pauta presente na atualidade e que é amplamente divulgada
pelas mídias digitais as quais eles têm acesso.
Além disso, o costume dos alunos não justificarem suas respostas em sala de
aula faz com que eles não desenvolvam a argumentação oral e escrita, principalmente
na parte escrita, sendo um dos motivos para alguns não prosseguirem de modo mais
aprofundado em suas soluções, mostrando a essencialidade da implementação da
argumentação em sala de aula para que os alunos se habituem a se manifestar
fornecendo soluções mais autônomas e se envolvendo efetivamente em ações
discursivas oralmente e escritas, como visto nos estudos de Kosko e Wilkins (2015). A
seguir, na Figura 37, notamos que um dos alunos identificou o argumento de Mafalda
na tirinha e apesar de colocar a resposta semelhante ao texto presente na própria
tirinha, conseguiu constatar a ideia da argumentação feita por Mafalda:

Figura 37- Trecho de resposta de aluno referente à pergunta 7 (b) do questionário
a priori – Parte A

Fonte: Acervo da autora da dissertação (2022)

187

Já na questão 8, foi colocada uma outra tirinha perguntado se o personagem
conseguiu argumentar matematicamente de forma coerente para explicar como
conseguirá vender livros, diante do contexto mostrado abaixo:
Figura 38- Pergunta 8 do questionário a priori – Parte A

Fonte: Will Tirando (2022)13

Para este item, vários alunos apresentaram respostas incompletas ou
justificaram que não compreenderam, como pode ser observado no quadro 36:
Quadro 36- Pergunta 8 do questionário a priori – Parte A
Repostas dos alunos à questão 8: Na tirinha, o menino conseguiu argumentar
matematicamente de forma coerente para explicar como conseguirá vender os livros?
Explique a sua resposta.
A1: Não sei.
A2: Não entendi.
A3: Não sei.
A4: Não sei.
A5: Não entendi.
A6: Ele vendeu.
A7: Não entendi.
A8: Ele vendeu.
A9: Não consigo explicar.
A10: Não entendi.
A11: Não entendi.
A12: Não entendi.
A13: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU
13 Disponível no site: http://www.willtirando.com.br/

188

A14: Não entendi.
A15: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Constatamos que dos 15 alunos presentes, não houve explicações satisfatórias
para o questionamento da pergunta 8, onde 13 enquadram-se na categoria AR
(EB/NS), pois os alunos deixaram em branco ou responderam que não sabiam e 2
respostas (A6, A8) foram categorizadas como E-EA pois houve ausência de
características essenciais ao processo argumentativo, mostrando de maneira rasa
aquilo que consideraram se enquadrar com a resposta correta para o questionamento.
Essas respostas curtas, sem justificativa, são recorrentes nas aulas na atualidade e
sinalizam que a argumentação precisa ser implementada com urgência na Educação
Básica, pois senão as interações tornam-se vazias e até mesmo monossilábicas, que já
é uma característica desta geração, impulsionada pelo vocabulário reduzido de
crianças e adolescentes que não têm o hábito de leitura e também pela linguagem
utilizada nas redes sociais com palavras abreviadas cujo significado muitas vezes
exprime o que se gostaria de dizer uma frase com pelos 10 palavras.
Para a pergunta 9 foi solicitado aos alunos que explicassem o significado de
argumentar nas aulas de Matemática segundo as suas percepções. Nessa pergunta os
alunos conseguiram expor melhor as suas ideias, como mostra o quadro 37:
Quadro 37- Pergunta 9 do questionário a priori – Parte A
Repostas dos alunos à questão 9: Para você o que significa argumentar nas
aulas de Matemática?
A1: Não sei.
A2: Dialogar nas aulas.
A3: Dialogar nas aulas.
A4: Diálogo.
A5: Expor uma opinião sobre o assunto.
A6: Para mim, é explicar o que a gente entendeu.
A7: Mostrar nossas ideias e tirar dúvidas.
A8: Para tirar dúvida.
A9: Falar do meu conhecimento sobre aquele assunto, ou falar sobre dificuldades
que eu possuo.
A10: Falar o que eu entendo, ou tenho dificuldade.
A11: Argumentar sobre as respostas, alguns alunos dão outras respostas e outros
certas.
A12: Dar o argumento na aula.
A13: Para o professor/professora saber se aprendemos certo.
A14: Falar a respeito para o professor tirar uma dúvida.
A15: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

189

Das 15 respostas obtidas, apenas 2 (A1 e A15) se enquadraram na categoria
categoria AR (EB/NS) pelo fato de o aluno não saber responder ou deixar em branco,
as 13 respostas restantes foram classificadas como C-AI, pois os alunos utilizaram
de recursos intuitivos para elaboração da argumentação, mesmo que parcialmente, já
que muitas respostas foram finalizadas de modo curto e direto.
Ao analisarmos a parte A do questionário a priori percebemos que os alunos
não possuíam a prática argumentativa, ainda que alguns afirmassem já ter tido o
contato com a justificação em suas soluções. Verificamos que quando foi solicitada a
explicação nos itens do questionário, os alunos não escreveram de modo totalmente
satisfatório, mostrando a necessidade da inserção efetiva da argumentação para esse
público.

Além

disso,

foi

percebido

que

as

características

do

processo

argumentativo proposto por Kosko e Wilkins (2015) e Toulmin (1958) não
aparecem com propriedade nas escritas, necessitando de um bom planejamento
pedagógico para buscar a promoção da argumentação e engajamento através das
aulas investigativas para o 5º ano sobre o conteúdo de Probabilidade, como
observamos nos estudos de Mazur (2013) e Ponte (2003).
Passemos para a Parte B do questionário a priori, acerca dos conhecimentos
probabilísticos. A Parte B era composta por 10 perguntas, sendo que em 5 delas, as
respostas deveriam ser dissertativas e as outras 5, eram objetivas. Esta parte
apresentava 5 questões envolvendo questões de probabilidade em que os alunos
deveriam efetuar cálculos justificando matematicamente e de modo dissertativo a
resposta (a partir da pergunta 5) e 4 questões que visavam coletar as percepções dos
alunos sobre conceitos de probabilidade.
Na pergunta 1 (Figura 39) foi questionado aos alunos sobre o que seria
Probabilidade:

190

PARTE B- CONHECIMENTOS DE PROBABILIDADE
Figura 39- Gráfico da pergunta 1 do questionário a priori – Parte B

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Como sabido, a resposta correta para essa pergunta é a alternativa (b), em que
a Probabilidade se encaixa com a análise das chances de algo ocorrer. As respostas
foram estas: 80% dos alunos responderam corretamente que a probabilidade seria a
análise de chances de algo ocorrer, correspondente a opção (b), enquanto 20%
optaram pela alternativa (a), que indica que probabilidade seria a definição de algo
que vai acontecer com certeza. Nesta pergunta, as respostas demonstraram que a
maioria dos alunos tem uma concepção correta do que significa probabilidade,
mesmo que ainda seja intuitiva, daí a importância de se valorizar os conhecimentos
prévios dos alunos, suas vivências e a contextualização dos conteúdos.
Na pergunta 2 foi solicitado aos alunos que citassem dois exemplos que
envolvem a Probabilidade no dia a dia deles e as respostas foram estas:
Quadro 38- Pergunta 2 do questionário a priori – Parte B
Repostas dos alunos à questão 2: Cite dois exemplos que envolvem a Probabilidade no
seu dia a dia
A1: Não sei.
A2: Não entendi.
A3: Não entendi.
A4: Não entendi, desculpa.
A5: Todo dia eu tenho a probabilidade, por exemplo: será que eu passo o batom vermelho ou
rosa.

191

A6: Se vai ter pão torrado. No computador e na chuva.
A7: Bicicleta e forno.
A8: Eu posso me atrasar, pois meu irmão dorme muito. Só isso.
A9: Não sei.
A10: Acordar seis horas ir dormir as nove horas.
A11: Qual a probabilidade de eu ir com o tênis preto para a escola?
A12: Eu não levar lanche e eu não ir para a escola.
A13: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A14: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A15: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Dos 15 alunos que responderam à questão aberta 2, 8 disseram não saber
responder ou deixaram em branco, encaixando-se na categoria AR (EB/NS) e 7
alunos expuseram respostas que se enquadravam na ideia de probabilidade que eles
observavam em seu cotidiano, sendo caracterizadas na categoria C-AI, já que as
ideias apresentadas são baseadas em ideias empíricas do ambiente no qual o aluno
está inserido. Vale ressaltar que muitos alunos expressam uma palavra/frase curta para
definir toda uma linha de raciocínio, visto que quando o aluno responde que na chuva
há probabilidade, está se referindo à previsão do tempo, quando fala de atraso é em
relação à recorrência de atrasos que observa durante os dias da semana e busca
prever quais dias seriam propícios para o atraso, entre outros.
Vejamos na Figura 40, que há a ideia probabilística apresentada através de uma
tomada de decisão em relação à cor do batom que pode ser utilizado, analisando o
total de cores disponíveis:
Figura 40- Trecho de resposta de aluno referente à pergunta 2 do questionário a
priori – Parte B

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

192

Em continuidade, na pergunta 3 é questionado aos alunos se eles acreditavam
que no lançamento de uma moeda, as chances de se obter cara ou coroa seriam
iguais, em que a resposta correta seria a opção (a) e abaixo temos o quantitativo:
Figura 41- Gráfico da pergunta 3 do questionário a priori – Parte B

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Para o questionamento feito, responderam corretamente 86,7% dos alunos ao
afirmarem que as chances para obtenção de cara ou coroa são iguais, demonstrando
que alguns alunos possuíam domínio conceitual, se enquadrando na categoria C-DC.
Em contrapartida, 13,3% responderam equivocadamente que as chances de obtenção
de resultados no lançamento da moeda são diferentes, sendo categorizados no erro
conceitual (E-EC), por falta de compreensão acerca da Probabilidade. De um modo
geral, se cruzarmos estas respostas da pergunta 2 com a respostas da pergunta 1,
vemos que há coerência nas percepções dos alunos, ou seja, nas ideias que eles têm
sobre probabilidade e seus conceitos, o que ficou demonstrado pela maioria dos alunos
que acertou a resposta em ambas as questões. Observemos o quadro 39, referente à
pergunta 4, que apresenta a explicação da resposta que foi dada na pergunta 3:

193

Quadro 39- Pergunta 4 do questionário a priori – Parte B
Repostas dos alunos à questão 4: Explique o motivo da sua resposta que você
assinalou na questão anterior:
A1: Não entendi.
A2: Porque é muito provável os dois.
A3: Não sei.
A4: Porque as chances são possíveis.
A5: Acho que tem chances iguais.
A6: Pode ter chance de a moeda cair em cara ou coroa.
A7: Só se a pessoa calculasse todos os movimentos da moeda para cair cara ou
coroa.
A8: Calculando os movimentos da moeda.
A9: Sim, por que as chances são de 50% e 50%.
A10: É uma questão de sorte.
A11: Pode ser que caia 2 vezes em cara e 1 vez em coroa.
A12: Tem 50% de chance.
A13: Não sei.
A14: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A15: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Para essa questão, era esperado que o aluno que respondeu o questionamento
3 corretamente soubesse explicar o motivo de sua escolha, mostrando que pelo fato de
a moeda possuir duas faces, as chances de que em um lançamento “cair” com a face
voltada para cima em cara ou coroa há a mesma chance de ocorrência, já que para
cara ou coroa existe uma chance em um total de duas possibilidades, isto é, (uma
chance em duas possibilidades= 1/2= 0,50= 50%).
Com isso, dentre os 15 alunos que responderam à pergunta, 5 deles (A1, A3,
A13, A14, A15) não sabiam ou não opinaram sobre o motivo de suas respostas, sendo
categorizados como AR (EB/NS), já que não apresentaram qualquer relação sobre a
Probabilidade em sua resposta. Além disso, 6 deram respostas com erros
argumentativos (A2, A4, A5, A8, A10, A11), contemplando aspectos das categorias EEA e E-EC, pois não apresentavam características essenciais ao processo
argumentativo e nem compreensão acerca da probabilidade. Por fim, 4 estudantes (A6,
A7, A9, A12) forneceram respostas satisfatórias com argumentação intuitiva coerente
para esse momento inicial, sendo assim categorizados como C-AI.
Para a pergunta 5 do questionário a priori (parte B) foi apresentada uma tirinha
sobre probabilidade que pode ser vista na Figura 42:

194

Figura 42- Tirinha da pergunta 5 do questionário a priori (Parte B)

Fonte: Blog Santo Angelo (2022)14

A partir da figura acima, foi feito o seguinte questionamento aos alunos: se eles
conseguiriam observar algo relacionado ao conteúdo de probabilidade com a tirinha do
Garfield e obtivemos as respostas que estão apresentadas no quadro 40:
Quadro 40- Pergunta 5 do questionário a priori – Parte B
Repostas dos alunos à questão 5: Na tirinha, você consegue enxergar algo
relacionado ao conteúdo de Probabilidade? Explique sua resposta:
A1: Não sei.
A2: Não entendi.
A3: Sim, pois no rádio disse que não tinha sinal de chuva, mesmo assim choveu.
A4: Sim, porque no rádio disse que não tinha sinal de chuva, mas teve chuva.
A5: Por conta do céu claro as chances de chover eram poucas.
A6: A probabilidade de chover é pouca.
A7: Sim, porque tinha chance de chover lá, mas não na periferia.
A8: Ele deveria ter ouvido a notícia inteira.
A9: Não sei.
A10: Qual a probabilidade de chover de dia.
A11: Poderia não chover.
A12: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A13: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A14: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A15: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Para a pergunta 5, esperava-se que os alunos observassem de alguma forma a
probabilidade presente na previsão do tempo, daí as respostas que identificaram a
probabilidade com alguma explicação lógica foram consideradas coerentes para o que
foi solicitado: 7 alunos (A1, A2, A9, A12, A13, A14, A15) foram categorizados em AR
(EB/NS), pois responderam que não sabiam explicar ou deixaram em branco, não
apresentando relação com a probabilidade nem com a argumentação. Ademais, 6
14

Extraído do Blog Santo Angelo: https://blog.santoangelo.com.br/escolhendo-caminhos-musicais-com-henriquepaganini/

195

alunos (A3, A4, A5, A7, A8, A11) apresentaram onde encontravam a probabilidade na
tirinha de modo lógico, se enquadrando na categoria C-AI. Já os alunos A6 e A10
forneceram informações equivocadas e mostraram aspectos da E-EC e E-EI, pois
houve falta de interpretação e compreensão acerca da probabilidade.
Em prosseguimento, na Figura 43 podemos observar o gráfico que representa
as respostas obtidas na pergunta 6 elaborada desta forma: “se lançarmos uma moeda,
qual a probabilidade de a face cara ficar voltada para cima?”. Para essa questão, os
alunos deveriam apresentar suas respostas através de frações, tendo como correta a
opção (b). Vejamos as respostas:
Figura 43- Gráfico da pergunta 6 do questionário a priori – Parte B

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Obtivemos 73,3% das respostas corretas na alternativa (b), categorizados como
C-DC. Já 20% dos alunos optaram pela alternativa (c) o que pode significar falha na
aprendizagem de conceitos básicos da probabilidade, enquadrando-se na categoria EEC e 6,7% marcaram a alternativa (d) que pode implicar em interpretação equivocada
da questão, como mostrado na categoria E- EI. Novamente se cruzarmos estas
respostas com as respostas das perguntas 1 e 2, fica nítido que a maioria possui uma
percepção coerente do que venha a ser probabilidade e os conceitos que ela envolve e
essa percepção é intuitiva. Daí, reiteramos um ponto acerca da probabilidade que foi
defendido por Fischbein (1984), que é a intuição, já apresentada em um dos tópicos
desta dissertação e que é um componente que é autoevidente para os alunos.

196

Para a pergunta 7 (Figura 44) foi solicitado que os alunos respondessem a
seguinte situação-problema: “Um restaurante está com 13 pessoas: 9 clientes e 4
garçons. Se escolhermos uma pessoa do local, aleatoriamente, qual a probabilidade de
ser um cliente?”. As respostas obtidas podem ser observadas logo abaixo:
Figura 44- Gráfico da pergunta 7 do questionário a priori – Parte B

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Notemos que a resposta correta é a letra (b), pois na questão há 13 pessoas e 9
são clientes, então as chances de se escolher um cliente é de 9 em um total de 13
pessoas, ou seja, 9/13. Diante disso, metade da turma respondeu à questão
corretamente ao marcar a opção 9/13, enquanto a outra metade dividiu-se entre
21,4% na opção (d) e 28,6% na alternativa (a), podendo implicar em falha de
interpretação da questão ou até falta de compreensão de elementos conceituais,
mostrando aspectos nas categorias E-EC e E-EI. Também fica claro que os alunos
que erraram a questão não compreenderam o conceito de espaço amostral e de
evento, justificado pelo fato de não terem tido contato com a probabilidade nos anos
anteriores e também falhas no estabelecimento de relações entre os componentes
intuitivo, algorítmico e formal, uma vez que não estão presentes ou aparecem
parcialmente ou de modo equivocado na estrutura cognitiva.
Em continuidade, na pergunta 8 foi questionado aos alunos se “escolhendo
aleatoriamente um dia da semana, qual a probabilidade de escolher uma segunda-feira
ou uma sexta-feira?”. As respostas obtidas podem ser observadas na Figura 45:

197

Figura 45- Gráfico da pergunta 8 do questionário a priori – Parte B

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Percebemos que para calcular a probabilidade de escolher uma segunda-feira ou
uma sexta-feira ao selecionar aleatoriamente um dia da semana, precisamos primeiro
determinar quantos dias da semana existem e quantos deles são segundas-feiras ou
sextas-feiras. Há um total de 7 dias na semana (segunda-feira a domingo). Desses,
temos 1 segunda-feira e 1 sexta-feira. A probabilidade de escolher uma segunda-feira
ou uma sexta-feira é a soma das probabilidades de escolher cada um desses dias, daí,
a probabilidade de se escolher uma segunda-feira é igual a 1/7 e a Probabilidade de se
escolher uma sexta-feira é igual a 1/7, com isso, a probabilidade de se escolher uma
segunda ou uma sexta-feira é igual a união desses dois resultados, 1/7+1/7= 2/7.
Novamente os conceitos de espaço amostral e evento não estão consolidados ou não
existem na estrutura cognitiva dos alunos, além de falhas em relação ao cálculo da
probabilidade, que está ligado ao componente do algoritmo, demonstrando que não
conseguiram relacionar o número de casos favoráveis e o número de casos possíveis.
Portanto, a probabilidade de escolher uma segunda-feira ou uma sexta-feira ao
acaso é de 2/7, fazendo com que a resposta esperada do aluno seja a opção (c).
Contudo, notamos que 53,3% dos alunos se equivocaram ao escolher a alternativa (b)
e 26,7% a alternativa (a), demonstrando falha na interpretação da questão além de
entendimento parcial do enunciado da questão, enquadrando-se nas categorias E-EM,
de erro matemático e na E-EI por conta da interpretação equivocada. Neste caso, o
menor grupo, 20% dos alunos, acertou a questão marcando a alternativa (c), podendo

198

mostrar aspectos da categoria C-DC, já que demonstra um certo domínio conceitual
para solucionar corretamente o questionamento.
No que se refere à pergunta 9 foi questionado se no lançamento de um dado de
6 faces, qual seria a probabilidade de a face superior cair no número 1 e as respostas
estão apresentadas no quadro 41:
Quadro 41- Pergunta 9 do questionário a priori – Parte B
Repostas dos alunos à questão 9: No lançamento de um dado de 6 faces, qual
a chance de a face superior cair no número 1?
A1: Não sei.
A2: 2%
A3: Nenhuma.
A4: 1/6.
A5: Não entendi.
A6: Não entendi.
A7: 34%.
A8: Muito pouca.
A9: 1 chance.
A10: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A11: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A12: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A13: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A14: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A15: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Das 15 respostas na pergunta 9, apenas um aluno (A4) respondeu
corretamente, já que em um dado de seis faces, a Probabilidade de em um lançamento
cair uma face com o número 1 voltada para cima é de uma em seis, isto é, 1/6.
Portando, a resposta fornecida pelo Aluno 4 foi categorizada como C-AA pela ausência
de argumentação, elementos justificativos ou procedimentos matemáticos que
embasassem sua resposta. Além disso, 9 alunos alegaram não entender a pergunta ou
deixaram em branco (A1, A5, A6, A10, A11, A12, A13, A14, A15), tendo as repostas
categorizadas como AR (EB/NS) e 5 alunos (A2, A3, A7, A8, A9) responderam
equivocadamente à pergunta, enquadrando-se na categoria E-EC por demonstração
de falha nos conceitos de probabilidade. Ficou notório que há alunos que não
compreenderam o conceito de evento aleatório e lançar um dado caracteriza esse tipo
de evento. Num experimento aleatório, que realizado várias vezes sob as mesmas
condições, o resultado ainda assim, será imprevisível, ainda que se possa calcular a
chance de ocorrência de um dos resultados como no lançamento do dado em que se
deseja calcular as chances de ocorrência da face 1, por exemplo.

199

Já no questionamento 10 (a) foi feita a seguinte pergunta: “Ao lançar um dado,
qual a probabilidade de sair um número maior que 4?”, como pode ser observado no
quadro 42:
Quadro 42- Pergunta 10 (a) do questionário a priori – Parte B
Repostas dos alunos ao item a da questão 10: Ao lançar um dado, qual a
Probabilidade de sair um número maior que 4?
A1: Não sei.
A2: 6%.
A3: 6% de sair um número maior que 4.
A4: 4/6.
A5: Não entendi.
A6: 20% porque tem 3 números antes de 4 e 2 depois.
A7: 20%.
A8: Não entendi.
A9: Muito pouca.
A10: 2 chances.
A11: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A12: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A13: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A14: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A15: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Para a pergunta 10 (a), um total de 9 alunos (A1, A5, A8, A11, A12, A13, A14,
A15) informaram não saber responder ou deixaram a resposta em branco, sendo
categorizadas como AR (EB/NS) e E-DL (A9), pela ausência de relação com a
probabilidade ou argumentação. Ademais, 4 alunos (A2, A3, A6 e A7) apresentaram
erros por falta de compreensão sobre a probabilidade, se encaixando com a categoria
E-EC. Por conseguinte, o aluno A4 teve a resposta errada por erro interpretativo, se
enquadrando na categoria E-EI e por fim, o Aluno A10 foi o que chegou mais perto da
resposta esperada, já que colocou que existiam “duas chances”, porém esqueceu de
especificar que seriam duas chances num total de seis, isto é, 2/6 ou 1/3 ou 33,3%.
Com isso, o aluno apresentou aspectos da categoria E-EM, pois houve falha no
procedimento e estratégia matemática. Logo abaixo, na Figura 46 podemos observar
uma das respostas dada pelo aluno A6 de modo equivocado:

200

Figura 46- Trecho de resposta de aluno referente à pergunta 10 (a) do
questionário a priori – Parte B

Fonte: Acervo da autora da dissertação (2022)

Pelo quantitativo de erros e de respostas em branco, ficou evidente que os
alunos não compreenderam o conceito de evento aleatório e como calcular a
probabilidade, ou seja, a relação entre o número de casos favoráveis e o número de
casos possíveis. Nesse caso, realizar atividades práticas levando dados para os alunos
realizarem a experimentação, como recomendado por Batanero (2010) é uma
estratégia pedagógica para que os alunos possam compreender o que é um evento
aleatório. Ademais, na pergunta 10 (b) a ideia foi relacionar a argumentação com a
resposta probabilística fornecida no item anterior, como se vê no quadro 43:
Quadro 43- Pergunta 10 (b) do questionário a priori – Parte B
Repostas dos alunos ao item b da questão 10: Como você convence uma
pessoa de que a sua resposta está correta? (Redija um pequeno texto com a
argumentação):
A1: Não sei.
A2: Não entendi.
A3: Você precisa ter uma argumentação boa e trazer um argumento que a pessoa
sinta bem.
A4: Você precisa ter uma argumentação boa e trazer um argumento que a pessoa
se sinta encurralada.
A5: Não entendi.
A6: Dando meu argumento se eu estiver certa, terei muitos motivos para convencêla.
A7: Fazendo perguntas sobre a questão e vou dar motivos para convencê-la de que
estou certo.
A8: Não sei.
A9: Eu insisto até a pessoa acreditar.
A10: Conversando muito.
A11: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A12: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A13: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A14: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A15: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

201

Das respostas obtidas na pergunta 10 (b), houve 9 respostas (A1, A2, A5, A8,
A11, A12, A13, A14, A15) categorizadas como AR (EB/NS), pelo motivo do aluno não
saber responder ou ter deixado em branco. Em complemento, 4 alunos conseguiram
explicar seu ponto de vista argumentativo de acordo com suas intuições (A3, A4, A6,
A7), apresentando aspectos da categoria C-AI pela evidência do uso de argumentos
inatos do aluno e de ideias empíricas para elaboração da argumentação. Já os alunos
A9 e A10 informaram suas respostas com ausência das características essenciais ao
processo argumentativo (E-EA). Constatamos que mesmo havendo apenas uma
resposta que chegou mais próxima da correta no item passado (item 10 (a)), alguns
alunos conseguiram apresentar, mesmo que de modo limitado, suas perspectivas de
convencimento de uma afirmação ou justificativa. Ainda assim, a estrutura
argumentativa dos alunos foi insuficiente não se aproximando do modelo proposto por
Toulmin e nem do modelo proposto por Kosko, o que certamente é fruto do pouco ou
nenhum contato com o processo argumentativo em sala de aula. Por fim, o item (c) da
pergunta 10 solicitou aos alunos que fornecessem uma conclusão, interligando as
ideias dos itens (a) e (b), como mostra o quadro 44:
Quadro 44- Pergunta 10 (c) do questionário a priori – Parte B
Repostas dos alunos ao item c da questão 10: Conclusão (apresente a
resposta final interligando todas as ideias- redija um pequeno texto):
A1: Não entendi.
A2: Não sei.
A3: Uma pessoa que quer defender uma ideia, tem que mostrar um argumento bom
para convencer os outros.
A4: Não entendi (desculpa).
A5: Não entendi nada!!!
A6: Não sei!
A7: Temos que argumentar com algo que faça sentido.
A8: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A9: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A10: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A11: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A12: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A13: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A14: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A15: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
Fonte: Elaborado pela autora da Dissertação (2022)

Das respostas obtidas na pergunta 10 (c), houve 13 respostas categorizadas
como AR (EB/NS), pelo motivo do aluno não saber responder ou deixar em branco e 2

202

(A3, A7) como E-EA pela falta de características essenciais ao processo
argumentativo. Observemos o trecho de resposta do aluno A6 referente à pergunta 10
(b) e 10 (c) na Figura 47:
Figura 47- Trecho de resposta de aluno referente à pergunta 10 (b) e (c) do
questionário a priori – Parte B

Fonte: Acervo da autora da dissertação (2022)

O aluno A6 tentou redigir uma resposta tentando justificar no item b, mas afirmou
que não entendeu o que o item c pedia. Encadear justificativa e conclusão de modo
coerente para os alunos em geral é uma etapa bastante desafiadora, visto que não
estão acostumados a demonstrar o raciocínio e nem discutir nas aulas de Matemática,
pois não lhes é proporcionado este tipo de dinâmica.
Percebemos também que no item (c) foi elevada a quantidade de alunos que não
souberam responder ou deixaram em branco, isso mostra que muitos alunos nem
sequer fizeram a tentativa responder para saber se acertariam ou errariam o que foi
solicitado, evidenciando a dificuldade da geração atual em manter o foco em atividades
mais longas e que exigem mais tempo para suas soluções.
Diante da análise da parte B do questionário a priori, podemos perceber que
as noções intuitivas sobre a probabilidade já são apresentadas pelas crianças, mesmo
que de modo informal, menos estruturado ou até mesmo equivocado e não podem ser

203

ignoradas, como visto nos estudos de Fischbein (1975). Ademais, o desenvolvimento
do pensamento probabilístico deve ser potencializado desde os anos iniciais, já que as
ideias culturais que os alunos possuem se manifestam em sala de aula e podem
impactar na aprendizagem dos conceitos acerca da Probabilidade (SHARMA, 2012).
Em complemento, percebe-se nitidamente a falta de interligação entre conhecimentos
prévios e matemáticos durante as soluções das questões, mostrando que talvez o
conteúdo de probabilidade em sala de aula até o quinto ano ainda não seja colocado
em destaque ou evidenciado de maneira adequada. Por outro lado, a falta de interrelação entre os componentes intuitivo, algorítmico e formal, também ficou
bastante evidente, havendo a necessidade de se trabalhar com esses componentes
durante o processo de aprendizagem dos conceitos de probabilidade.

3.3.2 Análise das atividades da trilha de aprendizagem: 1º encontro
Como já apresentado, a trilha de aprendizagem contou com o planejamento de
cinco estações em 4 encontros, além dos dias em que foram aplicados os
questionários a priori e a posteriori. Antes da realização do primeiro encontro, fizemos a
impressão completa do caderno do aluno (Figura 48) com as atividades da trilha de
aprendizagem. Os cadernos impressos foram entregues aos alunos e recolhidos a
cada encontro, com o intuito de que não fosse danificado ou esquecido nos encontros
posteriores. Além disso, é válido ressaltar que mesmo havendo as atividades
realizadas em grupo, cada aluno teve seu caderninho e nas atividades em grupo
escolhiam o caderno de apenas um integrante para se realizar a resolução, o que fez
com que o tempo fosse otimizado:

204

Figura 48- Cadernos individuais impressos para os alunos

Fonte: Acervo da autora da dissertação (2022)

Em prosseguimento, no primeiro encontro (ver plano de aula 1 no Produto
Educacional Separado), como os alunos alegaram não saber sobre o conteúdo de
probabilidade e apresentaram diversas dificuldades na exposição das respostas
argumentativas, foi reservado cerca de 40 minutos de aula para apresentar a ideia de
probabilidade no que se refere às noções de acaso e análise da ideia do aleatório em
situações do cotidiano, além de apresentar a ideia básica do que seria argumentação a
partir de ideias investigativas. A turma no primeiro encontro contou com a presença de
11 alunos, quantitativo menor em relação ao dia em que foi aplicado o questionário a
priori.
Durante a aula de apresentação dos conceitos probabilísticos, utilizamos o
jogo The Vile Vendor como auxílio para a construção desses conceitos. Foi uma
ambientação à trilha de aprendizagem e às atividades investigativas. Ao iniciar a
aula fizemos a gravação em áudio e fizemos as análises desse primeiro encontro de
acordo com os quadros elaborados para a análise dos níveis argumentativos, da
categorização e das transcrições de fala. Além disso, todas as atividades escritas

205

foram coletadas dos caderninhos e transpostas para um formulário online com as
mesmas tarefas, via Google Forms. Essa escolha foi feita por acreditar que os dados
seriam mais bem visualizados de modo agrupado do que analisando corriqueiramente
os cadernos a cada questão de modo manual. Neste caso, cada atividade foi colocada
no Google Forms e preenchida exatamente como o aluno a respondeu, preservando a
escrita original do que foi posto pelo aluno, independente dos erros gramaticais e
abreviações inadequadas que ora ou outra apareciam.
Ao introduzir o jogo The Vile Vendor na aula, estávamos com a perspectiva das
aulas investigativas, utilizando questionamentos e motivando a fala dos alunos durante
a aula. Foram utilizados os quadros com a organização prevista para a discussão das
atividades e que contêm a ação do professor e as perguntas possíveis a serem feitas
para estimular a argumentação, o nível argumentativo esperado, a abordagem
comunicativa e o padrão discursivo. As interações discursivas transcritas em turnos
demonstram como ocorreu a dinâmica com as ações comunicativas do professor e as
respostas dos alunos, demonstrando como o processo argumentativo se desenvolveu,
quais elementos desse processo foram manifestados pelos alunos, com comentários
inter-relacionando com aspectos do referencial teórico utilizado nesta dissertação.
Observemos o quadro 45, com um trecho do episódio do encontro 1 com a
atividade The Vile Vendor:

206

Quadro 45- Trecho de fala de uma situação ocorrida durante o jogo

Fonte: Elaborado pela autora da Dissertação (2022)

207

Notemos que neste momento da aula, ao receber o questionamento da
professora os alunos começaram a se engajar, relacionando dados e possíveis
justificativas que fornecessem garantia para suas afirmações. Observemos que nos
turnos 9 e 12 os alunos já começam a justificar suas ideias de modo mais coerente e
apresentam elementos argumentativos, mesmo que de modo ainda tímido e não
sofisticado. Além disso, caracterizamos a abordagem comunicativa da professora
como do tipo (a), visto que foram exploradas ideias e formuladas perguntas autênticas.
O padrão discursivo que apareceu nesse turno foi o I-R-P-R-F-R-P-R-P-R-A, onde P é
a ação discursiva para que seja permitido o prosseguimento da fala do aluno, F é um
feedback para que o aluno elabore um pouco mais a sua fala e A é a avaliação do que
foi dito por eles, superando o padrão triádico apresentado por Mortimer e Scott (2016).
Ademais, o episódio foi enquadrado no segundo nível argumentativo, que mesmo
apresentando elementos argumentativos ainda confusos e imprecisos, o argumento
forneceu dois componentes, que seria a afirmação e uma espécie de evidência
atrelada à garantia para tentar sustentar sua afirmação inicial.
Durante a exposição desse jogo, acreditamos que esse turno foi o que mais teve
destaque, considerando que as demais falas após esse primeiro momento sustentaram
ideias que não foram caracterizadas como argumentativas, baseadas no conhecimento
intuitivo que não deu suporte para as afirmações fornecidas. Já esperávamos que o
padrão triádico, pelo menos inicialmente iria ocorrer com mais frequência, visto que a
proposta das atividades e práticas pedagógicas ainda estavam sendo compreendidas
pelos alunos nesse primeiro encontro, sobretudo, porque tratava-se de atividades
investigativas com as quais nunca tiveram contato e estavam se familiarizando. É
válido destacar que iniciamos a contagem dos turnos a partir desse trecho escolhido,
mas que outras falas já haviam sido feitas durante a aula do encontro um.
No turno 4, o A1 manifestou indícios de compreensão acerca de situações que
envolvem acaso, citando a expressão “não tem certeza”, ou seja, não havia a certeza
de que a máquina selecionasse determinada latinha, o que deveria levar o aluno a
manifestar a classificação dos eventos aleatórios, expressando “muito provável, pouco
provável, impossível, certo”. Isso indica que ainda, no início da trilha, não havia um
vocabulário probabilístico constituído, mas podendo se formar se houver um trabalho

