DISSERTAÇÃO VERSÃO FINAL - FELIPE MIRANDA MOTA .pdf
Documento PDF (8.7MB)

Exibir conteúdo Baixar

                    UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS E
MATEMÁTICA (PPGECIM)

FELIPE MIRANDA MOTA

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E O ARCO DE MAGUEREZ NO
ENSINO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA EM UMA TURMA DA 3ª
SÉRIE DO ENSINO MÉDIO SOB O OLHAR DO CONTRATO
DIDÁTICO

Maceió - AL
2023

FELIPE MIRANDA MOTA

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E O ARCO DE MAGUEREZ NO
ENSINO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA EM UMA TURMA DA 3ª
SÉRIE DO ENSINO MÉDIO SOB O OLHAR DO CONTRATO
DIDÁTICO

Dissertação
apresentada
à
banca
examinadora como requisito parcial à
obtenção do Título de Mestre em Ensino de
Ciências e Matemática – Área de
Concentração “Ensino de Matemática”, pelo
Programa de Pós-Graduação em Ensino de
Ciências e Matemática da Universidade
Federal de Alagoas.
Linha de pesquisa: Saberes e Práticas
Docentes
Orientadora: Profa. Dra. Claudia de Oliveira
Lozada

Maceió - AL
2023

FOLHA DE APROVAÇÃO

DEDICATÓRIA

Aos meus pais, José do Nascimento Mota e Maria Cremilda Miranda Mota, meus
maiores e melhores orientadores da vida.

AGRADECIMENTOS
O percurso acadêmico não é fácil, e estar em um programa de Pós-Graduação
não seria diferente. As dúvidas, angústias e medos perfazem todo o processo. Com
isso, antes de tudo, agradeço, de maneira especial, ao bom Deus que me deu saúde,
coragem e discernimento para concluir este estudo, mesmo que em momentos de
tribulações eu tenha me afastado dEle e questionado: por que isso está acontecendo
comigo?
De modo especial e particular, quero mencionar aqui duas das pessoas mais
importantes da minha vida, José do Nascimento Mota e Maria Cremilda Miranda Mota
(meus pais), cidadãos semianalfabetos, que, por meio do trabalho na roça, não
deixaram nada faltar para os seus quatros filhos, dando-lhes educação, instruindo-os no
caminho do bem e apoiando-os em suas escolhas. Agradeço, também, de forma
carinhosa, aos meus três irmãos: Catiana, a primogênita, por ter me cuidado, me
apoiado e sempre estar disposta a fazer tudo por mim (minha segunda mãe); Maciel e
Vital, por em todo o percurso acadêmico e profissional estarem dispostos a me levar
para onde fosse necessário, permitindo-me o alcance dos meus sonhos. Aos meus
sobrinhos, Gilcarlos e Rafael, obrigado por existirem e alegrarem toda à família!
Sou grato à Profa. Dra. Cláudia de Oliveira Lozada, minha orientadora neste
estudo e em inúmeros outros trabalhos apresentados e divulgados em anais de eventos
científicos e revistas. Obrigado pelos seus ensinamentos na disciplina de Didática da
Matemática Francesa e Cognição Matemática, como também por ter me acolhido
quando decidi mudar de orientador, mesmo já passados cinco meses de curso. Este
trabalho não seria o mesmo sem a sua contribuição. A senhora é peça fundamental.
Muito obrigado pela confiança depositada em mim e por ser exemplo para os seus
orientandos. A senhora é fonte de inspiração!
Meu muito obrigado aos professores que aceitaram o convite e se dispuseram a
compor a Banca de Qualificação e Defesa desta dissertação, Prof. Dr. Marcelo Carlos
de Proença e Prof. Dr. Givaldo Oliveira dos Santos: suas contribuições são de grande
valia. Cada palavra, cada ponto destacado, cada parágrafo em que foi solicitada uma

melhoria na sua articulação servem-me como aprendizado neste texto e em outros que
serão desenvolvidos posteriormente. Muito obrigado!
Gratifico ao Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática e
à Universidade Federal de Alagoas, por me permitirem o desenvolvimento desta
pesquisa. Aos professores e professoras que fazem parte deste curso de Mestrado,
obrigado por seus ensinamentos nas disciplinas ministradas!
Para chegar até aqui, a presença dos amigos foi fundamental. Inicialmente, para
não ser injusto, destaco meus agradecimentos a Júnior Oliveira, que esteve comigo
desde a seleção para ingresso no Programa de Pós-Graduação, todas as disciplinas, a
participação nos eventos científicos e o desenvolvimento da dissertação. Obrigado por
ter me ajudado nas inúmeras dúvidas relacionadas à gramática, por ter sido presente
em inúmeros momentos difíceis, por me ajudar em tudo. Sem você o caminho teria sido
mais árduo. Obrigado pela presença e apoio!
Sou grato às amizades conquistadas durante a realização de Mestrado, destaco
um carinho especial aos “Perdidos e Ariados” - Nickson, Ana Patrícia, Marta e Jaciara -,
vocês tornaram o caminho mais divertido. Também menciono os que partilhavam
comigo da mesma orientadora, especialmente Ewellyn, que com suas “resenhas”
deixava alguns momentos mais alegres e Sidney pela parceria em muitos artigos. Não
posso deixar de mencionar os amigos de vida: Suelene, Marcia, Elitânia, Fernanda,
Geovana, Oudson, Leidiane eJackciara. Obrigado a todos!
Obrigado também à Escola de Referência em Ensino Médio Padre Antônio
Barbosa Júnior por ter sido campo de pesquisa para o desenvolvimento desta
dissertação e aos alunos que participaram, foram essenciais neste estudo. À gestão, à
coordenação e aos professores, meus sinceros agradecimentos!
Por fim, evidencio a minha gratidão a todos e todas que contribuíram de maneira
direta e indireta para a realização do Curso de Mestrado e desta dissertação:
muitíssimo obrigado!

“Nenhum problema pode ser resolvido pela
mesma consciência que o criou. Temos de reaprender a ver o mundo.”
(Albert Einstein)

RESUMO
Este trabalho tem por objetivo investigar, a partir da proposição de uma Sequência
Didática utilizando a Resolução de Problemas sobre Matemática Financeira e o
manuseio do Arco de Maguerez, as negociações, regras, rupturas e renegociações do
Contrato Didático, bem como a fuga dos efeitos perversos do Contrato Didático, e as
contribuições para ressignificação de saberes, tomando como base a Ação
Comunicativa e o Discurso Pedagógico em uma turma da 3ª série do Ensino Médio.
Elegemos como referencial a Teoria das Situações Didáticas e a noção de Contrato
Didático (BROUSSEAU, 1986), a Teoria da Ação Comunicativa (HABERMAS, 1988) e a
Teoria do Discurso Pedagógico (BERNSTEIN, 1996), a Resolução de Problemas
(PROENÇA, 2018) e a metodologia da problematização com o Arco de Maguerez
(BORDENAVE; PEREIRA, 2015). Optamos por uma metodologia de pesquisa
qualitativa (LUDKE; ANDRÉ, 2018) por meio de um estudo de caso (YIN, 2010), a qual
compreende a análise dos fenômenos didáticos no espaço da sala de aula,
considerando a contribuição da Ação Comunicativa – a partir de perguntas feitas pelo
professor e pelos estudantes –, do Discurso Pedagógico, da Resolução de Problemas e
do Arco de Maguerez. Como instrumentos de coleta de dados utilizamos a observação
participante, videografia, gravação de áudios, questionários a priori e a posteriori e
atividades contidas no Produto Educacional originado desta dissertação. Diante dos
achados da pesquisa, notamos a contribuição do Arco de Maguerez na Resolução de
Problemas, no que diz respeito à relevância de situações norteadoras advindas da
realidade na proposição de problemas nas aulas de Matemática, sendo visto o
envolvimento dos estudantes na criação de perguntas sobre os temas tratados a
respeito da Matemática Financeira, a sua aplicabilidade em sociedade, discussões
sobre as relações do que estava sendo abordado e suas vidas pessoais e a busca de
saberes já construídos e nas suas ressignificações. Foi notório também, que o
preenchimento das etapas do Arco de Maguerez nas resoluções dos problemas,
permitiu aos estudantes momentos de leitura e releitura (tanto das situações
norteadoras como dos problemas), interpretação, análise e tratamento de dados, como
também a implicância de cada resultado numérico dos problemas acerca do que estava
sendo investigado na aplicação dos saberes. Com os pontos elencados, sendo
importantes na investigação do Contrato Didático, destacamos que as negociações do
contrato não são suficientes para a gestão de um saber, acontecendo rupturas e
renegociações para que o ensino e a aprendizagem aconteçam. Entretanto,
enxergamos que para os momentos de renegociações do Contrato Didático em aulas
que utilizem a resolução de problemas com o Arco de Maguerez, a Ação Comunicativa
é de fundamental importância, podendo ser regida por tipos perguntas feitas pelo
professor e pode funcionar como efeito propulsor. Ainda destacamos que mesmo que
as funções e papéis do estudante e do professor tenham ficado claras na resolução de
problemas com a utilização do Arco de Maguerez, em um momento foi um efeito do
contrato foi evidenciado, o efeito Topázio, e enxergamos ele como efeito ambivalente,
quando o professor o estudante porque ele não tem saberes suficientes e quando o
professor ajuda quando o estudante não quer fazer sua tarefa por falta de interesse.

Sobre isso, destacamos que o agir do professor, fazendo a intermediação, levando os
estudantes a pensarem, questionando-os e dando tempo para que realizassem as suas
tarefas, é de suma relevância nas situações de ensino e aprendizagem. Com isso,
entendemos que as situações de aprendizagem não são unilaterais, mas que, ao
considerar a realidade e a ação comunicativa no trabalho com a resolução de
problemas, ficando em evidência as funções do professor e do estudante por meio das
negociações e renegociações do Contrato Didático, a aprendizagem pode se
transformar em autônoma e espontânea.
Palavras-Chave: Contrato Didático; Resolução de Problemas; Arco de Maguerez; Ação
Comunicativa; Matemática Financeira.

ABSTRACT
This work aims to investigate, from the proposition of a Didactic Sequence using
Problem Solving on Financial Mathematics and the handling of the Arch of Maguerez,
the negotiations, rules, ruptures and renegotiations of the Didactic Contract, as well as
the escape of the perverse effects of the Didactic Contract, and the contributions for the
redefinition of knowledge, based on the Communicative Action and the Pedagogical
Discourse in a class of the 3rd year of High School. We chose as a reference the Theory
of Didactic Situations and the notion of Didactic Contract (BROUSSEAU, 1986), the
Theory of Communicative Action (HABERMAS, 1988) and the Theory of Pedagogical
Discourse (BERNSTEIN, 1996), Problem Solving (PROENÇA, 2018) and the
methodology of problematization with the Arch of Maguerez (BORDENAVE; PEREIRA,
2015). We opted for a qualitative research methodology (LUDKE; ANDRÉ, 2018)
through a case study (YIN, 2010), which comprises the analysis of didactic phenomena
in the classroom space, considering the contribution of Communicative Action - the from
questions asked by the teacher and students –, from the Pedagogical Discourse, from
Problem Solving and from Maguerez Arch. As data collection instruments we used
participant observation, videography, audio recording, a priori and a posteriori
questionnaires and activities contained in the Educational Product originated from this
dissertation. In view of the research findings, we noted the contribution of the Arch of
Maguerez in Problem Solving, with regard to the relevance of guiding situations arising
from reality in proposing problems in Mathematics classes, considering the involvement
of students in the creation of questions about the themes dealt with regarding Financial
Mathematics, its applicability in society, discussions about the relationships of what was
being approached and their personal lives and the search for already constructed
knowledge and its resignifications. It was also noticeable that completing the stages of
the Arch of Maguerez in problem solving allowed students to read and reread (both the
guiding situations and the problems), interpretation, analysis and treatment of data, as
well as the implication of each numerical result of the problems about what was being
investigated in the application of knowledge.With the points listed being important in the
investigation of the Didactic Contract, we emphasize that contract negotiations are not
enough for the management of knowledge, with ruptures and renegotiations taking place
for teaching and learning to take place. However, we see that for moments of
renegotiation of the Didactic Contract in classes that use problem solving with the
Maguerez Arch, Communicative Action is of fundamental importance, and can be
governed by the types of questions asked by the teacher and can work as a propelling
effect. We also emphasize that even though the functions and roles of the student and
the teacher have become clear in solving problems with the use of the Arch of
Maguerez, at one point it was an effect of the contract that was evidenced, the Topázio
effect, and we see it as an ambivalent effect , when the teacher helps the student
because he does not have enough knowledge and when the teacher helps when the
student does not want to do his homework due to lack of interest. In this regard, we
emphasize that the teacher's actions, mediating, leading students to think, questioning
them and giving them time to carry out their tasks, is of paramount importance in
teaching and learning situations. With this, we understand that the learning situations

are not unilateral, but that, when considering the reality and the communicative action in
the work with the resolution of problems, the functions of the teacher and the student are
highlighted through the negotiations and renegotiations of the Contract Didactic, learning
can become autonomous and spontaneous.
Keywords: Didactic Contract; Problem solving; Arch of Maguerez; Communicative
Action; Financial math.

LISTA DE FIGURAS
Figura 1: Triângulo de uma situação de ensino ........................................................ 36
Figura 2: Esquema que coloca o aluno como sujeito autônomo ............................. 37
Figura 3: Triângulo das Situações Didáticas ............................................................. 40
Figura 4: O Contrato Didático nas situações de ensino e aprendizagem ............... 47
Figura 5: Currículo prescrito, avaliado e implementado e aprendido ..................... 69
Figura 6: Tríade professor-aluno-conhecimento e a Resolução de Problemas ..... 97
Figura 7: Problematização: resolução de problemas e o Arco de Maguerez........ 108
Figura 8: Esquema inicial do Arco de Maguerez ..................................................... 110
Figura 9: Esquema atual do Arco de Maguerez ....................................................... 111
Figura 10: Arco de Maguerez utilizado para o desenvolvimento das tarefas ....... 114
Figura 11: Fórmulas para o cálculo de juros simples e compostos ...................... 122
Figura 12: Capa inicial do Livro Matemática Interligada ......................................... 145
Figura 13: Páginas de apresentação do Livro Matemática Interligada .................. 147
Figura 14: Contextualização para introdução do conteúdo no Livro Matemática
Interligada ................................................................................................................... 148
Figura 15: Sumário disponível no capítulo de Matemática Financeira no Livro
Matemática Interligada ............................................................................................... 149
Figura 16: Questões disponíveis no livro didático .................................................. 150
Figura 17: Simuladores on-line no Livro Matemática Interligada .......................... 151
Figura 18: Tópico Conectando ideias no Livro Matemática Interligada ................ 152
Figura 19: O tratamento da Resolução de Problemas no Livro Matemática
Interligada ................................................................................................................... 153
Figura 20: Capa inicial do Livro Quadrante Matemática ......................................... 153
Figura 21: Organização do livro Quadrante Matemática e suas tecnologias ........ 155
Figura 22: Situação Inicial no capítulo de Matemática Financeira – Quadrante
Matemática e suas Tecnologias ................................................................................ 156
Figura 23: Problema e suas respectivas soluções no Livro Quadrante Matemática
..................................................................................................................................... 157
Figura 24: LibreOffice Calc na simulação de empréstimos e sistema de
amortização no Livro Quadrante Matemática .......................................................... 158
Figura 25: Capa inicial do Livro Prisma Matemática ............................................... 159
Figura 26: Organização dos capítulos no Livro Prisma Matemática ..................... 160
Figura 27: Capítulo de Porcentagem e juros e de Matemática Financeira ............ 162
Figura 28: Exemplo de questão resolvida no Livro Prisma Matemática ............... 163
Figura 29: Tópico Conexões no Livro Prisma Matemática ..................................... 164
Figura 30: Percepção dos autores do Livro Prisma Matemática acerca da
Resolução de Problemas ........................................................................................... 165
Figura 31: Capa Inicial do Livro Matemática em Contextos ................................... 166
Figura 32: Estrutura dos capítulos do Livro Matemática em Contextos ............... 167
Figura 33: Sumário de Matemática Financeira no Livro Matemática em Contextos
..................................................................................................................................... 168
Figura 34: Justificativa para o estudo de Matemática Financeira no Livro
Matemática em Contextos ......................................................................................... 169

Figura 35: Situação inicial no capítulo de Matemática Financeira no Livro
Matemática em Contextos ......................................................................................... 170
Figura 36: Tópico Leitura e compreensão no Livro Matemática em Contextos ... 171
Figura 37: Tópico Além da sala de aula no Livro Matemática em Contextos ....... 172
Figura 38: Capa inicial do Livro Conhecer e transformar: projetos integradores 174
Figura 39: Sumário do Livro Conhecer e transformar: projetos integradores ..... 175
Figura 40: Investigação 2: Matemática Financeira no Livro Conhecer e
transformar: projetos integradores .......................................................................... 176
Figura 41: Exercícios e situações problema no Livro Conhecer e transformar:
projetos integradores ................................................................................................ 177
Figura 42: Capa inicial do Livro Práticas na escola: Matemática e suas tecnologias
..................................................................................................................................... 178
Figura 43: Sumário do Livro Práticas na escola: Matemática e suas tecnologias
..................................................................................................................................... 179
Figura 44: Objetivos do projeto de Planejamento Financeiro no Livro Práticas na
escola: Matemática e suas tecnologias ................................................................... 180
Figura 45: Tópico Entendendo os Juros no Livro Práticas na escola: Matemática e
suas tecnologias ........................................................................................................ 181
Figura 46: Situações e questões sobre juros esboçadas no Livro Práticas na
escola: Matemática e suas tecnologias ................................................................... 182
Figura 47: Espaço para perguntas/questionamentos comum à todas as situações
norteadoras................................................................................................................. 194
Figura 48: Problemas da tarefa de ambientação ..................................................... 194
Figura 49: Espaço para resolução comum a todos os problemas ........................ 195
Figura 50: Molde do Arco de Maguerez para preenchimento nas demais tarefas197
Figura 51: Instruções do jogo e tabuleiro ................................................................ 199
Figura 52: Cartões com perguntas e respostas para o jogo do tabuleiro ............. 200
Figura 53: Problemas da aula 2 ................................................................................. 203
Figura 54: Problemas da aula 3 ................................................................................. 205
Figura 55: Problemas da aula 4 ................................................................................. 208
Figura 56: Arco de Maguerez montado na mesa para a aula 4 .............................. 209
Figura 57: Questões do jogo digital.......................................................................... 211
Figura 58: Situação norteadora para elaboração do problema matemático ......... 212
Figura 59: Espaço para elaboração do problema e resolução dele ....................... 213
Figura 60: Gráfico das respostas da questão 1 do Questionário a Priori ............. 219
Figura 61: Gráfico das respostas da questão 2 do Questionário a Priori ............. 220
Figura 62: Gráfico das respostas da questão 3 do Questionário a Priori ............. 221
Figura 63: Gráfico das respostas da questão 4 do Questionário a Priori ............. 222
Figura 64: Gráfico das respostas da questão 5 do Questionário a Priori ............. 223
Figura 65: Gráfico das respostas da questão 6 do Questionário a Priori ............. 224
Figura 66: Gráfico das respostas da questão 7 do Questionário a Priori ............. 225
Figura 67: Gráfico das respostas da questão 8 do Questionário a Priori ............. 225
Figura 68: Gráfico das respostas da questão 9 do Questionário a Priori ............. 226
Figura 69: Gráfico das respostas da questão 10 do Questionário a Priori ........... 227
Figura 70: Gráfico das respostas da questão 11 do Questionário a Priori ........... 228
Figura 71: Gráfico das respostas da questão 12 do Questionário a Priori ........... 229

Figura 72: Gráfico das respostas da questão 13 do Questionário a Priori ........... 230
Figura 73: Gráfico das respostas da questão 14 do Questionário a Priori ........... 231
Figura 74: Gráfico das respostas da questão 15 do Questionário a Priori ........... 231
Figura 75: Gráfico das respostas da Questão 16 do Questionário a Priori ........... 232
Figura 76: Gráfico das respostas da questão 17 do Questionário a Priori ........... 233
Figura 77: Gráfico das respostas da questão 18 do Questionário a Priori ........... 234
Figura 78: Estudantes na tarefa de ambientação .................................................... 240
Figura 79: Perguntas criadas pelos grupos a respeito da situação norteadora da
tarefa de ambientação ............................................................................................... 241
Figura 80: Problema 1 da tarefa de ambientação .................................................... 242
Figura 81: Resolução dos grupos do problema 1 da tarefa de ambientação ....... 243
Figura 82: Primeira etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 1
..................................................................................................................................... 245
Figura 83: Segunda etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 1
..................................................................................................................................... 246
Figura 84: Terceira etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 1
..................................................................................................................................... 247
Figura 85: Quarta etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 1
..................................................................................................................................... 248
Figura 86: Quinta etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 1
..................................................................................................................................... 249
Figura 87: Problema 2 da tarefa de ambientação .................................................... 250
Figura 88: Resoluções do problema 2 da tarefa de ambientação .......................... 251
Figura 89: Primeira etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 2
..................................................................................................................................... 252
Figura 90: Segunda etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 2
..................................................................................................................................... 253
Figura 91: Terceira etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 2
..................................................................................................................................... 254
Figura 92: Quarta etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 2
..................................................................................................................................... 255
Figura 93: Quinta etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 2
..................................................................................................................................... 256
Figura 94: Problema 3 da tarefa de ambientação .................................................... 257
Figura 95: Resoluções do problema 3 da tarefa de ambientação .......................... 258
Figura 96: Primeira etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 3
..................................................................................................................................... 259
Figura 97: Segunda etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 3
..................................................................................................................................... 261
Figura 98: Terceira etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 3
..................................................................................................................................... 262
Figura 99: Quarta etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 3
..................................................................................................................................... 263
Figura 100: Quinta etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 3
..................................................................................................................................... 264
Figura 101: Problema 4 da tarefa de ambientação .................................................. 265

Figura 102: Resoluções do problema 4 da tarefa de ambientação ........................ 266
Figura 103: Primeira etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema
4 ................................................................................................................................... 267
Figura 104: Segunda etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema
4 ................................................................................................................................... 268
Figura 105: Terceira etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema
4 ................................................................................................................................... 269
Figura 106: Quarta etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 4
..................................................................................................................................... 270
Figura 107: Quinta etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 4
..................................................................................................................................... 271
Figura 108: Estudantes no desenvolvimento do jogo de tabuleiro ....................... 276
Figura 109: Momento de leitura da situação norteadora da aula 2 ........................ 283
Figura 110: Perguntas/questionamentos elaboradas a partir da situação
norteadora da aula 2 .................................................................................................. 285
Figura 111: Problema matemático 1 da aula 2 ......................................................... 286
Figura 112: Primeira etapa do arco preenchida de acordo com o problema 1 da
aula 2 ........................................................................................................................... 287
Figura 113: Segunda etapa do arco preenchida de acordo com o problema 1 da
aula 2 ........................................................................................................................... 288
Figura 114: Terceira etapa do arco preenchida de acordo com o problema 1 da
aula 2 ........................................................................................................................... 289
Figura 115: Quarta etapa do arco preenchida de acordo com o problema 1 da aula
2 ................................................................................................................................... 290
Figura 116: Resolução do problema 1 da aula 2 ..................................................... 291
Figura 117: Quinta etapa do arco preenchida de acordo com o problema 1 da aula
2 ................................................................................................................................... 293
Figura 118: Problema 2 da aula 2 .............................................................................. 293
Figura 119: Primeira etapa do arco preenchida de acordo com o problema 2 da
aula 2 ........................................................................................................................... 294
Figura 120: Segunda etapa do arco preenchida de acordo com o problema 2 da
aula 2 ........................................................................................................................... 295
Figura 121: Terceira etapa do arco preenchida de acordo com o problema 2 da
aula 2 ........................................................................................................................... 296
Figura 122: Quarta etapa do arco preenchida de acordo com o problema 2 da aula
2 ................................................................................................................................... 296
Figura 123: Respostas do problema 2 da aula 2 ..................................................... 297
Figura 124: Última etapa do arco preenchida de acordo com o problema 2 da aula
2 ................................................................................................................................... 298
Figura 125: Perguntas elaboradas pelos estudantes 2, 3, 5 e 6 a partir da situação
norteadora da aula 3 .................................................................................................. 307
Figura 126: Perguntas elaboradas pelos estudantes 7, 8, 9 e 10 a partir da
situação norteadora da aula 3 ................................................................................... 308
Figura 127: Perguntas elaboradas pelos estudantes 11, 12 e 13 a partir da
situação norteadora da aula 3 ................................................................................... 309
Figura 128: Problema 1 da aula 3 .............................................................................. 311

Figura 129: Primeira etapa do arco preenchida pelos estudantes 2, 3, 5 e 6 sobre o
problema 1 da aula 3 .................................................................................................. 311
Figura 130: Primeira etapa do arco preenchida pelos estudantes 7, 8, 9 e 10 sobre
o problema 1 da aula 3 ............................................................................................... 311
Figura 131: Primeira etapa do arco preenchida pelos estudantes 11, 12 e 13 sobre
o problema 1 da aula 3 ............................................................................................... 312
Figura 132: Segunda etapa do arco preenchida pelos estudantes 2, 3, 5 e 6 sobre
o problema 1 da aula 3 ............................................................................................... 313
Figura 133: Segunda etapa do arco preenchida pelos estudantes 7, 8, 9 e 10 sobre
o problema 1 da aula 3 ............................................................................................... 313
Figura 134: Segunda etapa do arco preenchida pelos estudantes 11, 12 e 13 sobre
o problema 1 da aula 3 ............................................................................................... 314
Figura 135: Terceira etapa do arco preenchida pelos estudantes 2, 3, 5 e 6 sobre o
problema 1 da aula 3 .................................................................................................. 315
Figura 136: Terceira etapa do arco preenchida pelos estudantes 7, 8, 9 e 10 sobre
o problema 1 da aula 3 ............................................................................................... 315
Figura 137: Terceira etapa do arco preenchida pelos estudantes 11, 12 e 13 sobre
o problema 1 da aula 3 ............................................................................................... 316
Figura 138: Quarta etapa do arco preenchida pelos estudantes 2, 3, 5 e 6 sobre o
problema 1 da aula 3 .................................................................................................. 317
Figura 139: Quarta etapa do arco preenchida pelos estudantes 7, 8, 9 e 10 sobre o
problema 1 da aula 3 .................................................................................................. 317
Figura 140: Quarta etapa do arco preenchida pelos estudantes 11, 12 e 13 sobre o
problema 1 da aula 3 .................................................................................................. 318
Figura 141: Resolução do problema 1 da aula 2 pelos estudantes 2, 3, 5 e 6 ...... 319
Figura 142: Resolução do problema 1 da aula 2 pelos estudantes 7, 8, 9 e 10 .... 320
Figura 143: Resolução do problema 1 da aula 2 pelos estudantes 11, 12 e 13 .... 321
Figura 144: Quinta etapa do arco preenchida pelos estudantes 2, 3, 5 e 6 sobre o
problema 1 da aula 3 .................................................................................................. 323
Figura 145: Quinta etapa do arco preenchida pelos estudantes 7, 8, 9 e 10 sobre o
problema 1 da aula 3 .................................................................................................. 323
Figura 146: Quinta etapa do arco preenchida pelos estudantes 11, 12 e 13 sobre o
problema 1 da aula 3 .................................................................................................. 324
Figura 147: Problema 2 da aula 3 .............................................................................. 325
Figura 148: Primeira etapa do arco preenchida pelos estudantes 2, 3, 5 e 6 sobre o
problema 2 da aula 3 .................................................................................................. 326
Figura 149: Primeira etapa do arco preenchida pelos estudantes 7, 8, 9 e 10 sobre
o problema 2 da aula 3 ............................................................................................... 327
Figura 150: Primeira etapa do arco preenchida pelos estudantes 11, 12 e 13 sobre
o problema 2 da aula 3 ............................................................................................... 327
Figura 151: Segunda etapa do arco preenchida pelos estudantes 2, 3, 5 e 6 sobre
o problema 2 da aula 3 ............................................................................................... 328
Figura 152: Segunda etapa do arco preenchida pelos estudantes 7, 8, 9 e 10 sobre
o problema 2 da aula 3 ............................................................................................... 328
Figura 153: Segunda etapa do arco preenchida pelos estudantes 11, 12 e 13 sobre
o problema 2 da aula 3 ............................................................................................... 329

Figura 154: Terceira etapa do arco preenchida pelos estudantes 2, 3, 5 e 6 sobre o
problema 2 da aula 3 .................................................................................................. 330
Figura 155: Terceira etapa do arco preenchida pelos estudantes 7, 8, 9 e 10 sobre
o problema 2 da aula 3 ............................................................................................... 330
Figura 156: Terceira etapa do arco preenchida pelos estudantes 11, 12 e 13 sobre
o problema 2 da aula 3 ............................................................................................... 331
Figura 157: Quarta etapa do arco preenchida pelos estudantes 2, 3, 5 e 6 sobre o
problema 2 da aula 3 .................................................................................................. 332
Figura 158: Quarta etapa do arco preenchida pelos estudantes 7, 8, 9 e 10 sobre o
problema 2 da aula 3 .................................................................................................. 332
Figura 159: Quarta etapa do arco preenchida pelos estudantes 11, 12 e 13 sobre o
problema 2 da aula 3 .................................................................................................. 333
Figura 160: Resolução do problema 1 da aula 2 pelos estudantes 2, 3, 5 e 6 ...... 334
Figura 161: Resolução do problema 1 da aula 2 pelos estudantes 7, 8, 9 e 10 .... 335
Figura 162: Resolução do problema 1 da aula 2 pelos estudantes 11, 12 e 13 .... 336
Figura 163: Quinta etapa do arco preenchida pelos estudantes 2, 3, 5 e 6 sobre o
problema 2 da aula 3 .................................................................................................. 338
Figura 164: Quinta etapa do arco preenchida pelos estudantes 7, 8, 9 e 10 sobre o
problema 2 da aula 3 .................................................................................................. 338
Figura 165: Quinta etapa do arco preenchida pelos estudantes 11, 12 e 13 sobre o
problema 2 da aula 3 .................................................................................................. 339
Figura 166: Perguntas criadas a partir da situação norteadora da aula 4............. 346
Figura 167: Mesa para o desafio do arco e problemas ........................................... 348
Figura 168: Resolução do grupo 1 ao problema 2 .................................................. 349
Figura 169: Resolução do grupo 2 ao problema 1 .................................................. 350
Figura 170: Estudantes após o desafio do arco ...................................................... 354
Figura 171: Estudantes na execução do jogo .......................................................... 358
Figura 172: Questões do jogo digital........................................................................ 360
Figura 173: Primeira etapa do arco preenchida de acordo com o jogo ................. 361
Figura 174: Segunda etapa do arco preenchida de acordo com o jogo ................ 362
Figura 175: Terceira etapa do arco preenchida de acordo com o jogo ................. 363
Figura 176: Quarta etapa do arco preenchida de acordo com o jogo ................... 364
Figura 177: Quinta etapa do arco preenchida de acordo com o jogo................... 365
Figura 178: Situação norteadora da segunda tarefa da aula 5 ............................... 366
Figura 179: Perguntas elaboradas pelo grupo 1 ..................................................... 367
Figura 180: Problema elaborado e respondido pelo grupo 1 ................................. 368
Figura 181: Arco preenchido de acordo com o problema elaborado pelo grupo 1
..................................................................................................................................... 369
Figura 182: Perguntas elaboradas pelo grupo 2 ..................................................... 369
Figura 183: Problema elaborado e respondido pelo grupo 2 ................................. 370
Figura 184: Arco preenchido de acordo com o problema elaborado pelo grupo 2
..................................................................................................................................... 371
Figura 185: Perguntas elaboradas pelo grupo 3 ..................................................... 372
Figura 186: Problema elaborado e respondido pelo grupo 3 ................................. 372
Figura 187: Arco preenchido de acordo com o problema elaborado pelo grupo 3
..................................................................................................................................... 373

Figura 188: Grupos no desenvolvimento da atividade de elaboração de problemas
..................................................................................................................................... 374
Figura 189: Gráfico das respostas da questão 1 do Questionário a Posteriori .... 379
Figura 190: Gráfico das respostas da questão 2 do Questionário a Posteriori .... 380
Figura 191: Gráfico das respostas da questão 3 do Questionário a Posteriori .... 381
Figura 192: Gráfico das respostas da questão 4 do Questionário a Posteriori .... 382
Figura 193: Gráfico das respostas da questão 5 do Questionário a Posteriori .... 383
Figura 194: Gráfico das respostas da questão 6 do Questionário a Posteriori .... 383
Figura 195: Gráfico das respostas da questão 7 do Questionário a Posteriori .... 384
Figura 196: Gráfico das respostas da questão 8 do Questionário a Posteriori .... 385
Figura 197: Gráfico das respostas da questão 9 do Questionário a Posteriori .... 386
Figura 198: Gráfico das respostas da questão 10 do Questionário a Posteriori .. 387
Figura 199: Respostas da questão 11 do Questionário a Posteriori ..................... 387
Figura 200: Gráfico das respostas da questão 12 do Questionário a Posteriori .. 388
Figura 201: Gráfico das respostas da questão 13 do Questionário a Posteriori .. 389
Figura 202: Gráfico das respostas da questão 14 do Questionário a Posteriori .. 389
Figura 203: Gráfico das respostas da questão 15 do Questionário a Posteriori .. 390
Figura 204: Gráfico das respostas da questão 16 do Questionário a Posteriori .. 391
Figura 205: Gráfico das respostas da questão 17 do Questionário a Posteriori .. 391
Figura 206: Gráfico das respostas da questão 18 do Questionário a Posteriori .. 392
Figura 207: Gráfico das respostas da questão 19 do Questionário a Posteriori .. 393
Figura 208: Gráfico das respostas da questão 20 do Questionário a Posteriori .. 394
Figura 209: Gráfico das respostas da questão 21 do Questionário a Posteriori .. 395
Figura 210: Gráfico das respostas da questão 22 do Questionário a Posteriori .. 395
Figura 211: Esquema da relação professor-aluno-saber com complementações411

LISTA DE QUADROS
Quadro 1: Matemática Financeira no 2° ciclo do Ensino Fundamental (PCNs) .... 125
Quadro 2: Matemática Financeira no 2° ciclo do Ensino Fundamental (PCNs) .... 126
Quadro 3: Competências específicas da Matemática para o Ensino Fundamental
de acordo com a BNCC (BRASIL, 2018) e o Currículo de Pernambuco para o
Ensino Fundamental (PERNAMBUCO, 2019) ........................................................... 129
Quadro 4: Conteúdos que estão interligados na Matemática Financeira no Ensino
Fundamental: BNCC (BRASIL, 2018) e Currículo de Pernambuco (PERNAMBUCO,
2019) ............................................................................................................................ 130
Quadro 5: Competências e habilidades de conteúdos que envolvem Matemática
Financeira no Ensino Médio na BNCC (BRASIL, 2018) e no Currículo de
Pernambuco para o Ensino Médio (PERNAMBUCO, 2021) .................................... 138
Quadro 6: Planejamento tarefa de ambientação e aula 1 ....................................... 191
Quadro 7: Situação norteadora da tarefa de ambientação ..................................... 192
Quadro 8: Molde de preenchimento do Arco de Maguerez na tarefa de
ambientação ............................................................................................................... 195
Quadro 9: Situação norteadora para o desenvolvimento do jogo da aula 1 ......... 198
Quadro 10: Planejamento da aula 2 .......................................................................... 201
Quadro 11: Situação norteadora da aula 2............................................................... 202
Quadro 12: Planejamento da aula 3 .......................................................................... 203
Quadro 13: Situação norteadora da aula 3............................................................... 205
Quadro 14: Planejamento da aula 4 .......................................................................... 206
Quadro 15: Situação norteadora da aula 4............................................................... 207
Quadro 16: Planejamento da aula 5 .......................................................................... 209
Quadro 17: Categorização de análise para os elementos do Contrato Didático .. 214
Quadro 18: Categorias de análise envolvendo a Ação Comunicativa ................... 215
Quadro 19: Categorias de análise envolvendo o Discurso Pedagógico ............... 215
Quadro 20: Etapas do Arco de Maguerez e da Resolução de Problemas e a sua
categorização para análise dos dados ..................................................................... 216
Quadro 21: Recorte da transcrição da fala inicial do professor na aula 1 ............ 235
Quadro 22: Recorte da transcrição do momento do primeiro momento de
renegociação na aula 1 .............................................................................................. 237
Quadro 23: Situação norteadora da tarefa de ambientação (aula 1) ..................... 237
Quadro 24: Recorte da transcrição das falas dos grupos durante a criação das
perguntas na tarefa de ambientação ........................................................................ 239
Quadro 25: Recorte da transcrição dos estudantes na leitura do problema 2 na
tarefa de ambientação ............................................................................................... 250
Quadro 26: Recorte da transcrição da fala dos estudantes no primeiro contato
com o problema 3....................................................................................................... 257
Quadro 27: Situação norteadora para o segundo momento da aula 1 .................. 273
Quadro 28: Recorte da transcrição da discussão dos estudantes sobre a segunda
situação norteadora da aula 1 ................................................................................... 274
Quadro 29: Recorte da transcrição do momento inicial da aula 2 ......................... 281
Quadro 30: Recorte da transcrição do momento de negociação da aula 2 .......... 281
Quadro 31: Situação norteadora da aula 2............................................................... 282

Quadro 32: Recorte da transcrição do questionamento feito pelo professor no
primeiro contato dos estudantes com a situação norteadora da aula 2 ............... 283
Quadro 33: Recorte da transcrição do momento de negociação do Contrato
Didático na aula 3 ....................................................................................................... 303
Quadro 34: Situação norteadora da aula 3............................................................... 304
Quadro 35: Recorte da transcrição do momento de questionamento sobre a
situação norteadora da aula 3 ................................................................................... 305
Quadro 36: Recorte da transcrição do momento de negociação do Contrato
Didático na aula 4 ....................................................................................................... 343
Quadro 37: Situação norteadora da aula 4............................................................... 345
Quadro 38: Recorte da transcrição do primeiro do contato dos estudantes com a
situação norteadora da aula 4 ................................................................................... 345
Quadro 39: Transcrição do momento de resolução do problema 1 pelo grupo 2 351
Quadro 40: Recorte da transcrição do momento do desafio do arco.................... 352
Quadro 41: Recorte da transcrição do momento inicial da aula 5 ......................... 357

SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO...........................................................................................

26

INTRODUÇÃO.................................................................................................

28

1

CAPÍTULO I: TEORIAS QUE ALICERÇAM A PESQUISA.................

34

1.1

A Teoria das Situações Didáticas.....................................................

34

1.1.1

A Teoria das Situações Didáticas e o ensino de Matemática em
estudos brasileiros.............................................................................

38

1.1.2

O conceito de mediação.....................................................................

42

1.2

Noção de Contrato Didático..............................................................

43

1.2.1

Características do Contrato Didático................................................

46

1.2.2

Negociações, regras, rupturas e renegociações.............................

49

1.2.3

Efeitos do Contrato Didático.............................................................

51

1.2.4

O Contrato Didático e o ensino de Matemática em estudos
brasileiros............................................................................................

1.3

A teoria da ação comunicativa de Habermas nas práticas
docentes e as implicações para o Contrato Didático......................

1.4

53

58

O discurso pedagógico e as tensões geradas pela ação
comunicativa de professores e alunos para o Contrato Didático:
as contribuições da teoria de Basil Bernstein.................................

1.5

As correlações entre Contrato Didático, a ação comunicativa e o
discurso pedagógico do professor...................................................

2.

66

73

CAPÍTULO II: A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E O ARCO DE
MAGUEREZ........................................................................................

77

2.1

Os tipos de tarefas no Ensino de Matemática.................................

77

2.1.1

Tipos de problemas matemáticos....................................................

90

2.1.2

Problema ou situação-problema: o que é realmente aplicado no
ensino de Matemática........................................................................

2.2

82

As concepções sobre a Resolução de Problemas e o Arco de
Maguerez.............................................................................................

84

2.2.1

Contexto histórico da Resolução de Problemas.............................

2.2.2

A Resolução de Problemas no NCTM e no PISA: parâmetros,
competências e habilidades..............................................................

2.2.3

84

87

A importância do uso da Resolução de Problemas no ensino de
Matemática..........................................................................................

91

2.2.4

O ensino de Matemática com a Resolução de Problemas..............

95

2.2.5

Processos e estratégias: as etapas de Resolução de Problemas.

99

2.2.6

A Resolução de problemas enlaçada com o Arco de
Maguerez.............................................................................................

2.2.7

107

As dificuldades dos alunos com a Resolução de Problemas no
ensino de Matemática........................................................................ 116

3

CAPÍTULO III: A MATEMÁTICA FINANCEIRA.................................

3.1

Elementos históricos da Matemática Financeira e sua inserção

120

no currículo de Matemática na Educação Básica...........................

120

3.2

Análise dos livros didáticos do PNLD e a Matemática Financeira.

143

4.

CAPÍTULOIV

-

PROCEDIMENTOS

METODOLÓGICOS

E

O

PRODUTO EDUCACIONAL................................................................
4.1

184

Abordagem, tipo de pesquisa e instrumentos de coleta de
dados...................................................................................................

184

4.2

Lócus da pesquisa e sujeitos envolvidos........................................

186

4.3

A concepção do Produto Educacional e sua aplicação..................

188

4.4

Método de análise de dados: a construção de ferramentas e
análise de dados.................................................................................

213

5.

CAPÍTULO V: RESULTADOS E DISCUSSÕES DOS DADOS..........

218

5.1

Embasamento para apresentação, resultados e discussões dos
dados...................................................................................................

218

5.2

Questionário a Priori .........................................................................

219

5.3

Resultados e discussões da aula 1...................................................

235

5.3.1

Tarefa de ambientação.......................................................................

235

5.3.2

Autoavaliação da tarefa ambientação..............................................

272

5.3.3

Jogo de tabuleiro................................................................................

273

5.3.4

Autoavaliação do jogo........................................................................

277

5.3.5

Autoavaliação dos aspectos gerais da aula.....................................

278

5.4

Resultados e discussões da aula 2...................................................

280

5.4.1

Autoavaliação 1 da aula 2..................................................................

297

5.4.2

Autoavaliação 2 da aula 2..................................................................

300

5.5

Resultados e discussões da aula 3...................................................

303

5.5.1

Autoavaliação 1 da aula 3..................................................................

340

5.5.2

Autoavaliação 2 da aula 3..................................................................

341

5.6

Resultados e discussões da aula 4...................................................

343

5.6.1
5.6.2

Autoavaliação 1 da aula 4..................................................................
Autoavaliação 2 da aula 4..................................................................

353
355

5.7

Resultados e discussões da aula 5...................................................

356

5.7.1

Autoavaliação 1 da aula 5..................................................................

375

5.7.2

Autoavaliação 2 da aula 5..................................................................

376

5.8

O questionário a Posteriori................................................................

378

CONSIDERAÇÕES FINAIS.................................................................

397

REFERÊNCIAS....................................................................................

412

APÊNDICES.........................................................................................

427

ANEXOS...............................................................................................

478

ANEXO A..............................................................................................

479

ANEXO B..............................................................................................

485

ANEXO C..............................................................................................

486

ANEXO D..............................................................................................

487

ANEXO E..............................................................................................

488

ANEXO F..............................................................................................

490

ANEXO G.............................................................................................

494

ANEXO H..............................................................................................

598

26

APRESENTAÇÃO

Trajetória do pesquisador, motivações e opções teóricas

Em um primeiro momento pontuamos como relevante tratar do percurso
acadêmico do pesquisador, já que a pesquisa é fruto de suas pretensões e escolhas
feitas ao longo dessa trajetória. Todo trabalho nasce de um compilado de experiências,
assim, durante o seu percurso na Educação Básica, o pesquisador, e hoje professor,
desenvolveu encanto pela busca de conhecimentos, sempre destacando aptidão pela
área das Ciências Exatas desde os anos iniciais do Ensino Fundamental, quando ainda
era estudante de uma escola na zona rural no município de Jupi, interior do Estado de
Pernambuco. Nos anos finais do Ensino Fundamental, quando passou a estudar

em

uma escola da zona urbana do mesmo município, a sua aptidão pela Matemática ficou
ainda mais em evidência, no desenvolvimento de suas tarefas na disciplina, nas notas e
no envolvimento nas feiras de Matemática, recebendo medalhas, algumas vezes.
Desse modo, ainda na Educação Básica, sempre era solicitado para que
ajudasse os seus colegas que apresentavam dificuldades nas tarefas de Matemática,
nascendo, assim, o desejo pela docência. Por esse viés, sua escolha pela Licenciatura
em Matemática aconteceu na última série dessa etapa de escolaridade. No curso de
Licenciatura em Matemática, na Universidade de Pernambuco (UPE), encantou-se pela
Educação Matemática, nascendo o desejo de pesquisar nessa área no Trabalho de
Conclusão de Curso (TCC), sendo apresentadas por uma professora a Teoria das
Situações Didáticas e as noções de Contrato Didático e de Variável Didática.
Nesse sentido, devido ao tempo dedicado à disciplina de Trabalho de Conclusão
de Curso na graduação, 30 horas, não foi possível pesquisar sobre Contrato Didático,
apenas variável didática com a análise de livros didáticos. Assim, o desejo do iniciante
pesquisador ainda ficou pendente. Mais tarde, com a especialização, teve contato com
a Resolução de Problemas e com o intuito de entrar em um Programa de PósGraduação, pensou em somar as ideias abordadas no Contrato Didático e na
Resolução de Problemas em um único estudo, uma vez que a partir da Resolução de
Problemas observou que os papéis e funções dos parceiros em uma situação didática

27

ficava em evidência e o conhecimento poderia ser construído pelo próprio estudante a
partir da intervenção do professor, da sua mediação e que a partir de ações bem
pensadas não seria necessário que o professor facilitasse as tarefas dos estudantes,
evidenciando Efeitos Perversos do Contrato Didático.
Por esse viés, após entrar no Programa de Pós-graduação em Ensino de
Ciências e Matemática (PPGECIM) da Universidade Federal de Alagoas, utilizando o
projeto com as ideias mencionadas anteriormente, encantou-se ainda mais pela Teoria
das Situações Didáticas e do Contrato Didático, diante da disciplina Didática da
Matemática

Francesa

e

Cognição

Matemática

ministrada

pela

professora

doutoraCláudia de Oliveira Lozada (orientadora desta dissertação). A professora
supracitada em muitas aulas da disciplina destacava o apreço pelo projeto apresentado
pelo estudante, sendo convidada pelo discente para ser sua orientadora. A partir do
aceite da orientadora, ela destacou a inserção de outras teorias para o desenvolvimento
do estudo: Teoria da Ação Comunicativa, Teoria do Discurso Pedagógico e a
metodologia da problematização com a utilização do Arco de Maguerez.
Por esse viés, ao tratar do Arco de Maguerez, a orientadora destacou a
necessidade de um ensino e aprendizagem que considere situações a partir da
realidade, com o intuito de, ao resolverem problemas, os estudantes esboçarem suas
percepções sobre o que está sendo investigado a partir de processos de leitura,
interpretação, análise, resultados e reflexões. Como contribuinte, ainda destacou a
importância das falas, dos tipos de perguntas, pois, assim, seria pertinente uma maior
análise das ações discursivas, destacando para isso a Ação Comunicativa e o Discurso
Pedagógico.

Diante disso, pontuamos que, para tratar do Contrato Didático,

consideramos as ideias expostas por Brousseau (1986, 1997, 2008); para a Ação
Comunicativa o que é salientado por Habermas (1998) e outros; para a Teoria do
Discurso Pedagógico as ideias de Bernstein (1996) e outros; para a Resolução de
Problemas o que abordado na literatura internacional e nacional com destaque para
Brito (2012) e Proença (2018); por fim, para a metodologia da problematização por meio
do Arco de Maguerez, os escritos de Berbel (2012) e Bordenave e Pereira (2015).

28

INTRODUÇÃO
A Matemática se caracteriza por ser uma Ciência que estuda relações,
desenvolvendo ao longo do tempo sistemas de representações e modelos de análise,
que possibilitam a interpretação de determinados eventos e fenômenos. Dessa
maneira, o ensino da matemática é uma parte essencial da educação, sobretudo,
quando são consideradas as exigências da sociedade moderna, uma vez que esta
sociedade é “permeada por tecnologias de base científica e por crescente acúmulo de
troca de informações, é consenso reconhecer que as competências matemáticas se
tornaram um imperativo” (PERNAMBUCO, 2008, p.71).
Por muito tempo a sociedade foi impregnada por uma formação escolar, cujo
ensino era caracterizado pelo enfoque no acúmulo de informações fragmentadas e
socialmente irrelevantes, o que configura uma educação bancária, como afirma
Bordenave e Pereira (2015). Assim sendo, um processo de ensino baseado no método
de transmissão dos conhecimentos, de acordo com os Parâmetros para a Educação
Básica do Estado de Pernambuco (PERNAMBUCO, 2012), era, sem dúvida, a
concepção mais encontrada nas salas de aula.
Em contrapartida, as atuais propostas pedagógicas – metodologias diversificadas
–, em vez da mera transferência de conteúdo, apontam para outra vertente, que
valoriza a interação do aluno com o objeto de estudo através da mediação por parte do
professor, ou seja, alunos e professor passam a ser considerados sujeitos didáticos no
processo de construção de saberes. Todos esses pontos são considerados por nós
importantes para aquisição do conhecimento por parte do estudante e o papel
fundamental que o professor ocupa nas situações de ensino e aprendizagem.
Nessa perspectiva, a aprendizagem em Matemática está ligada à compreensão,
isto é, à construção de significados relativos aos conceitos de saber. Logo, aprender o
significado de um objeto pressupõe enxergá-lo relacionando-o a outros objetos e
eventos. Espera-se dessa maneira que os resultados do trabalho escolar possam
ultrapassar os limites da sala de aula gerando benefícios à sociedade (ALMEIDA,
2009). Nesse sentido, a escola faz parte de um sistema de ensino, cujo objetivo é fazer
com que os alunos se apropriem dos saberes que devem ser ensinados e que

29

influenciam na construção da cidadania, conforme proposto Base Nacional Comum
Curricular – BNCC (BRASIL, 2018).
Menezes (2006) define o sistema de ensino como um sistema aberto, tendo em
vista que existem relações entre esse sistema e um ambiente mais amplo: o social. Isto
posto, pais, pesquisadores, instituições, estabelecem entre si inter-relações, as quais
influenciam tal sistema. Ainda segundo esse autor, esse sistema tem seu “coração” no
sistema didático, em que se configura a relação triangular que envolve o professor, o
aluno e o saber que se pretende que seja ensinado (e aprendido). A essa relação
triangular, Brousseau (1986) chamou relação didática.
De acordo com Chevallardet al. (2001) uma relação didática se estabelece a
partir do momento em que algumas pessoas se deparam com um problema, cuja
resposta não seja evidente, e decidem fazer algo para resolvê-lo. Portanto, em face do
que fora pontuado, a pesquisa empenhada justifica-se pela necessidade de adentrar no
campo de interação aluno-professor-saber, fazendo proposições, de maneira que seja
possibilitado a cada um desses componentes da relação didática o cumprimento de seu
papel e que a construção de saberes aconteça considerando o ativismo do estudante.
Assim sendo, alguns estudos que tratam do Contrato Didático (SANTOS, 2005;
SOUZA, 2010; OLIVEIRA, 2016; ELOI, 2019) salientam que existem regras do Contrato
Didático: o professor apenas fazendo a transmissão do conteúdo e o estudante como
receptor e que algumas ações dos estudantes vão além do que é esperado pelo
professor, gerando, assim, rupturas do contrato e, logo, renegociações.Nesse sentido,
esta pesquisa se mostra relevante por poder proporcionar ao pesquisador uma melhor
compreensão da dinâmica de uma aula, de maneira que seja capaz de traçar caminhos
mais eficazes para a construção de saberes, tomando o estudante como sujeito ativo
nesse processo.
Sendo esse nosso propósito, é cabível investigar a noção de Contrato Didático e
averiguar o seu funcionamento na prática, em uma aula de Matemática no Ensino
Médio. Desse modo, a nossa opção por esta temática representa um esforço de fuga de
metodologias que concebem o aluno como mero receptor passivo. Para isso, será
analisado o rompimento de algumas regras de Contrato Didático – que se caracteriza
por ser o conjunto de atitudes do professor esperado pelos alunos e o conjunto de

30

atitudes dos alunos esperado pelo professor –, através de uma proposta de tarefa
utilizando a Resolução de Problemas envolvendo Matemática Financeira.
A escolha da Resolução de Problemas se explica pelo fato de ser considerada
por muitos pesquisadores - Onuchic e Allevato (2012), Brito (2010), Proença (2012,
2018) – como uma proposta pedagógica atual que promove a aprendizagem
significativa dos alunos, tornando-o um indivíduo ativo na construção do seu
conhecimento. Diante da aplicação dessa proposta pedagógica, pretendemos investigar
os comportamentos dos estudantes e como acontecem suas aprendizagens, quando
existe uma metodologia diferente do habitual em jogo. Para investigar esses
comportamentos, utilizaremos outros pontos considerados importantes na relação
professor-aluno: mediação pedagógica, ação comunicativa e o discurso pedagógico.
Em relação ao conteúdo matemático, foi eleito Matemática Financeira como o
saber em jogo, por se tratar de uma parte da Matemática que está intimamente ligada
ao cotidiano de cada pessoa e é, assim, amplamente aplicada na prática, fato que
consideramos importante na utilização do Arco de Maguerez - o ensinar e aprender a
partir da realidade. Outro ponto importante a ser considerado é que esse conteúdo, com
a proposta do Novo Ensino Médio, vem sendo colocado em livros didáticos aprovados
pelo Programa Nacional do Livro Didático (PNLD), como projeto integrador.
Contudo, o conteúdo não será abordado de maneira tradicional – consideramos
tradicional o uso abusivo de exercícios, sem nenhuma relação com o contexto em que
os alunos estão inseridos. Desse modo, quando há mudanças nos modelos de tarefas
propostas – aqui consideramos que há uma transgressão de um dos envolvidos na
relação didática e acontece uma ruptura de um Contrato Didático anteriormente
evidenciado – surge grande dificuldade por parte dos alunos, fazendo com que os
professores tomem atitudes “incorretas”, o que reflete nos Efeitos Perversos do
Contrato Didático, como está elencado no tópico de Fundamentação Teórica.
No entanto, com a utilização de uma abordagem para o ensino e a promoção da
aprendizagem

focada

na

Resolução

de

Problemas,

na

Ação

Comunicativa,

consideramos que esses efeitos podem ser evitados e que a aprendizagem pode
acontecer de maneira mais abrangente, dado que, além de enfatizarmos o uso da
Resolução de Problemas como proposta nas aulas de Matemática e tentarmos validá-

31

la, consideramos um ensino que seja permeado pela realidade do aluno (Arco de
Maguerez) e suas interações comunicacionais. Vale destacar ainda que, na utilização
da Resolução de Problemas, também destacamos aqui os processos cognitivos
realizados por cada estudante para chegar a uma solução e que a postura do professor
em todo o processo é de fundamental importância para a construção de saberes pelos
próprios aprendizes.
Como problema de pesquisa, apresentamos a seguinte indagação:A partir da
proposição de uma Sequência Didática por meio da Resolução de Problemas e do
manuseio do Arco de Maguerez para tratar de Matemática Financeira, de que maneira é
possível explicar a ressignificação de saberes de alunos da 3ª série do Ensino Médio,
tomando como base a Ação Comunicativa, o Discurso Pedagógico, o Contrato Didático
e seus elementos?
Considerando o problema de pesquisa proposto, delineamos as seguintes
hipóteses de pesquisa:
Com base em estudos anteriores sobre Contrato Didático e considerando que,
quando um novo tipo de tarefa diferente do habitual entra em cena, os estudantes
apresentam uma certa dificuldade para resolução, havendo uma quebra de contrato
inicialmente evidenciado, supomos que serão visíveis as rupturas e as renegociações
do Contrato Didático. Nesse sentido, para que os estudantes não apresentem
“fracasso” em uma tarefa proposta, o professor tende a facilitar essa resolução,
recorrendo a atitudes equivocadas; quanto a isso, é possível que tornem evidentes os
Efeitos Perversos do Contrato Didático proposto por Brousseau. No entanto, com uma
atitude correta do professor, tomando como base a Ação Comunicativa, será possível
evitar esses efeitos, fazendo, assim, com que a aprendizagem por parte dos estudantes
aconteça e que as regras de Contrato Didático anteriormente instaurados saiam de
cena. A respeito da ressignificação dos saberes, ela será possível diante da
organização de situações favoráveis de ensino, que permitam a aprendizagem, ficando
em evidência as responsabilidades e funções do professor e dos estudantes: o
professor o organiza o ambiente, utiliza de meios para isso, age como mediador; o
estudante, é responsável pela execução de suas tarefas, manipula dados na busca de
solução de problemas, entre outros.

32

Sendo assim, esta pesquisa tem como objetivo geral investigar, a partir da
proposição de uma Sequência Didática utilizando a Resolução de Problemas sobre
Matemática Financeira e o manuseio do Arco de Maguerez, as negociações, regras,
rupturas e renegociações do Contrato Didático, bem como a fuga dos efeitos perversos
do Contrato Didático, e as contribuições para ressignificação desaberes, tomando como
base a Ação Comunicativa e o Discurso Pedagógico em uma turma da 3ª série do
Ensino Médio.Para se alcançar o objetivo geral, traçamos os seguintes objetivos
específicos:


Analisar possíveis rupturas e renegociações das regras de Contrato

Didático estabelecidas em relação à resolução do tipo de tarefa proposto envolvendo
Matemática Financeira;


Identificar, a partir dos procedimentos, ações e atitudes empregadas pelo

professor, a fuga dos efeitos de Contrato Didático com relação à resolução do tipo
tarefa envolvendo Matemática Financeira;


Analisar o processo de aprendizagem pelo aluno em relação ao saber em

jogo, por meio do seu papel desempenhado em interação com o professor durante a
realização do tipo de tarefa proposto.
Deste modo, esta dissertação está organizada em cinco capítulos. No Capítulo I,
tratamos do aporte teórico que fundamenta a pesquisa, focando na Teoria das
Situações Didáticas, na noção de Contrato Didático, da Teoria da Ação Comunicativa e
da Teoria do Discurso Pedagógico. No Capítulo II, abordamos sobre aos tipos de
tarefas matemáticas, os tipos de problema, história da Resolução de Problemas,
concepções de diversos pesquisadores, o Arco de Maguerez e a sua utilização na
Resolução de Problemas, as dificuldades na Resolução de Problemas de acordo com
pesquisas anteriores. No Capítulo III, tratamos da Matemática Financeira nos
documentos norteadores da Educação Básica e o que é abordado sobre ela em livros
didáticos aprovados pelo Programa Nacional do Livro Didático (PNLD). No CapítuloIV,
trazemosos procedimentos metodológicos para a coleta e análise de dados e o Produto
Educacional. E no Capítulo V, apresentamos a análise dos dados com sua respectiva
discussão, mostrando os resultados alcançados.

33

Por fim, esboçamos as considerações finais da pesquisa, demonstrando as
contribuições e direcionamentos para pesquisas futuras acerca da temática que não
foram foco do presente trabalho, mas que servirão para expandi-lo posteriormente.

34

CAPÍTULO I
TEORIAS QUE ALICERÇAM A PESQUISA
Neste capítulo abordamos o aporte teórico que fundamenta esta dissertação – a
Teoria das Situações Didáticas, o Contrato Didático, a Teoria da Ação Comunicativa e a
Teoria de Basil Bernstein -, trazendo as ideias e analisando quais pontos são relevantes
para a alicerçar a presente pesquisa.
1.1. A Teoria das Situações Didáticas
Para iniciar este estudo, antes de mais nada, é preciso identificar na concepção
de Guy Brousseau – que concebeu a Teoria das Situações Didáticas junto com
colaboradores – o que é uma situação, que, para ele “é um modelo de interação de um
sujeito com um meio determinado” (BROUSSEAU, 2008, p. 21). Por esse viés,
considerando o meio como um desafio, um problema, um exercício, é dito que “a
situação didática é todo contexto que cerca o aluno, nele incluídos o professor e o
sistema educacional” (BROUSSEAU, 2008, p. 21).
Nesse sentido, é visível que existe uma interação/relação entre aluno e
professor, e para Brousseau (2008), ela só se torna didática quando um dos envolvidos
manifesta interesse em remodelar o sistema de conhecimento do outro. Da mesma
maneira, é assentado por Kuzniak (2004) que uma situação didática “é uma situação
em que o desejo de ensinar se manifesta direta ou indiretamente” (p. 19, tradução
nossa). Com isso, Brousseau (1997) coloca que se um indivíduo quer ensinar um
determinado conhecimento, ele utiliza meios para isso.
Assim, considerando os meios que são utilizados para que o conhecimento
possa emergir e que eles provocam situações, é importante ressaltar que a
construção/aquisição de um conhecimento – aprendizagem – ocorre pela adaptação do
indivíduo que faz a assimilação do meio através da situação, ou seja, a aprendizagem
acontece no decorrer das situações (BROUSSEAU, 2008).
Dessa maneira, é colocada por Brousseau (1997, 2008) uma abordagem da
classificação das situações didáticas, a saber: situação de ação, situação de

35

formulação, situação de validação e, por fim, através de uma necessidade, a situação
de institucionalização. Para evidenciar essas situações, foram utilizadas por Brousseau
(1997, 2008) as fases descritas em uma lição “Quem vai dizer 20?”que tinha por
objetivo revisar as operações de divisão, utilizando uma maneira diferente de tarefas
anteriores.
De acordo com Brousseau (1997, 2008) uma situação de ação é identificada
quando depois de o estudante analisar o meio – desafio, problema, jogo – que lhe é
colocado, ele toma algumas decisões, desenvolve estratégias – razões que o levam a
seguir um caminho ou outro. Para ser mais específico, “a sucessão de situações de
ação constitui o processo pelo qual o aluno vai aprender um método de resolução de
um problema” (BROUSSEAU, 2008, p. 25).
Por conseguinte, a situação de formulação ocorre quando há uma comunicação
entre os indivíduos que estão envolvidos na resolução de um problema. Enquanto um
discente está na situação de ação – tomando decisões, desenvolvendo estratégias –
outro pode estar observando o que está acontecendo e recolhendo informações, para
que, assim, cheguem à conclusão de que aquele caminho que possivelmente podem
seguir levará à resolução ou não, ou seja, “a formulação de um conhecimento
corresponderia a uma capacidade do sujeito de retomá-lo” (BROUSSEAU, 2008, p. 29).
Assim, quem está observando pode concordar ou não com as estratégias.
A situação de validação acontece quando se tenta comprovar o que foi feito ou
invalidar o que foi elaborado pelo adversário – isso acontece no momento em que “cada
equipe cria e propõe um enunciado” (BROUSSEAU, 2008, p. 26). Nesse sentido, esse é
o momento de fazer demonstrações, a fim de convencer o outro sobre o que fora
elucidado “o aluno não só deve comunicar uma informação, como também precisa
afirmar que o que diz é verdadeiro dentro de um sistema determinado;deve sustentar
sua opinião ou apresentar uma demonstração” (BROUSSEAU, 2008, p. 27).
Por fim, com o decorrer de algumas experiências, nasceu a situação de
institucionalização que ocorre quando estudantes e professores dão a “determinados
conhecimentos o status cultural indispensável do saber” (BROUSSEAU, 2008, p. 31).
Assim, se faz necessário colocar na visão do teórico o que é conhecimento e o que é
saber: “conhecimento é uma imagem cultural de compreensão, um meio de reconhecê-

36

lo e gerenciá-lo, como o saber é uma forma de reconhecimento e gestão de
conhecimento” (BROUSSEAU, 1997, p. 22, tradução nossa).
Para mais, é pertinente apontar aqui a respeito das situações adidáticas, que
também são elucidadas por Brousseau (1997, 2008). Esta acontece quando é colocado
um determinado problema para o estudante, e ele o toma como seu, atuando em busca
de soluções. É abordado por Brousseau (2008) que os estudantes não podem resolver
de imediato qualquer situação adidática, no entanto, o professor pode apresentar as
que eles podem solucionar.
Visto isso, quando falamos de situação didática estamos falando de uma relação
entre professor-aluno-saber, como já elucidado nos primeiros parágrafos desse tópico.
De acordo com Brousseau (2008), muitas obras simbolizam a situação de ensino
baseado em um triângulo, como exposto na figura 1, logo abaixo:
Figura 1: Triângulo de uma situação de ensino

Fonte: Brousseau (2008, p. 54)

No entanto, essa situação de ensino colocada por alguns autores esboça o
entorno didático baseado na ação do professor e não considera as relações do
estudante/sujeito com o meio didático (BROUSSEAU, 2008). Nesse sentido, foi
elencado que o professor precisa considerar, em relação aos conhecimentos que
ensina, não só as circunstâncias que possuem relação com as situações com fins

37

didáticos e, desse modo, é criado um novo esquema em que o aluno possa atuar de
maneira autônoma, como exposto na figura 2 abaixo:
Figura 2: Esquema que coloca o aluno como sujeito autônomo

Fonte: Brousseau (2008, p. 54)

Com isso, é importante considerar as posições do docente e do discente em
relação a esse meio que está ligado à situação didática. Segundo Brousseau (2008), as
interações do professor ou do aluno com o meio são diferentes; para que seja encarado
esse meio, são tomadas decisões de acordo com regras, estratégias e conhecimentos,
e a atuação ocorre em função das informações que um indivíduo recebe ou interpreta.
Para mais, foram apontados por Brousseau (2008) dois tipos de meio, a saber: o
meio material e o meio objetivo. O meio material é considerado quando o docente
prepara sua aula e nela estão incluídas regras que atestam o sucesso ou o fracasso do
aluno; nele o professor deve considerar as interações do sujeito (aluno) com o meio
para, então, chegar ao meio objetivo, em que o sujeito (aluno) é considerado como um
ser que atua, ou seja, “o meio objetivo é mobilizado por situações de ação”
(BROUSSEAU, 2008, p. 58).
Ainda foi pontuado por Brousseau (2008) que as relações do estudante com o
meio podem ser classificadas em três categorias – troca de informações não
codificadas ou sem linguagem, essas são identificadas pelas ações e decisões; troca de
informações codificadas ou com linguagem, acontecem por meios de mensagens; por
fim, a troca de opiniões. Essas categorias estão relacionadas às classificações dos

38

tipos de situações didáticas que já foram apontadas nos primeiros parágrafos deste
tópico.
Dessa maneira, é enfatizado por Brousseau (1997, 2008) que o indivíduo
aprende corrigindo suas ações e, assim, ele se envolve em uma situação de
aprendizagem. A situação de aprendizagem está no cerne da construção de saberes.
Portanto, é necessário considerar que o estudante é o administrador das situações de
aprendizagem, tendo a ajuda do professor. O professor é o sujeito que se posiciona
como aquele que ensina. Assim, as interações entre docente e discente, estabelecendo
relações entre conhecimentos é o que constitui as situações didáticas.
Nesse sentido, consideramos a Teoria das Situações Didáticas como uma
proposta que foi criada para ajudar no processo de ensino e aprendizagem. À vista
disso, elencamos o que a Teoria das Situações Didáticas aborda de acordo com a
concepção de Guy Brousseau; no subtópico a seguir esboçaremos o que alguns
autores brasileiros escrevem sobre a Teoria das Situações Didáticas e o ensino de
Matemática.

1.1.1 A Teoria das Situações Didáticas e o ensino de Matemática em estudos
brasileiros
A Teoria das Situações Didáticas foi objeto de estudo em inúmeras pesquisas
brasileiras. Nesse sentido, aqui apontaremos o que alguns pesquisadores brasileiros
escreveram sobre a teoria, bem como sua influência no ensino de Matemática.
Pais (2002) afirma que uma situação didática acontece com o objetivo de
desenvolver atividades orientadas para o ensino e para a aprendizagem, e é
estabelecida por relações pedagógicas entre professor-aluno-saber. Também é
considerado pelo autor que esses três elementos – professor, aluno e saber –
caracterizam o espaço de uma sala de aula. Com isso, se não existe um dos
constituintes, não é configurada como uma situação didática: quando envolve aluno e
saber, sem a presença do professor, pode ser configurado uma situação de estudo;
quando não há a valorização de um conteúdo, existe, apenas, uma reunião entre
docente e discente.

39

Dessa maneira, Pais (2002) coloca que um aspecto também importante nas
situações didáticas é como acontece a apresentação do conteúdo de maneira que
tenha importância para o aluno, ou seja, um vínculo com a realidade. Por esse viés, o
autor esboça que “a teoria das situações é colocada a partir da questão que consiste na
forma de apresentação do conteúdo, buscando um campo de significado do saber para
o aluno” (PAIS, 2002, p. 66).
Para Teixeira e Passos (2013), a Teoria das Situações Didáticas é um campo da
Didática da Matemática que tem como finalidade fazer progredir o ensino de
Matemática nas salas de aula da Educação Básica em que o professor, respaldado
nela, orienta o estudante no desenvolvimento de novos saberes. Ainda para esses
autores, essa teoria argumenta a respeito de maneiras de como pode ser apresentado
um determinado conteúdo matemático para os alunos. Com essa postura, a Teoria das
Situações Didáticas veicula a melhoria nos processos de ensino e de aprendizagem da
Matemática.
Por esse viés, Moçambite (2016) pontua que o professor de Matemática
oportuniza situações de aprendizagem no momento em que cria uma situação que
permite aos alunos a possibilidade de construir seus conhecimentos. Também é
considerado pelo autor que as situações didáticas são protótipos que descrevem as
atividades do docente e do discente, ou seja, tem por finalidade representações de
situações de ensino e aprendizagem cabíveis, para que a tomada de ações do
estudante acarrete na construção do seu conhecimento.
Dessa maneira, o autor acrescenta que as situações didáticas propostas por
Brousseau são possíveis como proposta didática no ensino e na aprendizagem da
Matemática:
Pois nos permitem criar ou simular situações, com recursos didáticos que
favorecem a interação entre os alunos e entre estes e o professor, e levam o
aluno a tomar decisões, fazer escolhas por este ou aquele conhecimento
matemático em busca de adaptar-se ao meio criado por essa situação e
avançar em sua aprendizagem. (MOÇAMBITE, 2016, p. 44)

Assim, é apontado por Souza (2011) que professor e aluno têm papéis diferentes
numa situação de ensino e aprendizagem de acordo com a Teoria das Situações
Didáticas. O professor deve formular situações de ensino que façam com que os
estudantes se apropriem do saber que está sendo construído, e que o aluno deve ser

40

um investigador nesse processo, criando, formulando, testando hipóteses e
socializando modelos (SOUZA, 2011).
As relações entre professor-aluno-saber são representadas em algumas
pesquisas brasileiras (OLIVEIRA, 2010; SOUZA, 2011; ALMEIDA, 2016; ALMEIDA,
2019) por meio de um triângulo equilátero, que foi chamado de Triângulo das Situações
Didáticas; nele, cada vértice representa um dos elementos que constituem essa
relação, como podemos ver na figura 3:
Figura 3: Triângulo das Situações Didáticas

Fonte: Oliveira (2010, p. 13)

Esse triângulo de acordo com o que é elucidado nas pesquisas, foi adaptado
conforme o que foi exposto por Brousseau (1997, 2008) – Figura 1 e Figura 2 no tópico
anterior. Em face dos estudos de autores brasileiros (OLIVEIRA, 2010; SOUZA, 2011;
ALMEIDA,

2016;

ALMEIDA,

2019),

essa

representação

triangular

permite

interpretações diversas: relação professor-saber, relação professor-aluno, relação
aluno-saber e relação professor-aluno-saber.
É importante mencionar que, no vértice em que está inserido o estudante, o meio
tem que ser considerado, uma vez que para Almeida (2019) as interações do estudante
com o meio constituem o sistema de ação, e através dessas ações o aluno adquire
informações que podem ajudá-lo na tomada de suas decisões.
Vale declarar que todas as pesquisas citadas nesse subtópico tratam da Teoria
das Situações Didáticas no ensino e aprendizagem da Matemática. Também são
expostas nas pesquisas (PAIS, 2002; SOUZA, 2011; TEIXEIRA; PASSOS, 2013;

41

MOÇAMBITE, 2016; ALMEIDA, 2019) as Tipologias das Situações Didáticas: situação
de ação, de formulação, de validação e de institucionalização.
Almeida (2019) considera que na situação de ação existe uma interação do aluno
com o meio na tomada de decisões, uma vez que é o momento de ele buscar
estratégias para a resolução de algo. Do mesmo modo, é colocado por Moçambite
(2016) que na “situação de ação prevalece a intuição, o raciocínio implícito” (p. 44).
Para Souza (2011), nessa situação o aluno toma iniciativas para que sua atividade fique
organizada. Conforme Teixeira e Passos (2013), os estudantes simulam e tomam
decisões para a resolução de um problema.
A formulação, para Souza (2011), tem por finalidade a comunicação de
informações entre os discentes. Segundo Moçambite (2016), ocorre quando, durante
um jogo, os estudantes que estão trabalhando em equipe comunicam as estratégias de
sucesso com os seus pares. De acordo com Almeida (2019), essa comunicação entre
os pares pode ser de maneira oral ou escrita, e não há necessidade obrigatória de
utilizar uma linguagem matemática.
A validação, diferente do que fora pontuado sobre a formulação, o estudante faz
uso da linguagem formal, a fim de demonstrar a veracidade das estratégias que foram
utilizadas (ALMEIDA, 2019). Da mesma maneira, é apontado tanto por Moçambite
(2016) como por Souza (2011) que, nessa situação, tenta-se convencer o outro do que
foi utilizado na resolução de algo.
A última tipologia colocada é a institucionalização, que é quando “o
conhecimento se torna objetivo e universal” (MOÇAMBITE, 2016). Conforme é colocado
por Almeida (2019), essa situação surge com a necessidade de o professor rever os
momentos anteriores com os alunos, antes de ir para outras atividades. Por esse viés,
para Souza (2011), este é o momento das convenções formais, ou seja, o saber
construído adota um significado social.
Para mais, também são apontadas nessas pesquisas, as situações adidáticas,
que, de acordo com Souza (2011), são aquelas em que o estudante tem autonomia
para a solução de uma determinada situação que lhe foi proposta, mas sem a
intervenção do professor. Para Pais (2002), “uma situação adidática se caracteriza pela
existência de determinados aspectos do fenômeno de aprendizagem, nos quais não

42

tem uma intencionalidade pedagógica direta ou controle didático por parte do professor”
(p. 68).
Lozada (2007), a partir dos estudos realizados sobre a Teoria das Situações
Didáticas concebeu a situação híbrida que inclui o “procedere” da cultura escolar, o
saber, num momento a-didático, fora do ambiente escolar, pontuando que a situação
híbrida está num sistema autodidático.
Assim, é pertinente mencionar que as situações didáticas fazem parte do
processo de ensino e aprendizagem da Matemática, porém não são rígidas e fixas.
Outro ponto relevante, é considerar que nessas situações há uma interação entre
professor-aluno, uma vez que estamos tratando de situações que acontecem dentro de
um sistema em que existem personagens diferentes, cada um com funções e papéis
diversificados. Falar do papel do docente, é mencionar as suas atitudes e
comportamentos, o que nos leva a discorrer a respeito da mediação no processo de
ensino e aprendizagem. Nesse sentido, no subtópico a seguir, traremos a definição de
mediação, já que a consideramos de grande relevância para essa pesquisa.

1.1.2 O conceito de mediação
De acordo com Huberman (1999), a qualidade no processo de ensino e
aprendizagem, está ligada a algumas dimensões, entre elas situações relacionadas à
ação do professor no ambiente da sala de aula. Huberman (1999) destaca que, durante
algum tempo, mas especificamente no século XIX, era papel do professor conduzir a
aprendizagem, sendo dele a total responsabilidade sobre a questão da aquisição do
conhecimento pelo aluno. Entretanto, isso tem mudado e o docente passou a ser visto
como um sujeito que tem o dever de proporcionar aos estudantes oportunidades de
aprendizagem,

estimulando

o

protagonismo

dos

alunos

na

construção

do

conhecimento.
Nesse sentido, escrever sobre as situações de ensino e aprendizagem nos
remete a apontar sobre o conceito de mediação nas ações que circundam o fazer
pedagógico. Assim, abordaremos aqui sobre o conceito de mediação pedagógica, uma
vez que estamos nos referindo ao relacionamento professor-aluno, quando se buscam
e/ou oportunizam momentos de aprendizagem.

43

Segundo Masetto (2000), entende-se por mediação pedagógica as atitudes e
comportamentos do docente, que tem por finalidade incentivar e motivar a
aprendizagem, colocando uma ponte entre o sujeito que aprende e a sua
aprendizagem, que colabore de maneira ativa para que o aluno chegue aos seus
objetivos. Ainda de acordo com Masetto (2000), as maneiras como se expõe um
determinado conteúdo ajudam o sujeito aprendente na coleta de informações e no seu
relacionamento com elas – organização, manipulação, discussão – até chegar à
construção de saberes; saberes estes que ajudam na compreensão de sua realidade
humana e social.
É preciso apontar que o professor não é o único personagem numa situação
didática que tem funções e responsabilidades. Por esse viés, é exposto por Masetto
(2000) que a mediação pedagógica emprega que o sujeito aprendiz é o ator nas
atividades que admitem aprender e atingir seus objetivos. Desta forma, vale salientar
que que o conceito de mediação pedagógica nasceu no contexto da pedagogia
progressista – que tem por finalidade levar o estudante a refletir e desenvolver o espírito
crítico e criativo nos processos de aprendizagem, levando-o a ser um sujeito
participativo na vida em sociedade -, e que caracteriza uma nova relação professoraluno.
Diante dos escritos de Masetto (2000), algumas características são atribuídas a
mediação pedagógica, a saber: colaboração no estabelecimento de conexões entre
conhecimentos adquiridos e novos conhecimentos; cooperação para que o sujeito
aprendiz use e comande meios para sua aprendizagem; garantia da dinâmica no
processo de aprendizagem; o incentivo de reflexões; orientação nos processos de
aprendizagem quando o aprendente não consegue fazê-lo sozinho; entre outros. Assim,
mencionar a respeito de mediação pedagógica quando se trata de situações de ensino
e aprendizagem é fator indispensável, uma vez que elenca o papel do professor e do
aluno na dinâmica de uma sala aula.
Todos os pontos assentados neste texto até o momento nos levam a falar de
Contrato Didático, pois de acordo com Brousseau (1997, 2008), este diz respeito às
atitudes do professor que são esperadas pelo aluno, bem como as atitudes do aluno
que são esperadas do professor, sendo assim possível falar, de maneira mais

44

detalhada, sobre as funções de cada indivíduo em situações didáticas, considerando
um conteúdo – saber – em questão.

1.2 Noção de Contrato Didático
A ideia inicial de contrato surgiu quando Brousseau (1986, 1997, 2008)
mencionou em suas obras as responsabilidades existentes entre um sistema que
ensina (emissor), um que aprende (receptor), e um terceiro sistema que foi chamado de
meio. De acordo com o autor, essas responsabilidades se encontram inicialmente na
emissão do conhecimento, ou seja, na comunicação. É pertinente dizer que essas
responsabilidades podem ser explícitas ou implícitas.
Antes de definir Contrato Didático, é essencialcolocar, queBrousseau (1997,
2008) apontou outros tipos de contratos que nascem da ideia de quando há a emissão
do conhecimento sem intenção didática, como também contratos que são considerados
fracamente didáticos em um conhecimento novo.
Os contratos que são apontados como aqueles que não têm intenção didática
são: o contrato da emissão, esse acontece quando o emissor envia uma mensagem
sem se preocupar como o receptor a recebe; ele pode ser visto em aulas quando existe
apenas a fala do professor, sem levar em conta o que os alunos expõem, ou seja,
podemos dizer que é contrato da transmissão; no contrato da comunicação, o
transmissor emite a mensagem, leva em conta se o receptor está prestando atenção e
a repete caso seja solicitado, no entanto, a interpretação do que foi transmitido –
mensagem – é de responsabilidade do receptor; o contrato da especialização, ocorre
quando o emissor garante a validade do que expõe, ou seja, ele torna aquilo como
verdade – um teorema; o contrato da produção, ocorre quando o transmissor garante
uma novidade na sua mensagem, ou seja, mostra um novo teorema e mostra aquilo
como verdade absoluta (BROUSSEAU, 1997, 2008).
Nesse sentido, podemos observar que nos contratos que são considerados sem
intenção didática, a responsabilidade de transmissão está baseada no emissor –
professor -, e não há nenhuma participação do receptor – aluno. Já nos contratos que
são considerados fracamente didáticos em um conhecimento novo – veremos nos
parágrafos a seguir, diferentemente do que foi abordado no anterior –, o receptor

45

começa a aparecer com algumas responsabilidades, e o emissor a organizar sua
mensagem.
Os contratos fracamente didáticos são divididos em: contrato da informação, no
qual o emissor tanto apresenta a novidade da sua mensagem, como sua validação, e
se importa como o receptor a recebe, mostrando suas fontes e referências – se for
solicitado pelo receptor; o contrato para uso do conhecimento, em que há uma
novidade e ele substitui o anterior, caracteriza-se por quem informa ter a
responsabilidade de mostrar a quem recebe a informação a utilidade do conhecimento
que está expondo e se o receptor não entende, pode perguntar; o contrato da iniciação
ou do controle, no qual o informante dá ao informado um critério para saber se ele
entendeu corretamente a mensagem, podem ser atribuídos alguns problemas para que
sejam resolvidos de acordo com o que foi passado; no contrato de instrução ou direção
de estudos, o emissor – diretor -, começa a indicar como um conhecimento pode ser
aprendido, propondo uma série de exercícios e considerando que o conhecimento pode
ser construído através deles, e permite que os receptores – alunos – avaliem sua
aprendizagem (BROUSSEAU, 1997, 2008).
Com isso, como afirmado por Brousseau (1997, 2008), nos contratos fracamente
didáticos, o receptor – estudante – tem uma responsabilidade inicial na construção de
saberes. Nos contratos que não tinham intenção didática, não era considerado como o
receptor recebia uma determinada mensagem, tampouco se ele a compreendia; já nos
contratos fracamente didáticos, há uma comunicação entre o emissor e o receptor, e
quem recebe pode interferir no recebimento dessa mensagem, ou seja, se lhe é
adequada ou não.
Com as exposições acima, levando em consideração que o receptor – estudante
– não pode ser um mero ser passivo na recepção de uma mensagem e que ambos –
emissor e receptor – têm responsabilidades numa situação que envolve a construção
de saberes, chegamos ao Contrato Didático. De acordo com Kuzniak (2004), a noção
de Contrato Didático é um tema central na Teoria das Situações Didáticas, e coloca em
contato o sistema que ensina – professor - e o sistema ensinado – aluno.
Jonnaert e Borht (2002) explicam que um contrato aparece a partir de uma
negociação que envolve elementos diversificados, ou seja, podemos dizer que é um

46

acordo prévio sobre o agir em um determinado espaço. Para ser mais específico, um
contrato presume uma relação entre sujeitos, com o intuito de estabelecer um diálogo e
chegar a um comum acordo. Com isso, vale salientar que existem contratos diversos no
sistema educativo e para que não haja confusão, é pertinente apontar a diferença entre
Contrato Pedagógico e Contrato Didático.
De acordo com Filloux (1974) – que tem seus estudos também citados no trabalho
deBrousseau (2008) –, o Contrato Pedagógico diz respeito às relações entre professor
e estudantes, que têm por finalidade direcionar o processo de ensino e aprendizagem,
no entanto, nele não é considerado um saber específico; ou seja, é algo mais amplo
que estabelece direitos e deveres de professor e alunos na execução de trocas por um
determinado período. Nesse sentido, o Contrato Pedagógico se diferencia do Contrato
Didático, quando se tem a entrada de um saber específico na relação docente-discente.
Diferente do que é colocado nos parágrafos anteriores a respeito dos contratos
sem intenção didática e dos contratos fracamente didáticos, o Contrato Didático
aparece com a modificação do receptor – aluno. Essa modificação do aluno está
centrada em uma ação por parte do professor, e a legitimidade da ação necessita de
algumas condições: que o conhecimento comunicado não deve ser uma produção, ou
seja, uma invenção do professor; que o conhecimento não deve ser um registro simples
de informação; e que essa ação termina quando o professor toma suas próprias
decisões (BROUSSEAU, 1997).
Assim, é elucidado por Kuzniak (2004) que, na prática de uma sala de aula, as
atitudes e comportamentos específicos tanto do professor como do estudante
permitirão a gestão do ensinar e, com isso, Brousseau (1986) já tinha assentado que as
ações do professor esperadas pelos alunos e os procederes do aluno esperados pelo
professor são o que se chama de Contrato Didático que:
É o conjunto de regras que determinam uma pequena parte explicitamente,
mas, sobretudo implicitamente, o que cada parceiro da relação didática deverá
gerir e aquilo que, de uma maneira ou de outra, ele terá de prestar contas
diante do outro. Este sistema de obrigações recíprocas se assemelha a um
contrato. O que nos interessa é o contrato didático, quer dizer a parte do
contrato que é específica ao conteúdo: o conhecimento matemático visado.
(BROUSSEAU, 1986, p. 51, tradução nossa)

Por sua vez, Lozada (2007) denomina de gestão da situação didática e a
classifica da seguinte maneira: gestão entre sujeitos (alunos e alunos, alunos e o

47

professor), gestão entre o sujeito e o objeto (neste caso, o objeto éo saber), gestão
entre sujeitos e a instituição e gestão entre o objeto e a instituição. Para a autora, a
gestão da situação didática implica numa forma de administrar tal situação e intervir
quando necessário para que os objetivos propostos sejam alcançados.
Nesse sentido, podemos esboçar que o Contrato Didático está no centro das
situações de ensino e aprendizagem e pode ser apresentado diante da configuração
exposta na figura 4. Nela, assim como discutido em tópicos anteriores, consideramos o
professor, o estudante e o saber como elementos centrais em uma situação didática,
destacando a relação professor-saber, professor-aluno e aluno-saber, como podemos
ver:
Figura 4: O Contrato Didático nas situações de ensino e aprendizagem

Fonte: Elaborada pelo autor da dissertação (2002)

A noção de Contrato Didático foi discutida e aprofundada por Brousseau em
estudos sequentes (1986, 1997, 2008), e como colocado em outros parágrafos diz
respeito ao conjunto de comportamentos dos envolvidos em uma situação didática,
quando se tem um saber em jogo. Assim, é preciso apontar que o Contrato Didático tem
características e, levando isso em consideração, no tópico a seguir trataremos dessas
características.

48

1.2.1 Características do Contrato Didático
De acordo com Kuzniak (2004) o Contrato Didático é determinado pela
distribuição de responsabilidades do aluno e do professor, na tomada de decisão frente
à aprendizagem. Vale mencionar que essas responsabilidades podem ser implícitas ou
explícitas. Também é colocado por Kuzniak (2004) que o Contrato Didático “não é um
contrato real com cláusulas especificando a natureza do saber que será ensinado” (p.
28, tradução nossa).
Brousseau (1997, 2008) expõe que não é possível chegar a um acordo em um
Contrato Didático entre o aluno e o professor. Nesse sentido, é pertinente apontar que
em um Contrato Didático o que se pode analisar são as ações de cada um dos
envolvidos em uma situação didática, bem com suas funções e quais são as estratégias
da prática pedagógica. Sabemos que a função do professor em uma situação didática é
a

de

oportunizar

momentos

de

aprendizagem,

não

sendo

apenas

um

comunicador/transmissor do conhecimento, mas que seja considerado como o aluno
reage quando um novo saber entra em cena.
Assim, chegamos ao que Brousseau (1986, 1997, 2008) expõe, ao afirmar que
um Contrato Didático tem por finalidade a possibilidade de transição de uma situação
didática para uma situação adidática – quando o estudante toma o problema como seu
e vai em busca de soluções. Por esse viés, Kuzniak (2004) aponta que o professor
nesse processo age sobre dois aspectos: primeiro, oportuniza situações personalizadas
e contextualizadas para dar vida ao conhecimento e, seguindo, deve fazer o contrário –
descontextualizar e despersonalizar o conhecimento - para que não esteja ligado a uma
situação específica e essa ligação possa ser feita pelo estudante.
Desse modo, para justificar essas ações do professor, que podem ser
consideradas opostas e contraditórias, Brousseau (1997, 2008) apresenta dois
componentes considerados essenciais do Contrato Didático: a devolução e a
institucionalização.
Na devolução, o professor terá por objetivo fazer com que o aluno entre uma
situação adidática, ou seja, que a resolução de um determinado problema seja de
responsabilidade do estudante. Além disso, “devolução é o ato pelo qual o professor faz
com que o aluno aceite, epode aceitar, para atuar em uma situação adidática”

49

(BROUSSEAU, 1997, p. 41, tradução nossa). Na devolução o professor não deve
intervir com o intuito de mostrar a solução para o aluno.
O

segundo

elemento

considerado

essencial

no

Contrato

Didático

–

institucionalização – diz respeito à passagem do conhecimento de uma situação
vivenciada e descontextualizada, para uma situação contextualizada que pode ser
utilizada em outros momentos de aprendizagem. Brousseau (1997, 2008) expressa que
após a passagem de um conhecimento utilizando a resolução por meio da situação de
ação, de formulação e de validação, chega-se ao momento de tomar esse
conhecimento como referência para usos futuros, sendo eles pessoais ou coletivos.
Vale salientar que o contrato apresenta negociações, regras, rupturas e
renegociações. Nesse sentido, apresentaremos como esses elementos se mostram em
um Contrato Didático, já que não é um contrato físico com cláusulas a serem seguidas.
1.2.2 Negociações, regras, rupturas e renegociações
Como mencionado nos tópicos anteriores, de acordo com Brousseau (1986,
1997, 2008), o Contrato Didático não é algo físico, nesse sentido as regras e
convenções que funcionam como cláusulas nesse tipo de contrato, raramente são
explícitas, ou seja, são na maioria implícitas e podem ser identificadas no momento de
suas transgressões. Desse modo, as negociações de um Contrato Didático são
majoritariamente implícitas e não são enxergadas pelos parceiros de uma situação
didática.
Também já foi visto que um Contrato Didático é identificado como o conjunto de
ações dos envolvidos em uma Situação Didática, considerando o saber que vai ser
ensinado (BROUSSEAU, 1986). Com isso, o conjunto de regras que podem ser
explícitas ou implícitas, é identificado de acordo com a forma como os sujeitos agem
nessa situação. Podemos citar duas situações distintas em que as regras são vistas de
maneiras diferentes: uma aula em que o professor faz o uso abusivo da exposição, com
definições, exemplos, exercícios, e outra aula em que os alunos realizam as atividades
propostas e são colocados frente às tipologias das situações didáticas – ação,
formulação, validação, institucionalização – a fim de concretizar o “conceito” trabalhado.

50

O conjunto de regras é diferente em cada uma dessas situações, ou seja, elas
dependem do gerenciamento nas práticas de uma sala de aula.
As regras de um Contrato Didático ficam mais visíveis quando há mudanças
nesse contrato e que acontece a ruptura e a renegociação – é preciso muitas vezes que
isso ocorra para que aconteça aprendizagem. Para ficar mais claro, a ruptura de um
Contrato Didático acontece quando o docente resolve abordar um novo conteúdo não
como sempre trabalhou – aula expositiva com definição, exemplos, exercícios -, mas
com uma situação-problema em que o aluno tem que trabalhar sozinho ou em dupla,
até chegar à institucionalização – tipo de situação didática essencial no contrato
didático – do conceito que está sendo construído.
Nesse sentido, podemos dizer que, quando isso acontece, o Contrato Didático
vigente em uma sala foi transgredido por um dos indivíduos – no caso o professor. Com
essa transgressão, alguns comportamentos dos estudantes podem mudar, uma vez que
o processo de ensinar mudou. As ações dos estudantes colocam em evidência que
existiam regras vigentes – mesmo que implícitas – internalizadas. Essas regras
implícitas são: a espera da explicação do professor para começar a resolver o que foi
proposto, as respostas de uma tarefa sempre são conhecidas pelo professor – o aluno
responde e o professor corrige -, as soluções sempre são simples, não se tem relação
entre o que é proposto e o que é vivido no cotidiano. Vale salientar que o estudo do
Contrato Didático visa a aprendizagem do estudante.
Em suma, quando a transgressão acontece, um contrato sai de cena e entra
outro; quando o processo de ensino e aprendizagem é mudado, o contrato é
renegociado. Vale considerar que essa renegociação, na maioria das vezes, passa
despercebida. A adaptação dos estudantes em um novo contrato não é fácil. Para ficar
mais claro, algumas regras explícitas de um Contrato Didático podem ser: a atividade
pode ser desenvolvida em dupla ou individual, a produção da dupla deve ser
apresentada, entre outras. Essas regras configuram a negociação do contrato e muitos
dos estudantes podem não as entender e tomar atitudes diferentes do que foi colocado,
momento em que haverá renegociações.
Vale reafirmar que as negociações, regras, rupturas e renegociações podem ser
implícitas e explícitas e podem ser identificadas com um olhar criterioso da dinâmica de

51

uma sala de aula. Citamos aqui dois exemplos de Contrato Didático em que podem ser
identificadas algumas regras: um em que a exposição magistral na sala de aula partia
do professor, outro que coloca o aluno como protagonista no desenvolvimento de sua
aprendizagem. Esses exemplos aqui citados foram tomados como base nos estudos de
Chevallard (1988), em que fez uma análise didática de uma experiência vivenciada.
É necessário mencionar que, nesta pesquisa, com a proposta da tarefa
matemática utilizando a Resolução de Problemas, poderemos enxergar em nossas
análises, regras implícitas e explícitas de um contrato anterior, bem como o momento
de rupturas quando propusermos a tarefa. Cada Contrato Didático depende de como a
proposta de ensino está sendo colocada.
Desse modo, em ambas as situações das regras de Contrato Didático, colocadas
por nós, quando o docente acha que o seu ensino pode fracassar ele pode recorrer a
algumas atitudes inesperadas, que foram consideradas por Brousseau (1986, 1997,
2008) como os Efeitos Perversos do Contrato Didático. Com isso, dedicaremos o
próximo tópico para a escrita sobre esses efeitos.

1.2.3 Efeitos do Contrato Didático
Kuzniak (2004) coloca que, quando o ensino falha, o docente tenta manter que a
aprendizagem aconteça recorrendo a alguns efeitos do Contrato Didático. Nos estudos
de Brousseau (1986, 1997, 2008) são descritos alguns efeitos.Falaremos de alguns
aqui neste tópico.
O efeito Topázio e o controle da incerteza que é colocado por Brousseau (1986,
1997, 2008) recebeu esse nome devido a uma cena de uma peça de teatro chamada
Topaze de Marcel Pagnol, que ilustra um ditado a um estudante que não consegue
realizar a tarefa com maestria. Nele, é colocado que o indivíduo que dita não aceita
erros grandes de quem vai responder o problema, no entanto, “sugere” a resposta para
que o sujeito que vai responder não falhe, uma espécie de “spoiler”. Essa sugestão de
resposta acontece quando são colocadas para o sujeito que vai responder um problema
explicações abundantes, pequenos truques, técnicas de memorização, entre outros.
Kuzniak (2004) pontua que “este processo reflete em um colapso do ato de ensinar,

52

uma vez que o professor cuidou da maior parte do processo de aprendizagem” (p.29,
tradução nossa).
Outro

efeito é o Jourdain,

também

conhecido

como

o mal-entendido

fundamental.Recebeu esse nome devido a uma cena em que um mestre de filosofia
revela a Jourdain o que é prosa ou vogal. Esse efeito é considerado por Brousseau
(1986, 1997, 2008) como uma maneira do efeito Topazio. Nesse efeito, é colocado que
“o professor, para evitar o debate de conhecimento com o aluno e possivelmente a
descoberta de falha, admite reconhecer o índice acadêmico em comportamentos ou
respostas do aluno” (BROUSSEAU, 1997, p. 36, tradução nossa). Ou seja, o aluno
mostra que fez algo e o professor declara que aquilo está correto, tornando a
manifestação do aluno como a construção do saber científico.
O efeito Deslize Metacognitivo acontece quando, segundo Brousseau (1986,
1997, 2008), uma atividade de ensino falha, e o professor justifica por que isso
aconteceu e continua sua ação, utiliza explicações próprias e não o conhecimento
como de fato é. Brousseau (1997) expõe que este pode não ser “um erro didático em
si, desde que a substituição seja temporária e que não se repita” (p. 36, tradução
nossa). A substituição que é colocada é a de “um objeto de ensino, em vez de
verdadeiro conhecimento matemático” (BROUSSEAU, 1997, p. 36, tradução nossa).
No mau uso da Analogia, outro efeito do Contrato Didático, o professor busca
sempre fazer relação com coisas ou fatos distintos. Brousseau (1986, 1997, 2008)
coloca um exemplo de que, se um aluno falhar em sua aprendizagem, o professor
retoma o conteúdo, no entanto, o professor sempre ten a usar situações-problema que
são parecidas – antigo e novo -, mesmo que tente se esconder essa semelhança, os
estudantes vão em busca da solução que já tinha se dado anteriormente. Nesse
comportamento dos estudantes, é visível que eles identificaram pistas, ou seja, esse
efeito “é um meio formidável de produzir efeitos Topázio” (BROUSSEAU, 1997, p. 38,
tradução nossa).
O último efeito encontrado nos escritos de Brousseau (1986, 1997, 2008) é a
Situação de Envelhecimento de Ensino, que acontece quando um professor, tende a
repetir a mesma situação de ensino em momentos diversificados, ou seja, a mesma
história, mesma sucessão de atividades, mesma exposição. Vale salientar que esses

53

Efeitos do Contrato Didático foram expostos por Brousseau já há alguns anos, e que
outros efeitos podem ser enxergados na dinâmica de uma sala de aula. Nesse sentido,
um dos nossos objetivos neste estudo é a fuga desses efeitos, dado que consideramos
a Resolução de Problemas como abordagem de ensino e aprendizagem e Ação
Comunicativa como contribuinte nas ações do professor na tentativa de fazer uma
mediação assertiva.
Vale salientar que, quando há uma ruptura de Contrato Didático – quando há
mudanças no processo de ensino –, as atitudes dos envolvidos em situação didática
muda, e, para que o ensino não falhe, o professor pode recorrer a “estratégias” que são
vistas como esses efeitos elencados por Brousseau (1986, 1997, 2008).

1.2.4 O Contrato Didático e o ensino de Matemática em estudos brasileiros
O Contrato Didático tem sido alvo de muitos estudos nas últimas décadas no
Brasil (PAIS, 2002; SANTOS, 2005; ARAÚJO, 2009; OLIVEIRA, 2010; SOUZA, 2011;
DEGRAVA, 2013; POMMER; POMMER, 2013; ALMEIDA, 2016; ARRUDA, 2018; ELOI,
2019)1. Todas as pesquisas anteriormente citadas retratam a dinâmica na sala de aula
de Matemática. Propomo-nos, neste tópico, a elucidar o que é colocado em cada
pesquisa sobre a temática.
Pais (2002) relata em seu livro “Didática da Matemática: uma análise da
influência francesa” que o Contrato Didático se configura como as obrigações imediatas
e recíprocas que são estabelecidas entre docente e discente, e que essas obrigações
vão além do espaço da sala de aula, e coloca que uma das principais características
desse tipo de contrato é que suas regras nem sempre estão explícitas. Também é
evidenciado que as regras são enxergadas quando acontece de serem rompidas por
uma das partes envolvidas nesse contrato. Nesse livro também é considerada a
diferença de Contrato Pedagógico e Contrato Didático.
Quando fala de ruptura, o autor coloca que esta pode acontecer quando o
estudante mostra desinteresse pela resolução de um problema proposto pelo professor,
1

Algumas das pesquisas utilizadas neste tópico foram encontradas por meio de uma Revisão Sistemática
da Literatura (RSL) realizada pelo autor desta dissertação e a sua orientadora, a qual foi publicada em
formato de artigo pela Revista de Educação Matemática e Tecnológica – EM TEIA e encontra-se
disponível no link: https://periodicos.ufpe.br/revistas/emteia/article/view/250806 .

54

pois, mesmo que não se tenha uma regra explícita ou implícita que preveja como o
aluno deva agir para responder o problema, o esperado é que ele se envolva com a
situação. O pesquisador ainda destaca que o conjunto de regras de um Contrato
Didático resulta de várias influências, entre elas: as ações do professor frente às
situações de ensino, as crenças que o professor carrega e o modelo de ensino
utilizado.
Santos (2005), em seu estudo dissertativo, investigando os procedimentos
utilizados por alunos de 8ª série (atual 9° ano) na resolução de problemas envolvendo
área do paralelogramo, utilizou a noção de Contrato Didático como suporte teórico e
menciona que por meio dela é possível investigar a atitude dos alunos frente a um
saber em jogo. A autora salienta que as regras de Contrato Didático tanto podem ser
evidenciadas em livros didáticos como em procedimentos utilizados pelos estudantes,
uma vez que os comportamentos dos discentes são vistos como indícios de um único
funcionamento.
É mencionado que “um problema, envolvendo área do paralelogramo requer uma
solução numérica e nos problemas que envolvem cálculos da área do paralelogramo, o
lado tomado como base é o que se encontra na posição horizontal” (SANTOS, 2005, p.
137), ao tratar disso, é destacado que essas regras do Contrato Didático instauradas no
livro didático, influenciam no comportamento dos alunos:por vezes não são respeitadas
e que o aluno não resolve uma questão ou apresenta dificuldades na resolução dos
problemas, isto é, existe um bloqueio.
Assim sendo, uma outra regra do Contrato Didático mencionada é que “o
professor aplica um teste, logo após o expor determinado conteúdo, o aluno deverá
usar esse conhecimento para resolver outras questões propostas” (SANTOS, 2005, p.
138). Sobre isso, é destacado que o aluno deveria responder as questões utilizando o
que foi passado para ele, no caso os problemas de área do paralelogramo por meio da
fórmula, no entanto, isso não aconteceu na maioria dos casos.
Oliveira (2010), em sua dissertação de Mestrado, com o objetivo de investigar as
diferenças na negociação do Contrato Didático entre professores e alunos na sala de
aula de Matemática, tendo como saber em cena a Álgebra, coloca que o Contrato
Didático não se reduz ao sentido estrito da palavra “contrato”, uma vez que, em um

55

ambiente de sala de aula, as partes que envolvem uma situação didática são mais
complexas de ser claramente elencadas. O autor explica que a ideia de Contrato
Didático não caminha no sentido de ser um documento que pode ser feito com o
professor e seus alunos, com suas regras bem definidas, mas que é “na implicitude de
suas regras que ele nos revela toda a sua sutileza em gerenciar as relações didáticas
dentro da sala de aula, entre os elementos da tríade (professor-aluno-saber)”
(OLIVEIRA, 2010, p. 143). Na sua pesquisa, como regras do Contrato Didático, o autor
cita que na investigação feita era citado que as equações tinham que ter uma letra e
isso foi caracterizado como uma regra implícita do contrato.
No estudo de Almeida (2009), tendo como finalidade analisar como se
estabelece o Contrato Didático na relação entre professor e alunos do 8° ano do Ensino
Fundamental, considerando o saber algébrico quando está em cena,a pesquisa foi
realizada com dois professores de Matemática e seus respectivos alunos deduas
escolas públicas de uma mesma cidade. Diante das análises, foi destacado no estudo
que na aula de umprofessor era valorizado o diálogo e era procurado um equilíbrio
entre regras e decisões, isto é, o professor tinha interesse em construir um ambiente
favorável na relação didática; já ooutro professor considerava uma Matemática mais
voltada para os números, sem valorizar ocontexto. Com isso, já percebemos que são
contratos diferenciados em ambas as turmas. Tratando-se das regras do Contrato
Didático, algumas são evidenciadas, já que o aluno é colocado apenas como um
espectador e osprofessor faz explicações abusivas. Assim, é importante destacar que,
mesmo inicialmente os docentes do estudo apresentando atitudes diferentes, chegou
um momento em que as açõeseram as mesmas: o professor utilizando-se apenas da
transmissão sem considerar como oestudante está recebendo as informações.
Araújo (2009), com o objetivo de analisar os fenômenos didáticos em sala de
aula com um olhar para a relaçãoentre Contrato Didático e metacognição na resolução
de problemas de Álgebra, detectou que o contrato didático posto em questão
inicialmente foi rompido. Porém, para que isso acontecesse, foi necessário um
redirecionamento sugeridopelos problemas propostos.É salientado pelo pesquisador
que para uma tarefa diferente do habitual cumprir o seu papel nas situações de ensino,

56

é preciso que haja mudanças nos contratos já estabelecidos, principalmente, se estes
estiverem sempre configurados como: explicação do professor, exemplos, exercícios.
Degrava (2013), pesquisando sobre o papel das atividades investigativas para a
construção de saberes de forma crítica e reflexiva, apontou que a existência deum
Contrato Didático negociado, assim como a parceria entre professor e aluno, pode
edificare fortalecer a construção dos saberes em jogo.O investigador menciona que por
meio de uma roda de conversa, ficou combinado a participação dos envolvidos na
situação didática – professor e alunos –, e que aqueles alunos tidos como mais “fracos”
apresentaram evolução diante do estudo realizado e isso pôde ser visto diante dos
registros das atividades investigadas realizadas. É mostrado como exemplo o trabalho
realizado em equipe pelos alunos na busca do pelo conhecimento matemático na
construção de tabelas, gráficos, realizando o cálculo de porcentagem, entre outros.
Pommer e Pommer (2013), ao discutirem em um artigo a respeito da noção de
Contrato Didático na sala de aula de Matemática, afirmam que esse contrato representa
o conjunto de regras que regulam o comportamento do professor e do aluno em tarefa
de ensino e de aprendizagem, e, expõem que essas regras geralmente são implícitas,
dado que o contrato não pode ser totalmente explícito e que tais regras são visíveis
diante das ações do professor e do estudante, tendo como exemplo: explicação do
conteúdo, resolução de questão modelo (exemplo) e resolução de exercícios. Os
autores pontuam que “o contrato didático pressupõe que o professor deve ensinar, fator
incontestável;mas só pelo ato de ensino, feito pelo professor, tem como consequência
que o aluno não aprenderá Matemática” (POMMER; POMMER, 2013, p. 3), ou seja,
nem sempre ministrar uma aula, desencadeia a aprendizagem de conteúdos
matemáticos pelos alunos, pois depende de vários fatores como interesse do aluno,
defasagens em conteúdos que ancoram a aprendizagem de novo conceito, metodologia
empregada para abordar o conteúdo, entre outros. Por esse viés, o aluno deve
participar de maneira ativa nas situações de aprendizagem.
Souza (2011), em sua dissertação de Mestrado, com o objetivo de investigar
como uma professora negocia o Contrato Didático na aplicação de uma sequência
didática, escreve que foram vistas algumas rupturas, destacando que quase sempre se
relacionavam com marcas de contratos anteriores, pois em atividades que os alunos

57

tinham que iniciar a sua resolução sem intervenção da professora, ela contrariava e
dava pistas para a resolução. Também foivisto que em alguns momentos a professora
dava explicações apenas para um grupo de estudantes e não para todos, o que a
autora chamou de contrato diferencial.
Para Almeida (2016), ao analisar as relações entre o contrato didático e as
organizações matemáticas e didáticas no ensino da equação do segundo grau em sua
tese de Doutorado, coloca que é por meio do Contrato Didático que se pode descobrir o
dinamismo de uma relação didática. Ao analisar as aulas de dois professores, o
pesquisador menciona o Contrato Didático como causador das características dos
momentos didáticos, explicando que eles acontecem de maneira não sequenciada e
não controlado, justificando que o papel do contrato, entre outros, é de construir uma
relação didática dinâmica e não estática, em que seus acordos/cláusulas podem ser
modificados durante as aulas.
Com o objetivo de investigar a relação entre o Contrato Didático e a
metacognição na aprendizagem da Matemática em turmas da Educação de Jovens e
Adultos (EJA), Arruda (2018), corroborando com o que já foi colocado, esclarece que
um Contrato Didático se adapta a diferentes contextos - uma tarefa, as escolhas
pedagógicas. Para além disso, a autora expõe que as análises do estudo mostraram
que o ContratoDidático estabelecido pela professora não permitia avanços quanto às
reflexões em relação às aprendizagens dos estudantes. Ainda salienta que isso se dava
devido à postura da professora, sendo possível enxergar duas regrasexistentes do
contrato: a prioridade estava na explicação do conteúdo e as questões pontuadaspela
professora eram na maioria respondidas por ela mesma. Nesse sentido, não foram
vistasoportunidades de reflexões sobre o que estava sendo ensinado, concluindo-se
que esta formade condução de aula contribui para um ensino entediante.
Para Eloi (2019), em sua dissertação de Mestrado, com o objetivo de analisar as
relações entre Contrato Didático Potencial presente na abordagem do livro didático e o
Contrato Didático, estabelecido entre professor e aluno, quando se tem o saber Função
Afim em jogo, tece que o Contrato Didático define os deveres dos envolvidos em uma
situação didática, mediante a gestão de um saber. A autora discute que as regras, os
efeitos e as rupturas deContrato Didático existem não só no interior de uma sala de

58

aula, mas que já vêm sendocolocadas desde a composição do livro didático, sendo
importante pontuar como o saber matemático é esboçado nesse recurso didático tão
utilizado por muitos professores.
A respeito dos Efeitos do Contrato Didático, a autora assenta sobre a presença
do Deslize Metacognitivo no livro didático, ao tratar da Função Quadrática e a influência
do coeficiente “a” na abertura da parábola, esboçando que é colocado no material que a
relação entre o coeficiente e a abertura da parábola é explorada a partir da ideia dela
ser mais fechada, não existindo uma explicação científica que assegure tal argumento.
A respeito das rupturas do contrato, a pesquisadora expõe sobre a abordagem dos
sistemas lineares, na qual as variáveis dos sistemas sempre são apresentadas pelas
letras x, y, z e w, e que em um exercício, as variáveis do sistema linear são
apresentadas pelas letras a, b, c e d e que não atende à regularidade expressa pela
regra mencionada anteriormente. Cabe salientar, que segundoEloi (2019), diante da
exposição das variáveis sempre de uma única maneira, evidencia uma regra implícita
do Contrato Didático.
Diante da discussão tecida a respeito das pesquisas citadas anteriormente, é
perceptível que elas trazem alguns pontos em comum do que é um Contrato Didático, e
de como ele é configurado, destacando como as principais regras na sala de aula, as
seguintes: a explicação feita pelo professor e o estudante como receptor do
conhecimento; alguns efeitos quando o professor facilita a tarefa do estudante; e,
tratando do livro didático, algumas regras são vistas quando é esboçado um
determinado saber de uma única maneira e que quando em um exercício a exposição é
feita de uma outra forma, gera ruptura do contrato e os estudantes apresentam
dificuldades em resolver as tarefas.
Vale salientar que, na medida em que os estudos vão sendo elaborados, ano
após ano, vai se tomando o estudo anterior como referência. Nesta pesquisa,
propusemo-nos incialmente a elucidar o que é o Contrato Didático de acordo com as
ideias de Guy Brousseau, para depois elucidarmos o que é pontuado em pesquisas
brasileiras.
Nosso estudo não está centrado em verificar apenas as negociações, regras,
rupturas e renegociações do Contrato Didático, mas em investigar como a

59

aprendizagem dos estudantes acontece com a utilização da Resolução de Problemas e
abordagens do Arco de Maguerez, considerando esses elementos, bem como as
estratégias de resolução dos alunos.
Assim sendo, resolvemos também discutir sobre pontos que consideramos
fundamentais no dinamismo da sala de aula: a Ação Comunicativa e o Discurso
Pedagógico. Para isso, dedicamos os tópicos seguintes para tratar dessas temáticas,
somando suas ideias ao que foi escrito sobre Contrato Didático.

1.3 A teoria da ação comunicativa de Habermas nas práticas docentes e as
implicações para o Contrato Didático
Quando escrevemos a respeito da dinâmica de uma sala de aula, fica visível que
falamos de um processo em que há relações entres sujeitos – aluno-aluno, professoraluno – e que essa relação é exposta por meio de uma interação. Nesse sentido, ao
considerarmos o que expõe o Contrato Didático, que de acordo com Brousseau (1986,
1997, 2008) está centrado nas ações e comportamentos dos sujeitos – docente e
discente -, é preciso, por meio de uma teoria, entender o que vem a ser a ação
comunicativa no processo de ensino e aprendizagem e quais as suas implicações para
o Contrato Didático, visto que este é assentado por uma série de constituintes:
interação, rupturas, renegociações, efeitos.
Na prática de sala aula e não só nela, os sujeitos são regidos pela comunicação
– entende-se por comunicação um processo que envolve trocas de informações e de
conhecimentos -, assim, é possível dizer que no ambiente de uma sala de aula existe
troca de informações, uma vez que o processo de comunicação acontece por dois ou
mais interlocutores, permitindo criar e interpretar determinadas mensagens. Com isso,
chegamos ao que é exposto a respeito da Teoria da Ação Comunicativa (TAC) de
Habermas.
A ação comunicativa é uma expressão designada das “manifestações simbólicas
(linguísticas e não linguísticas) com sujeitos capazes de linguagem e ação que
estabelecem relações com a intenção de se entenderem sobre algo e coordenar assim
suas atividades” (HABERMAS, 1988, p. 453).

60

Segundo Herrlein Jr (2007), a ação comunicativa acontece quando dois ou mais
sujeitos se comunicam e procuram chegar a um consenso que permite o entendimento.
E para que aconteça esse entendimento, Habermas (2014) atribuiu à linguagem essa
função, isto é, a linguagem tem o papel de gerar o entendimento interpessoal – envolve
uma ou mais pessoas. Para Gutierrez e Almeida (2013, p. 2013), a TAC “é uma teoria
que se fundamenta no conceito da ação entendida com a capacidade que os sujeitos
sociais têm de interagirem intra e entre grupos”. Para completar a ideia, é exposto por
Meireles et al. (2017, p. 100) que esta teoria “prioriza as ações de natureza
comunicativa, as quais se referem à intervenção oriunda do diálogo entre vários
sujeitos”.
Ainda segundo Meireles et al. (2017), a preocupação de Habermas foi a de
desenvolver uma teoria da racionalidade baseada no diálogo – razão comunicativa -,
que superasse as limitações da racionalidade instrumental. Para Pinto (1995), a
racionalidade-razão instrumental está estruturada no uso não comunicativo de um
conhecimento e do mesmo modo expõe que Habermas constrói um conceito de
racionalidade comunicativa intersubjetiva, melhor dizendo, uma comunicação que se
efetiva entre dois ou mais sujeitos na busca de um entendimento. Pinto (1995) justifica
o que foi colocado anteriormente utilizando as ideias de Aragão (1992), em que é
exposto que na estrutura da linguagem, seja ela qual for, mesmo a cotidiana, é
embutida uma exigência de racionalidade, pois ao se comunicar o homem revela o
desejo de ser entendido/compreendido.
Ainda segundo Pinto (1995), para Habermas, para que uma comunicação
linguística chegue a um alcance universal, é preciso abandonar a ideia egocêntrica do
mundo e unificadora – apenas uma relação sujeito-objeto -, mas que seja colocada uma
relação sujeito-objeto-sujeito.

O autor ainda esboça que, para alcançar um

entendimento decorrente da ação comunicativa, é preciso trazer a definição do contexto
em que esta ação acontece, já que o que um falante expõe é fruto de um conhecimento
acumulado culturalmente.
Nesse sentido, chegamos ao que expõe Gonçalvez (1999), ao assentar que a
comunicação entre os sujeitos, mediados por atos de fala, é estabelecida por três
mundos: mundo objetivo das coisas, mundo social das normas e instituições e mundo

61

subjetivo das vivências e dos sentimentos, e que a relação entre esses mundos está
presente nas interações sociais, isto é, o que as pessoas partilham do seu mundo
objetivo depende do sucesso ou insucesso de suas ações; a interação entre as
pessoas é orientada segundo normas sociais e, nas interações, as pessoas revelam
algo de suas vivências. Desse modo, levando isso para o que é exposto no Contrato
Didático, as normas que orientam a interação entre as pessoas definem expectativas de
comportamentos, e estes comportamentos são vistos quando elucidamos o que é
esperado pelo professor por parte do aluno e do aluno por parte do professor em uma
situação didática.
Assim, é apontado por Lima (2020) que, quando as pessoas se comunicam por
meio da razão comunicativa, esses três mundos estão envolvidos e que ainda há a
existência de um mundo maior – Mundo da Vida (MV) – em que estes outros três estão
inseridos. O MV é uma das categorias consideradas fundamentais por Habermas e
esse mundo “é o lugar das relações interpessoais, onde os indivíduos interagem a
procura de consenso” (LIMA, 2020, p. 59). Herrlein Jr (2007, p. 50) coloca como MV “a
esfera da sociabilidade mediada por valores e conhecimentos compartilhados, no seio
da qual se constitui a cultura e se forma a personalidade dos envolvidos”.
Nos escritos do próprio Habermas (1998), é evidenciado que o MV é um espaço
em que quem fala e quem ouve – falante e ouvinte – saem ao encontro, são
considerados os desejos de suas pretensões e que elas concordem com o mundo, e
que nestas pretensões podem ser criticadas as suas validades, pode-se resolver os
desentendimentos e chegar a um consenso. O consenso que até agora foi posto é visto
como o que os indivíduos podem considerar como conhecimento.
Segundo Meireles et al. (2017), no MV é onde ocorre as comunicações livres, a
linguagem é utilizada para a construção de saberes e para compreender a realidade, e
a ação comunicativa acontece em prol do diálogo e do entendimento entre os
indivíduos envolvidos. Nesse sentido, o MV está ligado à integração social. De acordo
com Meireles et al. (2017) e Lima (2020), o conceito de MV complementa a ação
comunicativa, já que acontece um conjunto de interações com a finalidade de chegar a
um entendimento.

62

Por esse viés, trazendo o que já foi posto sobre o que é a ação comunicativa e
como ela se configura e que o seu principal ponto é que ela vai contra uma
racionalidade instrumental, e que é esboçada uma racionalidade comunicativa no
entendimento de algo e consequentemente na construção de saberes, uma vez que
como é colocado por Meireles et al. (2017, p. 105), a razão comunicativa “propicia a
autonomia dos sujeitos”, podemos elucidar as contribuições dessa teoria no processo
de ensino e aprendizagem.
Silva e Gasparin (2006) expõem que as contribuições da teoria de Habermas,
considerando as relações que se dão no interior de uma sala de aula – professor e
aluno – que cada sujeito pode ser o responsável pela construção de um saber baseado
em entendimentos comunicacionais. É assentado por Meireles et al. (2017) que a
construção de saberes a partir de racionalidade comunicativa – o que é exposto na
ação comunicativa -, exige diálogo e partilha de saberes. Silva e Gasparin (2006, p. 16)
escreveram que “quanto mais o sujeito se comunica, mais ele aprende”. Com isso,
podemos dizer que a construção de saberes se dá a partir do encontro e do diálogo
entre os sujeitos e que as ideias expostas corroboram com o que expõe Martinho
(2007), que a interação em sala de aula propicia aos estudantes novas descobertas e
os ajuda a construir sua aprendizagem, sendo o professor o responsável por
potencializar as ações comunicacionais.
A TAC de Habermas coloca que “indivíduos capazes de falar e de agir se
comunicam com um objetivo de entendimento intersubjetivo e são capazes de se
emancipar individual e socialmente” (FIEDLER, 2006, p. 2006). Assim, levando isso
para a relação professor-aluno nas práticas de sala de aula, é importante colocar que a
construção de um saber não deve acontecer apenas pela transmissão de um conteúdo
feita pelo professor, mas que o professor deve proporcionar para os estudantes: o
desenvolvimento da liberdade, da emancipação e da responsabilidade (GOERGEN,
2005). Meireles et al. (2017) esboça que, nas práticas de ensino, a ação comunicativa
alcançada pelos envolvidos em uma determinada situação, deve possibilitar aos
sujeitos pensarem criticamente. Os autores ainda colocam que “a relação professoraluno na razão comunicativa, com espaço para a interação e o entendimento mútuo

63

sem coações, é fundamental para o processo ensino-aprendizagem e para o
conhecimento” (MEIRELES et al., 2017, p.107).
Lima (2020) aponta em seu texto que, para Habermas, algumas condições são
necessárias na ação comunicativa: os partícipes devem ter uma língua em comum, os
partícipes devem dispor de informações semelhantes, os partícipes devem estar
dispostos a chegar a um consenso, nenhum partícipe pode sofrer ameaça em razão de
sua participação e que cada partícipe deve ter sua vez assegurada na ação
comunicativa. Diante disso, coloca que, no dinamismo de uma sala de aula, o docente
deve se adaptar ao nível do aluno e proporcionar momentos de aprendizagem, não
deve fazer ameaças ao aluno por meio de notas e deve se utilizar de diversos canais
para se expressar. Além disso, considera ainda que tanto aluno como professor devem
carregar em mente que um tem por função aprender e o outro ensinar.
Perante o exposto, quando falamos de Contrato Didático, reitero mais uma vez,
elucidamos as ações e comportamentos do professor e do estudante no dinamismo de
uma sala de aula, melhor dizendo, os papéis/funções de cada um deles. É visto que a
ação comunicativa está centrada na interação que acontecem entre sujeitos diferentes
por meio da linguagem, com a finalidade de se entenderem e realizarem suas
atividades. Foi visto também que na ação comunicativa têm que ser considerados os
elementos que constituem a cultura dos indivíduos e que cada sujeito pode ser
autônomo na construção do seu conhecimento, construção esta alicerçada na
racionalidade comunicativa.
Assim sendo, é pertinente apontar que a didática comunicativa vem como uma
maneira de dinamizar a aprendizagem e o ensino, e que o papel do professor não é
daquele que conhece tudo e sua função não é apenas transmitir conhecimento, ele tem
o dever de conhecer, orientar e acompanhar o desenvolvimento do estudante. A ação
comunicativa não está presente apenas no diálogo entre dois envolvidos, mas vai além,
pois, como foi colocado, busca o entendimento de um determinado conhecimento, e
para se chegar a esse conhecimento é preciso considerar diversos fatores: cultural,
social e individual.
É afirmado por Meireles et al. (2017) que a Educação tem como fundamento a
formação de sujeitos críticos, autônomos e emancipados. Com isso, a TAC tem um

64

papel importante na fundamentação da prática docente, já que esses pontos são
destacados na teoria, quando defendem o diálogo e o consenso entre os sujeitos.
Desse modo, estudar as relações professor-aluno, considerando os fatores que dizem
respeito ao Contrato Didático e reconhecer como este espaço deve ser constituído na
promoção de momentos de aprendizagem, considerando o que é exposto na ação
comunicativa, ajuda na efetividade no processo de ensino. Meireles et al. (2017) ainda
expõe que o processo de ensino e aprendizagem não deve se limitar ao cognitivo, mas
que o aluno é um sujeito cultural, um ser afetivo e relacional, nesse ponto consideramos
o que foi exposto em parágrafos anteriores que a comunicação entre os sujeitos é
estabelecida por três mundos: objetivo, social e subjetivo; melhor dizendo, tem que ser
considerada sua cultura, suas relações e suas vivências.
Silva e Feil (2020) apontam que, utilizando a ação comunicativa no processo de
ensino e de aprendizagem, os estudantes apresentam os seus pontos de vista sobre
um determinado conteúdo e permite que eles desenvolvam diversas habilidades. Para
ser mais claro, ao considerar os fatores que permeiam a racionalidade comunicativa, o
professor oportuniza momentos de construção de saberes pelo próprio estudante.
Cabe mencionar, que as práticas escolares ainda estão permeadas por um
ensino em que o professor é quem faz explanações excessivas dos conteúdos e em
que o estudante aparece apenas na solução de exercícios baseados em exemplos
expostos pelo docente. Nesse sentido, quando é inserida uma prática em que coloque o
estudante como um sujeito que pode construir o seu conhecimento com a ajuda do
professor, isso aparece como uma ruptura de um modelo de ensino anterior, no caso
aqui, consideramos como uma ruptura do Contrato Didático – já evidenciado em tópicos
anteriores.
Para mais, a Educação deve ser entendida como crítico-emancipatória e a ação
comunicativa conduz uma aprendizagem ativa e participativa, uma vez que o
conhecimento pode ser reelaborado, refletido e discutido pelos alunos e que isso reflete
no modelo pelo qual os professores expõem suas aulas, seus métodos utilizados e
como o estudante é considerado nesse espaço. O professor tem o dever de ensinar,
mas não é o ensinar por ensinar, o aluno tem um papel importante nesse espaço.

65

Considerar o dialogismo, a interação e os consensos reflete nas práticas de sala
de aula e consequentemente no que é colocado no Contrato Didático, em que se
estuda o agir do professor e do aluno no sistema de ensino e aprendizagem, melhor
dizendo, os comportamentos de cada envolvido numa situação didática. Nesse sentido,
é importante considerar como os sujeitos interagem e se é permitida a fala de todos os
partícipes numa situação didática, uma vez que, como já colocado neste tópico, quanto
mais o sujeito se comunica mais ele aprende e será por meio dessa ação comunicativa
que professor e estudante podem se entender sobre algo – um conteúdo ministrado,
uma metodologia de ensino – e assim coordenar suas atividades.
Consideramos que a TAC é de suma importância para entendermos o dinamismo
de uma sala de aula, em virtude de considerar vários elementos na relação professoraluno. Temos que mencionar também que os estudantes dentro do espaço escolar têm
que ser incentivados a falar para que assim ocorram os entendimentos comunicacionais
e que eles apresentem o seu ponto de vista sobre algo, possam argumentar, como
propõe a BNCC (BRASIL, 2018) em uma de suas competências gerais. Ponte (2003)
esboça que a comunicação pode ser considerada como algo essencial no processo de
ensino e de aprendizagem e que promove a interação, negociação de significados e
construções de conjecturas.
Seguindo essas ideias, para Ponte e Serrazina (2000), a pergunta é algo
essencial na comunicação e que perguntar significa interrogar, pedir informação,
investigar, entre outros. Assim, são enfatizados por Love e Mason (1995) três tipos de
perguntas: de focalização, de ensaio ou de confirmação e de inquirição. Para Machado
e Lacerda (2020), as perguntas de focalização direcionam a uma resolução de
problema e nelas é centrada a atenção dos estudantes em algo que se quer ser melhor
discutido (Isso seria? Quanto é? Quanto seria mais ou menos?). As perguntas de
ensaio ou confirmação são utilizadas com o objetivo de se certificar de algum
conhecimento construído pelos alunos e de obter a atenção deles. As perguntas de
inquirição têm o intuito de obter informações do aluno, isto é, apresentam-se como
aquelas em que os estudantes são questionados sobre os processos de soluções (Por
quê? E se? Concordam? Discordam? Por que não? Como assim?).