208

em relação à compreensão dos conceitos e familiarização com os termos
probabilísticos. Em seguida, por meio da ação comunicativa docente, procurou-se
instigar os alunos a compreender o que é um evento certo, que é possível desse tipo
de evento ocorrer, relembrando os tipos de latinhas que saíram da máquina. Essa
passagem da interação discursiva remete aos primeiros momentos da investigação
matemática propostos por Ponte e que são exploração e formulação de questões
e formulação de conjecturas, pois a professora faz perguntas aos alunos, eles
começam a indagar-se, ela retorna com outras perguntas para direcionar para a
formação de conjecturas. Ao relembrar as combinações dos tipos de latinhas que
apareceram na máquina, objetivou-se refinar as conjecturas no sentido de justificála, avaliando o resultado – que é a conclusão que a professora coloca para os alunos,
correspondendo às duas útlimas etapas da investigação matemática.
Notamos que ainda não há uma estruturação do processo argumentativo
conforme colocam Toulmin e Kosko, mas alguns elementos como a refutação no turno
11, quando A1 diz que há situações em que se pode ter certeza contrapondo-se a si
mesmo quando no turno 4, afirmava que não. A refutação também aparece na fala de
A2 no turno 5 quando contrapõe-se a A1 que havia falado que não tinha certeza.
Partindo-se de dados, que são o primeiro elemento da estrutura da argumentação de
Toulmin e que no caso correspondiam as diferentes combinações de latinhas dispostas
pela máquina, não se cogitou a garantia de modo estruturado, mas a professora
procurou fazer uma indagação no turno 6 para que os alunos começassem a refletir e
surgisse a refutação, embora também não tivesse completa. O qualificador não
apareceu na interação discursiva, mas a professora conseguiu sistematizar os
conhecimentos levando a uma conclusão, que é o último componente do modelo de
Toulmin.
Ainda na perspectiva do jogo The Vile Vendor, a parte da atividade escrita
solicitava que os alunos escrevessem um texto explicando a lógica da máquina e
argumentassem se há alguma regularidade em algum fenômeno probabilístico que
pode ocorrer na seleção dos refrigerantes. Para essa atividade, obtivemos mais
respostas orais do que escritas, em que alguns alunos argumentaram que não sabiam

209

expor o seu pensamento por escrito sobre a atividade. Observemos o quadro 46 com
as respostas escritas obtidas:
Quadro 46 - Pergunta da atividade escrita do The Vile Vendor
Repostas dos alunos à atividade do the vile vendor: Escreva um texto
explicando a lógica a máquina e argumentando se há alguma regularidade em
algum fenômeno probabilístico que pode ocorrer na seleção dos refrigerantes.
A1: Não sei explicar, tia.
A2: Não consigo, só falei pessoalmente.
A3: Não sei.
A4: Só sei explicar falando.
A5: EM BRANCO.
A6: Toda a hora fala de possibilidades.
A7: Tem os refrigerantes e a gente tem que dizer se ele estava lá ou não. Se
aparece, pode acontecer e se não, não é possível.
A8: Tem a probabilidade em tudo.
A9: A máquina tem a chance para escolher os refrigerantes, a gente olha quantos
têm e se dá para pegar a que ele pede.
A10: Aperta o botão e escolhe o refrigerante, tendo a probabilidade
A11: EM BRANCO.
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Notemos que os alunos (A1, A2, A3, A4) são categorizados como AR-NS, pois
os alunos manifestaram por escrito que de algum modo não saberiam responder o que
foi pedido. Além disso, os alunos (A5 e A11) deixaram a resposta em branco, sendo
categorizados em AR-EB, já que não apresentaram resposta nenhuma para o que foi
solicitado. Ademais, os alunos (A6, A8 e A10) expuseram que havia sim a
probabilidade durante o jogo, porém não conseguiram organizar suas ideias e por isso
se caracterizaram como C-AA, já que conseguiram observar que haveria algo
probabilístico no jogo, porém com total ausência de elementos que justificam suas
resoluções. Por fim, os alunos A7 e A9 apresentaram respostas mais robustas,
mostrando que os alunos conseguiram expor melhor suas ideias e compreenderam que
a probabilidade estaria presente no decorrer das partidas, além de saber informar o
funcionamento do jogo proposto. Observemos o trecho das respostas de A7 e A9 na
figura 49 abaixo:

210

Figura 49 - Respostas dos alunos A7 e A9 da atividade do jogo The Vile Vendor

Fonte: Acervo da autora da dissertação (2022)

Tais respostas se enquadraram na categoria C-AI, pois os alunos apresentaram
a resposta correta, baseada em ideias empíricas do ambiente no qual estão inseridos.
É importante frisar que os alunos ainda apresentaram muita dificuldade em
escrever aquilo que pensavam, dificultando a elaboração de argumentos escritos, já
que não possuíam o costume de argumentar em sala de aula de forma oral ou escrita.
Notemos que o aluno A2 diz conseguir expor suas ideias apenas oralmente, nos
mostrando que a escrita argumentativa ainda está bastante fragilizada, corroborando
com o que Nasser e Tinoco (2003) discutem sobre o processo argumentativo em sala
de aula não ser promovido com seriedade ao longo da Educação Básica.
Ademais, o aluno A10 fala de modo simplista que basta "apertar o botão e
escolher o refrigerante, tendo a probabilidade" como resposta do que é pedido, nos
mostrando uma incompletude em sua resposta, mesmo podendo haver intenções
positivas no que poderia ser exposto. Percebemos que ele poderia analisar que ao
apertar o botão da máquina e analisar as possíveis escolhas, estaria intuitivamente
analisando a probabilidade de se escolher um refrigerante específico em relação ao

211

total disponível, utilizando assim a probabilidade durante a execução do jogo. Vejamos
as respostas dos alunos na figura abaixo:
Figura 50 - Respostas dos alunos A2 e A10 da atividade do jogo The Vile Vendor

Fonte: Acervo da autora da dissertação (2022)

Após a apresentação inicial com a proposta do jogo The Vile Vendor utilizado
para fazer o resgate ou construção dos conhecimentos almejados, iniciamos a
aplicação do jogo “Tampesca”, como proposto no plano de aula 1. Com este jogo, o
aluno inicia a trilha de aprendizagem que tem uma proposta baseada em
atividades investigativas. Este jogo proporcionou uma participação unânime da sala,
em que ficou perceptível a interação e engajamento para atuarem ativamente nesta
proposta. Esse episódio também foi gravado e mostraremos os principais destaques
em momento oportuno. Inicialmente, os materiais foram separados e os alunos foram
orientados acerca do funcionamento da Tampesca, sendo informados que ao irem para
a “pesca” das tampinhas, deveriam ir em dupla, para que um auxiliasse o outro nesse
processo, como explicado na descrição do jogo Tampesca. Os alunos foram
vendados e iam sendo guiados pelos seus parceiros, a fim de pegar uma tampinha.
Ao final desse processo o aluno vendado informava qual cor de tampinha achava que
tinha pescado e aí se iniciavam as discussões sobre o conteúdo de probabilidade que

212

estava previsto. A seguir, na Figura 51 e 52, podemos observar alguns participantes do
jogo Tampesca:
Figura 51- Algumas participantes do Jogo Tampesca

Fonte: Acervo da autora da dissertação (2022)

Figura 52- Participante do Tampesca se preparando para a sua “pescaria”

Fonte: Acervo da autora da dissertação (2022)

Observamos que os alunos fizeram torcidas e se empolgavam a cada rodada do
jogo, auxiliando os jogadores para que eles alcançassem o objetivo com mais rapidez e
agilidade. Deste modo, foi possível estabelecer conexões com a quantidade de
tampinhas presentes no recipiente e a que foi “pescada”, sendo feitos questionamentos

213

sobre quais cores teriam mais ou menos chances de serem pegas ao acaso. Ademais,
ao iniciar essa atividade, seguimos as propostas da ação do professor para o
Tampesca, que pode ser verificada na parte da organização prevista para discussão do
Tampesca na aula 1, descrita neste capítulo.
Ao decorrer do jogo, foram feitas considerações pelos alunos, que ficaram
perceptíveis na gravação e que poderiam ser ponto de partida para discussões
pertinentes. Com isso, fica a sugestão de que o professor se atente às falas que são
ditas entre conversas e discussões entre aluno-aluno, pois podem surgir espaços para
que a inserção da argumentação ocorra de modo mais natural. A seguir, no quadro 47
será mostrado dois trechos de interações discursivas que ocorreram nesta aplicação
que consideramos mais relevantes para serem destacadas:
Quadro 47- Trecho 1 do episódio Tampesca (Encontro 1)
Trecho 1 episódio Tampesca (Encontro 1)

T
Turno

Transcrição da fala

158

1 P: Quais as cores de tampinhas
que você pescou?
1 A3: Eu peguei a cor vermelha

Indicadores de
engajamen
to

Padrões
discursivos

E1, E2, ED1

I-R-P-R-P-R- PF

Nível
argumentati
vo
Abordagem
Alcançado
Comunicativa

159

160

161

162

163

164

165

P: Você acha que houve uma
1 maior chance de ter
pego essa cor?
A3: Sim, porque tem mais
1 tampinha vermelha do
que o resto
P: Qual a tampinha mais difícil de
1 ser pescada,
estando vendado(a)? E porquê?
Neste momento, quatro pessoas
da turma levantam a mão
1 informando que sabem a
resposta: Eu sei, eu sei, tia!
P: Vamos auxiliar a A3 a
1 responder esse
questionamento!
A3: A tampinha que tem menos
1 chances de ser
"pegada" é a preta já que tem só
uma

(a), (b), (c)

2

214

1 A4: Ah, era isso que eu ia falar!
166
1 A5: Eu também, adiantada!
167
1 P: Vocês concordam, pessoal?
168
1 Turma em uníssono: Sim!
169

170

P: Beleza, gente! Até agora estão
indo bem. Agora analisando todas
as tampinhas no recipiente, quais
1 tampinhas tem mais chances de
serem pegas e por qual motivo?
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Neste momento do Tampesca, utilizamos as perguntas sugeridas para esse
bloco descritos nos processos metodológicos. Notemos que no trecho um, nos turnos
161, 163 e 165 há a presença de características argumentativas, onde identificamos a
argumentação do nível 2. A abordagem comunicativa da professora foram as
identificadas como (a), (b) e (c), já explicitadas, que são: a) Interativo/dialógico:
professor e estudantes exploram ideias, formularam perguntas autênticas e oferecem,
consideram e trabalham diferentes pontos de vista. (b) Não-interativo/dialógico:
professor reconsidera, na sua fala, vários pontos de vista, destacando similaridades e
diferenças. (c) Interativo/de autoridade: professor geralmente conduz os estudantes por
meio de uma sequência de perguntas e respostas, com o objetivo de chegar a um
ponto de vista.
Com isso, percebemos que as modalidades de engajamento desenvolvidos
foram o E1, E2 e ED1. Observemos que a tríade nesse caso foi quebrada mais uma
vez e contribuiu para o desenvolvimento do processo argumentativo durante a
aplicação do Tampesca. Ademais, durante esse jogo, houve muita participação com
empolgação, que indiretamente fez com que os alunos tivessem mais motivação para
solucionar os questionamentos, utilizando justificativas de modo mais robusto que no
jogo anterior. No trecho do quadro 48, é notório que as justificativas apresentadas
foram mais robustas e expostas com mais convicção, como as constatadas nos turnos
173, 180 e 182. Notamos que os alunos conseguiram entender a noção probabilística
por trás do jogo, visualizando o material concreto e relacionado com o questionamento
feito.

215

Percebemos que as abordagens comunicativas permaneceram como sendo as
mesmas expostas no trecho anterior e que o padrão discursivo foi alterado para um
mais prolongado (I-R-P-R-R-F-P-R-R-F-A), onde existiu mais participações dos
alunos e da turma de modo geral, mostrando mais uma vez que questionamentos que
fazem com que o aluno investigue a situação para assim apresentar a solução
possibilitam que a sua resposta não se limite a “sim” ou “não”, mas que apresente
uma solução que abra portas para vestígios e possibilidades argumentativas, durante o
ensino de probabilidade.
Embora, ainda a argumentação dos alunos não apresentasse a estrutura
proposta por Toulmin, havendo apenas a evidenciação do elemento dados nos turnos
158 e 159, que iniciam o processo de argumentação, no turno 160 aparece a garantia
de inferência na pergunta feita professora, mas não aparece o apoio, nem o
qualificador e nem a refutação. As conclusões aparecem no turno 161 e 165 quando os
alunos percebem qual tampinha tem a maior chance de ser tirada e qual tem a menor
chance. Ou seja, são conclusões intermediárias que surgem em virtude das
indagações que são feitas pela professora para estimular o processo de argumentação.
O modelo de Kosko não aparece de modo integral, observamos alguns
elementos de argumentação presentes na resposta ao questionamento como o
elemento recontagem matemática citado por Kosko que consiste em informar o que
foi feito em uma tarefa, mas não há algo explícito matematicamente em sua explicação,
como na fala do A3: “A tampinha que tem menos chances de ser “pegada” é a preta já
que tem só uma”. Aqui segundo a concepção de Kosko, a informação matemática seria
tácita uma vez que não é explicado o procedimento matemático para apontar as
chances de ocorrência, apenas cita-se um elemento numérico, mas pode se inferir a
justificativa a partir da fala do aluno, ou seja, quando ele afirma que há apenas uma
tampinha de cor preta. Voltemos ao quadro com as interações discursivas:

216

Quadro 48- Trecho 2 do Tampesca (Encontro 1)

Turno

170

171
172

173

174
175

176

177

178
179

180

181

182

Transcrição da fala
P: Beleza, gente! Até agora estão
indo bem. Agora analisando
todas as tampinhas no
recipiente, quais tampinhas tem
mais chances de
serem pegas e por qual motivo?
A5:Eu, eu, eu!
P: Pode falar, A5!
A5: É.. Todas as cores "de"
tampinhas podem ser "pegadas",
mas a vermelha e a azul tem mais
"pobrablidade" de se pegar, já que
tem mais
vermelha e azul.
P: Alguém discorda?
A4:Eu acho que o branco
também tem mais
chance, tia
A5: Eu não enxerguei que tava
com duas brancas também, então
a maior chance vai para a
tampinha vermelha, azul e
branca. Eu falei quase
tudo certo, só esqueci dessa!
P: Muito bom! Pra finalizar essas
ideias, a gente pode dizer que
todas as tampinhas tem as
mesmas chances de serem
pegas?
Turma: NÃOOO
P: Por qual motivo?
A6:Porque a gente viu que tinha
"mais tampinha igual" de uma cor
do que da outra, aí é como se
fosse um sorteio do instagram, se
eu tenho mais comentários eu
ganho mais chances, se eu
comentei uma vez no sorteio,
tenho menos chance"
A5: Sorteio do instagram, repara
"risos pela sala"
A4: Mas ele tá certo, porque se
eu tenho mais
tampinhas da mesma cor, eu vou
ter mais "possibilidade de pegar"

Indicadores
Padrões
de
discursivos
engajamento

E1, E2, ED1

I-R-P-R-RF- P-R-R-FA

Nível
Abordagem argumentati
vo
Comunicativa
alcançado

(a), (b), (c)

2e3

217

183

184
185

P: Então, pessoal! A ideia é que
vocês vejam que quanto mais
tampinhas de uma mesma cor,
maior a chance de essa tampinha
ser "pescada" em nossso
tampesca! Obrigada pelas
contribuições. Alguém mais quer
falar ?
A5, A4: Não, professora!
Turma: Nãaaao!

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

No turno 170, a professora coloca os dados, que é o primeiro elemento do
modelo de Toulmin e no turno 173, o aluno traz a garantia de inferência justificando
porque determinada tampinha tem mais chance de ser retirada. No turno 180, o aluno
traz o qualificador – maior quantidade de bolas de uma determinada – para se chegar
a conclusão – que quem tem maior chance de ser retirada é a cor de tampinha que
aparece em maior quantidade, que foi corroborada pela professora no turno 183.
Embora faltem elementos, como o apoio e a refutação, a interação discursiva trouxe
elementos do modelo de Toulmin.
Aqui no turno 173 o aluno A5 consegue expressar o elemento recontagem
matemática citado por Kosko: “A5: É.. Todas as cores "de" tampinhas podem ser
"pegadas", mas a vermelha e a azul tem mais "pobrablidade" de se pegar, já que tem
mais vermelha e azul.” A fala não expressa uma justificativa explícita, uma explicação
matemática, como o cálculo da probabilidade de cada cor de tampinha, mas
tacitamente infere-se que se o cálculo fosse feito confirmaria a afirmação do aluno. No
turno 175, o A4 observa que as tampinhas brancas são em maior quantidade, no que o
A5 no turno 176 complementa a resposta dada no turno 173: “A5: Eu não enxerguei
que tava com duas brancas também, então a maior chance vai para a tampinha
vermelha, azul e branca. Eu falei quase tudo certo, só esqueci dessa!”. Aqui novamente
a recontagem matemática aparece, só que dessa vez, com complemento, um
acréscimo à ideia anteriormente apresentada, mas que ainda carece de explicação
matemática expressa. Então, podemos enunciar que a recontagem matemática
apresentada por Kosko e Guilford, em alguns casos pode apresentar o fator
complementação, aspecto que os autores não tinham identificado.

218

No turno 180, o A6 respondeu ao questionamento sobre as tampinhas terem a
mesma chance de serem retiradas da seguinte forma: “A6: Porque a gente viu que tinha
"mais tampinha igual" de uma cor do que da outra, aí é como se fosse um sorteio do
instagram, se eu tenho mais comentários eu ganho mais chances, se eu comentei uma
vez no sorteio, tenho menos chance". Novamente, temos uma recontagem
matemática com complementação utilizando uma analogia. Nos turnos 182 e 183, a
professora sistematiza o conhecimento, dando fechamento à noção probabilística
desenvolvida (aleatoriedade) de modo que os alunos percebessem uma característica
importante que é sobre a quantidade de tampinhas de determinada cor: quanto a maior
a quantidade de tampinhas de determinada cor, haverá mais chances de ser retirada.
Na atividade do Tampesca, os alunos conseguiram passar pelos quatro
momentos da investigação proposto por Ponte, que puderam ser observados
nitidamente nos comentários anteriores.
Após a realização do jogo Tampesca, colocamos em prática a aplicação do jogo
“Quadraleatórios” seguindo as sugestões já propostas nesse capítulo. Levamos para
a escola os cartazes com dois cenários, um de floresta e um de mar, junto aos
adesivos que seriam necessários para o procedimento deste jogo. Como a atividade
envolve muitos questionamentos, também a gravamos com o intuito de analisar a
existência argumentativa nas respostas fornecidas pelos alunos.
Logo abaixo, podemos ver o material exposto em sala de aula, junto com alguns
adesivos que foram colocados pelos alunos durante seu desenvolvimento. A atividade
ocorreu com a participação de todos os alunos presentes, em que eles deveriam
escolher um adesivo e analisar em qual cenário iriam realizar a colagem, considerando
a probabilidade de encaixe do que foi pego em sua escolha. Exemplo: Se a criança
escolheu um adesivo com um peixe, é mais provável que ele esteja no mar ou na
floresta? Provavelmente o aluno irá escolher o cenário que tem o mar e irá fornecer as
suas justificativas para tal escolha. Observemos um o ambiente realizado da atividade
Quadraleatórios na Figura 53:

219

Figura 53- Ambiente da atividade “quadraleatórios”

Fonte: Acervo da autora da dissertação (2022)

Na figura acima, os quadraleatórios foram colocados no quadro negro e os
adesivos ficaram espalhados em uma banca para uma melhor visualização. A partir
daí, o aluno ia fazendo sua escolha e quando necessário, respondendo alguns
questionamentos da professora. É válido lembrar que os alunos deveriam informar se
os elementos a serem colocados nos cenários se caracterizavam como: “pouco
prováveis”, “muito prováveis”, “improváveis” ou “impossíveis” de estarem ali, ou seja,
classificar os eventos e também se familiarizar com o vocabulário probabilístico.
A partir disso, separamos um trecho que consideramos o de mais destaque
nessa atividade, que pode ser visualizado no quadro 49:
Quadro 49- Trecho 1 da atividade “quadraleatórios”
Trecho 1 episódio Quadraleatórios (Encontro 1)
Turno

235
236
237

238

Transcrição da fala

P: Galerinha, prosseguindo!
Tenham foco! Me
falem o seguinte, o pica-pau
pertence a algum
cenário daqui? Conseguem
explicar o por quê?
A1: Sim, professora!
P: Por qual motivo, A1?
A1: Eu nunca vi pica-pau na
praia, mas já vi o picapau numa floresta quando
assisti um desenho
A3: Eu também acho que ele
tá na floresta,

Indicadores de
engajamen
To

Padrões
discursivos

Abordagem
Comunicativa

Nível argumentati vo
alcançado

220

239

240
241

242

243
244

245
246

247

248
249

250

251

porque ele vive nas "árvore"
normal e não no
coqueiro, tia
P: Então o pica-pau se
encaixa em “pouco
provável”, “muito provável”,
“improvável” ou
“impossível” de está na
floresta?
A turma em uníssono: Muito
provável!!!
P: Muito bem, pessoaal!
Dentre os adesivos que
estão nessa banca, vocês
conseguem ver algum
elemento impossível de se
encontrar nos
cenários propostos? Por
qual motivo? shhh,
silêncio pessoal, prestem
atenção!
A6: Eu acho que esse
tanque e o astronauta "é"
os adesivos que são
impossíveis de estarem na
praia ou floresta
A3: é muito difícil que eles
existam aí
P: Vocês estão fazendoo
essa classificação
utilizando o quê?
Maioria dos estudantes: A
probabilidade
P: Belezaa! Então vocês
acham que utilizaram a
probabilidade para
responder essas perguntas?
A3: Eu acho que sim, porque
tem as chances do
"negoço" que a senhora
disse acontecer
P: hm, que negócio é esse?
Acontecer aonde?
A3: Os adesivos, tia! A gente
vê as chances deles
"tarem" nos quadros
P: Agora sim eu entendi!
Ficou mais adequado
desse jeito

E1, ED1

I-R-R-P-RF/I-R-R-P-R-

(a), (b), (c)

2

P-R-P-R-A

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

A professora inicia apresentando os dados no turno 235. Em seguida, nos
turnos 238 e 239, os alunos aparecem com a garantia, evidenciando os locais em que
o pica-pau pode ser encontrado. A partir daí, a professora faz novamente uma
indagação, para levar os alunos a classificarem o evento no turno 240 e no 241 eles
chegam à conclusão de qual tipo é o evento. Ainda, que não muito estruturado e
robusto, aparecem alguns elementos do modelo de Toulmin de argumentação e faltam

221

outros como qualificador, apoio e refutação. No turno 242, a professora reinicia a
interação discursiva, trazendo os dados – adesivos sobre a mesa – e pedindo para os
alunos analisarem se há algum que se classifique em impossível. Nos turnos 243 e
244, os alunos afirmam que o tanque e o astronauta se enquadram no tipo de evento
impossível, pois os ambientes que praia e floresta não são lugares em que eles
estariam. Nos turnos seguintes, segue a indagação da professora para sistematizar o
conhecimento, evidenciando a questão da probabilidade e as chances de ocorrência, o
que é explicado pelo aluno A3. As falas dos alunos evidenciam a recontagem
matemática (239, 240, 248 e 250, em que trazem a informação, mas não há dados
matemáticos nas explicações), descrição matemática (238, 239 e 243, em que
apresentam justificativas) e explicações (turno 248, 250, em que o aluno começa a
reconhecer e compreender o que é probabilidade e a classificação dos eventos),
elementos que estão presentes no modelo de Kosko.
Observamos que em relação às etapas da atividade investigativa, os alunos
puderam vivenciar as quatro etapas, desde a exploração e formulação de questões,
passando pela elaboração de conjecturas, justificação e avaliação.
O trecho acima d o q u a d r o 4 9 apresenta turnos de falas pertinentes e
que parecem ter uma defesa mais firme do que as apresentadas durante o
Tampesca. Notamos que os turnos 238, 239, 243 e 250 apresentam respostas
assertivas diante do que está sendo perguntado. Ademais, elas são respaldadas em
justificativas pertinentes, melhorando um pouco a relevância do que estava sendo dito.
As características da abordagem comunicativa e padrões discursivos contemplaram
aquilo que estava sendo objetivado, já o engajamento dos alunos não ocorreu tanto de
modo colaborativo, porém fez com que eles relacionassem os dados as suas
justificativas e tivessem uma maior atenção pelo conteúdo abordado. Até esta fase do
primeiro encontro, foi percebido que os alunos se empenharam e deram um feedback
bastante positivo sobre os jogos trabalhados. Porém, quando iniciamos a aplicação das
atividades escritas, os alunos começaram a alegar um desconforto e cansaço, mesmo
eles tendo feito considerações valiosas em momentos antes da aplicação da atividade
escrita.

222

Deste modo, iremos apresentar as atividades escritas do primeiro encontro e as
respostas dos estudantes no que se refere à probabilidade e ao processo
argumentativo. Já de antemão, foi notório desde a aplicação da atividade escrita que o
engajamento dos alunos não era satisfatório e que muitos estavam respondendo os
questionamentos sem se esforçarem e aparentemente sem compromisso com as
atividades propostas de modo escrito.

a)
1

Atividade 1 e 2 do encontro 1 - Atividades de ambientação à Argumentação
Durante a aplicação da atividade 1 do encontro 1, obteve-se um total de 11

respostas dos alunos que se encontravam presentes no local. Para a visualização das
questões de maneira holística, o leitor poderá retornar aos processos metodológicos e
consultá-las em sua integralidade, de modo que a análise a seguir mostra um breve
resumo da questão e seus respectivos resultados. A primeira questão da atividade 1
do encontro 1 apresentou o seguinte contexto aos alunos: “Os dados são muito usados
em jogos de tabuleiro. Cada uma das 6 faces de um dado como mostrado a seguir tem
pontinhos que representam números de 1 a 6. Observe o lançamento de dado que Ana
fez”:

Após essa contextualização é pedido para o aluno pintar os quadrinhos
(enumerados de 1 a 6) do jogo com a quantidade de casas que ela deveria andar:

223

A resposta esperada era que os alunos pintassem todos os números, para
representar a movimentação no jogo de tabuleiro em relação ao número obtido no
lançamento do dado. Evidenciamos nas respostas obtidas na Figura 54 que apenas
cinco alunos responderam corretamente ao questionamento, pintando todas as opções
(1 a 6); 4 alunos pintaram apenas o quadradinho número 6, evidenciando a falta de
compreensão de analisar que as outras casinhas também seriam contempladas; um
aluno pintou os quadrinhos (4) e (6) de maneira equivocada e um aluno deixou a
questão em branco. Abaixo, temos o gráfico com o quantitativo das respostas:
Figura 54- Gráfico da pergunta 1 da atividade 1 do encontro 1

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Percebemos que maioria da turma teve dificuldade na interpretação do
problema, apesar de demonstrar entender o conceito de probabilidade, enquadrando
as respostas “pintaram o 4 e o 6” e “pintaram apenas o 6” como E-EI. Além disso, 5
alunos compreenderam o enunciado e acertaram a questão, mostrando aspectos da
categoria C-DC. Por fim, um aluno demonstrou falha no aprendizado do conteúdo em
estudo ou não quis responder ao questionamento, enquadrando-se na categoria E-DL.
Já na pergunta 2 desta mesma atividade o personagem Lucas joga o dado e a
face voltada para cima é o número 5, daí é questionado ao aluno quantas casas do
jogo de tabuleiro Lucas deveria andar ao observar a face desse dado após o
lançamento. Como resposta para esse questionamento esperava-se que o aluno
compreendesse que Lucas andaria cinco casas no tabuleiro. Nesse sentido, obtivemos

224

6 respostas corretas e 5 respostas em branco, em que as corretas se enquadraram na
categoria C-DC e as em branco na categoria AR - EB, pois não houve resposta (ver
Figura 55):
Figura 55- Pergunta 2 da atividade 1 do encontro 1

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Em continuidade, na pergunta 3, é feito o seguinte questionamento “dos
números abaixo (Figura 54), circule aqueles que são impossíveis de sair quando
jogamos um dado de seis faces:”
Figura 56- números para serem circulados da pergunta 3

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Para essa resposta era esperado que os alunos circulassem os números 7, 8, 9
e 10, já que em um dado de seis faces há apenas números de um a seis. As respostas
obtidas podem ser observadas na Figura 57:

225

Figura 57- Gráfico da pergunta 3 da atividade 1 do encontro 1

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

É válido salientar que cada aluno poderia circular mais de um número, por isso a
quantidade de cada número circulado pode variar. Com isso, constatamos pela análise
do gráfico gerado que mais da metade dos alunos compreenderam o que se pede na
questão e circularam corretamente as opções de (7) a (10) como impossíveis de se
obter ao jogar um dado, sendo categorizados na resposta correta por Domínio
Conceitual (C-DC). Em contrapartida, pode-se notar que alguns alunos marcaram
números de (1) a (6) como sendo impossíveis de se obter num lançamento de um dado
de seis faces, errando o questionamento. Além disso, percebemos que alguns alunos
marcaram os números de 1 a 6 por não ter interpretado corretamente o que foi pedido,
podendo ter pensado que seriam os números que teriam possibilidade sair no
lançamento desse dado e nesses casos apresentam aspectos da categoria E-EC e EEI.
Já na pergunta 4 é questionado aos alunos se a personagem Ana vai tirar 6 no
dado com certeza na próxima rodada e obtivemos as respostas apresentadas na
Figura 58:

226

Figura 58- Gráfico da pergunta 4 da atividade 1 do encontro 1

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Para a pergunta 4, dos onze alunos presentes, um deixou em branco e dez
responderam

à

pergunta.

Destes,

9

alunos

responderam

corretamente

o

questionamento, informando que não tinha como ter certeza de Ana conseguir o
número 6 no lançamento do dado e apenas um aluno respondeu o questionamento de
forma incorreta. Assim, nove alunos demonstraram entendimento do conteúdo, se
categorizando como C-DC, um demonstrou falha na interpretação da questão ou
entendimento da probabilidade, enquadrando-se como E-EI e um deixou em branco
(AR – EB).
Em prosseguimento, na pergunta 5 há a seguinte indagação “Ana fez uma
vitamina de frutas com maçãs e laranjas. Marque com um X as frutas que Ana com
certeza colocou na vitamina de frutas (ver Figura 59)”.
Figura 59- frutas do enunciado da pergunta 5 (encontro 1)

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

A resposta esperada para essa pergunta era a marcação do “X” na maçã e na
laranja, já que banana não foi citada no enunciado. Com isso, observamos na Figura
60 que dos 11 alunos que responderam à questão, 10 acertaram, marcando as opções
da maçã e laranja, enquanto somente 1 aluno errou, marcando a opção da banana

227

como única fruta utilizada na vitamina, enquanto seria a única fruta não utilizada na
vitamina dentre as três frutas da imagem. Isso mostra que os alunos já estão
começando a entender melhor as ideias de certeza e acaso, fortalecendo o domínio
conceitual acerca da probabilidade. Vejamos o gráfico com o quantitativo das
respostas:
Figura 60- Gráfico da pergunta 5 da atividade 1 do encontro 1

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

A pergunta 6 da atividade 1 do encontro 1 foi uma questão de múltipla escolha
com o seguinte enunciado: “Carla preparou três taças de sorvete: uma com sorvete de
creme, uma com sorvete de chocolate e outra com sorvete de morango. A filha dela
pegou uma das taças , ao acaso, sem ver o sabor do sorvete.” Após essa
contextualização a questão solicita que os alunos marquem com um X a frase correta
sobre o sorvete da taça que a filha de Carla pegou, que seria:
(

) O sabor com certeza é creme.

(

) Talvez o sabor seja creme.

(

) É impossível o sabor ser creme.
Na Figura 61, conseguimos notar que se obteve 90,9% de acertos e 9,1% de

erros, isto é, 10 alunos acertaram e 1 errou o questionamento. Com essas respostas
podemos observar que mesmo existindo alunos que ainda apresentam dificuldades em
reconhecer algum evento certo, aleatório ou impossível, há a presença da construção
de conceitos mais concretos ao longo das perguntas. Neste caso, as respostas corretas

228

se enquadraram nas categorias C-AI e C-DC, enquanto a resposta incorreta foi
caracterizada como E-EC. O gráfico está logo abaixo:
Figura 61- Gráfico da pergunta 6 da atividade 1 do encontro 1

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Por conseguinte, a pergunta 7 contém dois itens (a) e (b) com o enunciado da
seguinte forma: “Daniel e Rui estão brincando com dois dados. Daniel tirou
Rui tirou

.

.” Logo após essa contextualização, é pedido para que o estudante

complete duas sentenças:
a) Rui tirou 3 e 6, que adicionados resultam em ........... pontos.
b) Daniel tirou .........pontos ao todo.
A resposta esperada para o item (a) seria 9 pontos, já que 3+6= 9 e a resposta
esperada para o item (b) seria 9 pontos também, já que 5+4=9. Para essa pergunta
obtivemos unanimidade de respostas corretas, em que todos os 11 alunos
responderam o que era esperado para os itens (a) e (b), enquadrando-se na categoria
C-DC.
Para a pergunta 8 temos uma questão objetiva, em que os alunos deveriam
escolher a alternativa (a) ou (b) para responder o enunciado a seguir: “na próxima
jogada, Rui disse que vai fazer 13 pontos jogando os dois dados. Em relação a isso,
podemos afirmar que” a) É impossível acontecer b)Talvez aconteça.