66

Em contrapartida, nos estudos de Menezes (1995), é esboçada a classificação
de outros tipos de perguntas, a saber: Meta, Tematizante e Asserção. As metas
solicitam que o estudante explique melhor uma informação dada (você pode explicar
melhor?); as tematizantes são utilizadas para iniciar um novo conteúdo (vocês sabem o
que é tal coisa?); as de asserção são utilizadas para manter contato com o estudante
(não é? Correto?) (MACHADO; LACERDA, 2020). Segundo Love e Mason (1995), o
tipo e a qualidade das perguntas podem aumentar a qualidade da comunicação, e o
papel do professor é de fundamental importância. Para o NCTM (1994) algumas
perguntas são sugeridas: Concordam? Discordam? Como chegou a essa conclusão? O
que aconteceria se isso mudasse? E no caso contrário?. Assim, as perguntas feitas aos
alunos e a maneira como o professor as coloca podem estimular os alunos nas
situações de aprendizagem, principalmente, na resolução de questões propostas
Sabemos que a TAC de Habermas enfatiza em vários pontos a interação, o
dialogismo e o consenso entre os sujeitos, e considerando isso, salientamos como
relevante expor também a respeito de discurso, já que é vista como uma situação que
envolve a comunicação dentro de um contexto. Desse modo, não podemos escrever a
respeito de qualquer discurso e com isso dedicamos o próximo tópico a falar de
discurso pedagógico à luz da Teoria de Basil Bernstein.

1.4 O discurso pedagógico e as tensões geradas pela ação comunicativa de
professores e alunos para o Contrato Didático: as contribuições da teoria de Basil
Bernstein
Como já elucidado no tópico anterior, quando acontece uma interação entre dois
ou mais sujeitos com a finalidade de chegar a um entendimento sobre algo e coordenar
as suas atividades estamos tratando da ação comunicativa (HABERMAS, 1988). Como
também já exposto, levando isso para a sala de aula, professor e aluno têm papéis
diversificados na construção de saberes, no entendimento de algo e no comando de
suas atividades. O discente é um sujeito ativo nesse processo, podendo intervir, agir
comunicativamente, atuar criticamente e o docente é o organizador de situações e
ambientes de ensino e aprendizagem para que promova isto no estudante. Vimos que a
racionalidade comunicativa está centrada em três esferas – cultural, social e individual -,

67

e no dinamismo de uma sala de aula tudo isto tem que ser considerado, para que o
estudante possa agir criticamente não só na sala de aula, mas na vida, já que o objetivo
da escola é formar cidadãos para atuarem criticamente em sociedade.
Para ser mais específico, quando tratamos da ação comunicativa, esta deve
acontecer em prol do entendimento entre sujeitos envolvidos e foi considerado que a
linguagem é um meio para que se chegue a uma compreensão intersubjetiva, melhor
dizendo, a linguagem é utilizada para a construção/apreensão de um conhecimento e
para compreensão da realidade. Desse modo, se considerarmos o que acontece dentro
da ação comunicativa entre pares, não podemos deixar de escrever a respeito de
discurso, uma vez que este é visto como toda situação que envolve comunicação e
envolve três elementos: quem fala, para quem se fala e o que se fala.
Diante disso, como estamos tratando aqui de uma dissertação de Mestrado, com
o objetivo de propormos uma situação de ensino e aprendizagem diferente do habitual
– utilizando a Resolução de Problemas por meio do Arco de Maguerez – com a
finalidade de analisarmos as contribuições dela para o ensino, além de como professor
e aluno podem agir – para isso estamos levando em conta o Contrato Didático – é
preciso pontuarmos a respeito de um tipo de discurso em si, no caso, traçamos aqui
uma discussão a respeito de discurso pedagógico baseado na teoria de Basil Bernstein,
uma vez que este considera toda estrutura do discurso e as tensões que elas podem
gerar no dinamismo de uma sala de aula.
Basil Bernstein (1924-2000) foi um sociólogo britânico que teve grande
repercussão por seus trabalhos desenvolvidos na Sociologia da Educação. Seu foco foi
ponderar como diferentes grupos sociais se comunicavam e como isso impactava na
Educação. Em sua obra intitulada “A estruturação do discurso pedagógico: classe,
códigos e controle”, ele investigou as relações entre linguagem e Educação e
evidenciou que o acesso ao sistema educacional está bastante ligado à classe social. O
autor esboçou uma atenção especial para a maneira que o discurso exerce em
sociedade e as suas tensões no âmbito educacional e ainda expôs que o discurso da
Educação pode ser analisado diante da sua reprodução (BERNSTEIN, 1996).
Assim como foi colocado quando expusemos a respeito de ação comunicativa,
que a linguagem tem a função de promover o entendimento sobre algo entre indivíduos,

68

Bernstein (1996) coloca que a linguagem é a principal substância do discurso. Nesse
sentido, já enxergamos uma relação entre ação comunicativa e discurso, dado que em
ambos a linguagem é algo de suma importância. Faz-se pertinente apontar que, em sua
obra, Basil Bernstein (1996) não considerou apenas o que é transmitido/mediado para
alguém, mas as estruturas que permitem o discurso. Ainda esboçou que, por meio do
discurso pedagógico, é possível entender outros discursos.
Segundo Bernstein (1996), o foco do discurso pedagógico é no que é passado
como conhecimento educacional, e que este é conduzido por três regras ou princípios:
distribuição, recontextualização e avaliação. Mainardes e Stremel (2010) delineiam que
as regras de distribuição estabelecem relações de poder e elas que vão regular o tipo
de conhecimento a que cada grupo social terá acesso, isto é, o governo juntamente
com outras autoridades vão produzir um determinado conteúdo e vão apontar quem
terá acesso a ele – grupos sociais – e o que está sendo considerado na produção
desse conhecimento (esta é a produção do discurso); as regras de recontextualização
são marcadas pela transformação de um saber, a constituição e transformação das
disciplinas escolares, o que elas sofrem até chegarem às escolas e salas de aula
(marca a constituição do discurso pedagógico específico, o discurso sobre uma
transformação do seu contexto de produção e estas vão regular o que vai ser ensinado
para os estudantes e como vai ser ensinado); as regras de avaliação acontecem na
prática pedagógica, na relação entre professor e aluno, elas que vão regular a
transformação do discurso na sala de aula, como acontece a comunicação.
Segundo Moraes e Neves (2007), considerando o aparelho pedagógico, essas
regras anteriormente elucidadas vão estabelecer entre si uma relação de poder, de
conhecimento e de consciência. Como já foi exposto na distribuição, há a relação de
poder, na recontextualização aparece o que é considerado conhecimento educacional e
na avaliação se toma consciência do conhecimento que está sendo evidenciado entre
quem leciona e quem aprende. Essas regras são hierárquicas “em que o princípio da
distribuição regula o princípio da recontextualização que por sua vez regula a avaliação”
(CLARCK, 2005, p. 35, tradução nossa). Vale mencionar que, para que um discurso
chegue até a sala ele passa por todo um processo de transformação, e na tomada de
consciência, na ação do professor, é que ele de fato vai fazer sentido nas salas de aula.

69

Ainda segundo Moraes e Neves (2007), o discurso pedagógico é fruto de uma
reprodução cultural, ele vem do seu contexto de produção, passa por uma
recontextualização (modificação), até chegar a sua reprodução. Leite (2007) menciona
que é no processo de recontextualização que a Pedagogia é colocada como um
processo em que há a distribuição do conhecimento, e além disso questões de valores
e comportamentos; nesse processo, vai haver uma interação com quem é o
responsável por organizar situações de aprendizagem – o professor.
Para ficar mais claro, podemos mencionar que a produção dos conhecimentos é
realizada pelo governo ou instituições de Ensino Superior, a recontextualização
acontece no que e em como deve ser ensinado e isso é realizado por secretarias de
Educação e autoridades educacionais e a reprodução acontece nas instituições de
ensino. Como é pontuado, “a produção e reprodução do discurso pedagógico envolvem
processos extremamente dinâmicos” (NEVES, 2007, p. 122).
Para Mota e Lozada (2021c, p. 589), “o discurso pedagógico começa a aparecer
na produçãode um novo conhecimento, no entanto, ele seconcretiza nas práticas de
sala de aula”. Por esse viés, evidenciamos que o discurso pedagógico, destacando o
que é passado como conhecimento educacional (saber), pode ser estruturado da
seguinte maneira: um determinado currículo é prescrito nos princípios ou regras de
distribuição; ele é implementado nos princípios ou regras de recontextualização; por fim,
ele é aprendido diante da reprodução do discurso. Observemos a figura a seguir:
Figura 5: Currículo prescrito, avaliado e implementado e aprendido

Fonte: Elaboração do autor da dissertação (2022)

70

Diante do que foi exposto, é perceptível que a produção de conhecimento e do
próprio discurso em si não é algo tão simples como parece. Com nossas palavras,
podemos dizer que ele passa por todo um processo de organização até chegar às salas
de aula. Nesse sentido, considerando o que chega aos espaços escolares e como deve
acontecer a ação comunicativa entre diferentes sujeitos – dois ou mais –, é necessário
apontar como acontece a tomada de consciência, o que de fato está sendo ensinado e
como está sendo ensinado e para quem está sendo ensinado. Diante disso,
percebemos dois atores principais nesse processo, professor e estudante. Nos escritos
do próprio Bernstein (1996). muito foi elucidado a respeito de transmissores e
aquisidores. Nesta pesquisa, optamos por não utilizar esses substantivos, visto que
como já viemos esboçando desde o início da redação desta dissertação, que o sujeito
aluno não é um simples receptor de conhecimento, mas é um ser ativo nesse processo.
Vimos que as relações culturais e de poder permeiam a estrutura do discurso
pedagógico, e isso vai refletir no que é colocado nos currículos da Educação Básica.
À vista disso, partindo para a relação que queremos evidenciar – professor e
aluno -, utilizamos como base o que foi exposto por Bernstein quando ele fala de
transmissores e adquirentes e os elementos que se fazem presentes nessa interação.
Inicialmente, é preciso mencionar um conceito central da teoria de Bernstein – o código
(MORAIS; NEVES, 2007; MAINARDES; STREMEL, 2010). O código aparece como um
regulador na interação entre professor e estudante e está na base dos sistemas de
mensagens, podendo ser diferenciados de acordo com a classe social de cada
indivíduo - citamos aqui filhos da classe trabalhadora e filhos da classe média - e isso
pode interferir nas relações/interações comunicativas dentro da escola.
Isto posto, na interação comunicativa entre sujeitos no dinamismo de uma aula, o
código tem que ser considerado para que as situações de aprendizagem cheguem ao
alcance de todos, tanto de nível social alto como baixo. Com isso, Bernstein (1996)
expôs dois tipos de situações em que um conhecimento é passado para o estudante e
os chamou de tipos de Pedagogia – visível e invisível –, além de considerar que elas é
quem vão definir o tipo de discurso pedagógico presente na comunicação intersubjetiva.
A pedagogia visível vai ser marcada fortemente por conceitos centrais também da teoria

71

de Bernstein – classificação e enquadramento: a classificação vai descrever situações
de poder e de controle do que é ensinado e aprendido e o enquadramento descreve as
relações e controle que influenciam como o processo de ensinar e de aprender será
conduzido. Para ficar mais claro, quando dizemos que um enquadramento é forte, o
professor é quem regula explicitamente o que vai ensinar e o discurso que constitui o
contexto da aprendizagem. Segundo Moraes e Neves (2007), na pedagogia visível não
é permitido que o professor tenha um olhar individual para o estudante: é colocado um
ritmo para todos.
Em virtude disso, ainda é evidenciado por Moraes e Neves (2007) que isso vai
refletir no acesso à aprendizagem do aluno de maneira individual, posto que em uma
sala de aula podemos ter estudantes com diferentes realidades sociais e aqueles de
melhores condições podem buscar amparo em aulas de reforço, os pais podem
acompanhar seus desenvolvimentos, entre outros. Em contrapartida, na pedagogia
invisível não acontece dessa maneira, os elementos de classificação e de
enquadramento aparecem fracamente. Moraes (2002) coloca que é preciso uma prática
pedagógica que se tenha um pouco dessas duas pedagogias, pois assim seria
permitido que os diferentes tipos de estudantes tivessem acesso aos diferentes códigos
e conteúdo, mas que para isso é necessária uma organização do que se coloca para
aprender e as oportunidades que são dadas para os estudantes.
A construção de um conhecimento e do seu discurso, sofre influências de uma
organização maior até chegar à sala de aula, Clark (2005) aponta que o que vem a
tornar um conteúdo escolar não é algo lógico, mas que é definido por quem regula e
controla o currículo e que acreditam ser úteis para beneficiar a sociedade. Ainda
segundo a autora, o discurso pedagógico de Bernstein aparece para explicar como
acontece a produção de um conhecimento, suas transformações e como esse
conhecimento é exposto nos diferentes espaços escolares – como acontece o discurso.
Para Morais e Neves (2007), o discurso pedagógico pode ser definido como instrucional
e regular, o primeiro diz respeito a conhecimentos e competências cognitivas e o
segundo à aquisição de valores e normas de conduta social. Percebe-se assim que, em
uma interação comunicativa, os fatores a serem considerados vão além da cognição,
mas o cultural e a linguagem dos envolvidos são fatores importantes nesse processo.

72

Assim, percebemos que, quando um conteúdo chega à sala de aula, já tem
passado por inúmeras circunstâncias que partem desde a sua produção e, nesse
sentido, o papel do professor em situação didática não é só ensinar por ensinar, fazer
uma transmissão exacerbada, mas tem que que ser considerado o ambiente em que o
aluno está inserido, a promoção da aprendizagem em larga escala, dar acesso ao
estudante independente do espaço que ele ocupa na sociedade. Tem que ser
considerado o que se vai ensinar, como se vai ensinar, para quem se vai ensinar e visar
uma transformação cultural, permitindo o acesso a todos os discentes do que é
comunicado.
No contexto do Contrato Didático, isso tem que ser bastante explorado, pois
estamos falando de ações e comportamentos do professor (e não só dele, já que o
aluno tem um papel importante na aprendizagem). Bernstein (1996) ainda aponta que,
em uma relação pedagógica, quem ensina um determinado conhecimento tem que
saber como ensinar e tem que aprender a ser um bom organizador de situações de
aprendizagem, que leve em conta regras de ordem social e de conduta –
posicionamento, caráter e maneira. Outro ponto relevante de ser mencionado é que, em
um processo de ensino, não se pode abordar o conteúdo de maneira desorganizada,
tem que existir um sequenciamento – a aprendizagem acontece de maneira nivelada,
de um menor grau para um maior, considerando conceitos centrais e seus
desdobramentos e o desenvolvimento da estrutura cognitiva do aluno.
Para mais, ainda falando papel do professor nas práticas de ensino e como os
alunos devem se comportar, quais as ações desses sujeitos numa relação didática,
Bernstein (1998) esboça a respeito de dois tipos de conhecimento: impensável e
pensável. O impensável é controlado por quem produz os novos conhecimentos (onde
aparece a produção do discurso) e o pensável acontece nas práticas de sala de aula
(onde o discurso é reproduzido), espaço em que há uma interação comunicativa entre
estudantes e professores.
Para concluir, quando escrevemos neste e no tópico anterior, tanto a respeito de
ação comunicativa como de discurso pedagógico, percebemos o lugar importante que
ocupa a cultura do indivíduo em todo o processo educativo, e isso também influência na
maneira como o professor se comunica com os estudantes, como ele fala, a linguagem

73

que utiliza. Por vezes, o docente é alicerçado em situações de aprendizagem advindas
de quando ainda era aluno e não muda quando ele, agora, assume o lugar da
promoção da aprendizagem – há resquícios de sua formação acadêmica – e isso reflete
nas suas ações. Todos os fatores mencionados vão ao encontro do que já
mencionamos a respeito de Contrato Didático, de ação comunicativa e de discurso
pedagógico e percebemos que estes possuem correlações. Com o objetivo de
evidenciar ainda mais essa conexão, o próximo tópico foi dedicado a estabelecer
correlações.

1.5 As correlações entre Contrato Didático, a ação comunicativa e o discurso
pedagógico do professor
Durante a construção dos tópicos anteriores, apontamos que a noção de
Contrato Didático está baseada nas ações e responsabilidades de dois importantes
elementos de uma situação didática – professor e aluno -, e foi esboçado que essas
responsabilidades se encontram na emissão do conhecimento, isto é, no agir
comunicativo, na ação comunicativa entre os pares. Dito isto, já é notória uma forte
relação entre os pontos teóricos aqui abordados – Contrato Didático, Teoria da Ação
Comunicativa e Teoria de Basil Bernstein.
Escrever a respeito de professor e aluno no sistema didático, de imediato, é
pensando que um terá o papel de ensinar (sistema emissor) e o outro deverá aprender
o que fora ensinado (sistema receptor). Diante dessa emissão do conhecimento, há um
importante instrumento destacado tanto na Teoria da Ação Comunicativa, como na
Teoria de Basil Bernstein: a linguagem. A linguagem é quem permitirá o entendimento
interpessoal entre os envolvidos em uma determinada situação, seja dentro ou fora do
espaço escolar, como também é utilizada para a construção/apreensão de saberes.
Para tanto, embora não tenha sido o aporte teórico desta pesquisa, cabe mencionar os
estudos de Vygotsky sobre o papel da linguagem no desenvolvimento do pensamento
colocando-a como um signo importante para promover a interação social num contexto
histórico-social e cultural no qual o sujeito está inserido (VYGOTSKY, 1998).
Foi apontado quando escrito a respeito de Ação Comunicativa, que esta
acontece com sujeitos capazes de manifestar-se por meio da linguagem e de ação, com

74

a finalidade de se entenderem sobre algo e coordenarem suas atividades. Diante do
exposto, quando mencionamos a respeito de entendimento, podemos encarar isso
como um possível acordo entre pares, isto podendo acontecer de maneira explícita ou
implícita. Logo, estamos também relatando sobre Contrato Didático.
Quando se pesquisa a respeito de Contrato Didático dentro de um sistema –
ensino -, estamos tratando do agir dos parceiros em uma relação didática e, muitas
vezes, este agir está fundamentado nas ações e nos comportamentos de cada
indivíduo. Quando um sujeito – professor – expõe um determinado conhecimento, ao
fazer uma ação comunicativa com os seus alunos, ele releva o desejo de ser entendido,
no entanto, para que isso aconteça, alguns fatores têm que ser considerados:
linguagem adequada, organização das situações de ensino e aprendizagem, diálogo,
troca de saberes.
Quando mencionamos a respeito de diálogo e troca de saberes, temos que
elucidar que o conhecimento não está alicerçado apenas na figura do professor, mas
que o estudante tem um importante papel nas vivências em sala de aula: ele é um
sujeito que pensa, capaz de se comunicar, é portador de uma linguagem (seja ela
verbal ou não). Com isso, a ação comunicativa entre docente-discente e discentediscente, dentro de um sistema de ensino e aprendizagem, é preciso que aconteça,
pois como já mencionado em outros tópicos, quanto mais uma pessoa se comunica,
mais ela aprende.
Assim, o Contrato Didático não deve estar fixado em situações em que apenas o
professor faz exposição magistral de um conhecimento, mas tem que verificar como o
sujeito aprendente – aluno - está recepcionando o que lhe é colocado como
conhecimento. Desse modo, já é pertinente mencionar o que é apontado na Teoria de
Basil Bernstein, que o foco do discurso pedagógico, é no que é passado como
conhecimento educacional, dado que este conhecimento passa por uma série de
transformações até chegar ao espaço da sala de aula.
Destarte, mencionando a respeito de Contrato Didático, Teoria da Ação
Comunicativa e Teoria de Basil Bernstein, tratando da interação dos envolvidos, no agir
comunicativo, quando é esboçado para os estudantes a respeito de algum conteúdo, o
discurso pedagógico (o que é colocado para os estudantes como conhecimento

75

educacional) só fará sentido na ação do professor, por isso, é necessário que o
professor saiba gerir suas atitudes, com perguntas adequadas, uma mediação
assertiva.
Se pesquisarmos em documentos que norteiam a Educação, é visível perceber
que a Educação tem como fundamento a formação de sujeitos críticos e autônomos
(BRASIL, 2018). Com isso, a Teoria da Ação Comunicativa é colocada como um fator
importante na construção desta pesquisa, pois como já mostrado, um ensino baseado
na racionalidade comunicativa (um dos principais pontos destacados na teoria)
proporciona a autonomia e permite que os estudantes desenvolvam diversas
habilidades.
O agir comunicativo e o discurso pedagógico estão presentes em qualquer
situação de ensino, dado que o conhecimento comunicado não deve ser um registro
simples de informação (passar algo por passar, transmitir por transmitir), pois quando
tratamos do transmitir por transmitir, estamos evidenciando contratos sem didática. É
importante destacar, mais uma vez, que todo conhecimento comunicado, passa por
uma série de situações – já abordado no tópico de discurso pedagógico – até chegar à
sala de aula, este não podendo ser uma invenção do professor, mas que o professor
deve ter discernimento de como poderá agir em situações diversas. Nesse sentido, para
que o conhecimento chegue ao alcance de todos, alguns fatores devem ser
considerados e o principal dentre eles é que quem ensina tem que saber como ensinar,
o que ensinar e para quem está ensinando.
A respeito de como ensinar, dois pontos importantes são elencados quando
tratamos da Teoria de Basil Bernstein – ritmo e sequenciamento -, melhor dizendo, tem
que ser considerado que cada ser – estudante – é um indivíduo único, que tem sua
cultura, costumes, aprende de maneira diversificada dos demais, e que tudo isso
influencia no processo de aquisição do conhecimento. Um conteúdo não deve ser
passado para os estudantes de maneira rápida, sem considerar como ele está
entendendo e se está entendendo, tem que existir um sequenciamento de ações.
À vista do que já foi pontuado neste e em outros tópicos, com o intuito de
contribuir para uma participação mais ativa do alunado na construção do seu
conhecimento, consideramos todas as teorias aqui elucidadas como fundamentais para

76

este estudo, pois como já mostrado, para que o estudante seja ativo, crítico,
participativo e autônomo, tudo dependerá de como o professor organizará as suas
aulas, suas metodologias. Diante disso, já vimos que a ação comunicativa esboçada
por Habermas contribui para uma aprendizagem ativa e participativa, já que, utilizando
a ação comunicativa, os estudantes apresentam seus pontos acerca do que está sendo
exposto e tem um papel fundamental durante todo processo construtivo do seu
conhecimento, agindo sobre o que está sendo posto a ele.
Vale destacar que esta pesquisa foi desenvolvida em um momento de pandemia
– Covid19 -, e fatores tanto esboçados na TAC como na Teoria de Basil Bernstein
devem ser considerados, entre eles, a cultura dos envolvidos – tão discutida em ambas
as teorias. A maneira que cada estudante e professor age pode ser determinante para
um aproveitamento no espaço escolar. Além disso, considerar o dialogismo, a
interação, o que é evidenciado no discurso (a maneira como um conhecimento é
exposto e para quem é exposto), os consensos, reflete diretamente na noção de
Contrato Didático.
Por fim, feitas as correlações das teorias, na seção seguinte trataremos a
respeito dos métodos de ensino utilizados para o desenvolvimento do estudo.

77

CAPÍTULO II

A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS E O ARCO DE MAGUEREZ
Neste capítulo,explanamos a respeito da Resolução de Problemas, abordando
os tipos de tarefas no ensino de Matemática, os tipos de problemas, o que realmente é
aplicado no ensino de Matemática (problemas ou situações-problemas), a Resolução de
Problemas no NCTM e no PISA, as concepções sobre a Resolução de Problemas sob
olhares de diversos autores, a Resolução de Problemas e o Argo de Maguerez,e as
dificuldades dos estudantes na Resolução de Problemas.

2.1 Os tipos de tarefas no Ensino de Matemática
Antes de mais nada, é preciso elucidar a diferenciação entre uma tarefa e uma
atividade. As tarefas são os projetos, as questões, os problemas, as aplicações, os
exercícios, já a atividade é a maneira de organização do trabalho dos estudantes. Ponte
(2014, p. 16) destaca que “as tarefas são as ferramentas de mediação fundamentais no
ensino e na aprendizagem da Matemática” e que na atividade e na sua reflexão sobre a
tarefa é que o estudante aprende. Segundo o mesmo autor “uma atividade pode incluir
a execução de numerosas tarefas” (PONTE, 2014, p. 15).
De acordo com Ponte et al. (2015), em um ensino que é baseado apenas pela
transmissão de conhecimento, o conceito de tarefa é pouco utilizado, no entanto, em
um ensino que valoriza o papel do estudante, este conceito é essencial, dado que as
tarefas são utilizadas como instrumentos organizadores da atividade dos alunos. Desse
modo, levando isso em consideração, assentamos que tratar, neste estudo, dos tipos
de tarefas é algo necessário para o desenvolvimento da nossa pesquisa, pois
acreditamos que um tipo de tarefa pode nos levar a outros, melhor dizendo, uma tarefa
pode variar de acordo com quem está lidando com ela.
As tarefas podem ser de naturezas diversas. De acordo com Ponte (2014), nos
estudos de Polya era destacada a distinção entre exercício e problema, no entanto, o
autor pontua que outros estudiosos procuram ir além da dicotomia problema/exercícios

78

e procuram outras categorias de tarefas matemáticas. Em seus estudos, Ponte (2003,
2005, 2014) destaca os exercícios, os problemas, as explorações e as investigações.
Os exercícios são questões que o aluno dispõe de um método de resolução; os
problemas são questões para as quais o aluno não dispõe de um método pronto de
resolução e que são necessárias capacidades que vão além da repetição e da
memorização dos fatos; as investigações e explicações são contextos de trabalhos que
convidam os estudantes a formularem questões e procurarem explicações. Diante do
exposto, enxergamos que, em uma tarefa do tipo problema, as investigações e
explicações também podem ser trabalhadas, visto que os alunos podem formular
questões, buscar justificativas, investigar e analisar situações, entre outros.
Corroborando com isso, Smole e Diniz (2016, p. 11) pontuam que um problema
“é toda situação que não possui solução evidente e que exige que o solucionador
combine seus conhecimentos e decida pela forma de usá-los em busca de solução”.
Entendemos que o termoforma apresentado pelas autoras está relacionado às
estratégias ou maneiras que serão utilizadas para chegar à solução de um problema.
Nos estudos de Echeverría e Pozo (1998), é pontuado que só reconhecemos um
problema como tal, se não temos métodos automáticos para sua solução. Em
consonância, Chapman (2015) expõe que um problema é um modelo de tarefa em que
a pessoa que o confronta tem anseio ou necessita encontrar uma solução, não possui
procedimentos prontos e deve tentar encontrar uma solução. Já para Proença (2018),
uma situação de Matemática é um problema, quando é necessária a mobilização de
conceitos e procedimentos, não fazendo uso direto de uma fórmula para se chegar a
uma resposta.
Em face disso, consideramos que um problema será toda tarefa em que o
estudante é levado a pensar, indo em busca de conhecimentos adquiridos na sua
bagagem acadêmica e fora dela, para que trace estratégias com o intuito de chegar a
uma solução, diante de uma exigência cognitiva e nesta exigência cognitiva poderá
somar conhecimentos diferentes para que chegue a um novo conhecimento. Quando
destacamos o pensar ao definirmos o que é problema, consideramos as ideias de
Carson (2007) que esboça o pensar como uma integração entre teoria e prática, o
abstrato e o concreto, o conceitual e o particular.

79

Ponte et al. (2015), ao considerar os exercícios e os problemas, tratando de duas
dimensões, expõe o que são tarefas fechadas afirmando que são consideradas
importantes para o desenvolvimento da capacidade de relacionar informações dadas, e
que as explorações e investigações são consideradas tarefas abertas que auxiliam os
discentes na capacidade de lidar com situações complexas. Além disso, ainda pontua
que os exercícios e as explorações são tarefas de grau mais reduzido, e problemas e
investigações são tarefas mais desafiantes que proporcionam aos alunos experiências
matemáticas mais profundas.
Em contrapartida, autores como Fonseca e Contijo (2021) vão além das
dimensões expostas por Ponte et al. (2015), e esboçam que os problemas matemáticos
podem ser fechados ou abertos. Abertos são os problemas que admitem variadas
estratégias para solução, os fechados apresentam apenas uma forma para chegar à
solução e ambos são importantes para o desenvolvimento do pensamento crítico e
criativo. Além disso, é preciso também apontar a respeito dos problemas convencionais
e não convencionais: os convencionais possuem frases curtas, dados explícitos e
pensamento menos elaborado; os não convencionais necessitam de uma leitura
cuidadosa, seleção de dados adequados e pensamento mais elaborado (ONUCHIC;
ALLEVATO, 2014).
É relevante mencionar que, ao chegar à solução de um problema, seja ele
fechado ou aberto, é preciso que o estudante interprete aquele número obtido,
identificando as suas significâncias na situação proposta. Ainda destacamos que a
proposição de situações que utilizem este tipo de tarefa matemática contribui para
experiências matemáticas desafiadoras na construção de saberes pelo próprio
estudante e que implica na mobilização cognitiva de cada sujeito na busca de
respostas.
Com o exposto, é possível verificar que cada tipo de tarefa tem um papel de
relevância nas situações de ensino e aprendizagem. Ponte (2005) destaca que, no
processo de ensinar, é necessária a diversificação das tarefas, dado que cada tipo
desempenha um papel na aprendizagem. Destarte, as tarefas no ensino de Matemática
devem por finalidade: envolver os alunos em atividades intelectuais, exigir formulação e

80

resolução de problemas, promover comunicações acerca da Matemática, promover o
desenvolvimento da disposição dos estudantes para fazer Matemática (PONTE, 2014).
Um ponto relevante destacado nos estudos de Ponte (2012) quando trata das
tipologias das tarefas, é o contexto (o universo experiencial associado às tarefas) que
desempenha um papel central nas situações de ensino e aprendizagem, podendo ser
real, semirreal e puramente matemático. Dessa maneira, destacamos que, nesta
pesquisa, apoiamo-nos em contextos reais, visto que consideramos a realidade como
ponto de partida, levando em consideração o que é proposto com a utilização do Arco
de Maguerez – o ensino e a aprendizagem a partir da realidade (aprofundado nos
tópicos seguintes).
Ainda para Ponte (2014), é destacado que a maneira como as tarefas são
trabalhadas nas práticas docentes, ou seja, nas salas de aula, interfere de modo
decisivo na aprendizagem dos estudantes. Com isso, o autor, mencionando os estudos
de Stein e Smith (1998), pontua que, quando abordado sobre esse assunto, as tarefas
matemáticas podem ser organizadas e distinguidas em três fases: como aparecem nos
materiais curriculares, como são apresentadas pelo professor e como são realizadas
pelos estudantes. Com o exposto, ainda é assentado que as tarefas mudam de
natureza quando passam de uma fase para outra, isto é, as tarefas que são
apresentadas pelo professor, na maioria das vezes, são diferentes das que aparecem
nos materiais curriculares. Dessarte, levando isso em consideração, pontuamos a
importância de se fazer análises nos materiais curriculares disponíveis para professores
e estudantes, e que isso também será discutido na seção seguinte, quando analisamos
e discutimos os livros didáticos aprovados pelo Programa Nacional do Livro Didático –
PNLD.
Dito isso, nos subtópicos seguintes, abordamos a respeito dos tipos de
problemas matemáticos e, em seguida, do que está sendo realmente aplicado no
ensino de Matemática, problemas ou situações-problemas.

2.1.1 Tipos de problemas matemáticos

81

Nos estudos a respeito dos problemas no ensino de Matemática, é discutido por
alguns pesquisadores a respeito da classificação dos problemas matemáticos
(CHARLES; LESTER, 1986; VALE; PIMENTEL, 2004; BOAVIDA et al. 2008).
Nos estudos de Charles e Lester (1986), também destacado por Vale e Pimentel
(2004), os escritores apontam para a classificação dos problemas em cinco tipos: de um
passo; dois ou mais passos; de processo; de aplicação; e do tipo puzzle. Os problemas
de um passo são aqueles que podem ser resolvidos com uma operação aritmética. Os
problemas de dois ou mais passos necessitam de duas ou mais operações aritméticas.
Nos problemas de processo é necessária a mobilização de recursos para uma ou mais
estratégias. Nos problemas de aplicação, é necessária uma análise, recolhimento de
dados e tomada de decisões. Os problemas do tipo puzzle têm por finalidade fazer com
que os alunos olhem para as situações sob diversos pontos de vista.
Já para Vale e Pimentel (2004), as classificações dos problemas envolvem
quatro tipos: de processo, de conteúdo, de aplicação e de aparato experimental. Ao
tratar dos de processo, concordam com o exposto por Charles e Lester (1986) e
acrescentam que eles não se resolvem por meio apenas da aplicação de algoritmo. Os
problemas de conteúdo necessitam da aplicação de conteúdo, conceitos e definições
matemáticas. Para os problemas de aplicação, os autores assentam que eles envolvem
dados da vida real e para resolução é preciso utilizar variadas estratégias. Os de
aparato experimental precisam que o solucionador exerça suas ações e utilize
experimentos.
Segundo Boavida et al. (2008), existem três tipos de problemas matemáticos e
para isso considera o enunciado e o processo de resolução: problemas de cálculo,
problemas de processo e problemas abertos. Os problemas de cálculo precisam
apenas da tomada de decisão e escolha de qual (is) operação (ões) utilizar na sua
resolução. Os problemas de processo apresentam um contexto mais complexo,
existindo várias estratégias para chegar à solução. Os problemas abertos exigem um
processo de exploração e criação de estratégias.
À vista disso, percebe-se que os problemas são variados e suas classificações
dependerão de quais ações são necessárias para sua solução. Destacamos que, diante
de tais classificações, os problemas podem ser de mais de um tipo em só uma

82

proposição, por exemplo, um problema de aplicação (envolvendo dados reais) pode ser
também um problema de processo, uma vez que para sua solução também podem ser
necessários variados algoritmos e estratégias, assim como pode ser de aparato
experimental, problemas abertos, entre outros.
Dito isso, no próximo subtópico destacamos sobre o que realmente está sendo
aplicado no ensino de Matemática.

2.1.2 Problema ou situação-problema: o que é realmente aplicado no ensino de
Matemática
No tópico anterior, vimos o que se configura comouma tarefa do tipo problema e
os tipos de problema.Diante disso, também é preciso pontuar o que realmente vem
sendo aplicado nas aulas de Matemática da Educação Básica, se problemas ou
situações-problema.
Por serem similares, alguns estudos defendem situações-problema e problemas
como sinônimos, como é visto em Braga (2021). Nos estudos de Braga (2021), ao citar
Verçosa, Rocha e Teles (2010), ainda é pontuado que do ponto de vista da Matemática
é difícil conceituar o que é de fato um problema, embora sejam vistas, como já
pontuamos em tópicos anteriores, algumas considerações do que venha a ser um
problema.
Nos estudos de Lozada e D’Ambrosio (2018), tratando das distinções para
nomear as questões matemáticas, eles apontam que há vários termos utilizados para
qualificar cada tipo de questão matemática, entre eles: problema, situação-problema,
investigação, exploração, exercício. Vale destacar que os estudiosos, ao esboçarem
essas nomeações, suas ideias vão ao encontro do que é exposto por Ponte (2014),
quando o autor assenta a respeito dos tipos de tarefas matemáticas e explicita os
problemas, as investigações, as explorações e os exercícios. Além disso, em ambos os
estudos – Ponte (2014) e Lozada e D’Ambrosio (2018) –, é afirmado que cada questão
matemática exposta para os alunos possui uma finalidade e contribui para o
desenvolvimento de competências e habilidades matemáticas.
Indo além dos escritos de Ponte (2014), Lozada e D´Ambrósio (2018)
apresentam algumas distinções entre situações-problema e problemas matemáticos, no

83

entanto, as questões podem estar interligadas. Nas palavras dos autores é mencionado
que uma questão é um problema quando:
(..) o aluno se depara com algo que ele não conhece, não tem consolidado um
caminho, um procedimentoe, deste modo, lança-se uma exigência cognitiva,
coloca-se o aluno diante de uma necessidade do conhecimento, ele não sabe e
precisa saber, é uma necessidade cognitiva. (LOZADA; D´AMBRÓSIO, 2018, p.
14)

É importante destacar que tal elucidação sobre o que é um problema corrobora
com o que citamos quando foram discutidos os tipos de tarefas matemáticas.
Entretanto, os autores ainda trazem explicações para o que vem a ser uma situaçãoproblema, expondo que “a situação-problema orienta a aprendizagem, é constituída por
um problema construído com finalidade didática e cria a necessidade de se aprender
por meio de elementos reais ou abstratos” (LOZADA; D´AMBROSIO, 2018, p. 14).
Nesse sentido, entende-se que, em uma situação-problema, há a existência de um
problema e que ele é elaborado com o objetivo de contribuir para uma situação de
ensino e aprendizagem dentro da sala de aula.
Assim, Lozada e D´Ambrosio (2018) complementam a tipologia de tarefas
acrescentando a situação-problema que é uma tarefa didatizada elaborada com a
finalidade de se aprender determinado conteúdo matemático por meio de situações
reais ou fictícias. Viana (2020), com base no que foi exposto por Lozada e D´Ambrosio
(2018), complementa o esquema de Ponte (2005) sobre os tipos de tarefas
matemáticas colocando a situação-problema no centro do esquema, afirmando que:
(...) a situação-problema pode apresentar um desafio elevado, bem como
reduzido e além disso, pode apresentar-se de forma fechada e de forma aberta,
sem que seja perdida a natureza dessa classificação de problema e favoreça os
critérios de um ambiente de aprendizagem adequado, que constituem uma
situação de aprendizagem, apresentados por Lozada e D’Ambrósio (op.cit)
(VIANA, 2020, p. 42-43).

Dessarte, os autores ainda afirmam que “o que se vê comumente nas aulas de
Matemática são situações-problema e, de fato, poucos problemas são propostos”
(LOZADA; D´AMBROSIO, 2018, p. 14). Assim sendo, fica evidente que, na utilização
em sala de aula, as situações-problema ocupam maior espaço e que são
preponderantes nos livros didáticos. Um outro ponto ainda salientado pelos autores é
que:

84

A situação-problema também pode constituir-se como uma situação de
aprendizagem, favorecendo os desafios, tomada de decisões, reflexão sobre o
conteúdo e evolução conceitual, portanto, tem um viés mais problematizador e
pode conter etapas, sendo mais abrangente, inclusive exige sistematização do
conhecimento para que o aluno possa aplicar tal conhecimento em diferentes
contextos. (LOZADA; D´AMBROSIO, 2018, p. 14)

Com isso, percebe-se que as situações-problema, sendo constituídas por
problemas com o objetivo da didatização, têm o seu grau de importância para a
aprendizagem matemática e que contribuem em diversos fatores. Diante das ideias
apontadas, infere-se que as situações-problema e os problemas andam lado a lado, no
entanto, há especificações e contribuições singulares para o processo de ensinar e
aprender.

Diante

de

uma

situação-problema,

constituindo

uma

situação

de

aprendizagem, como afirmado por Lozada e D´Ambrósio (2018), pode-se contribuir para
uma maior problematização dentro da sala de aula.
Com isso pontuado, nos próximos tópicos escrevemos sobre a Resolução de
Problemas, as suas concepções, entre outros pontos.

2.2 As concepções sobre a Resolução de Problemas e o Arco de Maguerez
Neste tópico traçamos um histórico da Resolução de Problemas, sua inserção no
currículo de Matemática e em macro avaliações, apresentando seus principais aspectos
apontados pelos pesquisadores da área de Educação Matemática, trazendo por fim, a
abordagem com o Arco de Maguerez.

2.2.1 Contexto histórico da Resolução de Problemas
Inicialmente, é preciso elucidar a respeito da construção histórica da Resolução
de Problemas tanto no âmbito internacional como nacional. De acordo com Onuchic
(1999), o ensino de Resolução de Problemas, tratando-se do campo de pesquisa da
Educação Matemática, foi iniciado por Polya, nos Estados Unidos, na década de 60.
Para Morais e Onuchic (2014), em 1942 Polya passou a ser reconhecido como um
nome de destaque da Resolução de Problemas, sendo que em 1945 foi lançado o livro
“A arte de resolver”problemas de sua autoria. Nessa mesma perspectiva, é salientado
por Andrade (1998) que embora os estudos de Polya datemdos anos 60/70, os
trabalhos do pesquisador eram desenvolvidos muito antes. Assim, mesmo com o

85

lançamento do livro de Polya na década de 40, a ascensão da Resolução de Problemas
nos Estados Unidos e em outros países só ganhou força mais tarde, tendo
contribuições também de outros pesquisadores, a exemplo, Jeremy Kilpatrick (MORAIS;
ONUCHIC, 2014).
Segundo Morais e Onuchic (2014), Polya, para alguns estudiosos, pode não ter
sido um dos primeiros autores a trabalhar com Resolução de Problemas, no entanto,
afirmam que a história mostra que uma visão mais aprofundada e compreensiva dessa
abordagem só foi possível a partir de seus estudos. Assim sendo, Andrade (1998)
pontua que as pesquisas iniciais sobre Resolução de Problemas estavam preocupadas
apenas com a solução bem sucedida das questões e não com o processo que era
desenvolvido. Em seguida, nas décadas de 60 e 80, a preocupação com o estudo foi
centrado no processo de desenvolvimento da Resolução de Problemas.
É importante abordar que, nos escritos de Morais e Onuchic (2014), é destacado
que em 1975 ocorreu o primeiro Seminário de Pesquisa sobre Resolução de
Problemas, tendo como sede a Universidade de Georgia, sediando cinco encontros
durante todo o ano, nos quais reuniram-se diversos pesquisadores e que diversas
concepções sobre a temática foram discutidas. Lester (1994) esboça que o evento
salientado estimulou a colaboração entre os diversos pesquisadores da Educação
Matemática.
Nesse sentido, cabe-nos mencionar também a respeito do documento “Uma
Agenda para Ação”publicado pelo NCTM - NationalCouncilofTeachersMatemathics
(1980), propondo a Resolução de Problemas como foco da Matemática escolar na
década de 80. No entanto, Morais e Onuchic (2014) apontam que foram conturbados os
anos posteriores à publicação do documento anteriormente citado. Alguns autores,
como Lester (1994), discutem que o motivo da conturbação se deveu ao fato de, nas
recomendações dadas pelo documento “Uma Agenda para Ação”, não terem sido
dados caminhos sobre como fazer da Resolução de Problemas foco da Matemática
escolar. Já Schoenfeld (2008) esboça que a Resolução de Problemas se tornou um
slogan, e que, de fato, a implementação dessa abordagem não se dava nas salas de
aula americanas, sendo colocada como uma farsa.

86

Entretanto, ainda de acordo com Morais e Onuchic (2014), com os “Standards
2000”, refletindo no trabalho empregado pelo NCTM desenvolvido nas décadas de 80 e
90, nele, além de uma relevante fundamentação teórica, muitas orientações foram
elencadas para o professor de Matemática considerando o espaço da sala de aula, o
que não tinha sido esboçado no documento citado no parágrafo anterior.
Levando isso em consideração, a partir das questões elucidadas e dando
especial atenção às publicações do NCTM (1980, 1989, 1994, 2000), Onuchic e
Allevato (2011) expõem que foi diante do último documento salientado – NCTM (2000) , que “os educadores matemáticos passaram a pensar numa metodologia de ensinoaprendizagem da Matemática através da Resolução de Problemas” (p. 79 – 80). À vista
do elucidado, faz-nos mencionar que diferentes concepções são expostas a respeito da
Resolução de Problemas enquanto possibilidade de ensino e aprendizagem de
Matemática na literatura.
Assim sendo, discorremos no próximo subtópico desta dissertação sobre a
Resolução de Problemas no NCTM e no PISA, para posteriormente tratarmos das
concepções abordadas por autores diversos.

2.2.2 A Resolução de Problemas no NCTM e no PISA: parâmetros, competências e
habilidades
De acordo com Freitas e Andrade (2021), o Conselho Nacional de Professores
de Matemática dos Estados Unidos – NCTM, é um dos espaços mais relevantes de
reflexões a respeito das questões relacionadas ao ensino da Matemática. Para Guérios
e Medeiros Jr. (2016), desde os anos de 1980, o NCTM propõe que a Matemática seja
ensinada através da Resolução de Problemas. Também afirmado pelos autores, os
documentos apontam para um ensino de Matemática cuja finalidade seja a
compreensão do conhecimento matemático.
Ao fazer uma leituradas publicações realizadas pelo NCTM, é perceptível que
eles apontam a Resolução de Problemas como um dos meios para que se faça
Matemática e que ela pode ser uma estratégia para o ensino dessa Ciência. As
publicações do NCTM, ocorridas entre 1980 até o ano 2000, serviram de influência de
como pensar as propostas de ensino da Matemática e impactaram nas propostas

87

curriculares dos diversos países, inclusive, os Parâmetros Curriculares Nacionais
(PCNs) tiveram grande influência.
Assim, como apontando em tópicos anteriores, no NCTM (2000) também é
exposto a respeito do que é um problema, esboçando como aquele em que é preciso
“se envolver em uma tarefa para a qual o método de solução não é conhecido
antecipadamente” (NCTM, 2000, p. 52, tradução nossa). Com isso, o que é salientado
no documento a respeito desse tipo de tarefa corrobora com tudo já salientado por nós
em outros parágrafos.
Vale salientar o que é exposto por Mulyono e Hadiyante (2017), que o NCTM dá
excelente atenção às habilidades de Resolução de Problemas e que tais habilidades
são o foco do currículo da disciplina de Matemática, sendo que tal abordagem
(Resolução de Problemas) é o centro da investigação e da aplicação.
No NCTM (1980) é exposto que a Resolução de Problemas é caracterizada
como uma das dez áreas de capacidade básica na Matemática e que existe uma
relação direta entre o ato de resolver problemas nas aulas de Matemática e essa prática
em outras áreas das nossas vidas. Com isso, entendemos que a Resolução de
Problemas é relevante além da sua utilização nas salas de aulas matemáticas e que o
uso pode impactar no seu manuseio fora do espaço escolar, ou seja, os estudantes
aprendem a resolver problemas nas situações de ensino e aprendizagem e depois
podem reproduzir nas suas vidas particulares, pois nos deparamos com problemas nas
mais diversas situações. No NCTM (2000) foram fornecidos alguns padrões e princípios
que devem ser considerados quando se discute a Matemática escolar e nele é
destacada a Resolução de Problemas.
Além disso, no NCTM (2010) é exposto que a Resolução de Problemas é aceita
como um meio para o aprimoramento das habilidades de pensamento e que se destaca
como um ponto de relevância para a aprendizagem no currículo da Matemática. À vista
do elucidado, nas várias edições do documento, é salientada a importância dessa
abordagem como uma possibilidade para o ensino da Matemática, e que a sua
contribuição é bem vasta, uma vez que interfere no desenvolvimento e melhoria das
habilidades cognitivas dos estudantes e que isso reflete na vida deles dentro e fora do
espaço escolar.

88

Sendo assim, é importante pensar sobre o modo como esta abordagem pode ser
contemplada dentro do espaço escolar e que o seu manuseio e articulação, partindo da
organização do trabalho do professor, interferirá sobremaneira na aquisição do
conhecimento pelo próprio estudante. Os pontos elucidados anteriormente também nos
levam a escrever a respeito do que vem sendo pontuado no PISA- Programme for
InternationalStudentAssessment -

sobre a Resolução de Problemas, visto que

podemos contemplar diversos pontos relacionados à temática, a saber: habilidades
elucidadas para o viver no século XXI, o impacto da Resolução de Problemas,
competências, entre outras.
O PISA foi desenvolvido e organizado pela Organização para Cooperação e
desenvolvimento Econômico (OCDE), suas avaliações são realizadas a cada três anos
com estudantes a partir de 15 anos de idade, testando-os quanto às habilidades de
leitura, Matemática e Ciências (LEITE et al., 2021). O Brasil é um dos países
convidados à avaliação, tendo participado de todas as edições. Leite et al. (2021)
destacam que, tratando-se da Resolução de Problemas, o programa iniciou com a
solução de problemas analíticos através de testes impressos em 2003; em 2012, teve
como foco a solução interativa de problemas em computadores; e, em 2015, o foco foi
na avaliação cooperativa de solução de problemas.
É importante ser relatado sobre os pontos considerando o programa, porque em
sua avaliação, como visto, é cobrado o desenvolvimento dos estudantes ao resolver
problemas, inclusive a Resolução de Problemas em equipe. De acordo com Leite et al.
(2021), o PISA foi a primeira avaliação que incluiu a Resolução de Problemas em sua
matriz de referência. Ao tratar da Resolução de Problemas em equipe ou colaborativa,
autores como Graesseret al. (2017) descrevem que ela é uma competência de
fundamental importância para a sociedade moderna e que é uma habilidade crítica e
necessária para os espaços da sala de aula e fora dela, pois as partes do
planejamento, da solução de problemas e da tomada decisão são realizadas de
maneira colaborativa.
Desse modo, foi divulgada em 2018 uma estrutura do PISA 2022, com a
estrutura da avaliação, evidenciando que na avaliação da alfabetização matemática
será considerada a resolução de problemas e os seus processos. Na Estrutura

89

Matemática do PISA 2022 – esboço (2018), é destacado que a alfabetização
matemática pode ser analisada em termos de três aspectos interrelacionados e a
resolução de problemas faz parte deles, esboçando que ela “inclui os processos
matemáticos que descrevem o que os indivíduos fazem para conectar o contexto do
problema com a matemática e, assim, resolver o problema” (ESTRUTURA DO PISA
2022, 2018, p. 14, tradução nossa).
No Relatório Brasil no PISA (BRASIL, 2020), divulgado pelo Instituto Nacional de
Estudos e Pesquisas Educacionais Anísio Teixeira - INEP e também na Estrutura
Matemática do PISA 2022 – esboço (2018), é escrito que o primeiro aspecto da
organização do domínio da Matemática refere-se aos processos matemáticos, ou seja,
às atitudes que os estudantes executam para abordar ou resolver problemas que
envolvam a Matemática. No documento é exposto que a avaliação considera três
categorias de processo, a saber: formular, empregar e interpretar (e avaliar). A
formulação matemática está relacionada à capacidade dos indivíduos de reconhecerem
e identificarem oportunidades para usar a Matemática, estabelecendo estruturas
matemáticas para um problema apresentado de maneira contextualizada. O segundo
processo matemático, empregar conceitos, fatos, procedimentos e raciocínios
matemáticos, está relacionado à aptidão dos sujeitos de resolverem problemas
matemáticos, com a finalidade de obter conclusões matemáticas. Já o último processo,
interpretar (e avaliar), refere-se à idoneidade de os estudantes refletirem sobre
soluções, resultados e conclusões matemáticas, interpretando-as no contexto do
problema (BRASIL, 2020).
Na Estrutura Matemática do PISA 2022 – esboço (2018), é salientado que a:
Facilidade dos alunos em aplicar matemática a problemas e as situações
dependem das habilidades inerentes a todos esses três estágios, e uma
compreensão da eficácia dos alunos em cada categoria pode ajudar a informar
tanto a nível de política de discussões e decisões sendo tomadas mais perto do
nível da sala de aula. (ESTRUTURA MATEMÁTICA NO PISA – ESBOÇO,
2018, p. 20, tradução nossa)

Com a citação, percebe-se que a Resolução de Problemas é cobrada nos
processos matemáticos esboçados na avaliação e, além disso, subentendidas nesses
processos estão as capacidades cognitivas que já podem estar disponíveis para os

90

sujeitos ou podem ser aprendidas, com a finalidade de que eles entendam e se
envolvam com a Resolução de Problemas.
Ainda tratando-se dos processos matemáticos, o processo de formulação de
situações matematicamente inclui as seguintes atividades: seleção de um modelo
apropriado; identificação dos aspectos matemáticos de um problema situado em um
contexto real e das vários significados; simplificar um problema com o intuito de torná-lo
acessível

à

Matemática;

representação

do

problema

de

maneira

diferente;

compreensão e explicação das relações existentes na situação ou problema, utilizando
a linguagem do problema ou simbólica, entre outras. Por sua vez, o processo de
empregar requer as atividades de: realizar um cálculo simples; tirar conclusões;
selecionar e implementar estratégias; usar ferramentas matemáticas, a exemplo
tecnologia;

manipular

números,

dados

gráficos,

expressões

algébricas;

fazer

generalizações e conjecturas; entre outras. No processo de interpretação (e avaliação)
as atividades são: interpretação das informações; avaliação do resultado matemático;
avaliar a razoabilidade de uma solução; explicar o motivo de um resultado matemático
fazer ou não sentido; criticar e identificar um modelo matemático para resolver um
problema; compreender como o mundo real interfere nos resultados dos cálculos
(ESTRUTURA MATEMÁTICA PISA 2020 – ESBOÇO, 2018).
Diante dessas elucidações sobre o que vem a ser cobrado no PISA 2022 e que
muitas dessas competências foram cobradas em edições anteriores da avaliação, se
faz preciso pontuar a respeito do desempenho dos estudantes brasileiros. Na última
avaliação ocorrida em 2018 (ao considerar o tempo de escrita desta dissertação), a
média de proficiência foi de 384 pontos, sendo 108 pontos abaixo da média de
estudantes de outros países (BRASIL, 2020). Desse modo, pode-se considerar que os
estudantes apresentam defasagens no que é cobrado na avaliação e nos processos
matemáticos, o que nos serve como alerta para implementação da abordagem da
Resolução de Problemas nas salas de aula brasileiras.
No documento, ainda é exposto sobre as médias do Brasil nas edições do PISA,
destacando que em 2003 a média foi 356, em 2006 foi 370, em 2009 foi 386, em 2012
foi 389, em 2015 foi 277 e em 2018 foi 384 (BRASIL, 2020). Com isso, percebe-se que

91

há um avanço entre a primeira e a última edição, no entanto, no decorrer das edições,
do mesmo modo que aconteceram melhorias na média também ocorreram quedas.
Os pontos mencionados e discutidos neste tópico nos fazem repensar sobre as
abordagens que estão sendo utilizadas no ensino de Matemática, mesmo o NCTM
(1980) destacando que a Resolução de Problemas deva ser o foco da Matemática,
aparentemente isto não está acontecendo no Brasil, dado que, quando a abordagem é
cobrada em uma avaliação, os estudantes apresentam dificuldades nos processos que
são exigidos por ela. Dessarte, consideramos que as ideias tecidas neste tópico são
suficientes para o desenvolvimento deste estudo e para repensarmos em propostas
eficazes para o ensino de Matemática.
Assim sendo, no tópico seguinte abordaremos sobre as concepções de diversos
autores acerca da Resolução de Problemas.

2.2.3 A importância do uso da Resolução de Problemas no ensino de Matemática
Após os estudos de Polya, que, como esboçado, estão entre os pioneiros
encontrados na literatura, e, por conseguinte, os diversos artigos que compõem as
publicações do NCTM, vários pesquisadores passaram a discutir e investigar a
Resolução de Problemas como uma abordagem para o ensino de Matemática. Por esse
viés, vamos apresentar e discutir neste tópico as concepções de diferentes autores.
Nos PCNs(BRASIL, 1997, p. 40)é esboçado que:
A resolução de problemas, na perspectiva indicada pelos educadores
matemáticos, possibilita aos alunos mobilizar conhecimentos e desenvolver a
capacidade para gerenciar as informações que estão a seu alcance. Assim, os
alunos terão oportunidade de ampliar seus conhecimentos acerca de conceitos
e procedimentos matemáticos bem como de ampliar a visão que têm dos
problemas, da Matemática, do mundo em geral e desenvolver sua
autoconfiança.

Com isso, a utilização da Resolução de Problemas permite que os estudantes
ampliem seus conhecimentos e sejam levados a refletirem sobre os problemas
matemáticos. Segundo Schoenfeld (2016), a Resolução de Problemas é o que faz
sentido dentro da Matemática e ela que pode levar os estudantes a pensarem
matematicamente, dado que pode possibilitar conjecturas e procurar soluções.
Do mesmo modo, de acordo com os PCN Mais (BRASIL, 2002, p. 112 -113, grifo
nosso):

92

A resolução de problemas é peça central para o ensino de Matemática,
pois o pensar e o fazer se mobilizam e se desenvolvem quando o
indivíduo está engajado ativamente no enfrentamento de desafios. Essa
competência não se desenvolve quando propomos apenas exercícios de
aplicação dos conceitos e técnicas matemáticas, pois, neste caso, o que está
em ação é uma simples transposição analógica: o aluno busca na memória um
exercício semelhante e desenvolve passos análogos aos daquela situação, o
que não garante que seja capaz de utilizar seus conhecimentos em situações
diferentes ou mais complexas.

Quando é exposto no documento que a competência de resolver problemas não
se desenvolve com exercícios, subentendemos a importância do conhecimento sobre
os tipos de tarefas matemáticas, pois, assim, será possível a utilização de cada tarefa
para finalidades específicas. Se queremos que os alunos pensem, ajam ativamente,
reflitam e exponham suas ideias de maneira crítica é preciso propor tarefas
desafiadoras que contribuam para isso, desenvolvendo habilidades variadas.
Assim sendo, Allevato e Onuchic (2014) destacam alguns pontos sobre a
Resolução de Problemas, entre eles: que ela coloca o foco na atenção do aluno; que
ela desenvolve o poder matemático; desenvolve a crença que os alunos são capazes
de fazer Matemática e que a Matemática faz sentido, permitindo a compreensão do
conteúdo. Desse modo, o trabalho com a resolução de problemas permite um contato
maior do estudante com a Matemática, fazendo com que ele se envolva nas situações
que são colocadas.Alvarenga e Vale (2007, p. 3) explicam que:
A resolução de problemas vai muito além de resolver um problema. Trata-se de
um conceito complexo e, por isso, é importante olhar para ele a partir de
diferentes perspectivas. É através dos problemas que o aluno pode seguir, tal
como os matemáticos, um processo de envolvimento e interesse pela
descoberta que leva a conseguir, em primeiro lugar, intuir os resultados e só
depois prova-los. A resolução de problemas surge, pois, como uma forma, entre
outras, de colocar os alunos numa situação de fazer Matemática e ainda
contribui para uma maior motivação, permitindo reduzir o insucesso nesta
disciplina.

Com o que expõe as autoras, não podemos pensar apenas no resolver do
problema propriamente dito, mas que outros fatores estão interligados. Nesta
abordagem não podemos colocar uma situação para o estudante e considerar apenas
se ele errou ou acertou na solução encontrada, ele tem que ser levado a pensar, se
envolver, agir criticamente, para que construa seus conhecimentos.

93

Stanic e Kilpatrick (1989) defendem que a Resolução de Problemas nos
currículos de Matemática foi um meio para conseguir que os estudantes estudassem
Matemática e que três temas gerais são discutidos, a saber: Resolução de Problemas
como contexto, Resolução de Problemas como habilidades e Resolução de Problemas
como arte. Assim, McIntosh e Jarrett (2000) pontuam que a Resolução de Problemas
como contexto dá realce em encontrar tarefas interessantes, ajudando a iluminar os
conceitos matemáticos ou procedimentos; na Resolução de Problemas como
habilidades, são ensinadas habilidades para resolver problemas; na Resolução de
Problemas como Arte, é defendido o desenvolvimento de habilidades dos alunos para
se tornarem bons solucionadores de problemas.
Com isso, para este estudo, defendemos duas dessas concepções bem
evidentes - a Resolução de Problemas como contexto e como arte -, pois consideramos
os contextos nas tarefas matemáticas (apontados no Arco de Maguerez) de maneira
problematizadora e que os estudantes consigam articular processos cognitivos diante
da organização do trabalho do professor, além de ajudar no desenvolvimento de
habilidades como criticidade e colaboração, entre outras.
Para Gagné (1974) a resolução de problemas matemáticos é um dos tipos mais
elevados de aprendizagem, sendo que, por meio dela, o sujeito combina e elabora
novos princípios. Mendes (2009) destaca que a relevância da Resolução de Problemas
está em ajudar os alunos a desenvolverem capacidades como: justificar suas respostas,
usar fatos desconhecidos e propriedades para expor como pensam. Ao encontro das
ideias de Mendes (2009) está a utilização, neste estudo, da Ação Comunicativa, uma
vez que consideramos o relacionamento interpessoal acontecendo por meio das falas e
justificativas dos estudantes, diante de questionamentos realizados pelo professor.
Nos estudos deBahtiyar e Can (2016), é mencionado que a Resolução de
Problemas necessita de habilidades cognitivas complexas e que desde a infância as
pessoas resolvem ativamente vários tipos de problemas. Assim, toda vez que o sujeito
encontra situações em que não se tem uma solução imediata na vida, ele está lidando
com a Resolução de Problemas. Nessa mesma ideia, Szaboet al. (2020) expõe que a
Resolução de Problemas é algo central na Educação Matemática e que ela é uma
abordagem poderosa para expandir conceitos e habilidades matemáticas. Do mesmo

94

modo, para Dante (2000), ela é o melhor caminho para que o estudante consiga
desenvolver o pensamento produtivo.
Lupinacci e Botin (2004), por sua vez, discutem que a Resolução de Problemas
permite inúmeras abordagens dos objetos do conhecimento estudados e, além disso,
proporciona uma melhor compreensão deles. Para as pesquisadoras, a abordagem é
uma maneira eficaz para desenvolver o raciocínio e a motivação dos estudantes. Todos
esses pontos expostos pelos autores justificam a nossa escolha por essa abordagem,
dado que precisamos proporcionar momentos eficazes de aprendizagem.
Além disso, para Szaboet al. (2020), ensinar utilizando a Resolução de
Problemas é uma maneira eficiente para o desenvolvimento das habilidades do século
XXI. As habilidades consideradas pelos autores são: as de aprendizagem (pensamento
crítico, criatividade, colaboração e comunicação); de alfabetização (midiática,
informacional

e

tecnológica);

para

a

vida

(flexibilidade,

liderança,

iniciativa,

produtividade e sociais). Destarte, a contribuição da abordagem enquanto estratégia
para a promoção da aprendizagem é eficaz em diversos fatores e é preciso pensar em
todas essas habilidades, consideradas do século XXI, quando pensamos na preparação
do estudante para dentro do espaço escolar e fora dele.

2.2.4 O ensino de Matemática com a Resolução de Problemas
Diante da importância dada à abordagem e a sua contribuição para o ensino e a
aprendizagem da Matemática, é importante destacar sobre três modos diferentes de
abordar a Resolução de Problemas apontados nos estudos de Schroeder e Lester Jr
(1989): ensinar sobre Resolução de Problemas, ensinar para resolver problemas e
ensinar Matemática via Resolução de Problemas. Na primeira abordagem, seria o
professor ensinar sobre Resolução de Problemas como uma teoria, isto é, apresentam
um modelo para se resolver problemas. No ensinar para resolver problemas, o
professor está alicerçado na maneira como a Matemática é ensinada e ela pode ser
aplicada na solução de problemas diversos, além disso, podemos expressar que, nesta,
o envolvimento dos estudantes está no fato deles resolverem os problemas após o
estudar o conteúdo, e o objetivo nessa perspectiva é que “a única razão para aprender

95

Matemática é ser capaz de usar o conhecimento obtido para resolver problemas”
(SCHROEDER, LESTER JR, 1989, p. 32, tradução nossa).
Ao ensinar Matemática via Resolução de Problemas, os problemas são
considerados como o primeiro passo de fazer Matemática e aprendê-la, Schroeder e
Lester Jr. (1989) esboçam que nessa abordagem:
(...) o ensino de um tópico matemático começa com uma situação-problema que
expressa aspectos aspectos-chave desse tópico e técnicas matemáticas são
desenvolvidas como respostas razoáveis para problemas razoáveis(p.33,
tradução nossa).

É importante salientar que esta perspectiva também é defendida nos PCN
(BRASIL, 1998), dado que é colocado que o problema deve ser o pontapé e não a
definição dos conteúdos. No entanto, já era salientado por Schroeder e Lester Jr (1989)
– na época dos seus escritos – que a abordagem via Resolução de Problemas era
pouco adotada e, isso, até os dias atuais é bem presente, pois, por mais que diversas
pesquisas defendam esse modelo, o que muito se vê nas aulas de Matemática é o
professor apresentando a conceituação dos conteúdos, para posteriormente trabalhar
com problemas ou situações-problema.
É importante mencionar que nos estudos de Allevato e Onuchic (2014), é
sugerida a metodologia de Ensino-Aprendizagem-Avaliação através – em analogia ao
termo via – da Resolução de Problemas, e se opõe aos ensinos sobre e para
Resolução de Problemas destacados nos estudos dos autores citados nos parágrafos
anteriores. Proença (2017), por sua vez, em um estudo realizado com o intuito de
analisar as dificuldades dos estudantes na visão de um grupo de professores, quando é
realizado o ensino via Resolução de Problemas, destacou que uma das grandes
dificuldades de se trabalhar com essa abordagem de ensino está nas escolhas das
situações matemáticas que são manuseadas para introduzir determinado saber.
Por esse viés, mais à frente, Proença (2018), considerando também o ensino via
Resolução de Problemas, propôs um percurso para condução nas aulas de Matemática
apresentando uma sequência de cinco ações. A primeira ação, aescolha do problema,
diz respeito ao momento em que o professor está preparando a aula e busca possíveis
problemas para trabalhar com seus alunos. O autor destaca que que nesse momento
três aspectos são relevantes:

96

[...] direcionar os alunos a utilizar conceitos, princípios e procedimentos
matemáticos aprendidos anteriormente [...] levá-los a construir o
conteúdo/conceito/assunto a ser introduzido [...] estabeleçam relações entre os
conhecimentos matemáticos utilizados e entre estes e o novo conhecimento
(PROENÇA, 2018, p. 46).

Assim sendo, é importante que o professor escolha um problema que possua
vários caminhos para ser resolvido, levando em consideração as possibilidades de
estratégias para a solução. A segunda ação é a introdução do problema, em que se
deixa os estudantes livres para buscarem soluções, ocorrendo em sala de aula e tendo
como preferência o trabalho em grupo. A terceira ação,auxílio aos alunos durante a
resolução, acontece quando os alunos começam a resolver o problema, nela o docente
observa, direciona e incentiva os alunos. A quarta ação,discussão das estratégias dos
alunos, o professor busca debater sobre asestratégias e procedimentos utilizados pelos
estudantes e os possíveis equívocos, para isso ocorre a exposição das estratégias
utilizadas para resolver o problema na lousa, de modo que a intenção é fazer com que
os alunos compreendam de forma racional se resolveram de maneira correta ou
incorreta o problema. Na última ação, articulação das estratégias dos alunos ao
conteúdo, ocorre a articulação das estratégias empregadas ao saber matemático em
questão e caso não seja possível essa articulação, a resolução do problema deve
acontecer de maneira direta pelo uso do conteúdo matemático a ser estudado.
Assim sendo, nos estudos de Proença (2021), considerando ainda as
abordagens de ensino expostas por Schroeder e Lester (1989), é mencionada uma
proposta de organização de ensino para aprendizagem de conceitos matemáticos
conciliando os ensinos via, sobre e para Resolução de Problemas, a saber: uso do
problema como ponto de partida, em que o professor considera a abordagem via
Resolução de Problemas; formação do conceito, em que o professor propõe atividades
que levem os estudantes a aprenderem e desenvolverem a compreensão de
propriedades dos conceitos a serem formados; definição do conteúdo, em que é
abordada tanto a definição do conceito quanto os procedimentos algorítmicos de
resolução; aplicação de novos problemas, em que acontece a proposição de novos
problemas, para que os estudantes possam desenvolver o conceito compreendido e os
procedimentos algorítmicos.

97

Assim sendo, é destacado por Lester Jr (2013, p. 4, tradução nossa), que:
A resolução de problemas é uma atividade que requer do indivíduo (ou grupo)
para envolver-se em uma variedade de ações de cognitivas, cada uma das
quais requer algum conhecimento e habilidade, e alguns dos quais não são
rotineiros.

Em consequência disso, é preciso pensar na Resolução de Problemas sob o
âmbito da Didática da Matemática, visto que neste estudo também estamos utilizando,
como já discutido, teorias centradas nesta temática. Assim sendo, o que Guérios e
Medeiros Jr (2016) escrevem é pertinente, apontando que a Resolução de Problemas
“não se trata apenas de um método”, mas também da “compreensão do processo
didático em sua essência” (p. 212 – 213).
Assim, é preciso considerar três elementos centrais quando a Resolução de
Problemas está sendo utilizada: o professor, o aluno e o conhecimento matemático.
Guérios e Medeiros Jr (2016,p. 215) assentam que a sala de aula é um espaço
complexo e dinâmico “que se movimenta e se desequilibra constantemente”. Diante
disso, as autoras expõem uma figura que representa tal afirmação, como podemos ver
a seguir:
Figura 6: Tríade professor-aluno-conhecimento e a Resolução de Problemas

Fonte: Guérios e Medeiros Jr (2016, p. 215)

98

A figura apresentada e discutida pelas autoras representa o movimento do
ensino e da aprendizagem, dado que eles são considerados como processos
complementares (GUÉRIOS; MEDEIROS JR, 2016). A imagem apresentada vai ao
encontro do que esboçamos no segundo capítulo desta dissertação, quando
abordamos a respeito da Teoria das Situações Didáticas e do Contrato Didático. No
escrito, ainda das autoras, é dito que:
Identificamos o movimento estabelecido na tríade professor-alunoconhecimento matemático quando se ensina matemática por meio da resolução
de problemas retornando-se as interpretações dos registros escritos e orais
circunstanciando as contribuições da didática e da resolução de problemas.
(GUÉRIOS; MEDEIROS JR, 2016, p. 217)

Desse modo, a afirmação anterior nos remete a elucidar a respeito das situações
adidáticas expostas por Brousseau (1986), as quais podem ser favorecidas pela
Resolução de Problemas, uma vez que diante desta é possível que o estudante
caminhe sozinho, com base na mediação do professor, na busca de soluções dos
problemas e na construção do seu conhecimento.
Por esse viés, é preciso escrever também sobre a figura do professor, os
processos e as estratégias fundadas em ideias cognitivas e metacognitivas que os
estudantes podem apresentar na Resolução de Problemas. Destarte, no próximo tópico,
esboçaremos sobre os processos e estratégias considerando as etapas de Resolução
de Problemas e, por conseguinte, da figura do professor, uma vez que iremos elucidar
sobre ela evidenciando a abordagem aqui discutida com o Arco de Maguerez (também
objeto de estudo nesta dissertação).

2.2.5 Processos e estratégias: as etapas de Resolução de Problemas
Diante das diferentes concepções dadas à Resolução de Problemas sob os
olhares de autores diversos, como salientado no subtópico anterior, alguns autores
escrevem a respeito de algumas fases na Resolução de Problemas, considerando que
sejam chamadas de caminhos para uma melhor orientação do trabalho com a
abordagem ou de etapas de pensamento no ato de resolver problemas.

99

Tanto no âmbito internacional como no nacional, as etapas discutidas são
diversas, mas é importante mencionar que não há uma maneira linear para se resolver
problemas, como esboça Allevato e Onuchic (2014). Diante disso, para uma melhor
organização na exposição dessas etapas neste estudo, resolvemos esboçá-las
considerando uma linha do tempo, isto é, aquelas que vamos encontrando na literatura
de acordo com os seus anos de publicações. Além disso, também esboçaremos aqui, a
respeito das semelhanças entre as etapas discutidas pelos diversos autores.
Não dá para iniciar escrevendo sobre etapas de Resolução de Problemas e
deixar de mencionar as heurísticas de Polya, uma vez que, desde o tratamento inicial
da Resolução de Problemas, o autor aparece como um dos pioneiros no estudo sobre a
temática. O autor em sua obra “A arte de resolver problemas”, publicada em várias
edições e também traduzida para a Língua Portuguesa, descreve a respeito de quatro
fases para se resolver um problema: compreensão do problema, estabelecimento de
um plano, execução e retrospecto (POLYA, 1995). O autor pondera que “é uma tolice
responder a uma pergunta que não se tenha sido compreendido; é triste trabalhar para
um fim que não se deseja” (POLYA, 1995, p. 4). Nesse sentido, destaca que a fase de
compreensão do problema é algo importante, mas não se deve apenas ao fato de
compreender o problema, uma vez que o estudante “deve também desejar resolvê-lo”
(POLYA, 1995, p. 4). A fase inicial na resolução de um problema dar-se-á no
entendimento do que está sendo posto e na identificação dos dados do problema.
Por conseguinte, na fase nomeada por estabelecimento de um plano, o autor
expõe que “temos um plano quando conhecemos, pelo menos de um modo geral, quais
as contas, os cálculos ou os desenhos que precisamos executar” (POLYA, 1995, p. 5).
É exposto ainda pelo autor que o caminho alicerçado desde a compreensão ao
estabelecimento de um plano não é fácil, podendo surgir gradualmente ou diante de
inúmeras tentativas. Na execução do plano, o autor esboça que é mais fácil que
concebê-lo, pois para criá-lo é preciso de conhecimentos anteriores e de concentração.
Segundo Polya (1995, p. 9):
O plano proporciona apenas um roteiro geral. Precisamos ficar convictos de que
os detalhes inserem-se nesse roteiro e, para isto, temos de examiná-los, um
após outro, pacientemente, até que tudo fique perfeitamente claro e que não
reste nenhum recanto obscuro no qual possa ocultar-se um erro.

100

Com isso, entendemos que, na execução do plano, de acordo com os escritos do
autor, é preciso ficar atento para que nada passe despercebido. Por fim, na sua última
etapa, chamada de retrospecto, o autor salienta que:
[...] se fizerem um retrospecto da resolução completa, reconsiderando e
reexaminando o resultado final e o caminho que levou até este, eles poderão
consolidar o seu conhecimento e aperfeiçoar a capacidade de resolver
problemas (POLYA, 1995, p.10).

Nesse sentido, apontamos que, diante dos escritos de Polya, a fase de
retrospecto é de fundamental importância no ato de resolver problemas, pois nela será
possível o estudante enxergar se existem erros e também o aperfeiçoamento da
compreensão de solução.
Para não tornar o tópico cansativo, dado que muitas das etapas expostas na
literatura por diversos autores são sinônimas, mudando apenas suas nomeações, como
exposto por Yusufet al. (2021), optamos por expor apenas como as etapas estão sendo
nomeadas, considerando os seus autores e aquelas que julgamos diferentes trataremos
de modo mais detalhado. Nos estudos de Schoenfeld (1985), também foram expostas
quatro etapas para a resolução de problemas, a saber: compreender o problema,
escolha da abordagem ou estratégia, resolver o problema, verificação da solução. Para
Mayer (1989), as etapas são: representação do problema traduzido; integração do
problema, envolvendo métodos a seleção de métodos; planejamento de solução;
implemento da solução. Já para Lester (1994), seis etapas são destacadas:
identificação do problema; compreensão do problema; análise de metas; estratégias de
planejamento; implementação de estratégias; reavaliação das respostas finais.
Dessarte, como pode ser observado quando esboçamos as etapas, as suas
nomenclaturas são sinônimas e, Yusufet al. (2021), fazendo uma revisão de literatura
sobre a Resolução de Problemas, em que mencionaram também os estudos
anteriormente citados, esboçaram que as mudanças nos nomes podem se dar “devido
à cultura, lugar e ambiente de relevância da Matemática” (YUSUF et al., 2021, p. 1148,
tradução nossa).
Além dos estudos anteriormente mencionados, Sternberg (2001) também
apresenta etapas julgadas por ele necessárias ao se trabalhar com a Resolução de
Problemas, a saber: identificação do problema; definição do problema; formulação de

101

estratégia; organização de informações; alocação de recursos; monitoramento;
avaliação. As etapas mencionadas pelo autor também são semelhantes às que foram
escritas em parágrafos anteriores, mostrando-se como diferente a nomeada por
alocação de recursos que, para o autor, diz respeito à organização de recursos mentais.
Nas demais etapas apenas os nomes também são diferentes: um exemplo é a etapa
que o autor chama definição do problema, que nada mais é que a compreensão da
questão. Cabe-nos mencionar que a etapa de identificação do problema está presente
nos estudos de Lester (1994) e de Sternberg (2001), sendo descrita como uma
constatação da questão central do problema.
À vista disso, é importante pontuar que todas as etapas anteriormente elucidadas
fazem parte de estudos estrangeiros e, que, também, precisamos considerar o que vem
sendo abordado a nível nacional, dado que é o que está mais próximo de nós
culturalmente. Assim sendo, dedicamos os parágrafos seguintes para escrever a
respeito das etapas que estão expostas em literatura nacional quando é estudado a
respeito da Resolução de Problemas.
Brito (2010) esboça em suas pesquisas quatro etapas na Resolução de
Problemas: representação, planejamento, execução e monitoramento. Mais tarde, em
estudos realizados por Proença (2018) tais etapas foram descritas, salientando que a
etapa de representação diz respeito à compreensão do problema; o planejamento é o
momento que o estudante apresenta uma estratégia para ajudar a chegar à solução; na
execução, o sujeito executa a estratégia anteriormente proposta, isto é, pode executar
os cálculos; o monitoramento acontece diante da verificação e racionalidade da
resposta encontrada e na análise do processo de resolução seguido (PROENÇA,
2018).
Nas etapas salientadas por Brito (2010) e Proença (2018), também se observa
uma grande semelhança com as que são colocadas desde os primeiros estudos
encontrados na literatura, por exemplo, as de Polya. No entanto, é relevante mencionar
que cada autor tem objetivo diferente: uns estão preocupados apenas no ensinar sobre
Resolução de Problemas, enquanto outros estão fundamentados na psicologia
cognitiva e destacam nessas etapas uma íntima relação com os conhecimentos
necessários à Resolução de Problemas destacados por Mayer (1992).

102

Mayer (1992) descreve quatro tipos de conhecimentos necessários à resolução
de problemas: conhecimentos linguísticos e semânticos, que se dá na tradução das
informações contidas no problema, utilizando a representação mental; conhecimento
esquemático, que diz respeito a conhecer o que está sendo abordado naquele
problema e a que objeto do conhecimento se refere, por exemplo; conhecimento
estratégico, que é necessário para gerar e monitorar um plano de solução; por fim, o
conhecimento procedimental, que se dá na hora executar o plano de solução. Assim,
pode-se perceber que cada conhecimento destacado está relacionado às etapas que
podem ser contempladas quando se resolve problemas, isto é, na etapa de
representação

ou

compreensão

do

problema,

os conhecimentos

linguísticos,

semânticos e esquemáticos possibilitam que a pessoa entenda a situação ou problema
que está sendo colocada e que elabore uma representação mental (MAYER, 1992).
Para mais, em Proença (2018) é destacado que, na etapa de representação, a
utilização dos conhecimentos linguísticos pode ser analisada diante da identificação de
termos no enunciado de uma questão que podem ser entendidos com base na língua
materna do estudante; a utilização dos conhecimentos semânticos se dá com base na
presença de termos matemáticos conhecidos pelos estudantes; a utilização dos
conhecimentos esquemáticos na percepção dos estudantes sobre o que trata o
problema, se é sobre Juros, Porcentagem, Probabilidade. Na etapa de planejamento, a
utilização do conhecimento estratégico se dá na análise sobre se o aluno utilizou
estratégias adequadas; o tipo de mente matemática (lógico-verbal, viso-pictórico ou
ambas); pensamento de símbolos matemáticos; generalização de forma rápida e
abreviação do processo de raciocínio matemático, podemos elencar que é nesta etapa
que o estudante mostra o caminho que resolveu o problema. Na etapa de execução dá
para constatar se o aluno realizou os cálculos de acordo com a proposta anteriormente
colocada por ele; se ele faz os cálculos matemáticos necessários e utiliza os
conhecimentos procedimentais para saber se os cálculos estão adequados. Proença et
al. (2022, p. 267) menciona que a etapa de execução “revela os quão formados estão,
na estrutura cognitiva de uma pessoa, os seis conhecimentos de procedimentos
algorítmicos, de técnicas e de fazer desenhos”. Na etapa de monitoramento, acontece a

103

verificação da reposta apresentada, se ela tem racionalidade; é o momento de rever a
solução seguida; identificação da habilidade de reconstrução rápida.
Nesse sentido, Brito (2010) destaca que “a solução de problemas é, portando,
geradora de um processo através do qual o aprendiz vai combinar, na estrutura
cognitiva,

os

conceitos,

princípios,

procedimentos,

técnicas

e

conhecimentos

previamente adquiridos” (p.19). Assim, podemos considerar que tanto nos estudos de
Brito (2010) como nos desenvolvidos por Proença (2018, 2021) era considerada a
estrutura cognitiva dos indivíduos ao expor sobre essas etapas.
Diante das ponderações, é observado que muito se fala de etapas na literatura e,
com isso, é preciso que consideremos a respeito de processo e estratégias, visto que
são indispensáveis quando falamos de Resolução de Problemas, bem como das etapas
que ela envolve. Yusufet al. (2021) aponta que “resolver problemas matemáticos é
único, pois a solução pode ser feita com várias maneiras de estratégias e acompanhar
o processo” (YUSUF et al., 2021, p. 1145, tradução nossa). Assim sendo, as etapas de
solução de problemas formam a base do processo de resolução.
Com isso, também é exposto por Yusufet al. (2021), quando realizaram uma
revisão de literatura sobre algumas etapas da Resolução de Problemas expostas por
alguns autores, sobre as estratégias. Reiteramos que as etapas mencionadas fazem
parte do processo de resolução e, em linhas gerais, as estratégias serão desenhar uma
imagem, encontrar um padrão, escrever uma equação, escolher operação, trabalhar
para trás, criar uma tabela, listar resultados, entre outras. Assim, dentro de todo o
processo de resolução, descritos diante das etapas mencionadas, várias estratégias
podem ser utilizadas e cada resolvedor de um problema pode utilizar as estratégias que
lhe forem mais apropriadas ou tiverem mais familiaridade. Os autores expressam que o
processo de resolução de problemas tem semelhanças com as estratégias e destacam
que o processo pode ser entender o problema, resolver o problema e verificar o
problema e que estratégia é uma ferramenta para chegar à solução.
Oliveira e Proença (2022b), ao apresentarem e discutirem um estudo que trata
da estratégia da ‘tabela’ no ato de resolver problemas com estudantes da Licenciatura
em Matemática, abordam que, segundo os solucionadores, a tabela possibilitou uma
melhor organização dos dados e informações, permitiu o mapeamento do início ao fim

104

durante a resolução, possibilitando também encontrar padrões. No entanto, também
foram colocadas pelos autores algumas limitações expostas pelos estudantes, entre
elas: resolução extensa e cansativa, não ser possível resolver todos os tipos de
problema utilizando a tabela; o fato de a tabela depender de quem esteja resolvendo o
problema e o problema que será resolvido. Diante do estudo, evidenciamos que é uma
única estratégia dificilmente caberá na resolução de todos os tipos de problemas e a
importância de apresentar diversas estratégias para os estudantes para que assim eles
utilizem a que acharem mais cabível.
Assim sendo, segundo Schoenfeld (2013), as estratégias de Resolução de
Problemas são ferramentas para resolver algo e ao fazer Matemática é preciso fazer
explorações, sistematizações e previsões. Com isso, não há uma única maneira para se
resolver um problema e podem existir inúmeras estratégias para resolver um só
problema. As ideias expostas nos levam a refletir sobre a figura do estudante diante das
estratégias e, é importante pontuar, sobre o fato de que muitos deles conhecem
diversas estratégias, no entanto, não têm conhecimento de quais são mais eficazes
para resolver uma atividade específica da Matemática.
Para Yusufet al. (2021):
O processo de resolução de problemas requer um conjunto de atividades
sistemáticas onde há um planejamento lógico e produz alternativa, incluindo
estratégias a serem utilizadas e seleção de métodos para implementá-lo. Cada
processo de resolução de problemas requer um método ou estratégia para
resolver o problema, realizar cálculos para atingir a meta e revisar a
implementação do que foi feito para obter a resposta correta. (YUSUF te al.,
2021, p. 1150, tradução nossa)

Diante disso, os processos são vistos pelos autores como entender o problema,
planejar uma solução e verificar a racionalidade da resposta encontrada e para isso são
necessárias as estratégias, por exemplo, no planejamento da solução uma estratégia
seria separar os dados numa tabela.
Assim, como não dá para considerar em um estudo todas as fases, etapas
expostas na literatura, e assim optamos por, em nossas análises, considerar as etapas
expostas por Brito (2010) e também discutidas por Proença (2018, 2021):
representação, planejamento, execução, monitoramento. No julgamento dessas etapas
para este estudo, consideramo-las, pois nelas existem dois aspectos importantes da

105

habilidade metacognitiva – representação e planejamento -, como afirmado por Mulyono
e Hadiyanti (2017).
Na BNCC (BRASIL, 2018, p. 535) é salientado que:
Para resolver problemas, os estudantes podem, no início, identificar os
conceitos e procedimentos matemáticos necessários ou os que possam ser
utilizados na chamada formulação matemática do problema. Depois disso, eles
precisam aplicar esses conceitos, executar procedimentos e, ao final,
compatibilizar os resultados com o problema original, comunicando a solução
aos colegas por meio de argumentação consistente e linguagem adequada.

As ideias tecidas anteriormente vão ao encontro do que já vem sendo pontuado
sobre o fato de que, na resolução de um problema matemático, os estudantes passam
por algumas etapas. Ainda na BNCC (BRASIL, 2018, p. 535), é exposto que “a
resolução de problemas pode exigir processos cognitivos diferentes”, isto é, há
situações em que o estudante compreenderá de maneira mais rápida e há outras que
exigem um maior grau de compreensão e interpretação.
Assim sendo, para Silva e Siqueira Filho (2011, p. 145), a Resolução de
Problemas matemáticos:
[...] aguça processos cognitivos, uma vez que dá ao aluno possibilidades de
reflexão, análise dos procedimentos efetivados, descobertas de caminhos
diferenciados para conclusão do problema, releitura do resultado encontrado,
dentre outras.

Ponderamos que é importante deixar os estudantes livres para escolherem o
caminho, a técnica, a estratégia, os passos para que resolvam problemas e, diante
disso, algumas dessas etapas podem ser ou não contempladas, como também
acrescidas. Essa questão de contemplar ou não certas etapas na resolução de
problemas, foi apontada em um estudo realizado por Viana e Lozada (2020) sobre a
aprendizagem baseada em problemas. Os autores constataram que os alunos
costumam negligenciar certas etapas, outras não são consideradas importantes,
algumas são realizadas de forma oral, sem registro em folha de papel. Assim, os
autores apontam que em geral os alunos não apreciam seguir etapas para resolver
problemas e preferem seguir um caminho mais livre, sem linearidade de como fazer a
resolução e por onde começar.

106

Yusufet al. (2021) salientamque “qualquer método escolhido depende da vontade
e do conhecimento existente para responder à questão problemática” (p. 1150, tradução
nossa). Além disso, Yusufet al. (2021) ainda ponderam que “estudar como os alunos
resolvem problemas matemáticos é uma tarefa complexa” (p. 1151, tradução nossa).
Numa relação com essas ideias, Echeverría e Pozo (1998, p. 14) escrevem que não é
suficiente “dotar os alunos de habilidades e estratégias eficazes”, mas é preciso “criar
neles o hábito e a atitude de enfrentar a aprendizagem como um problema para o qual
deve ser encontrada uma resposta”.
Somando a isso, Maharani (2014), ao abordar sobre o pensamento criativo na
utilização de problema matemáticos, escreveu que, por meio dele, é possível gerar
novas ideias, que os estudantes podem ser ativos e que a criatividade é um prérequisito para se resolver problemas. No entanto, “para o pensamento criativo é
necessária a liberdade de pensamento, não estando sob controle ou pressão”
(MAHARANI, 2014, p. 121, tradução nossa). Com esse ponto de vista, para que os
estudantes usem a criatividade é preciso de tempo na resolução de problemas
matemáticos e ela exige pensamento lógico e intuitivo.
Brito (2012, p 18) traz uma reflexão sobre os mecanismos cognitivos da
resolução de problemas:
Solução de problemas é entendida como uma forma complexa de combinação
dos mecanismos cognitivos disponibilizados a partir do momento em que o
sujeito se depara com uma situação para a qual precisa buscar alternativas de
solução. Pode ser definida como um processo cognitivo que visa transformar
uma dada situação em uma situação dirigida a um objetivo, quando um método
óbvio de solução não está disponível para o solucionador, apresentando quatro
características: é cognitiva, é um processo, é dirigida a um objetivo e é pessoal,
pois depende do conhecimento prévio do indivíduo.

Com base nisso, Fonseca e Contijo (2021) defendem que, ao se trabalhar com
problemas matemáticos, a riqueza está na organização mental do sujeito, uma vez que
demanda dele a elaboração de estratégias, testagem, verificação, entre outros passos
já expostos anteriormente. Todos os pontos discutidos refletem sobre as habilidades
metacognitivas essenciais na resolução de problemas que se fundam no: prever,
planejar, monitorar e avaliar (MULYONO; HADIYANTI, 2017).

107

Acrescido a essas ideias, para Bahtiyar e Can (2016, p. 2109, tradução nossa)
“do ponto de vista dos behavioristas, a resolução de problemas é um processo que se
desenvolve através de mecanismos de reforço positivo e negativo”. Além dessas
contemplações, para os autores, por meio da resolução de problemas, os estudantes
desenvolvem capacidades de pensar sobre situações e problemas, lidando com eles
por meio de estratégias criativas, sistemáticas e analíticas.
Com as elucidações, chegamos a um ponto que nos leva a refletir sobre o enlace
aqui proposto por nós, a utilização da Resolução de Problemas com o Arco de
Maguerez. Assim, como já foi destacado sobre as diferentes concepções da Resolução
de Problemas, os processos e as estratégias, no próximo tópico destacamos as suas
relações, o que nos levou a utilizar as abordagens em conjunto, e como juntamos os
processos e estratégias, considerando, também, as etapas que são discutidas na
problematização com o Arco de Maguerez.

2.2.6 A Resolução de Problemas enlaçada com o Arco de Maguerez
Com as discussões apresentadas em tópicos desta dissertação, subentende-se
que a nossa opção, enquanto professores que ensinam Matemática, é a de Educação
Libertadora, dado que o nosso estudo vai contra a educação bancária e defende a
educação problematizadora. Em linhas gerais, para Bordenave e Pereira (2015), a
educação bancária apresenta as características a seguir: o professor que faz a
transmissão do conhecimento, diante de suas experiências; espera-se que os
estudantes absorvam o conteúdo das matérias sem modificá-lo e o reproduzam; não se
preocupa com o estudante como sujeito integral e membro de uma comunidade; o
estudante é passivo, memorizador, mero reprodutor.
Por outro lado, para Bordenave e Pereira (2015), a educação problematizadora
defende que: um sujeito só conhece algo bem quando o transforma; a solução de
problemas implica na participação ativa e na ação comunicativa entre estudantes e
professores; a aprendizagem acontece diante de uma pesquisa em que o estudante
passa por uma série de processos que aguçam o seu sistema cognitivo. Assim,
comungamos do que Bordenave e Pereira (2015) descrevem em seus estudos, e
defendemos propostas de ensino e aprendizagem, nas quais seja valorizado o papel do

108

estudante nas diferentes esferas em que ele está inserido, bem como o dialogismo
diante da relação professor-aluno e aluno-aluno.
Diante disso, para somar ao que já é discutido na Resolução de Problemas,
considerando o estudante como um sujeito que atua ativamente nas situações de
aprendizagem, abordamos também sobre a problematização com o Arco de Maguerez.
De acordo com Berbel (2012), a problematização com o Arco de Maguerez considera a
realidade como ponto de partida e aplicação nela. Nesse sentido, entendemos que
abordar sobre ela junto com a Resolução de Problemas trará grandes contribuições
para o ensino de Matemática, e que uma das concepções de Stanic e Kilpatrick (1989)
pode ser contemplada – a Resolução de Problemas enquanto contexto. Sobre isso,
destacamos a figura apresentada abaixo.
Figura 7: Problematização: resolução de problemas e o Arco de Maguerez

Fonte: Elaboração do autor da dissertação (2022)

Com a figura esboçada, pontuamos que tanto a Resolução de Problemas como o
Arco de Maguerez são abordagens que estão dentro da problematização, logo, que
consideram o ensino e a aprendizagem a partir de contextos problematizadores, os
quais permitem visões críticas e reflexivas ao seu respeito.

109

Para que fique mais fácil o entendimento do leitor, primeiramente, faremos uma
descrição histórica sobre o Arco de Maguerez, para depois expormos sobre suas
características e como se dá o seu enlace com a Resolução de Problemas aqui neste
estudo. Nesse sentido, de acordo com Colombo e Berbel (2007), o Arco de Maguerez
foi elaborado na década de 70 e tornou-se público com os escritos de Bordenave e
Pereira, sendo por muito tempo o estudo dos autores o único disponível no meio
acadêmico e que tal proposta recebeu inspiração de Paulo Freire – educação
libertadora X educação bancária.
Para Colombo e Berbel (2007, p. 123), a educação problematizadora com o Arco
de Maguerez aparece com “o fortalecimento da necessidade de uma perspectiva de
ensino mais voltada para a construção do conhecimento pelo aluno”. Para as autoras
ainda:
A riqueza dessa metodologia está em suas características e etapas,
mobilizadoras de diferentes habilidades intelectuais dos sujeitos, demandando,
no entanto, disposição e esforços pelos que a desenvolvem no sentido de
seguir sistematizando a sua orientação básica, para alcançar os resultados
pretendidos. (COLOMBO; BERBEL, 2007, p. 124)

Com a descrição dada pelas autoras, já se percebe que a abordagem,
considerada metodologia da problematização, está alicerçada em etapas. Assim sendo,
diante do livro publicado por Berbel (2012) – A Metodologia da Problematização com o
Arco de Maguerez – faremos o esboço de como essas etapas são configuradas e quais
as modificações que elas sofreram até chegar a sua configuração atual.
Berbel (2012) explicita três versões para explicação do Arco de Maguerez. A
primeira versão exposta por Charles Maguerez – criador do Arco – foi apresentada no
esquema da afigura abaixo:

110

Figura 8: Esquema inicial do Arco de Maguerez

Fonte: Berbel e Gamboa (2012, p. 268)

Berbel (2012) descreve que a dinâmica da aprendizagem com base nesse
esquema acontece da seguinte maneira: observação da realidade (dados de um
problema); observação de uma maquete, simplificando e simbolizando a realidade
(elaboração de um resumo dessa realidade); discussão sobre esquemas (de
conteúdos), permitindo uma generalização; execução sobre a maquete, permitindo dar
imediatamente um valor aos símbolos; por fim, execução na realidade. A autora afirma
que para Charles Maguerez é importante a “associação da palavra com a imagem do
real que lhe corresponde para formação do conceito, da generalização abstrata e do
desenvolvimento do raciocínio do aprendiz” (BERBEL, 2012, p. 35).
Com isso, a autora trata das etapas expostas na figura 8 e considera que as
fases de observação – realidade, maquete – têm o objetivo de ligar o objeto do
conhecimento (conteúdo) à realidade (BERBEL, 2012). Com a afirmação, percebe-se
que o arco está embasado em dar sentido ao que é estudado dentro do espaço escolar,
isto é, a aplicação do conhecimento em desenvolvimento. Sobre as etapas, ainda é
salientado pela autora que as quatro primeiras podem ser desenvolvidas dentro do
espaço da sala de aula e a quinta etapa é a aplicação na realidade, e que ela pode
acontecer “segundo regras comuns do ensino trabalhado, em um laboratório ou local de
trabalho real” (BERBEL, 2012, p. 35). Aplicando o arco no ensino e a aprendizagem da

111

Matemática, a última etapa pode ficar a critério do estudante, para que ele aplique o
conhecimento adquirido em situações de sua vida real no contexto em que vive ou que
o professor leve os estudantes a espaços para aplicação conhecimento.
Na segunda versão explicada do Arco de Maguerez exposta por Berbel (2012), já
é mostrado o esquema do arco como é configurado nos dias atuais. Verifique a figura a
seguir:
Figura 9: Esquema atual do Arco de Maguerez

Fonte: Bordenave e Pereira (2015, p. 10)

Para que não fique confuso aos olhos do leitor, Berbel (2012) em sua obra
utilizou os escritos de Bordenave e Pereira, pois, como já salientado, por muito tempo
foi o único escrito disponível sobre o arco. Assim, pode parecer contraditório quando
utilizamos Berbel (2012) e depois a figura do arco com a fonte de Bordenave e Pereira
(2015), mas isso justifica-se pela obra de Bordenave e Pereira ter tido várias edições e
estarmos utilizando como referência a mais atual.
Assim como Berbel (2012) salienta, também observamos que, nos escritos de
Bordenave e Pereira (2015), as etapas do Arco de Maguerez foram referidas de várias
maneiras. Diante disso, como uma mesma temática pode ser tratada por diversos
vieses, pesquisadores têm que seguir uma linha de pensamento e, desse modo, vamos
discutir sobre a maneira que achamos pertinente para este estudo. Ao falar
propriamente das etapas expostas no arco, mais uma vez reiteramos que tudo parte da

112

observação da realidade, no entanto, pontuamos que há modificações da versão inicial
para a final, por exemplo: observação da maquete e execução da maquete passaram a
ser os pontos-chave e as hipóteses de solução, respectivamente.
Destarte, para uma maior contemplação falaremos das etapas expostas no Arco
de Maguerez de maneira mais detalhada, para que assim seja possível alinhar à
Resolução de Problemas. Na última versão exposta por Berbel (2012), o Arco se dá
diante da observação da realidade, pontos-chave, teorização, hipóteses de solução e
aplicação na realidade (como exposto na figura 9). Colombo e Berbel (2012) destacam
que na primeira etapa se dá a observação da realidade e a definição do problema, e
que este é o início do processo de apropriação de informações diversas pelos
participantes. Para este estudo, salientamos que os problemas, em sua maior parte,
serão levados prontos para os estudantes. No entanto, para isso, consideramos
situações ligadas à realidade, principalmente aquelas que fazem parte dos contextos
dos estudantes que são sujeitos de pesquisa, para que assim eles se sintam mais
engajados em problematizar as situações esboçadas.
É diante da situação observada que as pessoas poderão problematizá-las. Na
segunda etapa, ainda segundo as autoras, após os problemas estarem em mãos, os
pontos-chave permitirão uma maior compreensão do problema, permitindo uma maior
reflexão sobre ele, uma vez que diz respeito ao que está sendo tratado no problema, ou
seja, o que está sendo investigado, os termos matemáticos e não matemáticos
presentes. Partindo disso, na etapa de observação de realidade e dos pontos-chave,
também é onde acontece a representação quando consideramos a Resolução de
Problemas e suas etapas de pensamento de acordo com Brito (2010), pois, para que os
estudantes reflitam sobre o que está sendo esboçado da realidade, precisarão
compreender os problemas e, assim, enxergar o que será investigado, permitindo o uso
da sua criatividade, além dos esforços cognitivos na busca de estratégias para resolver
a situação.
Por conseguinte, na etapa de Teorização, os estudantes serão levados a discutir
sobre o que o problema aborda, o conteúdo matemático. Nessa etapa destacamos os
processos de representação trazidos também nos estudos de Resolução de Problemas.
Colombo e Berbel (2007, p. 125) assentam que, nesta etapa, “os dados obtidos,

113

registrados e tratados, são analisados e discutidos, buscando-se um sentido para eles,
tendo sempre em vista o problema”.
Na etapa de hipóteses de solução do Arco de Maguerez, pontuamos que podem
acontecer, no mesmo período do planejamento, execução e monitoramento das etapas
de Resolução de Problemas, pois a partir disso os estudantes decidem as estratégias
para resolver o problema, se existe apenas um meio e qual seria o mais eficaz,
utilizando dos diversos registros (operações matemáticas, gráficos, tabelas). Além
disso, também será possível observar os conhecimentos dos diversos ramosda
Matemática (como por exemplo, Álgebra, Geometria, entre outros), o pensamento com
símbolos, abreviação do processo de raciocínio, execução da estratégia proposta,
utilização dos conhecimentos procedimentais, verificação da reposta apresentada,
revisão da solução apresentada e habilidades de reconstrução.
Por fim, na última etapa, a aplicação na realidade permitirá uma análise de onde
o problema partiu, até onde chegou e quais as implicações do possível conhecimento
construído para aquele meio. Para ser mais específico, nessa última fase, os
estudantes podem expor suas reflexões com base no problema e na situação
norteadora e os impactos do resultado numérico na realidade (BERBEL, 2012).
À vista do que vem sendo pontuado, para uma maior contemplação da proposta
envolvida à Resolução de Problemas, utilizaremos o Arco de Maguerez para que o
estudante exponha o seu pensamento a partir dos problemas matemáticos entregues.
Assim, eles poderão fazer uma análise crítica e ver em que os dados implicam nas suas
vidas, diante da observação da realidade; identificarão os objetos de investigação
(conceitos matemáticos e não-matemáticos) diante dos pontos-chave; verificarão qual a
teoria matemática envolvida na problema com base na teorização, isto é, o conteúdo
matemático presente e quais símbolos matemáticos estão sendo utilizados;
apresentarão soluções matemáticas para o problema, refletindo a maneira pela qual
podem resolver a situação e se existe apenas uma, como devem tratar os dados do
problema e quais operações devem fazer para chegar à solução; por fim, na aplicação
da realidade, farão a descrição de como o resultado matemático pode ser aplicado à
realidade e qual o impacto dele.

114

Para uma simplificação do que foi exposto anteriormente, a imagem a seguir
esboça como o Arco de Maguerez, baseado em Bordenave e Pereira (2015), será
utilizado pelos estudantes no desenvolvimento das tarefas. A partir dos estudos sobre o
Arco de Maguerez, expandimos o significado das etapas para especificá-las e ficar mais
claro para os alunos o significado de cada uma, assim como para o professor quando
for aplicá-las, comose pode ver a seguir:
Figura 10: Arco de Maguerez utilizado para o desenvolvimento das tarefas

Fonte: Elaboração do autor da dissertação (2022)

Assim sendo, a partir do Arco de Maguereze com a nossa proposta e aplicação
para o desenvolvimento desta dissertação, considerando contextos reais e ao alcance
dos estudantes, contemplamos também pontos relacionados ao Discurso Pedagógico
salientando por Basil Bernstein, uma vez que serão proporcionadas aos diversos
estudantes situações de aprendizagem que consideram o objeto matemático, mas,
além disso, situações em que estes estudantes estão inseridos.

115

Pontuamos, diante disso, o estudante como sujeito participante e agente que
pode transformar a sua realidade social. Berbel (2012, p. 80) afirma que “é a partir da
prática social vivida que se busca sentido, explicação, justificativa e os próprios meios
para transformá-la”. Com todas essas considerações, é pertinente mencionar que
estamos problematizando o ensino de Matemática a partir da realidade e utilizando nela
processos ligados à Resolução de Problemas. É importante mencionar que quando,
consideramos a realidade, o conhecimento compreendido e discutido em sala de aula
será relembrado quando o estudante estiver frente à situação fora do espaço escolar.
Tratando-se da Matemática Financeira, que é o objeto de estudo desta pesquisa de
Mestrado, os estudantes poderão enxergar e utilizar o conhecimento construído ou em
desenvolvimento em inúmeras ocasiões e isso permitirá uma análise e reflexão maior
das situações em que ele terá que agir.
Sobre considerar a realidade como ponto de partida na resolução de problemas,
apontamos o que Echeverría e Pozo (1998, p. 15) escreveram:
A aprendizagem da solução de problemas somente se transformará em
autônoma e espontânea se transportada para o âmbito do cotidiano, se for
gerada no aluno a atitude de procurar respostas para suas próprias
perguntas/problemas, se ele se habituar a questionar-se ao invés de receber
somente respostas já elaboradas por outros, seja pelo livro-texto, pelo professor
ou pela televisão.

Corroborando com essas ideias e fazendo jus a nossa proposta, Lupinacci e
Botin (2004) descrevem que, quando se está preocupado com a envoltura dos
estudantes na busca de soluções para problemas, é preciso que situações reais e
abertas sejam apresentadas. De acordo com esse mesmo critério, Chamberlin (2010, p.
66, tradução nossa) assenta que “autênticas tarefas de resolução de problemas
matemáticos têm um contexto que tem um alto grau de realismo em oposição a
problemas matemáticos, que pode ou não ter um contexto”. Com isso, a articulação
descrita por nós abordará problemas que terão autenticidade e que, nesse tipo de
tarefa, são considerados de nível cognitivo elevado (CHAMBERLIN, 2010). Por esse
mesmo viés, consideramos também o que aponta Alvarenga e Vale (2007, p. 3) que “a
ligação entre a realidade e a sala de aula pode ser estabelecida através da resolução
de problemas”.

116

Diante dessas elucidações, é preciso pensar também sobre a postura do
professor na utilização dessas abordagens. Assim, o próximo tópico foi dedicado para
tratar dessecomponente tão importante nas situações de ensino e aprendizagem da
Matemática.

2.2.7 As dificuldades dos alunos com a Resolução de Problemas no ensino de
Matemática
Como visto nos tópicos anteriores, as discussões sobre Resolução de Problemas
não são recentes, no entanto, a sua utilização nas salas de aula da Educação Básica
vem ganhando muito destaque nas últimas décadas, seja em pesquisas a nível de
Mestrado, Doutorado, como também em pesquisas publicadas em artigos científicos.
Mesmo que a proposta seja pontuada como uma possibilidade para o desenvolvimento
cognitivo do estudante, dado que ele é colocado como um sujeito que atua no processo
de Resolução de Problemas, nem tudo é tão simples como parece, visto que alguns
estudos apontam algumas dificuldades que os alunos apresentam. Desse modo,
buscamos estudos que tratam das dificuldades apresentadas pelos estudantes na
Resolução de Problemas.
Mayer (1987) esboça que os alunos costumam apresentar dificuldades na
compreensão do texto de um problema. Do mesmo modo, para Schwieger (2003),
abordando a respeito das dificuldades vivenciadas por professores e alunos na
resolução de problemas matemáticos, as principais são: linguagem e terminologia,
materiais textuais e escritos, atitudes e expectativas. Tratando da linguagem, é
colocado que tanto a escrita como a falada são uma preocupação crítica e usada por
professores e alunos pode ajudar ou atrapalhar na resolução de qualquer problema ou
situação-problema.
Quando é esboçado sobre os materiais textuais, o autor assenta que vários
aspectos podem tornar a resolução de problemas difícil, citando que o problema
geralmente é deixado como uma reflexão mais tardia, ou seja, geralmente em livros
didáticos as tarefas mais desafiadoras aparecem nos finais dos capítulos. Tratando-se
das atitudes e expectativas dos estudantes, o estudioso delineia alguns equívocos que
os discentes cometem na resolução de problemas: tentam uma única vez e desistem,

117

acreditam que existe apenas uma estratégia ou método para chegar à solução, têm a
ideia que toda Matemática é cumulativa e hierárquica, têm na mente que não possuem
habilidades necessárias para a resolução de problemas.
Corroborando com o que Schwieger (2003) pontua a respeito da linguagem,
Cagliari (2010) afirma que, muitas vezes, o motivo de os estudantes não resolverem um
problema matemático se dá pelo fato de não saberem ler o enunciado da questão e não
porque não sabem Matemática, ou seja, as dificuldades estão centradas na leitura e
compreensão. Entretanto, Araújo (2015), em sua pesquisa de Mestrado, menciona que
essas dificuldades relacionadas aos enunciados dos problemas se dão porque os
estudantes não querem lê-los, mas que, quando são levados a fazerem releituras, isso
ajuda na compreensão do problema.
Segundo Gonçalves (2014), ao fazer uma análise das estratégias e erros dos
alunos do 9° ano em questões de Álgebra, as dificuldades estavam centradas no uso
da linguagem matemática, na transformação de linguagens – materna para Matemática
-, na falta de leitura e interpretação do enunciado do problema, na dificuldade de
resolver produtos, multiplicação e divisão com números decimais, falta de atenção a
dados importantes nas questões, organização das informações.
Muller (2015), em sua dissertação de Mestrado envolvendo a Resolução de
Problemas matemáticos no Ensino Fundamental, corroborando com estudos citados
anteriormente, também destaca que as dificuldades dos estudantes estavam baseadas
na compreensão e interpretação dos problemas. Já Melo (2015), ao investigar a
respeito das dificuldades dos alunos o 6° ano do Ensino Fundamental na interpretação
de enunciados em problemas de Aritmética, destaca a compreensão do enunciado, a
busca pelos dados coerentes que estão na questão, conhecimentos de conceitos e não
saber utilizar os algoritmos corretamente.
Alvarenga et al. (2016), ao concluir uma pesquisa envolvendo estudantes do 7°
ano e a Resolução de Problemas, detectou que as principais dificuldades apresentadas
foram, também, interpretar o enunciado, identificar e saber usar os dados da questão
(problema), mencionando que isto pode ter acontecido pelo fato de os estudantes
estarem habituados a fazerem aplicações de fórmulas.

118

Corroborando com isso, Braga (2020) menciona que muitos alunos possuem
dificuldades na leitura e compreensão de um problema e que os obstáculos não são os
conceitos matemáticos em si, mas a falta de interpretação. Com isso, o mesmo autor
pontua que um dos desafios no trabalho com a Resolução de Problemas está no
enunciado do problema, sendo preciso realizar adaptações e releituras.
Para Proença et al. (2022), diante de um estudo bibliográfico realizado com
dissertações que utilizaram propostas de ensino baseadas na Resolução de Problemas,
os estudantes da Educação Básica apresentam dificuldades nas quatro etapas do
processo de resolução (representação, planejamento, execução e monitoramento),
sendo que com maior frequência acontece na representação (compreensão do
problema), o que se soma aos estudos expostos anteriormente. Os autores ainda
acrescentam que tais dificuldade “são decorrentes da má formação de conceitos e de
procedimentos matemáticos” (PROENÇA et al. 2022. p. 282), uma vez que os estudos
analisados utilizam a Resolução de Problemas após o conteúdo estudado.
Diante dos estudos apontados, fica visível que a principal dificuldade dos
estudantes na Resolução de Problemas está relacionada à linguagem, principalmente
nos que diz respeito a compreensão, interpretação e organização dos dados dos
enunciados, o que nos leva a reflexões, visto que esses elementos são essenciais na
resolução de qualquer problema e é de onde tudo parte. Cabe-nos mencionar que, de
acordo com as etapas que os estudiosos – Pólya (1994), Onuchic (1999), Allevato e
Onuchic (2014), Brito (2010), Proença (2018) - mostram como propostas para a
Resolução de Problemas no ensino de Matemática, a compreensão, interpretação e
organização dos dados aparecem nas fases/etapas iniciais e essas dificuldades vistas
em pesquisas anteriores nos servem de alerta para o desenvolvimento deste estudo.
Nesse sentido, essas etapas iniciais merecem uma atenção especial por parte dos
professores e de outros pesquisadores, uma vez que podem resultar em outras
dificuldades, ou seja, a não compreensão de um problema levará à utilização de
estratégias e procedimentos ineficazes para chegar a uma solução.
Por fim, consideramos que tais ponderações nos levam a um olhar mais atento
para a construção de enunciados dos problemas, visto que o modo como estará
explícito poderá ajudar ou atrapalhar na compreensão, na interpretação e no

119

recolhimento de dados necessários para resolver um problema. Não obstante, também
é pertinente apontar a respeito da mediação do professor nesse processo: se o aluno
apresenta dificuldades o docente tem que buscar meios para que o ajude na
compreensão das situações, bem como na organização dos dados e isso nos remete a
reiterar o que discutimos em capítulos anteriores: a ação comunicativa, pontos do
discurso pedagógico (sequenciamento e ritmo), fatores ligados ao Contrato Didático e
aos seus efeitos nocivos (não dar respostas, ter uma mediação assertiva).

120

CAPÍTULOIII

A MATEMÁTICA FINANCEIRA
Neste capítulodiscorremos a respeito dos elementos históricos da Matemática
Financeira, como ela aparece nos documentos que norteiam a Educação Básica –
PCNs, PCNEN, PCNs Mais, OCEM e o Referencial Curricular do Estado de
Pernambuco – e também como ela é abordado nos livros didáticos aprovados pelo
PNLD.

3.1 Elementos históricos da Matemática Financeira e sua inserção no currículo de
Matemática na Educação Básica
Incialmente, destacamos que compreender os elementos históricos de um saber
– conteúdo – é fator de grande relevância para entendermos o seu espaço no currículo
escolar, bem como seus conceitos atuais. Tratando-se da Matemática Financeira,
historicamente escrevendo, “esteve muito ligada ao conceito e história de comércio,
tanto que a maioria dos autores de livros desta área do conhecimento denominou
suasobras de Matemática comercial e Financeira” (GRANDO; SCHNEIDER, 2010, p.
44).
Se considerarmos as civilizações mais antigas, após a iniciação da comunicação
entre os primeiros povos, começaram as trocas de mercadorias e daí surge a primeira
forma de comércio. No entanto, não existia, inicialmente, uma moeda, uma vez que se
trocavam diretamente gêneros e mercadorias para que fossem supridas as
necessidades fundamentais dos povos. Porém, com o aumento do comércio e
percebendo-se que não havia uma medida comum entre os objetos que eram trocados,
surgiu a necessidade de criar um meio de equivalência para avaliar o que estava sendo
trocado, surge, então, o que foi chamado de moeda-mercadoria ou padrões fixos.
Os padrões fixos ou moedas-mercadorias eram diferentes em cada lugar que se
habitava. De acordo com Grando e Schneider (2010), na China, por exemplo, nos

121

séculos XVI a XI a.C., os gêneros e mercadorias eram trocados por dentes, chifres e
couros de animais; enquanto, na América Central, se usava pedaços de tecido,
sementes de cacau, entre outros. Depois de um certo tempo isso mudou e passou-se a
usar como base armas e ferramentas, podendo ser de pedras em um primeiro momento
e logo depois de bronze. Mais tarde, o metal passou a ser difundido e as mercadorias
passaram a ser pagas com cobre, bronze, prata e ouro; com isso, o comércio foi
ganhando cada vez mais espaço.
Ainda segundo Grando e Schneider (2010), com o auge do comércio e com
todos esses metais já em vista, foi iniciado uma nova atividade: o comércio do próprio
dinheiro. Como o comércio acontecia entre países diferentes, diversas moedas eram
comercializadas, no entanto, a que valesse mais teria que ser paga em maior
quantidade pela que tivesse menor valor. Com isso, as trocas foram aumentando e
alguns comerciantes ficaram interessados em acumular o ouro ou a prata – dinheiro do
momento -, para depois dedicar-se à atividade de troca do dinheiro.
Consequentemente, chegou a um novo momento, em que a atividade consistia
em guardar e emprestar dinheiro. De acordo com Robert (1989), uma pessoa
acumulava uma certa quantia de dinheiro e emprestaria esse dinheiro a quem pedir, e o
devedor podendo empregar esse dinheiro no que quisesse, teria que devolver ao dono
o que foi emprestado e também uma soma adicional. A partir disso chegamos ao que
hoje é visto como operação de crédito e é evidenciado um lucro, ou melhor, um juro.
Vale mencionar que essas pessoas que emprestavam dinheiro eram chamadas
de cambistas e um ponto importante que Grando e Schneider (2010) esboçam, era a
maneira como estas pessoas exerciam suas atividades, que eram sentadas em um
banco de madeira em algum lugar de seus mercados, e daí faziam os seus
empréstimos. Desse modo, podemos dizer que isso deu origem ao que é chamado hoje
de banco e banqueiros. Gonçalves (2007) explica que o surgimento dos bancos está
diretamente ligado ao cálculo de juros e ao uso da Matemática Comercial e Financeira.
À vista disso, resolvemos, inicialmente, elencar alguns pontos que consideramos
importante sobre a origem da Matemática Financeira, com a finalidade de chegarmos
ao que se expõe sobre essa temática nos documentos oficiais que norteiam a
Educação Básica Brasileira, visto que essa temáticatem um lugar de destaque nas

122

práticas cotidianas do indivíduoe que está presente em todos os níveis de escolaridade
– Ensino Fundamental e Médio, além de constar como disciplina em vários cursos de
graduação.
Para Santos (2005, p. 157) ao explicar sobre o que estuda a Matemática
Financeira, expõe que esta:
[...] é o ramo da Matemática Aplicada que estuda o comportamento do dinheiro
no tempo. A Matemática Financeira busca quantificar as transações que
ocorrem no universo financeiro levando em conta a variável tempo, ou seja, o
valor monetáriono tempo (time valuemoney). As principais variáveis envolvidas
no processo de quantificação financeira são a taxa de juros, o capital e o tempo.

Para simplificar o que é exposto, podemos esboçar o que é colocado por Grando
e Schneider (2010), ao exporem que um determinado capital hoje poderá não ser o
mesmo em outro tempo, visto que além das variáveis valor e tempo, existe a taxa de
juros. Ainda segundo os autores, a Matemática Financeira é composta de vários
conteúdos interligados – razão, proporção, porcentagem, regra de três, juros simples,
composto – e que eles constituem um sistema de conhecimento diante de sua relação.
Sob esse ponto de vista, é importante salientar que nas salas de aulas da Educação
Básica Brasileira o que muito se vê sendo abordado na Matemática Financeira são os
cálculos de juros, simples e compostos, sendo, na maioria das vezes, apresentados aos
estudantes através de fórmulas, como pode ser visto na figura a seguir. No entanto, é
relevante pensar sobre isso, e que esse tópico da Matemática vai além do cálculo de
juros.
Figura 11: Fórmulas para o cálculo de juros simples e compostos

Fonte: Elaborada pelo autor da dissertação (2022)

123

A respeito das elucidações anteriores, temos que ter em mente que no estudo da
Matemática Financeira, além dos cálculos com juros simples e compostos, é preciso
compreender outros conceitos igualmente importantes: sistemas de amortização, taxas
de inflação, correção monetária, índices de natureza socioeconômica (IDH – Índice de
Desenvolvimento Humano, IPCA – Índice de Preço do Consumidor). Como afirma Mota
e Lozada (2021b), o objetivo dos conhecimentos nesta área devem contribuir para
compreensão de suas aplicações na vida em sociedade e que os estudantes analisem
de maneira reflexiva e crítica situações que envolvam tais conceitos.
De acordo com Reis Filho e Santos (2016), os conceitos de Matemática
Financeira são relevantes para a formação crítica dos estudantes, dado que eles
servem como ferramentas para o desenvolvimento de outras áreas de estudos que
permeiama Matemática, a exemplo, a Educação Financeira. Nas Diretrizes Curriculares
de Matemática para a Educação Básica (BRASIL, 2008), é exposto sobre a importância
de os estudantes compreenderem a Matemática Financeira aplicada em situações
reais. Além disso, a Matemática Financeira pode estar presente “nas decisões de
ordem pessoal e social”,desde “o trato de dividas, com crediários à interpretação de
desconto, à compreensão dos reajustes salarias, à escolha de aplicações financeiras,
entre outras (BRASIL, 2008, p. 61).
Assim, trabalhar com Matemática Financeira não é apenas focar no empréstimo
e devolutiva de um capital, mas que existem diversos outros fatores que ela também é
aplicada, entre eles: venda de objetos a longo prazo, compra de objetos parcelados,
acréscimo de juros por não pagamento de uma conta em dia. Outro ponto, é a
importância desse conteúdo na Educação Básica e como ele deve ser explorado nas
salas de aulas, pois Silva (2016) descreve que as dificuldades apresentadas pelos
estudantes em relação aos conceitos de Matemática Financeira, vão desde a
identificação à associação das variáveis envolvidas na aplicação de suas respectivas
fórmulas, uma vez que somente as reproduzem, mesmo apresentando lacunas em seus
conceitos essenciais.
Nesse sentido, abordar como vem sendo expostaa Matemática Financeira nos
Parâmetros

Curriculares

Nacionais

(PCNs,

PCNEM,

PCNsMais),

Orientações

124

Curriculares para o Ensino Médio, Referencial Curricular de Pernambuco e na Base
Nacional

Comum

Curricular

(BNCC)

é

de

fundamental

importância

para

o

desenvolvimento desta pesquisa, como também para ajudar na melhoria das
aprendizagens dos estudantes.
Nos PCNs (BRASIL, 1997, 1998) o Ensino Fundamental é dividido em duas
partes – séries iniciais e séries finais – cada qual com dois ciclos. É exposto no
documento que a Matemática é componente importante na construção da cidadania,
que ela precisa estar ao alcance de todos, que a atividade matemática não deve ser
dada como algo pronto, mas que aconteça a construção e apropriação pelo estudante,
que o conhecimento matemático deve ser apresentado como algo construído
historicamente e que permanece em evolução (BRASIL, 1997). Nesse sentido, ensinar
Matemática não é tarefa fácil e enxergar como é cada conteúdo nesses documentos
podem nos ajudar em sua efetivação em sala de aula.
À vista disso, buscamos expor como está sendo tratada a Matemática Financeira
nesses documentos, os conteúdos que a compõem e as habilidades e competências
que os alunos tem que desenvolver. Sabe-se que nos PCNs (BRASIL, 1997), os
conteúdos matemáticos são divididos por blocos, chamados hoje em dia de
unidade/eixo temático. Os blocos são: números e operações, espaço e forma,
grandezas e medidas e tratamento da informação. Nos PCNs (BRASIL, 1997,1998) são
vistos espaços que mencionam os objetivos da Matemática em cada ciclo, os
conteúdos propostos e os conceitos e procedimentos, nesse sentido, é possível
enxergar os conteúdos que estão interligados da Matemática Financeira.
Como já mencionado nesse tópico, a Matemática Financeira é composta por
vários conteúdos interligados e alguns deles como apontado nos PCNs (BRASIL,
1997), começam a aparecer desde os primeiros anos da vida escolar. Como apontado
anteriormente, nos PCNs (BRASIL, 1997) o Ensino Fundamental era dividido por ciclos
– 1° ciclo: antiga 1ª e 2ª série, 2º ciclo: antiga 3ª e 4ª série -, desse modo, alguns
conteúdos que interligam e/ou compõem a Matemática Financeira não aparecem no 1°
ciclo, mas começam a aparecer no 2°. Vale mencionar, que o que foi identificado como
conteúdos que compõem a Matemática Financeira, não aparecem nos objetivos dos

125

ciclos – 1° e 2° -, mas nos conceitos e procedimentos é possível visualizar, como
mostra o quadro abaixo:

Quadro 1: Matemática Financeira no 2° ciclo do Ensino Fundamental (PCNs)
Unidade Temática

Conteúdo que é utilizado na

Conceitos e procedimentos

Matemática Financeira

Números e
Operações

Razão

Exploração
dos
diferentes

significados das frações em situaçõesproblema: parte-todo, quociente e razão.
Observação de que os números

naturais podem ser expressões na forma
fracionária.
Relação entre representações

fracionárias e decimal de um mesmo
número racional.

Números e
operações

Porcentagem

Reconhecimento do uso

porcentagem no contexto diário.


da

Cálculo simples de porcentagens.

Fonte: Elaboradopelo autor da dissertação baseado nosPCNs (BRASIL, 1997)

Podemos dizer que os elementos necessários na Matemática Financeira fazem
parte de um processo construtivo que vem aparecendo desde muito cedo na vida
escolar dos estudantes.
Um objetivo que podemos destacar envolvendo conteúdo da Matemática
Financeira no 3° ciclo, é o que envolve proporcionalidade “observar a variação entre
grandezas, estabelecendo relação entre elas e construir estratégias de solução para
resolver situações que envolvam proporcionalidade” (BRASIL, 1998, p. 65). Já o
objetivo do 4° ciclo é “resolver situações-problema que envolvam a variação de
grandezas

direta

ou

inversamente

proporcionais

utilizando

estratégias

não-

convencionais e convencionais, como as regras de três” (BRASIL, 1998, p. 82). É

126

importante destacar que os conteúdos supracitados podem ser trabalhos na Matemática
Financeira, como por exemplo, na variação de preço de uma determinada mercadoria,
mas que também são utilizados com outras temáticas.
Nos PCNs (BRASIL, 1998), mais especificamente, no 4º ciclo de aprendizagem é
colocado que:
Para compreender, avaliar e decidir sobre algumas situações da vida cotidiana,
como qual a melhor forma de pagar uma compra, de escolher um financiamento
etc. é necessário trabalhar situações-problema sobre a Matemática Comercial e
Financeira, como calcular juros simples e compostos e dividir em partes
proporcionais pois os conteúdos necessários para resolver essas situações já
estão incorporados nos blocos. (BRASIL, 1998, p. 84)

Com isso, é notório o que já havíamos elucidado anteriormente, que a
Matemática Financeira está interligada por diversos conteúdos e que o seu estudo e
aplicação vai além de empréstimos, mas está relacionada às diversas situações
corriqueiras da vida cotidiana e por isso é importante o seu estudo nas salas de
aula.Ainda, como exposto no próprio PCNs (BRASIL, 1998), é necessário o trabalho
com situações-problema, o que se faz na pesquisa apresentada nesta dissertação, já
que estamos utilizando a Resolução de Problemas juntamente com o Arco de
Maguerez.
Com isso, no quadro abaixo está esboçado os conteúdos que envolvem
Matemática Financeira, levando em conta o que foi evidenciado em cada objetivo dos
PCNs(BRASIL, 1998).Destacamos os conceitos e procedimentos relacionado a cada
conteúdo:
Quadro 2: Matemática Financeira no 2° ciclo do Ensino Fundamental (PCNs)
3° ciclo – antigas 6ª e 7ª série
Unidade Temática

Conteúdo que é
utilizado na Matemática
Financeira

Conceitos e procedimentos

Números e operações

Razão

Reconhecimento de números racionais em
diferentes contextos – cotidianos e históricos – e
exploração de situações-problema em que
indicam relação parte-todo, quociente, razão ou
funcionam como operador.

127

Números e operações

Proporcionalidade

Resolução de situações-problema que envolvem
a ideia de proporcionalidade, incluindo os
cálculos com porcentagens, pelo uso de
estratégias não-convencionais.

Números e operações

Porcentagem

Resolução de situações-problema que envolvem
a ideia de proporcionalidade, incluindo os
cálculos com porcentagens, pelo uso de
estratégias não-convencionais.

4° ciclo – antigas 8ª e 9ª série
Números e Operações

Identificação da natureza de variação de

duas grandezas diretamente proporcionais,
inversamente
proporcionais
ou
não
proporcionais, expressando a relação existente
por meio de uma sentença algébrica e
representando no plano cartesiano.

Proporcionalidade

Resolução de problemas que envolvam

grandezas
diretamente
proporcionais
ou
inversamente proporcionais por meio de
estratégias variadas, incluindo a regras de três.

Números e operações

Juros
simples
compostos

e

Resolução de situações-problemas que

envolvem juros simples e alguns casos de juros
compostos, construindo estratégias variadas,
particularmente as que fazem uso de
calculadora.