229

A resposta esperada para essa pergunta é a alternativa (a), visto que Rui está
utilizando dois dados de seis faces e a maior soma que pode ser obtida ao lançar os
dois dados seria 6+6=12. Observemos as respostas obtidas na Figura 62:
Figura 62- Gráfico da pergunta 8 da atividade 1 do encontro 1

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Podemos notar que 72,7% dos alunos acertaram a questão ao interpretar que é
impossível afirmar que a soma das faces de dois dados poderá resultar em 13 pontos
(C-DC), enquanto 27,3% não conseguiram chegar a essa conclusão e erraram a
questão (E-EM).
Já na questão 9 é apresentada uma roleta (Figura 63) dividida em 6 partes
iguais com 3 cores diferentes com o seguinte enunciado: “Girando o ponteiro desta
roleta, em qual cor há maior chance de o ponteiro parar? Por quê?”
Figura 63- Gráfico da Roleta da questão 9 (Encontro 1)

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Para essa questão é esperado que o aluno perceba que há mais setores na cor
verde no que as demais cores, havendo assim uma possibilidade maior de o ponteiro

230

parar em um setor da cor verde. No quadro 50 podemos observar algumas respostas
escritas pelos alunos:
Quadro 50 - Pergunta 9 da atividade 1 do encontro 1
Repostas dos alunos à questão 9: Girando o ponteiro desta roleta, em qual cor
há maior chance de o ponteiro parar? Por quê?
A1: Verde, porque tem mais.
A2: Verde, pois se está girando, ele talvez pare no verde.
A3: Porque tem mais verde. O verde.
A4: Verde, porque tem mais verdes.
A5: Verde porque tem mais.
A6: Verde.
A7: Verde porque está em maior quantidade.
A8: Porque tem mais verdes, o verde.
A9: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A10: Verde, porque tem mais dele e as chances são maiores.
A11: Verde, porque é a maior.
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Para a pergunta 9, obteve-se 10 repostas consideradas corretas, porém com
diferenças nas classificações de categorias, sendo: uma resposta categorizada como
C-AA por estar correta, porém com total ausência de argumentação (A6), uma resposta
categorizada como AR - EB (A9) e 9 respostas (A1, A2, A3, A4, A5, A7, A8, A10, A11)
classificadas nas categorias C-DC e C-AI, pois houve constatação de domínio
conceitual na argumentação intuitiva.
Em prosseguimento, temos a seguinte contextualização para a questão 10: “Em
casos como o da atividade 9, é possível registrar a medida da chance, que é chamada
probabilidade. A probabilidade de o ponteiro parar no marrom é 2 em 6, isto é, 2/6”.
Após essa contextualização, são apresentados 3 itens, o item (a) questiona qual é a
Probabilidade de o ponteiro parar no verde, o item (b) pergunta qual é a Probabilidade
de parar no vermelho e o item (c) pergunta ao estudante qual é a Probabilidade de não
parar no vermelho. Para o item (a), a resposta esperada seria 3/6 ou 3 cores verdes em
um total de seis setores e obtivemos as respostas apresentadas na Figura 64:

231

Figura 64- Gráfico da pergunta 10 (a) da atividade 1 do encontro 1

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Pode-se notar que, como a questão é aberta, há uma variação natural da forma
de se escrever a resposta, porém, consideram-se corretas 6 das 11 respostas,
totalizando 54,6%, categorizando-se como C-AA; 4 respostas, que representam 36,4%
foram categorizadas como E-EC pois apresentaram falha no conceito da questão,
faltando compreender que existem 3 possibilidades de um total de 6.
Além disso, um aluno (9,1%) colocou que seriam 4 chances em 6, tendo a
resposta categorizada como E-EM por haver uma demonstração de compreensão do
espaço amostral, porém falha em procedimento matemático para obtenção da resposta
correta. Em continuidade, para o item (b) é esperado que o aluno observe que há
apenas 1 cor vermelha em um total de 6 setores disponíveis, portanto, 1/6. A Figura 65
apresenta as respostas obtidas:
Figura 65- Gráfico da pergunta 10 (b) da atividade 1 do encontro 1

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

232

Notemos que há a mesma variação natural na forma de se escrever a solução,
porém, das 11 respostas, apenas 6 foram corretas totalizando 54,6%, categorizando-se
como C-AA; 1 aluno respondeu que seria 2/6, apresentando um E-EM. Um outro aluno
informou que a resposta seria 4, categorizando com E-EC, já que ele aparentemente
não compreendeu o que estava realizando para solucionar o questionamento. Por fim,
3 estudantes informaram que a resposta correta seria “1”, apresentando aspectos da
categoria E-EM por haver uma demonstração de compreensão do espaço amostral,
porém falha em procedimento matemático para obtenção da resposta correta.
Para o item (c), esperava-se que o aluno respondesse que existiam 5
possibilidades de cores que não eram vermelhas de um total de 6 repartições. A Figura
66 mostra que 5 das 11 respostas foram consideradas corretas, totalizando 45,5%,
enquadrando-se

como

C-AA;

4

respostas,

que

representam

36,4%

foram

categorizadas como E-EC pois apresentaram falha no conceito da questão, apesar de
ter tido a percepção de que seriam 5 cores que contemplariam o que foi pedido e 2
respostas foram categorizadas como E-EM por haver uma demonstração de
compreensão do espaço amostral, porém falha em procedimento matemático para
obtenção da resposta correta. Vejamos o gráfico com o quantitativo das respostas:
Figura 66- Gráfico da pergunta 10 (c) da atividade 1 do encontro 1

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Ademais, na pergunta 11 é pedido o seguinte: “As letras da palavra
MATEMÁTICA foram escritas separadamente em 10 cartões. Um desses cartões será
sorteado. Escreva a resposta em forma de fração como você fez na questão 10”.

233

Figura 67- Palavra embaralhada da pergunta 11

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

A pergunta 11 possui 5 itens, onde o item (a) questiona sobre qual é a
probabilidade de sair a letra E, o item (b) questiona para quais letras a Probabilidade de
sair é 2/10, já no item (c) é perguntado qual é a Probabilidade de sair uma vogal, o item
(d) pergunta se a Probabilidade de sair a letra M é maior ou menor do que a de sair a
letra I e por fim, o item (e) pergunta qual probabilidade é maior: a de sair uma
consoante ou a de sair uma vogal. Dado esse pano de fundo, iniciemos a análise da
décima primeira pergunta, observando que no item (a) a resposta esperada seria uma
(letra E) em um total de 10 letras, isto é, 1/10.
Com isso, a Figura 68 mostra que 6 repostas foram corretas e enquadram-se na
categoria C-AA, representando 54,6% da turma, além disso, 4 respostas (alunos que
responderam 10/11 e 3/10), que representam 36,4% foram categorizadas como E-EC,
pois apresentaram falha no conceito da questão. Por fim, uma resposta, que
representou 9,1%, foi categorizada como E-EM por haver uma demonstração de
compreensão do espaço amostral, porém falha em procedimento matemático para
obtenção da resposta correta. Vejamos o gráfico com o quantitativo das respostas:
Figura 68- Gráfico da pergunta 11 (a) da atividade 1 do encontro 1

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

234

Em prosseguimento, o item (b) da questão 11 tem como resposta as letras M e
T, já que são as únicas que aparecem duas vezes em um total de 10 letras.
Observemos as respostas obtidas na Figura 69:
Figura 69- Gráfico da pergunta 11 (b) da atividade 1 do encontro 1

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Constatamos que dos onze alunos, 10 responderam à pergunta e um deixou em
branco. Além disso, 6 respostas foram corretas e enquadram-se na categoria C-AA
representando 60% dos que responderam da turma; 2 respostas que representam 20%
foram categorizadas como E-EC (os alunos que responderam: M e V/ apenas M), pois
apresentaram falha no conceito da questão. Ademais, um aluno respondeu que seria
(1/10) a solução do que foi pedido, sendo categorizado como E-EM por haver uma
demonstração de compreensão do espaço amostral, porém falha em procedimento
matemático para obtenção da resposta correta. Por fim, duas respostas foram
enquadradas como AR (EB/NS), já que houve resposta deixada em branco ou
respondida com um “não”.
Para o item (c) da pergunta 11, temos que a resposta correta seria 5/10 ou 5 em
10, já que a palavra MATEMÁTICA possui 5 vogais, mesmo que repetidas alguma
delas. Com isso, a Figura 70 mostra as respostas obtidas para o item (c):

235

Figura 70 - Gráfico da pergunta 11 (c) da atividade 1 do encontro 1

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Notamos que um aluno deixou o item em branco AR (EB) e 10 responderam a
questão, onde 6 repostas foram corretas e enquadraram-se na categoria C-AA
representando 60% dos que responderam da turma. Além disso, 3 respostas foram
categorizadas como E-EC pois apresentaram falha no conceito da questão (as que
responderam “5”) e uma resposta “2/10” foi categorizada como E-EM por haver uma
demonstração de compreensão do espaço amostral, porém falha em procedimento
matemático para obtenção da resposta correta.
Em continuidade, no item (d), é perguntado se a chance de sair a letra M é maior
ou menor do que sair a letra I, ao observarmos a palavra MATEMÁTICA, percebemos
que a letra M aparece duas vezes e a letra I aparece apenas uma vez. Logo, há mais
chances de sair a letra M, pois para ela a Probabilidade é de (2/10 ou duas chances em
dez), enquanto a letra I é de (1/10 ou uma chance em dez). Passemos para a análise
das respostas obtidas apresentadas na Figura 71:

236

Figura 71- Gráfico da pergunta 11 (d) da atividade 1 do encontro 1

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Obteve-se para a pergunta 11 (d), um total de 9 respostas com alguma solução,
enquanto 2 respostas estavam em branco. A partir disso, notamos que um total de 7
respostas estavam corretas, representando 77,7% e sendo categorizadas como C- AA
por não haver argumentação. Ademais, uma resposta foi encaixada na categoria E-EC
por ser constatado erro no conceito (o aluno que respondeu “menor’) e três respostas
foram categorizadas como E-DL por não fornecer relação com probabilidade ou
argumentação, além de duas dessas três terem ficado em branco sendo categorizada
como AR (EB).
Já no último item da pergunta 11 foi questionado qual a probabilidade seria
maior, de sair uma consoante ou a de sair uma vogal na palavra MATEMÁTICA. Neste
caso, como há 5 consoantes e 5 vogais, a probabilidade de sair uma vogal ou uma
consoante é a mesma. Dessa forma, observemos as respostas da pergunta 11 na
Figura 72:

237

Figura 72- Gráfico da pergunta 11 (e) da atividade 1 do encontro 1

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Para a pergunta 11 (e) obtivemos um total de 9 respostas preenchidas e 2 em
branco categorizadas por AR (EB), onde 6 respostas foram corretas, representando
66,6% dos que responderam a pergunta e sendo categorizadas como C- AA por não
haver argumentação. Além disso, 3 respostas foram enquadradas na categoria E- EC
por ser constatado erro conceitual, representando um total de 33,3% dos alunos que
responderam à questão.
Em continuidade, a pergunta 12 tem o seguinte enunciado: “Como já dissemos
antes, a medida da chance, chamada probabilidade, muitas vezes pode ser indicada
por uma fração. Se você retirasse, sem olhar, 1 bola do vidro abaixo, então a chance
maior seria a de pegar uma bola vermelha ou uma bola azul? Por quê?”
Figura 73 - Vidro com as bolinhas da questão 12

Fonte:https://www.turbosquid.com/pt_br/3d-models/3d-model-vase-sweets-1264886

238

Observamos que as bolinhas vermelhas estão em maior quantidade e por isso é
mais provável que se pegue uma bolinha vermelha ao acaso. Com isso, o quadro 51
mostra as respostas fornecidas pelos alunos participantes:
Quadro 51 - Pergunta 12 da atividade 1 do encontro 1
Repostas dos alunos à questão 12: Como já dissemos antes, a medida da
chance, chamada probabilidade, muitas vezes pode ser indicada por uma
fração. Se você retirasse, sem olhar, 1 bola do vidro abaixo, então a chance
maior seria a de pegar uma bola vermelha ou uma bola azul? Por quê?
A1: Vermelho.
A2: Vermelha, porque tem mais.
A3: A bola azul, pois a azul está mais em cima do que a vermelha.
A4: Vermelha, porque tem mais.
A5: Vermelho, porque a quantidade é maior. 3/5.
A6: Vermelha, porque tem mais.
A7: Vermelho.
A8: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A9: Vermelho, pois tem 3/5 de chance.
A10: Maior probabilidade de ser vermelha porque está em maior quantidade. Já as
azuis estão em minoria.
A11: Vermelho, porque tem mais dela e a probabilidade é maior.
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Das 11 respostas obtidas, 9 estudantes responderam à questão corretamente.
Dentre eles, os alunos (A1, A7) não apresentaram vestígios de argumentação, sendo
classificadas na categoria C-AA, já os outros 7 alunos dos 9 que acertaram o
questionamento (A2, A4, A5, A6, A9, A10, A11) se enquadraram nas categorias C-DC e
C-AI. Além disso, o aluno A3 apresentou uma falta de compreensão acerca da
probabilidade, encaixando sua resposta na categoria E-EC. Por fim, o aluno A8
apresentou sua resposta em branco se enquadrando na categoria A (EB). Ao final da
pergunta 12 é solicitado que o aluno indique com uma fração a probabilidade de retirar
1 bola azul do vidro da Figura 71, onde a resposta correta é 2 em 5 ou 2/5, já que
existem 2 bolas azuis em um total de 5 bolas dentro do vidro. Nessa pergunta, 2 alunos
deixaram em branco (A - EB) e 9 alunos responderam corretamente à questão, se
enquadrando na categoria C-AA, mostrando que mesmo sem a argumentação tão
presente os alunos vêm desenvolvendo de modo mais consciente alguns conceitos
probabilísticos.
Já a pergunta 13 contém 5 itens, onde é apresentada uma roleta repartida em 4
setores iguais (Figura 74), sendo 2 deles vermelhos, um azul e um laranja.

239

Figura 74- Roleta do enunciado da questão 13

Fonte: Elaborado pela autora da Dissertação (2022)

A partir desse contexto, é pedido que o aluno responda o seguinte
questionamento utilizando fração: “girando bem forte a seta da roleta, qual é a
probabilidade de a roleta parar na cor” (a) vermelha, (b) laranja, (c) azul, (d) verde e (e)
“qual a Probabilidade de a seta NÃO parar no azul”? Para o item (a) a resposta
esperada seria 2/4 ou 1/2, já que temos duas cores vermelhas no total de 4 setores
disponíveis. Já no item (b) a resposta esperada seria 1/4. Para o item (c) a resposta
correta seria 1/4, pois temos apenas uma cor azul no total de quatro repartições. No
item (d) a resposta esperada seria 0/4 ou 0, já que é impossível nessa roleta obtermos
a cor verde. Quanto ao item (e) a resposta seria 3/4, já que temos 3 cores sem ser a
azul dentro de quatro possibilidades. Além disso, na Figura 73 podemos analisar as
respostas obtidas:
Figura 75- Gráfico da pergunta 13 (a) da atividade 1 do encontro

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Para o item (a), obtivemos 10 respostas preenchidas e uma resposta em branco,
onde 4 estão corretas e foram classificadas como categoria C-DC, representando 40%
do total que foi respondido. Além disso, 6 respostas estão incorretas, sendo 5 delas

240

classificadas como E-EC por demonstrar erro conceitual e 1 delas classificada como EEM por demonstrar erro nos processos matemáticos. Por fim, a resposta em branco é
classificada como A - EB.
Em prosseguimento, no item 13 (b) percebemos na Figura 76 que 10 alunos
responderam à pergunta e um deixou em branco. Com isso, das 10 respostas
preenchidas, 3 estão corretas e foram classificadas como categoria C-DC,
representando 30% do total preenchido; 7 estão incorretas, sendo 5 delas
classificadas como E-EC por demonstrar erro conceitual (os que responderam “1”) e 2
delas classificadas como E-EM por demonstrar erro nos processos matemáticos (os
que responderam 2/4 e 0/0). Por fim, a resposta em branco foi classificada como A EB por não apresentar nenhuma relação com a probabilidade e a argumentação.
Vejamos o gráfico com o quantitativo das respostas:
Figura 76 - Gráfico da pergunta 13 (b) da atividade 1 do encontro 1

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Já na pergunta 13 (c) também obtivemos 10 respostas preenchidas e uma em
branco (A-EB). Com isso, observamos na Figura 75 que das 10 respostas preenchidas,
5 estão corretas e foram classificadas como categoria C-DC, representando 50% do
total respondido e 5 estão incorretas, sendo classificadas como E-EC por demonstrar
erro conceitual, representando 50% do total das respostas. Vejamos o gráfico com o
quantitativo das respostas:

241

Figura 77- Gráfico da pergunta 13 (c) da atividade 1 do encontro 1

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Em continuidade, a Figura 77 mostra as respostas da questão 13 (d), onde
observamos que todas as respostas dadas foram consideradas corretas e classificadas
como C- DC, pois foi demonstrado o domínio do conceito probabilístico:
Figura 78- Gráfico da pergunta 13 (d) da atividade 1 do encontro 1

Fonte: Elaborado pela autora da Dissertação (2022)

O último item da pergunta 13 (d) pode ser observado na Figura 78 abaixo, onde
das 10 respostas dadas, 3 estão corretas e foram classificadas como categoria C-DC,
representando 30% do total e 7 estão incorretas, sendo 2 delas classificadas como EEC por demonstrar erro conceitual (os que responderam 0/0 e 1/3) e 5 delas
classificadas como E-EM por demonstrar erro nos processos matemáticos (os que
responderam 1/4). Vejamos o gráfico com o quantitativo das respostas:

242

Figura 79- Gráfico da pergunta 13 (e) da atividade 1 do encontro 1

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Em continuidade, a pergunta 14 exige a escrita do aluno para responder a
seguinte indagação: “Um jogo muito conhecido é o “par ou ímpar”. Para jogar, é preciso
2 jogadores, que indicam com os dedos de 1 mão, ao mesmo tempo, números que
serão somados. O vencedor é aquele que acertar, antecipadamente, se a soma será
par ou ímpar. Nesse jogo, quem tem maior probabilidade de ganhar: quem escolheu
par ou quem escolheu ímpar? Explique a sua resposta.” Observemos o quadro 52:
Quadro 52- Pergunta 14 da atividade 1 do encontro 1
Repostas dos alunos à questão 14: Um jogo muito conhecido é o “par ou
ímpar”. Para jogar, é preciso 2 jogadores, que indicam com os dedos de 1
mão, ao mesmo tempo, números que serão somados. O vencedor é aquele que
acertar, antecipadamente, se a soma será par ou ímpar. Nesse jogo, quem tem
maior probabilidade de ganhar: quem escolheu par ou quem escolheu ímpar?
Explique a sua resposta.
A1: Tem a mesma probabilidade.
A2: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A3: O par, porque o par tem mais números do que o ímpar.
A4: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A5: Par.
A6: Ímpar.
A7: Mesma probabilidade.
A8: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A9: Tem a mesma probabilidade.
A10: As chances são iguais.
A11: Ímpar
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Neste caso, a escolha entre "par" ou "ímpar" não afeta diretamente a
probabilidade de ganhar, uma vez que a soma final dos números escolhidos é a única
que determina se o resultado é par ou ímpar. A escolha entre "par" ou "ímpar" não
influencia as chances de vitória em si. A probabilidade de um número ser par ou ímpar

243

é 50/50, o que significa que, em teoria, ambos os jogadores têm a mesma
probabilidade de ganhar, independentemente da escolha entre "par" ou "ímpar".
Isso ocorre porque a distribuição de números pares e ímpares é equilibrada, e
não há nenhuma estratégia que possa ser empregada para influenciar as chances de
vitória. Portanto, a resposta correta é que ambos os jogadores têm a mesma
probabilidade de ganhar, independentemente de escolherem "par" ou "ímpar", pois
essa escolha não afeta a probabilidade final do resultado ser par ou ímpar.
Com isso, observamos no quadro 51 que os três alunos (A2, A4, A8) deixaram
em branco, enquadrando-se na categoria A - EB. Além disso, 4 alunos (A1, A7, A9,
A10) responderam corretamente e foram classificadas como categoria C- DC por
demonstrar domínio conceitual. Por fim, 4 respostas (A3, A5, A6, A11) estão
incorretas, sendo classificadas como E-EC e E-EI por demonstrar erro conceitual e
interpretativo.
Já a pergunta 15 teve o seguinte enunciado: “os dados surgiram há muitos
anos. Atualmente, o dado mais comum tem a forma de um cubo e tem, em cada face,
um dos números: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6”. Nesse sentido, o aluno deveria responder os itens
(a) e (b):
a) Qual é o espaço amostral desse evento? __________________________
b) Qual é a probabilidade de obter o número 5 na face voltada para cima (escreva a
resposta em forma de fração)? ______________
É válido ressaltar que a resposta correta para o item (a) seria o espaço amostral
igual a: {1,2,3,4,5,6} e para o item (b) seria 1/6 ou uma em 6. Passemos à análise das
respostas obtidas (ver Figura 80):

244

Figura 80 - Gráfico da pergunta 15 (a) da atividade 1 do encontro 1

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Dos 11 participantes, um deixou em branco (A - EB) e os outros 10 responderam
ao questionamento. Com isso, obtivemos 6 respostas corretas que foram classificadas
na categoria C-DC por demonstrar domínio conceitual, representando 60% do total do
que foi respondido e 4 estão incorretas, sendo 2 delas classificadas como E-EC por
demonstrar erro conceitual e as outras 2 classificadas como A - EB por não apresentar
resposta. Em continuidade, para o item (b) obtivemos as respostas apresentadas na
Figura 81:
Figura 81- Gráfico 15 (b) da atividade 1 do encontro 1

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Das respostas fornecidas pelos alunos, uma estava em branco (A - EB) e 10
foram preenchidas. Destas respondidas, 7 estão corretas e foram classificadas na

245

categoria C-DC por demonstrar domínio conceitual, representando 70% do total
respondido. Além disso, 3 estão incorretas (os que responderam “1”, “2/6” e “5/6”),
sendo classificadas como E-EC por demonstrar erro conceitual.
Em prosseguimento, a questão 16 da atividade 1 do encontro 1 é subdividida
em 3 itens que surgiram a partir do seguinte questionamento: “Observe o saquinho com
bolas idênticas, apenas de cores diferentes. Considere que será retirada 1 bola desse
saquinho, sem olhar”. A partir desse contexto o item (a) pergunta qual é a cor mais
provável de ser sorteada, o item (b) pergunta qual é a cor menos provável de ser
sorteada e o item (c) questiona qual cor seria impossível de ser sorteada:

Figura 82 - Saquinho de bolas da questão 16 do encontro 1

Fonte: https://scrap-bits.com/collections/favor-treat-bags

É importante frisar que a resposta correta para o item (a) seria a bolinha
vermelha, já que existem mais bolinhas vermelhas do que verdes ou azuis. Já no item
(b) a resposta seria a bolinha verde, pois há menos bolinhas vermelhas do que
vermelhas ou azuis. Por fim, a resposta para o item (c) seria qualquer cor diferente de
azul, vermelho ou verde. Veja as respostas obtidas no item 16 (a) na Figura 83:

246

Figura 83- Gráfico da pergunta 16 (a) da atividade 1 do encontro 1

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Analisando o gráfico, percebemos que 10 perguntas foram preenchidas e uma
foi deixada em branco (A - EB). Das dez respondidas, 9 estão corretas e foram
classificadas como categoria C-DC por demonstrar domínio conceitual, representando
90% do total de respostas e 1 está incorreta, sendo classificada como E-EC por
demonstrar erro conceitual. Já para o item (b), observamos na Figura 84 as seguintes
respostas:
Figura 84 - Gráfico da pergunta 16 (b) da atividade 1 do encontro 1

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Observemos que 8 respostas estão corretas e foram classificadas como
categoria C-DC por demonstrar domínio conceitual. A resposta “vermelho” está
incorreta, sendo classificada como E-EC por apresentar erro conceitual. Já a resposta
“verde e azul” mostra que o aluno não interpretou a situação corretamente, pois é

247

solicitada apenas a cor menos provável e não “as cores” no plural, em que
classificamos como E-EI. Por fim, uma resposta estava em branco, sendo enquadrada
como A - EB.
Além disso, no item (c) 9 alunos preencheram as respostas e 2 estavam em
branco (A - EB). Das 9 respostas preenchidas, 2 estão corretas (amarelo) e foram
classificadas na categoria C-DC por demonstrar domínio conceitual, 7 estão incorretas,
sendo 6 delas classificadas como E-EC (os que preencheram: “azul, todas, todas
podem ser sorteadas, verde e nenhuma”) por demonstrar erro conceitual. Já a resposta
“sei lá” foi classificada como E-DL por não apresentar resposta. Observemos a Figura
83:
Figura 85 - Gráfico da 16 (c) da atividade 1 do encontro 1

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Deste modo, finalizamos a atividade 1 do encontro 1. No que se refere à
atividade 2 do encontro 1, a análise foi feita através do cadastro em Google Forms da
classificação dos níveis argumentativos atribuídos às repostas dos alunos. Essa
estratégia foi utilizada para melhor visualização dos resultados obtidos, já que as
respostas foram analisadas e enquadradas de acordo com o nível argumentativo
apresentado para análise. A pergunta 1 da atividade 2 diz o seguinte: “Peter Parker
disse que as tampinhas vermelhas no tampesca sempre terão mais chances de serem
pegas, você concorda ou discorda de Peter?” Nessa atividade para a parte da
afirmação “você concorda ou discorda” todos os alunos concordaram unanimemente.
Este resultado mostra que os alunos participaram ativamente do jogo e constataram na
prática que existiam mais tampinhas vermelhas do que as demais, fazendo com que

248

entendessem que haveria mais chances de que as tampinhas vermelhas fossem
pegas. Na segunda parte da atividade que solicitava dados/ evidência e fundamentos,
nota-se na Figura 86 que 54,5% dos alunos, aproximadamente a metade, obteve nível
argumentativo 1 no quesito “dados/evidência/fundamentos”, enquanto 45,5% tiveram
suas respostas classificados como nível argumentativo 2. Esse fato indica que há uma
tendência de transição da turma para o nível argumentativo 2, incrementando
elementos argumentativos às suas respostas:
Figura 86- Gráfico da pergunta 2 da atividade 2 do encontro 1

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Além disso, percebemos na Figura 85 que 63,6% dos alunos obtiveram nível
argumentativo 1 no quesito “garantia”, enquanto 36,4% tiveram suas respostas
classificadas como nível argumentativo 2. Diferentemente do item anterior, percebe-se
que será necessária uma melhor evolução dos recursos de argumentação para que se
possa aperfeiçoar o raciocínio que embasa uma boa garantia para o argumento
fornecido. Vejamos o gráfico com o quantitativo das respostas:
Figura 87- Gráfico da pergunta 3 da atividade 2 do encontro 1

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

249

Além do mais, nota-se que no quesito conclusão, todos os alunos foram
enquadrados no nível argumentativo 1, o que implica que a característica
argumentativa no critério “conclusão” se mostra insatisfatória. Vejamos o gráfico com o
quantitativo das respostas:
Figura 88- Gráfico da pergunta 4 da atividade 2 do encontro 1

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

A seguir, na Figura 89, destacamos uma das respostas presentes nos cadernos
impressos dos alunos que foram analisadas nessa etapa de classificação
argumentativa:
Figura 89- Resposta de um aluno para a atividade 2 do encontro 1

Fonte: Acervo da autora da dissertação (2022)

250

Percebemos que para o primeiro encontro, as respostas probabilísticas e
argumentativas oscilaram de acordo com o que era solicitado. Algumas já foram
evoluindo positivamente ao longo da estação 1 e outras ainda precisam ser bem mais
trabalhadas para alcançar o nível argumentativo e probabilístico desejado para a turma
em questão. Esses resultados quando cruzados com as interações discursivas que
foram transcritas em turnos, mostram-se bastante coerentes no que diz aos elementos
da argumentação presentes no modelo de Toulmin, sendo que houve indícios de
melhoria em relação à alguns elementos e em outros foram insatisfatórios, daí a
classificação do nível argumentativo oscilar. Nas falas dos alunos nos turnos, ora os
elementos apareciam, embora em trechos com estrutura simples, ora não apareciam
encaminhando-se para a conclusão, e muitas dessas situações decorreram da
dinâmica na ação comunicativa docente e da falta de familiarização dos alunos com a
argumentação, uma vez que não tinham tido contato com este tipo de processo em
anos escolares anteriores. Por fim da análise do encontro 1, iremos apresentar os
resultados obtidos na autoavaliação desse primeiro momento com o intuito de verificar
como o estudante encarou as primeiras atividades desenvolvidas na trilha de
aprendizagem.

a.1) Autoavaliação do Encontro 1
A primeira pergunta teve o enunciado a seguir: “de acordo com a atividade
desenvolvida hoje, você consegue classificar eventos envolvendo o acaso?”. Dos 11
alunos presentes, 9 alunos responderam que conseguem classificar eventos
envolvendo o acaso, demonstrando ter construído algum nível de conhecimento no
que se refere ao desenvolvimento da probabilidade e 2 alunos deixaram a questão em
branco. Nesse caso, para essa pergunta, todos os que responderam afirmaram
conseguir classificar eventos envolvendo o acaso.
Logo após, a pergunta 2 questiona-se se o aluno identificou corretamente as
ideias a serem aplicadas na resolução das situações- problema propostas e obtivemos
as respostas apresentadas na Figura 90:

251

Figura 90- Gráfico da pergunta 2 da autoavaliação do encontro 1

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Nota-se que um percentual de alunos de 62,5% respondeu que identificam mais
ou menos as ideias para aplicação em algumas atividades, opção letra (b), não tendo
plena segurança da utilização do raciocínio correto para cada caso. Esse percentual
representa a maior parte da turma, demonstrando ainda ser necessária uma evolução
no quesito aplicação de resoluções para os problemas propostos.
Já na pergunta 3 é questionado se o aluno compreendeu as ideias de acaso
propostas nos jogos e atividades. Com isso, dos 11 alunos presentes, 8 alunos
responderam que compreenderam as ideias de acaso propostas, demonstrando ter
construído algum nível de conhecimento no que se refere ao desenvolvimento da
probabilidade e 3 alunos deixaram a questão em branco, o que pode ser considerado
como falta de compreensão das ideias apresentadas.
Em continuidade, na pergunta 4, os alunos deveriam explicar como eles
classificariam um evento aleatório, em que dos 11 alunos presentes, somente 3
responderam o questionamento, e ainda assim as 3 respostas obtidas (ver quadro 53)
não se mostraram satisfatórias para a constatação de que há compreensão do
conteúdo por parte dos alunos. Esse fato se mostra contraditório às questões
anteriores (pergunta 1 e 3) nas quais a maioria dos alunos afirmam compreender e
classificar os conceitos de acaso. Um dos motivos para essas respostas em branco
seria o costume de o aluno não ter prática com atividades que exijam a argumentação
ou justificação escrita. Vejamos o quadro com as respostas:

252

Quadro 53- Pergunta 4 da autoavaliação do encontro 1
Repostas dos alunos à questão 4: Explique como você pode classificar um
evento aleatório:
A1: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A2: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A3: Prestando muita atenção
A4: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A5: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A6: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A7: Classificando.
A8: Isso não acontece todo o dia.
A9: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A10: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A11: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Já para a quinta pergunta (ver quadro 54), os resultados são semelhantes ao
da questão 4, pois apenas dois alunos preencheram a resposta e de modo incorreto.
Isso mostra o não interesse dos demais alunos para sequer tentarem responder a
pergunta, como observado a seguir:
Quadro 54- Pergunta 5 da autoavaliação do encontro 1
Repostas dos alunos à questão 5: O que você entende por acaso?
A1: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A2: Entendi o que significa probabilidade.
A3: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A4: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A5: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A6: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A7: Mais ou menos.
A8: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A9: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A10: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A11: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Já na pergunta 6, não houve respostas registradas, não sendo possível
estabelecer uma análise para ela, como observado no quadro 55:
Quadro 55- Pergunta 6 da autoavaliação do encontro 1
Repostas dos alunos à questão 6: Qual atividade (ou quais atividades) da lista
da Atividade 1 do Encontro 1 você teve mais dificuldades de resolver?
(Assinale mais de uma alternativa se julgar necessário):
A1 ao A11: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

253

Em continuidade, na pergunta 7 da autoavaliação foi questionado se o aluno
conseguiu compreender a representação da probabilidade por meio de frações, em que
obteve-se somente 3 respostas para a pergunta em análise, sendo marcada a
alternativa (a) que afirma compreender a representação de probabilidade por meio de
fração, esse número representa 27,27% do total de alunos presentes, demonstrando
uma baixa adesão da questão por parte da turma.
Além disso, a pergunta 8 questiona em qual etapa da atividade 2 do encontro 1 o
aluno teria tido mais dificuldades, isto é, na “afirmação, dados, garantia ou conclusão”.
Para essa pergunta, dos 11 discentes, 10 deixaram em branco e apenas um respondeu
que sua maior dificuldade foi a parte da conclusão. Notamos que na autoavaliação, os
alunos não ficaram tão engajados, talvez pela extensão das atividades propostas, já
que a metodologia de buscar promover a argumentação oral e escrita muitas vezes
pode se tornar cansativa para um aluno que não possui o costume de justificar suas
respostas em sala de aula.
Além disso, na pergunta 9 (Figura 91), sobre o jogo The Vile Vendor, obtevese somente 1 resposta para a pergunta em análise, sendo marcada a alternativa (b),
representando uma baixa adesão ou saturação de informação retida por parte da
turma. Vejamos o gráfico com o quantitativo das respostas:
Figura 91- Gráfico da pergunta 9 da autoavaliação do encontro 1

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Em continuidade, não houve respostas registradas para a questão 10, não
sendo possível estabelecer uma análise para ela, como mostra o quadro 56.

254

Quadro 56- Pergunta 10 da autoavaliação do encontro 1
Repostas dos alunos à questão 10: Com base nas atividades que você
desenvolveu no Encontro 1, escreva nas caixinhas onde estaria localizado o
evento impossível, evento improvável/provável e evento certo. (0; 0,5; 1)
A1 ao A11: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Para a pergunta 11 houve somente uma resposta para a pergunta “sobre o jogo
tampesca, você conseguiu compreender o conceito probabilístico envolvido no jogo?”,
em que o estudante afirmou ter entendido totalmente sobre o jogo Tampesca. De todo
modo, a resposta obtida mostra uma baixa adesão ou saturação de informação retida
por parte da turma.
Em continuidade, sobre o jogo Quadraleatórios, na pergunta 12 é questionado
se o aluno conseguiu compreender o conceito probabilístico envolvido no jogo, porém,
não houve respostas registradas para a questão, não sendo possível estabelecer uma
análise para ela, como pode ser visto no quadro 57:
Quadro 57- Pergunta 12 da autoavaliação do encontro 1
Repostas dos alunos à questão 12: Sobre o jogo QUADRALEATÓRIOS, você
conseguiu compreender o conceito probabilístico envolvido no jogo?
A1 ao A11: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Ao analisar os jogos e atividades aplicadas, percebemos que ao longo do
encontro, os alunos conseguiram realizar mais verbalizações em relação ao início da
aula com o jogo The Vile Vendor. Ademais, conseguimos ver a presença de padrões
discursivos não triádicos e abordagem comunicativa dialógica na maioria do tempo por
parte da professora, fazendo com que o ambiente de aprendizagem possibilitasse a
exposição dos pensamentos dos alunos de modo real e prático. Também foi
perceptível o declínio de engajamento dos alunos quando comparamos as atividades
em formato de jogos e as atividades escritas, mostrando que preferem a oralidade
do que a escrita, confirmando o que foi colocado em nosso referencial teórico, que os
estudantes brasileiros não possuem o costume de explicar suas soluções,
principalmente quando é exigido o modo escrito. A partir dessas considerações
para o primeiro encontro, constatamos que a evolução argumentativa no quesito oral,
trouxe contribuições relevantes que enaltecem a importância de bons questionamentos

255

como meio de promoção à argumentação, que ultrapassam o padrão triádico, como
observados no trabalho de Sasseron e Carvalho (2011) e Mortimer e Scott (2002).
Depois da aplicação desses jogos e atividades propostas, o primeiro encontro foi
finalizado e a primeira estação da trilha de aprendizagem foi cumprida, fazendo com
que os alunos avançassem para a segunda estação no encontro 2 que será discutido
logo abaixo.