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação baseado nosPCNs (BRASIL, 1998)

Quando é elucidado a respeito dos critérios de avaliação no 4° ciclo, é colocado
que uma das expectativas de aprendizagem é a de “resolver situações-problema que
envolvam variação de duas grandezas direta ou inversamente proporcionais e
representar em um sistema de coordenadas cartesianas essa variação” (BRASIL,
1988). Por meio desse critério/expectativa, o docente pode verificar se o estudante é
capaz de resolver situações-problema – escalas, porcentagem e juros simples – que
envolvam a variação de grandezas (BRASIL, 1998).
Assim, é possível verificar que os conteúdos que estão interligados na
Matemática Financeira têm que ser estudados desde os anos inicias da Educação

128

Básica e que isso vai se aprimorando com o passar dos anos letivos. Com o intuito de
fazer um paralelo entre o que é evidenciado nos PCNs (BRASIL, 1997, 1998) a respeito
dos conteúdos que estão interligados na Matemática Financeira e o que é exposto na
BNCC (BRASIL, 2018), inicialmente vamos pontuar o que é colocado no Ensino
Fundamental, dado que fizemos primeiro essa análise nos PCNs (BRASIL, 1997, 1998).
Vale mencionar, que o nosso objeto de estudo está centrado no Ensino Médio, no
entanto, tudo que é trabalhado nesta etapa de ensino passa por um processo
construtivo, para que se tenha um aprofundamento nessa fase, por isso, resolvemos
fazer toda essa análise.
Na BNCC (BRASIL, 2018), diferente do modo que estava organizado nos PCNs
(BRASIL, 1997, 1998), o Ensino Fundamental é dividido como anos iniciais –
compreende do 1° ao 5° ano escolar – e anos finais – compreende do 6° ao 9° ano
escolar. Reiteramos que neste documento o modelo de apresentação das unidades
temáticas, objetos de conhecimento (conteúdos) e o que chamamos agora de
habilidades, aparece de uma maneira mais organizada, o que facilita na organização
dos currículos regionais (nível de Estado) e locais (nível de município).
Nesse sentido, como o Currículo de Pernambuco na área de Matemática para o
Ensino Fundamental (PERNAMBUCO, 2019), foi construído de acordo com o que é
evidenciado na BNCC (BRASIL, 2018) e, fazendo a análise de ambos os documentos
percebemos que tanto as competências específicas da Matemática e os objetos de
conhecimento se repetem em ambos, existindo complementações apenas nas
habilidades, e optamos por esboçar os dois paralelamente. No entanto, para iniciar,
tratando da área de Matemática na Educação Básica é exposto na BNNC (BRASIL,
2018) que:
O conhecimento matemático é necessário para todos os alunos da Educação
Básica, seja por sua grande aplicação na sociedade contemporânea, seja pelas
suas potencialidades na formação de cidadãos críticos, cientes de suas
responsabilidades sociais. (BRASIL, 2018, p. 266)

No Currículo de Pernambuco (PERNAMBUCO, 2019), é exposto que é
indiscutível a relevância da Matemática na formação dos sujeitos e que se dá por
fazermos parte de uma sociedade permeada pela Ciência e pela Tecnologia e que as
diversas profissões, seja ela qual for, exigem conhecimentos matemáticos.

129

A BNCC (BRASIL, 2018), no ensino de Matemática, aparece com cinco unidades
temáticas -Números, Álgebra, Geometria, Grandezas e Medidas, Probabilidade e
Estatística, do mesmo modo também é exposto no Currículo de Pernambuco
(PERNAMBUCO, 2019). Vale destacar, inicialmente, que em ambos os documentos
são elucidadas 8 competências específicas da Matemática, as quais estão expostas no
quadro abaixo:
Quadro 3: Competências específicas da Matemática para o Ensino Fundamental
de acordo com a BNCC (BRASIL, 2018) e o Currículo de Pernambuco para o
Ensino Fundamental (PERNAMBUCO, 2019)
Competências
1. Reconhecer que a Matemática é uma ciência humana, fruto das necessidades e preocupações de
diferentes culturas, em diferentes momentos históricos, além de que é uma ciência viva, que contribui
para solucionar problemas científicos e tecnológicos e para alicerçar descobertas e construções,
inclusive com impactos no mundo do trabalho.
2. Desenvolver o raciocínio lógico, o espírito de investigação e a capacidade de produzir argumentos
convincentes, recorrendo aos conhecimentos matemáticos para compreender e atuar no mundo.
3. Compreender as relações entre conceitos e procedimentos dos diferentes campos da Matemática
(Aritmética, Álgebra, Geometria, Estatística e Probabilidade) e de outras áreas do conhecimento,
sentindo segurança quanto à própria capacidade de construir e aplicar conhecimentos matemáticos,
desenvolvendo a autoestima e a perseverança na busca de soluções.
4. Fazer observações sistemáticas de aspectos quantitativos e qualitativos presentes nas práticas
sociais e culturais de modo a investigar, organizar, representar e comunicar informações relevantes
para interpretá-las e avaliá-las crítica e eticamente, produzindo argumentos convincentes.
5. Utilizar processos e ferramentas matemáticas, inclusive tecnologias digitais disponíveis, para
modelar e resolver problemas cotidianos, sociais e de outras áreas de conhecimento, validando
estratégias e resultados.
6. Enfrentar situações-problema em múltiplos contextos, incluindo-se situações imaginadas, não
diretamente relacionadas com o aspecto prático-utilitário, expressar suas respostas e sintetizar
conclusões, utilizando diferentes registros e linguagens (gráficos, tabelas, esquemas, além de texto
escrito na língua materna e outras linguagens para descrever algoritmos como fluxogramas e dados).
7. Desenvolver e/ou discutir projetos que abordem, sobretudo, questões de urgência social, com base
em princípios éticos, democráticos, sustentáveis e solidários, valorizando a diversidade de opiniões de
indivíduos e de grupos sociais sem preconceitos de qualquer natureza.
8.Interagir com seus pares de forma cooperativa, trabalhando coletivamente no planejamento e
desenvolvimento de pesquisas para responder a questionamentos e na busca de soluções para
problemas de modo a identificar aspectos consensuais ou não na discussão de uma determinada

130

questão, respeitando o modo de pensar dos colegas e aprendendo com eles.
Fonte: Elaboradopelo autor da dissertação baseado na BNCC (BRASIL, 2018) e no Currículo de
Pernambuco (PERNAMBUCO, 2019)

Diante do quadro, é notório que tem que ser assegurado aos estudantes
momentos de ensino e aprendizagem que contribuam para a aprendizagem em longa
escala e, para que a Matemática estudada na escola sirva como aplicação em
situações diversas, é preciso que sejam contempladas algumas capacidades: formular,
compreender, interpretar, analisar, criar (PERNAMBUCO, 2019). Com isso, já é notória
a importância da Matemática nessa fase ensino, pois as suas competências são bem
amplas e vão além de um ensino apenas conteudista, a promoção da aprendizagem
matemática tem que ir além disso, para que as suas competências sejam
contempladas. No Currículo de Pernambuco (PERNAMBUCO, 2019, p. 69) é assentado
que:
No contexto da Matemática escolar, para o acompanhamento do processo de
ensino e aprendizagem e a garantia do seu sucesso, é fundamental que se
reflita não apenas sobre os objetos de conhecimentos a serem ensinados, mas
também sobre as habilidades básicas, as aprendizagens essenciais que devem
ser asseguradas ao estudante na expectativa de que ele as desenvolva ao
longo do seu percurso escolar.

Com base nisso, pontuando a respeito dos conteúdos que estão interligados na
Matemática, organizamos em um quadro abaixo as unidades temáticas, as habilidades
e o ano escolar dos conteúdos (objetos do conhecimento) assentados tanto na BNCC
(BRASIL, 2018) quanto no Currículo de Pernambuco (PERNAMBUCO, 2019), como
vemos a seguir:
Quadro 4: Conteúdos que estão interligados na Matemática Financeira no Ensino
Fundamental: BNCC (BRASIL, 2018) e Currículo de Pernambuco (PERNAMBUCO,
2019)
Unidade Temática: Números
Ano
escolar

Objetos do
conhecimento

Habilidades na BNCC (BRASIL,
2018)

3°

Significado
de
metade,
terça
parte,
quarta
parte, quinta parte
e décima parte.

(EF03MA09) Associar o quociente
de uma divisão com resto zero de
um número natural por 2, 3, 4, 5 e
10 às ideias de metade, terça,
quarta, quinta e décima parte.

Habilidades no Currículo de
Pernambuco (Pernambuco,
2019)
(EF03MA09PE)
Associar
o
quociente de uma divisão com
resto zerode um número natural
por 2, 3, 4, 5 e 10 às ideias de
metade, terça,quarta, quinta e
décima partes (por exemplo,

131

15:3 = 5 pode ser escritocomo
15/3 = 5, indicando que 5 é a
terça parte de 15).
5°

Cálculo
de
porcentagens
e
representação
fracionária

(EF05MA06)
Associar
as
representações 10%, 25%, 50%,
75% e 100% respectivamente à
décima parte, quarta parte, metade,
três quartos e um inteiro, para
calcular porcentagens, utilizando
estratégias
pessoais,
cálculo
mental e calculadora, em contextos
de educação financeira, entre
outros.

6°

Frações:
significados
(parte/todo,
quociente),
equivalência,
comparação,
adição
e
subtração; cálculo
da fração de um
número
natural;
adição e subtração
de frações.

(EF06MA07)
Compreender,
comparar e ordenar frações
associadas às ideias de partes de
inteiros e resultado de divisão,
identificando frações equivalentes.
(EF06MA08) Reconhecer que os
números racionais positivos podem
ser
expressos
nas
formas
fracionária e decimal, estabelecer
relações
entre
essas
representações, passando de uma
representação para outra, e
relacioná-los a pontos na reta
numérica.
(EF06MA09) Resolver e elaborar
problemas que envolvam o cálculo
da fração de uma
quantidade e cujo resultado seja
um número natural, com e sem uso
de calculadora.
(EF06MA10) Resolver e elaborar
problemas que envolvam adição ou
subtração com números racionais
positivos
na
representação
fracionária.

6°

Cálculo
de
porcentagens por
meio
de
estratégias
diversas,
sem
fazer uso da “regra
de três”

(EF06MA13) Resolver e elaborar
problemas
que
envolvam
porcentagens, com base na ideia
de proporcionalidade, sem fazer
uso da “regra de três”, utilizando
estratégias
pessoais,
cálculo
mental e calculadora, em contextos
de educação financeira, entre
outros.

(EF05MA06PE) Associar as
representações
10%,
25%,
50%,
75%
e100%
respectivamente à décima parte,
quarta parte, metade, três
quartos e um inteiro para
calcular
porcentagens,
utilizando estratégiaspessoais,
cálculo mental e calculadora em
contextos de educação
financeira, entre outros.
(EF06MA07PE) Compreender,
comparar e ordenar frações
associadas às ideias de partes
de inteiros (parte/todo) e
resultado de divisão e suas
aplicabilidades no cotidiano por
meio da utilização de materiais
manipuláveis,
identificando
também frações equivalentes.
(EF06MA08PE)
Reconhecer,
comparar e ordenar os números
racionais positivos que podem
ser expressos nas formas
fracionária,
decimal
e
percentual, estabelecer relações
entre essas representações,
passando
de
uma
representação para outra, e
relacioná-los a pontos na reta
numérica.
(EF06MA09PE)
Resolver e elaborar problemas
que envolvam o cálculo da
fração de uma quantidade e
cujo resultado seja um número
natural, com e sem uso de
calculadora,
explorando
situações do cotidiano.
(EF06MA10PE)
Resolver
e
elaborar
problemas
que
envolvam adição ou subtração
com números racionais positivos
na representação fracionária.
(EF06MA13PE)
Resolver
e
elaborar
problemas
que
envolvam porcentagens, com
base
na
ideia
de
proporcionalidade, sem fazer
uso da “regra de três”, utilizando
estratégias pessoais, cálculo
mental e calculadora
em
contextos
de
educação

132

financeira, entre outros.

7°

7°

8°

9°

1°

Cálculo
de
porcentagens e de
acréscimos
e
decréscimos
simples

(EF07MA02) Resolver e elaborar
problemas
que
envolvam
porcentagens, como os que lidam
com acréscimos e decréscimos
simples,
utilizando
estratégias
pessoais,
cálculo
mental
e
calculadora,
no
contexto
de
educação financeira, entre outros.

(EF07MA02PE)
Resolver
e
elaborar
problemas
que
envolvam porcentagens, como
os que lidam com acréscimos e
decréscimos simples, utilizando
estratégias pessoais, cálculo
mental e calculadora,
no
contexto
de
educação
financeira, entre outros.
Reconhecer,
Fração e seus (EF07MA08) Comparar e ordenar (EF07MA08PE)
significados: como frações associadas às ideias de comparar e ordenar frações
parte de inteiros, partes de inteiros, resultado da associadas às ideias de partes
de inteiros, resultado da divisão,
resultado
da divisão, razão e operador.
divisão, razão e (EF07MA09) Utilizar, na resolução razão e operador.
de problemas, a associação entre (EF07MA09PE)
Utilizar,
na
operador
razão e fração, como a fração 2/3 resolução de problemas, a
para expressar a razão de duas associação entre razão e fração,
partes de uma grandeza para três como a fração 2/3 para
partes da mesma ou três partes de expressar a razão de duas
outra grandeza.
partes de uma grandeza para
três partes da mesma ou três
partes de outra grandeza.
(EF08MA04) Resolver e elaborar (EF08MA04PE)
Resolver
e
Porcentagens
problemas, envolvendo cálculo de elaborar problemas, envolvendo
porcentagens, incluindo o uso de cálculo
de
porcentagens,
tecnologias digitais.
incluindo o uso de tecnologias
digitais, em contextos de
situações cotidianas e educação
financeira.
(EF09MA05) Resolver e elaborar (EF09MA05PE)
Resolver
e
Porcentagens:
que
envolvam elaborar
problemas
que
problemas
que problemas
envolvam porcentagens, com a
envolvem cálculo porcentagens, com a ideia de
de
percentuais ideia
de
aplicação
de
de
percentuais aplicação
sucessivos e a determinação das percentuais sucessivos e a
sucessivos
taxas
percentuais, determinação
das
taxas
preferencialmente com o uso de percentuais, preferencialmente
tecnologias digitais, no contexto da com o uso de tecnologias
educação financeira.
digitais, inclusive, no contexto
da educação financeira.
Unidade Temática: Grandezas e Medidas
Sistema monetário
brasileiro:

(EF01MA19)
Reconhecer
e
relacionar valores de moedas e
cédulas
do
sistema
monetáriobrasileiro para resolver
situações simples do cotidiano do
estudante.

reconhecimento
de
cédulas
e
moedas

(EF01MA19PE) Reconhecer e
relacionarvaloresdemoedas
Ecédulas do sistema monetário
brasileiro
para
resolver
situações
reconhecimento de cédulas e
moedassimples do cotidiano do

133

estudante, explorando diversos
tipos demateriais manipuláveis.
2°

Sistema monetário
brasileiro:
reconhecimento
de

(EF02MA20)
Estabelecer
a
equivalência de valores entre
moedas
e
cédulas
do
sistemamonetário brasileiro para
resolver situações cotidianas.

cédulas e moedas
e equivalência de
valores
3°

4°

(EF02MA20PE) Estabelecer a
equivalência de valores entre
moedas e cédulas do sistema
monetário
brasileiro
para
resolver situações
cotidianas.

Sistema monetário
brasileiro:
estabelecimento
de equivalências
de um mesmo
valor na utilização
de
diferentes
cédulas
de
dinheiro

(EF03MA24) Resolver e elaborar
problemas
que
envolvam
a
comparação e a equivalência de
valores monetários do sistema
brasileiro em situação de compra,
venda e troca.

Problemas
utilizando
o
sistema monetário
brasileiro

(EF04MA25) Resolver e elaborar
problemas que envolvam situações
de compra e venda e formasde
pagamento,
utilizando
termos
como
troco
e
desconto,
enfatizando o consumo ético,
consciente e

(EF03MA24PE)
Resolvere
elaborar
problemas
que
envolvamacomparação
e
a
equivalência
de
valores
monetários do sistemabrasileiro
em situações de compra, venda
e troca, sem ou com suporte
de imagens
manipuláveis.

ou

materiais

(EF04MA25PE)
Resolver
e
elaborar
problemas
que
envolvam situações de compra e
venda e formas de pagamento,
utilizando termos como troco e
desconto,
enfatizando
o
consumo ético, consciente e
responsável.

responsável.
Unidade Temática: Álgebra
6°

Problemas
que
tratam da partição
de um todo em
duas
partes
desiguais,
envolvendo razões
entre as partes e
entre uma das
partes e o todo.

(EF06MA15) Resolver e elaborar
problemas que envolvam a partilha
de uma quantidade em duas partes
desiguais, envolvendo relações
aditivas e multiplicativas, bem
como a razão entre as partes e
entre uma das partes e o todo.

(EF06MA15PE)
Resolver
e
elaborar
problemas
que
envolvam a partilha de uma
quantidade em duas partes
desiguais, envolvendo relações
aditivas e multiplicativas, bem
como a razão ou quociente
entre as partes e entre uma das
partes e o todo.

8°

Variação
grandezas:
diretamente
proporcionais,
inversamente

(EF08MA12) Identificar a natureza
da variação de duas grandezas,
diretamente,
inversamente
proporcionais ou não proporcionais,
expressando a relação existente

(EF08MA12PE) Identificar a
natureza da variação de duas
grandezas,
diretamente,
inversamente proporcionais ou
não proporcionais, expressando

de

134

proporcionais
ounão
proporcionais

por meio de sentença algébrica e
representá-la no plano cartesiano.
(EF08MA13) Resolver e elaborar
problemas
que
envolvam
grandezas
diretamente
ou
inversamente proporcionais, por
meio de estratégias variadas.

9°

Razão
grandezas
espécies
diferentes

9°

Grandezas
diretamente
proporcionais
grandezas
inversamente
proporcionais

entre
de

e

a relação existente por meio de
sentença
algébrica
e
representá-la
no
plano
cartesiano
(utilizando
tecnologias
digitais).
(EF08MA13PE)
Resolver
e
elaborar
problemas
que
envolvam
grandezas
diretamente ou inversamente
proporcionais por meio de
estratég’ias variadas.

(EF09MA07) Resolver problemas
que envolvam a razão entre duas
grandezas de espécies diferentes,
como velocidade e densidade
demográfica.

(EF09MA07PE)
Resolver
problemas que envolvam a
razão entre duas grandezas de
espécies diferentes em diversos
contextos como velocidade e
densidade demográfica.

(EF09MA08) Resolver e elaborar
problemas que envolvam relações
de proporcionalidade direta e
inversa entre duas ou mais
grandezas,
inclusive
escalas,
divisão em partes proporcionais e
taxa de variação, em contextos
socioculturais, ambientais e de
outras áreas.

(EF09MA08PE)
Resolver
e
elaborar
problemas
que
envolvam
relações
de
proporcionalidade
direta
e
inversa entre duas ou mais
grandezas, inclusive escalas,
divisão em partes proporcionais
e taxa de variação, em
contextos
socioculturais,
ambientais e de outras áreas.

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação baseado na BNCC (BRASIL, 2018) e no Currículo de
Pernambuco (PERNAMBUCO, 2019)

Vale destacar, que quanto ao exposto na BNCC (2018) e no Currículo de
Pernambuco

(PERNAMBUCO,

2019)

a

respeito

das

habilidades,

há

uma

complementação mínima em algumas no currículo, sendo que na maioria elas se
repetem, sendo acrescentado apenas a sigla do Estado, por exemplo: EF09MA08
(BRASIL, 2018), já no currículo a mesma habilidade é exposta EF09MA08PE
(PERNAMBUCO, 2019).
Com base nos quadros que foram expostos a respeito dos PCNs e da BNCC a
respeito dos conteúdos/objetos do conhecimento que estão interligados na Matemática
Financeira, é perceptível alguns pontos de distinção como também em comunsno que é
abordado no Ensino Fundamental. Em ambos é visto que as primeiras ideias
relacionadas à temática aparecem desde os primeiros anos escolares e que isso vai

135

tomando espaço à medidaque os conteúdos vão sendo aprofundados: ideias de razão,
proporção, porcentagens, chegando ao cálculo de juros.
Vale mencionar, que não foi visível nas habilidades expostas na BNCC (BRASIL,
2018) e no Currículo de Pernambuco (PERNAMBUCO, 2019), no Ensino Fundamental,
situações que envolvessem juros simples e compostos, no entanto, é exposto na BNCC
(BRASIL, 2018) que nos anos finais do Ensino Fundamental “os alunos devem
dominartambém o cálculo de porcentagem, porcentagem de porcentagem,juros,
descontos e acréscimos, incluindo o uso de tecnologias digitais” (BRASIL, 2018, p.
269). Por esse viés, apesar de não aparecerem nas habilidades, não ter um
aprofundamento maior, seu estudo tem que acontecer para que o estudante quando
chegue ao nível médio não apresente dificuldades quanto ao que é trabalhado na
Matemática Financeira.
À vista disso, analisado o que é exposto nos documentos norteadores da
Educação Básica sobre o que expõem a respeito de Matemática Financeira – seus
conteúdos interligados -, faz-nos necessário agora verificar e analisar como estão
postos nos documentos que estão centrados no Ensino Médio. Desse modo, optamos
por seguir os mesmos passos que seguimos quando analisamos o Ensino
Fundamental, analisaremos os documentos em ordem cronológica: Parâmetros
Curriculares Nacionais do Ensino Médio – PCNEM (BRASIL, 1999), Parâmetros
Curriculares Nacionais do Ensino Médio Mais – PCN Mais (BRASIL, 2002), Orientações
Curriculares para o Ensino Médio – OCEM (BRASIL, 2006), BNCC (BRASIL, 2018) e
Currículo de Pernambuco para o Ensino Médio (PERNAMBUCO, 2021).
Nos PCNEM (BRASIL, 1999) é colocado que:
A Matemática no Ensino Médio tem um valor formativo, que ajuda a estruturar o
pensamento e o raciocínio dedutivo, porém também desempenha um papel
instrumental, pois é uma ferramenta que serve para a vida cotidiana e para
muitas tarefas específicas em quase todas as atividades humanas. (BRASIL,
1999, p. 40)

Com isso, a Matemática é uma Ciência que contribui de maneira significativa
para o desenvolvimento do estudante. Além disso é elucidado que:
A essas concepções da Matemática no Ensino Médio se junta a ideia de que,
no EnsinoFundamental, os alunos devem ter se aproximado de vários campos
do conhecimento matemático e agora estão em condições de utilizá-los e
ampliá-los e desenvolver de modo mais amplo capacidades tão importantes
quanto as de abstração, raciocínio em todas as suas vertentes, resolução de

136

problemas de qualquer tipo, investigação, análise e compreensão de fatos
matemáticos e de interpretação da própria realidade. (BRASIL, 1999, p. 44)

Nesse sentido, tudo o que já foi explorado no Ensino Fundamental agora tem
que ser aprofundado e não é diferente no estudo da Matemática Financeira, dado que
no Ensino Fundamental aparecem seus primeiros fundamentos e agora o objetivo é
aprimorá-lo. É colocado no documento alguns objetivos para que a disciplina de
Matemática resulte em aprendizagem para os estudantes, entre eles: “aplicar seus
conhecimentos a situações diversas, utilizando-os na interpretação da ciência, na
atividade tecnológica e nas atividades cotidianas” (BRASIL, 1999, p. 42). Nesse
documento, é exposto a respeito da importância da Matemática no Ensino Médio e
quais os seus objetivos, no entanto, não especifica os conteúdos que devem ser
trabalhados, mas aponta que os conteúdos vistos no Ensino Fundamental devem ser
ampliados.
Como complemento aos PCNEM (BRASIL, 1999) em 2002 foi publicado os PCN
Mais (BRASIL, 2002). Nele é apresentado pontos iguais aos dos PCNEM (BRASIL,
1999), quando é relatado que a “a Matemática deve ser compreendida como uma
parcela do conhecimento humano essencial para a formação dos jovens, que contribui
para a construção de uma visão de mundo, para ler e interpretar a realidade” (BRASIL,
2002, p. 111). Nessa perspectiva, é visto também o destaque dado a importância se
trabalhar com a Matemática no Ensino Médio. Além disso, é patenteado que a
Matemática elegeu três competências que são colocadas como metas nesse nível de
ensino e complemento aos anos anteriores da Educação Básica: representação e
comunicação, investigação e compreensão e contextualização. A primeira competência
envolve leitura, interpretação e a produção de textos, a segunda pela capacidade de
enfrentamento e resolução de situações-problema, e a terceira diz respeito ao âmbito
sociocultural (BRASIL, 2002).
Quando é abordado sobre as unidades temáticas, no que trata da Álgebra,
envolvendo números e funções, é colocado que nesse tema é possível aprofundar os
conhecimentos dos discentes sobre números e operações – eixo que vimos nos anos
anteriores que os conteúdos que fazem a Matemática Financeira estão presentes -,
entre eles: cálculos aproximados, porcentagens (BRASIL, 2002). Nesse documento é

137

evidente que tudo o que o estudante construiu na sua vida escolar no Ensino
Fundamental deve ser contemplado, para que ele consiga atuar em sociedade e faça
relações do que é visto em sala de aula com o que é vivido fora dela. No entanto,
quando analisamos os conteúdos e habilidades a serem desenvolvidas, não vimos os
conteúdos que integram a Matemática Financeira.
Já nas OCEM (BRASIL, 2006) é declarado que para escolher os conteúdos que
serão comtemplados no Ensino Médio, é importante levar em consideração diferentes
propósitos que a formação matemática pode propiciar, dado que a Matemática deve ser
explorada com o intuito dos estudantes conseguirem resolver ao final de sua formação
problemas práticos do cotidiano. Tratando mais uma vez da unidade temática “Números
e Operações”, esta deve capacitar os alunos para resolverem problemas do cotidiano:
operar com frações, porcentagens, problemas de proporcionalidade direta e inversa.
Ainda é posto que o trabalho com os conteúdos dessa unidade temática, deve fazer
com que os estudantes possam decidir quais as vantagens/desvantagens de uma
compra à vista ou a prazo, calcular impostos e contribuições previdenciários, avaliar
modalidades de juros bancários. Nesse sentido, é pertinente dizer que os últimos
pontos colocados fazem parte do que é trabalhado na Matemática Financeira.
Sobre a Matemática Financeira em si, é dito que “dentre as aplicações da
Matemática, tem-se o interessante tópico de Matemática Financeira como um assunto a
ser tratado quando do estudo da função exponencial – juros e correção monetária
fazem uso desse modelo” (BRASIL, 2006, p. 75). À vista disso, além de todos os
conteúdos já colocados no Ensino Fundamental, aparecem outros que fazem do estudo
da Matemática Financeira e, assim, declaramos que o manuseio com este tópico nos
traz uma gama de contemplações.
Isto posto, em uma ordem cronológica, em nível nacional, o último documento
que fizemos algumas ponderações sobre a Matemática no Ensino Médio e
consequentemente da Matemática Financeira foi a BNCC (BRASIL, 2018). Como em
todos os documentos anteriormente citados, neste é exposto que a “área de
Matemática e suas tecnologias propõe a consolidação, a ampliação e aprofundamento
das aprendizagens essenciais desenvolvidas no Ensino Fundamental” (BRASIL, 2018).
Reiteramos que as habilidades nesta etapa de ensino também estão divididas em

138

unidades temáticas, respeitando as áreas: Números e Álgebra, Geometria, Grandezas e
Medidas, Probabilidade e Estatística.
Com relação às competências específicas de Matemática no Ensino Médio são
expostas cinco na BNCC (BRASIL, 2018). Desse modo, para ficar mais fácil o
entendimento do leitor optamos por criar um quadro elucidando cada competência
específica, as habilidades que contemplam algum conteúdo que envolve Matemática
Financeira e a unidade temática. Vale mencionar que no Ensino Médio, na BNCC
(BRASIL, 2018), não é colocado o objeto do conhecimento.
No entanto, assim como fizemos no Ensino Fundamental, resolvemos analisar o
Currículo de Pernambuco para o Ensino Médio (PERNAMBUCO, 2021) – área de
Matemática – juntamente com a BNCC (BRASIL, dado que as competências
específicas da Matemática se repetem, as habilidades da BNCC (BRASIL, 2018) são
expostas no Currículo de Pernambuco (PERNAMBUCO, 2021) e nele foram
evidenciadas habilidades específicas do componente, como também o objeto do
conhecimento.
Consideramos que diante da organização do currículo estadual analisado, ficou
mais fácil de enxergarmos os conteúdos relacionados à Matemática Financeira, uma
vez que, diferente da BNCC (BRASIL, 2018), ele separa as habilidades mostrando os
objetos do conhecimento relacionados, como também a série escolar. Desse modo,
resolvemos por meio de um quadro, organizar as competências específicas da
Matemática, as habilidades expostas na BNCC (BRASIL, 2018) e as habilidades
específicas de cada componente e os objetos do conhecimento assentados no
Currículo de Pernambuco (PERNAMBUCO, 2021), bem como a série escolar:
Quadro 5: Competências e habilidades de conteúdos que envolvem Matemática
Financeira no Ensino Médio na BNCC (BRASIL, 2018) e no Currículo de
Pernambuco para o Ensino Médio (PERNAMBUCO, 2021)
Competência específica 12

2

Utilizar estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos para interpretar situações em diversos
contextos, sejam atividades cotidianas, sejam fatos das Ciências da Natureza e Humanas, das questões
socioeconômicas tecnológicas, divulgados por diferentes meios, de modo a contribuir para uma formação
geral.

139

Unidade

Habilidade da

Temática

BNCC

Habilidade do Currículo
de Pernambuco

Objeto do

Série

conhecimento

escolar

Números
álgebra

e

(EM13MAT101)
Interpretar
criticamente
situações
econômicas, sociais
e fatos relativos às
Ciências da Natureza
que
envolvam
a
variação
de
grandezas,
pela
análise dos gráficos
das
funções
representadas e das
taxas de variação,
com ou sem apoio de
tecnologias digitais.

(EM13MAT101PE01)
Interpretar
criticamente
situações
econômicas,
sociais e fatos relativos às
Ciências da Natureza que
envolvam a variação de
grandezas, por meio de
análise dos gráficos das
funções representadas e
das taxas de variação,
com e/ou sem apoio de
tecnologias digitais.

Gráficos de
funções. Variação
de grandezas.
Taxas de variação.

1ª série

Números
álgebra

e

(EM13MAT503)
Investigar pontos de
máximo
ou
de
mínimo de funções
quadráticas em

(EM13MAT503PE43)
Investigar e reconhecer
pontos de máximo ou de
mínimo
de
funções
quadráticas em contextos,
envolvendo
superfícies,
Matemática Financeira ou
Cinemática, entre outros,
com e/ou sem apoio de
tecnologias digitais.

Pontos de máximo
e de mínimo de
funções
quadráticas

1ª série

(EM13MAT104PE07)
Compreender e aplicar o
conceito de taxa e de
índice,
investigando,
analisando criticamente e
produzindo
argumentos
no
contexto
socioeconômico.

Conceitos de Taxa
e Índice:
compreensão e
aplicação.

1ª série

contextos
envolvendo
superfícies,
Matemática
Financeira
ou
Cinemática,
entre
outros, com apoio de
tecnologias digitais.
Números
álgebra

e

(EM13MAT104)
Interpretar taxas e
índices de natureza
socioeconômica
(índice
de
desenvolvimento
humano, taxas de
inflação,
entre
outros), investigando
os processos de
cálculo
desses
números,
para
analisar criticamente
a
realidade
e
produzir argumento

140

Números
álgebra

e

(EM13MAT104)
Interpretar taxas e
índices de natureza
socioeconômica
(índice
de
desenvolvimento
humano, taxas de
inflação,
entre
outros), investigando
os processos de
cálculo
desses
números,
para
analisar criticamente
a
realidade
e
produzir argumentos.

(EM13MAT104PE08)
Interpretar os conceitos
envolvendo
taxas
e
índices na resolução de
situações-problema
relacionados às atividades
humanas,
como
por
exemplo,
taxas
de
inflação,
analisando
criticamente a realidade e
produzindo argumentos.

Conceitos de Taxa
e Índice: resolução
de situaçõesproblema.

2ª série

Conceitos de Taxa
e Índice:
investigação.

(EM13MAT104PE09)
Investigar os processos
de cálculo envolvendo as
noções de taxas e de
índices
de
natureza
socioeconômica
(produzindo argumentos e
explorando taxas como:
IR, ICMS, IPTU, IPVA), a
fim de produzir análise e
argumentos.

Competência específica 23
Números
operações

e

(EM13MAT203)
Aplicar
conceitos
matemáticos
no
planejamento,
na
execução
e
na
análise de ações
envolvendo
a
utilização
de
aplicativos
e
a
criação de planilhas
(para o controle de
orçamento familiar,
simuladores
de
cálculos de juros
simples e compostos,
entre outros), para
tomar decisões.

(EM13MAT203PE16)
Utilizar
conceitos
matemáticos
no
planejamento,
na
execução e na análise de
ações para o uso de
aplicativos e criação de
planilhas (por exemplo,
nas
atividades
envolvendo o controle de
orçamento
familiar,
simuladores de cálculos
de
juros
simples
e
compostos, entre outros),
para tomada de decisão
em situações diversas,
com e/ou sem o uso de
tecnologias digitais.

Planilhas
financeiras:
planejamento,
execução e análise
orçamentária e de
renda.

2ªsérie

Competência específica 34

3

Propor ou participar de ações para investigar desafios do mundo contemporâneo e tomar decisões
éticas e socialmente responsáveis, com base na análise de problemas sociais, como os voltados a
situações de saúde, sustentabilidade, das implicações da tecnologia no mundo do trabalho, entre outros,
mobilizando e articulando conceitos, procedimentos e linguagens próprios da Matemática.

141

Números
álgebra

4

e

(EM13MAT303)
Interpretar e comparar
situações que envolvam
juros simples com as que
envolvem
juros
compostos, por meio de
representações gráficas
ou análise de planilhas,
destacando o crescimento
linear ou exponencial de
cada caso.

(EM13MAT303PE19)
Interpretar e comparar
situaçõesproblema
que envolvam os tipos
de juros (simples e
composto),
utilizando
como ferramentas de
análise, planilhas e
gráficos, enfatizando o
comportamento linear e
exponencial
dos
mesmos em cada caso,
com e/ou sem o uso de
tecnologias digitais.

Juros Simples e
Compostos:
planilhas
e
gráficos
de
funções afins e
exponenciais

3ª série

(EM13MAT304) Resolver
e elaborar problemas com
funções exponenciais nos
quais seja necessário
compreender e interpretar
a variação das grandezas
envolvidas, em contextos
como o da Matemática
Financeira, entre outros.

(EM13MAT304PE20)
Resolver e elaborar
situaçõesproblema,
envolvendo
funções
exponenciais,
interpretando
a
variação das grandezas
envolvidas em diversos
contextos como, por
exemplo, no estudo da
Matemática Financeira,
entre outros, com e/ou
sem
o
uso
de
tecnologias digitais.

Funções
Exponenciais:
variação
de
grandezas

2ªsérie

(EM13MAT305) Resolver
e elaborar problemas com
funções logarítmicas nos
quais seja necessário
compreender e interpretar
a variação das grandezas
envolvidas, em contextos
como os de abalos
sísmicos,
pH,
radioatividade,
Matemática
Financeira,
entre outros.

(EM13MAT305PE21)
Resolver e elaborar
situaçõesproblema,
envolvendo
funções
logarítmicas,
interpretando
a
variação das grandezas
em contextos diferentes
como, por exemplo, o
estudo
da
radioatividade,
Matemática Financeira,
entre outros, com e/ou
sem
o
uso
de
tecnologias digitais.

Funções
Logarítmicas:
variação
de
grandezas

2ª série

Utilizar estratégias, conceitos, definições e procedimentos matemáticos para interpretar, construir
modelos e resolver problemas em diversos contextos, analisando a plausibilidade dos resultados e a
adequação das soluções propostas, de modo a construir argumentação consistente.

142

Competência específica 55
Números
álgebra

e

(EM13MAT503) Investigar
pontos de máximo ou de
mínimo
de
funções
quadráticas em contextos
envolvendo
superfícies,
Matemática Financeira ou
Cinemática, entre outros,
com apoio de tecnologias
digitais.

(EM13MAT503PE43)
Investigar
e
reconhecer pontos de
máximo ou de mínimo
de funções quadráticas
em
contextos,
envolvendo
superfícies,
Matemática Financeira
ou Cinemática, entre
outros, com e/ou sem
apoio de tecnologias
digitais.

Pontos de
máximo e de
mínimo de
funções
quadráticas

1ª série

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação baseado na BNCC (BRASIL, 2018) e no Currículo de
Pernambuco (PERNAMBUCO, 2021)

Diante do quadro, fica visível que o estudo com a Matemática Financeira no
Ensino Médio se relaciona com outros conteúdos desta etapa de ensino, valendo
mencionar que que faz parte de uma única unidade temática: Números e Álgebra. Com
as elucidações das séries escolares, é notório que em todos as séries do Ensino Médio
têm conteúdos interligados com a Matemática Financeira, sendo que a sua finalização
acontece na3ª série do Ensino Médio, quando são discutidos sobre Juros Simples e
Compostos, de acordo com o Currículo de Pernambuco (PERNAMBUCO, 2021). Nesse
sentido, para que a esta pesquisa contribua de maneira satisfatória para todos os
envolvidos, salientamos que a série escolar para realização do estudo é a3ªsérie do
Ensino Médio.
Como já mencionado em parágrafos anteriores, a BNCC (BRASIL, 2018) não
elucida os objetos do conhecimento no Ensino Médio e o Currículo de Pernambuco
(PERNMABUCO, 2021) mostra cada objeto do conhecimento relacionado às
habilidades, o que facilitará na organização do planejamento do trabalho docente, bem
como na sua análise para pesquisas a serem desenvolvidas.
Feito toda a análise dos documentos oficiais da Educação Básica, em nível
nacional e estadual, acreditamos que outro ponto fundamental neste estudo também é
5

Investigar e estabelecer conjecturas a respeito de diferentes conceitos e propriedades matemáticas,
empregando estratégias e recursos, como observação de padrões, experimentações e diferentes
tecnologias, identificando a necessidade, ou não, de uma demonstração cada vez mais formal na
validação das referidas conjecturas.

143

fazer uma análise dos livros didáticos do Programa Nacional do Livro Didático (PNLD),
verificando como a Matemática Financeira está sendo abordada. Nesse sentido,
dedicamos o próximo tópico para a apresentação desta análise.

3.2 Análise dos livros didáticos do PNLD e a Matemática Financeira
Nas aulas de Matemática, como também em outros componentes curriculares, o
livro didático aparece como uma das principais ferramentas no processo de ensino e
aprendizagem, como é afirmado nosPCNs (BRASIL, 1998). Muitas vezes, ele é visto
como um direcionador (principal roteiro) nas aulas e não apenas como um instrumento
de auxílio para o professor. Nesse sentido, verificar como esses livros são organizados,
bem como os objetos dos conhecimentos que estão sendo colocados, as questões e as
contextualizações, se faz necessário.
Sabe-se que o professor, na escolha do livro didático, tem um papel de
fundamental importância, pois como afirma o guia do Programa Nacional do Livro
Didático – PNLD (BRASIL, 2007), entre tantas coisas, na sua escolha:
É preciso observar, no entanto, que as possíveis funções que um livro didático
pode exercer não se tornam realidade, caso não se leve em conta o contexto
em que ele é utilizado. Noutras palavras, as funções acima referidas são
histórica e socialmente situadas e, assim, sujeitas a limitações e contradições.
Por isso, tanto na escolha quanto no uso do livro, o professor tem o papel
indispensável de observar a adequação desse instrumento didático à sua
prática pedagógica e ao seu aluno. (BRASIL, 2007, p.12)

A partir disso, além de na análise de um livro didático olhar a adequação desse
instrumento de acordo com o que esboça os documentos norteadores da Educação
Básica, é necessário que se pense no perfil do estudante em que o livro será utilizado,
para que assim a promoção da aprendizagem aconteça de acordo com as inúmeras
esferas socias. Alguns pontos sobre isso tratamos no tópico sobre o Discurso
Pedagógico, em que ponderamos sobre as oportunidades de aprendizagem para todas
as classes sociais.
Para Rosa, Ribas e Barazzuti (2012):
Ao analisar livros didáticos é possível perceber a existência de falhas na sua
composição, às vezes na forma de apresentação do conteúdo, nas atividades
propostas, no desenvolvimento dos conceitos no decorrer das páginas, ou ainda
de inadequação à realidade local, às práticas sociais do grupo escolar em
questão. Por esse motivo destaca-se a importância de utilizar diversos livros,

144

mas, também, variados recursos pedagógicos, para oferecer ao aluno uma
vasta fonte de informações. (ROSA; RIBAS; BARAZZUTI, 2012, p. 3)

Com o elucidado, é notória a importância de se analisar livros didáticos, ainda
mais nos dias de hoje, que tratando-se do Ensino Médio, novas propostas curriculares
estão sendo implantadas nas escolas nacionais. Não dá para falar do Ensino Médio nos
dias atuais e não tratar do Novo Ensino Médio, que de acordo com o Guia de
Implementação do Novo Ensino Médio (BRASIL, 2018):
Sua proposta considera três grandes frentes: o desenvolvimento do
protagonismo dos estudantes e de seu projeto de vida, por meio da escolha
orientada do que querem estudar; a valorização da aprendizagem, com a
ampliação da carga horária de estudos; e a garantia de direitos de
aprendizagem comuns a todos os jovens, com a definição do que é essencial
nos currículos a partir da BNCC. (BRASIL, 2018, p. 3)

Nesse sentido, acreditamos que os livros didáticos também devem considerar o
protagonismo e a aprendizagem dos estudantes e se isso não acontece, as
modificações nessa nova proposta não dar-se-ão de maneira satisfatória. Diante disso,
nos parágrafos seguintes tratamos de uma análise realizada em alguns livros didáticos
e de projetos integradores aprovados pelo PNLD para o Ensino Médio no ano de 2020.
Vale salientar, que a área de Matemática e suas tecnologias no Ensino Médio, é
uma das poucas que terá livros didáticos específicos com a reforma, visto que a divisão
agora acontece por área do conhecimento. Sendo assim, ainda tratando-se da área de
Matemática e suas tecnologias, os livros didáticos são divididos por objeto do
conhecimento, buscando áreas que tem uma maior proximidade.
À vista disso, para este estudo foram analisados quatro livros didáticos da área de
Matemática e suas tecnologias, considerando os livros que tratam da Matemática
Financeira. Os livros são: Matemática Interligada: Grandezas, Sequências e
Matemática Financeira – Editora Scipione (ANDRADE, 2020); Quadrante Matemática e
suas tecnologias: Estatística, Probabilidade e Matemática Financeira – Editora
SM(CHAVANTE, 2020); Prisma Matemática: Sistema, Matemática Financeira e
Grandezas – Editora FDT (BONJORNO, 2020); Matemática em Contextos: Estatística e
Matemática Financeira – Editora Ática (DANTE, 2020). O critério de escolha para estes
livros está fundado em todos terem sidos disponibilizados para a instituição de ensino
na qual a pesquisa foi desenvolvida, sendo assim, foi possível ter um olhar mais

145

cuidadoso para aquela realidade escolar e para que o está sendo desenvolvido nesta
pesquisa; e que um deles foi adotado na escola no ano de 2022.
Diante da exposição, a análise aqui apresentada está baseada em três aspectos:
organização dos capítulos e tópicos esboçados; o que está sendo exposto no(s)
capítulo(s) que tratam da Matemática Financeira; a parte que trata do manual do
professor e suas relações com as temáticas apresentadas nesta dissertação. Tratando
de uma questão de organização nas análises, pontuamos que optamos por tratar de
cada livro de maneira individual, possibilitando um paralelo entre elas. A seguir,
trazemos o 1° livro analisado:
Figura 12: Capa inicial do Livro Matemática Interligada

Fonte: Andrade (2020)

No livro, “Matemática Interligada: Grandezas, Sequências e Matemática
Financeira” – Editora Scipione (ANDRADE, 2020), antes da exposição do sumário é
colocada a apresentação da obra, o que é considerado na iniciação de cada capítulo e
os tópicos presentes em cada um dele: Você cidadão, no qual são tradadas questões
de formação cidadã; Conversando, objetivando um diálogo entre professor e estudante

146

sobre os conteúdos abordados; Problemas e exercícios, em que são apresentadas
algumas resoluções de tarefas e também tarefas propostas para os estudantes
resolverem; Você produtor, tendo por finalidade a elaboração de problemas com base
em imagens e informações; Desafio, que também são tarefas propostas que vão além
de uma simples resolução; Em grupo, que tem por finalidade a resolução de tarefas em
equipe; Finalizando a conversa, tem o intuito de fazer uma análise do que foi estudado;
Explorando problemas, na qual são apresentadas maneiras de organizar o pensamento
para resolver problemas; Acesso digital, sendo apresentado em alguns capítulos e
abordam sobre softwares e sites que podem ajudar no desenvolvimento de atividades;
Saiba mais, que se perfaz com a relação do conteúdo estudado com outras áreas do
conhecimento; por fim, Conectando ideias, que se dá na leitura e interpretação de
infográficos envolvendo diferentes temas, levando a responder algumas questões.
Sobre o que é pontuado nessa apresentação do livro, nos chama a atenção o
quanto é esboçado sobre problemas e mais que isso, sobre as tarefas matemáticas. A
respeito disso, podemos considerar o que expõe Ponte (2015) que para quem se
preocupa com desenvolvimento das aprendizagens dos estudantes, o conceito de
tarefa é bem importante, uma vez que elas têm um poder central no desenvolvimento
da aprendizagem dos estudantes. Sobre os problemas, é perceptível que além da
resolução, também é explorado sobre a elaboração de problemas, sendo tão discutido
sobre isso nas habilidades de Matemática expostas na BNCC (BRASIL, 2018). Não
obstante, no livro também é discutido sobre o objetivo da obra e a sua justificativa,
sendo alicerçado a isso, competências gerais da Educação da Básica, competências
específicas da área de Matemática e suas tecnologias e suas respectivas habilidades.
Sobre as competências e habilidades, as que estão elencadas são descritas em quais
capítulos foram contempladas. Tratando-se do capítulo de Matemática Financeira, a ele
estão relacionadas as habilidades específicas 1, 2 e 3 (podem ser vistas no tópico
anterior) e as habilidades de código: EM12MAT104, EM13MAT203, EM13MAT304,
EM13MAT315.
A respeito dos pontos tratados anteriormente, esboçamos as figuras a seguir que
representam uma parte da apresentação do livro didático:

147

Figura 13: Páginas de apresentação do Livro Matemática Interligada

Fonte: Andrade (2020, p. 3 -7)

Com isso exposto, vamos agora tratar do que é exposto no capítulo destinado à
Matemática Financeira. Na página inicial do capítulo é esboçado sobre compras à
prazo, com a finalidade de introduzir o conteúdo e sendo abordado sobre o acréscimo
de juros e algumas questões para reflexão, como mostra a figura abaixo (Figura 14).
Podemos dizer que as questões iniciais servem como norteadoras para dar

148

embasamento ao que será estudado no capítulo, trazendo um viés problematizador e
reflexivo a respeito de situações reais. Além dos estudantes exporem os seus pontos de
vista, na questão de número 3 observa-se que ele também terá que justificar o que
defende, com isso, será possível o conflito de ideias e debates entre eles.
Figura 14: Contextualização para introdução do conteúdo no Livro Matemática
Interligada

Fonte: Andrade (2020, p. 111)

A respeito das questões mencionadas no final da situação, percebemos a
preocupação em considerar as interações dos estudantes, sejam mencionadas pela
oralidade ou escrita. Sobre isso, mencionamos um ponto fundamental que
consideramos nesta pesquisa, a Teoria da Ação Comunicativa, como a finalidade de

149

que os estudantes se posicionem de maneira crítica, criativa e reflexiva, já que estas
representam habilidades do século XXI.
Tratando dos conceitos de Matemática Financeira e da organização dos
conteúdos que compõem este tópico da Matemática, percebe-se a preocupação em
abordar sobre diversos, a saber: proporção numérica, porcentagem, indicadores
econômicos e socioeconômicos, acréscimos e descontos, juros, juros e funções, taxas
equivalentes, equivalência de capitais e amortizações. Sobre esses conteúdos
apresentamos o sumário disponível dentro do capítulo:
Figura 15: Sumário disponível no capítulo de Matemática Financeira no Livro
Matemática Interligada

Fonte: Andrade (2020, p. 111)

A respeito desses conteúdos, percebe-se também a preocupação em contemplar
as habilidades da BNCC (BRASIL, 2018) que dizem a respeito à Matemática
Financeira, um exemplo é habilidade de código EM13MAT104 que trata da
interpretação de taxas e índices de natureza socioeconômica. Outro ponto importante é
que o livro trata de tópicos considerados bases da Matemática Financeira, como
porcentagem e proporção numérica, infere-se que isso é relevante, pois permitirá ajudar
aqueles estudantes que apresentem algumas dificuldades advindas do Ensino
Fundamental.
Sobre as questões que são colocadas, percebemos que elas partem de um nível
elementar de dificuldade para um mais complexo. Sobre o tópico de problemas e
exercícios, não há a distinção do que é um problema ou exercício e nos remete a
pensar sobre o professor ter conhecimento dos tipos de tarefas matemáticas para que

150

consiga fazer essa distinção. Observemos a figura a seguir que representa as questões
colocadas para os estudantes:
Figura 16: Questões disponíveis no livro didático

Fonte: Andrade (2020, p. 117)

Perceba que as questões 6 e 7 podem ser configuradas como exercícios, visto
que os estudantes poderão resolvê-las de maneira imediata (PONTE, 2014; POLYA,
1995). No entanto, em questões seguintes, como nas 9 e 10, essas questões podem
ser vistas como problemas, visto que os estudantes poderão não dispor de uma
maneira imediata para sua solução (PONTE, 2014; LOZADA; D’AMBROSIO, 2018). A
questão 8 também nos chama a atenção, sobre ela destacamos a sua relação com a
habilidade de código EM13MAT315 que trata do registro, por meio de um fluxograma de
um algoritmo. Diante dessas questões, percebe-se que as situações contextualizadas
abordam sobre temas que estão presentes em situações do cotidiano e da vida
pessoal, como compra de objetos e aposentadoria.

151

Sobre o tópico Acesso digital, neles são tratados sobre simuladores on-line, o
que é bem importante para que os professores e estudantes tenham acesso às
ferramentas diversas, contribuindo para a inserção dos alunos na cultura digital como
propõe a BNCC (BRASIL, 2018). A respeito disso, esboçamos na figura abaixo sobre o
que foi pontuado:
Figura 17: Simuladores on-line no Livro Matemática Interligada

Fonte: Andrade (p. 148 – 149)

A respeito desse tratamento, destacamos que não é colocado apenas para que o
professor vá em busca da ferramenta, mas que é disponibilizado um passo a passo
para sua utilização, o que pode ajudar professores e estudantes no seu manuseio. No

152

tópico de Conectando ideias, a situação esboçada também é bastante interessante,
uma vez que trata do processo de compra com o cartão de crédito, finalizando com
questões a respeito da situação e do conhecimento construído. Observemos a figura
abaixo:
Figura 18: Tópico Conectando ideias no Livro Matemática Interligada

Fonte: Andrade (2020, p. 150 – 151)

Com os pontos discutidos, agora vamos tratar das orientações dados ao
professor na utilização desse recurso didático. Como não é possível elencar sobre tudo
que é tratado, vamos focar em pontos que salientamos no desenvolvimento desta

153

dissertação. Um ponto que nos chamou bastante atenção nessas orientações dadas, foi
a respeito do papel do professor e que algumas ideias traçadas casam com o estudo
desenvolvido nesta dissertação, pois os autores discutiram a respeito do Contrato
Didático, as negociações, suas regras, a relação professor-aluno-saber, entre outros
fatores. Além disso, outro ponto foi sobre a Resolução de Problemas, como visto na
figura abaixo e, mais uma vez, ao assentar sobre essa abordagem os autores tratam da
figura do professor, já que ele é um dos componentes quando discutimos as relações
didáticas no processo de ensino e aprendizagem. Como podemos observar na imagem,
também trata da resolução de problemas em contextos práticos, que permite aos
estudantes encontrar variadas respostas e, mais que isso, serem os protagonistas por
sua aprendizagem:
Figura 19: O tratamento da Resolução de Problemas no Livro Matemática
Interligada

Fonte: Andrade (2020, p. 189)

Diante desses pontos aqui discutidos sobre essa obra, acreditamos que se o
professor fazer bom uso dela, sabendo a sua função no dinamismo de uma sala de
aula, bem como na organização de situações que contribuam para o desenvolvimento
dos estudantes, poderá contribuir de maneira significativa para o processo de ensino e
aprendizagem da Matemática Financeira.
A próxima obra a ser discutida é a “Quadrante Matemática e suas tecnologias:
Estatística, Probabilidade e Matemática Financeira” (CHAVANTE, 2020). Como pode
ser visto, na figura abaixo apresentamos a capa inicial do livro:
Figura 20: Capa inicial do Livro Quadrante Matemática

154

Fonte: Chavante (2020)

Como na obra anterior, o livro apresenta como é a organização dos seus
capítulos, do mesmo modo também esboça as competências e habilidades que são
contempladas de acordo com a BNCC (BRASIL, 2018). Tratando-se da organização, os
tópicos são nomeados da seguinte maneira: Tarefas, que tem por finalidade colocar em
prática os conhecimentos já construídos; Tarefas resolvidas, que visam auxiliar no
trabalho em outras tarefas que o estudante deve resolver; Matemática a+, em que são
apresentadas situações contextualizadas com informações adicionais sobre o conteúdo
que está sendo tratado; Passo a passo, com o propósito de desenvolver o pensamento
computacional; Verificando rota, servindo para verificar a sua rota de aprendizagem;
Valores em ação, que é um momento de reflexão sobre temas diversos; Ampliando
fronteiras, em que são apresentados textos permitindo a ampliação do conhecimento;
Matemática em ação, com a finalidade de colocar a Matemática em Ação dentro e fora
do espaço escolar; Ferramentas, na qual são apresentadas ferramentas eletrônicas

155

para utilização em situações didáticas. Na figura a seguir, apresentamos um esboço da
organização do livro:
Figura 21: Organização do livro Quadrante Matemática e suas tecnologias

Fonte: Chavante (2020, p. 2 – 3)

156

Assim como no livro anterior, damos destaque a utilização da nomenclatura
tarefa para se referir as questões diversas. Neste livro, também para iniciar o capítulo
de Matemática Financeira é colocada uma situação em que os estudantes podem ser
levados a refletirem e exporem seus pontos de vista, como exposto na figura abaixo:
Figura 22: Situação Inicial no capítulo de Matemática Financeira – Quadrante
Matemática e suas Tecnologias

Fonte: Chavante (2020, p. 124 – 125)

É relevante elucidar que a situação colocada está ao alcance dos diferentes
estudantes, visto que a temática abordada está presente nas diferentes culturas. A
situação também considera os saberes prévios dos estudantes, sendo possível analisar
se eles possuem dificuldades quando se trata do cálculo de porcentagem. Sobre os
conteúdos tratados da Matemática Financeira, nesta coleção eles estão mais
resumidos, abordando sobre: porcentagem, acréscimos e descontos, juros e sistema de
amortização. Nesse sentido, faltou pontuar a respeito de taxas equivalentes e
indicadores

econômicos

e

socioeconômicos

e

que

a

habilidade

de

código

157

EM13MAT104 não foi contemplada, uma vez que diz respeito à interpretação de taxas e
índices de natureza socioeconômica.
Sobre o tópico de Tarefas, podemos dizer que diferentes tipos são esboçados, a
exemplo exercícios e situações-problema. Sobre isso, um ponto que nos chamou a
atenção na obra foi uma questão respondida, em que duas maneiras de resolução
foram esboçadas, vejamos a figura abaixo:
Figura 23: Problema e suas respectivas soluções no Livro Quadrante Matemática

Fonte: Chavante (2020, p. 129 – 130)

Destacamos essa resolução, pois consideramos importante que sejam
esboçadas tanto para o professor como para os estudantes diversas maneiras para se
resolver uma situação, com intuito de que quando os discentes forem resolver as
questões colocadas para eles não queiram seguir apenas uma maneira já evidenciada
pelo

professor ou pelo

próprio

livro

didático.

Apontamos, também,

que

a

contextualização da questão considera os vários perfis de estudantes.
A respeito do tópico de Ferramentas, para utilização na Matemática Financeira é
mencionado o uso do LibreOfficeCalc na simulação de empréstimos e no sistema de
amortização, como visto na figura abaixo:

158

Figura 24: LibreOfficeCalc na simulação de empréstimos e sistema de
amortização no Livro Quadrante Matemática

Fonte: Chavante (2020, p. 150 – 151)

Sobre esse tópico, discutimos a importância da utilização de instrumentos
diversos em situações que envolvam conteúdos da Matemática Financeira e a maneira
que são discutidas tais proposições, sempre deixando tutoriais para a utilização.
Desse modo, com essas ideias tecidas, agora iremos tratar das orientações para
o professor. Do mesmo modo que no livro anterior, esta também elucida sobre o papel
do professor e coloca esse como um mediador nas situações de ensino e
aprendizagem. Não obstante, ao tratar da resolução de problemas, esboçam as etapas
salientadas por Polya (1995), colocando que quando os estudantes resolvem
problemas, eles têm a oportunidade de refletirem sobre suas resoluções e que se
constitui em um processo dinâmico de idas e voltas ao problema (CHAVANTE, 2020). A
partir disso, consideramos que mesmo o livro pecando quando se discute os objetos do
conhecimento que estão dentro da Matemática Financeira, acreditamos que este livro

159

pode ser útil para o trabalho do professor e o desenvolvimento do estudante, no
entanto, ele não pode ser a única ferramenta de ensino, o professor deve buscar outras
maneiras para ensinar e complementar o que está no livro didático.
Assim sendo, a obra que iniciamos agora a discussão é a “Prisma Matemática:
sistemas, Matemática Financeira e Grandezas” – Editora FTD (BONJORNO, 2020). A
seguir, apresentamos a capa inicial do livro didático:
Figura 25: Capa inicial do Livro Prisma Matemática

Fonte: Bonjorno (2020)

Nesta obra, nas páginas iniciais, diferente do que era exposto nas outras, ela não
apresenta as competências e habilidades da BNCC (BRASIL, 2018), apenas é
esboçado sobre a organização de cada capítulo. Sobre a organização dos capítulos,
destacamos a figura a abaixo:

160

Figura 26: Organização dos capítulos no Livro Prisma Matemática

Fonte: Bonjorno (2020, p. 4 - 5)

161

Como visto na imagem, na organização do capítulo é elencado a abertura do
capítulo, que assim como nas outras obras, é exposta uma situação e questões sobre
ela. Ainda na página de abertura do capítulo, são colocadas as competências e
habilidades de acordo com a BNCC (BRASIL, 2018) que pretende se desenvolver com
o estudo dos conteúdos presentes em cada capítulo. Os outros tópicos na organização
do capítulo são: Atividades resolvidas e atividades, em que são apresentadas situações
já resolvidas e para que o estudante resolva, além da elaboração de questões; Fórum,
sendo uma oportunidade para se trocar ideias, destacamos aqui o trabalho em equipe e
o relacionamento interpessoal; História da Matemática, com histórias acerca dos
conteúdos abordados; Explorando a tecnologia, com o objetivo de desenvolver o
pensamento computacional; Conexões, com temas diversos referentes aos conteúdos;
Atividade complementares, em que é possível encontrar questões sobre exames
oficiais, a exemplo o ENEM e vestibulares; Para refletir, oportunizando uma reflexão
sobre o que foi estudado.
Assim, quando fomos analisar o capítulo destinado à Matemática Financeira,
percebemos que apenas três conteúdos eram tratados – Sistemas de Amortização,
Orçamento Familiar (que está mais atrelado à Educação Financeira) e Inflação –, no
entanto, conseguimos identificar que havia um outro capítulo nomeado por
Porcentagem e Juros. Sobre isso, consideramos que se o professor der ênfase ao
capítulo de Matemática Financeira e não apresentar que em outro capítulo também há
conceitos dessa área, o estudante poderá apresentar defasagens, pois pode não
considerar a porcentagem e os juros como elementos dessa área. Sobre a organização
desses diferentes capítulos, apresentamos a figura abaixo:

162

Figura 27: Capítulo de Porcentagem e juros e de Matemática Financeira

Fonte: Bonjorno (2020, p. 6 - 7)

Ao observarmos esses dois capítulos, em ambos, situações cotidianas são
colocadas para introduzir o capítulo, no de “Porcentagem e Juros” a situação engloba
questões relativas àBlack Friday e consequentemente descontos e três questões foram
colocadas. No capítulo nomeado por “Matemática Financeira”, a situação é sobre
formas de pagamento nas compras e quatro questões sobre ela são elencadas. Sobre
os conteúdos, percebemos que nesta obra também alguns não são explorados e que
isso reflete na não contemplação de todas as habilidades da BNCC (BRASIL, 2018)
sobre que tratam da Matemática Financeira.
Um ponto importante que destacamos nas outras obras, foi sobre a nomeação
das questões, sempre sendo nomeadas por tarefas, neste livro tudo é colocado como

163

atividade. Ainda tratando das questões, percebemos que nas questões com resolução,
apenas uma maneira de responder é apresentada, o que pode interferir na maneira
como os estudantes podem resolver outras tomando essa como base, caso o professor
não apresente outras maneiras (observemos a figura a abaixo):
Figura 28: Exemplo de questão resolvida no Livro Prisma Matemática

Fonte: Bonjorno (2020, p. 72)

Tratando dos tópicos que organizam os capítulos, como na obra anterior quando
é apresentando recursos tecnológicos, nesta também é ofertado um tutorial para
utilização do LibreOffice em ambos os capítulos, assim podemos destacar que essa
ferramenta é algo de destaque quando se trata da Matemática Financeira. No tópico de
Conexões, no capítulo de Porcentagem e Juros foi esboçado sobre os juros no cartão
de crédito e no capítulo de Matemática Financeira sobre o imposto de renda,
consideramos ambas as discussões muito importantes para a formação dos estudantes
(observemosa figura abaixo):

164

Figura 29: Tópico Conexões no Livro Prisma Matemática

Fonte: Bonjorno (2020, p. 84 e 108)

Outro ponto discutido nas análises, é sobre as orientações para o professor e
mais uma vez é esboçado sobre o papel do professor e mencionam a Resolução de

165

Problemas enquanto metodologia de ensino, para isso destacam as etapas discutidas
por Onuchic. Sobre a Resolução de Problemas neste livro, apresentamos que quando
os autores consideram os estudos da Onuchic e a chamam de metodologia de
Resolução de Problemas, há uma falha, pois a autora, junto como seus colaboradores
defendem sobre a metodologia ensino-aprendizagem-avaliação via Resolução de
Problemas. Observemos na figura a seguir como os autores do livro fazem o esboço do
que foi apresentado:
Figura 30: Percepção dos autores do Livro Prisma Matemática acerca da
Resolução de Problemas

Fonte: Bonjorno (2020, p. 175)

É importante salientar que sempre estamos pontuando sobre o papel do
professor e a Resolução de Problemas quanto às orientações para o professor, porque
são temas discutidos nesta dissertação e que outros temas também são discutidos
nessa parte do livro didático. Diante disso, elucidamos que a obra para utilização em
sala de aula, necessitará de uma boa articulação do professor, tratando desde os
objetos do conhecimento que são englobados fora da Matemática Financeira, até os
conhecimentos teóricos sobre a Resolução de Problemas.
Seguindo, o livro agora analisado e discutido é o “Matemática em Contextos:
Estatística e Matemática Financeira” – Editora Ática (DANTE, 2020). Nesse sentido,
apresentamos abaixo a capa inicial do documento:

166

Figura 31: Capa Inicial do Livro Matemática em Contextos

Fonte: Dante (2020)

Como no livro anterior, este quando faz a apresentação da organização dos
capítulos não evidencia inicialmente as competências e habilidades da BNCC (BRASIL,
2018), estando elas presentes no início de cada capítulo. Desse modo, cada capítulo é
organizado da seguinte maneira: Abertura, com uma situação inicial e questionamentos;
Conheça o capítulo, em que são fornecidos os objetivos, a justificativa e as
competências e habilidades a serem desenvolvidas; Explore para descobrir, nas quais
existentes atividades de objetivos diversos, entre elas, exploração; Atividade resolvidas,
apresentando uma solução detalhada das questões; Fique atento, com o objetivo de
chamar atenção para algo que está sendo estudado no momento; Atividades, nas quais
são fornecidas questões envolvendo contextos do cotidiano; Reflita, fazendo
questionamentos e trazendo reflexões sobre o conteúdo estudado; Sobre o assunto,
apresentando informações e curiosidades sobre o conteúdo; Glossário, que apresenta a

167

definição de algumas palavras. A respeito da estrutura dos capítulos e seus tópicos
apresentamos a figura abaixo:
Figura 32: Estrutura dos capítulos do Livro Matemática em Contextos

Fonte: Dante (2020, p. 4 -5)

168

Ao tratar especificamente do capítulo de Matemática Financeira, percebemos
que os conteúdos contemplados são: porcentagem, acréscimos e descontos, inflação e
juros. Nesse sentido, já é notória a falta de alguns conteúdos, entre eles, sistemas de
amortização e, consequentemente, falhas em contemplar todas as habilidades da
BNCC (BRASIL, 2018) referentes à Matemática Financeira. Sobre os conteúdos,
podemos observar a figura abaixo que apresenta o sumário deste capítulo:
Figura 33: Sumário de Matemática Financeira no Livro Matemática em Contextos

Fonte: Dante(2020, p.7)

169

Na abertura do capítulo, a justificativa do estudo da Matemática Financeira nos
chama a atenção e, consideramos, que os pontos evidenciados são bem importantes
para o desenvolvimento dos estudantes, dado que, como é afirmado, existem alguns
conteúdos dessa parte da Matemática que, muitas vezes, são desconhecidos pelos
estudantes. Observemos a figura abaixo:
Figura 34: Justificativa para o estudo de Matemática Financeira no Livro
Matemática em Contextos

Fonte: Dante(2020, p. 89)

Na situação inicial esboçada, percebemos que as ideias tratam intimamente da
Educação Financeira, uma vez que é abordado sobre controle de gastos, disciplina e
planejamento. Assim sendo, é importante deixar claro para os estudantes que a
Matemática Financeira e Educação Financeira, embora, andem lado a lado, suas
definições são diferentes (observemos a figura abaixo):

170

Figura 35: Situação inicial no capítulo de Matemática Financeira no Livro
Matemática em Contextos

Fonte: Dante (p. 87)

A respeito das questões resolvidas no capítulo, apenas uma solução é
evidenciada, reiteramos que para que os estudantes entendam que existem diversas

171

maneiras para solução, cabe ao professor mostrar outras formas. As questões também
esboçadas vão desde exercícios a problemas, do mesmo modo que aconteceu nos
outros livros. No tópico de Leitura e Compreensão, é tratado sobre o dinheiro e a
Matemática por meio da história, isso é muito importante para a aprendizagem dos
estudantes, para terem conhecimento de como se deu as ideias iniciais do que é
estudado hoje na Matemática Financeira (observemos a figura abaixo):
Figura 36: Tópico Leitura e compreensão no Livro Matemática em Contextos

Fonte: Dante (2020, p. 96 – 97)

172

A respeito das tecnologias digitais, mais uma vez foi explorado o LibreOffice. No
tópico Além da sala de aula, é mostrado para os estudantes alguns tipos de moeda
sociais, que podem ser utilizadas dentro de uma comunidade, a saber: palmas, cocal,
rios. Assim, esta situação permitirá que os estudantes possam buscar onde essas
moedas são utilizadas, fazendo com que sejam pesquisadores e investigadores nas
situações de aprendizagem (observemos a figura abaixo):
Figura 37: Tópico Além da sala de aula no Livro Matemática em Contextos

Fonte: Dante (2020, p. 103)

173

Dessarte, nas orientações para o professor, mais uma vez é tratado sobre o seu
papel nas situações de ensino e aprendizagem. No entanto, sobre a Resolução de
Problemas não foi esboçado, sendo mencionado sobre a aprendizagem baseada em
problemas, tratando que nela os estudantes aprendem de modo individual e também
colaborativo. Diante desses pontos elencados, consideramos que tratar dos conteúdos
que estão sendo esboçados sobre a Matemática Financeira, das tarefas matemáticas,
das situações expostas e de alguns pontos que é destacado nas orientações para o
professor, foi necessário para fazermos articulações com a nossa pesquisa.
À vista disso, de agora em diante trataremos dos livros de Projetos Integradores,
observando o que é exposto neles sobre a Matemática Financeira, visto que ela
também é abordada de maneira transversal. É importante salientar que os Livros de
Projetos Integradores são obras que contemplam uma dimensão integrada das áreas
do conhecimento, isto é, em um só livro diversas áreas podem ser abordadas. A partir
disso, a nossa análise sobre essas obras está alicerçada no que está sendo tratado a
respeito da Matemática Financeira. Assim, afirmamos que os livros analisados foram
“Conhecer e transformar: projetos integradores – Matemática e suas tecnologias”
(MUSSARA et al, 2020) e “Práticas na escola: projetos integradores – Matemática e
suas tecnologias” (GARCIA GAY, 2020). Cabe mencionar, que estes livros também
foram disponibilizados para a escola na qual esta pesquisa foi realizada, sendo um
deles adotado com implementação do Novo Ensino Médio no ano de 2022.Na figura
abaixo está representada a capa inicial do primeiro livro de Projeto Integrador
analisado:

174

Figura 38: Capa inicial do Livro Conhecer e transformar: projetos integradores

Fonte: Mussaraet al. (2020)

Ao analisar o sumário do livro percebemos que ele está organizado em seis
projetos: Intensidade sonora e saúde; Plano de investimento – o futuro em nossas
mãos; As tecnologias a serviço da localização e mobilidade; Risco agrícola e mudanças
climáticas; A irregularidade das chuvas; Nativos e imigrantes digitais. Cabe-nos
mencionar, que em todo livro de Projeto Integrador deve ser contemplado o STEAM, o
Protagonismo Juvenil, a Mídiaeducação e a Mediação de conflitos. Observemos na
figura abaixo o sumário do livro em questão:

175

Figura 39: Sumário do Livro Conhecer e transformar: projetos integradores

Fonte: Mussaraet al. (2020, p. 6 – 7)

Diante do sumário, percebe-se que o projeto 2 aborda situações da Matemática
Financeira. A respeito dele, nos debruçamos em uma análise mais detalhada. O foco
neste projeto está no Plano de investimento, com isso o capítulo é iniciado com três

176

questões: Você acha importante planejar o futuro? Ao pensar em futuro, você seria
capaz de repensar o momento presente? Você acha possível, com planejamento
transformar seus sonhos em realidade? Esses questionamentos são o pontapé inicial
para as investigações no projeto, chegando à investigação 2, que foi nomeada por
Matemática Financeira. Observemos a figura abaixo:
Figura 40: Investigação 2: Matemática Financeira no Livro Conhecer e
transformar: projetos integradores

Fonte: Mussareet al. (2020, p. 64)

177

Durante esse tópico de investigação, foi tratado sobre porcentagem, descontos e
acréscimos e juros, sendo colocados alguns exercícios e tambémproblemas já
respondidos como exemplos e também para responder, vejamos na figura abaixo.
Figura 41: Exercícios e situações problema no Livro Conhecer e transformar:
projetos integradores

Fonte: Mussaraet al. (2020, p. 64)

178

Percebemos que as questões elencadas são parecidas com as que foram
tratadas nos livros didáticos utilizados para formação geral básica. Apesar de apenas
uma investigação estar nomeada por Matemática Financeira, notamos que outras
também são exploradas sobre a temática, um exemplo é a Investigação 1 que trata do
Sistema Econômico sendo abordado sobre questões de porcentagens e juros. Com
base em toda explanação no capítulo, nota-se que várias competências e habilidades
da BNCC (BRASIL, 2018) foram contempladas e destacamos as habilidades de código
EM13MAT101 que trata de interpretar situações socioeconômicas e EM13MAT303 que
trata de interpretar e comprar em situações que envolvem juros simples e compostos.
Desse modo, com a implementação desta obra, será possível um maior
aprofundamento quanto à Matemática Financeira, visto que ela é abordada tanto na
formação geral básica quanto em Projetos Integradores. No entanto, na escolha das
obras é bom tomar cuidado para que não fique repetido o que é abordado em projetos e
na formação geral básica.
O segundo livro analisado de Projeto Integrador é “Práticas na escola:
Matemática e suas tecnologias” – Editora Moderna (GARCIA GAY, 2020), do mesmo
que no livro anterior, nele também seis projetos são apresentados. Abaixo
apresentamos a figura da capa inicial do livro:
Figura 42: Capa inicial do Livro Práticas na escola: Matemática e suas tecnologias

Fonte: Garcia Gay (2020)

179

Os projetos apresentados no livro são nomeados por: Qual é a melhor
embalagem?; Espaço espelho da nossa cultura; A escassez da água, o que eu posso
fazer?; Estabelecendo uma cultura de paz; Planejamento financeiro; Depressão na
adolescência: o que fazer para combater?. Nesse sentido, já podemos elencar que
conteúdos relacionados à Matemática Financeira serão contemplados no projeto de
Planejamento Financeiro. A seguir, observemos a figura com o sumário da obra:
Figura 43: Sumário do Livro Práticas na escola: Matemática e suas tecnologias

Fonte: Garcia Gay (2020, p. 4 – 5)

180

Tratando especificamente do projeto de Planejamento Financeiro, já que nele
encontramos conteúdos que dizem respeito à Matemática Financeira, entre os objetivos
mencionados, encontra-se o de “resolver problemas envolvendo os conceitos de
porcentagem, juros simples e compostos, além de compreender e identificar as
diferenças entre os tipos de juros”(GARCIA GAY, 2020, p. 111). Com isso, já se nota
que também nesse dá ênfaseàs questões ligadas à porcentagem e juros, parecido com
o que era esboçado no livro anterior. Observemos a figura abaixo:
Figura 44: Objetivos do projeto de Planejamento Financeiro no Livro Práticas na
escola: Matemática e suas tecnologias

Fonte: Garcia Gay (2020, p. 111)

Com essa exposição, destacamos que os autores do livro didático dão muita
atenção ao cálculo de porcentagem e de juros, deixando de lado outras questões que

181

também poderiam ser englobadas da Matemática Financeira nesse projeto. No projeto
há um tópico identificado por “Entendendo os juros”, sendo destacado sobre juros
simples e compostos. Observemos a figura abaixo:
Figura 45: Tópico Entendendo os Juros no Livro Práticas na escola: Matemática e
suas tecnologias

Fonte: Garcia Gay (2020, p. 127 – 128)

Observe que diante da imagem, há uma caixinha que explica como se dá o
cálculo de juros simples e o de juros compostos, geralmente, é o que também é exposto

182

nos livros didáticos da formação geral básica. Entretanto, posterior a isso, as questões
que são colocadas nos chamam bastante atenção, observemos a figura abaixo:
Figura 46: Situações e questões sobre juros esboçadas no Livro Práticas na
escola: Matemática e suas tecnologias

Fonte: Garcia Gay (2020, p. 128 – 129)

Podemos observar que três cenários foram colocados e a respeito deles,
algumas questões. Na questão 1, quando a autora solicita que os estudantes
desenhem um gráfico para os cenários, podemos dizer que isso é uma estratégia para
se chegar à solução do problema e todos os pontos elencados na situação, tem por
finalidade fazer com que os estudantes reflitam sobre cada cenário, o que
consideramos de fundamental importância para o tratamento da Matemática Financeira.
Os cenários colocados também representam situações que podem ser trabalhadas com
estudantes de diferentes perfis, uma vez que pode ser aplicada a uma situação real
próxima das diversas culturas.

183

Diante disso, apesar de considerarmos que mais questões ligadas à Matemática
Financeira poderiam ter sido trabalhadas no livro, a exemplo questões de amortização,
salientamos que o livro aborda situações importantes tratando dos juros e que ele pode
contribuir para atos de reflexão, comunicação, criatividade e criticidade. Não obstante,
algumas habilidades relacionadas à Matemática Financeira foram contempladas neste
capítulo, destacamos a de código EM13MAT303 que diz respeito à intepretação e
comparação de situações que envolvem juros simples com as que envolvem juros
compostos.
Com o elucidado a respeito de alguns pontos presentes nos livros didáticos,
tanto nos da formação geral básica, como nos de Projeto Integrador, apesar de alguns
estarem bem completos (ao nosso ver), eles não podem ser o único recurso didático na
utilização nas aulas. Os livros abordam sugestões sobre a implementação dos recursos
tecnológicos, mencionando exemplos e tutoriais, é importante que para as escolas que
tenham recursos tecnológicos essas abordagens comecem a fazer a parte da realidade
no processo de ensino e aprendizagem. Vale salientar, que um livro didático por si só
não fará milagres, mas que é preciso a articulação do professor no seu manuseio e nas
situações colocadas para os estudantes.
Por ora, acreditamos que as ideias neste tópico são suficientes para o
desenvolvimento deste estudo e que na seção seguinte abordamos a respeito do
percurso metodológico da pesquisa.

184

CAPÍTULO IV

PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS E O PRODUTO EDUCACIONAL
Neste capítulo tratamos dos procedimentos metodológicos da pesquisa, bem
como do produto educacional desenvolvido e aplicado diante das bases teóricas
expostas e discutidas em seções anteriores.

4.1Abordagem, tipo de pesquisa e instrumentos de coleta de dados
Em virtude do problema e objetivos desta pesquisa, expostos na introdução
destadissertação, destacamos que o estudo apresenta uma abordagem qualitativa
através de um estudo de caso. Para tal, buscamos apoio no que é salientado por Ludke
e André (1986), que as pesquisas nessa abordagem têm o ambiente natural como fonte
direta de dados e os pesquisadores são um de seus principais instrumentos. Ainda de
acordo com os autores, uma investigação de abordagem qualitativa, supõe contato
direto e prolongado entre quem pesquisa e o ambiente (ou situação) que está sendo
investigado. Sobre isso, destacamos que temos a sala de aula como ambiente (ou
situação) investigada e o investigador (pesquisador) como objeto principal na busca de
informações.
Para mais, acrescentamos o que é exposto por Chizzotti (2001), que a pesquisa
qualitativa “[..] parte do fundamento de que há uma relação dinâmica entre o mundo real
e o sujeito, uma interdependência viva entre o sujeito e o objeto, um vínculo
indissociável entre o mundo objetivo e a subjetividade do sujeito” (CHIZZOTTI, 2001, p.
79). Assim, nas pesquisas qualitativas há uma partilha entre pessoas, fatos e locais,
estes que fazem parte do objeto de pesquisa, permitindo a extração de significados que
são perceptíveis a partir de um olhar cuidadoso, isto é, nesse tipo de abordagem se
investiga determinados fenômenos, fazendo uma análise de suas manifestações e que
a sua preocupação está em todo o processo e não apenas no produto final.
De acordo com André (2007), a pesquisa qualitativa pode se manifestar no
trabalho de campo, em que o investigador se envolve na coleta de dados, utilizando de
instrumentos diversos, entre eles: filmadora, gravador, entrevistas, diário de bordo

185

(anotações). No meio educacional, para André (2007), a abordagem qualitativa está
presente em diferentes métodos e técnicas de pesquisas, que contemplam estudos de
caso, pesquisa-ação, pesquisa intervenção, pesquisas bibliográficas, entre outras.
A respeito disso, pontuamos que para esta pesquisa consideramos o estudo de
caso que, segundo Yin (2010, p. 39), “[...] é uma investigação empírica que se investiga
um fenômeno contemporâneo em profundidade e em seu contexto de vida real,
especialmente quando os limites entre o fenômeno e o contexto não são claramente
evidentes”.
A partir disso, podemos elencar que por meio do estudo de caso, utilizando-se de
dados qualitativos, coletados diante de situações reais, será possível explicar, explorar
e descrever fenômenos inseridos em seus respectivos contextos. Desse modo, para
que esses dados sejam tratados, alguns instrumentos para coleta de dados são
necessários, e para o estudo em questão utilizamos da observação participante,
questionários a priori e a posteriori, videografia, gravações de áudio, diário de bordo e
uma sequência didática com tarefas sobre Matemática Financeira.
De acordo com Gil (2008), a observação participante permite a participação real
do investigador/pesquisador com a situação que está sendo investigada, isto é, o
observador se insere no grupoinvestigado. Assim, podemos dizer que o pesquisador é
mais um elemento do grupo. Deste modo, sabendo que a observação participante pode
não ser possível para captar a totalidade de informações durante o processo
investigado, a videografiacontribuirá para a produção dos dados. Oliveira (2010) afirma
que a videografia é o instrumento mais adequado quando é considerada a investigação
dos fenômenos didáticos, uma vez que através dela é possível o registro das diferentes
interações no ambiente pesquisado. Destacamos a respeito da videografia e das
gravações de áudio a sua relevância no uso em pesquisas que tratam das ações
comunicativas, baseadas em atos de falas de perguntas e respostas.
Por esse viés, destacamos também a importância dos questionários em uma
pesquisa qualitativa, pois pode ajudar na concretização de algumas respostas sobre a
realidade investigada. Para Gil (2008), as perguntas de um questionário poderão ter
conteúdos sobre fatos, atitudes, comportamentos, sentimentos, entre outros, o que

186

ajudará na investigação a respeito do Contrato Didático, os seus elementos e na busca
das percepções dos estudantes sobre as tarefas desenvolvidas.

4.2 Lócus da pesquisa e sujeitos envolvidos
A pesquisa foi desenvolvida na Escola de Referência em Ensino Médio Padre
Antônio Barbosa Júnior, a qual faz parte da Rede Estadual de Ensino do Estado de
Pernambuco, localizada na cidade de Jurema no Agreste Meridional. É importante
salientar que a economia na cidade, onde a pesquisa foi desenvolvida, é baseada na
agricultura, comércio e vínculos com a prefeitura, o que foi julgado como importante
para a criação do Produto Educacional que serviu como instrumento para coleta dos
dados aqui apresentados, uma vez que nos alicerçamos em contextos reais,
considerando o Arco de Maguerez e a Resolução de Problemas. A cidade em questão
dista 243 km da capital pernambucana, Recife, e 164 km da capital alagoana, Maceió,
onde encontra-se a Universidade Federal de Alagoas, CampusA. C. Simões, do qual
faz parte o Programa de Pós-Graduação em Ensino de Ciências e Matemática que
permitiu o desenvolvimento deste estudo.
Os sujeitos de pesquisa foram estudantes de uma turma da 3ª série do Ensino
Médio e o professor/pesquisador. Para o desenvolvimento do estudo contamos com 13
estudantes, dos quais foram selecionados os dados para apresentação nesta pesquisa.
Os estudantes possuem entre 16 e 18 anos de idade, alguns com distorção idade-série
e dificuldades de aprendizagem, não apenas tratando-se da Matemática, mas também
de outras áreas do conhecimento, o que pode ser derivado do período enfrentado
durantea pandemia do Covid-19, na qual um vírus se alastrou por todo o mundo, sendo
necessário o distanciamento social, desencadeando, assim, o afastamento das aulas
presenciais.
Por esse viés, sabendo que na maioria dos casos o ensino passou a ser por
meio virtual, a maioria dos estudantes tiveram problemas em acompanhar as aulas,
visto que o acesso à internet ainda não era uma realidade para aquela população e os
estragos causados podem ser vistos agora com a volta das aulas presenciais, dado que
os estudantes passaram, em média, dois anos sem um contato maior com os
professores, pois aqueles que não tinham acesso à rede de internet recebiam apenas

187

material impresso com resumos dos conteúdos e atividades, muitos optando por nem
realizá-las.
Assim, é importante reiterar que precisamos considerar esse período vivenciado,
pois os prejuízos deixados, podendo citar internações, mortes, economia, mexeu com
as estruturas da sociedade e com cada estudante de modo particular. Da mesma forma,
a Educação também foi impactada e, consequentemente, o aprendizado de cada
estudante, pois aqueles que não tinham tantos subsídios para enfrentar aquele
momento de afastamento das aulas físicas, foram os mais prejudicados, o que é
realidade da população da qual estamos tratando.
Para mais, ainda destacamos que com o intuito de preservar a identidade dos
estudantes sujeitos de pesquisa, visto que isso também foi mencionado no Termo de
Esclarecimento Livre e Esclarecido (TCLE) e Termo de Assentimento Livre e
Esclarecido (TALE), termos assinados pelos estudantes e seus responsáveis, os seus
nomes não serão divulgados na escrita desta dissertação, logo, eles serão chamados
por: Estudante 1, Estudante 2, Estudante 3, Estudante 4, Estudante 5, Estudante 6,
Estudante 7, Estudante 8, Estudante 9, Estudante 10, Estudante 11, Estudante 12 e
Estudante 13.
Vale salientar, que mesmo fazendo parte da aplicação do estudo 13 estudantes,
nem todos estavam presentes em todas as aulas e que isso será apresentado durante a
análise e discussão dos dados. É importante mencionar que a turma da 3ª série do
Ensino Médio da qual esses estudantes fazem parte é formada por 27 estudantes no
total, entretanto, como a pesquisa envolvia gravações de vídeo e áudio, fotografias,
muitos deles optaram por não participar e não assinar o TALE e TCLE, sendo preciso
uma organização por parte do professor/pesquisador e a pesquisa ser aplicada em
contraturno às suas aulas. A partir disso, destacamos que a pesquisa foi aplicada
somente com os 13 alunos anteriormente citados e, por isso, o estudo foi desenvolvido
em horário contraturno às aulas, com o intuito de não tornar a sala de aula um ambiente
desconfortável para que aqueles que não aceitavam a gravação de áudio, vídeos e
fotografias.

188

4.3 A concepção do Produto Educacional e sua aplicação
De acordo com a Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível
Superior (CAPES), um Produto Educacional ou produto educativo “pode ser, por
exemplo, uma sequência de didática, um aplicativo computacional, um jogo, um vídeo,
um conjunto de videoaulas, um equipamento, uma exposição, entre outros” (BRASIL,
2019, p. 15). Do mesmo modo, é salientado que a dissertação ou tese a respeito da
elaboração e aplicação de um Produto Educacional respaldado no referencial teórico
metodológico escolhido, deve ser uma reflexão do que foi desenvolvido (BRASIL,
2019).
Diante disso, para a construção do Produto Educacional fruto desta dissertação,
optamos pela construção de uma Sequência Didática, que de acordo com Zabala
(1998) é “um conjunto de atividades ordenadas, estruturadas e articuladas para a
realização de certos objetivos educacionais, que têm um princípio e um fim conhecidos
tanto pelos professores como pelos alunos” (p. 18). Nesse sentido, cabe-nos pontuar
que diante da construção das atividades de maneira articulada, o nosso objetivo é
analisar as contribuições do Arco de Maguerez, da Resolução de Problemas, da Ação
Comunicativa e do Discurso Pedagógico no trabalho com o Contrato Didático.
Para mais, Oliveira (2013) descreve, corroborando com os escritos de Zabala
(1998), que a Sequência Didática é:
Um procedimento simples que compreende um conjunto de atividades
conectadas entre si, e prescinde de um planejamento para delimitação de cada
etapa e/ou atividade para trabalhar os conteúdos disciplinares de forma
integrada para uma melhor dinâmica no processo ensino-aprendizagem.
(OLIVEIRA, 2013, p. 39).

Assim sendo, os conteúdos trabalhados na Sequência Didática que aqui está
sendo discutida estão em volta da Matemática Financeira (juros, acréscimos e
decréscimos, amortização, descontos e aumentos). Considerando o que a autora afirma
a respeito dos passos para a construção de uma Sequência Didática – escolha do
tema, questionamentos para problematização, planejamento dos conteúdos, objetivos a
serem atingidos, delimitação das atividades, formação de grupos, material didático,
cronograma, integração entre as atividades e avaliação dos resultados -, pontuamos

189

que o nosso tema é a Matemática Financeira (como já é notório), os conteúdos
trabalhados também já foram expostos, que cada tarefa possui objetivos gerais e
específicos, como será o desenvolvimento de cada tarefa (individual ou em grupo), o
material necessário desenvolvido e que todas astarefas estão interligadas. A respeito
do cronograma, é preciso salientar que para uma maior verificação da construção e
ressignificação de saberes a curto e longo prazo, as atividades foram desenvolvidas em
cinco momentos/dias diferentes.
Desse modo, para uma maior verificação das aprendizagens construídas pelos
estudantes, utilizamos na aplicação da sequência didática questionário a priori, aula de
ambientação e sondagem, três aulas intermediárias, aula final e questionário a
posteriori. Assim, para um melhor entendimento do leitor quando chegar na seção de
resultados e discussões dos dados, optamos por esboçar nesse espaço cada atividade
e o seu objetivo. Além disso, para a construção das aulas, das situações norteadoras e
dos problemas matemáticos, mencionamos que o conteúdo Matemático envolvido na
pesquisa, no caso a Matemática Financeira, já havia sido estudado pelos sujeitos da
pesquisa em anos escolares anteriores e trouxemos uma ressignificação do saber,
considerando para issoa organização de ensino de Proença (2021): uso do problema
como ponto de partida, formação do conceito, definição do conteúdo e aplicação em
novos problemas. Assim sendo, como a Sequência Didática aplicada se baseia no uso
de conhecimentos de Matemática Financeira, o nosso foco foi a quarta etapa da
organização de ensino de Proença (2018):
Nesta etapa, as aulas devem ser elaboradas com base na utilização de uma
variedade de novas situações (‘novos problemas’ ou possíveis problemas), as
quais visam à transferência da aprendizagem pelos alunos do conceito
matemático, bem como dos procedimentos algorítmicos estudados. De alguma
forma, isso envolve o ensinar para resolução de problemas, porém com o
trabalho advindo da formação conceitual. As novas situações a serem
trabalhadas devem ser situações contextualizadas (envolvendoaspectos da vida
cotidiana (social, política e econômica), a história da Matemática e/ou outras
áreas como a Física, Química, Biologia etc.). (PROENÇA, 2021, p. 10).

Cabe salientar, que “ao se deparar com os contextos envolvidos,isso exigirá,
certamente, uma reorganização cognitivapelos alunos tanto do conceito a ser
transferido quanto de outros conceitos anteriores” (PROENÇA, 2021, p. 10). Com isso,

190

utilizando essa quarta etapa da organização de ensino, o trabalho em sala de aula na
perspectiva da Resolução de Problemas, ocorre na avaliação dos estudantes nas
quatro etapas do processo de resolução – representação, planejamento, execução e
monitoramento - (PROENÇA, 2018) e na explicação dos conhecimentos utilizados –
linguísticos, semânticos, esquemáticos e procedimentais (MAYER, 1992). Assim, o
professor deve observar e sanar as dificuldades dos alunos no processo de resolução
de problemas, levando os alunos a ressignificarem “o conceito matemático em meio às
situações contextualizadas que são trazidas para o ensino em sala de aula”
(PROENÇA, 2021, P. 10).
Com isso, para a escolha das situações norteadoras e a criação dos problemas
matemáticos foi utilizada a Resolução de Problemas como contexto (STANIC;
KILPATRICK, 1989) e o Arco de Maguerezao tratar da realidade (BERBEL, 2012). Na
criação dos problemas foram considerados os diferentes tipos de problemas
salientados na literatura, problemas convencionais com frases curtas, dados explícitos;
problemas não convencionais, sendo primordial uma leitura mais cuidadosa para a sua
compreensão e atenção aos dados necessários para resolução; problemas de dois ou
mais passos; problemas de aplicação, que precisam de análise recolhimento dos dados
e tomadas de decisão; problemas do tipo puzzle, que permitem um olhar para as
situações tratadas sob diversos pontos de vista (CHARLES; LESTER, 1986). Além
disso, foi considerado também o que os autores pontuam e que acreditamos, do que
vem a ser um problema matemático, como uma situação que os estudantes são
levados a pensar, não dispõem de procedimentos prontos para a solução, tampouco de
fórmulas.
Por esse viés, dedicamos este tópico para fazer a apresentação dos materiais
criados e que serviram para coleta do estudo. Assim, primeiramente, tratando do
questionário a priori, ele teve por objetivo identificar as percepções dos estudantes
(sujeitos de pesquisa) sobre a Matemática Financeira, a resolução de problemas, a
ação comunicativa e o agir do professor e foi composto por 18 questões, e pode ser
visualizado nos apêndices desta dissertação.
De maneira comum, na maioria das aulas,o início foi a partir de uma situação
norteadora baseada em contextos reais, uma vez que foi utilizado o Arco de

191

Maguerezque serviria de norte para a resolução dos problemas, sendo solicitado o
preenchimento de suas etapas. Diante disso, como exposto no Produto Educacional,
para cada aula, eles tinham em mãos as coordenadas do que fazer em cada etapa do
arco, isto é, um arco entregue para eles com todas as instruções.
Na aula 1, foi aplicada a tarefa de ambientação e sondagem e um jogo:as tarefas
tinhampor objetivo analisar o envolvimento dos estudantes em situações que envolvam
porcentagem, acréscimos e decréscimos e juros, para produção de argumentos, análise
crítica e tomada de decisões e de que maneira o professor poderá intervir caso os
estudantes apresentem dificuldades, o que poderia interferir nas tarefas futuras.
Observemosno quadro a seguir o planejamento da aula 1:
Quadro 6: Planejamento tarefa de ambientação e aula 1
Ano escolar: 3ª série do Ensino Médio.
Objetivo Geral: Explorar situações que envolvam porcentagem, acréscimos e decréscimos e juros,
para produção de argumentos, análise crítica e tomada de decisões.
Objetivo Específico: Analisar e refletir sobre situações reais que envolvem porcentagem, acréscimos,
descontos e juros.
Objetos do conhecimento: Porcentagem, juros simples e compostos, acréscimos e decréscimos,
função exponencial e linear.
Competências Gerais da BNCC: CG2 – Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem
própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a
criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar
soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. CG7 Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender
ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos e a
consciência socioambiental em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação
ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. CG10 - Agir pessoal e coletivamente com
autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões, com base
nos conhecimentos construídos na escola, segundo princípios éticos democráticos, inclusivos,
sustentáveis e solidários.
Competências Específicas da área de Matemática e suas tecnologias da BNCC: CE1 - Utilizar
estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos para interpretar situações em diversos contextos,
sejam atividades cotidianas, sejam fatos das Ciências da Natureza e Humanas, das questões
socioeconômicas ou tecnológicas, divulgados por diferentes meios, de modo a contribuir para uma
formação geral. CE2 - Propor ou participar de ações para investigar desafios do mundo
contemporâneo e tomar decisões éticas e socialmente responsáveis, com base na análise de
problemas sociais, como os voltados a situações de saúde, sustentabilidade, das implicações da
tecnologia no mundo do trabalho, entre outros, mobilizando e articulando conceitos, procedimentos e
linguagens próprios da Matemática. CE3 - Utilizar estratégias, conceitos, definições e procedimentos
matemáticos para interpretar, construir modelos e resolver problemas em diversos contextos,
analisando a plausibilidade dos resultados e a adequação das soluções propostas, de modo a construir

192

argumentação consistente.
Habilidades da área de Matemática e suas tecnologias da BNCC: EM13MAT203 - Planejar e
executar ações envolvendo a criação e a utilização de aplicativos, jogos (digitais ou não), planilhas
para o controle de orçamento familiar, simuladores de cálculos de juros compostos, dentre outros, para
aplicar conceitos matemáticos e tomar decisões. EM13MAT303 - Interpretar e comparar situações que
envolvam juros simples com as que envolvem juros compostos, por meio de representações gráficas
ou análise de planilhas, destacando o crescimento linear ou exponencial de cada caso.
Recursos didáticos: Tabuleiro, dados, orientação do jogo, marcadores, cartões de perguntas e
respostas.
Desenvolvimento da aula: O professor entrega a notícia aos estudantes e solicita que eles façam a
leitura; Após a leitura, o professor faz questionamentos sobre os saberes matemáticos presentes na
notícia, sobre o que poderia ser investigado diante dela e se ela apresenta algo de suas realidades; O
professor apresenta o jogo e diz que ele foi criado a partir da observação daquela notícia, incentiva a
execução do jogo, observa, faz registros do que os estudantes apresentam dificuldades e ajuda-os no
processo.Após a execução, o professor solicita que os estudantes preencham as etapas do Arco de
Maguerez.
Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

No planejamento da aula 1, assim como nos demais, foram apresentados os
objetivos, as habilidades, as competências, o material necessário e o desenvolvimento.
Para mais, o tempo dedicado para a execução é de três aulas de 50 minutos cada,
sendo dois tempos de 50 minutos para a atividade de ambientação e um tempo para o
desenvolvimento do jogo.
Observemosno quadro abaixo a situação norteadora da tarefa de ambientação
que envolvia a compra de um Smartphone:
Quadro 7: Situação norteadora da tarefa de ambientação
SITUAÇÃO NORTEADORA E SEUS DESDOBRAMENTOS
No site das Casas Bahia, o Smartphone Samsung Galaxy M13 Azul 128GB, 4GB RAM, Processador Octa-Core,
Câmera Tripla Traseira, Selfie de 8MP, Tela Infinita de 6.6" e Dual Chip está sendo vendido com algumas
condições. Observe as figuras abaixo:

193

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

Como a pesquisa desenvolvida considerou o Arco de Maguerez, as situações
norteadoras consideram situações da realidade, uma vez que essa abordagem utiliza a
realidade e a aplicação do conhecimento construído nela (BERBEL, 2012). Assim
sendo, com o intuito de analisar as percepções dos estudantes e também os envolver
nas discussões a respeito de cada situação norteadora, uma vez que estamos
trabalhando com a Ação Comunicativa, após analisarem e discutirem do que se tratava
cada situação norteadora, os estudantes tinham um espaço para colocarem seus
questionamentos/perguntas a respeito de cada situação; vale salientar que não eram
apenas questionamentos matemáticos, mas o que eles refletiam a partir de cada
situação sob o ponto de vista social e econômico. Com isso, o espaço para perguntas
foi comum a todas às situações norteadores e para não ser repetitivo, eles serão
mostrados uma única vez neste tópico:

194

Figura 47: Espaço para perguntas/questionamentos comum à todas as situações
norteadoras

Fonte: Elaborada pelo autor da dissertção(2022)

Após a discussão inicial a respeito de cada situação norteadora, os estudantes
tinham contato com o material de cada aula, podendo ser problemas impressos, jogos
de tabuleiro e jogos digitais. Na aula 1, durante a atividade de ambientação, foram
entregues quatro problemas para os estudantes. Observemos abaixo os problemas da
atividade de ambientação:
Figura 48: Problemas da tarefa de ambientação

Fonte: Elaborada pelo autor da dissertação (2022)

195

Como se tratava de problemas para ambientação dos estudantes, optamos por
colocar enunciados não tão longos. Assim sendo, também foi comum a todos os
problemas os espaços para resolução. Vejamos a figura abaixo:
Figura 49: Espaço para resolução comum a todos os problemas

Fonte: Elaborada pelo autor da dissertação (2022)

Durante o desenvolvimento de cadatarefa, seja a resolução de um problema ou
na execução de um jogo, os estudantes com o Arco de Maguerez em mãos com
algumas instruções preenchiam o que tinham observado em cada tarefa que dizem
respeito às etapas do Arco. Deste modo, foi comum em todas as tarefas de todas as
aulas as instruções recebidas pelos estudantes.
Assim sendo, o molde para preenchimento do que fora observado em cada etapa
do Arco a respeito dos problemas e das situações norteadoras, teve uma configuração
diferente apenas na tarefa de ambientação, uma vez que precisamos da familiarização
dos estudantes com tais etapas. Observemosno quadro a seguir com o molde para
preenchimento das etapas do Arco de Maguerez na tarefa de ambientação:
Quadro 8: Molde de preenchimento do Arco de Maguerez na tarefa de
ambientação
ASPECTOS
OBSERVAÇÃO
DA
REALIDADE: Faça uma análise
crítica da realidade exposta no
problema,
escrevendo
seu
ponto de vista. O que esses
dados matemáticos implicam
na realidade? Têm impacto
para a vida das pessoas?

DESCRIÇÃO (ESCREVA A RESPOSTA COM BASE NAS
PERGUNTAS-GUIAS DE CADA ASPECTO)

196

PONTOS-CHAVE: O que está
sendo investigado? Identifique
aqui os conceitos matemáticos
e não-matemáticos envolvidos
no problema por meio de
termos, como por exemplo:
pontos-chave: lucro, renda,
juros,
aumento,
desconto,
aumento da pobreza, injustiça
social,
etc.
Em
seguida,
escreva o que cada termo
significa.
TEORIZAÇÃO: Qual é conteúdo
matemático
envolvido
no
problema,
qual
a
teoria
matemática que o problema
abrange,
quais
são
as
propriedades
dessa
teoria
matemática, quais símbolos
matemáticos são utilizados por
essa teoria matemática?
HIPÓTESES DE SOLUÇÃO: De
que forma posso resolver
matematicamente
esse
problema? Existe mais de uma
forma de resolver o problema?
Como devo fazer o tratamento
dos dados, como selecionar e
separar os dados para resolver
o problema, como aplicar
corretamente
a
teoria
matemática, que análises devo
fazer, que registros devo
utilizar
para
os
dados
coletados
(operações
matemáticas,
gráficos,
fluxogramas).
APLICAÇÃO
À
REALIDADE:Como
essa
solução do problema se reflete
na
realidade
quando
for
aplicada? O que esse resultado
numérico
representa
na
realidade, qual o impacto desse
Aplicação
do
que
foi
registrado,
analisado
e
discutido na realidade.
Fonte: elaboração do autor da dissertação (2022)

Nas demaistarefasde todas as aulas, o Arco foi preenchido na configuração da
figura a seguir:

197

Figura 50: Molde do Arco de Maguerez para preenchimento nas demais tarefas

Fonte: Elaborada pelo autor da dissertação (2022)

Ao final de cada aula, foi aplicada dois tipos de autoavaliação, uma tratando do
preenchimento do Arco, dos problemas que tinham apresentado facilidade e
dificuldade, entre outros; e outra com aspectos mais gerais, que tinha por objetivo
colher dados a respeito da aprendizagem dos estudantes, do seu envolvimento na aula,
no que a aula contribuiu, entre outras. No entanto, mesmo a tarefa de ambientação
fazendo parte da aula 1, para ela, optamos por criar uma autoavaliação individual, sem
considerar o jogo que também fez parte da aula 1, já que era preciso analisar de
maneira particular as percepções dos estudantes sobre esse primeiro contato com o
material do Produto Educacional. Todas as autoavaliações estão presentes no
apêndice desta dissertação.
Após a tarefa de ambientação, ainda tratando da aula 1, embora dividida em dois
momentos diferentes, ocorreu a aplicação de um jogo de tabuleiro com o intuito de
verificar os conhecimentos que os estudantes já possuíam a respeito da Matemática
Financeira; nele tratamos de juros, fórmulas matemáticas, empréstimos, porcentagem,
entre outros. Como situação norteadora para o jogo, buscamos uma notícia que trata de
empréstimos no Caixa Tem – aplicativo utilizado para o pagamento do auxílio
emergencial. Vejamoso quadro a seguir:

198

Quadro 9:Situação norteadora para o desenvolvimento do jogo da aula 1
Caixa Tem libera empréstimos de até R$ 1.000
O Caixa Tem está liberando empréstimos de até R$ 1.000,00 para as pessoas que estão negativadas. De acordo
com a Caixa Econômica Federal, as parcelas de pagamento podem ser parceladas em 18 a 24 vezes. Já as taxas de
juros ao mês são de 3,99%.
Crédito Caixa Tem
É um empréstimo destinado aos clientes da Caixa, nos valores entre R$ 300 e R$ 1.000 e com prazo para
pagamento de até 24 meses, disponível para contratação direto pelo aplicativo Caixa Tem, com jornada 100%
digital e simples.
Quem pode solicitar?
Segundo o banco, vão poder solicitar o empréstimo, os clientes da Caixa, a partir da liberação para solicitação e
atualização cadastral, que ocorrerá nos períodos indicados no calendário de abertura escalonada.
Só terá direito ao empréstimo quem for aprovado pela análise de crédito realizada pela a instituição,
automaticamente pelo Caixa Tem. Depois da atualização cadastral e ter o limite disponível para contrastar. Quem
tiver restrição em órgãos de proteção ao crédito como SPC/Serasa, não poderá solicitar o crédito.
Para quem ainda não é cliente Caixa Tem vai poder abrir sua conta Poupança+, conforme calendário específico, a
partir do dia 8 de novembro de 2021.
Quais são os tipos de empréstimos liberados pelo o aplicativo?
O aplicativo oferece duas modalidades de empréstimos, que podem ser solicitadas automaticamente pelo Caixa
Tem.
Crédito Caixa Tem pessoal: o cliente poderá utilizar para cobrir despesas gerais e pagamentos de contas, pois esse
empréstimo é de livre destinação.
Crédito Caixa Tem para seu negócio: crédito produtivo orientado para despesas com fornecedores, salário de
ajudantes/funcionários, contas de água, luz e aluguel, compra de matérias-primas e mercadorias para revenda,
entre outros.
Fonte: Wrigt (2021)

Após a situação norteadora, como já especificado anteriormente, também
ocorreu a discussão pelos estudantes, no entanto, não aconteceu a criação de
perguntas, uma vez que já tinha acontecido no primeiro momento da aula. Assim
sendo, o jogo de tabuleiro que teve como base a situação norteadora da figura anterior,
consistia em um jogo de perguntas e respostas, que na medida que cada estudante
fosse acertando ou errando seguia os comandos da posição onde estava no tabuleiro.
Para o desenvolvimento do jogo foi preciso de dados, marcadores, tabuleiros e cartões
de perguntas. Observemos na figura abaixo as instruções do jogo e o tabuleiro:

199

Figura 51: Instruções do jogo e tabuleiro

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

Para o jogo, também foram distribuídos cartões com perguntas e respostas, uma
vez que para avançar no tabuleiro, como descrito nas orientações, os estudantes
precisam responder as questões do tabuleiro. Vejamos a figura a seguir:

200

Figura 52: Cartões com perguntas e respostas para o jogo do tabuleiro

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

201

Para o posicionamento dos jogadores/estudantes nos jogos, as sugestões são
marcadores coloridos, já para decidir qual estudante iniciar a partida e quantas “casas”
percorrer, um dado numerado de 1 a 6.
A aula 2 teve por objetivo analisar e resolver problemas por meio de situações
reais envolvendo taxas e índices de natureza econômica e socioeconômica e para sua
organização os estudantes foram divididos em grupos e teve como tempo de duração
duas horas/aulas de 50 minutos cada. A sua configuração foi a mesma da atividade de
ambientação em que os estudantes tinham em mãos a situação norteadora e a partir
dela, foram feitos a discussão e perguntas, resolução de problemas e preenchimento do
arco. Observemosno quadro a seguir, o planejamento da aula em questão:
Quadro 10: Planejamento da aula 2
Ano escolar: 3ª série do Ensino Médio.
Objetivo Geral: Analisar situações reais de taxas e índices de natureza econômica e socioeconômica.
Objetivo Específico:Interpretar situações taxa e índices de natureza socioeconômica, investigando os
processos de cálculo desses números, para analisar criticamente a realidade.Reconhecer e refletir
sobre a importância dos indicadores econômicos e socioeconômicos que impactam na vida dos
cidadãos.Resolver problemas envolvendo taxas e índices de natureza socioeconômica.
Objetos do conhecimento: Taxas e índices de natureza econômica e socioeconômica, porcentagem,
acréscimos.
Competências Gerais da BNCC: CG2 – Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem
própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a
criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar
soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. CG7 Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender
ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos e a
consciência socioambiental em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação
ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. CG10 - Agir pessoal e coletivamente com
autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões, com base
nos conhecimentos construídos na escola, segundo princípios éticos democráticos, inclusivos,
sustentáveis e solidários.
Competências Específicas da área de Matemática e suas tecnologias da BNCC: CE1 - Utilizar
estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos para interpretar situações em diversos contextos,
sejam atividades cotidianas, sejam fatos das Ciências da Natureza e Humanas, das questões
socioeconômicas ou tecnológicas, divulgados por diferentes meios, de modo a contribuir para uma
formação geral. CE2 - Propor ou participar de ações para investigar desafios do mundo
contemporâneo e tomar decisões éticas e socialmente responsáveis, com base na análise de
problemas sociais, como os voltados a situações de saúde, sustentabilidade, das implicações da
tecnologia no mundo do trabalho, entre outros, mobilizando e articulando conceitos, procedimentos e
linguagens próprios da Matemática. CE3 - Utilizar estratégias, conceitos, definições e procedimentos
matemáticos para interpretar, construir modelos e resolver problemas em diversos contextos,

202

analisando a plausibilidade dos resultados e a adequação das soluções propostas, de modo a construir
argumentação consistente.CE4 – Compreender e utilizar, com flexibilidade e precisão, diferentes
registros de representação matemáticos (algébrico, geométrico, estatístico, computacional etc.), na
busca de solução e comunicação de resultados de problemas.
Habilidades da área de Matemática e suas tecnologias da BNCC: EM13MAT104 – Interpretar taxas
e índices de natureza socioeconômica, tais como índice de desenvolvimento humano, taxas de
inflação, entre outros, investigando os processos de cálculo desses números.
Recursos didáticos: Lápis, caneta, notícia, problemas, espaço para cálculos.
Desenvolvimento da aula: O professor entrega a notícia aos estudantes e solicita que eles façam a
leitura;Após a leitura, o professor faz questionamentos sobre os saberes matemáticos presentes na
notícia, sobre o que poderia ser investigado diante dela e se ela apresenta algo de suas realidades;O
professor entrega os problemas e diz que eles foram criados a partir da observação daquela notícia,
pede para os que os estudantes sigam o Arco de Maguerez como norteador e que evidenciem as suas
etapas através de registros escritos e orais, incentiva a resolução, observa, faz questionamentos, faz
registros do que os estudantes apresentam dificuldades e ajuda-os no processo de resolução (desde a
representação do problema ao monitoramento das soluções).
Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

Com isso, a situação norteadora para essa aula foi sobre uma notícia divulgada
no Diário de Pernambuco a respeito da inflação. Observemoso quadro com a situação
norteadora:
Quadro 11: Situação norteadora da aula 2
Inflação rompe teto e é a maior em seis anos

Arte: CB
A inflação terminou 2021 com variação acima de 10% pela primeira vez desde 2015, corroendo a renda e o poder
de compra da população. Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), o Índice de Preços ao
Consumidor Amplo (IPCA), subiu 0,73% em dezembro, acima das estimativas do mercado, resultando em uma
variação de 10,06% no acumulado do ano. Isso significa que, em cada R$ 1 mil de salário do trabalhador, R$ 100
foram engolidos pelo dragão da inflação ao longo de 2021.
Todos os nove grupos pesquisados pelo IBGE registraram aumento de preços, com destaque para o de transportes,
que acumulou alta de 21,03% no ano e foi responsável por 41,2% da variação do IPCA. A gasolina e o etanol
tiveram altas de 47,49% e de 62,23%, respectivamente.
A variação anual do indicador superou a taxa de 4,52% de 2020 e o teto da meta de inflação de 2021, de 5,25%.
Outro vilão foi a energia elétrica residencial, que acumulou elevação de 21,21%, por conta da estiagem e do uso
das usinas térmicas. "Boa parte dessa alta do IPCA foi explicada pelos aumentos dos preços da energia elétrica e

203

dos combustíveis. Eles responderam por cerca de 50% da inflação acumulada no índice no ano passado", explicou
André Braz, coordenador dos Índices de Preços do Instituto Brasileiro de Economia da Fundação Getulio Vargas
(FGV Ibre).
Na avaliação de Braz, a desvalorização do real perante o dólar, de 7%, também teve impacto na inflação, assim
como os problemas na safra devido à crise hídrica. Ele ressaltou que a quebra da safra da cana de açúcar ajudou os
preços do açúcar e do etanol subirem. O café moído, por conta das geadas em julho, registrou alta de 50,24%, em
2021.
Fonte: Hessel (2022)

Os problemas criados a partir da situação norteadora são os que estão expostos
abaixo na figura:
Figura 53: Problemas da aula 2

Fonte: Elaborada pelo autor da dissertação (2022)

Em cada um dos problemas os estudantes preenchiam o Arco de Maguerez de
acordo com as suas resoluções, para isso foi utilizado o material já apresentado
anteriormente, sendo explicado que em todas as aulas e problemas, os espaços para
resoluções, as instruções e os moldes para preenchimento foram os mesmos.
Na aula 3, que teve por objetivo explorar situações reais em que é preciso o
cálculo de porcentagem, acréscimos e decréscimos e juros, para produção de
argumentos, análise crítica e tomada de decisões, durou 2 aulas de 50 minutos cada,
os estudantes foram organizados de maneira individual e a partir da situação
norteadora tinham que resolver dois problemas. Observemosno quadro abaixo, o
planejamento da aula 2:
Quadro 12: Planejamento da aula 3
Ano escolar: 3ª série do Ensino Médio.
Objetivo Geral: Explorar situações reais em que é preciso o cálculo de porcentagem, acréscimos e
decréscimos e juros, para produção de argumentos, análise crítica e tomada de decisões.

204

Objetivo Específico:Aplicar conceitos matemáticos na resolução de situações envolvendo
porcentagem, acréscimos e decréscimos e juros, baseado em contextos reais.Analisar e refletir sobre
situações reais que envolvem porcentagem, acréscimos, descontos e juros.
Objetos do conhecimento: Porcentagem, juros simples e compostos, acréscimos e decréscimos.
Competências Gerais da BNCC: CG2 – Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem
própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a
criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar
soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. CG7 Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender
ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos e a
consciência socioambiental em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação
ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. CG10 - Agir pessoal e coletivamente com
autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões, com base
nos conhecimentos construídos na escola, segundo princípios éticos democráticos, inclusivos,
sustentáveis e solidários.
Competências Específicas da área de Matemática e suas tecnologias da BNCC: CE1 - Utilizar
estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos para interpretar situações em diversos contextos,
sejam atividades cotidianas, sejam fatos das Ciências da Natureza e Humanas, das questões
socioeconômicas ou tecnológicas, divulgados por diferentes meios, de modo a contribuir para uma
formação geral. CE2 - Propor ou participar de ações para investigar desafios do mundo
contemporâneo e tomar decisões éticas e socialmente responsáveis, com base na análise de
problemas sociais, como os voltados a situações de saúde, sustentabilidade, das implicações da
tecnologia no mundo do trabalho, entre outros, mobilizando e articulando conceitos, procedimentos e
linguagens próprios da Matemática. CE3 - Utilizar estratégias, conceitos, definições e procedimentos
matemáticos para interpretar, construir modelos e resolver problemas em diversos contextos,
analisando a plausibilidade dos resultados e a adequação das soluções propostas, de modo a construir
argumentação consistente.
Habilidades da área de Matemática e suas tecnologias da BNCC: EM13MAT203 - Planejar e
executar ações envolvendo a criação e a utilização de aplicativos, jogos (digitais ou não), planilhas
para o controle de orçamento familiar, simuladores de cálculos de juros compostos, dentre outros, para
aplicar conceitos matemáticos e tomar decisões. EM13MAT303 - Interpretar e comparar situações que
envolvam juros simples com as que envolvem juros compostos, por meio de representações gráficas
ou análise de planilhas, destacando o crescimento linear ou exponencial de cada caso.
Recursos didáticos: Lápis, caneta, notícia, problemas, espaço para cálculos.
Desenvolvimento da aula: O professor entrega a notícia aos estudantes e solicita que eles façam a
leitura;Após a leitura, o professor faz questionamentos sobre os saberes matemáticos presentes na
notícia, sobre o que poderia ser investigado diante dela e se ela apresenta algo de suas realidades;O
professor entrega os problemas e diz que eles foram criados a partir da observação daquela notícia,
pede para os que os estudantes sigam o Arco de Maguerez como norteador e que evidenciem as suas
etapas através de registros escritos e orais, incentiva a resolução, observa, faz questionamentos, faz
registros do que os estudantes apresentam dificuldades e ajuda-os no processo de resolução (desde a
representação do problema ao monitoramento das soluções).
Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

205

Nesta aula, a situação norteadora foi a da figura abaixo, que tratava do Imposto
Sobre Propriedade de Veículo Automotor (IPVA); vejamoso quadro abaixo:
Quadro 13: Situação norteadora da aula 3
IPVA 2022 PE: desconto no valor do imposto em Pernambuco; como obter?

Desconto do IPVA 2022 PE: desconto no valor do imposto em Pernambuco; como obter?(foto: Unsplash)
O pagamento antecipado em cota única do Imposto sobre a Propriedade de Veículos Automotores (IPVA) 2022
pode gerar abatimento no valor do tributo. Em Pernambuco (PE) é possível parcelar em três vezes, mas sem obter
desconto, sendo o calendário de pagamento organizado com base no último dígito da placa do veículo.
Segundo Miguel José Ribeiro de Oliveira, diretor executivo de Estudos e Pesquisas Econômicas da Associação
Nacional de Executivos de Finanças, Administração e Contabilidade (Anefac), os descontos para pagamentos à
vista são, muitas vezes, a retirada de juros associados ao parcelamento.
“Para quem tem o dinheiro para pagar à vista, sempre vale a pena porque o desconto é maior do que o rendimento
de poupança ou de um fundo de investimento. Quem não tem o dinheiro é melhor parcelar do que recorrer a
empréstimo nos bancos que cobram juros mais altos”, afirmou à Agência Brasil.
Para quem decidir efetuar o pagamento em cota única, o desconto obtido é de 7%. Para garantir o abatimento o
pagamento deve ser efetuado integralmente em fevereiro, segundo o calendário proposto pela Sefaz-PE.
Fonte: Parente (2022)

Com isso, os problemas criados a partir da situação norteadora, foram os
expostos na figura abaixo:
Figura 54: Problemas da aula 3

Fonte: Elaborada pelo autor da dissertação (2022)

Mais uma vez destacamos, que a configuração dessa aula e da resolução dos
problemas foi a mesma da aula anterior: análise e discussão da situação norteadora,
criação de perguntas, resolução dos problemas e preenchimento do Arco.

206

Na aula 4, que teve por objetivo analisar situações reais que envolvam
descontos, cálculo de juros simples e composto, por meio da situação norteadora, na
qual os estudantes precisam discutir e criar perguntas, divididos em dois grupos, eles
teriam que responder (cada grupo) um problema matemático e partir dele teriam que
percorrer o Arco expondo o que foi observado em cada problema. Além dos problemas,
para percorrer o Arco (mudar a etapa) o grupo precisava responder perguntas fast, ou
seja, perguntas rápidas feitas oralmente pelo professor que envolviam multiplicação,
divisão, porcentagem, potenciação, raiz quadrada, entre outras. Para isso, incialmente
foi entregue a situação norteadora, os estudantes discutiram e criaram suas perguntas,
em seguida através de um dado, o grupo que teve maior pontuação escolheu o
problema que resolveria e o outro grupo, o problema que sobrou. Para a aula também
foram dedicadas duas horas/aulas de 50 minutos cada. Vejamosno quadro a seguir o
planejamento da aula 4:

Quadro 14: Planejamento da aula 4
Ano escolar: 3ª série do Ensino Médio.
Objetivo Geral: Analisar situações reais que envolvam descontos, cálculo de juros simples e
composto.
Objetivo Específico:Comparar situações que envolvem juros simples com as que envolvem juros
compostos, para analisar criticamente a realidade.Resolver problemas envolvendo descontos, juros
simples e composto.
Objetos do conhecimento: Porcentagem, descontos, juros simples e compostos.
Competências Gerais da BNCC: CG2 – Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem
própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a
criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar
soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. CG7 Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender
ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos e a
consciência socioambiental em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação
ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. CG10 - Agir pessoal e coletivamente com
autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões, com base
nos conhecimentos construídos na escola, segundo princípios éticos democráticos, inclusivos,
sustentáveis e solidários.
Competências Específicas da área de Matemática e suas tecnologias da BNCC: CE1 - Utilizar
estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos para interpretar situações em diversos contextos,
sejam atividades cotidianas, sejam fatos das Ciências da Natureza e Humanas, das questões

207

socioeconômicas ou tecnológicas, divulgados por diferentes meios, de modo a contribuir para uma
formação geral. CE2 - Propor ou participar de ações para investigar desafios do mundo
contemporâneo e tomar decisões éticas e socialmente responsáveis, com base na análise de
problemas sociais, como os voltados a situações de saúde, sustentabilidade, das implicações da
tecnologia no mundo do trabalho, entre outros, mobilizando e articulando conceitos, procedimentos e
linguagens próprios da Matemática. CE3 - Utilizar estratégias, conceitos, definições e procedimentos
matemáticos para interpretar, construir modelos e resolver problemas em diversos contextos,
analisando a plausibilidade dos resultados e a adequação das soluções propostas, de modo a construir
argumentação consistente.CE4 – Compreender e utilizar, com flexibilidade e precisão, diferentes
registros de representação matemáticos (algébrico, geométrico, estatístico, computacional etc.), na
busca de solução e comunicação de resultados de problemas.
Habilidades da área de Matemática e suas tecnologias da BNCC: EM13MAT303 - Interpretar e
comparar situações que envolvam juros simples com as que envolvem juros compostos, por meio de
representações gráficas ou análise de planilhas, destacando o crescimento linear ou exponencial de
cada caso.
Recursos didáticos: Lápis, caneta, notícia, problemas, espaço para cálculos, Arco de Maguerez
marcado no chão ou na mesa do professor.
Desenvolvimento da aula: O professor entrega as notícias aos estudantes e solicita que eles façam a
leitura;Após a leitura, o professor faz questionamentos sobre os saberes matemáticos presentes na
notícia, sobre o que poderia ser investigado diante dela e se ela apresenta algo de suas realidades;O
professor faz a explicação de como dar-se-á a atividade, dizendo que será o desafio do Arco de
Maguerez, que dois problemas matemáticos baseados na situação norteadora foram colocados dentro
da caixa e que cada grupo pegará um problema e diante disso terá que responde-lo para em seguida ir
percorrendo o Arco de acordo com o que foi observado por cada grupo e aquele que percorrer o grupo
primeiramente será o grupo vencedor.
Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

A situação norteadora nessa aula abordou sobre Poupança e o preço de uma
TV, vejamoso quadro abaixo:
Quadro 15: Situação norteadora da aula 4
Rendimento da poupança hoje - 08/01/2022

Foto: Divulgação Rendimento da poupança hoje - 11/01/2022
O Banco Central divulgou nesta terça-feira (11/01) o rendimento da poupança referente ao dia 08 de janeiro de
2022. O rendimento da poupança mensal ficou em 0,5677 para depósitos feitos a partir de 04.05.2012 e anteriores
a 03.05.2012, por que a Taxa Selic está em 9,25% a.a.

Preço de TV

208

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

A respeito dos problemas, para essa aula foram dois, no entanto, cada grupo
teve como responsabilidade a resolução de um deles cada. Vejamos os problemas na
figura a seguir:
Figura 55: Problemas da aula 4

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

A respeito do Arco de Maguerez, ainda tratando da mesma configuração já
exposta neste tópico, como se tratou do Desafio do Arco, ele foi montado na mesa do
professor, uma vez que dessa vez os estudantes tinham que expor apenas oralmente o
que fizeram. Observemos na figura a seguir como o Arco foi montado na mesa:

209

Figura 56: Arco de Maguerez montado na mesa para a aula 4

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

Os espaços coloridos destacados no Arco montado na mesa era onde estavam
as perguntas fast, as quais os estudantes tinham um tempo para responder e avançar.
A aula 5 tinha como objetivo explorar por meio de um jogo digital situações
baseadas em contextos reais sobre acréscimos, juros, rendimentos, porcentagem para
análise crítica, reflexiva e produção de argumentos e criar um problema matemático
utilizando uma situação norteadora. Para ela, foram organizados dois tipos de
atividades, a primeira tratava de um jogo digital criado no Wordwall, que é plataforma
disponível na internet, sendo gratuita e que serve para criação de jogos interativos, e a
segunda que tratava da elaboração de um problema a partir de uma situação
norteadora. Assim sendo, para cada atividade dessa aula o tempo foi de 50 minutos.
Vejamos no quadro abaixo o planejamento da aula:
Quadro 16: Planejamento da aula 5
Ano escolar: 3ª série do Ensino Médio.
Objetivo Geral: Explorar por meio de um jogo digital situações baseadas em contextos reais sobre
acréscimos, juros, rendimentos, porcentagem para análise crítica, reflexiva e produção de argumentos.
Objetivo Específico:Interpretar situações que envolvam o cálculo de juros, porcentagem, acréscimos
e rendimentos baseado em contextos reais. Refletir o crescimento da taxa de juros simples e
compostos.

210

Resolver problemas envolvendo porcentagem, acréscimos e juros baseado em contextos reais.
Objetos do conhecimento: Juros, porcentagem, acréscimo, taxas.
Competências Gerais da BNCC: CG2 – Exercitar a curiosidade intelectual e recorrer à abordagem
própria das ciências, incluindo a investigação, a reflexão, a análise crítica, a imaginação e a
criatividade, para investigar causas, elaborar e testar hipóteses, formular e resolver problemas e criar
soluções (inclusive tecnológicas) com base nos conhecimentos das diferentes áreas. CG7 Argumentar com base em fatos, dados e informações confiáveis, para formular, negociar e defender
ideias, pontos de vista e decisões comuns que respeitem e promovam os direitos humanos e a
consciência socioambiental em âmbito local, regional e global, com posicionamento ético em relação
ao cuidado de si mesmo, dos outros e do planeta. CG10 - Agir pessoal e coletivamente com
autonomia, responsabilidade, flexibilidade, resiliência e determinação, tomando decisões, com base
nos conhecimentos construídos na escola, segundo princípios éticos democráticos, inclusivos,
sustentáveis e solidários.
Competências Específicas da área de Matemática e suas tecnologias da BNCC: CE1 - Utilizar
estratégias, conceitos e procedimentos matemáticos para interpretar situações em diversos contextos,
sejam atividades cotidianas, sejam fatos das Ciências da Natureza e Humanas, das questões
socioeconômicas ou tecnológicas, divulgados por diferentes meios, de modo a contribuir para uma
formação geral. CE2 - Propor ou participar de ações para investigar desafios do mundo
contemporâneo e tomar decisões éticas e socialmente responsáveis, com base na análise de
problemas sociais, como os voltados a situações de saúde, sustentabilidade, das implicações da
tecnologia no mundo do trabalho, entre outros, mobilizando e articulando conceitos, procedimentos e
linguagens próprios da Matemática. CE3 - Utilizar estratégias, conceitos, definições e procedimentos
matemáticos para interpretar, construir modelos e resolver problemas em diversos contextos,
analisando a plausibilidade dos resultados e a adequação das soluções propostas, de modo a construir
argumentação consistente.CE4 – Compreender e utilizar, com flexibilidade e precisão, diferentes
registros de representação matemáticos (algébrico, geométrico, estatístico, computacional etc.), na
busca de solução e comunicação de resultados de problemas.
Habilidades da área de Matemática e suas tecnologias da BNCC: EM13MAT303 - Interpretar e
comparar situações que envolvam juros simples com as que envolvem juros compostos, por meio de
representações gráficas ou análise de planilhas, destacando o crescimento linear ou exponencial de
cada caso.EM13MAT203 - Planejar e executar ações envolvendo a criação e a utilização de
aplicativos, jogos (digitais ou não), planilhas para o controle de orçamento familiar, simuladores de
cálculos de juros compostos, dentre outros, para aplicar conceitos matemáticos e tomar
decisões.EM13MAT303 - Interpretar e comparar situações que envolvam juros simples com as que
envolvem juros compostos, por meio de representações gráficas ou análise de planilhas, destacando o
crescimento linear ou exponencial de cada caso.
Recursos didáticos: • Acesso à internet, computador ou smartphones, espaço para elaboração de
problemas, situação norteadora.
Desenvolvimento da aula: O professor disponibiliza o link do jogo, durante a execução questiona se
as situações colocadas esboçam semelhanças com suas realidades e se além do que está sendo
perguntado o que mais poderia ser investigado; ajuda no processo de resolução (representação do
problema ao monitoramento das soluções e em que o conhecimento produzido pode ser aplicado).
Solicita que façam o preenchimento do Arco de Maguerez.
Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

211

Com isso, tratando-se do jogo digital ele era composto por problemas, sendo
considerados problemas de um passo ou dois e problemas de aplicação. Para esse
recurso didático, não foi colocada uma situação norteadora, no entanto, para iniciar o
jogo tratamos dele como recurso didático norteador. Em cada questão, considerando o
que o Arco de Maguerez trata sobre a realidade, foram colocados problemas
considerando situações reais com o auxílio de imagens para ilustração. Vale salientar
que o jogo está disponível no linkhttps://wordwall.net/pt/resource/19185884 e pode ser
acessado por meio de computados e smartphones. Observemos a figura a seguir que
mostra as questões do jogo:
Figura 57: Questões do jogo digital

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

212

O molde do Arco para preenchimento após a execução do jogo foi o mesmo
utilizado na maioria das aulas. Por fim, na últimatarefa, ainda se tratando da aula 5, a
situação norteadora para a elaboração do problema matemático abordava sobre
descontos fornecidos na conta de energia. Veja a situação norteadora na figura abaixo:

Figura 58: Situação norteadora para elaboração do problema matemático

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

A partir da situação norteadora os estudantes tinham que criar perguntas para
embasar a discussão e o espaço foi comum a todas as aulas. Nessa atividade em
específico houve um espaço para a elaboração do problema matemático e a resolução
dele, como vemos na figura a seguir:

213

Figura 59: Espaço para elaboração do problema e resolução dele

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

Após a criação do problema, na resolução os estudantes tinham que preencher o
Arco com a mesma configuração utilizada na maioria das aulas.
Para finalizar, o Questionário a Posteriori foi o último material utilizado para a
coleta de dados, com 20 questões, ele tinha por objetivo averiguar as percepções dos
estudantes (sujeitos de pesquisa) após a aplicação da sequência didática.Cabe
salientar que ele nos apêndices da dissertação.
Para a aplicação do Questionário a Posteriori foram dedicados 30 minutos e ele
foi o último material para a coleta de dados desta pesquisa. Assim, após tratar do
Produto Educacional, da sua concepção, das atividades e dos questionários utilizados
no estudo, no próximo tópico apresentamos os métodos de análise dos dados
coletados.