3.3.3 Análise das atividades da trilha de aprendizagem: 2º encontro
Em continuidade, o encontro 2 ocorreu no dia posterior ao encontro 1 e contou
com a participação de 12 crianças. Notamos que a frequência dessa turma oscilou
bastante, de acordo com algumas considerações feitas por uma professora da turma
em questão. Para a realização desse encontro, é necessário que o docente verifique o
plano de aula 2, presente no produto educacional, onde é informado toda a proposta
metodológica da aula, bem como suas atividades planejadas para este dia. O tópico
probabilístico que se desejou trabalhar nesse encontro foi o da análise da ideia de
acaso em situações do cotidiano, na perspectiva do espaço amostral. Para tanto, a
aula teve seu início com uma breve apresentação do que seria o espaço amostral e
exemplos de situações do cotidiano em que a Probabilidade está presente.
A partir disso, utilizamos o jogo “correndo ao acaso”, descrito no tópico que
constam as atividades, com todas as instruções e informações necessárias para a sua
aplicação. Os alunos foram divididos em grupos e fizeram as escolhas de seus pinos
(personagens) para jogar no tabuleiro. Foram formados quatro grupos, onde os alunos
iam fazendo os lançamentos dos dados, avançando de acordo com o quadro
estabelecido para cada animal, até chegar ao final do percurso. O interessante desse
jogo é que o fato de cada animal possuir um número máximo de casas que irá avançar
a cada lançamento de dado, faz com que o aluno veja na prática a ideia do acaso, visto
que um animal que tenha um limite de avanço de casas menor que outro, ainda pode
vencer a corrida de acordo com a “sorte” obtida no lançamento dos dados. Vejamos as
fotos do tabuleiro e da aplicação do jogo:

256

Figura 92- Aplicação do jogo correndo ao acaso

Fonte: Acervo da autora da dissertação (2022)

Ressaltamos que cada grupo abriu seu caderninho da trilha na página com as
informações das pontuações que poderiam ser atingidas com seus respectivos
personagens. Esta atividade também foi gravada e selecionamos alguns trechos que
consideramos melhor se enquadrar nas características argumentativas buscadas em
nosso trabalho. Como este encontro é diferente do encontro 1, os turnos de fala foram
reiniciados de acordo com a fala selecionada, onde reiniciamos a partir do turno 1.
Observemos através do quadro 58 um trecho do jogo Correndo ao Acaso:
Quadro 58- Trecho do jogo correndo ao acaso (Encontro 2)
Trecho 1 episódio Correndo ao acaso (Encontro 2)
Indicador
es de
Padrões
Abordagem
T Transcrição da fala
engajam discursiv Comunicativ
Turno
en
os
a
to
1
P: Galerinha, se liga! Com o personagem que
você escolheu, você acredita que ele tem
chances de vencer a corrida?
A7: Sim, professora! Porque o meu é o gato,
que anda mais que os outros.
2
P: Se o seu personagem anda no máximo 10
pontos, você de certeza irá andar as 10
casas em
3
todas as jogadas? Por qual motivo?
4
A7: Deveria ser, mas vai depender da sorte
dos dados.
P: Para que o gato ande 10 casas é preciso
que ao lançar os dados ocorra o quê?
5
A5: Que a pessoa tenha sorte pra cair um
número alto, pra formar 10 pontos!

Nível
argumenta
ti vo
alcançado

257

6

7
8

P: Quando eu observo essas coisas, eu estou
trabalhando com que conteúdo matemático?
Porque?
Turma: Probabilidadeeee!
P: Isso mesmo. Parabéns! Shhh, menos
barulho, pessoal vamos lá!

9
P: Agora que todos os grupos finalizaram o
jogo, algum de vocês se surpreendeu com o
resultado? Por qual motivo você acha que
esse personagem venceu?
8
59

4 alunos levantaram a mão neste momento.

0

A4: No meu grupo, a preguiça venceu, sendo
que todo mundo pensou que ia ser o gato ou
o coelho. Não gostei do resultado, quero
jogar de novo.
A5: ihhh, não sabe perder!
P: Gente, se a preguiça ganhou, foi por qual
motivo? Já que A4 não gostou do resultado?

61
62

E1, E2,
E3, ED1,
EDP1

I-R-P-RP-R- P-RA/ I-RR-P-R-FR

(a), (b)

2E3

A2: Tia, a preguiça ganhou no grupo dele
porque
teve mais sorte na probabilidade do dado
63
64

65
66

67

68
69

P: Que probabilidade é essa que você falou?
A2: A preguiça só anda até quatro casinhas,
mas
o gato pode ter tirado menos que 4 e por isso
pode ter perdido, porque foi azarado
P: Muito bem, gostei do seu raciocínio, A2.
P: Mais alguém quer fazer alguma
consideração
sobre a preguiça ter vencido?
A5: Não tia, senão o A4 vai ficar chorando
(tom
sarcástico)
Sala: Risos aparentes

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Sobre os turnos, observando o modelo de Toulmin, nã há presença dos
elementos da argumentação, sendo apenas respostas dos alunos em relação às
perguntas

da

professora

sem

apontar

o

porquê

determinado

personagem

(representado por animais) venceu ou perdeu. No turno 4, o aluno A7 menciona o
termo “sorte” para os dados, no turno 6 o aluno A5 também menciona sorte, assim
como no turno 63 o faz o A2. O termo “azarado” é mencionado no turno 63. Esses
termos demonstram as crenças que os alunos têm acerca de azar e sorte quando se
aborda probabilidade. Também não houve manifestação dos elementos concebidos
por Kosko, nem neste jogo os alunos puderam vivenciar as etapas da investigação

258

matemática pelo posicionamento deles em relação à argumentação que mostrou-se
mais como um diálogo em que se preferências foram demonstradas, embora puderam
experienciar o momento lúdico propiciado pelo jogo.
Percebemos que neste episódio, como os alunos estavam em grupos, a fala
deles foram representações do que o grupo como um todo pensava e repassavam para
seu/ sua porta-voz (alunos que falaram no episódio apresentado acima). Neste jogo, os
alunos participaram coletivamente a fim de responder aos questionamentos que eram
feitos e gostaram bastante da disputa da corrida, para ver quem chegaria primeiro. Algo
a ser destacado é que esse jogo surpreendeu muitos alunos, porque a maioria fez suas
apostas de qual animal venceria, focando nos animais de maior pontuação e ao final,
teve um grupo que teve o vencedor como sendo a preguiça e outro teve a tartaruga
campeã, trazendo reflexões e discussões em sala de aula naturalmente pelos próprios
alunos.
Notemos que o quadro acima, mostra que os alunos, mesmo que de modo ainda
geral, apresentaram com mais convicção nas falas, como podemos observar nos
turnos: 2, 4, 6, 58, 63 e 65. Ademais, durante as atividades práticas que desenvolvem a
argumentação oral, percebemos que os alunos participam ativamente e se engajam
durante a aula, diferente das atividades escritas que produzem uma certa aversão
neles que não possuem o costume de ter tantas atividades orientadas nesse formato.
Notamos que houve o elemento EDP1 no engajamento dos alunos, visto que ocorreu
uma discussão sobre as ideias apresentadas e a construção de relações explicativas.
Além disso, as abordagens comunicativas que predominaram nesse momento do
encontro foi a (a) e (b), que serviram de auxílio para a construção de questionamentos
que quebram a tríade I-R-F e I-R-A.
Para ancorar os conhecimentos sobre o tema desse encontro, elaboramos duas
atividades escritas e a autoavaliação (que está presente ao final de todos os
encontros). Como já dito, as atividades escritas fazem com que os alunos repliquem
falas sobre exaustão e cansaço para tentar não realizá-las. Ao conversar com os
professores da turma, foi possível perceber que os alunos não possuem muito o
contato com problemas focados no ensino investigativo e com atividades fora daquelas
propostas pelo livro escolar, dificultando assim a compreensão de tarefas que exijam

259

dedicação da escrita e raciocínios não imediatos, como eles têm por cultura na
disciplina de Matemática, de analisar a pergunta e resolvê-la de modo rápido e prático.
Quando o aluno observa uma situação- problema em que exige uma reflexão a
mais e solicita que seja exposto raciocínio que o levou a resposta, é levantada uma
associação de que tal situação- problema é complexa e que não é compreensível (ao
analisar o discurso deles). Contudo, ao relacionar os dados obtidos nas atividades
escritas, percebemos que muitos não fizeram esforço para solucionar e/ ou responder
algumas perguntas das atividades propostas para este método escrito.
A primeira atividade escrita proposta para o encontro 2 foi a atividade do PicaPau, realizada em grupo. A sala foi dividida em quatro grupos e foram destinados cerca
de 30 a 40 minutos para que os alunos pudessem resolver a atividade 1 do encontro 2.
Esse momento foi gravado para analisar as discussões e respostas que surgiram ao
longo

dessa

aplicação

através

dos

questionamentos

levantados.

A

análise

argumentativa dessa atividade será bem mais detalhada posteriormente, após a
apresentação de um trecho significativo desse episódio no quadro 59:
Quadro 59- Trecho 1 da atividade escrita 1 do encontro 2

T

Transcrição da fala

Turno
P: Gente, quais estratégias vocês vão utilizar
para
9 responder essa atividade?
5
9 A2: Tia, eu não queria escrever
6
7

9 P: Vamos lá, pessoal! Vamos fazer um
esforço!
A3: Meu grupo acha que a resposta é uma
chance
9 em duas, tia

8
A2: Isso eu sei, só não consigo colocar nessas
9 Perguntas
9
P: Tentem lembrar do que já falamos sobre
hipóteses, justificativas, conclusões e
1 argumentação. Vocês conseguem!
10
P: Em que local vocês colocariam a resposta
que
1 A3 falou?
01
1
02

A5 e A4: No primeiro quadrado? Acho que é
no 1

Indicadores de Padrões
engajamento
discursivo
s

Abordagem
Comunica
Tiva

Nível
argumentativo
alcançado

260

P: Isso mesmo. Teria outra representação de
1 resposta para esse problema?
03
A1: Sim, tia! A do nosso grupo deu 50%, mas
não
1 sabemos o resto.
04
1 P: Como vocês chegaram à esta conclusão?
05

06

A7: A gente pegou uma chance e dividiu por
duas, dando o resultado de 0,50, que é o
1 mesmo que a
metade, que é os 50 por cento.

E2, ED1, ED2,
EDP1, EDP2

I-R-P-R-RPP-R-F/ I- (a), (b)
R-PR-P-R-PR- R-R-F

2E3

P: Na parte da argumentação, como vocês do
grupo 3 fariam?
1
30
A4: A gente "pegaria" a pessoa e mostrava
que a
moeda tem dois "lados", ai pra cair na que ele
quer, precisa ver que só tem um pedaço certo
do
1 total de dois
31
P: Hm, como a gente chamaria esse "total de
1 dois"?
32
33

1 A4: Total de dois é a cara e coroa,
professora!
1 A1: Que é aquele negócio, é.. Me ajuda, gente

34
1 A8: O espaço amostral?
35
1 A1: Esse mesmo, professora!
36

37

P: Então tentem escrever o que vocês estão
pensando. Se tiverem dúvida me perguntem,
1
ok?
1 Turma: ok!

38

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Observando os turnos, percebemos que houve manifestação de elementos do
modelo de Toulmin em algumas falas. No turno 6, o A7 explica o porquê chegou à
conclusão, apresentando a garantia. O mesmo se observa no turno 31 em que A4
também apresenta a garantia e o qualificador que é demonstrar com a moeda. Não se
idetificou refutação.

261

Sobre os elementos propostos por Kosko, nos turnos 4 (recontagem
matemática, em que apresenta uma resposta, mas não explica como obteve
matematicamente), 6 (descrição matemática e procedimentos, em que fornece uma
explicação e expressa as ações matemáticas explicitamente), 31 (procedimentos), 33
(explicação, pois identificou o que seria a cara e coroa), (35 (explicação, em que
identifica um conceito matemático) foram observados alguns deles.
Por ser uma atividade bem delineada, contando com boxes nos quais os alunos
tinham

que

identificar

os

elementos

da

argumentação,

oportunizou-se

que

vivenciassem as etapas da investigação matemática propostas por Ponte.
O trecho acima do quadro 59 mostra que os alunos, mesmo se queixando da
atividade proposta, ainda apresentaram elementos argumentativos ao serem
questionados sobre quais estratégias iriam utilizar para preencher as lacunas das
perguntas da atividade do Pica- Pau. Além disso, os turnos de fala (98, 104, 106, 131)
fornecem características argumentativas que vão de acordo com as definições
estudadas em nosso referencial teórico, além de apresentar o conhecimento dos
alunos envolvidos sobre o tema probabilístico ministrado. Outro aspecto importante foi
o identificado dos turnos 133 ao 135, onde se teve um trabalho colaborativo em prol da
solução do questionamento feito pela professora no turno 132. Podemos verificar que
nesse caso, os indicadores de engajamento com aspectos colaborativos apareceram
com mais força e que os padrões discursivos apresentaram mais sequências seguidas
de respostas por parte dos alunos, ainda superando o padrão I-R-F e I-R-A.
Verificaremos nas atividades escritas, que tais argumentos explícitos de forma oral
não são postos ou expressados com qualidade, em sua maioria, nas tarefas
propostas de modo escrita. Ademais, muitos alunos optam por simplesmente não
responder à questão, mesmo tendo contribuído de alguma forma durante a discussão
oral.
Agora iremos apresentar a análise argumentativa que foi interpretada através
dos resultados obtidos nessa atividade e em seguida, apresentaremos os resultados
da atividade 2 e da autoavaliação proposta para esse segundo encontro. Vejamos as
respostas dos alunos à questão “1: O Pica-Pau e o Zeca Urubu estão brincando de
lançar uma moeda ao ar. Pica-Pau desafiou o Zeca a lançar a moeda ao ar de modo

262

que a face “COROA” ficasse voltada para cima. Se Zeca Urubu aceitar o desafio e
lançar ao ar 1 moeda de R$ 0,05, qual é a probabilidade de ela cair com a face (coroa)
voltada para cima? Qual o espaço amostral desse evento?”. Para essa atividade o G1
respondeu: 1 de 2. O G2 respondeu que seria 50% e o espaço amostral seria 2. Já o
G3 respondeu que seria: “1/2, espaço cara ou coroa”. Por fim, o quarto grupo
respondeu que não havia entendido e pediu desculpas.
Nota-se que os 4 grupos deram respostas distintas, sendo elas identificadas nas
categorias seguintes: Grupo 1 forneceu uma resposta correta, porém incompleta,
sendo categorizada como C-AA e podemos inferir que houve falta de atenção por não
responder tudo que a questão pede; os grupos 2 e 3 responderam corretamente, tendo
a resposta categorizada como C-DC pelo domínio do conceito e o grupo 4 não
apresentou resposta satisfatória, tendo categorização definida por E-DL.
Ademais, a questão possui outros tópicos e no segundo tópico é solicitada a
resolução matemática apresentando provas matemáticas, onde 50% dos grupos
obtiveram nível argumentativo 1 no quesito “resolução matemática”, enquanto a outra
metade dos grupos tiveram suas respostas classificados como nível argumentativo 2.
Esse fato indica que há uma tendência de transição da turma para o nível
argumentativo

2,

incrementando

elementos

argumentativos

com

resoluções

matemáticas às suas respostas. Vejamos o gráfico abaixo:
Figura 93- Gráfico do Tópico 2 da atividade 2 (em grupo) do encontro 2

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Já o terceiro tópico solicitava que o aluno informasse as hipóteses levantadas
para resolver a situação-problema. Ao analisar as respostas obtidas (Figura 94)

263

percebemos que um percentual de 25%, ou seja, um dos grupos, obteve nível
argumentativo 1 no quesito “hipóteses levantadas para resolver a situação-problema”,
enquanto outros 25% tiveram suas respostas classificados como nível argumentativo 3,
esses apresentaram boas hipóteses para a resolução da situação-problema. Os 50%
restantes, atingiram o nível argumentativo 2 com as respostas apresentadas,
demonstrando hipóteses mais bem elaboradas, porém ainda com espaço para
aperfeiçoamento. Vejamos o gráfico com o quantitativo das respostas:
Figura 94- Gráfico do Tópico 3 da atividade 2 (em grupo) do encontro 2

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Ademais, na Figura 95 pode-se notar que para o tópico 4 um dos grupos, obteve
nível argumentativo 1 no quesito “argumentação”, enquanto outros 25% tiveram suas
respostas classificadas como nível argumentativo 3, esses apresentaram bons
argumentos para a resolução da situação-problema. Os 50% restantes, atingiram o
nível argumentativo 2 com as respostas apresentadas, demonstrando meios
argumentativos mais bem elaboradas que os de nível 1. Vejamos o gráfico com o
quantitativo das respostas:

264

Figura 95- Gráfico do Tópico 4 da atividade 2 (em grupo) do encontro 2

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Em prosseguimento, na apresentação da Figura 96 podemos observar as
respostas obtidas para o tópico 5, acerca da justificativa:
Figura 96- Gráfico do Tópico 5 da atividade 2 (em grupo) do encontro 2

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Notamos, neste caso, que existem dois extremos identificados na turma, 50%
dos grupos, obtiveram nível argumentativo 1 para o quesito “justificativa”, enquanto a
outra metade dos grupos tiveram suas respostas classificadas como nível
argumentativo 3. Esse fato indica que há uma discrepância de aprendizado neste
quesito, sendo necessária uma maior demanda de atenção para os grupos com
dificuldade para que haja assim um melhor alinhamento de ideias na turma,
melhorando os debates eenriquecendo as trocas de conhecimento.

265

Já no tópico 6 da atividade 2 acerca da conclusão, pode-se notar na Figura 97
que um percentual de 25%, ou seja, um dos grupos, obteve nível argumentativo 1 no
quesito “conclusão”, enquanto outros 25% tiveram suas respostas classificados como
nível argumentativo 3, esses apresentaram bons argumentos para a conclusão da
situação-problema. Os 50% restantes, atingiram o nível argumentativo 2 com as
respostas apresentadas, demonstrando conclusões mais bem elaboradas que os de
nível 1, porém ainda com espaço para aperfeiçoamento. Vejamos o gráfico com o
quantitativo das respostas:
Figura 97- Gráfico do Tópico 6 da atividade 2 (em grupo) do encontro 2

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

A seguir, serão apresentados os resultados da atividade proposta para o final do
encontro 2, que foi analisada através do Google Forms por meio da classificação dos
níveis argumentativos atribuídos às repostas dos alunos. Essa estratégia foi utilizada
para melhor visualização dos resultados obtidos. A atividade final do encontro 2
apresenta um argumento para que os alunos forneçam as respostas para 3 solicitações
que são pedidas.
O argumento inicial dessa atividade é o seguinte: “Maria Fifi estava falando com
seu amigo Pedro que no jogo correndo ao acaso o personagem que tem a maior
probabilidade de vencer é a tartaruga.”

No primeiro tópico dessa atividade é

perguntado se os alunos concordavam ou discordavam com essa informação. Diante
disso, o resultado mostra 91,7% dos alunos discordando da afirmativa, mostrando que
os alunos participaram ativamente do jogo e constataram na prática que o personagem
com maior probabilidade de vencer não é a tartaruga. Ademais, 8,3% dos alunos ainda
responderam que concordam com a afirmativa, tornando sua resposta errada. Por ter

266

observado a participação ativa dos alunos durante o jogo pode-se inferir que houve
equívoco do aluno na interpretação da pergunta.
No tópico 2 da atividade final do encontro 2 é solicitado dados/ evidências e
fundamentos para basear as respostas dos alunos. Com isso, na Figura 98 podemos
observar os níveis argumentativos:
Figura 98- Gráfico do Tópico 2 da atividade final do encontro 2

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Observamos que 33,3% dos alunos, número inferior ao constatado no encontro
anterior, obteve nível argumentativo 1 no quesito “dados/evidência/fundamentos”,
enquanto 66,7% tiveram suas respostas classificados como nível argumentativo 2.
Esse fato indica que a tendência de transição da turma para o nível argumentativo 2,
sugerido na análise do encontro anterior está se consolidando ao se constatar que a
porcentagem de respostas classificadas como nível argumentativo 2 está superior às
respostas classificadas como nível argumentativo 1, o que demonstra que os alunos
melhoraram a elaboração de suas respostas utilizando mais elementos argumentativos.
Já o tópico 3 da última atividade do encontro dois é solicitada a “garantia” da
resposta informada e podemos analisar os níveis argumentativos através da Figura 99:

267

Figura 99- Gráfico do tópico 3 da atividade final do encontro 2

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Com isso, pode-se notar que 58,3% dos alunos obtiveram nível argumentativo 1
no quesito “garantia”, enquanto 41,7% tiveram suas respostas classificadas como
nível argumentativo 2. Diferentemente do item anterior, percebe-se que o nível
argumentativo dois ainda não superou a quantidade de respostas classificadas como
nível argumentativo. Contudo, é importante ressaltar que, em relação aos resultados do
encontro anterior, houve um aumento na porcentagem de respostas nível 2,
demonstrando uma evolução dos recursos de argumentação, aperfeiçoando o
raciocínio que embasa uma boa garantia para o argumento fornecido.
Por fim, foi solicitada a conclusão dos estudantes, relacionando todas as ideias
anteriores, onde podemos observar os níveis argumentativos na Figura 100:
Figura 100- Gráfico do tópico sobre conclusão da atividade final do encontro 2

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

268

Constatamos que no quesito conclusão, dos 12 alunos que responderam, sete
foram enquadrados no nível argumentativo 1, o que corresponde a 58,3%, enquanto
41,7% foram classificados como nível argumentativo 2. Este resultado demonstra uma
evolução na característica argumentativa no critério “conclusão” em relação ao
encontro anterior, porém ainda é necessário alcançar resultados mais positivos na
estruturação dos argumentos conclusivos. A seguir, na Figura 101, apresentamos um
registro feito dos cadernos físicos dos alunos com uma das respostas visualizadas de
modo escrito:
Figura 101- Resposta escrita de aluno referente às perguntas da atividade final do
encontro 2

Fonte: Acervo da autora da dissertação (2022).

Observemos que nessa imagem o aluno colocou que a tartaruga tinha menos
chances de vencer a corrida e deu algumas justificativas para sustentar a sua
afirmação, de acordo com as regras do jogo correndo ao acaso. Seguindo a estrutura
adotada por Toulmin, acreditamos que o aluno conseguiu justificar em partes a sua
afirmação, que mesmo incompleta, deu garantia para que a sua resposta fosse

269

considerada válida. Ao fim do encontro foi solicitado que os alunos realizassem a
autoavaliação, que iremos melhor detalhar os resultados obtidos a seguir:
A autoavaliação do encontro dois teve a pergunta 1 com o seguinte
enunciado: “de acordo com as atividades desenvolvidas hoje, você consegue analisar a
ideia de acaso em situações do cotidiano?”. O aluno deveria escolher entre a opção
(a): “Sim, consigo analisar a ideia de acaso em situações do cotidiano” ou a opção (b):
Não consigo analisar a ideia de acaso em situações do cotidiano. Para essa pergunta,
todos os 12 alunos presentes responderam que conseguem analisar a ideia de acaso
em situações cotidianas, demonstrando ter construído algum nível de conhecimento no
que se refere ao desenvolvimento dos conceitos abordados.
Já na pergunta 2 da autoavaliação (Figura 102) observamos que um percentual
de alunos de 66,7% respondeu que identificam mais ou menos as ideias para aplicação
na resolução da situação-problema, alternativa (b), não tendo plena segurança da
utilização do raciocínio correto para cada caso. Esse percentual representa a maior
parte da turma, demonstrando ainda ser necessária uma evolução no quesito aplicação
de resoluções para os problemas propostos, enquanto 33,3% da turma respondeu que
identifica corretamente as ideias de aplicação. Vejamos o gráfico com o quantitativo
das respostas:
Figura 102- Gráfico da pergunta 2 da autoavaliação do encontro 2

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Em continuidade, a pergunta 3 questiona se o aluno compreendeu as ideias
sobre o espaço amostral apresentadas no jogo e atividade aplicada no encontro 2. Ao
observarmos a Figura 103, dos 12 alunos presentes, 8 alunos responderam que

270

compreenderam as ideias de acaso propostas, demonstrando ter construído algum
nível de conhecimento no que se refere ao desenvolvimento da probabilidade e 4
alunos responderam que não compreenderam, esse dado demonstra que os alunos
responderam com mais sinceridade a autoavaliação do encontro 2 se relacionarmos à
autoavaliação do encontro anterior. Vejamos o gráfico com o quantitativo das
respostas:
Figura 103- Gráfico da pergunta 3 da autoavaliação do encontro 2

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Já na pergunta 4 é solicitado que o aluno explique como ele poderia determinar
o espaço amostral de um evento aleatório, daí o quadro 60 mostra algumas respostas
obtidas:
Quadro 60- Pergunta 4 da autoavaliação do encontro 2
Repostas dos alunos à questão 4: Explique como você pode determinar o
espaço amostral de um evento aleatório:
A1: Usando argumentação.
A2: Com bons argumentos.
A3: Contando quantas opções tem.
A4: Total de opções que temos.
A5: Contando todas as opções.
A6: Não sei, desculpa.
A7: Contando todas as chances.
A8: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A9: Pelo número de possibilidades totais.
A10: Não sei.
A11: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A12: Com a probabilidade.
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Dos 12 alunos presentes, 10 responderam o questionamento e 2 deixaram em
branco (AR-EB). Embora não tenha se obtido todas as respostas da pergunta 4, podese notar uma evolução em contraste com a autoavaliação do encontro anterior onde

271

somente 3 alunos haviam respondido. Contudo, a maior adesão no número de
respostas não implica diretamente em respostas corretas. Constatamos que 5
respostas foram consideradas corretas (A3, A4, A5, A7, A9), sendo categorizadas
como C-AA e C-DC e 5 respostas (A1, A2, A6, A10, A12) foram consideradas não
satisfatórias

enquadrando-se

nas

categorias

E-EC

e

E-DL

por

apresentar

respectivamente, erros de conceito e respostas inconclusivas.
Em prosseguimento, na pergunta 5 (quadro 61) da autoavaliação é perguntado
o que seria evento aleatório, onde obtivemos as seguintes respostas:
Quadro 61- Pergunta 5 da autoavaliação do encontro 2
Repostas dos alunos à questão 4: Defina o que é um evento aleatório:
A1: Evento que não existe.
A2: Evento que pode acontecer qualquer coisa.
A3: É quando não sabe o que vai acontecer.
A4: É o evento que pode acontecer qualquer coisa.
A5: Não sei.
A6: Não sei, desculpa.
A7: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A8: Evento que tem certeza.
A9: Evento que não sabe a resposta.
A10: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A11: Evento sem previsão.
A12: Evento errado.
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Dos 12 alunos presentes, 10 responderam o questionamento e 2 deixaram em
branco (AR - EB). Além disso, constataram-se 4 respostas que foram consideradas
corretas, mesmo precisando de maiores explicações, que foram categorizadas como CAA e C- DC pois demonstraram ausência de argumentação, porém com certo domínio
do conteúdo. Ademais, 5 respostas foram consideradas não satisfatórias enquadrandose nas categorias E-EC e E-DL por apresentar respectivamente, erros de conceito e
respostas inconclusivas.
Já na pergunta 6 da autoavaliação é perguntado qual das partes da atividade
envolvendo o Pica Pau e o Zeca Urubu com o lançamento de uma moeda tiveram mais
dificuldade em responder, dentre resolução matemática, hipóteses levantadas,
argumentação, justificativa e conclusão, como observado na Figura 104:

272

Figura 104- Gráfico da pergunta 6 da autoavaliação do encontro 2

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Percebemos que o item de resolução matemática representou uma maior
porcentagem (41,7%) no que se refere à dificuldade encontrada para responder à
questão, seguido da etapa “hipóteses levantadas” que totalizou 33,3% das respostas.
Para as demais alternativas, distribuíram-se 8,3% para cada uma delas, mostrando que
as principais dificuldades se concentram

nos dois primeiros

itens, o que

consequentemente interfere nos itens (c), (d) e (e), fazendo com que o processo
argumentativo não ocorra completamente.
Em continuidade, a última pergunta da autoavaliação do encontro 2 realiza um
questionamento sobre o jogo correndo ao acaso, em que os alunos apresentam a
etapa que mais tiveram dificuldades. Observamos na Figura 105 que em nível de
dificuldade no jogo “Correndo ao acaso” a etapa de “Conclusão” possui a maior
porcentagem, totalizando 33,3% das respostas; seguido das etapas de “Afirmação” e
“Dados/evidência/fundamentos”, ambas com 25% das respostas e, com 16,7% a etapa
“Garantia”, demonstrando ter sido a de menor dificuldade, evidenciando que durante o
processo argumentativo os alunos ainda não conseguem interligar as informações
anteriores para concluir o seu argumento. Vejamos o gráfico com o quantitativo das
respostas:

273

Figura 105- Gráfico da pergunta 7 da autoavaliação do encontro 2

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Mesmo com todas as dificuldades apresentadas no quesito argumentativo e
probabilístico, os resultados apresentados no segundo encontro sob o olhar da análise
proposta forneceram uma melhora na argumentação e discurso dos alunos em relação
ao início do primeiro encontro. As atividades escritas continuaram com um nível menor
que o presente na oratória, porém os alunos reagiram com menos resistência do que o
ocorrido no dia 1. Isso não significa que os discentes não reclamaram da quantidade de
questões para se realizar, mas que eles, por terem construído um melhor entendimento
sobre o tema probabilístico conseguiram atribuir um maior significado durante a
resolução do problema.
Esse encontro apresentou características mais sólidas, contemplando elementos
argumentativos como os propostos por Kosko e Guilford (2018); Leitão (2007);
Mortimer e Scott (2002). Ademais, o aprendizado dos conceitos probabilísticos
previstos para esse encontro também foram alcançados em grande parte, ao analisar
as atividades escritas e as atividades desenvolvidas em sala de aula, contribuindo para
o entendimento das ideias de Probabilidade desde os Anos Iniciais do

Ensino

Fundamental ressaltando a importância da inserção desse conteúdo, que é essencial e
faz parte do cotidiano de todos, como visto por Amaral (2004); Coutinho (1994);
Eugênio (2019); Silva (2016); Samá e Silva (2020); Moura e Samá (2016); Samá e
Goulart (2019) e entre outros que trouxeram contribuições significativas para a

274

compreensão do ensino e conteúdo de Probabilidade. Ao finalizarem essa etapa, os
alunos foram direcionados para a terceira estação da trilha de aprendizagem.

3.3.4 Análise das atividades da trilha de aprendizagem: 3º encontro
Em continuidade, o terceiro encontro não ocorreu na semana planejada, visto
que em um dos dias que iria ocorrer a aplicação, a escola estava em período de provas
e na outra semana só foi possível ter uma hora de aula com a turma, pois a escola
havia programado uma “semana da criança”, onde os alunos não teriam suas aulas
normalmente. Isto dificultou um pouco o nosso planejamento, pois tivemos que
adequar uma nova data para o encontro. Contudo, na referida semana da criança a
equipe pedagógica da escola conseguiu disponibilizar uma hora/ aula para aplicação
da trilha, esta hora/ aula foi utilizada para reforçar conceitos probabilísticos e sanar
dúvidas sobre os elementos argumentativos por parte dos alunos. Com isso, o terceiro
encontro foi realizado uma semana após a prevista, o que atrasou a coleta e análise
de dados desse dia.
Tendo em vista os aspectos mencionados anteriormente, na semana seguinte foi
iniciada a aplicação das atividades propostas para o encontro 3, lembrando que o plano
de aula e sugestões de inserção das atividades elaboradas se encontram no tópico
presente nesse mesmo capítulo. Além disso, a primeira atividade proposta para este
encontro foi a atividade de ambientação a argumentação e logo após, a sugestão é que
se apliquem os jogos envolvendo o quebra-cabeça e os quadrinhos com balões. Em
seguida, foi realizada a atividade da cartolina, junto com a atividade final e
autoavaliação.
É válido relembrar que para este encontro, o tópico a ser resgatado/ aprendido
será o da análise de chances de eventos aleatórios. Através disso, discutiremos sobre
a atividade de ambientação à argumentação para assim apresentar os resultados das
atividades escritas. Além disso, é válido ressaltar que o encontro contou com a
presença de 11 alunos.
Deste modo, a pergunta 1 do encontro 3 (Figura 106 e 107) tem o seguinte
enunciado: “Naruto foi em um parque e encontrou uma loja que premiava ursinhos de
pelúcia para quem conseguisse parar o ponteiro na cor verde. Se Naruto parou nessa

275

loja, e girou a roleta B, qual é a probabilidade de ele parar no verde? Você acredita que
há uma roleta que possui mais chances de parar o ponteiro na cor verde?”. A partir
desse enunciado, os alunos responderam os itens solicitados e classificamos os níveis
argumentativos de acordo com nosso quadro de análise. Observemos uma das
respostas obtidas de dois alunos referente à essa atividade, cujos itens da questão
solicitam que o aluno apresente a resolução matemática, hipóteses levantadas,
argumentação, justificativa e conclusão:
Figura 106- Resposta de aluno referente às perguntas da atividade 1 do encontro
3 – Aluno 1

Fonte: Acervo da autora da dissertação (2022)

276

Figura 107-Trecho de resposta de aluno referente às perguntas da atividade 1 do
encontro 3 – Aluno 2

Fonte: Acervo da autora da dissertação (2022)

Ao organizarmos todas as respostas, classificamos os níveis argumentativos
adquiridos na atividade do Naruto. Observemos o tópico de resolução matemática
apresentado pelos alunos na Figura 108:
Figura 108- Gráfico do Item 1 da atividade (individual) 1 do encontro 3

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Para o item 1 da atividade 1 do encontro 3 nota-se que 45,5% dos alunos
obtiveram nível argumentativo 2 no quesito “resolução matemática”; enquanto 36,4%
das respostas foram classificadas como nível argumentativo 3; por fim, um percentual
de 18,2% permaneceu com nível argumentativo 1. Há evidências, portanto, para o

277

entendimento que no terceiro encontro, os alunos melhoraram seus níveis
argumentativos nas resoluções matemáticas dos problemas propostos, porém uma
percentagem, mesmo que pequena, permanece com dificuldades de argumentação
matemática, apresentando falhas identificadas ainda no primeiro encontro. Através
disso, é necessário compreender que a construção do conhecimento evolui de forma
gradativa e em ritmos diferentes para cada aluno, sendo importante observar as
pequenas evoluções ao longo das atividades aplicadas. Ademais, no item 2 da
atividade 1 do encontro 3, podemos observar a classificação das hipóteses levantadas
pelos alunos na Figura 109:
Figura 109- Gráfico do Item 2 da atividade (individual) 1 do encontro 3

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Podemos constatar que 45,5% dos alunos, obtiveram nível argumentativo 2 no
quesito “hipóteses levantadas”; enquanto 36,4% das respostas foram classificadas
como nível argumentativo 3. Ademais, um percentual de 18,2% permaneceu com nível
argumentativo 1. Com isso, há evidências para o entendimento que no terceiro
encontro, os alunos melhoraram seus níveis argumentativos nas hipóteses levantadas
para resolver a situação-problema proposta. Contudo, uma percentagem, mesmo que
pequena, permanece com dificuldades de criação de hipóteses, sendo importante a
análise dos próximos encontros para constatação de evolução ou estagnação.
Em prosseguimento, no quesito argumentação pode-se constatar através da
Figura 110 que um percentual de 45,5% atingiu, na avaliação, um nível argumentativo
3, sendo o primeiro item a ter o nível 3 como predominante. Classificados como nível
argumentativo 2, tem-se uma porcentagem de 36,4% e de nível de argumentação 1,

278

um percentual de 18,2%. Analisando os níveis obtidos no encontro anterior e
comparando-os, pode-se inferir que houve um início de transição de nível
argumentativo 2 para nível argumentativo 3 durante o andamento do encontro 3.
Vejamos o gráfico:
Figura 110- Gráfico do Item 3 da atividade (individual) 1 do encontro 3

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Já no item 4, no quesito acerca da justificativa pode-se constatar na Figura 111
a predominância de respostas com níveis argumentativos 3, tendo dessa vez, uma
parcela de 50% das respostas. Já no nível argumentativo 2, classificaram-se 40% das
respostas e por fim, 10% dos resultados para o nível argumentativo 1. Neste caso,
houve uma evolução significativa nos itens 3 e 4, visto que o nível três apareceu em
destaque, o que não vinha ocorrendo com frequência nas atividades anteriores. Abaixo
está o gráfico:
Figura 111- Gráfico do Item 4 da atividade (individual) 1 do encontro 3

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

279

Para o cenário de análise do item “conclusão”, pode-se notar na Figura 112 a
semelhança com o item da “argumentação”, diferenciando o fato de que a porcentagem
de respostas nível 1 reduziu, atingindo o percentual de 9,1%. Tais dados demonstram
uma evolução dos alunos nas conclusões elaboradas, ocasionando numa melhora no
conceito de níveis argumentativos. Para os demais níveis, tem-se: 45,5% de respostas
classificadas para ambos os níveis argumentativos 2 e 3. As evoluções notadas ao
longo das atividades e encontros vão ao encontro do que Kosko e Wilkins (2015)
sinalizam, sobre a implementação da argumentação em sala de aula ser gradativa,
exigindo paciência e planejamento do corpo docente. Vejamos o gráfico a seguir:
Figura 112- Gráfico do Item 5 da atividade (individual) 1 do encontro 3

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Em continuidade, discutiremos sobre o jogo do quebra-cabeça, em que os
moldes foram impressos em papel cartão e levados para o local de aplicação já
cortados (Figura 113), a fim de otimizar o tempo disponível. Esta atividade foi
desenvolvida em grupo e realizamos as perguntas que foram colocadas como
sugestões no tópico referente às atividades desenvolvidas para aplicação. Segue uma
imagem do quebra-cabeça:

280

Figura 113- Jogo do quebra-cabeça impresso

Fonte: Acervo da autora da dissertação (2022)

Ao longo da aplicação do jogo de quebra-cabeça pudemos observar no quadro
62 várias falas dos alunos que consideramos relevantes para serem destacadas. A
seguir, apresentaremos um trecho da gravação das interações discursivas durante
essa atividade:
Quadro 62- Trecho 1 Atividade quebra-cabeça do encontro 3
Trecho 1 atividade quebra-cabeça (Encontro 3)
Indicadore
s de
Padrões
Abordagem
T
Transcrição da fala
engajame discursiv Comunicativa
Turno
n
os
to
1
P: Garotinhos e garotinhas, no
2 lançamento de uma moeda, existe
alguma vantagem em um apostador que
1
escolhe cara ou coroa? Por qual
motivo?
A1: Não tem vantagem porque as
chances são as mesmas, já que só tem
3 uma cara e uma coroa
2
2
3
4
4
3

P: Correto! Agora me falem qual a
probabilidade de se obter uma cara no
lançamento de uma moeda?