4.4 Método de análise de dados: a construção de ferramentas e análise de dados
Com o intuito de subsidiar na discussão dos dados que serão apresentados na
seção seguinte, bem como traçar as considerações finais a respeito da pesquisa
desenvolvida, dedicamos este tópico para a apresentação das ferramentas de análise
considerando as bases teóricas que alicerçaram este estudo. Desde a introdução deste

214

texto, apontamos que para o desenvolvimento desta dissertação e a aplicação do
Produto Educacional, consideramos o Contrato Didático, a Resolução de Problemas, o
Arco de Maguerez, a Teoria do Discurso Pedagógico e a da Ação Comunicativa.
Desse modo, para que não venhamos a fazer repetições, uma vez que já
apresentamos nas seções anteriores as discussões teóricas das abordagens utilizadas,
optamos por esboçar, mais a frente, as ferramentas de análise de dados e as suas
respectivas discussões. Assim, optamos por mostrar cada elemento das teorias
utilizadas para o desenvolvimento da pesquisa, do mesmo modo que fizemos enlaces
no trabalho com elas em conjunto.
Nesse sentido, conhecendo as teorias que alicerçam este estudo, a respeito do
Contrato Didático (BROUSSEAU, 1989) consideramos as seguintes categorias
esboçadas no quadro a seguir:
Quadro 17: Categorização de análise para os elementos do Contrato Didático
Elementos do Contrato
Didático (BROUSSEAU,
1989)

Descrição

(Categorias)

Negociações

Diz respeito a como o professor e estudante negociam seus papéis e
deveres mediante a gestão de um saber.

Expectativas

O que o estudante espera do professor e o que o professor espera do
estudante.

Rupturas

Momentos de tensão em que um dos parceiros (professor ou
estudante), comportam-se de maneira não prevista.

Renegociação

Momento de superação de uma ruptura, redirecionamento no jogo
didático.

Regras explícitas

São formuladas explicitamente pelo professor e estudante.

Regras implícitas

São formuladas explicitamente.

Efeitos do Contrato

Situações nas quais o professor tenta facilitar a tarefa do aluno.
Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

215

Com isso, tratando-se da Ação Comunicativa, além do material escrito pelos
estudantes, julgamos como necessário também tratar das suas falas oralizadas, com
isso destacamos como categorias as mencionadas no quadro a seguir:
Quadro 18: Categorias de análise envolvendo a Ação Comunicativa
Categorias envolvendo a Ação Comunicativa
1.

Adequação dos questionamentos/perguntas à cada situação norteadora.

2.
Tipos de perguntas feitas pelo professor, sua contribuição nos elementos do Contrato Didático,
na Resolução de Problemas e no preenchimento do Arco de Maguerez.
3.

Relacionamento interpessoal no desenvolvimento das atividades.
Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

A respeito do da Teoria do Discurso Pedagógico, apontamos as categorias
expostas no quadro a seguir:
Quadro 19: Categorias de análise envolvendo o Discurso Pedagógico
Categorias de análise envolvendo o Discurso Pedagógico
1.
2.

Adequação do que estava sendo discutido com o perfil dos estudantes.

Envolvimento dos estudantes nas tarefas e se todas estavam compreensíveis para a maioria.
3.

Ritmo e sequenciamento dos estudantes no desenvolvimento das tarefas.
Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

Desse modo, para analisar as situações envolvendo a Resolução de Problemas
e o Arco de Maguerez, consideramos que as etapas do Arco deMaguerez foram de
fundamental importância para investigar de modo mais particular cada etapa do
pensamento durante a Resolução dos Problemas. Nesse sentido, o quadro abaixo
serviu para interligar as etapas do Arco de Maguerez e as etapas da Resolução de
Problemas considerando os estudos de Proença (2018) para, assim, montar as
categorias de análise em cada uma delas:

216

Quadro 20: Etapas do Arco de Maguerez e da Resolução de Problemas e a sua
categorização para análise dos dados
Etapas do Arco de
Maguerez

Etapas da Resolução de
Problemas (PROENÇA,
2018)

Conhecimentos utilizados na Resolução de
Problemas

Observação da realidade

Representação

Utilização dos conhecimentos linguísticos

Pontos-chave

Representação

Utilização dos conhecimentos semânticos

Teorização

Representação

Utilização dos conhecimentos esquemáticos

Utilização do conhecimento estratégico

Planejamento

Tipo de mente matemática (lógico-verbal, visopictórico ou ambos)

Hipóteses de solução
Pensamento com símbolos matemáticos
Abreviação do processo de raciocínio
matemático
Execução

Utilização dos conhecimentos procedimentais
Verificação da resposta apresentada

Monitoramento

Apresentação de racionalidade de solução

217

Rever a solução apresentada

Habilidade de reconstrução
Exposição de como a solução de problema
reflete na realidade
Aplicação à realidade
Significâncias do resultado numérico para a
vida em sociedade
Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

Assim sendo, é importante considerar que para a categorização criada para a
análise dos dados, que contemplam o discurso oral, criação de perguntas, soluções
criadas pelos estudantes, bem como das etapas do Arco de Maguerez, utilizamos a
análise de conteúdo proposta por Bardin (2016), dado que é um procedimento de
interpretação de um texto por meio da categorização de informações que pode ser
aplicada em contextos diversos – discursos, formas de comunicação - e que tal análise
contempla algumas etapas, a saber: pré-análise, análise do material, tratamento dos
dados, inferência e interpretação.
Por esse viés, após a exposição das categorias de análise, na seçãoseguinte
apresentamos a análise e discussão dos resultados.

218

CAPÍTULO V

RESULTADOS E DISCUSSÕES DOS DADOS
Neste capítulo esboçamos os resultados e discussões dos dados coletados,
considerando as categorias de análises expostas na seção anterior e as teorias
utilizadas para fundamentar o estudo.

5.1Embasamento para apresentação, resultados e discussões dos dados
Para esta seção, a apresentação dos dados, os resultados e discussões serão
expostos considerando cada aula de modo individual, uma vez que com isso os
diversos aspectos esboçados nas categorias de análise poderão ser contemplados de
maneira mais singular. Nessa perspectiva, mais uma vez é preciso mencionar que os
resultados aqui apresentados foram coletados durante cincoaulas diferentes durante o
mês de outubro de 2022, sendo distribuídas da seguinte maneira: 1ª aula – 3 momentos
de 50 minutos (05/10/2022); 2ª aula – 2 momentos de 50 minutos (06/10/2022); 3ª aula
– 2 momentos de 50 minutos (13/10/2022); 4ª aula – 2 momentos de 50 minutos
(19/10/2022); 5ª aula – 2 momentos de 50 minutos (20/10/2022). Desse modo,
mencionamos os minutos de cada aula, porque na escola, campo de pesquisa cada
hora-aula dura 50 minutos.
Além disso, é pertinente dizer que o Questionário a Priori foi aplicado um dia
antes da aula 1 e para ele foi dedicado 30 minutos; quanto ao Questionário a Posteriori
ele foi aplicado um dia após a aula 5 e para ele também foi dedicado 30 minutos.
Colocamos isso como necessário para exposição, porque na apresentação dos dados
eles serão colocados separados da aula inicial e final, ou seja, terá um tópico para a
apresentação de cada um.
Assim sendo, antes de expor os dados, suas análises e as discussões, voltamos
a pontuar que os estudantes estão sendo nomeados por Estudante e os números de 1
a 13, já que 13 participaram das tarefas que compõem o Produto Educacional fruto
deste estudo. Um outro ponto não menos importante de ser apresentado aqui, é que
durante as discussões das categorias de análise contemplando as bases teóricas que

219

nos serviram de apoio, não serão apresentadas em todos os momentos de maneira
ordenada, mas que todas salientadas na seçãoanterior foram discutidas.
Assim, nos tópicos seguintes apresentamos o desenvolvimento de cada aula,
seus dados, análises e discussões.

5.2 Questionário a Priori
Como exposto na seção anterior, o Questionário a Priori tinha por finalidade
identificar as percepções dos estudantes a respeito da Matemática Financeira, da
Resolução de Problemas, da Ação Comunicativa e do agir do professor. Para a sua
construção foram consideradas 18 questões, sendo dedicados para elas 30 minutos
para responder, visto que todas eram de múltipla escolha, curtas e apenas em 4
questões foi solicitado justificativa, não sendo obrigatório fazê-la.
Com isso, com o intuito de mostrarmos no final, por meio do Questionário a
Posteriori, se as percepções dos estudantes foram modificadas após aplicação das
tarefas, inferimos que é necessária a apresentação das respostas dos estudantes,
destacando o que a maioria assinalou em cada questão. Assim, mostramos as
questões e os seus respectivos resultados de maneira ordenada. Vejamos a questão 1
na figura abaixo:
Figura 60: Gráfico das respostas da questão 1 do Questionário a Priori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

220

Como é nítido, nessa questão buscamos saber a respeito do que seria
importante na criação de uma tarefa matemática para os estudantes. Assim sendo, a
respeito dos dados apresentados no gráfico, para cada barra foi considerado o 100%,
isto é, de 100% que no caso eram 13 estudantes, 45,15% deles julgaram importante a
contextualização das tarefas matemáticas com a realidade. Assim sendo, acerca dos
45,15% que julgaram a realidade como importante nas tarefas matemáticas,
mencionamos a relevância dessa pesquisa tratando do Arco de Maguerez (BERBEL,
2012). A respeito das imagens para representar situações com 69,23%, pontuamos que
em todas situações norteadoras dos problemas elas estão presentes. A respeito das
questões desafiadoras, com 23,07% considerando importante, acreditamos que os
estudantes preferem questões mais fáceis, o que poderá refletir no desenvolvimento da
pesquisa em problemas que precisam de maior empenho deles. E se tratando das
questões curtas com 84,60%, assentamos que as tarefas da Sequência Didáticasão
compostas por questões de ambos os tipos, e poderá contribuir para que os estudantes
se familiarizem com as mais longas e mudem seus pensamentos.
Na questão 2, buscamos investigar a respeito da compreensão dos estudantes
no que tange os conteúdos matemáticos. Observemos a figura abaixo com o resultado
das respostas:
Figura 61: Gráfico das respostas da questão 2 do Questionário a Priori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

221

A respeito dos dados apresentados da questão, tratando-se dos estudantes que
apresentam dificuldades em entender os conteúdos matemáticos, 61,53%, acreditamos
que a Resolução de Problemas, o Arco de Maguerez e a Ação Comunicativa possam
contribuir para que esta percepção mude e aqueles que já possuem facilidade, que isso
seja ainda mais aprimorado.
Na questão 3 buscamos investigar sobre a consideração por parte do professor
dos pontos de vista dos estudantes. Observemos abaixo a figuracom as respostas dos
estudantes:
Figura 62: Gráfico das respostas da questão 3 do Questionário a Priori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

No que concerne ao resultado exposto no gráfico anterior, inferimos que o
resultado é positivo, uma vez que todos os estudantes assinalaram que os professores
de Matemática consideram seus pontos de vista, embora, 30,76% pontue que pouco
seja considerado e outros 30,76% que seja considerado razoavelmente. Com isso,
vemos a relevância de deixar o estudante livre nas aulas de Matemática para que
exponha seu pensamento e articule de maneira reflexiva.

222

Nesse sentido, a questão 4 do questionáriotratava dos direcionamentos do
professor para que o estudante argumente de maneira crítica. Além da relevância das
demais questões, tratamos essa como de fundamental importância, uma vez que diante
dela soubemos se nas aulas os professores levam os estudantes a argumentarem.
Tratando-se disso, observemosa figura abaixo:
Figura 63: Gráfico das respostas da questão 4 do Questionário a Priori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

A respeito do resultado exposto no gráfico, consideramos como preocupante a
questão de os professores não direcionarem os estudantes para argumentarem
criticamente, 46,15%, uma vez que podem não considerar a criticidade como algo de
extrema importância para a construção do conhecimento e consequentemente a
aprendizagem. Além disso, isso servirá para notarmos como será o envolvimento dos
estudantes nas tarefas, dado que eles precisam tratar de forma crítica e reflexiva cada
um dos problemas colocados como tarefas para serem executadas, por meio das
etapas do Arco de Maguerez. Para mais, a maneira como o professor ministra
determinada aula, os problemas como são criados e trabalhados em sala de aula,
também podem ser determinantes para a criticidade, uma vez que se a solução de um

223

problema acaba quando o estudante chega a um resultado numérico, ele não é levado
a refletir sobre aquele resultado nas suas situações cotidianas.
A questão 5 abordou a respeito dos conhecimentos matemáticos aprendidos em
sala de aula e a sua aplicação na vida em sociedade, na resolução de problemas
cotidianos. Diante dela, será possível notar se os estudantes já consideram a
Matemática como algo fundamental para a vida em sociedade e a importância de
relacionar os conteúdos matemáticos com situações norteadoras reais, como estamos
fazendo no trabalho com o Arco de Maguerez e a Resolução de Problemas.
Observemos a figura abaixo a respeito das respostas encontradas:
Figura 64: Gráfico das respostas da questão 5 do Questionário a Priori

Fonte: elaborado pelo autor da dissertação (2022)

Sobre esse resultado, mesmo com maioria dos estudantes já considerando que
muito utilizam a Matemática para resolver problemas em sociedade, precisamos
contribuir para o restante dos estudantes, os que consideraram razoavelmente e pouco,
para que eles comecem a enxergar a Matemática com uma ampla aplicação na vida em
sociedade e que façam o uso dela. Cabe salientar que muitos dos alunos não
justificaram as suas respostas.A questão 6 questionou se os alunos já resolveram

224

problemas cotidianos utilizando conhecimentos matemáticos.Observemos a figura
abaixo que trata das respostas da questão 6:
Figura 65: Gráfico das respostas da questão 6 do Questionário a Priori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

Nessas respostas nos chama a atenção o fato de 23,08% dos estudantes terem
dito que não resolveram problemas de suas vidas cotidianas com conhecimentos
matemáticos e outros 23,08% afirmarem que poucas vezes resolveram. Inferimos
dessas situações que os estudantes podem não enxergar a Matemática como uma
Ciência aplicada em diversas situações e que os professores podem trabalhar a
Matemática apenas de forma abstrata, fazendo com que os estudantes não vejam a
sua relação dentro e fora do espaço escolar, que eles não saibam aplicá-la na
realidade. No entanto, com a pesquisa aplicada, acreditamos que os estudantes
poderão mudar suas percepções e mesmo aqueles que afirmaram que não resolveram
problemas fora escola com conhecimentos matemáticos, poderão mudar de opinião.
Na questão 7 foi questionado se caso os professores utilizassem problemas
matemáticos relacionados ao cotidiano facilitaria o entendimento dos estudantes. Esse
tipo de questionamento nos serve como orientação na utilização do Arco de Maguerez,
considerando questões reais no estudo em sala aula e no desenvolvimento crítico e
reflexivo do estudante.Considerando a questão 7, vejamos a figura abaixo:

225

Figura 66: Gráfico das respostas da questão 7 do Questionário a Priori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

Após a aplicação das tarefas, analisaremos uma nova percepção dos estudantes
e verificaremos se a percepção daqueles que consideraram que pouco contribuiria
tratar de situações cotidianos para o entendimento da Matemática mudou.
A questão 8 tratou sobre a compreensão dos estudantes em questões
matemáticas, se eles apresentam dificuldades para ler, interpretar, coletar dados, entre
outros. Observemosa figura com o gráfico da porcentagem de respostas abaixo:
Figura 67: Gráfico das respostas da questão 8 do Questionário a Priori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

226

Ao observar o gráfico, apenas uma pequena parcela expõe que não apresentam
dificuldades na compreensão dos problemas, 7,70%, 1 estudante, logo inferimos que a
ação do professor na aplicação das tarefas será de fundamental importância para que
contribua de maneira positiva com aqueles que apresentam dificuldades, no entanto,
sem dar respostas, nem facilitar a tarefa para não recorrer a Efeitos do Contrato
Didático (BROUSSEAU, 1986).
A questão 9 tratou de os estudantes seguirem etapas para resolver problemas,
sobre esse questionamento abordamos a sua menção devido às etapas expostas na
literatura durante a resolução de um problema matemático e a organização no
desenvolvimento das tarefas pelos estudantes. Vejamosna figura a seguir a
porcentagem das respostas:
Figura 68: Gráfico das respostas da questão 9 do Questionário a Priori

Fonte: elaborado pelo autor da dissertação (2022)

A respeito dessas respostas, enxergamos todas como positivas, uma vez que
mesmo tendo a opção de não usar etapas na resolução de problemas, todos os
estudantes esboçaram que utilizam mesmo colocando como sempre 23,07%, 53,86%
na maioria das vezes e 23,07% às vezes. No entanto, por se tratar de uma pergunta
mais geral, podemos também inferir que os alunos podem não seguir todas as etapas,
como iremos apurar mais adiante na análise da aplicação da sequência didática. A

227

questão 10 tratava sobre o agir do professor quando o estudante apresenta alguma
dificuldade. Vejamosa figura com o gráfico das respostas da questão:
Figura 69: Gráfico das respostas da questão 10 do Questionário a Priori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

Nessa perspectiva, queríamos saber se o professor poderia recorrer a Efeitos do
Contrato Didático, recorrendo a facilitar a tarefa do estudante ou dando a resposta, e
também sobre a presença da Ação Comunicativa por meio de questionamentos.Sobre
isso mencionamos que consideramos o resultado positivo e que muito mais pode se
contribuir com esses resultados, uma vez que o professor precisa entender a sua
função como integrante de uma relação didática, sendo um mediador e organizador de
momentos de aprendizagem. No entanto, a baixa porcentagem em relação a fazer
questionamentos para que os alunos reflitam sobre a situação sinaliza que ainda a
argumentação é pouco explorada nas aulas de Matemática, se contrapondo ao que
prevê a BNCC (BRASIL, 2018) em sua competência geral 7.
Na questão 11 abordamos sobre a dificuldade com o cálculo de porcentagem,
pois é um conteúdo de extrema importância quando trabalhamos com a Matemática
Financeira. A respeito das respostas encontradas, vejamosa figura com o gráfico
abaixo:

228

Figura 70: Gráfico das respostas da questão 11 do Questionário a Priori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

A respeito das respostas, quando o professor/pesquisador percebeu o resultado,
precisou fazer uma intervenção, logo após a aplicação do Questionário a Priori,
explicando aos estudantes as diferentes maneiras para o cálculo de porcentagem,
antes do início das tarefas do Produto Educacional. Esse resultado nos chama atenção,
dado que estamos tratando de estudantes da 3ª série do Ensino Médio e é um
conteúdo trabalhado desde o Ensino Fundamental. Do total de estudantes, apenas
15,38% deles dizem não terem dúvidas em relação ao conteúdo.
A questão 12 tratou sobre as dificuldades no cálculo de juros. Para abordar essa
questão não queríamos saber se os estudantes sabiam a fórmula de tipo de juro, mas
com suas próprias estratégias, se conseguiriam fazer seus cálculos. A respeito do que
foi assinalado pelos estudantes, montamos a figura com o gráfico abaixo:

229

Figura 71: Gráfico das respostas da questão 12 do Questionário a Priori

Fonte: elaborado pelo autor da dissertação (2022)

Diante da análise do gráfico, pudemos notar que a situação a respeito da
dificuldade no cálculo de juros é mais complexa que na de porcentagem, visto que um
número de estudantes apontou que sempre tem dificuldade com os seus cálculos. À
vista disso, mais uma vez foi necessária a intervenção do professor, não apontando as
fórmulas dos cálculos de juros, mas colocando que os estudantes pesquisassem a
respeito e notassem a diferença entre as suas singularidades. Além disso,
consideramos que o papel do professor nos problemas que tratam de juros é de
fundamental importância para a aprendizagem dos estudantes, principalmente daqueles
que sempre apresentam dúvidas.
Na questão 13 tratamos a respeito das dificuldades nos cálculos de acréscimo e
decréscimo, já que também foi um conteúdo abordado no Produto Educacional
aplicado.
Sobre esse resultado, montamos a figura com o gráfico abaixo:

230

Figura 72: Gráfico das respostas da questão 13 do Questionário a Priori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

Tratando-se desse resultado, consideramos alta a porcentagem dos estudantes
que apresentam dificuldades às vezes. Assim, consideramos que nos problemas que
envolvem esse conteúdo, assim como os de juros, precisarão de uma atenção especial
por parte do professor na organização dos seus posicionamentos, mediação e
questionamentos que façam com que os estudantes se envolvam e construam seus
conhecimentos.Na questão 14 foi questionado a respeito da importância da Resolução
de Problemas nas aulas de Matemática. Por meio desse questionamento, teríamos uma
percepção acerca de como os estudantes poderiam estar no desenvolvimento
dastarefas. Vejamos a figura com o gráfico abaixo construído com base no resultado:

231

Figura 73: Gráfico das respostas da questão 14 do Questionário a Priori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

Diante do resultado apresentado no gráfico, inferimos que os estudantes
consideram relevante a Resolução de Problemas nas aulas de Matemática, partindo de
aspectos como o desenvolvimento do raciocínio lógico e analítico. Entretanto, é
importante mencionar que eles podem não saber o que, de fato, é um problema e isso
foi visto em uma aula seguinte, quando um estudante questionou sobre o que seria.
Na questão 15 foi perguntado se os problemas estimulam a criatividade para o
desenvolvimento de estratégias. Nessa questão queríamos saber se os estudantes são
estimulados a pensar de diversas maneiras diante de um problema matemático.
Vejamos a porcentagem das respostas na figura que mostra o gráfico a seguir:
Figura 74: Gráfico das respostas da questão 15 do Questionário a Priori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

232

A respeito das porcentagens encontradas na questão, as ideias expostas pelos
alunos a respeito do às vezes estimular, vão contra o que Szaboet al.(2020) pontua,
que a Resolução de Problemas contribui para algumas habilidades do século XXI, entre
elas, a criatividade. Sobre esse posicionamento dos estudantes, acreditamos que pode
ser configurado diante dos problemas que foram apresentados para eles durante a sua
trajetória escolar, como por exemplo, problemas-tipo que implicam na reprodução de
procedimentos explanados pelo professor a partir de um problema tomado como
exemplo, o que não auxilia no desenvolvimento da criatividade, uma vez que os alunos
já sabem a forma de resolver e não se preocupam em elaborar uma nova estratégia de
resolução.
Na questão 16, o questionamento foi a respeito deles pontuarem a presença de
etapas para auxiliar na Resolução de Problemas, isto é, que os professores digam o
que eles podem seguir – representação, planejamento, execução e monitoramento
(PROENÇA, 2018) – ou outras. Além disso, acrescentamos que as etapas do Arco de
Maguerez que os estudantes preencheram referente aos problemas, pode contribuir na
organização do seu raciocínio. Vejamos a porcentagem das respostas na figura abaixo:
Figura 75: Gráfico das respostas da Questão 16 do Questionário a Priori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

233

A respeito dessas porcentagens da questão 16, consideramos importante que
84,69% dos estudantes tenham considerado a importância das etapas no auxílio da
Resolução de Problemas e acreditamos que as etapas do Arco de Maguerez
(BORDENAVE; PEREIRA, 2015) somadas às etapas da Resolução de Problemas
(PROENÇA, 2018), serão importantes na demonstrar como o raciocínio dos alunos se
configura para solucionar o problema, ressaltando que nem sempre seguem
rigorosamente as etapas durante a resolução. Por sua vez, é preciso considerar que
seguir etapas não deve se constituir como uma maneira de engessar o processo de
resolução de problemas, mas nortear tal processo.
A questão 17 abordou sobre a presença de perguntas feitas pelos professores de
Matemática, para que assim, observássemos se a Ação Comunicativa já se faz
presente nas aulas dessa disciplina e que a sua presença pode contribuir para o
desenvolvimento deste estudo. Vejamos a porcentagem das respostas na figura abaixo:
Figura 76: Gráfico das respostas da questão 17 do Questionário a Priori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

As porcentagens das respostas da questão 17, indicam que nem sempre o
professor faz perguntas, visto que mais de 50% das respostas mencionaram na maioria
das vezes e às vezes. Assim, pontuamos que este cenário necessita de uma mudança

234

e que são importantes os tipos de perguntas com o intuito que os estudantes reflitam a
respeito dos diversos vieses contemplados na execução/resolução de um problema
matemático e sobre as diversas temáticas abordadas em sala de aula.A questão 18
tratou da linguagem utilizada durante as explicações nas aulas de Matemática e a
maneira de explicação do professor; para essa questão consideramos o Discurso
Pedagógico (BERNSTEIN, 1996), ideias de ritmo e sequenciamento e se a construção
de saberes, sendo mediada pelo professor, estava chegando ao alcance de
todos.Sobre o resultado das respostas, vejamos a figura abaixo:
Figura 77: Gráfico das respostas da questão 18 do Questionário a Priori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

Vimos como positivo a maioria dos estudantes afirmarem que sempre o
professor explica utilizando uma linguagem que a maioria entende e que os diversos
estudantes conseguem acompanhar, entretanto, o professor precisa ter cuidado para
que com isso não recorra sempre à analogias, não trate suas crenças como
conhecimento matemático e assim recorra aos Efeitos do Contrato Didático
(BROUSSEAU, 1986).
Feito tais ponderações a respeito do Questionário a Priori e no que as suas
respostas podem contribuir para a aplicação das tarefas que estão presentes no

235

Produto Educacional, nos subtópicos seguintes tratamos da apresentação dos dados
colhidos nas aulas, suas análises e discussões.

5.3Resultados e discussões da aula 1
Como a aula 1 foi composta por atividade de ambientação, autoavaliação da
tarefa de ambientação, jogo de tabuleiro, autoavaliação do jogo e autoavaliação dos
aspectos gerais da aula, optamos de dividi-la em subseções.

5.3.1 Tarefa de ambientação
Como estamos tratando do Contrato Didático, considerando as ideias de
Brousseau (1986, 1997, 2008), a aula foi iniciada com a negociação do contrato esobre
isso observe o recorteda transcrição das falas, como vemos no quadro a seguir:
Quadro 21: Recorte da transcrição da fala inicial do professor na aula 16
Professor – Boa tarde, estudantes! Hoje, a dinâmica do nosso trabalho será a seguinte: no primeiro
momento irei entregar uma situação para vocês, situação essa que partiu da realidade e tem o nome
de situação norteadora, para que a partir dela vocês criem questionamentos, discutam, reflitam e
resolvam alguns problemas, fazendo o preenchimento de alguns pontos em um quadro que também
irei entregar, para esse quadro vocês irão dispor deste material que vou entregar (Arco de Maguerez
com instruções) e a partir dele vocês preencherão o que se pede a partir do problema. No segundo
momento, iremos trabalhar com uma outra situação norteadora, que a partir dela vocês irão discutir
sob o ponto de vista social e econômico, seguindo para a execução de um jogo. Em ambas as
atividades iremos trabalhar em grupos, na primeira atividade três grupos e na última dois grupos.
Fonte: Material da pesquisa (2022)

No decorrer da fala do professor, as funções de cada parceiro na situação
didática ficaram em evidência, isto é, o professor estará como organizador das
situações de aprendizagem (BROUSSEAU, 1986), entregando as tarefas de maneira
ordenada, e os estudantes como sujeitos ativos no processo de aprendizagem. Assim
sendo, cabe-nos apontar aqui o que é escrito por Araújo (2009), que para que uma
tarefa diferente do habitual cumprir a sua função nas situações de ensino e
aprendizagem, é necessário que haja mudanças nos contratos já estabelecidos.Nesse
momento, todos os estudantes ficaram em silêncio observando a fala do professor. A

6

Em todos os recortes de transcrições optamos por fazer as adequações relacionadas à gramática, no
entanto, não modificamos o que foi falado pelos participantes.

236

respeito do que foi pontuado, enxergamos que a categoria sobre a negociação do
Contrato Didático foi contemplada, não havendo momentos de rupturas, uma vez que
os estudantes não se opuseram ao que estava sendo colocado pelo professor
(BROUSSEAU, 1986, 2008). A respeito da transcrição anterior, regras do Contrato
Didático (BROUSSEAU, 1986, 2008) já ficaram em evidência: regras explícitas – tarefas
em grupo e ordenação para responder as tarefas(leitura, interpretação, análise,
resolução de problemas).
Assim sendo, após a explicação feita pelo professor foi entregue as atividades
para os estudantes, no caso, atarefa de ambientação que tratava da compra da venda
de smartphone nas Casas Bahia de maneira virtual. Para o desenvolvimento da tarefa,
os estudantes estavam divididos em três grupos: grupo 1 formado pelos Estudantes 1,
7, 8, 9 e 12; grupo 2 formado pelos Estudantes 3, 4, 11 e 13; grupo 3 formado pelos
estudantes 2, 5, 6 e 10. A respeito do desenvolvimento dessa tarefaem grupo,
destacamos que se deu por considerar o que é exposto por Szaboet al. (2020) ao tratar
o trabalho colaborativo como uma habilidade do século XXI, por Graesseret al. (2017)
que o trabalho em equipe é uma competência de extrema importância para a sociedade
moderna e por Onuchic (1999) que o professor ajuda os estudantes a se apoiarem uns
nos outros.
A partir do momento que foi entregue a tarefa aos estudantes, todos ficaram
observando o material e esperando os comandos do professor, sobre isso destacamos
a existência de uma regra implícita do Contrato Didático (BROUSSEAU, 1986, 2008): a
espera pelo professor e que pode ser configurada pela existência de outros contratos
nas aulas de Matemática das quais os estudantes fizeram parte. Além disso,
considerando

que

essa

espera

dos

estudantes

não

era

o

esperado

pelo

professor/pesquisador, pois se acreditava que os estudantes partiriam para a execução
das tarefas, vemos isso como uma quebra do contrato anteriormente colocado, logo,
uma ruptura, pois os comportamentos dos estudantes transgrediram o que era
aguardado, assim o contrato precisou ser renegociado. A respeito disso, enxergamos
essas atitudes semelhantes ao que foi pontuado por Souza (2011) em sua pesquisa de
Mestrado ao tratar do Contrato Didático, destacando que as rupturas quase sempre se

237

relacionam com marcas de contratos anteriores.No que concerne ao momento de
renegociação, observemos a transcrição abaixo:
Quadro 22: Recorte da transcrição do momento do primeiro momento de
renegociação na aula 1
Professor – Vamos começar?
Estudante 1 – Pensei que o senhor ia explicar como fazer.
Estudante 7 – Eu também rsrs.
Professor – As orientações foram dadas, mas sigam a ordem das atividades que foram entregues:
situação norteadora, perguntas, problema, preenchimento das etapas do arco.
Fonte: Material da pesquisa (2022)

Destacamos que esse momento de renegociação foi necessário devido à não
compreensão dos estudantes das tarefas que eles realizariam ou também a falta de
hábito, uma vez que pode configurar que o professor sempre faz a explicação do que
eles tenham que fazer de maneira mais detalhada – marcas de um contrato anterior
(SOUZA, 2011). A respeito desses momentos iniciais e da entrega do material,
inferimos que são situações didáticas, ao considerar que estão incluídos professor,
estudante e o sistema educacional (BROUSSEAU, 2008). Para mais, as atitudes e o
comportamento do professor após a entrega da atividade, não configura que ele não
queira ensinar, mas que esperava que os estudantes tivessem compreendido o que
fazer após a entrega do material. Sobre isso, mencionamos o que expõe Kuzniak
(2004), que as atitudes e os comportamentos dos estudantes e professores permitem a
gestão do ensinar.
Com o intuito de facilitar a discussão e análise dos dados, observemos a
situação norteadora entregue para os estudantes no quadro abaixo e já exposta na
descrição das atividades em um tópico anterior:
Quadro 23: Situação norteadora da tarefa de ambientação (aula 1)
SITUAÇÃO NORTEADORA E SEUS DESDOBRAMENTOS
No site das Casas Bahia, o Smartphone Samsung Galaxy M13 Azul 128GB, 4GB RAM, Processador Octa-Core,
Câmera Tripla Traseira, Selfie de 8MP, Tela Infinita de 6.6" e Dual Chip está sendo vendido com algumas
condições. Observe as figuras abaixo:

238

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

Após se passar um tempo dos estudantes observando a situação, foram nítidas
as suas dificuldades em criarem perguntas para a discussão, o que mais uma vez
refletiu em uma ação não esperada pelo professor e uma ruptura do Contrato Didático
(BROUSSEAU, 1986, 2008). Com isso, considerando a Ação Comunicativa e o que é
apontado por Meireles et al. (2017) que a linguagem deve ser utilizada para a
construção de saberes e sua ressignificação e para a compreensão da realidade, o
professor utilizou o tipo de pergunta tematizante, que serve para iniciar novos temas
(MENEZES, 1995), questionando sobre o que a situação envolvia, tendo como
respostas: Estudante 1 – “Compra de telefone”; Estudante 7 – “Compra de telefone na
internet.” A partir dessa intervenção do professor, foi notório que os estudantes
começaram a discutir entre si e a criarem as suas perguntas considerando os pontos de
vista social e econômico. Observemos a transcrição das falas dos estudantes durante a
interpretação da situação norteadora:

239

Quadro 24: Recorte da transcrição das falas dos grupos durante a criação das
perguntas na tarefa de ambientação
Grupo 2:
Estudante 13 – Temos que observar se o celular é bom e se cabe no bolso.
Estudante 3 – E se fosse uma compra internacional? Tipo esse relógio foi da china, mas tem que
considerar o frete pago, a mesma coisa acontece com o celular, aí está o preço, mas tem que
considerar o frete.
Estudante 13 – Com essas compras parceladas vai pagar juros. Tipo, pagar mais caro.
Estudante 4 – A gente também tem que olhar a questão de segurança.
Grupo 3:
Estudante 6 – À vista o preço é mais acessível.
Estudante 2 – A gente poderia ver como ficaria se a compra fosse feita com mais de um telefone, se
teria desconto no frete e se sairia mais em conta.
Fonte: Material da pesquisa (2022)

Com a transcrição, observamos que a partir do questionamento do professor, os
estudantes ficaram mais à vontade para tratarem dos seus diversos pontos de vista
sobre a situação abordada (SILVA; FEIL, 2020). À vista disso, destacamos o que é
esboçado por Ponte e Serrazina (2000) que a pergunta é algo essencial no processo de
ensino e aprendizagem. É importante mencionar que esses pontos levantados pelos
estudantes de maneira oral, através da ação comunicativa, fizeram com que partissem
ao encontro de aquiescência para se chegar a um consenso, como afirma Habermas
(1988).
O pensamento de Echeverria e Pozo (1998) também pode ser salientado, uma
vez que expõem que a aprendizagem em Resolução de Problemas se transforma em
autônoma e espontânea quando os estudantes procuram respostas para as suas
próprias perguntas e que eles precisam se habituar a questionar. Observe que na
descrição não tivemos falas do Grupo 1, a respeito da situação norteadora, isso
aconteceu porque o grupo estava mais envolvido em responder o que estava no papel

240

e mesmo o professor questionando, não responderam. Observemos na figura abaixo os
estudantes durante a realização da tarefa:
Figura 78: Estudantes na tarefa de ambientação

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Por esse viés, a partir do comportamento do Grupo 1, notamos que havia um
estudante como líder, o Estudante 1, e ele conduzia a execução das tarefas atribuindo
a cada integranteo que deveria fazer. O referido estudante destacou que uns fariam as
perguntas e outros resolveriam os problemas e preencheriam as etapas do Arco. Diante
da conduta do grupo, ocorreu uma simplificação do que eles teriam que fazer nessa
tarefa, podendo ser configurada também como uma ruptura do Contrato Didático e
precisando da intervenção do professor para uma renegociação, salientando que era
preciso que eles refletissem sobre as questões em conjunto, no entanto, não seguiram
o solicitado. Assim, apontamos a respeito de ritmo e sequenciamento quando é
discutido a respeito do Discurso Pedagógico (BERNSTEIN, 1996) que cada grupo tem
um tempo para lidar com as situações que estão envolvidos e que a maneira de
organização de cada grupo também é diferente.
Assim sendo, vejamos a seguir os questionamentos criados por cada um dos
grupos diante da situação norteadora da tarefa de ambientação:

241

Figura 79: Perguntas criadas pelos grupos a respeito da situação norteadora da
tarefa de ambientação

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Ao observar as perguntas colocadas pelos grupos 2 e 3, notamos que elas estão
relacionadas com o que foi discutido pelo grupo e mostrado na transcrição anterior.

242

Assim, destacamos a importância do trabalho coletivo e da intervenção do professor,
configurando o seu papel como um mediador da aprendizagem.
Nas perguntas do grupo 1, especificamente na pergunta de número 3,
percebemos que está relacionada à pergunta 3 do grupo 2, como o grupo não falou na
hora de discussão, inferimos que esse questionamento pode ser derivado do que o
grupo 2 abordou. A respeito da adequação das perguntas às situações norteadoras,
pontuamos que todas trazem pontos de vista considerando o tema em questão.
Destacamos que no desenvolvimento desta tarefa, no que concerne ao material escrito,
os estudantes cumpriram suas funções, esboçando três perguntas para cada situação,
no entanto, é preciso dizer que os grupos 1 e 2 não colocaram interrogações no que
expuseram como perguntas, sendo possível interpretar isso como uma ruptura do
contrato e a ausência de algum conhecimento de ordem linguística.
Após a elaboração das perguntas, continuando com os grupos formados, os
estudantes iniciaram a tarefa seguinte, a resolução dos problemas. Chamou-nos a
atenção que o Estudante 4ao ler o direcionamento no material escrito Considere as
condições da venda do Smartphone para a resolução dos problemas a seguir,
questionou “O que é um problema?”, sendo respondido por um integrante do mesmo
grupo, o Estudante 1: “Ter um contexto sempre”. Com isso, esboçamos o que Martinho
(2007) aborda que a interação em sala de aula propicia novas descobertas. Inferimos
que o contexto pode ter sido evidenciado diante da situação norteadora e destacamos o
que escreve Stanic e Kilpatrick (1989) sobre a Resolução de Problemas como contexto.
Ainda, cabe-nos mencionar que autênticas tarefas de Resolução de Problemas tem um
contexto que tem um alto grau da realidade (CHAMBERLIM, 2010). Observemos o
problema 1 na figura abaixo:
Figura 80: Problema 1 da tarefa de ambientação

Fonte: Elaborado do autor da dissertação (2022)

Sobre o problema, como se trata de uma tarefa de ambientação, optamos por
problemas mais curtos, sendo configurado como problema convencional e que é um

243

problema de dois ou mais passos (CHARLES; LESTER, 1986). Ao considerar as
resoluções dos estudantes que serão apresentadas a seguir, pontuamos que o
problema, mesmo curto exigiu dos estudantes mais de uma leitura para compreensão,
disso consideramos dificuldades na etapa de representação/compreensão do
problema(PROENÇA, 2018). A respeito dessa dificuldade inicial, ela corrobora com
outros estudos, que expõem que, na resolução de problemas, os estudantes costumam
apresentar dificuldades na compreensão do texto de um problema, como afirma Mayer
(1987). Ainda destacamos, como salientado por Araújo (2015), que o processo de
releitura ajuda na compreensão do problema.
Para traçarmos uma análise mais detalhada, de acordo com as categorias
expostas em tópicos anteriores, optamos por mostrar a resolução do problema e o que
foi considerado em cada etapa do Arco de Maguerez, como se vê na figura abaixo:
Figura 81: Resolução dos grupos do problema 1 da tarefa de ambientação

Fonte: Material da pesquisa (2022)

244

Desse modo, ao tratar das resoluções entregues pelos grupos, apesar de terem
configurações/organizações de soluções diferentes, o grupo 1 e 2 responderam
adequadamente o solicitado apresentando o que seria pago a mais no aparelho caso
fosse dividido em 11x e 12x, entretanto, o grupo 3 mesmo destacando que se fosse
dividido em 11x ele pagaria um valor maior que em 12x, não destacou quanto a mais
pagaria que o valor inicial em 11x, apenas em 12x.Assim sendo, podemos dizer que
isso não caracteriza uma falha na compreensão do problema, mas que o grupo pode ter
realizado a estratégia apenas mentalmente.Quanto ao grupo 2, é notório que ele foi
além do que foi solicitado, uma vez que ainda destacam a diferença de valor pago
dividido entre o parcelamento de 11x e 12x e isso pode ser derivado da análise crítica
que o grupo fez da questão. Todas as respostas foram esboçadas de maneira racional.
A respeito do tipo de mente lógico-verbal dos estudantes, a partir das justificações e
exposições, ficou evidente indícios de sua manifestação, uma vez que montam
expressões para ir resolvendo, sendo um ponto de partida para que a argumentação
seja estimulada nas aulas que envolvem resolução de problemas.
Para mais, ainda sobre as resoluções apresentadas, percebemos que os
estudantes

simplificaram

alguns

passos

das

resoluções,

sendo

vistas

pelo

professor/pesquisador em anotações nas mesas da sala de aula e em papéis utilizados
por eles para rascunhos. Cabe mencionar, que no início da resolução de cada
problema, o professor/pesquisador se dirigiu a cada grupo questionando se os
estudantes entenderam o que estava sendo solicitado e sobre isso foi utilizada o tipo de
pergunta de inquirição, que tem por objetivo obter informações dos estudantes e que os
tipos de perguntas, de acordo com Love e Mason (1995), contribuem para aumentar o
nível de comunicação.
Assim sendo, ainda sobre essa ação do professor, buscou-se identificar se os
estudantes apresentaram dificuldades na representação/compreensão do problema e
sobre os conhecimentos linguísticos, identificando que o enunciado da questão possuía
termos que foram entendidos pelos estudantes (mesmo a resposta do grupo 3 estando
incompleta) e que, usando o que é defendido na Teoria do Discurso Pedagógico
(BERNSTEIN, 1996), o material estava compreensível/adequado para a maioria dos
envolvidos na situação didática. Assim, para ter uma visão global da compreensão dos

245

estudantes e suas respectivas reflexões sobre o problema, veja o que foi apresentado
por cada grupo no preenchimento do Arco de Maguerez (figura 64).Cabe destacar que
no desenvolvimento desta primeira aula, os estudantes não conseguiram utilizar o Arco
como etapas a serem seguidas para a resolução dos problemas, mas que respondiam
os problemas e depois tratavam dessas etapas.
Inicialmente, cabe salientar que os grupos apresentaram uma certa resistência
para preencher as etapas do arco e configuramos isso como ruptura do Contrato
Didático (BROUSSEAU, 1989, 2008), precisando ser renegociado e o professor
expondo que o preenchimento era necessário para ver como os estudantes se
articularam para a resolução do problema e suas reflexões a respeito dele. A respeito
do que foi solicitado em cada etapa, os estudantes tinham a descrição/instruções no
quadro (configuração para a tarefa de ambientação como já exposto) e também numa
folha entregue à parte (mostrada também na descrição das tarefas).
Vejamos na figura abaixo o que foi preenchido pelos grupos na primeira etapa do
Arco em referência ao problema 1:
Figura 82: Primeira etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 1

Fonte: Material da pesquisa (2022)

246

Desse modo, tratando-se da primeira etapa do Arco, observação na realidade,
consideramos que todos os grupos destacaram informações condizentes com o que
estava sendo exposto no problema. Também é perceptível que os grupos conseguiram
fazer uma análise crítica da realidade, destacando como impactaria em suas vidas,
destacamos o que o Grupo 2 mencionou, que apesar de a loja oferecer diversas formas
de pagamento, seria mais viável a compra à vista. Com isso, o grupo refletiu que com o
pagamento à vista não seria pago nada de juros e o que seria mais vantajoso,
financeiramente escrevendo, seria comprar pelo “menor preço”. A respeito dessas
colocações, Berbel (2012) expõe que através de uma análise da realidade se busca
sentido, explicação e justificativas para transformá-la.
Assim sendo, observe o que foi mencionado pelo grupo na segunda etapa do
Arco:
Figura 83: Segunda etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 1

Fonte: Material da pesquisa (2022)

247

A respeito da etapa dos pontos-chave, pode ser visto que todos os grupos
conseguiram compreender o que estava sendo investigado, destacandoque é a
compra/venda do celular, lucro da loja, melhor método de compra, entre outros. A
respeito dos termos matemáticos, o grupo 2 e 3 mencionam lucro, renda, juros,
aumento e desconto, sobre isso mencionamos que eles conseguiram identificar os
conteúdos matemáticos envolvidos no problema. Com relação aos termos não
matemáticos, apenas o grupo 2 deixou claro quais seriam os termos, mencionando
confiabilidade, qualidade e tempo de entrega e segurança gerada pela loja. Bordenave
e Pereira (2015) mencionam que por meio dos pontos-chave pode se ter uma maior
compreensão do problema.Por esse viés, considerando as etapas de observação da
realidade e pontos-chave do Arco de Maguerez (BERBEL, 2012), nelas também é
verificada a etapa de representação da Resolução de Problemas (PROENÇA, 2018).
Vejamos na figura abaixo o que foi exposto na terceira etapa do Arco:
Figura 84: Terceira etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 1

Fonte: Material da pesquisa (2022)

248

No tocante à etapa de teorização, foi destacado os conteúdos envolvidos, sendo
eles porcentagem, juros, acréscimo, decréscimo e algumas operações, como divisão e
multiplicação. Assim, sobre os símbolos matemáticos, apenas o grupo 2 que
mencionou, mas que diante da resolução apresentada pelos grupos todos utilizaram os
símbolos matemáticos adequadamente.
Verifiquemos o que foi pontuado pelos estudantes na quarta etapa do Arco na
figura a seguir:
Figura 85: Quarta etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 1

Fonte: Material da pesquisa (2022)

249

Acerca da etapa de hipóteses de solução, podendo, nela, serem evidenciadas as
etapas de planejamento, execução e monitoramento (PROENÇA, 2018), vimos que
para o planejamento da solução, os grupos 2 e 3 pontuaram que observaram e
separaram os dados, viram o valor à vista, calcularam o valor parcelado em 11x, depois
em 12x, para, assim chegar à solução do problema. O grupo 2, não detalhou como fez
a solução e que desde a apresentação da resposta do problema, consideramos que
eles simplificaram os seus cálculos. Para mais, sobre o momento de preenchimento
dessa etapa, os estudantes apresentaram resistência, sendo vistas dificuldades de
exporem como organizaram os as suas ações para solução. Todos os grupos fizeram o
retrospecto das suas soluções, não precisando refazê-las.
Na figura abaixo, trazemos o que foi preenchido na etapa de Aplicação à
realidade:
Figura 86: Quinta etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 1

Fonte: Material da pesquisa (2022)

250

Por fim, em relação à última etapa do arco, todos os grupos conseguiram
destacar sobre o que o problema reflete nas suas vidas e os possíveis impactos do que
foi encontrado nas soluções, destacando: a melhor opção de compra, sobre a
preferência das pessoas na hora de comprar, que o sujeito comprador poderia esperar
para comprar à vista, entre outras. Assim sendo, consideramos que todas as etapas do
Arco são relevantes, uma vez que a última etapa acaba gerando reflexo positivo devido
às etapas intermediárias, o que possibilita uma reflexão crítica.
Observemos na figura abaixo o problema 2 da tarefa de ambientação:
Figura 87: Problema 2 da tarefa de ambientação

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

Neste problema, como fazia parte da mesma tarefa da anterior, os estudantes
partiram para a resolução normalmente. Para eles, apesar de um pouco mais longo, é
um problema simples de dois ou mais passos (CHARLES; LESTER, 1986). Durante a
leitura do problema, que corresponde à etapa de representação (PROENÇA, 2018),
notamos algumas falas dos estudantes grupo 1 que podem ter interferido na
simplificação das suas resoluções expostas. Observemos a transcrição da fala do
grupo:
Quadro 25: Recorte da transcrição dos estudantes na leitura do problema 2 na
tarefa de ambientação
Grupo 1
Estudante 1 – Nessa questão não precisa muitos cálculos, já que eu sei que vai aumentar 5 reais a
cada mês.
Estudante 5 – Como assim?
Estudante 1 – Vê... se aumenta 0,5% ao mês, se fosse 1% seria R$ 1,00 a cada R$ 100,00, como é
0,5% será 50 centavos, se é 50 centavos em 100, em 1000 será R$ 5,00.
Estudante – Ah!
Fonte: Material da pesquisa (2022)

251

Com base na transcrição, observamos que algo que é pontuado nos PCN
(BRASIL, 1997), que a Resolução de Problemas possibilita aos estudantes a
mobilização de conhecimentos e o desenvolvimento da capacidade para gerenciar
informações. Assim, consideramos a mobilização de conhecimentos, por meio do
raciocínio lógico na montagem de estratégias para a resolução da questão. A respeito
das resoluções apresentadas pelos estudantes, vejamos a figura abaixo:
Figura 88: Resoluções do problema 2 da tarefa de ambientação

Fonte: Material da pesquisa (2022)

A resolução apresentada pelo grupo 1 tem relação com a discussão exposta no
primeiro contato com o problema e a respeito disso enfatizamos a importância da
comunicação nas aulas de Matemática (PONTE; SERRAZINA, 2000). Ainda sobre isso,
as estratégias criadas pelos estudantes são eficazes para que chegue a uma solução

252

correta e, para tanto,Schoenfeld (2013) menciona que as estratégias de resolução de
problemas são ferramentas para resolver algo e que é preciso fazer explorações,
sistematizações e previsões.
Além disso, notamos que a resolução do grupo 3 apresenta muita familiaridade
com o que foi mencionado pelo grupo 1, o que difere do grupo 2. Ainda sobre o modo
como cada grupo apresentou as suas resoluções, na BNCC (BRASIL, 2018) é exposto
que a Resolução de Problemas exige processos cognitivos diferentes. Podemos inferir
que o grupo 1 utilizou a estratégia do pensamento lógico, simplificando o trabalho que
poderia ser desenvolvido (YUSUF et al., 2021). Todas as respostas dos grupos estão
corretas, entretanto, eles parecem ter mais familiaridade para expor de maneira
descritiva, do que expor os cálculos em si.
Para tratar das etapas do Arco de Maguerez e da Resolução de Problemas,
vejamos o que os estudantes expuseram:
Figura 89: Primeira etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 2

Fonte: Material da pesquisa (2022)

253

Assim sendo, sobre o problema 2 e a primeira etapa do arco, na qual se buscou
averiguar o que os estudantes expuseram a respeito da observação da realidade, todos
mostraram ideias parecidas e que tem relação com o que está sendo perguntado, uma
vez trataram da espera para comprar o aparelho à vista.
Vejamos na figura seguinte o que foi apresentado na etapa dos pontos-chave:
Figura 90: Segunda etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 2

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Sobre os pontos-chave, etapa na qual questiona-se sobre o que está sendo
investigado, todos colocaram que é sobre o tempo necessário para realizar a compra à
vista. Assim sendo, ainda na etapa dos pontos-chave nos chama a atenção o que foi
escrito pelo grupo 3, pois já expôs que estava sendo procurado os 20 meses de espera
para a compra do celular à vista, eisso aconteceu porque os estudantes ao
preencherem as etapas do Arco já tinham respondido o problema matemático. Não foi
exposto por nenhum grupo os termos matemáticos e não matemáticos, o que configura
uma ruptura do Contrato Didático (BROUSSEAU, 1986, 2008), mesmo sendo

254

salientado pelo professor que isso deveria ser colocado, usando a renegociação do
contrato, isso não aconteceu.
Na figura seguinte está apresentado o que foi escrito na etapa de teorização:
Figura 91: Terceira etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 2

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Na terceira etapa do Arco, a de teorização, apesar de os grupos identificarem os
conteúdos matemáticos envolvidos, percebemos uma maior contemplação no grupo 2,
sendo destacado por ele os símbolos matemáticos também utilizados (PROENÇA,
2018). Com isso, considerando essas etapas iniciais, os estudantes não apresentam
dificuldades com os conhecimentos linguísticos e semânticos, e que o enunciado possui
termos que podem ser entendidos de acordo com a língua materna do estudante
(MAYER, 1992). Mais uma vez, cabe mencionar a adequação das tarefaspara a maioria

255

dos estudantes, uma vez que o Discurso Pedagógico tem o foco no que é passado
como conhecimento educacional (BERNSTEIN, 1996).
Avistemos, na figura a seguir, o que exposto na etapa de hipóteses de solução:
Figura 92: Quarta etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 2

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Na etapa de hipóteses de solução, mais uma vez, os grupos apresentaram
dificuldades em externarem como foi o seu planejamento para a solução (PROENÇA,
2018), o grupo 1 foi muito breve e não expôs como fez para chegar à solução, apenas
mencionando que fez o cálculo de porcentagem; o grupo 2 salientou as operações
realizadas; o grupo 3 destacou que fez passo a passo, mas não citou quais foram os

256

passos. Durante essa etapa, assim como no primeiro problema, os estudantes
apresentaram dificuldades e que os tipos de perguntas metas (vocês poderiam explicar
melhor?) e de inquirição (como?), uma vez que buscou-se obter mais informações dos
estudantes e que eles explicassem melhor o que já tinha salientado (MENEZES, 1995).
Os grupos de um modo geral abreviaram o raciocínio utilizado para chegar à solução do
problema (PROENÇA, 2018).
Observemos na figura seguinte o que foi preenchido na etapa de aplicação à
realidade:
Figura 93: Quinta etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 2

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Na última etapa do Arco de Maguerez, a respeito do problema 2, todos os grupos
destacaram que seria mais viável fazer um investimento do dinheiro, para, assim,
comprar o aparelho à vista. Isso mostra que todos conseguiram refletir de maneira

257

crítica sobre a situação e que pode interferir em suas escolhas na vida em sociedade.
Sobre a solução dos problemas e o discurso assentado pelos grupos no material
escrito, mencionamos que para o pensamento criativo é necessário a liberdade de
pensamento, não estando sob pressão (MAHARANI, 2021), que esta solução implica
na participação ativa dos estudantes e na ação comunicativa (BORDENAVE; PEREIRA,
2015) e que utilizar a metodologia da problematização consiste em problematizar a
realidade (ALVARENGA; VALE, 2007).
Observemos na figura a seguir, o problema 3 da tarefa de ambientação:
Figura 94: Problema 3 da tarefa de ambientação

Fonte: Elaborada pelo autor da dissertação (2022)

Sobre a configuração do problema da figura anterior, ele também é um problema
simples, de dois ou mais passos (CHARLES; LESTER, 1986), é um problema
convencional. Nele, como os estudantes já estavam mais habituados, já que era o
terceiro problema da aula, notamos que os estudantes foram de forma imediata ao que
estava sendo cobrado. Vejamos na transcrição das falas dos estudantes no primeiro
contato com o problema:
Quadro 26: Recorte da transcrição da fala dos estudantes no primeiro contato
com o problema 3
Grupo 1
Estudante 1 – Essa é fácil, é só calcular 10x o valor de cada prestação que está no anúncio do celular
e no final ver a diferença do valor em relação ao valor inicial.
Grupo 2
Estudante 13 – Vamos olhar qual o valor de cada parcela se for parcelado em 10x para resolver a
questão.
Fonte: Material da pesquisa (2022)

As falas dos estudantes expressas na transcrição podem refletir na criação de
planejamento para a solução dos problemas pelos grupos e que o grau de instrução
dos integrantes de cada grupo é de fundamental importância na elaboração de

258

estratégias para executarem o planejamento (PROENÇA, 2018). Como os grupos 1 e 2
apresentaram de maneira oral um discurso a respeito da compreensão do problema, o
professor/pesquisador não achou necessário o questionamento para eles a respeito da
compreensão/representação e para isso pontua-se o que é afirmado por Lester (2013)
que o professor precisa saber o que fazer e quando fazer. Entretanto, como não
observou falas no grupo 3, questionou-os sobre a compreensão e eles destacaram que
haviam compreendido o problema e que fariam a sua resolução. Vejamos na figura
abaixo as resoluções entregues pelos estudantes:
Figura 95: Resoluções do problema 3 da tarefa de ambientação

Fonte: Material da pesquisa (2022)

259

Diante das resoluções dos estudantes, percebemos que apenas duas resoluções
estão corretas, as que afirmam que com o pagamento parcelado em 10x haveria um
acréscimo de mais 11%. Notamos que nenhum dos grupos mostraram o cálculo a
respeito das 10 parcelas e os seus respectivos valores, o que mostra que simplificaram
o raciocínio do problema. A respeito das estratégias elaboradas pelos grupos, enquanto
o grupo 1 escreveu a resolução, não mostrando como fez para chegar a esse resultado,
os grupos 2 e 3 utilizaram estratégias parecidas: descobriram o valor total das parcelas
em 11x e calcularam a porcentagem do acréscimo por meio de uma regra de três
simples. Para ter uma visão mais global sobre a resolução do problema e os
conhecimentos utilizados pelos grupos no desenvolvimento de suas tarefas,
observemos a figura abaixo com o que foi escrito pelos grupos em cada etapa do Arco
de Maguerez:
Figura 96: Primeira etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

260

Com relação à etapa 1, que diz respeito ao que é observado da realidade, foi
exposto pelos grupos: propaganda enganosa, levando o consumidor a fazer a compra
sem efetuar os cálculos e que com o pagamento em 10x teria juros; a necessidade de
procurar saber se com o pagamento haverá juros ou não; a loja oferecer dizendo que
não tem juros. Assim sendo, inferimos que a partir do problema, os estudantes
conseguiram relacioná-lo com a situação norteadora e que os dados para resolver o
problema não estavam presentes apenas no enunciado da questão, sendo preciso
voltar à situação norteadora. A partir disso pontuamos que os grupos conseguiram fazer
uma análise crítica da situação esboçada, sendo possibilita a reflexão sobre a questão
(SILVA; SIQUEIRA FILHO, 2011) e conseguiram problematizar a realidade que tem
uma íntima relação com muitas situações vividas nos dias atuais, uma vez que grande
maioria dos estudantes possuem smartphones e procuraram a melhor maneira para
comprá-lo (BERBEL, 2012). Ainda sobre essa etapa, consideramos que a linguagem
utilizada nas situações (BERNSTEIN, 1996) estava ao alcance de todos e que quando
é abordadosituações do cotidiano permite uma maior reflexão sobre a situação.
Sabemos que a linguagem utilizada nas questões permite a utilização dos
conhecimentos linguísticos pelos estudantes (MAYER, 1992) por meio de termos
entendidos em sua linguagem materna.
Vejamos na figura seguinte o que foi preenchido pelos grupos na etapa dos
pontos-chave:

261

Figura 97: Segunda etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Na etapa 2, pontos-chave, a qual trata do que está sendo investigado, todos os
grupos esboçaram ideias adequadas, tratando da existência de juros ou não no
pagamento de 10x, o quanto seria pago a mais referente ao valor inicial do celular e os
juros do celular. Nessa etapa, entretanto, não foi colocado pelos grupos, de forma
direta, os termos matemáticos e não matemáticos presentes na questão, mas notamos
os juros, preço e propaganda. A não demonstração dos termos matemáticos e não
matemáticos de forma direta, pode apresentar uma dificuldade dos conhecimentos
semânticos (MAYER, 1992).
Vejamos na figura a seguir o que foi preenchido pelos grupos na etapa de
teorização:

262

Figura 98: Terceira etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Quanto à etapa de teorização, os grupos 1 e 3 destacaram a porcentagem,
entretanto, como afirmado pelo grupo 2, a questão estava além de porcentagem, pois
estávamos tratando também dos juros. Sobre a afirmação da porcentagem,
mencionamos que isso pode ser derivado do cálculo que os estudantes fizeram
envolvendo-a na regra de três simples.