Nível argumentati vo
alcançado

281

5

A3: Achamos que é de metade, tia

6

P: Quanto vale metade?

7

A3 e A1: 0,50 ?

5
6
7
8 A5: Eu acho que é 50%
8
9 A6: É a mesma coisa, "burro".
9

P: Bora lá, pessoal, foco! A6, por qual
1 motivo 0,50 e 50% seria a mesma coisa?
10

E1, E2,
ED2,
EDP1

I-R-F-PR-P- P-RP-R-A

(a), (b),(c)

2E3

A6: Porque a senhora disse que a
11

1 Probabilidade ficava "rodando" entre o

0% e o 100%, como a gente encontrou
metade das chances, metade de 100% é
1 50%.
P: Beleza então! O seu grupo acaba de
1 ganhar mais uma peça do quebra-

12

cabeça
1 comemoração do grupo (com gritos e

13

14

risadas)
P: Gente, próxima pergunta é a seguinte:
Ao lançar um dado, qual a probabilidade
1 de eu obter
um número ímpar?
1 A1: Essa é fácil: três em seis.

15
1 P: Por qual motivo, A1? Todos
16

concordam?
A1: É porque nesse dado eu tenho o 1, 3

17

1 e 5 que é ímpar dentro do total de seis

números normais

1
1 P: Todos concordam?
18
1 Turma: Simm!
19

20

21

A2: Mas essa resposta também pode ser
metade de novo, né tia? Que é 50%?
2 Pelo que A6 falou, isso aqui também é a
metade.
P: Muito bem, A2. Vocês me falaram
duas representações diferentes para
uma mesma resposta. Todos os grupos
2
ganharão mais uma peça do quebra2 cabeça.
2
Turma: Barulhos comemorativos.

22

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Sobre os elementos do modelo de argumentação de Toulmin, observamos: no
turno 2, garantia e conclusão; no turno 11, qualificador, garantia e conclusão; no turno
17 e 20, a garantia e a conclusão.

282

Sobre os elementos presentes no trabalho de Kosko e colaboradores,
identificamos estes presentes nos seguintes turnos: turno 2 (descrição matemática –
explica o porquê não há vantagem), turno 11 (descrição matemática e explicação – cita
a faixa de ocorrência em percentual da probabilidade e explicação a operação
matemática para obter 50%), turno 15 seguido do 17 (procedimento e descrição
matemática – explica o porquê de três em seis, observando a quantidade de faces
ímpares dos dados) e turno 20 (descrição matemática – explica o porquê de 50%). A
atividade proposta propiciou aos alunos vivenciar as quatro etapas de investigação
matemática proposta por Ponte, uma vez que a professora foi problematizando por
meio dos questionamentos, explorando as questões, formulando conjecturas,
refinando-as, justificando e avaliando.
Assim, observamos que nesse trecho os alunos já conseguem relacionar
melhor as suas justificativas com o cálculo matemático e estabelecem relações
com os elementos argumentativos mais comuns (dados, garantia e conclusão). Num
pequeno trecho também identificamos muito mais turnos com características
argumentativas do que quando iniciamos a aplicação dessa trilha.
Notemos que os turnos 2, 11, 15, 17 e 20 possuem construções de/ou
argumentos convincentes para respaldar as ideias dos alunos e fazer com que o
professor crie mais perguntas que prolonguem esse tipo de comportamento. Como os
alunos se organizaram em grupo, foi identificado um engajamento cooperativo, além do
engajamento relacionado à discussão sobre a sofisticação de ideias e construção de
relações explicativas. Além disso, no padrão discursivo é notado que houve bastante
interação entre aluno e professor. Um dos motivos para isso foi que os alunos no
formato coletivo lançaram muitas ideias para aqueles que falavam em nome do seu
grupo, fortalecendo a concepção de que a discussão em sala de aula é rica, quando
bem direcionada e pode promover a argumentação. Quanto às abordagens
comunicativas, foi possível manter as que possuíam aspectos dialógicos e interativos,
de modo que os alunos conseguiram desenvolver elementos argumentativos
caracterizados nos níveis 2 e 3, que é um avanço bastante significativo para este
trabalho.

283

Em continuidade, também tivemos a atividade da história em quadrinhos
(Figura 114), atividade desenvolvida em grupo, que visava a criação de uma breve
“história em quadrinhos” que envolvesse o tema de Probabilidade. Esta atividade
também foi gravada, porém grande parte das falas presentes na construção dessa
atividade não foi caracterizada como elementos argumentativos, só ao final das
construções que foi possível obter uma participação mais efetiva, porém muitos alunos
alegaram não ter criatividade para a construção da história ou confundiram a proposta
do tema e realizaram a história com um contexto diferente do original. Como esta
atividade foi em grupo, dividimos a sala em quatro equipes e os alunos tentaram
desenvolver a história proposta com base no tema de Probabilidade.
Figura 114- História em quadrinhos

Fonte: Acervo da autora da dissertação (2022)

Para essa atividade, apenas dois grupos conseguiram apresentar respostas que
se aproximaram da proposta apresentada, os outros dois grupos colocaram falas
aleatórias nos balõezinhos, fazendo com que o tema de Probabilidade não fosse o
foco. Já os grupos que fizeram algo no sentido probabilístico só conseguiram expor sua
história de modo satisfatório de forma oral, visto que nos balões foram colocadas
poucas informações. Daí, percebemos que para essa atividade, a proposta pedagógica

284

não ficou nítida para os alunos e que a interpretação das duas respostas que entraram
no viés probabilístico só pôde ser mais bem compreendida quando eles explicaram a
“história” que elaboraram. Vejamos uma das respostas desta atividade:
Figura 115- Um dos grupos das respostas com Probabilidade na história

Fonte: Acervo da autora da dissertação (2022)

Com isso, separamos alguns trechos da gravação em que os alunos de um
desses dois grupos explicaram suas ideias e possíveis características argumentativas
em suas falas:
Quadro 63- Trecho história em quadrinhos encontro 3

Tturn

Transcrição da fala

o

53
4

Trecho 1 atividade quadrinhos (Encontro 3)
Indicador
es de
Padrões Abordagem
engajame discursiv Comunicativ
n
os
a
to

P: Vocês do grupo 1, me expliquem a
história de
vocês!
A4: A nossa história tem três amigos que
ficam falando sobre a probabilidade que
eles estão vendo.
No quadrinho do
castelo a chance de uma em 6 é o que o
cachorro tá vendo no dado.
A3: No quadro da roleta os animais tão
vendo as
chances de cair cara na moeda. Aí todo
mundo

Nível argumentati vo
Alcançado

285

55

56

57
58
59

60

61

62

63
64

65

66
67

falou uma resposta diferente mas que é
igual, né
A4?
A4: E no último a gente só colocou essas
palavras
de jogo injusto ou justo pra acabar a
atividade.
P: Vocês perceberam que o que vocês
falaram
não tem escrito em nenhum local?
A3: É porque não dava, tia
A5: E porque ia ser muita coisa pra
escrever
P: Perceba que quem for ler essa história
não vai interpretar isso que vocês falaram.
Tenham mais atenção e empenho na
realização das atividades.

E2, ED2,
EDP2

I-R-R-RF-RR-P-P-RRR-R-A-R

(a)

2E3

P: Mas beleza! Como vocês justificariam
as 3
respostas diferentes que vocês
comentaram para
as chances de se cair cara na moeda?
A5: É porque tem uma cara de um total de
duas,
tia.
A3: Aí, aí tipo, se eu tenho uma em duas,
eu sei
que é 1 sobre 2 (1/2) e se eu dividir um real
"pra
duas pessoas fica" 0,50 centavos, por isso
"botamo" 0,50
A3: Fala você agora, A4, é sua vez.
A4: É... aí eles já falaram do 0,50 e do 1
sobre 2.
Vou falar do 50% então. Botamos 50 %
porque
como os dois lados da moeda são 100%,
um lado
seria 50%
P: Hmm, entendi! Gostei das explicações,
porém
vocês não escreveram isso tudo que
falaram.
Lembrem que eu falo "faces de uma
moeda" e
não os lados dela, beleza?.
Grupo: Beleza!

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Sobre os elementos de argumentação de Toulmin, foi constatado nos turnos: 4
(garantia e conclusão), 55 (garantia), 63 (garantia, qualificador, conclusão), 65 (garantia
e conclusão). No turno 56, aparece o termo justo e injusto, outro tipo de termo
equivocado que surge no inicio quando os alunos se deparam com as primeiras ideias
sobre probabilidade. Sobre os elementos de Kosko, o turno 55 traz recontagem
matemática e os turnos 66 e 65 apresentam descrições matemáticas, explicações, e
procedimentos matemáticos. A atividade possibilitou aos alunos vivenciar as etapas da

286

investigação matemática, embora algumas etapas não foram desenvolvidas
plenamente.
Notemos que nesse trecho acima os alunos apresentaram domínio sobre o que
estavam falando e sobre a profundidade do que pensaram ao escrever palavras soltas
nos quadrinhos. Assim, mostrando mais uma vez que a argumentação escrita é algo
que para ser executada como natural exige muito mais tempo de prática e tentativas de
inserção em sala de aula do que a argumentação verbal, em que os alunos conseguem
responder de modo imediato, fazendo com que o modo oral seja mais ágil e rápido na
perspectiva do aluno, gerando um engajamento maior para as atividades que podem
ser solucionadas com a verbalização.
Logo após finalizar essas atividades, direcionamos e instruímos os alunos para a
realização da atividade da cartolina, descrita no plano de aula 3. A atividade foi
realizada por dois grupos, que tiveram 30 minutos para preencher o que era solicitado
e assim iriam apresentar as suas resoluções para os demais. Os dois grupos
conseguiram atingir a resposta matemática correta, mas apenas uma equipe
preencheu os elementos de hipótese, justificativa, argumentação e conclusão que foi
solicitada. O grupo recebeu o nome pela cor da cartolina, onde tivemos o grupo rosa e
o grupo amarelo com duas problemáticas diferentes. Os problemas elaborados para os
grupos foram os seguintes:
Grupo Rosa: João e Maria possuem uma urna com 6 bolas rosas, 2 verdes e 2
vermelhas. Retirando-se uma bola ao acaso, qual seria a probabilidade de se
retirar uma bola vermelha ao acaso?
Aqui a solução matemática pode ser representada por: 2 em 10, 2/10, 0,20
ou 20%.
Grupo Amarelo: Em um programa de TV há uma roleta com 4 cores, uma preta,
e 3 azuis. Rafa foi para esse programa e ao girar a roleta obteve no giro a cor preta.
Qual é a Probabilidade de se obter a cor que Rafa conseguiu ao girar essa roleta?
Para essa questão a solução matemática pode ser representada por: 1 em
4,1/4, 0,25 ou 25%.

287

Ao passar o tempo previsto para que os alunos respondessem ao problema
proposto, iniciamos as apresentações. Como só houve a exposição completa de
apenas um grupo, já que o outro só apresentou a situação matemática, resolução
matemática e avaliação, selecionamos os trechos da apresentação do grupo rosa, já
que nela havia a presença de um possível levantamento de hipóteses, justificativa e
conclusão. Antes disso, sobre os questionamentos presentes na parte de avaliação da
cartolina para a primeira questão, os dois grupos alegaram ter identificado os conceitos
de probabilidade no problema. Na segunda questão o grupo rosa alegou ter tido um
pouco de dificuldade e o amarelo informou que não havia tido problemas para
resolver o problema proposto. Já no item 3, sobre terem apresentado dificuldades
para explicar o texto da resposta, os dois grupos alegaram não ter tido dificuldades,
porém percebemos que um dos grupos não a fez, invalidando uma dessas respostas
obtidas nesse item.
No último item avaliativo desta atividade, novamente há um dado contraditório,
pois é perguntado qual das etapas da investigativas o grupo teve mais dificuldade em
realizar e o grupo amarelo colocou que não teve dificuldades, porém não realizaram o
que foi pedido. Já o grupo rosa considerou o aspecto de explorar a situação-problema
e formular questões como sendo um tópico que apresentou dificuldades durante as
etapas de investigação, mostrando que muitas vezes os alunos apresentam um
desempenho não esperado por não conseguir explorar com nitidez a situaçãoproblema apresentada. A seguir, apresentaremos um trecho da apresentação do grupo
rosa sobre como solucionaram o problema:

288

Quadro 64 - Trecho de momentos de apresentação do grupo rosa
Trecho 1 atividade cartolina (Encontro 3)
Indicadores
Nível
de
Padrões
Abordagem argumentati
Turno
Transcrição da fala
engajamen discursivos Comunicativa
vo
to
alcançado
P: Eai, galera do grupo rosa! Me falem como
vocês encaixaram as suas soluções nas etapas
315 investigativas.
A6: Primeiro a gente não sabia de nada, depois a
316 gente foi lendo e entendendo
317 Turma: som de risos
A3: Aí depois a gente pegou a resposta que era 2
sobre 10 (2/10) e começou a escrever como fez
ela. A gente botou assim: é só ver que tem 2
318 vermelhas e ver que tem 10 no total
A5: Aí, tia, a gente foi pra parte da justificativa,
que a gente botou: "Porque a gente viu que
pegava o que queria e botava em cima do total,
ficando com a resposta que a gente botou "2/10"
319 ".

320
321

322
323

324

A6: Na parte da argumentação a gente colocou a
mesma coisa, só que mostrando que tinha 10
bolinhas na urna. Que a gente desenhou aqui em
cima. Pra convencer o pessoal que quiser ver,
mas a gente não "tava com lápis de cor" pra ficar
melhor. Vai tu agora A1.

E2, ED2,
EDP2

I-R-R-R-R-RF

(a)

2E3

A1: É... No final a gente colocou na, naa..,
conclusão, isso, colocamos assim: "As chances de
pegar uma vermelha é de duas em 10 = 2/10".
P: Palmas pra esse grupo pessoal!
Sons turma: Palmas e gritos
P: Pessoal, parabéns! Vocês apresentaram muito
bem, mesmo fazendo a leitura do que
escreveram. Só precisamos ajustar algumas
coisas durante as etapas da investigação, vamos
láa!

Fonte: Elaborado pela autora da Dissertação (2022)

Sobre os elementos de Toulmin, foram observados: turno 318, 319 (garantia e
conclusão), turno 320 (garantia, qualificador, conclusão), turno 321 (conclusão). Para
os elementos de Kosko, foram observados: turno 318, 319, 310, 321 (descrição
matemática). Nessa fase da apresentação da história em quadrinhos, os alunos

289

puderam evidenciar algumas etapas da investigação matemática que não tinham
ficado claras como a formulação de conjecturas, justificação e avaliação.
Percebemos que nesses trechos o foco realmente foi de apresentação da
produção do referido grupo, sendo exposto ao longo dessa apresentação os elementos
argumentativos de hipóteses, justificativas e conclusão de modo escrito. De todas as
atividades escritas propostas, acreditamos que esta foi a que mais fez com que os
alunos refletissem sobre como iriam encaixar suas soluções matemáticas em
contextos argumentativos como estes. Percebemos que os turnos: 316, 318, 319, 320,
321 são bastante relevantes, visto que eles deixam nítido que o grupo buscou entender
cada um dos elementos que estavam propostos, fazendo com que a argumentação
escrita nesse caso deixasse de ser superficial para que fosse mais robusta e
abrangendo elementos que outrora não estavam sendo atingidos.
Partindo para a autoavaliação do encontro 3, analisamos as respostas dos 11
alunos presentes, onde a primeira pergunta questiona se os alunos conseguiram
analisar as chances de ocorrências de eventos aleatórios com as atividades
desenvolvidas nesse encontro e para essa pergunta todos preencheram o caderninho,
mostrando que 9 deles afirmaram saber analisar e 2 afirmaram não conseguir analisar
as chances dos eventos aleatórios; isso representa que mais da metade estão
conseguindo desenvolver melhor suas habilidades relacionadas aos objetos de
conhecimento acerca da Probabilidade, embora uma parte desses alunos ainda
tenham dificuldades de realizar essa análise e grande parte já se consideram mais
experientes nesse tópico específico.
Já a segunda pergunta questiona se os alunos identificaram corretamente as
ideias a serem aplicadas na resolução da situação-problema envolvendo o Naruto, em
que apenas 8 alunos responderam ao questionamento e 3 deixaram a resposta em
branco. Com isso, dos 8 alunos que responderam, 5 afirmaram ter identificado
corretamente as ideias e 3 afirmaram ter identificado “mais ou menos” as ideias da
atividade do Naruto. Notamos que não há a necessidade deles deixarem algumas
respostas em branco, porém mesmo assim alguns ainda apresentam resistência em
finalizar as atividades de modo completo.

290

Partindo para a terceira pergunta, foi pedido que o aluno informe se as ideias
sobre as “chances de um evento aleatório ocorrer” que foram apresentadas nos jogos e
atividades foram compreendidas, no que 10 alunos afirmaram ter compreendido tais
ideias e apenas 1 informou não ter compreendido. Para essa pergunta, percebemos
que os alunos continuam construindo seu letramento probabilístico ao longo dos
encontros, reforçando aquilo que está sendo ensinado acerca da Probabilidade.
Em continuidade, a quarta pergunta solicita que o aluno explique como ele
pode determinar as chances para que um evento aleatório ocorra. Essa questão é
aberta e obtivemos apenas 4 respostas preenchidas com alguma sequência lógica e 7
em branco. A primeira resposta preenchida informava o seguinte: “Eu sei que analiso a
quantidade total e o que eu quero”. Já na segunda resposta observada, o aluno afirmou
que: “Eu determino olhando o que eu quero e o espaço amostral da pergunta”. Em
sequência, na terceira resposta preenchida o aluno responde: “Eu sei porque eu conto
o que a pergunta quer e o que tem em tudo”. Por fim, na quarta resposta observada o
estudante escreve: “Não sei explicar direito, mas eu vejo as chances que a questão
pede em relação ao total”. Notamos que dos alunos que responderam, todos
conseguiram expor, mesmo que de modo sintetizado, o que realizam na prática para
obter a resposta esperada. Já os 7 que deixaram em branco, provavelmente nem
tentaram resolver a questão, pulando para a próxima pergunta. Além disso, podemos
inferir que os 7 alunos que não responderam podem até saber explicar o que foi
pedido, mas apresentaram resistência, pois informaram presencialmente que estavam
“cansados” e a atividade estava longa.
Na quinta pergunta é solicitado que o aluno informe quais das etapas teve mais
dificuldade em ser respondida na atividade do Naruto, onde 6 alunos responderam que
a parte das conclusões seria a mais difícil e 5 alunos responderam que era a parte da
justificativa. Esse dado nos mostra que os alunos ainda apresentam dificuldades em
dissociar a justificativa da conclusão, em que muitos acreditam que durante a
justificativa já é realizada a conclusão por completo.
Na sexta pergunta é questionado qual das partes da atividade do “mural” se
teve mais dificuldades, em que novamente 6 alunos responderam que seria na
conclusão e 5 responderam ser na justificativa.

291

Já na sétima pergunta o aluno deveria informar se conseguiu compreender o
raciocínio apresentado pelos demais grupos durante a resolução da situação-problema
da atividade do mural. Para essa pergunta, 5 alunos afirmaram ter compreendido
totalmente o que o outro grupo falou e 6 alunos afirmaram ter compreendido
parcialmente, já que um dos grupos não apresentou a resolução na frente da turma,
não sendo possível que fosse entendido completamente o que esse grupo que não
apresentou realizou na cartolina.
Em prosseguimento, na pergunta 8 foi questionado se os alunos conseguiram
desenvolver a investigação matemática para resolver a situação-problema apresentada
na atividade do mural e todos afirmaram ter conseguido seguir todas as etapas, mas
tiveram dificuldades em algumas etapas. Partindo para a nona pergunta, os alunos
deveriam responder se conseguiram desenvolver a atividade com o quebra-cabeça e
novamente obtemos unanimidade das respostas em que os alunos afirmaram que
“sim”.
Para a décima pergunta foi questionado se os alunos conseguiram elaborar a
estória em quadrinhos usando os conceitos de probabilidade: 9 alunos afirmaram ter
conseguido elaborar com facilidade e dois alunos falaram que conseguiram, mas com
certa facilidade.
Em relação ao questionamento 11 os alunos deveriam informar qual tipo de
argumentação é considerada mais fácil e obtivemos unanimidade para a argumentação
oral, em que conseguem se expressar oralmente sem dificuldade para expor o
raciocínio. Esse dado apresenta um pouco de equívoco por parte de alguns alunos, já
que uma pequena parte deles possuem dificuldades para realizar os dois tipos de
argumentação.
Por fim, na última pergunta é solicitado que o aluno avalie o seu nível de
argumentação nas atividades escritas e orais e 8 alunos afirmaram estar no item b):
“ótimo, consigo articular satisfatoriamente as ideias encadeando hipóteses, justificativa
e conclusão”. Além disso, 3 afirmaram estar no item c): Bom, consigo articular
razoavelmente as ideias encadeando hipóteses, justificativa e conclusão”.
Ao analisar as atividades propostas até o terceiro encontro, percebemos que os
alunos desenvolveram melhor suas habilidades probabilísticas e argumentativas, visto

292

que muitos já conseguiram elaborar afirmações com mais elementos essenciais à
argumentação, bem como aos objetos de conhecimento de Probabilidade. Além disso,
notamos que o cálculo de Probabilidade, a linguagem, o contexto, questões críticas e
grandes ideias são recorrentes no decorrer das atividades e jogos, o que contribui para
a construção do letramento probabilístico, como proposto por Braga, Ballejo e Viali
(2022).
Após a finalização desse encontro os alunos receberam o convite para participar
do quarto encontro da trilha de aprendizagem que ocorreria no próximo encontro,
juntamente com a estação cinco, que seria o que os alunos provavelmente sairiam da
ilha que estavam presos (contexto da trilha de aprendizagem).

3.3.5 Análise das atividades da trilha de aprendizagem: 4º encontro
O professor que deseje aplicar esse encontro em sua aula deverá analisar o
plano de aula 4 e verificar o planejamento necessário para a pré-finalização da trilha
de aprendizagem. As estações 4 e 5 tem como objetivo ensinar e fixar os objetos de
conhecimento relacionados ao espaço amostral e o cálculo de Probabilidade de
eventos equiprováveis (aqueles que possuem a mesma chance de algo ocorrer). A
primeira atividade do encontro 4 é o jogo Probabilinha, para o qual os alunos
responderam algumas questões probabilísticas a fim de chegar ao

final

da

“amarelinha”. Nesta atividade formaram grupos em sala de aula e foram distribuídos os
moldes do jogo probabilinha, dados e pinos (tampinha de refrigerante) para cada
equipe. Ao utilizar uma das perguntas que foram colocadas como sugestão para esse
jogo (na seção que descreve o Probabilinha), percebemos que houve uma interação
que fugiu novamente da tríade e que promoveu momentos de argumentação com
características e estruturas que são almejadas em nosso trabalho, com isso,
selecionamos um trecho desse episódio (quadro 65) a fim de compartilhar tais
características que ocorreram durante uma das perguntas da Probabilinha:

293

Quadro 65- Trecho atividade probabililha (Encontro 4)

Turno

1
2
3
4
5
6

7
8
9
10

11
12
13
14

15
16

Trecho da atividade Probabilinha (Encontro 4)
Indicadores
Nível
de
Padrões
Abordagem argumentati
Transcrição da fala
engajamen discursivos Comunicativa
vo
to
Alcançado
P: Gente, atenção aqui! Se um cubo mágico está
com todos os lados montados (com as cores
iguais agrupadas). Qual a Probabilidade de se
lançar o cubo mágico e obter a face da cor azul?
A1: uma de quatro, tia!
P: Uma o quê??
A1: Uma chance num total de 4 cores que o cubo
tem?
P: Melhorou! Como que a gente pode definir isso
em forma de fração? Outra pessoa agora.
A2: Eu acho que pode ser como um sobre quatro?
(1/4) que é metade da metade, né?
P: Como assim, metade da metade? Você
consegue me dizer quanto ficaria esse resultado
em porcentagem?
A2: É... Como que faz mesmo? Se a metade é
50%, então metade da metade ia ser 25%
P: Vocês concordam, pessoal?
A3: Eu não entendi bem isso da metade da
metade, tia
A2: É porque como duas cores são 50%, porque é
metade de 4 cores, então 1 cor seria metade
dessa metade que era 2 e virou 1
A3: Que arrodeio, mas eu entendi agora!
P: Entendeu mesmo?
A3: Sim, tia
P: Então qual seria a probabilidade que eu
perguntei no início em formato de porcentagem,
gente?
Maioria da turma: vinte e cinco por cento

E1, ED2,
EDP2

I-R-P-R-F-RP-R-P-R-RR-P-R-P-R

(a)

2E3

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Acerca dos elementos da argumentação do modelo de Toulmin, pudemos
constatar: turno 6 e 8 (garantia e conclusão), turno 11 (garantia, qualificador e
conclusão), turno 16 (conclusão). Sobre os elementos de Kosko, os turnos 6,8,11

294

apresentam procedimentos e explicações. Além disso, as atividades propostas
proporcionaram o contato com etapas da investigação matemática de forma lúdica.
Ao observar os turnos acima, percebemos que os alunos expuseram a resolução
do que foi perguntado de forma adequada, tendo em vista que as respostas foram
coerentes e houve a existência de fundamentos que sustentassem a justificativa
apresentada. Durante a atividade, os alunos ficaram muito empolgados com o jogo e
com a disputa para se chegar até o “céudado” que é a última casa do jogo. Além disso,
percebemos ao longo desses encontros que as atividades com o caráter mais lúdico
chamam a atenção do aluno de modo muito mais profundo do que uma aula pautada
no ensino focado apenas no piloto e quadro. Porém, destacamos a importância de que
essas ferramentas lúdicas sejam pedagogicamente intencionadas e que tenham
objetivos para além da brincadeira, tendo como foco a aprendizagem dos alunos. Os
indicadores de engajamento, padrão discursivo, níveis argumentativos atingidos e
abordagem comunicativa predominante da professora nesse encontro pode ser
visualizada no trecho acima. Ademais, já conseguimos observar que os conceitos
matemáticos estão mais refinados a cada encontro, pelo menos os expressados
verbalmente, constatação importante para a nossa pesquisa.
Após o jogo Probabilinha, os alunos realizaram a atividade 1 do encontro 4,
uma situação-problema envolvendo os tópicos probabilísticos almejados para o
aprendizado desse encontro. Para realização desta atividade, a turma se dividiu em 4
grupos, sendo que 12 alunos estavam presentes, formando grupos de 3 componentes
cada.
A seguir, apresentaremos a análise de resultados dessa atividade que tem o
seguinte enunciado: “Agostinho Carrara estava trabalhando de Uber e resolveu
fazer um sorteio de um brinde com os clientes de algum mês do ano de 2021.
Para definir os clientes que seriam presenteados com o brinde, ele resolveu
sortear 1 dos 12 meses do ano”. Após essa contextualização é perguntado qual seria
a Probabilidade de sair um mês que começa com a letra J? E quais as chances de se
sortear um mês com a letra inicial J são iguais as chances de se sortear um mês com a
letra inicial S?

295

Após os grupos responderem os questionamentos, organizamos os dados
coletados para classificar adequadamente nos níveis argumentativos e probabilísticos.
Note através da Figura 116 que a atividade possui cinco itens, como mostra uma das
respostas dos grupos:
Figura 116- Trecho de resposta de aluno referente às perguntas da atividade 1 do
encontro 4 – Grupo 1

Fonte: Acervo da autora da dissertação (2022)

Percebemos que o primeiro item solicita a resolução matemática, apresentando
provas matemáticas, em que a resposta correta seria 3/12 para os meses que iniciam
com a letra “J” e as chances de se sortear um mês com a letra inicial “J” não é a mesma
de se sortear um mês com a letra inicial “S”, para isso, obtivemos os seguintes níveis
argumentativos:

296

Figura 117- Gráfico de nível argumentativo obtido no item 1 da atividade (grupo) 1
do encontro 4

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Verificamos na Figura 117 que 50% dos grupos, obtiveram nível argumentativo 2
no quesito “resolução matemática”; enquanto os outros 50% foram classificadas como
nível argumentativo 3. Com isso, temos evidências de que o quarto encontro gerou
mais um passo na construção do conhecimento dos alunos, pois não houve indicações
de grupos com classificação de nível argumentativo 1, mostrando que houve,
novamente, mais um degrau de crescimento no assunto da probabilidade. Apesar de
que, ainda são encontradas falhas no processo como erros de argumentação e
conceitos, falha em procedimentos matemáticos ou de construção de raciocínio, que
pode ser considerado natural para o processo de solidificação do aprendizado.
Já no item 2, referente as hipóteses levantadas, percebemos na Figura 118 que
as classificações ficaram meio a meio no quesito “hipóteses levantadas” com 50%
classificados em nível argumentativo 2 e 50% como nível argumentativo 3. Novamente,
há evidências para o entendimento que os alunos melhoraram seus níveis
argumentativos nas hipóteses levantadas para resolver a situação-problema proposta,
apesar de algumas constatações de erros de conceitos permanecerem, a ausência de
classificações de níveis argumentativos 1, mostra um grau de evolução no processo:

297

Figura 118- Gráfico do item 2 da atividade (grupo) 1 do encontro 4

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Em prosseguimento, no item 3 da atividade em questão no quesito
argumentativo, constata-se através do gráfico da Figura 119 que um percentual de
75% atingiu, na avaliação, um nível argumentativo 3, sendo o primeiro item a ter o nível
3 como predominante nessa atividade. Ademais, tem-se uma porcentagem de 25% das
respostas classificadas como nível argumentativo 2. Ao Analisarmos os níveis obtidos
no encontro anterior e comparando-os, pode-se inferir que continua ocorrendo a
transição de nível argumentativo 2 para nível argumentativo 3 e que a transição de
nível argumentativo 1 para 2 foi realizada:
Figura 119- Gráfico do Item 3 da atividade (grupo) 1 do encontro 4

Fonte Elaborado pela autora da dissertação (2022)

298

Ao analisarmos o quarto item dessa atividade em grupo (Figura 120), podemos
constatar a igualdade de respostas com os níveis argumentativos 2 e 3 com a mesma
porcentagem, tendo 50% para cada um deles. Isso nos mostra que o nível
argumentativo 1 está cada vez mais sendo superado pelos níveis mais robustos e
completos, enaltecendo a importância de problemas e promovam a escrita e oralidade
argumentativa em sala de aula:
Figura 120- Gráfico do Item 4 da atividade (grupo) 1 do encontro 4

Fonte: Elaborado pela autora da Dissertação (2022)

Em prosseguimento, no quinto item envolvendo a conclusão de um argumento os
quatro grupos responderam e podemos observar as respostas através da Figura 121 a
seguir:
Figura 121- Gráfico do Item 5 da atividade (grupo) 1 do encontro 4

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

299

Para o cenário de análise do item “conclusão”, pode-se notar semelhança
com os demais itens, onde não se vê classificações de nível argumentativo 1,
concentrando- se somente nos níveis 2 e 3. Demonstrando uma evolução dos alunos
nas

conclusões

elaboradas

e

fazendo-os

subirem

no

conceito

de

níveis

argumentativos.
Diante dessas considerações, partiremos para a análise da atividade 2,
também realizada em grupo no encontro 4, na qual a turma se dividiu em 4 grupos,
onde 12 alunos no total estavam presentes, formando grupos de 3 componentes cada.
A atividade fornece um argumento e o estudante deve responder quatro itens, a
afirmação, evidência e garantia.
O argumento da atividade foi o seguinte: “Argumento: A capitã Marvel está
jogando probabilinha e afirmou que no lançamento de um dado comum, o espaço
amostral é igual a seis’’. Nessa primeira etapa, o aluno deveria informar se concordava
ou não com essa afirmação. Com isso, ao analisar os dados obtidos podemos observar
que todos os grupos concordaram unanimemente com a afirmativa a respeito do
espaço amostral de um dado comum. Esse item reforça que os conceitos estudados
estão bem consolidados no entendimento do aluno. Já a segunda etapa dessa
atividade solicita que os alunos apresentem dados, evidência ou fundamentos para
suas afirmações, observe a Figura 122:
Figura 122- Gráfico da pergunta 2 da atividade (grupo) 2 do encontro 4

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

300

Podemos constatar que os grupos tiveram um bom desempenho pelo fato de
sua avaliação ter 75% das respostas classificadas no nível de argumentação 3.
Para os 25% restantes a classificação das respostas foi de nível argumentativo 2, já
demonstrando redução desse nível e uma possível transição para o nível 3. Em
prosseguimento, na terceira etapa da atividade é pedido que os estudantes forneçam
uma garantia, conectando a evidência e afirmação já feitas anteriormente, em que
pudemos constatar novamente que os grupos tiveram um bom desempenho, tendo
75% das respostas classificadas no nível de argumentação 3 e 25% das respostas
classificadas no nível argumentativo 2, como mostra a Figura 123:
Figura 123- Gráfico da pergunta 3 da atividade (grupo) 2 do encontro 4

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Nessa atividade é possível perceber que os alunos conseguiram apresentar
argumentos mais fundamentados, já que as respostas se concentraram em níveis
argumentativos 2 e 3. Ademais, os conceitos probabilísticos, bem como os objetos de
conhecimento relacionados à Probabilidade foram compreendidos de modo satisfatório
ao longo de nossas aplicações. Além disso, a quarta estação também contou com a
autoavaliação referentes as atividades desenvolvidas e sua análise pode ser vista logo
a seguir:
A primeira pergunta da autoavaliação indagava se o aluno havia conseguido
compreender o conceito de espaço amostral e analisar as chances de ocorrência de
eventos aleatórios, sendo que 100% afirmaram ter compreendido tais conceitos. Já a

301

segunda pergunta questionava se o aluno havia identificado corretamente as ideias a
serem aplicadas na resolução da situação-problema sobre Agostinho Carrara e o Uber
e 75% dos alunos afirmaram ter identificado corretamente as ideias e 25% não
conseguiram realizar a identificação, ressaltando a necessidade de um melhor
aprofundamento na interpretação e reconhecimento das principais ideias do enunciado,
de modo que o aluno desenvolva adequadamente o letramento probabilístico e os
principais aspectos argumentativos.
Em continuidade, na terceira pergunta o aluno deveria responder se conseguiu
compreender o significado de eventos equiprováveis, sendo que 50% dos alunos
afirmaram compreender o significado e os outros 50% afirmaram compreender mais ou
menos o significado de eventos equiprováveis. Um ponto a se destacar é que nenhum
aluno assinalou a alternativa que correspondia a não compreender o que seriam
eventos equiprováveis. Ademais, na quarta questão foi solicitado que o aluno
informasse se conseguiu redigir a argumentação na atividade envolvendo a situaçãoproblema sobre Agostinho Carrara e o Uber, em que 50% dos alunos afirmaram ter
respondido sem dificuldades e os outros 50% afirmaram ter respondido com certa
dificuldade, que foram os grupos que se enquadraram no nível argumentativo 2 da
atividade anterior.
Já na quinta questão é perguntado qual das partes os alunos tiveram mais
dificuldades na situação-problema sobre Agostinho Carrara e o Uber, sendo que 50%
dos alunos informou que a maior dificuldade fora nas hipóteses, 25% das dificuldades
enquadraram-se na argumentação e 25% na conclusão. Esses dados ainda mostram
que os conceitos desses elementos argumentativos devem ficar mais evidentes para os
estudantes, além de bem mais compreendidos, pois muitas vezes há uma confusão no
significado desses elementos argumentativos, fazendo com que os alunos não
forneçam uma argumentação completa por falta de compreensão durante o processo
argumentativo.
Em continuidade, na sexta questão dessa autoavaliação é perguntado se os
alunos conseguiram executar e relacionar a “Probabilinha” com os conceitos
desenvolvidos ao longo das estações e obtivemos 100% para a alternativa “sim”. Tal
resultado realmente apresenta conformidade com o que foi observado em sala de aula

302

de modo oral ao longo da aplicação, em que os alunos relacionaram de modo
satisfatório os conceitos que foram trabalhados em Probabilidade no jogo em questão.
Por fim, no último questionamento da autoavaliação da quarta estação é
perguntado sobre qual das partes da atividade da capitã Marvel eles tiveram mais
dificuldades em responder: 75% dos alunos afirmaram ter tido mais dificuldade na
conclusão e 25% afirmaram ter mais dificuldades na garantia. A partir disso,
constatamos que, pela falta de costume dos alunos em realizar a escrita matemática,
conforme as atividades possuíam um número maior de itens, era possível perceber
uma pequena queda de engajamento, contribuindo para que as últimas solicitações da
atividade da Capitã Marvel sobre “garantia e conclusão” apresentassem mais
dificuldades, já que o aluno não estava mais tão disposto a finalizar o que foi pedido.
É válido ressaltar que as estações 4 e 5 ocorreram no mesmo dia, com o intuito
de separar o momento final da trilha de aprendizagem do momento anterior (estação
4). A intitulada estação 5 possui apenas um desafio para chegar ao “tesouro perdido”
junto com a autoavaliação geral em relação a todas as aplicações anteriores, para
entendermos a opinião dos alunos em relação às experiências dele ao ser submetido
ao nosso planejamento pedagógico.
Neste desafio da Estação 5 (que pode ser observado no caderno do aluno e nos
procedimentos metodológicos), os alunos estavam divididos em 4 grupos e possuíram
20 minutos para solucionarem o desafio proposto, além de terem que realizar uma
tomada de decisão final.

O desafio da estação 5 é mostrado na Figura 124 e

apresenta a seguinte contextualização: "A sacola A contém 6 chaves roxas e 7 chaves
verdes e a sacola B contém 4 chaves roxas e 2 chaves verdes. De qual sacola é mais
provável sortear uma chave roxas e de qual é mais provável sortear uma chave
verde?". Note que a sacola A possui 13 chaves ao total, onde teríamos 6 chances em
13 de sortear uma chave roxa, isto é, 6/13=0,46=46% de chance de uma chave roxa
ser sorteada na sacola A. Em comparação ao sorteio da chave roxa na sacola B,
podemos observar que existem 6 chaves na sacola B e 4 delas são roxas, onde
teríamos 4 chances em 6, isto é, 4/6=0,66=66%. Com isso, na sacola B é mais
provável que se sorteie uma chave roxa.

303

Já para o sorteio das chaves verdes, percebemos que a sacola A possui 7
chaves verdes em um total de 13 chaves, possuindo 7 chances em 13, isto é, 7/13=
53,8%. Por outro lado, na sacola B, há 2 chaves verdes em um total de 6 chaves, ou
seja, 2 chances em 6, isto é, 2/6=33,3%. Isso nos mostra que para o sorteio das
chaves verdes, a melhor opção seria a sacola A, já que possui 53,8% de chances,
enquanto a sacola B possui 33,3% de chances para se sortear uma chave verde:
Figura 124- Desafio da estação 5

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Observemos na Figura 125 uma das respostas obtidas para o desafio da
estação 5. Para este desafio, todos os alunos acertaram a resposta,

porém

apresentaram justificativas diferentes e algumas um tanto equivocadas. Em
contrapartida, realizamos a consideração acerca do equívoco cometido por um dos
grupos até que a turma compreendesse qual seria a justificativa correta para a
resposta:

304

Figura 125- Resposta desafio

Fonte: Acervo da autora da Dissertação (2022)

Ao responder ao questionamento o grupo precisou “encontrar” o baú com o
tesouro perdido, porém em nossa contextualização ele estava “trancado” com um
cadeado que só se abriria caso o estudante realizasse uma tomada de decisão. Tal
tomada de decisão possuiu o seguinte enunciado: “Ao lado do tesouro há uma caixa
secreta com dois botões, um azul e um vermelho. Um botão abre o tesouro e o outro
faz com que haja uma explosão que destrói todas as riquezas desse baú. Qual botão o
seu grupo irá escolher? Qual a probabilidade de se ter as riquezas?”. A partir disto, a
professora pôde colocar em um envelope a resposta que seria a “correta”, que foi
escolhida de modo aleatório, além de preparar alguns brindes como representação do
tesouro escondido e o grupo que ganhou as “riquezas” também ganhou a liberdade da
ilha! Logo após essas etapas, foi anunciado que todas as equipes poderiam
compartilhar do tesouro perdido da Probabililha.

305

Antes de apresentar as análises do questionário a posteriori, vejamos a
autoavaliação da quinta estação, composta por 9 questões. A primeira pergunta
questionou se os alunos conseguiram compreender conceitos básicos de Probabilidade
como acaso, eventos aleatórios, eventos equiprováveis e espaço amostral, onde 50%
dos estudantes afirmaram ter compreendido totalmente esses conceitos e os outros
50% afirmaram ter conseguido compreender parcialmente esses conceitos, possuindo
ainda algumas dúvidas sobre o tema.
Já no segundo questionamento foi perguntado se o aluno identificou
corretamente as ideias sobre probabilidade a serem aplicadas na resolução da
situação-problema proposta na estação 5 sobre as chaves roxa e verde e 100% dos
alunos afirmaram ter identificado corretamente as ideias sobre a Probabilidade. Em
continuidade, na terceira pergunta foi indagado se os alunos conseguiram
compreender o que é uma tomada de decisão, sendo que 100% dos alunos afirmaram
saber que a tomada de decisão envolve escolhas e riscos, mostrando uma evolução
evidente em relação ao questionário a priori.
Ademais, na quarta pergunta foi questionado se o aluno compreendeu
completamente o significado de Probabilidade e 100% confirmou ter compreendido o
significado de Probabilidade, mostrando que o público-alvo começou a desenvolver seu
letramento probabilístico através das atividades aplicadas na trilha de aprendizagem.
Em prosseguimento, a pergunta 5 questionou se os alunos conseguiram generalizar o
conceito de probabilidade como a divisão do número de eventos pelo número de
resultados possíveis e os eles afirmaram unanimemente ter percebido que o cálculo da
Probabilidade é feito por essa divisão, conseguindo generalizar o conceito, mostrando
assim evidências de desenvolvimento do letramento probabilístico, como discutido por
Gal (2005).
Já na questão 6 foi perguntado se ao longo da trilha de aprendizagem os alunos
conseguiram melhorar a argumentação matemática, tendo também a unanimidade
deles afirmando terem melhorado muito, tanto na escrita quanto na oralidade. Tais
respostas coletadas são verídicas, visto que os alunos ao longo das atividades iam
aprimorando suas falas e escrita matemática, apresentando elementos argumentativos

306

essenciais durante a argumentação, como proposto nos estudos de Kosko e Wilkins
(2015), Sasseron e Carvalho (2011) e Mortimer e Scott (2002).
Além disso, a sétima pergunta pediu para que o aluno caracterize o seu nível
argumentativo após a finalização das estações e 75% dos alunos afirmaram se
enquadrar em um nível bom e 25% dos alunos presentes julgaram se enquadrar em
um ótimo nível. Notemos que mesmo podendo haver informações equivocadas, os
alunos desenvolveram também uma maior confiança na realização de uma
argumentação em relação ao que observamos no início dessa trilha de aprendizagem.
Já a penúltima pergunta solicitou que os alunos informem em qual estação eles
tiveram mais dificuldades em realizar as atividades propostas e obtivemos unanimidade
das respostas para a “estação 1”, visto que eles apresentaram várias queixas por terem
tido contato com atividades que precisavam justificar suas respostas, coisa que outrora
não era solicitado em sala de aula. Finalmente, para a questão 9 foi perguntado se os
jogos auxiliaram os alunos na compreensão dos conceitos de probabilidade e 100%
dos presentes informaram que sim, além de terem aprendido de uma forma mais
atrativa.
Diante de todos os aspectos discutidos anteriormente, passaremos para a etapa
final dessas análises, em que mostraremos as discussões acerca do questionário a
posteriori que foi aplicado quatro dias após o final da aplicação da trilha de
aprendizagem da Probabililha. Para realização desta atividade, 8 alunos da turma se
fizeram presentes, o número alto de ausências se deu pelo fato de que, no dia da
aplicação da atividade, houve a realização de um evento organizado pela escola e
alguns deles tiveram que participar. Ainda assim, o número de alunos que
responderam ao questionário a posteriori forneceu dados que possibilitaram a
elaboração da análise e constatação dos resultados obtidos.
O questionário a posteriori foi composto por três partes principais: A, B e C. A
parte A do questionário a posteriori está relacionada aos aspectos didáticos e
metodológicos do PE. Com isso, a primeira pergunta desse questionário indagou se
os alunos acreditam que os jogos auxiliaram na aprendizagem dos conceitos
probabilísticos e obtivemos 100% das respostas caracterizadas como “sim”, em que os
alunos puderam mostrar um melhor desempenho probabilístico e engajamento durante

307

a realização das atividades com jogos, contribuindo para um melhor desenvolvimento
do letramento probabilístico em sala de aula, como visto por Gal (2015). Ademais, é
válido ressaltar que as alunos foram desenvolvendo ideias intuitivas acerca dos
conceitos probabilísticos, indo ao encontro do que Fischbein (1975) acreditava, que
desde cedo elas já são capazes de perceber esses conceitos.
Já o segundo questionamento perguntou se os alunos acreditam que os jogos
auxiliaram no desenvolvimento da argumentação e também obtivemos 100% das
respostas informando que os jogos auxiliaram no desenvolvimento da argumentação
em sala de aula, mostrando que os jogos podem sim ser utilizados como ferramentas
pedagógicas capazes de contribuir para a construção do conhecimento. Do mesmo
modo, na terceira pergunta foi solicitado que os alunos informem se consideraram as
atividades escritas pertinentes para o desenvolvimento da argumentação escrita e
todas as respostas obtidas consideraram as atividades escritas pertinentes para o
desenvolvimento da argumentação escrita. Para essa pergunta é interessante frisar
que apesar dos alunos terem considerado as atividades escritas pertinentes para o
desenvolvimento do processo argumentativo escrito, não há um interesse geral deles
para a realização dessas atividades.
Em prosseguimento, na quarta pergunta foi questionado se os alunos gostaram
do formato da trilha de aprendizagem por meio de uma ilha, analisando se houve
estímulo de interesse ou engajamento para solucionar os problemas propostos e todos
os alunos presentes responderam “sim, pois ficaram mais dinâmicas e atrativas”.
Por fim da parte A do questionário a posteriori é perguntado aos alunos se a
dinâmica de aplicação das atividades estimulou eles a participarem e falarem expondo
suas ideias matemáticas. Para essa pergunta, 87,5% dos presentes responderam “sim,
venci a timidez, consegui me expressar e aprendi a argumentar matematicamente” e os
outros 12,5% responderam “mais ou menos, ainda estou me acostumando com a ideia
de falar nas aulas de Matemática, expor minhas ideias e estou ainda aprendendo a
argumentar”, como mostra a Figura 126:

308

Figura 126- Gráfico da pergunta 5 do questionário a posteriori- parte A

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Nesse quesito, observamos que dois pontos podem ser destacados: um é do
aluno que conseguiu desenvolver a habilidade de se expressar e argumentar, já o outro
é do aluno que muitas vezes possui dificuldade em expor suas ideias e é um pouco
tímido quando se fala em apresentação “pública”, mostrando que muitas vezes o
desenvolvimento da argumentação em sala de aula envolve aspectos esperados e
inesperados. Através da análise da parte A notamos que todos os alunos presentes
concordaram que os jogos auxiliaram na aprendizagem e no desenvolvimento da
argumentação e Probabilidade. Além disso, as atividades escritas auxiliaram na
argumentação escrita e a configuração das atividades em formato de aventura
estimulou o engajamento e interesse dos alunos.
Já na parte B do questionário a posteriori (Figura 127), na primeira pergunta,
87,5% dos alunos relataram ter compreendido plenamente o significado de
probabilidade. Enquanto uma minoria de 12,5% relatou ter certa dificuldade no
entendimento probabilístico, mostrando que ao longo das aplicações é possível ver uma
evolução nas respostas dos alunos, mesmo faltando o aprofundamento em alguns
objetos de conhecimento referentes ao 4º e 5º ano do Ensino Fundamental:

309

Figura 127- Gráfico da pergunta 1 do questionário a posteriori – Parte B

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Já na pergunta 2 do questionário a posteriori, houve unanimidade nas respostas
a respeito da definição de um evento aleatório e todos os alunos presentes
responderam que conseguem definir bem o que é um evento aleatório.
Em continuidade, na pergunta 3 da parte B, 87,5% dos alunos relataram que
conseguem definir o que é acaso através dos conceitos estudados durante os
encontros em sala de aula, enquanto um total de 12,5% relatou ainda ter dúvidas sobre
a definição indagada. Mesmo um grande percentual de alunos afirmarem saber definir
bem o que é um evento aleatório, ainda é necessário que se sintam alfabetizados
probabilisticamente, sendo capazes de interpretar, avaliar criticamente, analisar, julgar,
decidir e comunicar sobre situações incertas, fazendo escolhas e assumindo as
consequências dessas escolhas, como informado por Hokor (2023):
Figura 128- Gráfico da pergunta 3 do questionário a posteriori – Parte B

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

310

Já na pergunta 4, todos os 8 alunos presentes relataram conseguir conceituar
um evento equiprovável, sendo assim, unânimes na compreensão do assunto. Além
disso, para a pergunta 5, houve novamente unanimidade na indicação de compreensão
de que a probabilidade está presente em nosso cotidiano, levando assim os alunos a
refletirem sobre o seu dia a dia e no que isso pode se relacionar com a matemática
probabilística. Tais resultados só comprovam aquilo que discutimos em nosso
referencial teórico, sobre a Probabilidade fazer parte da vida dos alunos nos mais
simples detalhes, sendo um ótimo conteúdo para ser introduzido através dos
conhecimentos prévios dos alunos, como observamos nos estudos de Samá e Goulart
(2019) e Samá e Silva (2020).
Em continuidade, na pergunta 6 (Figura 129), uma maioria de 87,5%
demonstrou ter tido um aprendizado no argumento matemático escrito ou oral,
enquanto 12,5% relataram ter aprendido medianamente sobre o assunto e ainda ter
dificuldade de se expressar da maneira que foi enfatizada em sala de aula. Além disso,
os resultados apresentam a necessidade de buscar a implementação da argumentação
de modo gradual e planejado, visto que mesmo após diversos momentos, os alunos
ainda apresentaram dificuldades e muitas vezes o professor pode desistir dessa prática
argumentativa em sala de aula por falta de frutos visíveis imediatos:
Figura 129- Gráfico da pergunta 6 do questionário a posteriori – Parte B

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

311

Para o bloco de perguntas conceituais relacionadas ao conteúdo

da

Probabilidade e argumentação matemática, pôde-se notar que nas questões de 1 a 6
houve respostas satisfatórias a respeito da ciência dos conceitos abordados como:
Probabilidade, evento aleatório, acaso e evento equiprovável, demonstrando assim
uma boa adesão dos conceitos estudados. Além disso, as atividades aplicadas fizeram
com que os processos discursivos e probabilísticos fossem bem mais aprofundados,
contribuindo para a formação de estruturas argumentativas, como de Toulmin (1958) e
Kosko e Guilford (2018).
Em prosseguimento, a pergunta 7 do questionário a posteriori teve o seguinte
enunciado: “você consegue estruturar o seu raciocínio para expressá-lo em uma
interação discursiva na qual terá que argumentar em uma aula de Matemática?”. Para
essa pergunta, 37,5% dos alunos afirmaram saber argumentar parcialmente, não
conseguindo estabelecer relações entre ideias e nem expressar o raciocínio utilizado,
como observamos na Figura 130:
Figura 130- Gráfico da pergunta 7 do questionário a posteriori – Parte B

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

A pergunta 8, solicitava que o aluno elaborasse um argumento para apoiar uma
ideia, o que relacionava com a ideia de ocorrência de um evento. Vejamos abaixo as
respostas dos alunos:

312

Quadro 66- Pergunta 8 do questionário a posteriori – Parte B
Repostas dos alunos à questão 8: Desenvolva a frase apresentada a seguir
colocando 1 argumento que apoie a ideia expressa:
UMA ESCOLA QUER MONTAR UMA COMISSÃO PARA DEBATER O
PROBLEMA DO LIXO NO RECREIO. VEJA A TABELA COM O NÚMERO DE
ESTUDANTES EM CADA ANO.
Se um estudante for sorteado ao acaso, há mais chances dele ser o 3º ano,
porque:
A1: Tem mais chances de ser do 3º ano pois ele possui mais alunos.
A2: O terceiro ano tem 120 chances e os outros 102 e 85, portanto tem mais
chances.
A3: Ele tem maior número de estudantes, 120.
A4: Porque o 3º ano tem mais estudantes.
A5: Terceiro ano tem 120, que é maior que os outros.
A6: Terceiro ano tem mais estudantes.
A7: 3º ano tem número de estudantes maior.
A8: 3º ano tem mais.
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Todos os alunos acertaram a questão, observado que a chance será do 3º ano
pois é uma turma que possui mais alunos, sendo categorizada como C – AM.
Já a pergunta 9 (a) possui o enunciado a seguir: “Helena encontrou seus
amigos Allan e Carolina na barraca das roletas. Eles iam apostar para ver quem
ganhava uma bola. Para ganhar o prêmio, era preciso escolher uma cor e girar a roleta,
que deve parar na cor escolhida. Analise o que cada um escolheu e responda à
questão,

argumentando:

Quem

tem

mais

chance

de

ganhar

é

Helena,

porque:_____________”
Figura 131- Pergunta 9 (a) questionário a posteriori

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Observemos que Helena tem mais chances de ganhar pois a cor rosa que ela
escolheu possui 4 setores em um total de 8, enquanto a cor verde possui 3 setores em
um total de 8 e a cor azul possui um setor em um total de 8. Portanto, a resposta

313

esperada seria algo relacionado a “quem tem mais chance de ganhar é Helena, porque
a cor rosa possui 4 chances em um total de 8, isto é, 4/8=1/2=0,50=50%”. Com isso,
obtivemos as respostas apresentadas no quadro 67:
Quadro 67- Pergunta 9 (a) do questionário a posteriori – Parte B
Repostas dos alunos à questão 9: Helena encontrou seus amigos Allan e
Carolina na barraca das roletas. Eles iam apostar para ver quem ganhava uma
bola. Para ganhar o prêmio, era preciso escolher uma cor e girar a roleta, que
deve parar na cor escolhida. Analise o que cada um escolheu e responda à
questão, argumentando:
Quem tem mais chance de ganhar é Helena, porque:
A1: 4/8.
A2: Helena tem 4 de 8.
A3: Helena tem mais chances porque os rosas são 4/8.
A4: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A5: 4/8.
A6: Porque ela tem 4 chances em 8.
A7: Helena tem mais chance sendo 4/8.
A8: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Notemos que 6 alunos (A1, A2, A3, A5, A6, A7) apresentaram uma resposta
correta para o que foi pedido, sendo categorizadas como C-DC e dois alunos (A4, A8)
deixaram a questão em branco, sendo caracterizados como AR - EB. Esses dados
mostram que os alunos que responderam à pergunta obtiveram êxito total, enquanto os
que deixaram em branco podem não ter tido engajamento suficiente para tentar
responder, trazendo aspectos do costume de não se ter atividades com enfoque na
escrita ou apresentação da solução ao longo de sua jornada escolar.
Em continuidade, a pergunta 9 (b) solicitou que os alunos informem o motivo
pelo qual Carolina teria menos chance de ganhar (Figura 132), em que eles deveriam
responder que seria porque a cor escolhida possui apenas uma chance em um total de
8, sendo a menor das possibilidades quando relacionada às demais cores. Vejamos os
resultados abaixo:

314

Figura 132 Gráfico da pergunta 9 (b) do questionário a posteriori – Parte B

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Ao analisar as respostas obtidas, percebemos que todos os alunos responderam
corretamente que o cálculo de a roleta parar na cor azul seria de 1 chance em 8, porém
os alunos poderiam ter melhorado o aspecto argumentativo ao fornecer a resposta
numérica para o que foi solicitado. Das respostas acima, todas se enquadraram em CDC, onde 5 delas (os que responderam 1/8 sem explicação) se caracterizaram em CAA.
Já na figura 133, referente à décima pergunta é pedido que o aluno informe
qual componente durante o processo argumentativo ele teve maior dificuldade de
elaborar e/ ou identificar ao longo das atividades:
Figura 133- Gráfico da pergunta 10 do questionário a posteriori – Parte B

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

315

Ao analisar o gráfico acima percebemos que os componentes: Dados, Garantia
e Conclusão foram indicados como sendo as maiores dificuldades, enquanto as
hipóteses e afirmação obtiveram uma menor porcentagem em relação aos demais
componentes. Como já dito, todo componente argumentativo que exige do aluno um
certo tempo a mais para a resolução de um questionamento, faz com que muitos
alunos não finalizem ou sintam maiores dificuldades para finalizá-los, já que estão
acostumados a fornecerem respostas imediatas e simplistas.
Em continuidade, na Figura 134, correspondente à pergunta 11, é possível
constatar que a predominância de dificuldade dos alunos de fatores que podem
prejudicar a argumentação nas aulas, seria a dificuldade em escrever, tendo 75% das
respostas, seguido de 12,5% de receio de julgamentos e 12,5% de não saber defender
uma ideia. Tais dados ressaltam a necessidade de se promover ambientes que
possibilitem a argumentação e a escrita matemática no quesito probabilístico, já que a
escrita faz parte da construção do aprendizado do aluno, assim como o
desenvolvimento da criticidade para se tomar decisões com mais confiança e sensatez.
Figura 134- Gráfico da pergunta 11 do questionário a posteriori – Parte B

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Já na pergunta 12 do questionário a posteriori (parte B), foi questionado se o
aluno concorda que o princípio da argumentação é respeitar a ideia do outro e aprender
com uma ideia que seja diferente da deles e todos os alunos concordaram
unanimemente a respeito do princípio da argumentação, sendo ele respeitar a ideia do

316

outro, aprendendo com ideias distintas. É sabido que a argumentação trabalha
diretamente com a defesa de pontos de vistas diferentes, como falado por Sasseron e
Carvalho (2011), além de que é importante para o aluno saber analisar os diferentes
tipos de defesas que podem surgir para assim avaliar a argumentação mais adequada
de modo crítico e eficaz.
Por fim, na pergunta 13 do questionário a posteriori (parte B) foi indagado se o
processo argumentativo consiste em gerar conflito e “ganhar o debate por meio de uma
discussão”. Para essa questão, 25% dos alunos responderam que sim e 75%
responderam que não, onde percebemos que para maioria a argumentação não
consiste em gerar conflitos, mesmo podendo ganhar um debate por meio de discussão.
Em continuidade, prosseguiremos para as perguntas da parte C do questionário
a posteriori, onde a primeira pergunta tem o seguinte enunciado: “Em uma urna há 12
bolas vermelhas, 5 bolas azuis e 3 bolas verdes. Sorteando uma bola ao acaso, qual a
probabilidade de ser uma bola ser verde?”. A resposta esperada para essa pergunta
seria 3 chances em um total de 20 bolas, isto é, 3/20. Com isso, a Figura 135 mostra
que 87,5% dos alunos responderam corretamente o que foi pedido (C-DC), enquanto
12,5% responderam que a resposta correta seria 3/5, cometendo um equívoco
matemático, se enquadrando na categoria E-EM:
Figura 135- Gráfico da pergunta 1 do questionário a posteriori – Parte C

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Além disso, na pergunta 12, os alunos deveriam responder ao seguinte
questionamento: “Se em uma turma é formada por 8 alunas e 7 alunos e a professora

317

escolher aleatoriamente um estudante para ir ao quadro resolver um exercício, qual a
probabilidade de ser selecionada uma aluna?”. A resposta correta para esse
questionamento seria 8 chances em um total de 15 (8/15), visto que há um total de 15
alunos na turma, e destes, 8 são alunas. Os dados obtidos podem ser observados na
Figura 136, onde 87,5% responderam corretamente à questão, apresentando bom
domínio conceitual e matemático, enquanto 12,5% afirmaram ser 7/15 a resposta
correta.
Nesse sentido, percebemos que ocorreu um erro interpretativo por parte desses
alunos (E-EI). Além disso, ao analisarmos essas duas perguntas iniciais já percebemos
uma evolução quando comparamos com o questionário a priori e um melhor
desenvolvimento no que se refere ao letramento e pensamento probabilístico:
Figura 136- Gráfico da pergunta 2 do questionário a posteriori – Parte C

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Em continuidade, na pergunta 3 é dado o seguinte enunciado: “Em uma urna
existem bolas enumeradas de 1 a 15. Qualquer uma delas possui a mesma chance de
ser retirada. Determine a probabilidade de se retirar uma bola com número par”. Para
essa pergunta os estudantes deveriam responder que a probabilidade de se retirar uma
bola com número par seria de 7 em 15, isto é, 7/15, já que existem 7 números pares no
intervalo dado, sendo eles: (2,4,6,8,10,12,14) em um total de quinze bolas enumeradas.
As respostas obtidas podem ser observadas no quadro 68:

318

Quadro 68- Pergunta 3 do questionário a posteriori – Parte C
Repostas dos alunos à questão 3: Em uma urna existem bolas enumeradas de
1 a 15. Qualquer uma delas possui a mesma chance de ser retirada. Determine
a probabilidade de se retirar uma bola com número par:
A1: 7/15.
A2: Chance de 7 em 15.
A3: 6/15.
A4: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A5: 7/15.
A6: A probabilidade é de 7/15.
A7: 7 em 15.
A8: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Notamos que os alunos (A1, A2, A5, A6 e A7) responderam à questão
corretamente, se enquadrando na categoria C-DC, por apresentar domínio conceitual.
Além disso, o aluno A3 respondeu à questão incorretamente por erro matemático, se
caracterizando na categoria E-EM. Por fim, os alunos A4 e A8 deixaram a pergunta em
branco, caracterizado como AR - EB. Já a pergunta 4 apresentou o seguinte
enunciado: “Em um saquinho há bolinhas com números pares e ímpares. Ao retirar uma
bola do saquinho, qual tipo de número tem mais chances de sair: bola com número par
ou bola com número ímpar? Por quê?”. Ao observar a Figura 137 percebemos que
existem 4 números pares: 18, 22, 36 e 84. Além disso, existem 5 números ímpares no
saquinho: 11, 49, 53, 77, 95. Com isso, a resposta esperada era que o estudante
percebesse que há mais chances de se retirar números ímpares do que pares, já que a
Probabilidade para se retirar números ímpares são de 5 chances em 9, enquanto a
Probabilidade de se retirar números pares são de 4 chances em 9:
Figura 137- Saquinho de bolinhas da pergunta 4- Parte C

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

319

Diante dessa contextualização, podemos observar os dados obtidos através do
quadro 69, em que os alunos (A2, A3, A5, A6 e A8) forneceram as respostas corretas,
justificando de algum modo as suas soluções, sendo categorizadas como C-AI.
Ademais, o aluno A1 respondeu corretamente a parte matemática, porém esqueceu de
justificar a sua resposta, enquadrando-se em C-AA, já que não foi apresentado
elementos que justificassem a sua resolução. Por fim, os alunos A4 e A7 deixaram a
questão em branco, enquadrando-se na categoria AR – EB:
Quadro 69- Pergunta 4 do questionário a posteriori – Parte C
Repostas dos alunos à questão 4: Em um saquinho há bolinhas com números
pares e ímpares. Ao retirar uma bola do saquinho, qual tipo de número tem
mais chances de sair: bola com número par ou bola com número ímpar? Por
quê?
A1: Ímpar.
A2: Bola com número ímpar pois tem mais.
A3: Número ímpar porque tem mais bolinhas.
A4: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A5: Ímpar pois tem 5 bolinhas e o par tem 4 bolinhas.
A6: Ímpar porque tem mais.
A7: EM BRANCO – NÃO RESPONDEU.
A8: Ímpar porque tem mais do que o par.
Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Partindo para pergunta 5 temos o seguinte enunciado: “Dois jovens partiram, do
acampamento em que estavam, em direção à Cachoeira Grande e à Cachoeira
Pequena, localizadas na região, seguindo a trilha indicada neste esquema:

Em cada bifurcação encontrada na trilha, eles escolhiam, com igual
probabilidade, qualquer um dos caminhos e seguiam adiante. Então, é CORRETO
afirmar que a probabilidade de eles chegarem à Cachoeira Pequena é de: _______”.
Dada essa contextualização, a resposta esperada para essa pergunta seria 3/4, onde

320

obtivemos as respostas apresentadas na Figura 138:
Figura 138- Gráfico da pergunta 5 do questionário a posteriori – Parte C

Fonte: Elaborado pela autora da dissertação (2022)

Notamos que nessa pergunta em análise, houve uma porcentagem um
pouco maior de erros, podendo ter sido ocasionado por falta de compreensão de
alguns conceitos probabilísticos e ou por falta de interpretação no que foi dito no
enunciado. Ademais, para as 3 últimas questões teóricas propostas ( 7 ª , 8 ª e 9 ª ) ,
obteve-se percentual de acerto de 100% onde todas foram respondidas por todos os
alunos de maneira correta, demonstrando a compreensão do assunto de probabilidade
e aplicação direta na resolução de problemas matemáticos.
Por conseguinte, é importante salientar que nossas aulas tiveram momentos em
que o padrão I-R-F e I-R-A ocorreram e que nem sempre o engajamento dos
estudantes foi dos melhores. Porém, analisando a aplicação de modo

geral,

entendemos que diversas habilidades foram desenvolvidas e que argumentações que
eram quase nulas em sala de aula começaram a aparecer com mais frequência.
Ademais, nas considerações finais iremos melhor detalhar as nossas constatações e
importância desses resultados sob o olhar do referencial teórico

utilizado.

321

4 CONSIDERAÇÕES FINAIS
Diante de tudo o que foi levantado com a pesquisa, constatamos a
essencialidade das aulas com enfoque na investigação matemática para desencadear
interações discursivas que auxiliem na promoção da argumentação em sala de aula.
Desta forma, pudemos confirmar as ideias propostas por Ponte (2003; 2015), que ao
utilizar aulas investigativas os alunos podem começar a levantar hipóteses, estabelecer
relações com suas justificativas e realizar argumentos convincentes, fortalecendo a
compreensão de conceitos e ideias matemáticas.
Nesse sentido, percebemos que ao longo da aplicação do produto educacional,
houve uma melhora significativa em relação ao comportamento dos alunos no primeiro
dia de aplicação e ao decorrer dos encontros posteriores no que se refere ao
engajamento e interesse por parte deles durante as aulas de investigação matemática
que foram propostas, confirmando aquilo proposto por Ponte et al. (2015) que os alunos
numa aula investigativa são convidados a desempenharem um papel de protagonismo
na interpretação dos problemas propostos e percepção de estratégias de resolução,
podendo justificar e apresentar suas ideias para seus colegas e para o professor.
Além disso, foi detectado por meio do questionário a priori que os alunos, pelo
menos na parte da argumentação escrita não possuíam a compreensão mínima sobre o
significado e características argumentativas, mostrando aquilo que Sasseron e Carvalho
(2011) e Kosko e Guilford (2018) discutiam em seus trabalhos, que os alunos não
possuem o costume de explicar as resoluções, nem de argumentar em sala de aula e
de participarem de aulas com caráter investigativo.
Os resultados demonstraram que o grupo pesquisado não possui o hábito de
argumentar nas aulas de Matemática, visto que o ensino é centrado na resolução de
exercícios e problemas com a finalidade de obter uma resposta numérica sem discutila, privando os alunos da possibilidade de argumentação e exposição do raciocínio,
seja de modo oral ou escrito.
Outro fator importante a se destacar é que as propostas de atividades presentes
na trilha de aprendizagem tinham a intenção de ser um ponto de partida para uma
investigação, fazendo com que os estudantes pudessem agir de modo mais autônomo,

322

possibilitando a formação de questionamentos e refutações, onde foi possível observar
em alguns momentos a exposição das soluções através da argumentação e discussão,
reafirmando aquilo que Ponte (2003) trazia em seus estudos sobre a importância das
tarefas matemáticas serem bem intencionadas para iniciar uma investicação ou gerar
uma situação evocativa de investigações e aprendizagens.
Apesar da resistência encontrada com os alunos em relação às atividades
escritas, percebemos que eles desenvolveram muito mais as suas habilidades nesse
quesito. Mesmo que ainda apresentassem cansaço desde o início da atividade e
realizassem a mesma sem muita motivação, engajamento ou simplesmente a
ignorasse, muitos deles começaram a desenvolver melhor a sua escrita e a partir do
terceiro encontro já começamos a detectar respostas escritas com mais elementos
do que antes, mesmo que ainda incompletas. Uma das causas para essas respostas
um pouco mais complementada se interliga ao fato do que discutimos através dos
estudos de Ponte (2015) sobre o trabalho investigativo fazer com que utilizassem
conhecimentos prévios e procedimentos próprios para solucionar um problema que não
se tem a resposta de imediato, valorizando assim o raciocínio do aluno com tarefas
caracterizadas como mais desafiadoras e que possibilitam uma melhor escrita em suas
resoluções.
Um fator reflexivo é que os alunos afirmaram ainda não ter visto o conteúdo de
Probabilidade ao longo da Educação Básica. Mesmo não podendo constatar a
veracidade dessa afirmação feita pelos alunos, é um ponto que gera um alerta, tendo
em vista que eles deveriam ter tido o contato com as ideias probabilísticas ao longo de
todos os anos do Ensino Fundamental (Anos Iniciais).
Durante esta pesquisa, verificamos que grande parte dos livros do PNLD mais
recentes incluem, mesmo que de modo parcial, a Probabilidade em seus materiais
didáticos ao longo dos Anos Iniciais do Ensino Fundamental. Em contrapartida, apesar
do conteúdo estar sendo inserido nos livros didáticos, ainda não há um destaque para a
Probabilidade, visto que maioria dos livros destinam poucas situações-problema ao
longo das unidades. Ademais, destacamos que todas as obras analisadas dos livros do
PNLD forneciam instruções sobre a BNCC, bem como problemas e atividades
direcionadas aos objetivos propostos acerca da Probabilidade, mesmo que de modo

323

reduzido. Ainda nesse sentido, concluímos que o conteúdo de Probabilidade tem mais
destaque a partir dos livros do 4º e 5º ano, tendo nos anos anteriores uma abordagem
menos abrangente no que se refere a quantidade de situações-problema e desafios
relacionados a Probabilidade. A partir disso, é válido destacar que ainda é preciso que
os livros didáticos deem mais ênfase aos conceitos probabilísticos, de modo que o
professor compreenda a essencialidade de se ensinar e aprender a Probabilidade
desde os anos iniciais, trazendo também sugestões de recursos didáticos para o ensino
dos conceitos probabilísticos.
Em prosseguimento, mesmo com todas as dificuldades observadas no
questionário a priori dos alunos para o reconhecimento de conceitos probabilísticos não
desenvolvidos, evidenciamos uma melhora significativa, já que ao final da aplicação da
trilha a maioria dos alunos puderam reconhecer e compreender os objetos de
conhecimento previstos do primeiro ao quinto ano do Ensino Fundamental.
Consideramos que grande parte dos alunos conseguiram iniciar o desenvolvimento do
letramento probabilístico, já que eles foram capazes de obter, empregar, interpretar e
comunicar concepções referentes à Probabilidade com o objetivo de solucionar
problemas do mundo real que envolve incertezas e riscos, como discutido por Braga,
Ballejo e Viali (2022). Esperamos que com o passar pelos anos subsequentes de
escolarização, o letramento probabilístico desse grupo de alunos pesquisado
desenvolva-se plenamente.
Ademais, acreditamos que respondemos a pergunta de pesquisa intitulada como
“Quais as contribuições que o processo argumentativo pode trazer para a formação de
conceitos de probabilidade no 5º ano do Ensino Fundamental e como esse processo
argumentativo se caracteriza em situações de aprendizagem de uma sequência
didática baseada em atividades investigativas?”, visto que foi possível promover o
aprendizado de Probabilidade por meio da linguagem oral e escrita, auxiliando no
desenvolvimento do pensamento probabilístico e do letramento probabilístico e fazendo
com que o aluno mobilize sua estrutura cognitiva ao estabelecer as relações entre os
conhecimentos novos e prévios.
Por sua vez, com os resultados foi possível observar que houve o
compartilhamento de informações e engajamento, possibilitando o desenvolvimento do

324

raciocínio lógico, bem como o surgimento de questionamentos em sala de aula, fazendo
assim a validação da hipótese de pesquisa levantada.
Ainda neste contexto probabilístico, constatamos que após a aplicação da trilha
de aprendizagem os alunos aprenderam os tópicos propostos acerca da Probabilidade.
Tais constatações puderam ser observadas verbalmente e/ou de modo escrito,
percebendo a evolução do aluno e maior domínio ao decorrer das aplicações. Vale
ressaltar que esse aprendizado não ocorreu de modo imediato, mas sim de modo
gradativo, confirmando aquilo que Kosko e Wilkins (2015) afirmaram em seus estudos
sobre o envolvimento efetivo do aluno durante uma atividade discursiva não ocorrer de
modo imediato após o professor implementar tais práticas em sala de aula, sendo uma
transição lenta que exige que os alunos atuem com autonomia. É importante
mencionar, que durante a aplicação da trilha houve o intuito de promover a discussão e
interação em vários momentos do processo de aprendizagem. Outro aspecto, diz
respeito ao vocabulário probabilístico do grupo pesquisado, que mostrou-se ainda em
estágio de familiarização, uma vez que o grupo de alunos não havia tido contato
anteriormente com os conteúdos de probabilidade e ideias tais como sorte e azar se
manifestaram e palavras como chance foi aparecendo com maior frequência nas falas
analisadas.
Além disso, frisamos que a trilha de aprendizagem contribuiu para a construção
do pensamento probabilístico, visto que o ensino foi pautado nos conceitos
fundamentais e ideias centrais que possibilitaram a organização das estruturas
cognitivas que deram suporte ao domínio de conhecimento, como visto nos estudos de
Fischbein (1969), sobretudo, porque muitos dos conceitos, nas falas dos alunos,
expressavam intuições acerca do conteúdo, ou seja, formavam-se noções intuitivas
acercada probabilidade.
Tais reflexões nos mostram que o objetivo geral desse trabalho foi cumprido,
pois analisamos as contribuições que o processo argumentativo nas aulas de
Matemática no 5º ano traz para a formação de conceitos e para o desenvolvimento do
pensamento probabilístico, mostrando a riqueza e potencialidades do ensino
probabilístico aliado ao processo argumentativo.

325

Em continuidade, percebemos que os resultados dessa pesquisa nos mostram
que as ideias de autonomia, engajamento e atividades investigativas surgem
inevitavelmente durante o processo argumentativo e vão ao encontro do que já foi
discutido acerca desses temas por meio dos estudos de Ponte (2003), Sasseron e
Souza (2019) e Mazur (2013), enaltecendo a relevância da argumentação matemática
no meio escolar, mostrando os benefícios que podem ser obtidos mesmo após um
período gradual de implementação da argumentação nas aulas de Matemática.
Ademais, constatamos através da análise dos resultados que ao utilizar as
estratégias de investigação matemática em prol da aprendizagem dos conceitos de
Probabilidade, com questionamentos que possibilitam a argumentação e a quebra da
tríade I-R-F e I-R-A, os alunos conseguiram fundamentar e organizar ideias que outrora
não eram capazes de expor. Além disso, ao longo da aplicação da trilha de
aprendizagem

proposta,

percebemos

que

as

exposições

e

argumentações

verbalizadas foram sendo cada vez mais recorrentes, principalmente por utilizarmos
questionamentos que buscaram fugir da tríade I-R-A e I-R-F, utilizando abordagens
comunicativas dialógicas e interativas em maioria das situações como proposto por
Mortimer e Scott (2002), fazendo com que o padrão discursivo adotado sempre fugisse
dessa tríade, pois os questionamentos foram guiados com base nas aulas
investigativas, visando o engajamento do estudante ao longo desse processo aliado ao
ensino de Probabilidade.
Ao fazer com que a tríade I-R-A ou I-R-F fosse ultrapassada nas atividades
desenvolvidas na trilha de aprendizagem percebemos que houve uma modificação na
dinâmica das interações em sala de aula. Como já visto por Carvalho e Giordan (2017)
essa modificação pode fazer com que muitos professores possam sentir receio ou
repulsa de adotar as interações discursivas e a argumentação no meio escolar,
considerando que os métodos de ensino antes priorizavam o professor como detentor
do conhecimento de modo totalmente hierárquico e quando se tem uma quebra na
estrutura triádica há um estranhamento e sensação de que o professor não está no
controle do que pode surgir através das falas.
Outrossim, o grupo pesquisado apresentou resistência para o desenvolvimento
da argumentação escrita, certamente decorrente da ausência da produção de textos

326

nas aulas de Matemática, bem como da preponderância dada pelas mídias sociais aos
aspectos visuais e orais, nos quais, frases curtas com palavras abreviadas, tornam o
vocabulário dos alunos mais reduzido, o que não permite a construção de conjecturas e
estruturas de justificação mais completas. A resistência observada por parte dos alunos
mesmo com a criação de tarefas matemáticas que possibilitem a argumentação não é
algo inesperado, pois Kosko e Guilford (2018) já haviam constatado que apesar de se
ter o conhecimento e direcionamento para a promoção de atividades que envolvam a
argumentação seja um fator de extrema importância não é garantido que os alunos
falem ou escrevam de modo nítido e preciso.
Também foi possível constatar que ao longo da aplicação da trilha de
aprendizagem os alunos além de terem uma maior evolução no engajamento e
soluções mais complementadas das tarefas, puderam apresentar elementos centrais do
processo argumentativo propostos por Kosko e Guilford (2018) e por Toulmin (1958),
pois expuseram de modo parcial, menos estruturado, a reinvindicação, os dados, a
garantia, a refutação e o suporte, abrangendo assim de modo mais holístico aquilo que
foi discutido e apontado pelos autores do referencial teórico dessa pesquisa que
estudam sobre a argumentação e seu processo. Ainda assim, mesmo que a estrutura
de argumentação proposta por Toulmin e Kosko e colaboradores não fosse
manifestada por completo pelo grupo pesquisado, foi possível observar vários
elementos dessa estrutura em diversos atividades que foram realizadas pelos alunos
como citamos. Este fato se deve obviamente ao não contato dos alunos do grupo
pesquisado com práticas argumentativas nas aulas de Matemática, então foi um
primeiro contato e consideramos os resultados satisfatórios.
Um outro destaque de nossa pesquisa foi a elaboração do modelo de níveis
argumentativos a serem classificados de acordo com o que os alunos desenvolvem
através da argumentação. Tal modelo foi baseado no que Toulmin (1958) e Kosko e
Guilford (2018) consideram importantes durante o processo argumentativo e mostram
o que cada nível deve conter para que haja uma classificação coerente daquilo que
está sendo analisado. Além disso, verificamos que o modelo argumentativo foi
essencial para o tratamento dos resultados obtidos durante a aplicação da trilha de
aprendizagem, tendo em vista que o modelo dos níveis argumentativos otimiza o

327

tempo de análise e faz com que o professor tenha mais segurança ao identificar os
aspectos desenvolvidos pelo aluno que o classifique no nível argumentativo mais
adequado.
Ainda nesse aspecto, de acordo com os resultados obtidos percebemos que ao
unir o conteúdo de Probabilidade com a argumentação houve uma melhor
compreensão do que seria de fato a Probabilidade para além dos procedimentos feitos
através dos cálculos. Durante o processo argumentativo muitas vezes os alunos eram
capazes de explicar oralmente aquilo que deveria ser feito, tendo compreensão do que
estavam falando, porém não conseguiram expressar suas justificativas por meio da
escrita, por exemplo. Esses aspectos do grupo pesquisado foram melhor detectados
através do modelo dos níveis argumentativos e das atividades que exigiam a
argumentação escrita, sendo instrumentos essenciais para verificar as dificuldades
daqueles alunos que precisavam fortalecer suas habilidades de modo escrito ou dos
que precisavam melhorar a sua argumentação de modo verbalizado.
Diante disto, podemos afirmar que através da pesquisa desenvolvida foi
possibilitado o desencadeamento de argumentos primários com um pouco mais de
elementos, que vão além da pura opinião, mas que são pautados na criticidade,
defesa, refutação, hipóteses e garantia do que está sendo dito ou escrito mesmo que
não tivessem robustos, sendo que ficou demonstrado que o grupo pesquisado
conseguiu evoluir em relação ao domínio dos conceitos de Probabilidade, concluindo-se
que

a

trilha

de

aprendizagem

contribuiu

significativamente

nesse

processo,

recomendando-se que os professores estimulem as interações discursivas durante as
aulas de Matemática para que a argumentação passe a integrar o processo de ensino e
de aprendizagem, neste caso, do conteúdo de Probabilidade.
Também é válido pontuar que no Brasil existem poucos trabalhos que falem
sobre a argumentação matemática e seu processo de implementação em sala de aula,
principalmente na Educação Básica, sendo esta pesquisa inovadora, pois apresenta
uma trilha de aprendizagem que possibilita a inserção da argumentação com diversos
recursos didáticos (concretos e digitais) com viés lúdico e que além de contribuir
também para a inserção dos alunos na cultura digital integram a prática argumentativa

328

de modo atrativo nas aulas de Matemática, visando torná-la algo natural do ambiente
de aprendizagem.
Por fim, salientamos que as atividades e jogos propostos nesse trabalho não se
limitam aos Anos Iniciais e podem ser bem mais explorados e/ ou adaptados de acordo
com a intencionalidade, planejamento pedagógico do professor e público que deseja
iniciar o processo da implementação da argumentação nas aulas de Probabilidade em
sala de aula, podendo ser utilizados também no 6º ano do Fundamental para revisar ou
reforçar os conteúdos de probabilidade. Espera-se que essa dissertação auxilie para
desencadear outros trabalhos que tenham a mesma vertente, trazendo contribuições
importantes para o ensino e aprendizagem de Matemática, sobretudo, investigando
outros aspectos que envolvem o processo argumentativo e a formação dos conceitos
de probabilidade nos Anos Iniciais do Fundamental.

329

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340

6 APÊNDICES
APÊNDICE A- CADERNO DO ALUNO

341

APRESENTAÇÃO
Olá!
Vocês irão se dividir em grupos e iniciar uma jornada pela Probabililha, uma ilha
diferente, cheia de desafios envolvendo Probabilidade!
Antes de ir para a ilha, vocês vão conhecer o “The Vile Vendor” para terem um
contato inicial com algumas ideias de Probabilidade que irão encontrar na ilha, como
acontecimentos que podem ser classificados como impossível, improvável, igual,
provável e certo.

Após executar o jogo, cada grupo deverá explicar a lógica da máquina para que
apareçam os acontecimentos que podem ser classificados como

impossível,

improvável, igual, provável e certo. Anotem no papel abaixo a explicação e cada
grupo exporá, na sua vez, as argumentações para explicar a lógica da máquina de
refrigerantes:

342

The Vile Vendor
Escreva um texto explicando a lógica da máquina e
argumentando se há alguma regularidade em algum
fenômeno probabilístico que pode ocorrer na seleção dos
refrigerantes.

Agora os grupos estarão preparados para enfrentar os desafios da Probabililha!

343

CHEGANDO NA PROBABILILHA!
Vocês acabam de chegar na Probabililha! Para sair dela vocês terão que passar
por algumas estações com desafios e jogos sobre Probabilidade! Reza a lenda que
nesta ilha há um tesouro perdido com muitas riquezas e joias preciosas. Ao percorrer
todas as 5 estações vocês irão se deparar com uma decisão muito importante que será
essencial para saber se vocês sairão ou não da ilha com o tesouro perdido!

A seguir, vocês estarão coletando todas as pistas e desafios necessários para
tentar sair desta ilha deserta, podendo ainda sair com o tesouro perdido! Fiquem
atentos e tomem cuidado para não acabar morrendo na praia! Resolvam os desafios e
jogos propostos em cada encontro, para registrar tudo e não se perder na ilha. Vamos
lá?!

311

345

Estação 1
Vocês pararam na primeira estação da ilha! Olhem no mapa onde vocês estão!
Por exemplo, na primeira estação vocês estarão localizados como mostra a imagem
abaixo:

A partir disto, vocês deverão realizar as atividades seguintes para se livrar de um
pirata que quer capturar vocês num navio caindo aos pedaços!
A primeira atividade deste encontro se chama TAMPESCA e a segunda se
chama QUADRALEATÓRIOS. Para estas atividades, todos os materiais estarão disponíveis

346

em sala de aula para a realização das duas atividades desse encontro. Segue abaixo o
material que vocês terão impressos e adesivados:

347

348

349

Com isto, esse primeiro encontro que vocês passaram pela Estação 1 traz duas
atividades que trabalham diretamente com as noções de acaso e a análise da ideia de
aleatório em situações do cotidiano.
Mesmo tendo dificuldades ou avançado sem problemas na Probabililha, é
necessário que cada componente do grupo responda individualmente as atividades
a seguir e a autoavaliação dessa aula para poder escapar do pirata! Nos encontramos
na segunda estação. Até lá!

Atividade 1- Atividades de ambientação à Argumentação 1
ATIVIDADE 1: Classificando eventos que envolvam o acaso
1. Os dados são muito usados em jogos de tabuleiro. Cada uma das 6 faces de um
dado como mostrado a seguir tem pontinhos que representam números de 1 a 6.
Observe o lançamento de dado que Ana fez

Agora pinte os quadrinhos com as quantidades que ela pode andar.

2. Lucas jogou o dado e a face
andar.............casas do tabuleiro.

ficou para cima. Então, Lucas deve

350

3. Dos números abaixo, circule aqueles que são impossíveis de sair quando
jogamosum dado:

4. Podemos dizer com certeza que Ana vai tirar 6 na próxima rodada?

5. Ana fez uma vitamina de frutas com maçãs e laranjas. Marque com um X as
frutas que Ana com certeza colocou na vitamina de frutas:

6. Carla preparou três taças de sorvete: uma com sorvete de creme, uma com sorvete
de chocolate e outra com sorvete de morango. A filha dela pegou uma das taças, ao
acaso, sem ver o sabor do sorvete. Marque com um X a frase correta sobre o
sorveteda taça que a filha de Carla pegou:
( ) O sabor com certeza é creme.
( ) Talvez o sabor seja creme.
( ) É impossível o sabor ser creme.
7. Daniel e Rui estão brincando com dois dados. Daniel tirou

351

Rui tirou

. Agora complete as sentenças:

a. Rui tirou 3 e 6, que adicionados resultam em ...........................pontos.
b. Daniel tirou ........................ pontos ao todo.
8. Na próxima jogada, Rui disse que vai fazer 13 pontos jogando os dois dados.
Em relação a isso, podemos afirmar:
a. É impossível acontecer.
b. Talvez aconteça.
9. Girando o ponteiro desta roleta, em qual cor há maior chance de o ponteiro
parar?Por quê?

Resposta:

10. Em casos como o da atividade 9, é possível registrar a medida da chance, que
é chamada probabilidade. A probabilidade do ponteiro parar no marrom é

a) Qual é a probabilidade de o ponteiro parar no verde?
b) Qual é a probabilidade de parar no vermelho?
c) E qual é a probabilidade de não parar no vermelho?

11. As letras da palavra MATEMÁTICA foram escritas separadamente em 10 cartões.
Um desses cartões será sorteado. Escreva a resposta em forma de fração como você
fez na questão 10.

352

a) Qual é a probabilidade de sair a letra E?
b) Para quais letras a probabilidade de sair é
c) Qual é a probabilidade de sair uma vogal?
d) A probabilidade de sair a letra M é maior ou menor do que a de sair a letra I?
e) Qual probabilidade é maior: a de sair uma consoante ou a de sair uma
vogal?

12. Como já dissemos antes, a medida da chance, chamada probabilidade, muitas
vezes pode ser indicada por uma fração. Se você retirasse, sem olhar, 1 bola do vidro
abaixo, então a chance maior seria a de pegar uma bola vermelha ou uma bola azul?
Por quê?

Resposta:

No vidro acima, como há um total de 5 bolas e 3 delas são vermelhas, a

353

probabilidade de retirar, sem olhar, 1 bola vermelha é
Indique com uma fração a probabilidade de retirar 1 bola azul: _________________
13. A roleta abaixo tem 4 partes iguais, sendo 2 delas vermelhas. Responda
utilizandofração.

Girando bem forte a seta da roleta, qual é a probabilidade da roleta parar na cor:
a)

Vermelha:

b)

Laranja:

c)

Azul:

d)

Verde:

e)

Qual é a probabilidade de a seta NÃO parar no azul?

14. Um jogo muito conhecido é o “par ou ímpar”. Para jogar, é preciso 2 jogadores,
que indicam com os dedos de 1 mão, ao mesmo tempo, números que serão somados.
O vencedor é aquele que acertar, antecipadamente, se a soma será par ou ímpar.
Nesse jogo, quem tem maior probabilidade de ganhar: quem escolheu par ou quem
escolheu ímpar? Explique a sua resposta.
Reposta:

354

15.

Os dados surgiram há muitos anos. Atualmente, o dado mais comum

tem a forma de um cubo e tem, em cada face, um dos números: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6.

a)

Qual é o espaço amostral desse evento?

b)

Qual é a probabilidade de obter o número 5 na face voltada para cima

(escreva aresposta em forma de fração)?

16.

Observe o saquinho com bolas idênticas, apenas de cores diferentes.

Considereque será retirada 1 bola desse saquinho, sem olhar.

a)

Qual é a cor mais provável de ser sorteada?

b)

Qual é a cor menos provável de ser sorteada?

c)

Qual cor é impossível de ser sorteada?

Fonte: Adaptado Editora Moderna (2017) e Editora Ática (2019)

_

355

Atividade 2 do encontro 1
Nome:

Data:

/

/

Argumento: Peter Parker disse que as tampinhas vermelhas no tampesca
sempre terão mais chances de serem pegas, você concorda ou discorda dePeter?

Afirmação
(Concorda ou discorda)

Evidência/ Fundamentos
• Desenhe uma imagem.
• Faça um modelo
representativo.
•

Utilize ideias matemáticas.

Garantia
Conecte a evidência/
fundamentos e a afirmação

Conclusão
Apresente a resposta final
interligando todas as ideias.

356

Autoavaliação do Encontro 1:
Autoavaliação da Atividade desenvolvida no Primeiro Encontro
Nome:

Data:

/

/

1) De acordo com a atividade desenvolvida hoje, você consegue classificar eventos
envolvendo o acaso?
a. Sim, consigo classificar eventos envolvendo o acaso.
b. Não consigo classificar eventos envolvendo o acaso.
2) Você identificou corretamente as ideias a serem aplicadas na resolução das situaçõesproblema propostas?
a. Sim, identifiquei corretamente em todas as atividades propostas.
b. Identifiquei mais ou menos, em algumas atividades sim e em outras não.
c. Não identifiquei corretamente, tive dificuldades.
3) Compreendeu as ideias de acaso propostas nos jogos e atividades?
a. Sim, compreendi as ideias de acaso propostas nos jogos e atividades.
b. Não compreendi as ideias de acaso propostas nos jogos e atividades.
4) Explique como você pode classificar um evento aleatório:

5) O que você entende por acaso?

357

6)Qual atividade (ou quais atividades) da lista da Atividade 1 do Encontro 1 você teve mais
dificuldades de resolver? (Assinale mais de uma alternativa se julgar necessário):
a. 1
b. 2
c. 3
d. 4
e. 5
f. 6
g. 7
h. 8
i.

9

j.

10

k. 11
l.

12

m. 13
n. 14
o. 15
p. 16
7) Você conseguiu compreender a representação da probabilidade por meio de fração?
a. Sim
b. Não
c. Mais ou menos.
8) Na atividade 2 do Encontro 1 você teve mais dificuldade em qual parte?
a. Afirmação
b. Dados/Evidências/Fundamentos
c. Garantia
d. Conclusão
9) No jogo “The Vile Vendor” você compreendeu a lógica da máquina de refrigerantes em
relação às chances de selecionar determinado refrigerante?
a. Sim, compreendi.
b. Compreendi mais ou menos.

358

c. Não compreendi.

10) Com base nas atividades que você desenvolveu no Encontro 1, escreva nas caixinhas
onde estaria localizado o evento impossível, evento improvável/provável e evento certo.

11) Sobre o jogo TAMPESCA, você conseguiu compreender o conceito probabilístico
envolvido no jogo?
a. Sim, totalmente.
b. Não consegui.
c. Mais ou menos, tenho dúvidas ainda.
12) Sobre o jogo QUADRALEATÓRIOS, você conseguiu compreender o conceito
probabilístico envolvido no jogo?
a. Sim, totalmente.
b. Não consegui.
c. Mais ou menos, tenho dúvidas ainda.

Estação 2

Ufa, vocês conseguiram escapar do pirata e passaram para a Estação 2. Nesta
estação, vocês estão em alto mar e precisam de um bote para chegar em um abrigo
para dormirem esta noite! Para chegar nesse objetivo final, vocês precisarão realizar a
atividade escrita e a autoavaliação desse momento. Além disso, vocês precisarão
participar do jogo “Correndo ao acaso”, um jogo de tabuleiro. Segue abaixo, o material
necessário para o jogo citado acima. Os materiais utilizados para a criação desse jogo
foram:
•

Moldes de tabuleiro disponíveis no link abaixo (estes não foram desenvolvidos pela

autora).
✓ Molde tabuleiro ilha
✓ Molde tabuleiro fazenda
•

Dados de 4 faces e 6 faces

•

Personagens (moldes desenvolvidos pela autora)

•

Tesoura e cola (para cortar e finalizar a construção dos personagens)
Ao finalizar esse encontro, você terá estudado acerca da análise da ideia de

acaso em situações do cotidiano e compreendendo o espaço amostral.
Tabela com pontuações
CORRENDO AO ACASO
GATO

NO MÁXIMO 10 PONTOS

TARTARUGA

NO MÁXIMO 4 PONTOS

COELHO

NO MÁXIMO 6 PONTOS

PREGUIÇA

NO MÁXIMO 4 PONTOS

PORQUINHO

NO MÁXIMO 6 PONTOS

360

361

Atividade 2 (Em grupo) - Atividades de ambientação à Argumentação 2
Nome do grupo:
1. O Pica-Pau e o Zeca Urubu estão brincando de lançar uma moeda ao ar. Pica-Pau
desafiou o Zeca a lançar a moeda ao ar de modo que a face “COROA” ficasse voltada
para cima. Se Zeca Urubu aceitar o desafio e lançar ao ar 1 moeda de R$ 0,05, qual é a

probabilidade de ela cair com a face

voltada para cima? Qual o espaço

amostral desse evento?

Resolução matemática apresentando as provas matemáticas:

362

Hipóteses levantadas para resolver a situação-problema (de que forma vocês
pensaram inicialmente para resolver a situação-problema):

Argumentação (como você convence uma pessoa de que a sua resposta está
correta – redija um pequeno texto com a argumentação):

Justificativa (apresente argumentos que demonstram (ou refutam) a verdade de
uma afirmação que usa declarações aceitas e formas matemáticas de raciocínio
redigindo um pequeno texto):

363

Conclusão (apresente a resposta final interligando todas as ideias - redija um
pequeno texto):

Fonte: Adaptado Dante (2017)

364

Atividade 2 do Encontro 2
Nome:

Data:

/

/

Argumento: Maria Fifi estava falando com seu amigo Pedro que no jogo
“correndo ao acaso” o personagem que tem a maior probabilidade de vencer
é a tartaruga.
Afirmação
(Concorda ou discorda)

Evidência/ Fundamentos
• Desenhe uma imagem.
• Faça um modelo
representativo.
• Utilize ideias matemáticas.

Garantia
Conecte a evidência/
fundamentos e a afirmação

Conclusão
Apresente a resposta final
interligando todas as ideias.

365

Autoavaliação do Encontro 2:
Autoavaliação da Atividade desenvolvida no Segundo Encontro
Nome:

Data:

/

/

1) De acordo com as atividades desenvolvidas hoje, você consegue analisar a ideia
de acaso em situações do cotidiano?
a. Sim, consigo analisar a ideia de acaso em situações do cotidiano.
b. Não consigo analisar a ideia de acaso em situações do cotidiano.

2) Você identificou corretamente as ideias a serem aplicadas na resolução da
situação-problema envolvendo o Pica Pau e o Zeca Urubu com o lançamento de
uma moeda?
a. Sim
b. Não
c. Mais ou menos
3) Compreendeu as ideias sobre o espaço amostral apresentadas no jogo e
atividade?
a. Sim, compreendi as ideias sobre o espaço amostral apresentadas no jogo e
atividade.
b. Não compreendi as ideias sobre o espaço amostral apresentadas no jogo e
atividade.
4) Explique como você pode determinar o espaço amostral de um evento aleatório:

5) Defina o que é um evento aleatório:

366

6) Na atividade envolvendo o Pica Pau e o Zeca Urubu com o lançamento de uma
moeda, qual destas partes você teve mais dificuldade em responder:
a. Resolução matemática
b. Hipóteses levantadas
c. Argumentação
d. Justificativa
e. Conclusão
7) Na atividade 2 que abordava um argumento sobre o jogo “Correndo ao acaso”,
qual das partes você teve mais dificuldade de responder:
a. Afirmação
b. Dados/Evidências/Fundamentos
c. Garantia
d. Conclusão

367

Estação 3
Se você está aqui, significa que seu grupo conseguiu pegar o bote e dormiram
em segurança na Probabililha. Vá até o mapa e marque a Estação que você se
encontra, pois vamos embarcar na Estação três!
Amanheceu! Vocês estão precisando se alimentar e avistaram uma grande
quantidade cocos verdes, porém o coqueiro é muito alto e nenhum do seu grupo
consegue alcançar! Existe um material de suporte que faz com que vocês consigam
subir no coqueiro e coletem a quantidade de cocos para o grupo. Para conseguir esse
material, vocês deverão realizar o jogo do quebra-cabeça, do quadrinho com balões,
das atividades propostas com a cartolina e autoavaliação. Segue abaixo o material
necessário. Boa sorte!

368

369

Atividade (Individual) 1 do Encontro 3
Atividade: Análise de chances de eventos aleatórios
Naruto foi em um parque e encontrou uma loja que premiava ursinhos de pelúcia
para quem conseguisse parar o ponteiro na cor verde. Se Naruto parou nessa loja, e
girou a roleta B, qual é a probabilidade de ele parar no verde? Você acredita que há
uma roletaque possui mais chances de parar o ponteiro na cor verde?

Fonte: Adaptado de Dante (2017)

Resolução matemática apresentando as provas matemáticas:

Hipóteses levantadas para resolver a situação-problema (de que forma vocês
pensaram inicialmente para resolver a situação-problema):

370

Argumentação (como você convence uma pessoa de que a sua resposta está
correta – redija um pequeno texto com a argumentação):

Justificativa (apresente argumentos que demonstram (ou refutam) a verdade de
uma afirmação que usa declarações aceitas e formas matemáticas de raciocínio
redigindo um pequeno texto):

Conclusão (apresente a resposta final interligando todas as ideias - redija um
pequeno texto):

371

Atividade 2 do Encontro 3
MURAL DA ARGUMENTAÇÃO “FALA AÍ”
Argumentação escrita e oral por meio de investigação matemática

Cada grupo receberá uma situação-problema. Colem a situação-problema
no painel de cartolina e apresente a resolução seguindo as etapas solicitadas.
Respondam escrevendo detalhadamente a sua resposta, explicando as ideias
que tiveram e que levaram à resolução do problema e como o problema poderia
ser resolvido de outra forma. Após o preenchimento do mural, cada grupo
apresentará a sua resposta para a classe, explicando a resposta para os demais
grupos e pedindo para que os outros grupos apresentem outras formas de
resolver o problema, defendendo as suas ideias.

372

Resolução matemática
SITUAÇÃO-PROBLEMA
INVESTIGATIVA

Efetuar as operações
matemáticas, podendo também
acrescentar desenhos que
complementem a resolução
como gráficos e esquemas.

Avaliação
1.

Conseguiu

compreender
probabilidade
problema?
a.
b.

os

identificar e
conceitos
de
envolvidos
no

Sim

Não
Teve
dificuldades
em
2.
resolver a situação-problema?
a. Sim
b. Não
c. Mais ou menos
3.
explicar

Teve
o

dificuldade
seu

de

raciocínio,

argumentando, escrevendo o texto
da resposta?
a. Sim
b. Não
c. Mais ou menos

Hipóteses levantadas para resolver o problema (apresente
suposições, ou seja, ideias provisórias para resolver a
situação- problema:
Justificativa (porque a resolução usou determinada
estratégia ou procedimento matemático):
Argumentação (porque a situação-problema teve que ser
resolvida de determinada forma, defenda a forma que
vocês resolveram, apresente razões pelas quais o
raciocínio de vocês foi desenvolvido de certa forma):
Conclusão (Apresente a resposta final interligando todas
as ideias):

4. Das etapas de investigação
matemática
para
resolver
a
situação-problema
qual
você
considerou a mais difícil?
a. Explorar a situação-problema e
formular questão
b. Organizar os dados e formular
ideias (conjecturas)
c. Realizar testes e reformular
ideias
d. Justificar uma ideia, avaliar o
raciocínio
e
provar
matematicamente sua validade.

373

Autoavaliação do Encontro 3:
Autoavaliação da Atividade desenvolvida no Terceiro Encontro
Nome:

Data:

/

/

1) De acordo com a atividade desenvolvida hoje, você consegue analisar as
chances de ocorrências de eventos aleatórios?
a. Sim, acredito que consigo analisar as chances de eventos aleatórios.
b. Não acredito que consigo analisar as chances de eventos aleatórios.
2) Você identificou corretamente as ideias a serem aplicadas na resolução da
situação-problema envolvendo o Naruto?
a. Sim
b. Não
c. Mais ou menos
3) Compreendeu as ideias sobre as chances de um evento aleatório ocorrer
apresentadas nos jogos e atividades?
a. Sim, compreendi as ideias sobre as chances de um evento aleatório ocorrer
apresentadas nos jogos e atividades.
b. Não compreendi as ideias sobre as chances de um evento aleatório ocorrer
apresentadas nos jogos e atividades.
4) Explique como você pode determinar as chances para que um evento
aleatório ocorra:

5) Na atividade envolvendo o Naruto, qual das partes você teve mais dificuldade
de responder:
a. Resolução matemática
b. Hipóteses levantadas
c. Argumentação
d. Justificativa
e. Conclusão

374

6) Na atividade do Mural, qual das partes você teve mais dificuldade?
a. Resolução matemática
b. Hipóteses
c. Argumentação
d. Justificativa
e. Conclusão
7) Na atividade do Mural, você conseguiu compreender o raciocínio apresentado
pelos demais grupos para a resolução da situação-problema?
a. Sim totalmente, todos os demais grupos argumentaram claramente,
apresentando objetivamente o raciocínio utilizado na resolução e consegui
compreender.
b. Sim parcialmente, alguns grupos conseguiram argumentar claramente e
apresentaram de modo objetivo o raciocínio utilizado na resolução e
conseguir compreender, mas houve grupos que não consegui compreender
a explicação do raciocínio aplicado para resolução.
c. Não consegui, pois os grupos não conseguiram explicar claramente o
raciocínio que utilizaram na situação-problema.
8) Você conseguiu desenvolver a investigação matemática para resolver a
situação-problema proposta na atividade do Mural?
a. Sim e segui todas as etapas sem dificuldades: Explorar a situação-problema
e formular questão; Organizar os dados e formular ideias (conjecturas);
Realizar testes e reformular ideias; Justificar uma ideia, avaliar o raciocínio e
provar matematicamente sua validade.
b. Sim e segui todas as etapas, mas em algumas etapas tive dificuldades.
c. Sim, mas não segui todas as etapas e resolvi sem dificuldades.
d. Sim, mas não segui todas as etapas e em algumas tive dificuldades.
e. Não consegui, tive muitas dificuldades.
9) Você conseguiu desenvolver a atividade com o quebra-cabeça?
a. Sim
b. Não

375

10) Sobre a atividade com a História em Quadrinhos, você e seu grupo
conseguiram elaborar a estória usando conceitos de probabilidade?
a. Sim, com facilidade.
b. Sim, com certa dificuldade.
c. Não conseguimos, tivemos muitas dificuldades de relembrar os conceitos e
desenvolver uma estória coerente.
11) Qual tipo de argumentação você considera mais fácil?
a. Argumentação oral, porque consigo me expressar oralmente sem
dificuldade para expor meu raciocínio.
b. Argumentação escrita, porque consigo redigir um texto claro e objetivo
expondo meu raciocínio.
c. Os dois tipos de argumentação são fáceis, consigo me expressar nas duas
modalidades, sem dificuldades.
d. Os dois tipos de argumentação são difíceis, tenho dificuldades de me
expressar oralmente e por meio de escrita.
12) Até esse momento, na Estação 3, como você avalia o seu o nível de
argumentação nas atividades escritas e orais:
a. Excelente, consigo articular plenamente as ideias encadeando hipóteses,
justificativa e conclusão.
b. Ótimo, consigo articular satisfatoriamente as ideias encadeando hipóteses,
justificativa e conclusão.
c. Bom, consigo articular razoavelmente as ideias encadeando hipóteses,
justificativa e conclusão.
d. Regular, articulo com dificuldade as ideias envolvendo hipóteses, justificativa
e conclusão.
e. Ruim, não consigo articular as ideias, portanto, não consigo argumentar.

Estação 4

376

Parabéns! Vocês estão quase chegando ao fim! Ao passar desta estação, vocês
irão automaticamente para a quinta estação neste mesmo encontro! Vocês
conseguiram se hidratar com o coco da ilha e agora poderão seguir o percurso para
encontrar o tesouro perdido. Durante a coleta de cocos da estação anterior, um
componente do seu grupo ouviu de um dos piratas que estava próximo ao abrigo que o
tesouro perdido estava ao norte da ilha, dentro de um baú enterrado numa
profundidade de 8 metros abaixo do solo. Para chegar nessas proximidades vocês
terão que vencer o jogo e atividades propostas, para assim chegar na estação 5. Ao
final desta atividade vocês deverão ser capazes de analisar as chances de eventos
aleatórios e calcular a probabilidade de eventos equiprováveis.
Vocês receberão o material necessário para a execução da Estação 4:

377

Atividade 1 (Grupo) da Estação 4 - Atividades de Ambientação à Argumentação 4
Espaço amostral: análise de chances de eventos aleatórios e cálculo de
probabilidade de eventos equiprováveis
Agostinho Carrara estava trabalhando de Uber e resolveu fazer um sorteio de um
brinde com os clientes de algum mês do ano de 2021. Para definir os clientes que
seriam presenteados com o brinde, ele resolveu sortear 1 dos 12 meses do ano.
•

Qual a Probabilidade de sair um mês que começa com a letra J?

•

As chances de se sortear um mês com a letra inicial J são iguais as chances de

se sortear um mês com a letra inicial S?

Resolução matemática apresentando as provas matemáticas:

Hipóteses levantadas para resolver a situação-problema (de que forma
vocês pensaram inicialmente para resolver a situação-problema):

378

Argumentação (como você convence uma pessoa de que a sua resposta
estácorreta – redija um pequeno texto com a argumentação):

Justificativa (apresente argumentos que demonstram (ou refutam) a verdade de
uma afirmação que usa declarações aceitas e formas matemáticas de raciocínio
redigindo um pequeno texto):

Conclusão (apresente a resposta final interligando todas as ideias – redija
umpequeno texto):

379

Atividade 2 do Encontro 4
Nome:

Data:

/

/

Argumento: A capitã Marvel está jogando Probabilinha e afirmou que no
lançamento de um dado comum, o espaço amostral é igual a seis. Sobre
essa afirmação, você:
Afirmação
(Concorda ou discorda)
Dados/Evidência/
Fundamentos
• Desenhe uma imagem.
• Faça um modelo
representativo.
• Utilize ideias matemáticas.

Garantia
Conecte a evidência/
fundamentos e a afirmação,
ou seja, apresente a
hipótese que liga os fatos à
conclusão.

Conclusão
Apresente a resposta final
interligando todas as ideias.

380

Autoavaliação do Encontro 4:
Autoavaliação da Atividade desenvolvida no Quarto Encontro
Nome:

Data:

/

/

1) De acordo com a atividade desenvolvida hoje, você conseguiu
compreender o conceito de espaço amostral e analisar as chances de
ocorrência de eventos aleatórios?
a. Sim, consegui compreender o conceito de espaço amostral e analisar as
de chances de ocorrências de eventos aleatórios.
b. Não consegui compreender o conceito de espaço amostral e nem como
analisar as chances de ocorrências de eventos aleatórios.
2) Você identificou corretamente as ideias a serem aplicadas na resolução da
situação-problema sobre Agostinho Carrara e o Uber?
a. Sim
b. Não
3) Você conseguiu compreender o que são eventos equiprováveis?
a. Sim, compreendo o significado de eventos equiprováveis.
b. Compreendo mais ou menos o significado de eventos equiprováveis.
c.

Não compreendo o significado de eventos equiprováveis.

4) Você conseguiu redigir a argumentação na atividade envolvendo a
situação-problema sobre Agostinho Carrara e o Uber?
a. Sim, sem dificuldades.
b. Sim, com certa dificuldade.
c. Não consegui.
5) Na atividade da situação-problema sobe Agostinho Carrara e o Uber, qual
das partes você teve mais dificuldade?
a.

Resolução matemática

b.

Hipóteses

c.

Argumentação

d.

Justificativa

e.

Conclusão

381

6) Sobre o jogo “Probabilinha”, você conseguiu executá-lo e relacionar
claramente com os conceitos desenvolvidos ao longo das estações pelas
quais você passou?
a. Sim.
b. Não
c. Mais ou menos
7) Sobre a atividade de argumento envolvendo a capitã Marvel, qual das
partes você teve mais dificuldade de responder:
a. Afirmação
b. Dados/Evidências/Fundamentos
c. Garantia
d. Conclusão

382

Estação 5

Parabéns por terem chegado na última estação da Probabililha!
Antes de finalizar a aventura pela ilha, vocês terão que responder uma última
pergunta. Se acertarem, vocês pegarão a chave que abre a caixa onde está o mapa
que leva atéo baú do tesouro (grupo):

Você irá sortear uma chave de duas sacolas diferentes.A
sacola A contém 6 chaves roxas e 7 chaves verdes. A
sacola B contém 4 chaves roxas e 2 chaves verdes.
De qual sacola é mais provável sortear uma chave roxa e de
qual é mais provável sortear uma chave verde?

Justifique a sua
resposta.

Fonte: Adaptado de Mangahigh (2022)

383

Acertaram a pergunta, abram a caixa, peguem o mapa e então avancem! Vocês estão
agora nas proximidades do baú e precisam informar qual é a localização adequada
para que cheguem no ponto em que o tesouro está enterrado. Qual é a localização que
o baú está? A localização é_______________________.

Respondeu corretamente? É isso aí! Seu grupo finalmente encontrará o baú com
as riquezas. Ao desenterrarem o baú vocês verificaram que ele está trancado com um

384

cadeado que só abre com uma última decisão do grupo. Ao lado do tesouro há uma
caixa secreta com dois botões, um azul e um vermelho. Um botão abre o tesouro e o
outro faz com que haja uma explosão que destrói todas as riquezas desse baú. Qual
botão o seu grupo irá escolher? Qual a probabilidade de se ter as riquezas?

A resposta correta está num envelope secreto que será aberto em instantes! O
grupo que ganhar as “riquezas” irá também ganhar a liberdade da ilha! O grupo que
ficar sem o tesouro também ganhará um brinde de participação nas 5 estações, porém
terão que passar mais um tempo na ilha como consequência do acaso (decisão
errada). Vamos descobrir quem são os vencedores dessa aventura na ilha? A
informação será dada pessoalmente! Até mais, pessoal!

Fim da aventura na Probabililha! Obrigada por sua participação!

385

Autoavaliação do Encontro 5:
Autoavaliação da Atividade desenvolvida no Quinto Encontro
Nome:

Data:

/

/

1) De acordo com as atividades desenvolvidas ao longo das estações, você
conseguiu compreender conceitos básicos de probabilidade como acaso,
eventos aleatórios, eventos equiprováveis e espaço amostral?
a. Sim, consegui compreender totalmente esses conceitos.
b. Sim, consegui compreender parcialmente esses conceitos e ainda tenho
algumas dúvidas.
c. Não consegui compreender esses conceitos.
2) Você identificou corretamente as ideias sobre probabilidade a serem
aplicadas na resolução da situação-problema proposta na Estação 5 sobre
as chaves roxa e verde?
a. Sim
b. Não
3) Você conseguiu compreender o que é a tomada de decisão?
a. Sim e sei que envolve escolha e riscos.
b. Sim e relaciono com escolhas, mas não penso em riscos.
c. Não consegui compreender o que é a tomada de decisão.
4) Agora que chegamos ao final das estações, você conseguiu compreender
completamente o significado de probabilidade?
( ) Sim, compreendo o significado de probabilidade.
(

) Não compreendo o significado de probabilidade.

5) Você conseguiu generalizar o conceito de probabilidade como a divisão do
número de eventos pelo número de resultados possíveis?
a. Sim, consegui perceber que o cálculo da probabilidade é feita por essa
divisão e daí consegui generalizar o conceito.
b. Não consegui compreender o conceito, portanto, não generalizei a ideia
de como calcular a probabilidade.

386

6) Com o final do percurso pela Ilha e passando pelas estações, você
conseguiu melhorar a sua argumentação matemática?
a. Sim, melhorei muito, tanto na escrita quanto oralmente.
b. Sim, melhorei pouco, tanto na escrita quanto oralmente.
c. Não consegui melhorar, pois tenho dificuldades em escrever e e
expressar oralmente minhas ideias.
7) Sobre seu nível de argumentação matemática, após a realização das
atividades nas estações, você considera que esteja:
a. Excelente
b. Ótimo
c. Bom
d. Regular
e. Ruim
8) Em qual estação você teve mais dificuldades em realizar as atividades
propostas?
a. Estação 1
b. Estação 2
c. Estação 3
d. Estação 4
e. Estação 5
9)

Os

jogos

auxiliaram

você

na

compreensão

probabilidade?
a. Sim, porque aprendi de uma forma mais atrativa.
b. Não, mas me diverti executando os jogos.
c. Mais ou menos, me confundi algumas vezes.

dos

conceitos

de

387

APÊNDICE B - QUESTIONÁRIO A PRIORI
PARTE A – A ARGUMENTAÇÃO NAS AULAS DE MATEMÁTICA

1-

Nas aulas de Matemática, o professor dá oportunidade a você e seus colegas de

explicarem o raciocínio quando estão respondendo alguma questão que ele
perguntou?
a)

Sim, o professor dá oportunidade a nós alunos para explicarmos o nosso

raciocínio, justificando e argumentando o porquê de chegarmos em determinada
resolução.
b)

Não, o professor pede apenas que falemos a resposta final.

2-

Nas aulas de Matemática, o professor propõe momentos para que haja

argumentação, ou seja, para que possam explicar pontos de vista acerca de
conceitos, ideias matemáticas, estratégias de resolução de questões e problemas que
são propostos?
a)

Sim, com frequência.

b)

Sim, às vezes.

c)

Raramente

d)

Nunca

3-

Nas aulas de Matemática, vocês têm oportunidade de falar, expressar suas

ideias matemáticas?
a)

Sim, somente quando o professor está corrigindo as atividades.

b)

Sim, em qualquer momento que tivermos dúvida.

c)

Não, não temos a oportunidade de falar, apenas o professor.

4-

Nas aulas de Matemática, você costuma escrever as suas respostas por meio de

textos, explicando, justificando o porquê utilizou determinada estratégia de resolução?
a)

Sim, costumo escrever um pequeno texto explicando a resolução.

388

b)

Não, só escrevo as operações matemáticas e os procedimentos que utilizei, mas

não explico redigindo um texto.
5-

Você já teve oportunidade de argumentar nas aulas de Matemática?

a)

Sim.

b)

Não.

6-

Você acredita que é possível argumentar nas aulas de Matemática?

a)

Sim, é possível argumentar nas aulas de Matemática, expondo o raciocínio

matemático e os pontos de vista, desde que tenhamos oportunidade de nos expressar
seja oralmente ou por escrito.
b)

Não é possível argumentar nas aulas de Matemática, porque o professor não

proporciona momentos para que possamos falar ou não aplica atividades com
argumentação escrita ou porque não sabemos como argumentar porque não
aprendemos.

7-

Observe a tirinha e responda o que se pede:

a.

Você acredita que a Mafalda expôs algum argumento?

(

) Sim, acredito que Mafalda expôs algum argumento.

(

) Não acredito que Mafalda expôs algum argumento.

b.

Qual foi o argumento que Mafalda fez, de acordo com o último quadrinho?

Resposta:

389

8-

Na tirinha abaixo, o menino conseguiu argumentar matematicamente de forma

coerente para explicar como conseguirá vender os livros? Explique a sua resposta.

Explicação:

9-

Para você o que significa argumentar nas aulas de Matemática?

Resposta:

390

PARTE B – CONHECIMENTOS DE PROBABILIDADE
1. De acordo com os seus conhecimentos, o que é Probabilidade?
a)

Algo que vai acontecer com certeza.

b)

A análise das chances de algo ocorrer.

c)

A análise de algo impossível de ocorrer.

d)

Não sei o que significa.

2. Cite dois exemplos que envolvem a Probabilidade no seu dia a dia.
Resposta:

3. Você acredita que no lançamento de uma moeda, as chances de se obter cara ou
coroa são iguais?
a) Sim, acredito que as chances de se obter cara ou coroa são iguais.
b) Não acredito que as chances de se obter cara ou coroa são iguais.

4. Explique o motivo da sua resposta que você assinalou na questão anterior:

5. Na tirinha abaixo, você consegue enxergar algo relacionado ao conteúdo de
Probabilidade? Explique sua resposta:

391

Explicação:

6. Se lançarmos uma moeda, qual a probabilidade do lado “cara” ficar voltado para
cima?
a) 1/3
b) 1/2
c) 1/4
d) 0
7. Um restaurante está com 13 pessoas: 9 clientes e 4 garçons. Se escolhermos uma
pessoa do local, aleatoriamente, qual a probabilidade de ser um cliente?
a) 3/13
b) 9/13
c) 6/13

392

d) 7/13
Resolução:

8. Escolhendo aleatoriamente um dia da semana, qual a probabilidade de escolher
uma segunda ou uma sexta-feira?
a) 4/7
b) 1/7
c) 2/7
d) 3/7
9. No lançamento de um dado de 6 faces, qual a chance da face superior cair no
número 1?

10. Ao lançar um dado, qual a probabilidade de sair um número maior que 4?
Resolução matemática:

393

Argumentação (como você convence uma pessoa de que a sua resposta está correta
– redija um pequeno texto com a argumentação):

Conclusão (apresente a resposta final interligando todas as ideias – redija um
pequeno texto):

394

APÊNDICE C - QUESTIONÁRIO A POSTERIORI
PARTE A – ASPECTOS DIDÁTICOS E METODOLÓGICOS DO PRODUTO
EDUCACIONAL

1. Sobre os jogos apresentados, você considera que eles auxiliaram na aprendizagem
dos conceitos de probabilidade?
a. Sim
b. Não
c. Mais ou menos

2. Sobre os jogos apresentados, você considera que eles auxiliaram no
desenvolvimento da argumentação?
a. Sim
b. Não
c. Mais ou menos

3. Sobre as atividades escritas propostas, você considerou que auxiliaram no
desenvolvimento da argumentação escrita?
a. Sim
b. Não
c. Mais ou menos

4. Sobre a configuração das atividades em formato de uma aventura em ilha com
estações, você considerou que estimulou o interesse e engajamento para resolvê-las?
a. Sim, pois ficaram mais dinâmicas e atrativas.
b. Não, ficou muito confuso.
c. Mais ou menos, pois algumas eram mais objetivas e dinâmicas e outras mais longas
para resolver.

5. A dinâmica de aplicação das atividades estimulou você a participar e falar expondo

395

suas ideias matemáticas?
a. Sim, venci a timidez, consegui me expressar e aprendi a argumentar
matematicamente.
b. Não estimulou, até participei das atividades, mas não falei, apenas colaborei com
meus colegas.
c. Mais ou menos, ainda estou me acostumando com a ideia de falar nas aulas de
Matemática, expor minhas ideias e estou ainda aprendendo a argumentar.

PARTE B – DESENVOLVIMENTO DA ARGUMENTAÇÃO E DOS CONCEITOS DE
PROBABILIDADE

1. Após a realização das atividades propostas, você conseguiu compreender o que
significa probabilidade?
a. Sim, compreendi plenamente.
b. Não compreendi.
c. Mais ou menos, ainda tenho certa dificuldade.

2. Você consegue definir o que é um evento aleatório?
a. Sim, consigo definir.
b. Não consigo.
c. Mais ou menos, ainda tenho dúvida do que seja um evento aleatório.

3. Você consegue definir o que é acaso?
a. Sim, consigo definir.
b. Não consigo.
c. Mais ou menos, ainda tenha dúvida do que seja o acaso.

4. Você consegue conceituar o que é um evento equiprovável?
a. Sim, consigo conceituar.
b. Não consigo.

396

c. Mais ou menos, pois tenho ainda dúvida sobre o que significa o evento
equiprovável.

5. Você conseguiu compreender que a probabilidade está presente no cotidiano?
a. Sim.
b. Não.

6. Você aprendeu a argumentar matematicamente por meio da escrita ou oralmente?
a. Sim, aprendi plenamente.
b. Não aprendi.
c. Mais ou menos, ainda tenho dificuldades em me expressar.

7. Você consegue estruturar o seu raciocínio para expressá-lo em uma interação
discursiva na qual terá que argumentar em uma aula de Matemática?
a. Sim, plenamente.
b. Não consigo.
c. Mais ou menos, com certa dificuldade, pois ainda não consigo estabelecer relações
entre ideias e expressar meu raciocínio.

8. Desenvolva a frase apresentada a seguir colocando 1 argumento que apoie a ideia
expressa:
UMA ESCOLA QUER MONTAR UMA COMISSÃO PARA DEBATER O PROBLEMA
DO LIXO NO RECREIO. VEJA A TABELA COM O NÚMERO DE ESTUDANTES EM
CADA ANO.

Se um estudante for sorteado ao acaso, há mais chances dele ser do 3º ano,
porque___________________________________________________________.

397

9. Helena encontrou seus amigos Allan e Carolina na barraca das roletas. Eles iam
apostar para ver quem ganhava uma bola. Para ganhar o prêmio, era preciso escolher
uma cor e girar a roleta, que deve parar na cor escolhida. Analise o que cada um
escolheu e responda à questão, argumentando:

Quem

tem

mais

chance

de

ganhar

é

Helena,

porque________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________.
Quem

tem

menos

chance

de

ganhar

é

Carolina

porque________________________________________________________________
______________________________________________________________________
______________________________________________________________.

10. Durante a resolução das atividades, qual desses componentes do processo de
argumentação você teve mais dificuldade de elaborar e/ou identificar:
a.

Afirmação

b.

Dados/Evidências/Fundamentos

c.

Hipóteses

d.

Garantia

e.

Justificativa

f.

Conclusão

11. Dos fatores abaixo que podem prejudicar a argumentação nas aulas de Matemática,
assinale aquele que você considera o mais marcante:
a. timidez em falar
b. dificuldades em escrever

398

c. receio em ser julgado por expressar alguma ideia de maneira equivocada
d. medo de contrapor uma ideia de um colega e gerar algum conflito
e. não saber defender uma ideia

12. Você concorda que o princípio da argumentação é respeitar a ideia do outro e
aprender com uma ideia que seja diferente da sua?
a. Sim, concordo plenamente.
b. Não concordo.
c. Concordo parcialmente.
13. O processo de argumentação consiste em gerar conflito e “ganhar o debate por
meio de uma discussão”?
a. Sim.
b. Não
PARTE C – CONHECIMENTOS DE PROBABILIDADE
1. Em uma urna há 12 bolas vermelhas, 5 bolas azuis e 3 bolas verdes. Sorteando
uma bola ao acaso, qual a probabilidade de ser uma bola ser verde?
a) 3/5

b) ¼c) 3/20

2. Se em uma turma é formada por 8 alunas e 7 alunos e a professora escolher
aleatoriamente um estudante para ir ao quadro resolver um exercício, qual a
probabilidade de ser selecionada uma aluna?
a) 8/15

b) 7/15c) 11/15d) 13/15

3. Em uma urna existem bolas enumeradas de 1 a 15. Qualquer uma delas possui a
mesma chance de ser retirada. Determine a probabilidade de se retirar uma bola com
número par:
Resposta:

399

4. Em um saquinho há bolinhas com números pares e ímpares. Ao retirar uma bola do
saquinho, qual tipo de número tem mais chances de sair: bola com número par ou
bola com número ímpar? Por quê?
Resposta:

5. Dois jovens partiram, do acampamento em que estavam, em direção à Cachoeira Grande e
à Cachoeira Pequena, localizadas na região, seguindo a trilha indicada neste esquema:

Em cada bifurcação encontrada na trilha, eles escolhiam, com igual probabilidade,
qualquer um dos caminhos e seguiam adiante. Então, é CORRETO afirmar que a
probabilidade de eles chegarem à Cachoeira Pequena é:
a) ½

400

b) 2/3
c) ¾
d) 5/6

6. Sobre qual cor é menos provável que o ponteiro pare?

a) Branca
b) Verde
c) Nenhuma, pois branca e verde são igualmente prováveis.

7. Sobre qual cor é menos provável que o ponteiro pare?

a) Branca
b) Azul
c) Nenhuma, pois branca e azul são igualmente prováveis.

8. Se você selecionasse uma bola sem olhar, qual bola seria a mais provável de ser
selecionada?

a) Preta
b) Laranja

401

c) Nenhuma, pois ambas são igualmente prováveis.

402

7 ANEXOS
ANEXO 1- COMPROVANTE DE ENVIO DO PROJETO

403

ANEXO 2- TERMO DE ASSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO (T.A.L.E)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Termo de Assentimento Livre e Esclarecido (T.A.L.E.)
Assinado pelo aluno participante da pesquisa

INSTITUIÇÃO DE VÍNCULO DO PESQUISADOR: Universidade Federal de
Alagoas
Pesquisador responsável: Ewellyn Amâncio Araújo Barbosa
E-mail do pesquisador responsável: ewellynbsantos@gmail.com
Orientadora: Profa Dra. Claudia de O. Lozada
Você está sendo convidado (a) a participar como voluntário (a) da pesquisa A
ARGUMENTAÇÃO NAS AULAS SOBRE PROBABILIDADE DO 5º ANO DO ENSINO
FUNDAMENTAL: UMA PROPOSTA DE INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA, vinculada
ao
Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática da Universidade
Federal de Alagoas que tem por objetivo analisar quais as contribuições que o
processo argumentativo nas aulas de Probabilidade no 5° ano do Ensino
Fundamental traz para o desenvolvimento do pensamento probabilístico. O
estudo se destina a contribuir com a disseminação do processo argumentativo nas
aulas de Probabilidade no 5º ano do Ensino Fundamenta e busca promover estudos
significativos no que se refere a Educação, práticas docentes e análise dos padrões
discursivos que ocorrem em sala de aula. A coleta de dados será realizada por meio de
questionários a priori e a posteriori, avaliação diagnóstica e sequência didática
contendo ações pedagógicas por meio de jogos, atividades e outros recursos
necessários para a aplicação do nosso Produto Educacional, sendo coletados
durante as aulas de Matemática na Escola *****************.

404

Esta pesquisa conta com a participação somente alunos de 9 a 10 anos e que
estão no 5º ano do Ensino Fundamental I, por esse motivo você foi escolhido para esta
pesquisa.
Você não precisa participar da pesquisa se não quiser, é um direito seu e não
terá nenhum problema se desistir.
A pesquisa será feita na Escola ****************, onde você irá responder
questionário e atividades e participar de atividades em grupo, como em jogos
educativos com material concreto e jogos digitais (quando preciso). Para isso,
será utilizado celular/tablet com o sistema Android ou IOS, pois irá manusear o
aplicativo e realizar atividades por meio dos aparelhos, também será feito o registro
fotográfico de todas as etapas da pesquisa com alguns momentos que serão gravados,
sendo que os riscos são baixos. Caso você se sinta constrangido durante os registros
fotográficos e gravações que serão realizados durante as atividades, você pode realizar
a atividade quando acha melhor.
Para este estudo, precisamos que você permita a coleta de dados por meio do
recolhimento das atividades que você realizará, como responder os questionários e
resolver as atividades propostas.
Quem vai coletar o material é a pesquisadora responsável Ewellyn Amâncio
Araújo Barbosa.
Os riscos da coleta são baixos, mas caso aconteça algo com você por causa da
coleta, nós daremos toda a assistência necessária.
Ninguém pode forçar você a participar deste estudo e você tem toda a liberdade
de deixar de participar do estudo a qualquer momento sem que isso lhe traga algum
problema.
Seu nome e o nome de seus pais/responsáveis não serão divulgados em
nenhum momento e suas informações serão analisadas junto com as de outros
participantes.
O estudo não acarretará nenhuma despesa para você e também você não
receberá nada para participar desta pesquisa, sendo que a sua participação é
importante, pois ajudará a melhorar o ensino e a aprendizagem de Matemática na
Educação Básica, com a utilização de recursose atividades mais dinâmicas e atrativas.
Também irá acontecer coisas boas durante a pesquisa como a interação com os
colegas, com os materiais didáticos utilizados nas atividades, desenvolvendo o
conhecimento sobre Probabilidade.
Como dissemos, o estudo não acarretará nenhuma despesa para você, caso
aconteça você será indenizado (a) por qualquer dano que venha a sofrer com a sua
participação na pesquisa e também receberá uma via do Termo de Consentimento
Livre e Esclarecido assinado por todos.

405

As suas informações ficarão sob sigilo, ninguém saberá que você está
participando da pesquisa; não falaremos para outras pessoas, nem daremos a
estranhos as informações que você nos der. Há um risco de perda e exposição dos
dados, entretanto, o pesquisador ficará responsável por manter todo o material em
segredo e não divulgar.
Os resultados da pesquisa serão registrados numa dissertação e também será
construído um produto educacional para os demais professores, com a finalidade de
conhecerem como foram realizadas as atividades aplicadas. Os resultados finais da
pesquisa serão publicados em formato de artigos científicos em revistas científicas,
mas sem identificar seus dados pessoais e imagens.
Em qualquer etapa do estudo, você terá acesso ao pesquisador responsável
pela pesquisa para esclarecimento de dúvidas, pelo telefone (82) 98751-9618 ou
mandar um e-mail para ewellynbsantos@gmail.com.
Quando terminarmos a pesquisa vamos organizar um mural na escola contendo
os registros das atividades realizadas. Se você tiver alguma dúvida, entre em contato.

CONSENTIMENTO PÓS INFORMADO

Eu,________________ aceito participar da pesquisa “A argumentação nas aulas sobre
Probabilidade do 5º ano do Ensino Fundamental: Uma proposta de investigação
Matemática”. Entendi que posso dizer “sim” e participar, mas que, a qualquer momento,
posso dizer “não” e desistir e que ninguém vai ficar chateado. Declaro que os
pesquisadores tiraram minhas dúvidas e recebi uma cópia deste termo.
Maceió/AL, de
de_______

406

ANEXO 3- TERMO DE ESCLARECIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO
(T.L.C.E.)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Termo de Esclarecimento Livre e Esclarecido (T.L.C.E.)
Assinado pelo (a) responsável legal pelo (a) menor de 18 anos que está participando da
pesquisa

INSTITUIÇÃO DE VÍNCULO DO PESQUISADOR: Universidade Federal de
Alagoas
Pesquisador responsável: Ewellyn Amâncio Araújo Barbosa
E-mail do pesquisador responsável: ewellynbsantos@gmail.com
Orientadora: Profa Dra Claudia de O. Lozada
O(A) seu(sua) filho(a) está sendo convidado a participar do projeto de pesquisa
A argumentação nas aulas sobre Probabilidade do 5º ano do Ensino Fundamental:
Uma proposta de investigação Matemática, cujo pesquisadora responsável é Ewellyn
Amâncio Araújo Barbosa. Os objetivos de pesquisa consistem em analisar quais as
contribuições que o processo argumentativo nas aulas de probabilidade no 5° ano do
Ensino Fundamental traz para o desenvolvimento do pensamento probabilístico. O(A)
seu(sua) filho(a) está sendo convidado por que faz parte do público escolhido para
essapesquisa, pois pertencente ao 5º ano do Ensino Fundamental.
O(A) Sr(a). tem de plena liberdade de recusar a participação do seu(sua) filho(a)
ou retirar seu consentimento, em qualquer fase da pesquisa, sem penalização alguma
para o tratamento que ele(a) recebe na Escola ************* onde a pesquisa está sendo
realizada.

407

Esta pesquisa conta com a participação somente alunos de 9 a 10 anos e que
estão no 5º ano do Ensino Fundamental, por esse motivo o (a) seu/sua filha (o) foi
escolhido paraesta pesquisa.
Quem vai coletar o material é a pesquisadora responsável Ewellyn Amâncio
Araújo Barbosa.
Caso aceite a participação do (a) seu/sua filho(a), esta participação consiste em
responder questionários e atividades propostas, participar de atividades em grupo,
como em jogos educativos com material concreto e jogos digitais (quando preciso),
sendo coletados durante as aulas de Matemática na Escola ***********. Para isso, será
utilizado celular/tablet com o sistema Android ou IOS, pois irá manusear o aplicativo e
realizar atividades por meio dos aparelhos, também será feito o registro fotográfico de
todas as etapas da pesquisa com alguns momentos que serão gravados, sendo que os
riscos são baixos. Caso o (a) seu/sua filho(a), se sinta constrangido durante os
registros fotográficos e gravações que serão realizados durante as atividades, ele/ela
pode realizar a atividade quando achar melhor.
Assim, solicitamos explicitamente autorização para registro de imagem e de som
do participante, por meio de registro fotográfico e de vídeo, garantindo a
confidencialidade e a privacidade, a proteção da imagem e a não estigmatização dos
participantes da pesquisa, garantindo a não utilização das informações em prejuízo das
pessoas e/ou das comunidades, inclusive em termos de autoestima, de prestígio e/ou
de aspectos econômico-financeiros. A identidade de seu/sua filho (a) será mantido em
sigilo.
Garantimos ao(à) Sr(a) a manutenção do sigilo e da privacidade da participação
do (a) seu/sua filho(a) e de seus dados durante todas as fases da pesquisa e
posteriormente na divulgação científica. Os resultados da pesquisa serão registrados
numa dissertação e também será construído um produto educacional para os demais
professores, com a finalidade de conhecerem como foram realizadas as atividades
aplicadas. Os resultados finais da pesquisa serão publicados em formato de artigos
científicos em revistas científicas, mas sem identificar seus dados pessoais do (a)
seu/sua filho(a) e imagens.
As informações do (a) seu/sua filho(a) ficarão sob sigilo, ninguém saberá que
você ele/ela está participando da pesquisa; não falaremos para outras pessoas, nem
daremos a estranhos as informações que ele/ela nos der. Há um risco de perda e
exposição dos dados, entretanto, o pesquisador ficará responsável por manter todo o
material em segredo e não divulgar.
O estudo não acarretará nenhuma despesa para o (a) seu/sua filho(a)
e
também ele/ela não receberá nada para participar desta pesquisa, sendo que a sua
participação dele/dela é importante, pois ajudará a melhorar o ensino e a
aprendizagem de Matemática na Educação Básica, com a utilização de recursos e
atividades mais dinâmicas e atrativas. Também irá acontecer coisas boas durante a
pesquisa como a interação de seu/sua filha (o) com os colegas, com os materiais
didáticos utilizados nas atividades, desenvolvendo o conhecimento sobre
Probabilidade.

408

Nesta pesquisa os riscos para o (a) seu/sua filho(a) são baixos, mas caso
aconteça algo com ele/ela por causa da coleta de dados, nós daremos toda a
assistência necessária.
Em qualquer etapa do estudo, você terá acesso ao pesquisador responsável
pela pesquisa para esclarecimento de dúvidas, pelo telefone (82) 98751-9618 ou
mandar ume-mail para ewellynbsantos@gmail.com.
Quando terminarmos a pesquisa vamos organizar um mural na escola contendo
os registros das atividades realizadas. Se você tiver alguma dúvida, entre em contato.
Você receberá uma via do Termo de Consentimento Livre e Esclarecido
assinado por todos.

CONSENTIMENTO PÓS-INFORMAÇÃO
Eu,
,
declaro
que
concordo que meu (minha) filho(a)__________________(nome completo do menor de
18 anos) participe desta pesquisa, tendo compreendido perfeitamente tudo o que me foi
informado sobre a participação no mencionado estudo e estando consciente dos meus
direitos, das responsabilidades, dos riscos e dos benefícios que a participação
implicam, concordo em autorizar a participação do menor e para isso eu DOU O MEU
CONSENTIMENTO SEM QUE PARA ISSO EU TENHA SIDO FORÇADO OU
OBRIGADO.
Maceió,

de

de 2022.

Endereço da equipe da pesquisa (OBRIGATÓRIO):
Instituição: Universidade Federal de Alagoas Endereço: Av.
Lourival Melo Mota, Tabuleiro do MartinsComplemento:
Cidade/CEP: Maceió/57072-900
Telefone:
Ponto de referência:

Contato de urgência: Ewellyn Amâncio Araújo Barbosa
Endereço: Av. Josué Alves Marques nº 47 B Complemento:
Primeiro andar
Cidade/CEP: 57081-790
Telefone: (82) 98751-9618

Ponto de referência: Próximo ao supermercado Líder

409

ATENÇÃO: O Comitê de Ética da UFAL analisou e aprovou este projeto de pesquisa. Para
obter mais informações a respeito deste projeto de pesquisa, informar ocorrências irregulares
ou danosas durante a sua participação no estudo, dirija-se ao:
Comitê de Ética em Pesquisa da Universidade Federal de Alagoas
Prédio do Centro de Interesse Comunitário (CIC), Térreo, Campus A. C. Simões,Cidade
Universitária
Telefone: 3214-1041 – Horário de Atendimento: das 8:00 às 12:00h.E-

mail: cep@ufal.br

Assinatura ou impressão datiloscópia
do (a)responsável legal e rubricar as demais
folhas

.

Nome e Assinatura do Pesquisador
peloestudo (Rubricar as demais páginas)

410

ANEXO 4- PUBLICIZAÇÃO

.

411

ANEXO 5- DECLARAÇÃO DE AUTORIZAÇÃO, INFRAESTRUTURA E
INSTALAÇÕES

412

ANEXO 6- DECLARAÇÃO DE CONFLITO DE INTERESSE

413

ANEXO 7- FOLHA DE ROSTO

414

ANEXO 8- PARECER

415

416

417

418

419

420

421