Com isso, os grupos conseguem notar os

conteúdos matemáticos necessários para resolver o problema, mas perdem o foco do
que se trata o problema, uma vez que o intuito era analisar os juros e se eles estavam
presentes na compra do aparelho em 10x em relação ao valor à vista. Esse equívoco
dos estudantes nos conhecimentos linguísticos(MAYER, 1992). Logo, na etapa de
representação (PROENÇA, 2018). Somado ao que foi pontuado, mencionamos os
estudos de Muller (2015) e de Gonçalves (2015), a respeito de equívocos na
interpretação dos problemas.
Verifiquemos na figura a seguir o que foi preenchido na etapa de Hipóteses de
Solução:

263

Figura 99: Quarta etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Na etapa de hipóteses de solução, como já foi mostrado como os estudantes
resolveram os problemas, o grupo 1 não mencionou como fez para chegar à solução do
problema e isso se dá em relação à maneira como expuseram a solução do problema,
apenas escrevendo de forma descritiva, não esboçando os cálculos, o que mostra um
déficit na utilização dos conhecimentos estratégicos (MAYER, 1992). O grupo 1
abreviou o processo de raciocínio e isso pode ter sido prejudicial para não chegar a
uma resposta correta. Quanto ao grupo 2, notamos um avanço em relação aos
problemas anteriores, pois foi destacado de maneira muito explicativa, todas as
operações realizadas: interpretação do problema, separação dos dados, utilização da
regra de três e as operações básicas utilizadas. Sobre o grupo 2, destacamos a
organização mental (FONSECA; CONTIJO, 2021), a combinação de mecanismos
cognitivos (BRITO, 2012), o conjunto de operações sistemáticas e o planejamento
lógico para a execução da estratégia previamente pensada (YUSUF et al., 2021). O
grupo 3 também representou melhora em relação aos problemas anteriores, mas não

264

foram tão descritivos quanto o grupo 2. O tipo de mente é lógico-verbal em todos os
grupos (PROENÇA, 2018).
Na figura abaixo, apresentamos o que foi escrito pelos grupos na etapa de
Aplicação à realidade:
Figura 100: Quinta etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Na última etapa, aplicação à realidade, foi tratado sobre as propagandas
enganarem o consumidor e a veracidade das informações e essa constatação nasce da
descoberta que o valor em 10x parceladas, mesmo a loja colocando que não haveria
juros, os estudantes chegaram à conclusão que haverá. Também foi mencionado que o
melhor para fazer compras é o pagamento à vista. De um modo geral, a questão

265

discutida tem um alto grau de realidade (CHAMBERLIM, 2010) e que o que foi tratado
foi além de resolver um problema, mas um processo de descoberta (ALVARENGA;
VALE, 2007).
Assim sendo, ainda considerando a situação norteadora inicial da aula 1, agora
vamos tratar do último problema. Observemos, primeiramente, o problema na figura
abaixo:
Figura 101: Problema 4 da tarefa de ambientação

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

Sobre o problema, pontuamos que ele é de um ou dois passos e de aplicação,
uma vez que requer análise e tomada de decisão (CHARLES; LESTER, 1986). Sobre o
problema e o que ele trata, salientamos que tinha sido considerado pelo grupo 3, nas
perguntas a partir da situação norteadora que se caso fizesse a compra de mais de um
aparelho sairia mais em conta, mesmo que antes de os estudantes verem o problema,
consideramos que o questionamento/pergunta esboçada pelo grupo é um subproblema
da questão que agora iremos tratar.
Sobre o comportamento dos estudantes a respeito do primeiro contato com o
problema, eles não apresentaram resistência, não foi configurada uma ruptura do
Contrato Didático (1986, 2008). Entretanto, como havia mais de um questionamento no
problema, foi necessária uma maior atenção dos grupos e alguns questionamentos
surgiram tratando de ter três perguntas, não sendo observado que uma pergunta
derivava da outra.
Assim sendo, sobre as resoluções entregues pelos grupos, observemos a figura
abaixo:

266

Figura 102: Resoluções do problema 4 da tarefa de ambientação

Fonte: Material da pesquisa (2022)

A respeito das resoluções apresentadas, mais uma vez o grupo 1 simplificou o
raciocínio matemático, que implicou na solução errada do problema. Os demais grupos
apresentaram resoluções semelhantes, embora, não mostrassem as multiplicações
feitas baseada nas parcelas da compra em 11x e a soma dos valores do aparelho à
vista. Os grupos 2 e 3 conseguiram separar as respostas para cada questionamento do
problema, valor a prazo em 11x dos dois celulares, a porcentagem da economia se
tivesse realizado o pagamento à vista e o valor dos juros. Para uma maior visualização
do que foi feito no problema, desde a compreensão, interpretação, análise, resultados e

267

reflexão, observemos na figura a seguir para o que foi preenchido nas etapas do Arco
de Maguerez:
Figura 103: Primeira etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema
4

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Na etapa 1, observação da realidade, na qual ocorre a apropriação das
informações, os grupos destacaram analisar as melhores formas de pagamento, parar e
contar (fazer os cálculos) para não ter prejuízos e comprar à vista. A respeito do
tratamento dado ao problema nesta etapa, os grupos destacam que não dá para
realizar a compra de qualquer maneira, sem tratar as informações dadas para empresa
vendedora. Desse modo, os estudantes conseguiram fazer uma análise crítica do
problema exposto e que isso pode interferir na aplicação do conhecimento no

268

cotidiano.Foi possibilitado um momento de reflexão sobre a situação (SILVA; SIQUEIRA
FILHO, 2011).
Avistemos na figura abaixo o que foi preenchido na etapa dos pontos-chave:
Figura 104: Segunda etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema
4

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Em relação à etapa 2, os grupos 1 e 2 conseguiram identificar todos os pontos
que estão sendo investigados no problema – o preço pago nos aparelhos parcelados,
quanto porcento teria economizado com o pagamento à vista e os juros pagos -,
entretanto, o grupo 3 mencionou apenas o preço que ele pagaria comprando e
parcelando os dois celulares. Assim, considerando o que foi pontuado pelos grupos, os
dois primeiros não apresentaram dificuldades quanto à compreensão/representação do
problema (PROENÇA, 2018) e na utilização dos conhecimentos linguísticos (MAYER,
1992).

269

Na figura a seguir esboçamos o que foi preenchido na etapa de Teorização:
Figura 105: Terceira etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema
4

Fonte: Material da pesquisa (2022)

A etapa de teorização trata dos conteúdos matemáticos presentes no problema,
o grupo 1 esboçou porcentagem e juros; o grupo 2 regra de três (variação de
grandezas),

juros

simples,

acréscimos e

decréscimos,

além

das

operações

matemáticas básicas; o grupo 3 não citou juros. Quando ao grupo 1 e 2, eles falaram do
foco do problema, que no caso foi o valor dos juros pagos nos aparelhos em 10x,
representando que conseguiram utilizar os conhecimentos semânticos; o grupo 3 ao
não esboçar a presença do conteúdo de juros, expressa a falta de atenção a
informações importantes na questão e, logo, uma falha na compreensão e interpretação
do problema, assim como foi visto nos estudos de Gonçalves (2015).Não foi apontado
pelos grupos, mais uma vez, sobre os termos matemáticos e não matemáticos e apesar

270

do professor perguntar sobre isso, relataram que já estava presente quando disseram o
que estava sendo investigado.
Na figura seguinte, esboçamos o que foi preenchido na etapa de hipóteses de
solução:
Figura 106: Quarta etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 4

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Na etapa de hipóteses de solução, o grupo 1 destaca que utilizou porcentagem e
o valor dos juros, não conseguiu mencionar o seu planejamento, mostrando apenas um
conteúdo utilizado e um valor utilizado para chegar à solução. Inferimos que o grupo
possui dificuldades para expor a organização mental para resolver problema. O grupo 2
mencionou todas as estratégias utilizadas, destacando que existem outras maneiras
para resolução. O grupo 3 disse que fez passo a passo, mas não especificou como foi.
Para essa etapa, cabe-nos mencionar que o professor enfatizou a necessidade de os
estudantes reverem os seus cálculos, instigando, assim, a verificação/monitoramento

271

da solução (PROENÇA, 2018). O tipo de mente matemática é a lógico-verbal
(PROENÇA, 2018). Os grupos 2 e 3, como visto em suas resoluções, mesmo que o 2
não tenha apresentado dificuldades para dizer como fez para chegar à solução, eles
apresentaram domínio dos conhecimentos procedimentais e racionalidade na
resolução.
Na figura abaixo, mostramos o que foi preenchido na etapa de aplicação à
realidade:
Figura 107: Quinta etapa do arco preenchida pelos grupos a partir do problema 4

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Na última etapa, sobre a aplicação na realidade, foi destacado pelos grupos que
poderia pagar mais pelo que poderia pagar menos, buscar situações nas quais não
pagam juros e pagar o celular à vista. As considerações mencionadas nesta etapa,

272

corroboram com o que foi salientado pelos grupos na etapa 1, inferimos que a partir do
tratamento analítico dos dados e da conclusão que os grupos chegaram, o problema
contribuiu para uma percepção crítica dos estudantes e que além de esboçar um
resultado numérico, eles fizeram o tratamento desse dado e como poderia ser evitado.

5.3.2 Autoavaliação da tarefa de ambientação
Como mostrado em tópicos anteriores, utilizamos uma autoavaliação para a
tarefa de ambientação. Desse modo, vamos mostrar o que foi esboçado pelos
estudantes sobre esse primeiro contato com a proposta aplicada.
Na primeira pergunta da autoavaliação da tarefa de ambientação questionamos
sobre a dificuldade de resolver utilizando o Arco de Maguerez, 10 estudantes afirmaram
ter dificuldades, entre eles, 8 disseram dificuldades parciais; 3 estudantes julgaram não
ter dificuldades. A respeito disso pontuamos a importância desse primeiro momento
com

os

estudantes

para

que

o

desenvolvimento

em

tarefas

posteriores

fossesatisfatório, uma vez que é uma abordagem nova e eles não tinham
conhecimentos.
Assim sendo, tratando ainda do Arco, perguntamos sobre as etapas que
apresentaram dificuldades, 3 estudantes não colocaram nenhuma etapa, 2 estudantes
apontaram os pontos-chave, 4 estudantes a teorização e 4 estudantes a hipóteses de
solução. A respeito dessas etapas, quando tratado dos pontos-chaves, percebemos
que os estudantes conseguiam expor o que estava sendo investigado, no entanto, não
mostravam os termos matemáticos e não matemáticos, o que pode representar uma
dificuldade dos conhecimentos linguísticos e semânticos.
Quanto à teorização, os estudantes precisavam dizer os conteúdos matemáticos
envolvidos no problema, como disseram ter dificuldades, isso mostra que eles não têm
domínio dos conhecimentos semânticos. No que concerne à etapa de aplicação à
realidade, essa percepção já era esperada, pois os grupos não conseguiram expor
como o resultado numérico impacta na realidade, o que representa na realidade.
Assim sendo, ao tratar das dificuldades em identificar os conteúdos matemáticos
em cada problema, foi reafirmado, por 8 estudantes que tiveram e 5 que não tiveram.
Em relação aos problemas que apresentaram mais dificuldades, o problema 4 recebeu

273

8 votos, isso implica dizer que por ele ser uma questão maior e precisar de uma
interpretação mais aguçada, os estudantes não estavam entendendo o que precisava
fazer. Sobre as dificuldades em algum dos conteúdos matemáticos aplicados, os
estudantes destacaram apenas o cálculo de porcentagem.

5.3.3 Jogo de tabuleiro
Após a tarefa de ambientação, que permitiu que os estudantes se
familiarizassem com o que seria tratado de maneira global na aplicação das tarefas da
Sequência Didática, foi aplicado um jogo para saber sobre o que os estudantes
conheciam da Matemática Financeira: os tipos de juros, a variáveis envolvidas no
cálculo de juros, o que é montante, as fórmulas matemáticas para o cálculo de juros
simples e compostos, entre outros.
Durante a aplicação da Sequência Didática, na medida em que os estudantes
apresentavam dificuldades sobre os conteúdos envolvidos, ocorreu a retomada deles.O
jogo aplicado foi nomeado por Tabuleiro de Estudos com a utilização da resolução de
situações-problema. Para o desenvolvimento desta tarefa, foi preciso, mais uma vez
negociação do Contrato Didático (BROUSSEAU, 1986, 2008), sendo colocado pelo
professor que os estudantes se dividiriam em dois grupos, um grupo para cada
tabuleiro. Nesse momento da aula, alguns estudantes justificaram que precisariam se
ausentar, ficando 11 estudantes na aula, a ausência foi dos estudantes 1 e 4.
Para dar embasamento ao jogo, utilizamos uma segunda situação norteadora,
que tratava da liberação de empréstimos pelo Caixa Tem, aplicativo utilizado durante o
período emergencial derivado da Covid-19 para o recebimento do Auxílio Emergencial
disponibilizado pelo Governo Federal. Vejamosno quadro abaixo a situação norteadora:
Quadro 27: Situação norteadora para o segundo momento da aula 1
Caixa Tem libera empréstimos de até R$ 1.000
O Caixa Tem está liberando empréstimos de até R$ 1.000,00 para as pessoas que estão negativadas.
De acordo com a Caixa Econômica Federal, as parcelas de pagamento podem ser parceladas em 18 a
24 vezes. Já as taxas de juros ao mês são de 3,99%.
Crédito Caixa Tem
É um empréstimo destinado aos clientes da Caixa, nos valores entre R$ 300 e R$ 1.000 e com prazo
para pagamento de até 24 meses, disponível para contratação direto pelo aplicativo Caixa Tem, com
jornada 100% digital e simples.

274

Quem pode solicitar?
Segundo o banco, vão poder solicitar o empréstimo, os clientes da Caixa, a partir da liberação para
solicitação e atualização cadastral, que ocorrerá nos períodos indicados no calendário de abertura
escalonada.
Só terá direito ao empréstimo quem for aprovado pela análise de crédito realizada pela a instituição,
automaticamente pelo Caixa Tem. Depois da atualização cadastral e ter o limite disponível para
contrastar. Quem tiver restrição em órgãos de proteção ao crédito como SPC/Serasa, não poderá
solicitar o crédito.
Para quem ainda não é cliente Caixa Tem vai poder abrir sua conta Poupança+, conforme calendário
específico, a partir do dia 8 de novembro de 2021.
Quais são os tipos de empréstimos liberados pelo o aplicativo?
O aplicativo oferece duas modalidades de empréstimos, que podem ser solicitadas automaticamente
pelo Caixa Tem.
Crédito Caixa Tem pessoal: o cliente poderá utilizar para cobrir despesas gerais e pagamentos de
contas, pois esse empréstimo é de livre destinação.
Crédito Caixa Tem para seu negócio: crédito produtivo orientado para despesas com fornecedores,
salário de ajudantes/funcionários, contas de água, luz e aluguel, compra de matérias-primas e
mercadorias para revenda, entre outros.
Fonte: Wrigt (2021)

A partir dessa situação norteadora, diferente do que aconteceu na tarefa de
ambientação, os estudantes realizaram a leitura do material e notamos que já discutiam
ideias acerca do tema tratado, no caso o empréstimo. Observemos a transcrição da
discussão feita pelos estudantes:
Quadro 28: Recorte da transcrição da discussão dos estudantes sobre a segunda
situação norteadora da aula 1
Estudante 7 – Minha mãe disse que se estiver negativado não pode pegar empréstimo.
Estudante 13 – Mas o Caixa Tem liberou.
Estudante 7 – Sem noção pegar um empréstimo para pagar uma dívida.
Estudante 3 – Melhor pegar com um agiota para não pagar juros.
Estudante 13 – Se pegar com um agiota pode pagar com a vida.
Fonte: Material da pesquisa (2022)

Acerca do que foi pontuado pelos estudantes, como aconteceu em uma mesma
aula o tratamento de duas situações norteadoras, nesta não foi preciso a intervenção
do professor para que os estudantes iniciassem a discussão do que estava sendo
tratado. Para essa situação, em específico, não utilizamos a criação de perguntas pelos
estudantes a partir da situação norteadora, uma vez que pensamos ficar cansativo para
eles pois já haviam feito isso com a situação norteadora da tarefa de ambientação.
Consideramos essa situação norteadora importante para o desenvolvimento do jogo,

275

pois a partir dela fizemos perguntas sobre vantagens e desvantagens nos empréstimos,
os juros geralmente utilizados nos empréstimos e porcentagem.
Com isso, a partir do que foi salientado pelos estudantes a partir da situação
norteadora, notamos uma análise reflexiva e crítica sobre o que está sendo tratado e
que isso só foi possível por tratar de algo que os estudantes apresentam uma certa
familiaridade (BERBEL, 2012). Percebemos também o tratamento pelos estudantes de
conhecimentos que eles já possuem das suas vidas, salientamos o fato de o estudante
citar que a mãe falou que quem está negativado não pode fazer empréstimo, não
dedicando atenção que a notícia mostrava que os negativados também poderiam
solicitar no caso específico liberado pelo aplicativo. Em contrapartida, outro estudante
destacou que na situação norteadora foi abordado que podia fazer a solicitação. Sobre
a situação norteadora, esta não apresenta apenas um fim didático, mas um caráter
informacional, sendo possível a partir dela leitura, interpretação, análise e reflexão.
Assim, tratando do jogo em si, as suas regras eram claras, esclarecendo que
seria escolhido pelos jogadores quem iniciaria a partida, também podendo utilizar o
dado para ver quem começaria a partida. Na medida em que o estudante lançava os
dados e chegava ao comando do tabuleiro, ele escolhia um cartão de pergunta e um
outro faria a pergunta se acertasse ou errasse seguiria o comando. Cabe destacar que
cada jogador tinha uma única chance de jogar, acertando ou errando ele seguiria o
comando, e que a vez era do próximo jogador; a cada ciclo concluído tudo se iniciaria
com o lançamento do dado, escolha do cartão, solução oral e comando do tabuleiro.
Sobre as questões do jogo, já esboçamos em tópico anterior, que tratavam da
inflação, dos tipos de juros, das fórmulas de juros, das variáveis envolvidas no cálculo
de juros, sobre que são juros, entre outras situações. Optamos por não mostrar aqui as
perguntas novamente, pois já foram mostradas. Os estudantes ficaram divididos em
quatro grupos, sendo que foram utilizados dois tabuleiros. Observemos na figura abaixo
os estudantes no desenvolvimento do jogo:

276

Figura 108: Estudantes no desenvolvimento do jogo de tabuleiro

Fonte: Material da pesquisa (2022)

A respeito do envolvimento no jogo, os estudantes estavam bem atentos e
curiosos. Não foi apresentado durante o jogo transgressão do Contrato Didático, todos
os estudantes participaram. Entretanto, embora tenha acontecido a participação de
todos, ficaram evidentes as dificuldades em vários fatores, a saber: a estudante 12 não
sabia o que era montante; o estudante 11 não conseguiu calcular mentalmente uma
porcentagem simples, no caso quanto porcento R$ 300,00 representava de R$
1.000,00; de um modo geral tinham dificuldades para justificar as suas respostas; não
sabiam o que era juros compostos (mais a frente, notaremos que isso teve interferência
na resolução de alguns problemas); quando se tratava de uma pergunta maior, era
necessária a repetição da leitura pelo colega e os estudantes também mostraram
resistência para esse tipo de pergunta.
Além disso, cabe mencionar que as perguntas se repetiam, no entanto, os
estudantes mesmo notando esse fator, não utilizaram como estratégia para melhorar os
seus argumentos e tentar montar uma resposta para a questão que havia errado
primeiramente. A aplicação do jogo permitiu uma visão do que seria preciso a
intervenção do professor em momento futuros, como vocês verão em tópico seguintes,
no cálculo de juros compostos.
É relevante mencionar, que logo após a aplicação do Questionário a Priori, como
foi salientado, percebendo que os estudantes tinham dificuldades no cálculo de
porcentagem de acordo com as suas respostas, houve a intervenção do professor

277

explicando de qual maneira poderiam fazer os cálculos. No que se trata dos Juros
Simples

e

Compostos,

também

ocorreram

intervenções

do

professor

no

desenvolvimento das aulas, na medida em que os estudantes apresentavam
dificuldades.
À vista disso, é importante salientar que não aplicamos o jogo antes da tarefa de
ambientação, porque tratamos de problemas mais simples na tarefa de ambientação e
eles precisavam desse primeiro contato com o Arco de Maguerez, instrumento que foi
muito utilizado nas demais aulas. Também pode ser observado que na tarefa de
ambientação, não tratamos de questões mais complexas referentes à Matemática
Financeira, por exemplo, o cálculo de Juros Compostos.
Ademais, no jogo de tabuleiro, optamos por não solicitar o preenchimento do
Arco pelos estudantes, uma vez que isso já tinha acontecido em quatro problemas na
tarefa de ambientação e que as perguntas dos cartões tinham vieses diferentes,
algumas bastantes objetivas - que são juros, capital e montante – e que algumas
etapas do Arco não seriam contempladas, a exemplo a de hipóteses de solução.

5.3.4 Autoavaliação do jogo
Como já exposto foram utilizados dois tipos de autoavaliação em cada aula,
entretanto, como a primeira aula foi dividida em dois momentos diferentes, a tarefa de
ambientação precisou de uma autoavaliação, o jogo uma outra e a autoavaliação dos
aspectos gerais da aula, totalizando, assim, três autoavaliações para essa primeira
aula.
Na autoavaliação a respeito do jogo, consideramos apenas três perguntas: a
dificuldade de identificação dos conteúdos matemáticos no jogo; a percepção do jogo;
dificuldades em algum dos conteúdos matemáticos contemplados no jogo. Como nesse
segundo momento da aula tínhamos 11 estudantes, 9 deles destacaram dificuldades
parciais em identificar os conteúdos matemáticos dos jogos e 2 deles apresentaram não
ter dificuldades. Pontuamos que isso foi algo melhorado durante o desenvolvimento das
tarefas e que contribuiu para o desenvolvimento dos conhecimentos linguísticos e
semânticos (MAYER, 1992).

278

Na percepção do jogo, 2 estudantes mencionaram que o jogo é difícil, 1
estudante que o jogo é fácil e 8 estudantes que jogo é mediano, destacando que exigia
que eles pensassem e por isso se tornou difícil, isto é, eles demonstram desinteresse
por coisas que os façam pensar, mas vimos que isso também foi melhorado.
Sobre as dificuldades nos conteúdos matemáticos presentes no jogo,
destacaram porcentagem, as variáveis envolvidas no cálculo de juros simples e
compostos e dificuldade na compreensão das questões perguntadas por outros
colegas. Esse contato dos estudantes com o jogo e suas percepções, permitiu uma
visão do pesquisador a respeito de quais momentos seria necessária sua intervenção e
a sua mediação.

5.3.5 Autoavaliação dos aspectos gerais da aula
Agora iremos tratar das percepções gerais da aula. Como mencionado a aula 1
começou com 13 estudantes no primeiro momento, entretanto, no segundo momento
tivemos 11 estudantes, visto que alguns precisaram se ausentar. Assim, para ter uma
visão geral das percepções dos alunos, a autoavaliação 2 foi aplicada para os
estudantes que estavam no segundo momento da aula e aqueles que não estavam
presentes responderam posteriormente. Comum a todas as aulas, a autoavaliação 2
continha 11 questões, que tratavam desde a aprendizagem dos estudantes, a
linguagem dos problemas, a mediação do professor, a utilização do Arco, entre outras.
Desse modo, ao tratar sobre o desenvolvimento na aula e na resolução dos
problemas das tarefas propostas, 12 estudantes destacaram que ocorreram
dificuldades, mas que foram sanadas e 1 estudante que não houve dificuldades. Os
estudantes apresentaram consciência em relação ao primeiro contato com as
abordagens utilizadas, mas que contribuiu para que eles conseguissem realizar as suas
tarefas.
A respeito da compreensão dos conteúdos abordados em aula, 9 estudantes
mencionaram dificuldades, mas que foram sanadas diante da intervenção do professor
explicando como poderiam realizar algumas operações, entre elas, o cálculo de
porcentagem que foi uma dificuldade expressa desde o Questionário a Priori; e 4 que
não apresentaram dificuldades. Sobre o aprendizado na aula, todos aludiram ter

279

aprendido, sendo divididos em razoavelmente e bastante, sobre isso destacamos que
essa percepção dos estudantes se deu ao fato de terem apresentado dificuldades em
alguns momentos e que com a ajuda dos colegas e a mediação do professor contribuiu
para a compreensão dos conteúdos que dizem respeito a Matemática Financeira e a
sua aplicabilidade cotidiana.
No que tange aos problemas, 8 estudantes expuseram que o nível estava
adequado e 5 estudantes que estava mediano. A respeito dos problemas mencionamos
a nossa preocupação em levar situações considerando o grau de instrução do grupo e
como o professor fazia parte daquela cultura, foi determinante para isso. No que
concerne à linguagem utilizada nos problemas, 10 estudantes afirmaram ter
dificuldades, mas depois a compreender e 3 estudantes que não tiveram dificuldades. A
linguagem é algo essencial no tratamento dos problemas, pois se estiver muito distante
do entendimento dos estudantes, interfere na resolução dos problemas e no seu ponto
de vista sobre eles.
Na utilização do Arco de Maguerez, 2 estudantes mencionaram ter dificuldades
para seguir e preencher, 4 estudantes que não sentiram dificuldades para seguir e
preencher, 4 estudantes que apresentaram dificuldades para seguir, mas não para
preencher, 3 estudantes que apresentaram dificuldades só para preencher. Cabe
destacar que sobre esse ponto, foi observado que os estudantes não estavam seguindo
o Arco para resolver os problemas, mas que faziam o seu preenchimento só após a
resolução dos problemas o que pode ter desencadeado essas percepções.Sobre a
resolução dos problemas, 4 estudantes esboçaram sentir dificuldades nas operações
necessárias e o restante que não apresentou. Cabe salientar que as operações são de
extrema importância na resolução dos problemas, necessitando de articulação por parte
dos resolvedores.
Sobre a comunicação entre o professor e os colegas, todos expuseram que
conseguiram pensar de maneira crítica e expor as suas ideias, isso ficou bem evidente
durante o tratamento das situações norteadoras e a resolução dos problemas. Todos os
estudantes consideraram a aula como satisfatória, ao tratar da maneira como o
professor conduziu a aula, fazendo a mediação e questionamentos. Sobre isso, é
importante salientar que o professor precisa assumir o seu papel como mediador e

280

organizador das situações de ensino e aprendizagem, mas não como alguém que
facilita as tarefas dos estudantes.
No que concerne ao desempenho dos estudantes na aula, 3 estudantes
pontuaram que foi excelente, que realizaram as tarefas e acertaram a resolução dos
problemas; 5 estudantes consideraram a aula ótima, que apresentaram dificuldades,
mas que conseguiram resolver os problemas e acertar; 5 estudantes apontaram que a
aula foi boa, realizaram as tarefas propostas, com bastante dificuldades, mas que
conseguiram acertar a maioria dos problemas. As percepções sobre a aula são
bastante positivas e isso faz-nos pensar sobre a diversificação de abordagens para o
trabalho com os conteúdos.
Nas considerações sobre a aula e o que os estudantes mais gostaram os pontos
destacados foram: o gostar da interação entre professores e colegas; a aula objetiva e
de grande aprendizado; o gostar dos temas abordados; o precisar do conhecimento
construído; o gostar de saber dos fatos da realidade; o quanto foi gratificante ouvir as
ideias e opiniões dos colegas. Assim, com essas percepções percebemos a importância
de problematizar a realidade (BERBEL, 2012) e considerar o contexto dos estudantes
para a aplicação do conhecimento matemático.
Abordar sobre conteúdos matemáticos e a resolução de problemas com a
utilização do Arco de Maguerez permite aos estudantes uma outra visão sobre a
Matemática e a sua funcionalidade na vida de um modo geral e não podemos
considerar a escola como um espaço à parte da vida social dos envolvidos, mas que é
preciso essa articulação entre espaço escolar e o que se vive para que seja feito
explorações e sistematizações a respeito do que é estudado (ALVARENGA; VALE,
2007).
Ademais, consideramos que as elucidações a respeito da aula 1 são suficientes
para o estudo e que a seguir trataremos da aula 2.

5.4Resultados e discussõesda aula 2
Na aula 2, com o intuito de recordar o que foi abordado na aula 1, o professor
iniciou questionando sobre as situações norteadoras discutidas, utilizando para isso a

281

pergunta do tipo de inquirição (MENEZES, 1995), dado que buscou obter mais
informações dos estudantes. Observemos a transcrição desse momento inicial:
Quadro 29: Recorte da transcrição do momento inicial da aula 2
Professor – Estudantes, lembram sobre o que tratamos na aula anterior?
Estudante 3 – A aula da compra do celular, professor?
Estudante – Sim, o que investigamos na aula?
Estudante 2 – Teve o problema do parcelamento, como era mais vantajoso fazer a compra...
Fonte: Material da pesquisa (2022)

Esse momento inicial reflete sobre a articulação entres as aulas e o aprendizado
a curto e longo tempo, e que a mediação do professor contribui para a construção de
novos conhecimentos (MASETTO, 2000). Percebe-se que diante das falas dos
estudantes, o foco ficou na situação norteadora inicial, a da tarefa de ambientação, e
isso pode ser derivado da quantidade de problemas trabalhados, ou seja, o tempo
dedicado para o tratamento da situação. Destacamos que no momento o professor
contribuiu para o pensar dos estudantes e a busca por conhecimentos construídos que
vão além de um resultado numérico, perfazendo a leitura, interpretação, análise,
resultados, discussão e reflexão sobre as situações investigadas.
Assim sendo, as ações do professor e dos estudantes evidenciam as regras
implícitas do Contrato Didático (BROUSSEAU, 1989), derivadas por meio de perguntas
e respostas, na qual as funções de cada integrante da situação didática ficaram em
evidência: o professor questiona, busca informações dos alunos; os alunos, respondem
e esboçam o que guardaram daquela aula. Destacamos sobre isso, o que foi pontuado
por Pais (2002), que o Contrato Didático se configura como as obrigações imediatas e
recíprocas que são estabelecidas entre professor e aluno.
Nesse sentido, agora tratando da organização para a aula 2 em si, foi iniciada a
negociação do Contrato Didático, observemos a transcrição desse momento:
Quadro 30: Recorte da transcrição do momento de negociação da aula 2
Professor – Estudantes, para a aula de hoje, novamente vocês se organizarão em grupos.
Estudante 7 – É obrigatório ser o mesmo da aula anterior?
Professor – Vocês que decidem.
Professor – Será entregue uma situação norteadora, espaço para perguntas, resolução e o Arco de
Maguerez para preenchimento.
Fonte: Material da pesquisa (2022)

282

Sobre esse momento, ficaram em evidência as regras explícitas do Contrato
Didático (BROUSSEAU, 1986, 2008): tarefas em grupo e organização da tarefa. A
respeito das falas dos estudantes, apesar da formação dos grupos anteriores terem
contribuído para a resolução dos problemas, observa-se que os estudantes tinham um
bom relacionamento com os demais colegas e que eles estavam livres para a maneira
como se organizariam, e que essa organização pode propiciar a descoberta de novos
conhecimentos (MARTINHO, 2007). Com isso, destacamos que nessa aula, 12
estudantes estavam presentes e que a estudante 7 justificou suas faltas. Para mais, os
grupos foram organizados da seguinte maneira: grupo 1 – Estudantes 1, 3, 4 e 12;
grupo 2 – Estudantes 2, 5, 6 e 13; grupo 3 – Estudantes 8, 9, 10 e 11.
Observemosno quadro a seguir a situação norteadora da aula 2:
Quadro 31: Situação norteadora da aula 2
Inflação rompe teto e é a maior em seis anos

Arte: CB
A inflação terminou 2021 com variação acima de 10% pela primeira vez desde 2015, corroendo a renda e o poder
de compra da população. Segundo o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE), o Índice de Preços ao
Consumidor Amplo (IPCA), subiu 0,73% em dezembro, acima das estimativas do mercado, resultando em uma
variação de 10,06% no acumulado do ano. Isso significa que, em cada R$ 1 mil de salário do trabalhador, R$ 100
foram engolidos pelo dragão da inflação ao longo de 2021.
Todos os nove grupos pesquisados pelo IBGE registraram aumento de preços, com destaque para o de transportes,
que acumulou alta de 21,03% no ano e foi responsável por 41,2% da variação do IPCA. A gasolina e o etanol
tiveram altas de 47,49% e de 62,23%, respectivamente.
A variação anual do indicador superou a taxa de 4,52% de 2020 e o teto da meta de inflação de 2021, de 5,25%.
Outro vilão foi a energia elétrica residencial, que acumulou elevação de 21,21%, por conta da estiagem e do uso
das usinas térmicas. "Boa parte dessa alta do IPCA foi explicada pelos aumentos dos preços da energia elétrica e
dos combustíveis. Eles responderam por cerca de 50% da inflação acumulada no índice no ano passado", explicou
André Braz, coordenador dos Índices de Preços do Instituto Brasileiro de Economia da Fundação Getulio Vargas
(FGV Ibre).
Na avaliação de Braz, a desvalorização do real perante o dólar, de 7%, também teve impacto na inflação, assim
como os problemas na safra devido à crise hídrica. Ele ressaltou que a quebra da safra da cana de açúcar ajudou os
preços do açúcar e do etanol subirem. O café moído, por conta das geadas em julho, registrou alta de 50,24%, em
2021.
Fonte: Hessel (2022)

283

Sobre a situação, ela trata da inflação e os estudantes a partir dela teriam que
criar perguntas/questionamentos. Sobre o primeiro contato com a situação, como os
estudantes já estavam habituados com o tipo de tarefa, já que aconteceu o momento de
ambientação na aula 1, começaram a discutir sobre as perguntas que poderiam ser
criadas, apresentando cada um os seus pontos de vista sobre o tema (SILVA; FEIL,
2020). Assim sendo, notamos que após o comando inicial e a entrega do material eles
estavam lendo a situação e que diferente da primeira aula não esperaram um
comando/explicação para iniciar as suas tarefas, o que caracteriza um avanço em
relação à aula 1 e que os hábitos dos alunos podem ser mudados considerando um
processo de tarefas nas quais estão inseridos.Vejamos na figura seguinte os grupos no
momento de leitura da aula 2:
Figura 109: Momento de leitura da situação norteadora da aula 2

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Com intuito de contribuir com esse momento de leitura, análise e reflexão, o
professor buscou instigá-los por meio de questionamentos. Observemos a transcrição
do questionamento feito pelo professor:
Quadro 32: Recorte da transcrição do questionamento feito pelo professor no
primeiro contato dos estudantes com a situação norteadora da aula 2
Professor – O que entenderam da notícia?
Grupo 2
Estudante 6 – Que o custo das coisas hoje está mais caro que antes...
Estudante 2 – E a gasolina que teve um aumento grande, poderia ser utilizado carros movidos a
energia, eu vi que já existem, daí economizaria.
Estudante 12 – Mas tem que pensar no preço da energia, porque se os carros forem recarregados à
bateria, vai aumentar o preço e também tem a questão dos reservatórios de água.
Estudante 2 – Mas se for utilizado a energia solar?

284

Grupo 3
Estudante 9 – Essa inflação aumenta tudo, o arroz, o óleo quase 10 conto.
Grupo 1
Estudante 3 – A cada dia as coisas mais caras, agora a gente consegue entender como funciona.
Fonte: Material da pesquisa (2022)

Sobre esse primeiro momento, considerando que perguntar é algo essencial para
que os estudantes exponham suas visões sobre o que está sendo tratado, pontuamos
que a ação comunicativa exige a partilha de reflexões e que cada sujeito pode ser o
responsável pela construção da sua aprendizagem baseado em atos comunicacionais
(SILVA; GASPARIN, 2006).
Percebemos que os grupos não apresentaram resistência em responder os
questionamentos, uma vez que estavam mais habituados com a dinâmica das tarefas.
Chamamos uma atenção especial para o grupo 2, que discutiudiferentes pontos de
vista sobre o tema (SILVA; FEIL, 2020), tratandoda gasolina, tipos de energia,
desperdício e gastos. Podemos também dizer que diante dos posicionamentos do
grupo 2, eles estavam procurando respostas para as suas próprias perguntas e que
buscaram justificativas com o intuito de transformar a sociedade (BERBEL, 2012).
Para mais,esse questionamento inicial contribuiu para a permanência do
Contrato Didático negociado, não sendo apresentado nenhumaruptura (BROUSSEAU,
1986) e que essa discussão vai contra o efeito do Contrato Didático chamado de
Jourdain, no qual se evita debate de conhecimentos. Assim, os estudantes seguiram
para a elaboração de suas perguntas que consideraram a situação norteadora, vejamos
na figura abaixo as perguntas expostas pelos grupos:

285

Figura 110: Perguntas/questionamentos elaboradas a partir da situação
norteadora da aula 2

Fonte: Material da pesquisa (2022)

A respeito das perguntas criadas pelos grupos, o grupo 1 e o 2 apresentam
maior adequação em relação ao que está sendo abordado na situação norteadora,
entretanto, não consideramos que as perguntas do grupo 3 não se adequem à situação,
mas que os integrantes do grupo apresentam uma certa dificuldade na articulação de
ideias.

286

A respeito do grupo 2, nota-se que o que foi discutido quando o professor
questionou a respeito do que tratava a situação norteadora ficou ainda mais em
evidência e que o relacionamento interpessoal, em que os diversos estudantes do
grupo expuseram o seu pensamento de maneira oralizada(visto em quadro anterior),
serviu para que eles chegassem a um consenso do que adicionar como perguntas
(HABERMAS, 1988). Na exposição sobre o carro elétrico pelo grupo 2, eles não
consideraram apenas os gastos com a gasolina que seriam evitados, mas que esse tipo
de automóvel pode ter um custo maior e que nem todos podem ter condições de
possuírem e sobre isso destacamos a Educação como um lugar de formação de
sujeitos críticos (BORDENAVE; PEREIRA, 2015).
Por esse viés, baseado nessa situação norteadora, dois problemas foram
entregues para os grupos, para que assim os analisassem, refletissem e encontrassem
suas soluções. Vejamos o problema 1 na figura abaixo:
Figura 111: Problema matemático 1 da aula 2

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

A respeito do problema 1, tratamos ele como problema de aplicação, uma vez
que requer análise, recolhimento de dados e tomadas de decisão em busca da
solução(CHARLES; LESTER, 1986). Com isso, tratando-se da resolução do problema
em si, diferente da aula 1 na qual os alunos primeiramente responderam os problemas
para depois preencherem as etapas do Arco de Maguerez, notamos que os estudantes

287

estavam realizando suas tarefas seguindo as etapas do Arco e que isso muda o modo
como vamos expor aqui as suas análises, isto é, na aula anterior primeiramente
expomos a resolução do problema para depois tratar das etapas do arco e nesta iremos
tratar das duas em conjunto.
Vale salientar que isso não foi uma regra criada pelo professor, mas que os
alunos notaram que o Arco de Maguerezpode ser usado como guia para a resolução.
Além disso, ainda pontuamos que o intuito do Arco de Maguereznão foi facilitar as
resoluções pelos estudantes, pois isso configuraria um efeito do Contrato Didático
(BROUSSEAU, 1986), dado que alguns efeitos do Contrato Didático são vistos quando
o professor tende a facilitar a tarefa dos estudantes ou os direciona para a resposta de
um problema proposto, sem deixá-los agir de maneira ativa; mas, que eles poderiam ter
uma compreensão maior do que estava sendo tratado, visto o cenário abordado em
cada questão. Assim, vejamos o que foi apresentado pelos grupos nas etapas do arco
na figura a seguir:
Figura 112: Primeira etapa do arco preenchida de acordo com o problema 1 da
aula 2

Fonte: Material da pesquisa (2022)

A respeito da etapa inicial, pontuamos que o seu tratamento a respeito da coleta
das informações e análise crítica da realidade, pode interferir de maneira positiva na
segunda etapa e consequentemente na compreensão/representação do problema
matemático (PROENÇA, 2018), pois como afirma Berbel (2012) esse será o momento
de apropriação de informações.

288

Ao observar o que os estudantes pontuaram, chama-nos a atenção para os
grupos 1 e 2, pois enfatizaram que o aumento da inflação reflete de maneira direta na
vida das pessoas. A partir disso, mesmo o problema trazendo uma questão sobre a
gasolina, os alunos podem considerar outros produtos para exporem essas ideias. O
grupo 3, abordou a questão dos impostos e que quem recebe um salário mínimo vive
para pagá-los, isso mostra que os estudantes têm consciência que um salário mínimo é
pouco para viver nos dias atuais. Essas ponderações refletem sobre a ligação entre a
realidade e a sala de aula através da Resolução de Problemas (ALVARENGA; VALE,
2007) e que por meio dessas observações dos alunos podemos considerar a
tarefa/questão com um alto grau de realidade, sendo uma tarefa autêntica da
Resolução de Problemas (CHAMBERLIM, 2010).
Vejamos o que foi apresentado na etapa dos pontos-chave na figura a seguir:
Figura 113: Segunda etapa do arco preenchida de acordo com o problema 1 da
aula 2

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Na etapa 2, quando se trata do que está sendo investigado, todos os grupos
apontaram de maneira correta sobre o que se tratava, no entanto, apenas o grupo 3
deixou em evidência os conceitos matemáticos e não-matemáticos envolvidos no
problema. Cabe salientar que os demais também mencionaram, entretanto, no decorrer
da exposição do que estava sendo investigado no problema, não especificaram o que
cada conceito trata. Ainda sobre o grupo 3, eles mencionam que o aumento da inflação
reflete no aumento da pobreza, uma vez que quem vive com um salário mínimo não
compra o que precisa por falta de dinheiro.

289

Nesse momento de compreensão/representação do problema, o professor
sempre buscou questionar se os grupos possuíam dúvidas. Assim sendo, mencionamos
que o enunciado possui termos matemáticos e não matemáticos que foram entendidos
pelos estudantes e que os conhecimentos linguísticos e semânticos dos estudantes
foram fatores determinantes para isso (MAYER, 1992) e o fato deles quererem resolver
a situação também contribuiu, não sendo visto uma dificuldade na etapa de
representação.

Podemos

tratar

ainda

que

o

problema

em

discussãoestava

compreensível para todos, ao considerar a Teoria do Discurso Pedagógico
(BERNSTEIN, 1996), que retrata da adequação as situações de ensino e aprendizagem
para a maioria dos estudantes.
Vejamos na figura a seguir o que foi preenchido na etapa de teorização:
Figura 114: Terceira etapa do arco preenchida de acordo com o problema 1 da
aula 2

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Na etapa de Teorização, em que tratamos do conteúdo matemático presente no
problema, suas propriedades e símbolos, os estudantes destacam regra de três, isso
pode configurar queentendem ela como conteúdo matemático e não como uma
estratégia para a solução de problemas. No entanto, através dessa exposição podemos
dizer que os estudantes trabalharam com variação de grandezas. Para mais,
mencionaram porcentagem e as operações matemáticas básicas. Diante disso,
pontuamos que os grupos apresentaram dificuldades em exporem os conhecimentos

290

esquemáticos, uma vez que não trataram da variação de grandezas, sempre colocando
como regra de três.
A respeito dos símbolos matemáticos, consideramos um avanço todos os grupos
exporem o símbolo de porcentagem e das operações matemáticas, algo não visto em
todos os grupos na aula anterior, o que pode ser derivado da mudança na composição
dos grupos, do relacionamento interpessoal e da ação comunicativa entre outros pares
(HABERMAS, 1988).
Na figura a seguir esboçamos o que foi preenchido na etapa de Hipóteses de
Solução:
Figura 115: Quarta etapa do arco preenchida de acordo com o problema 1 da aula
2

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Na etapa de hipóteses de solução, que trata da maneira que pode se resolver o
problema, os grupos 1 e 2 mencionaram as estratégias que podem ser utilizadas –
regra de três, porcentagem, divisão, multiplicação -, no entanto, o grupo 3 pode não ter
entendido o solicitado, o que fez com que, o professor intervisse com um
questionamento utilizando a pergunta do tipo meta, pela qual solicitou que os
estudantes explicassem melhor a maneira que resolveram o problema, sendo
respondido pelo Estudante 9 “foi assim que a gente fez”e releu o que tinha escrito.
Sobre essa ação, como foi algo que já havia sido trabalhado na aula anterior, o
professor não esperava que isso aconteceria, sendo visto como uma ruptura do
Contrato Didático (1986) e uma renegociação por meio do questionamento. Podemos
destacar também que o grupo 3 apresenta dificuldades para descrever o conhecimento

291

estratégico. Nessa etapa, cabe-nos mostrar a solução entregue pelos grupos, pois
assim será pertinente analisar se as estratégias ditas por eles foram utilizadas. Vejamos
a figura abaixo com as resoluções dos problemas:
Figura 116: Resolução do problema 1 da aula 2

Fonte: Material da pesquisa (2022)

292

A respeito das resoluções, mesmo o grupo 3 não sabendo explicar somo
sucedeu sua resolução, ela está correta e com uma configuração parecida com as
demais. Na resolução do grupo 1 é perceptível que os estudantes separaram as
informações da questão, o que representa a organização dos dados para solução,
destacando o valor da gasolina no início e no final de 2021. Os demais grupos não
apresentam nos seus cálculos os valores da gasolina final e inicial, tampouco,
mostraram como chegaram ao valor em dinheiro de 100 litros de gasolina, inferimos
que podem ter utilizado anotações em outros materiais e que pode também ter
abreviado o raciocínio do problema (PROENÇA, 2018). Todos os grupos expuseram a
porcentagem do gasto da gasolina noinício e no final do ano de 2021 pelo trabalhador,
entretanto, o grupo 1 não colocou o símbolo de porcentagem.
Com isso, ainda destacamos que no problema tinha um questionamento sobre o
aumento da inflação apresentar desconforto para o bolso do trabalhador e todos os
grupos destacaram que sim, o que pode ser representado diante da capacidade deles
para gerenciar informações (BRASIL, 1997).
Cabe salientar que o professor não disse se os resultados dos estudantes
estavam errados ou certos, mas que os questionou, por meio das pergunta de
inquirição, para obter mais informações, se eles acreditavam que o resultado estava
certo, o que fez com que eles observassem os seus cálculos desde o início até à
solução do problema e que essa verificação permitiu que os grupos 1 e 3 expusessem
de maneira escrita (explicando) o valor da porcentagem para dos dois momentos, isso
pode configurar como uma reafirmação do resultado encontrado.
Na figura abaixo tratamos do que foi preenchido na etapa de aplicação à
realidade:

293

Figura 117: Quinta etapa do arco preenchida de acordo com o problema 1 da aula
2

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Na última etapa do Arco de Maguerez, a respeito da implicância do resultado
numérico do problema na realidade, foi destacado o crescimento financeiro
pessoalprejudicado pelo alto preço das mercadorias e que, as pessoas vivendo com um
salário mínimo, podem passar fome com a cobrança de impostos. Depreendemos que o
problema permitiu uma reflexão crítica sobre a realidade, contribuindo para as
habilidades de aprendizagem – criatividade, liderança, informacional (SZABO et al.,
2020).
Assim sendo, partimos agora para o tratamento de dados e discussão do
problema 2 da aula 2. Vejamos a figura abaixo com o problema:
Figura 118: Problema 2 da aula 2

Fonte: elaborado pelo autor da dissertação (2022)

294

Também configuramos o problema em questão de aplicação e puzzle, visto que
precisa de análise, recolhimento de dados, tomada de decisão. Para o problema, os
estudantes seguiram as mesmas regras do anterior, preenchendo o arco na medida em
que iam fazendo a leitura.
Destarte, iremos analisar as etapas do Arco, casando com a solução exposta do
problema. Inicialmente, cabe-nos tratar que como os estudantes já tinham respondido o
problema 1, a fala do Estudante 12 “professor, ajude nessa”chamou a atenção, uma
vez que poderia querer a resposta pelo professor e assim configurar o Efeito Topázio
do Contrato Didático (BROUSSEAU, 1986).Nesse momento, o professor não cedeu
resposta, portanto, houve uma fuga do Efeito Topázio.
No estudo realizado por Arruda (2018) o Efeito Topázio foi recorrente, uma vez
que o professor antecipava as respostas das questões com dicas e palavras-chave,
para que assim os alunos respondessem corretamente e evitasse “fracasso”.
Observa na figura abaixo o que foi preenchido na etapa de observação da
realidade do Arco:
Figura 119: Primeira etapa do arco preenchida de acordo com o problema 2 da
aula 2

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Para iniciar, o professor questionou sobre a compreensão do problema, o que
interfere nas etapas do Arco e todos os grupos expuseram que entenderam. Com isso,
tratando-se da etapa um, observação da realidade, apesar do problema ser baseado na
mesma situação norteadora do anterior, as percepções dos estudantes mostram o

295

entendimento sobre o tema abordado de um modo geral e o que está sendo tratado no
problema em si. Nela também dá para notar que o conhecimento linguístico dos
estudantes é aguçado e que eles se apropriam das informações do problema de um
modo muito singular, uma vez que tecem suas reflexões sobre ele considerando o que
está sendo tratado, no caso o dinheiro destinado à compra do arroz após o aumento,
possibilitando uma reflexão ampla (SILVA; SIQUEIRA FILHO, 2011) e o pensamento
criativo (MAHARANI, 2014).
Na figura abaixo apresentamos o que preenchido na etapa de Observação da
Realidade:
Figura 120: Segunda etapa do arco preenchida de acordo com o problema 2 da
aula 2

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Na etapa dos pontos-chave, os grupos mencionam o que estava sendo
investigado, destacando o preço do arroz devido ao aumento da inflação. Ao tratar dos
conceitos matemáticos e não matemáticos envolvidos, novamente merece destaque o
grupo 3, que mencionou o aumento da pobreza e desigualdade social. Entretanto, de
maneira geral todos os grupos trataram do preço. Com o grupo 1, assim como fez no
problema 1, estava expondo as situações de maneira muito sucinta, o professor
questionou se eles observavam algo a mais além do que está exposto, sendo
mencionado pelo Estudante 1 que acham que o exposto era suficiente.
Avistemos na figura abaixo a seguir o que foi preenchido na etapa de
Teorização:

296

Figura 121: Terceira etapa do arco preenchida de acordo com o problema 2 da
aula 2

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Sobre a etapa de teorização, todos os grupos destacam a porcentagem e as
operações matemáticas básicas, entretanto, o grupo 1 não colocou os símbolos
matemáticos. Cabe salientar, que o foco do problema estava no tratamento do aumento
sobre o preço do arroz e na variação entre grandezas, e isso não foi salientado pelos
grupos, o que pode representar uma falha dos conhecimentos semânticos (MAYER,
1992). Cabe salientar que os conhecimentos semânticos podem ser vistos na etapa de
representação da Resolução de Problemas, assim, configuramos, mais uma vez,
dificuldades dos estudantes na compreensão do problema e corroboramos com as
pesquisas de Melo (2015).
Vejamos na figura a seguir o que foi preenchido na etapa de hipóteses de
solução:
Figura 122: Quarta etapa do arco preenchida de acordo com o problema 2 da aula
2

Fonte: Material da pesquisa (2022)

297

Na etapa de hipóteses de solução, percebemos um avanço em relação ao grupo
3, que conseguiu expor de maneira eficaz sobre como pode resolver o problema,
destacando interpretação do problema, separação dos dados, o que pode ter
acontecido em função do hábito com a questão. O grupo 2 mencionou as estratégias
utilizadas, regra de três e as quatro operações. Para um maior detalhamento dessa
etapa, observemos na figura a seguir as resoluções entregues pelos estudantes:
Figura 123: Respostas do problema 2 da aula 2

Fonte: Material da pesquisa (2022)

O grupo 1, mesmo sendo sucinto em descrever como realizou o problema,
tratando das etapas do Arco, percebemos que organizou os seus cálculos de maneira
detalhada, separou os dados da questão, fez o valor total do arroz, após isso calculou o
aumento do arroz considerando os 40% utilizando regra de três, fez a soma do valor
aumentado ao quilo de arroz e por fim calculou o seu gasto total.
Sobre as estratégias utilizadas pelos três grupos, notamos que a utilização da
regra de três é bem recorrente, o que pode interferir no não conhecimento dos

298

estudantes de outras maneiras para o cálculo de porcentagem, em que foi precisa a
intervenção do professor para mostrar outras maneiras e que outras maneiras já haviam
sido apresentadas na aula inicial. Além disso, cabe destacar que os grupos
conseguiram planejar com a utilização dos conhecimentos estratégicos, que o tipo de
mente é lógico-verbal, que não abreviaram o processo de raciocínio matemático, que
conseguiram executar as estratégias propostas, fazer os cálculos matemáticos
necessários e que, os indivíduos dos grupos atuaram em conjunto (PROENÇA, 2018).
Vejamos o que o foi preenchido na etapa de aplicação à realidade na figura
seguinte:
Figura 124: Última etapa do arco preenchida de acordo com o problema 2 da aula
2

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Na última etapa do Arco, que se refere à aplicação à realidade, o grupo 1
destacou que o resultado numérico encontrado no problema impacta em um maior
gasto para o consumidor, os demais destacaram, de um modo geral, os desconfortos
que a inflação traz na vida do cidadão. A partir de todas as etapas do Arco e esboçadas
as ideias dos estudantes, notamos a contribuição do processo de leitura,
análise,partilha de ideias, tratamento de dados, produção, resultado e reflexão, uma vez
que desde a etapa inicial até a última do Arco de Maguerez, os estudantes já
apresentavam suas ideias a respeito do aumento do arroz e o desconforto para o bolso
do consumidor.

299

Assim, pontuamos que na aula de um modo geral, sendo tratados os dois
problemas, as funções claras do professor e dos estudantes, as tentativas de fuga dos
efeitos do Contrato Didático já expostos na literatura, as regras de contrato diferentes
das que já vem sendo pontuadas, em que o professor é que faz sempre a exposição do
conteúdo, contribuiu para a ressignificação de saberes e que isso pode ser reafirmado
diante das suas percepções sobre a aula ao responderem as autoavaliações.

5.4.1 Autoavaliação 1 da aula 2
Primeiro vamos tratar da autoavaliação 1, uma vez que ela aborda aspectos mais
singulares da aula, para em seguida tratar da autoavaliação 2, que engloba aspectos
mais gerais.
Na primeira questão,perguntamos a respeito das dificuldades na resolução dos
problemas utilizando a Arco de Maguerez, sendo que9 dos estudantes afirmaram que
não apresentaram dificuldades em resolver os problemas utilizando o Arco e sobre isso
destacamos o modo como eles utilizaram como já mencionado, o que representa um
avanço em relação à aula 1; 3 estudantes destacaram dificuldades parciais.
Na segunda questão, tratamos das etapas do Arco que os estudantes
apresentaram dificuldades, 9 estudantes disseram não ter dificuldades,2 estudantes
apontaram a etapa de aplicação à realidade e 1 estudante na etapa de hipóteses de
solução. Mesmo a maioria salientando que não apresentaram dificuldades, os que
apresentaram dificuldades corroboram com o que discutimos a respeito em parágrafos
anteriores, principalmente no que diz respeito à etapa de hipóteses de solução, a qual
muitos estudantes não conseguiram descrever as estratégias utilizadas para resolver os
problemas: esperávamos que eles descrevessem como fizeram para resolver o
problema e quais os meios utilizaram para tal – montar uma tabela, criar uma figura,
entre outros.
A respeito da aplicação na realidade, julgamos que foi colocado que
apresentaram dificuldades, pois os estudantes, muitas vezes, não têm o hábito de tratar
os problemas sob um viés reflexivo e crítico, diferente da proposta que aqui foi aplicada,
já que na maioria das vezes os professores pedem que eles encontrem apenas um
resultado para a questão colocada.

300

Na questão 3, sobre a percepção dos conteúdos matemáticos nos problemas, 10
estudantes destacaram não ter apresentado dificuldades em identificar os conteúdos
matemáticos em cada problema e 2 estudantes dificuldades parciais. A respeito dessas
dificuldades parciais, salientamos o que foi visto no segundo problema, que não
apontaram o aumento como um conteúdo matemático.Sobre ela destacamos que,
como analisado, quase todos pontuaram os conteúdos matemáticos presentes nos
problemas, apenas não esboçaram a variação de grandezas.
Na questão 4, foi perguntando em qual dos problemas os estudantes
apresentaram dificuldades,3 estudantes mencionaram o problema 1, 2 estudantes o
problema 2 e 7 estudantes disseram não ter dificuldades. Na questão 5, sobre as
dificuldades nos conteúdos matemáticos dos problemas, 1 estudante disse que
apresentou dificuldades e 11 estudantes destacaram não ter dificuldades em nenhum
dos conteúdos dos problemas. Nessa questão, o estudante que pontuou apresentar
dificuldades salientou que não fazia os cálculos de porcentagem. Para mais, sobre os
aspectos gerais da aula e sobre a aprendizagem dos estudantes, veja o que foi
respondido na autoavaliação 2.

5.4.2 Autoavaliação 2 da aula 2
Na questão 1 que tratava sobre o desenvolvimento na aula e na resolução dos
problemas, 2 estudantesdisseram ter apresentado dificuldades, mas que foram sanadas
e 10 estudantes que não houve dificuldades. Sobre a questão destacamos o fato de
uma parcela dos estudantes considerar que tiveram dificuldades, mas foram sanadas,
sobre isso destacamos o papel do professor e as perguntas que fizeram eles refletirem
sobre as situações expostas.
Na questão 2, tratamos da compreensão dos conteúdos abordados na aula, 2
estudantes disseram ter apresentado dificuldades, mas que foram sanadas e 10
estudantes que não houve dificuldades. Sobre essa questão, mais uma vez
destacamos sobre as dificuldades sanadas e o papel do professor e da ação
comunicativa por meio das perguntas e que no Questionário a Priori muitos estudantes
disseram que sempre apresentavam dificuldades para entender.

301

Na questão 3, abordamos sobre o aprendizado dos estudantes,3 estudantes
mencionaram ter aprendido razoavelmente e 9 estudantes ter aprendido bastante. Nela
todos os estudantes pontuaram que aprenderam, por mais que divididos entre
razoavelmente e bastante.
Na questão 4, foi perguntado sobre os problemas propostos,1 estudante
mencionou que o nível estava elevado, 9 estudantes que estava adequado e 2
estudantes que o nível estava mediano. Nessa questão os alunos ficaram divididos, no
entanto, a maioria colocou que o nível estava adequado, sobre isso frisamos que as
tarefas elencadas consideraram o nível dos estudantes, para que assim estivesse ao
alcance de todos.
Na questão 5, consideramos sobre a linguagem utilizada nos problemas. Assim,
10 estudantes pontuaram não apresentado dificuldades para entender, 1 estudante
sentiu dificuldades, mas depois compreendeu e 1 estudante apenas assinalou que
sentiu dificuldades. A maioria dos estudantes considerou que a linguagem estava
adequada, para isso consideramos a língua materna dos estudantes e que o enunciado
tinha termos matemáticos compatíveis com o nível de escolaridade do grupo
pesquisado.
Na questão 6, tratamos da utilização do Arco de Maguerez,11 estudantes
disseram não sentir dificuldades para seguir e preencher e 1 estudante que sentiu
dificuldades para seguir, mas não para preencher. A resposta dos alunos é derivada da
aula de ambientação, que permitiu a familiarização dos estudantes com a proposta
aplicada e que nessa aula eles foram preenchendo o Arco na medida em que iam
fazendo o tratamento do problema. Sobre a exposição de quem considerou ter
dificuldades para seguir, pontuamos que eles não estão acostumados a fazer o
tratamento do problema por meio da leitura, análise, interpretação, criação de hipóteses
e aplicação à realidade.
Na questão 7, sobre a execução na resolução de problemas, 9 estudantes
mencionaram não ter tido dificuldade para executar operações e 3 estudantes disseram
ter apresentado dificuldades para executar. Sobre essa questão, destacamos que nos
surpreende a dificuldade dos estudantes com as operações cobradas nos problemas
(multiplicação, divisão, regra de três simples), uma vez que se trata de estudantes da 3ª

302

série do Ensino Médio. Entretanto, é preciso considerar o período da pandemia por
todos enfrentado e os prejuízos deixados.
Na questão 8, questionamos sobre a comunicação em sala de aula entre o
professor-estudante e estudante-estudante, todos os estudantes destacaram que
conseguiram pensar de maneira crítica e expor suas ideias. Sobre as ponderações dos
estudantes, consideramos isso bastante positivo, pois a comunicação é algo essencial
nas aulas de Matemática e que esse ponto de vista dos estudantes é importante para
validarmos o que já acreditamos.
Na questão 9, indagamos a respeito dos questionamentos realizados pelo
professor e a sua mediação, nela todos os estudantes mencionaram que a aula foi
satisfatória, clara e objetiva. Mais uma vez, sobre o posicionamento dessa questão,
vimos como bastante positivo todos considerarem os questionamentos feitos pelo
professor e a mediação como satisfatória, chegando ao alcance de todos e ajudando
aqueles que apresentaram alguma dificuldade.
Na questão 10, tratamos sobre o desempenho do estudante na aula, 5
estudantes assinalaram que a aula foi excelente e que realizaram as tarefas propostas
e acertaram as resoluções dos problemas; 6 estudantes mencionaram que a aula foi
ótima, que embora tenham apresentado dificuldades, conseguiram resolver e acertar os
problemas; 1 estudante pontuou que a aula foi boa, conseguiu realizar as tarefas,
apresentou muitas dificuldades e que acertou parte dos problemas. Sobre as respostas
anteriores, sabemos que nenhuma turma é 100%, no entanto, mesmo aqueles
estudantes que apresentaram dificuldades conseguiram resolver os problemas e
acertá-los.
A autoavaliação2 tinha a 11ª questão, que tratava sobre as considerações da
aula de um modo geral, a maioria dos estudantes destacou que gostaram da aula, que
aprenderam bastante e que foi a excelente a maneira como foram expostos os
problemas. Sobre o último apontamento, consideramos que ao tratar dele, os
estudantes consideraram a realidade como ponto de partida e aplicação nela.
Assim sendo, damos por satisfeito a exposição dessa aula e no próximo
subtópico tratamos da aula 3.

303

5.5Resultados e discussõesda aula 3
Na aula 3, mais uma vez começamos com um momento de negociação entre
professor e estudantes, para a gestão das tarefas propostas (BROUSSEAU, 1986,
2008). Nesta aula, tivemos a presença de 11 estudantes, sendo faltosos os estudantes
1 e 4, posteriormente justificando suas faltas. Observemos o momento de negociação
do Contrato Didático na transcrição abaixo:
Quadro 33: Recorte da transcrição do momento de negociação do Contrato
Didático na aula 3
Professor – Estudantes, a nossa atividade de hoje será individual, ela segue o mesmo padrão da aula
anterior, uma situação norteadora e dois problemas.
Estudante 11 – Professor, não gostei.
Professor – Vejam, fizemos algumas atividades em grupo.
Estudante 9 – Era para ser também em grupo, professor.
Professor – Lembrem que a todo momento eu estarei em sala, fazendo a mediação da atividade.
Estudante 8 – Espero que eu consiga fazer algo.
Professor – Como foi feito nas aulas anteriores, agora vocês também terão a situação norteadora,
elaboração perguntas, resolução dos problemas e preenchimento do Arco de Maguerez.
Estudante 8 – É muita coisa para fazer sozinho.
Fonte: Material da pesquisa (2022)

Observamos que nessa transcrição ficou claro a resistência dos estudantes em
fazerem as tarefas individuais, isso é derivado das outras em que uns se apoiaram nos
outros para fazer as suas tarefas. Entretanto, por mais que essa resistência possa
prejudicar no desenvolvimento dos estudantes, julgamos ela como necessária, pois é
preciso analisar como os estudantes, de maneira individual, agem diante da proposta
investigada. Com isso, destacamos que o Contrato Didático desta aula foi diferente das
demais e que a resistência dos estudantes se deu pelo fato do contrato instaurado nas
aulas anteriores e como afirmado por Souza (2011) contratos anteriores sempre
aparecem como influencia em contratos sequentes.
Assim sendo, nesse momento de negociação ficou claro o papel do professor,
que os estudantes apresentando dúvidas, ele estaria como mediador da aprendizagem,
organizando as situações de ensino e aprendizagem (BROUSSEAU, 2008). As regras
do Contrato Didático destacadas para essa aula são: tarefa individual, leitura da
situação

norteadora,

elaboração

de

perguntas,

preenchimento do arco (BROUSSEAU, 1986).

resolução

dos

problemas,

304

Assim, após esse momento de negociação e destaque das funções de cada
parceiro na situação didática, foi entregue aos estudantes a situação norteadora da
aula. Vejamos a situação norteadora no quadro a seguir:
Quadro 34: Situação norteadora da aula 3
IPVA 2022 PE: desconto no valor do imposto em Pernambuco; como obter?

Desconto do IPVA 2022 PE: desconto no valor do imposto em Pernambuco; como obter? (foto:
Unsplash)
O pagamento antecipado em cota única do Imposto sobre a Propriedade de Veículos Automotores
(IPVA) 2022 pode gerar abatimento no valor do tributo. Em Pernambuco (PE) é possível parcelar em
três vezes, mas sem obter desconto, sendo o calendário de pagamento organizado com base no
último dígito da placa do veículo.
Segundo Miguel José Ribeiro de Oliveira, diretor executivo de Estudos e Pesquisas Econômicas da
Associação Nacional de Executivos de Finanças, Administração e Contabilidade (Anefac), os
descontos para pagamentos à vista são, muitas vezes, a retirada de juros associados ao
parcelamento.
“Para quem tem o dinheiro para pagar à vista, sempre vale a pena porque o desconto é maior do que o
rendimento de poupança ou de um fundo de investimento. Quem não tem o dinheiro é melhor parcelar
do que recorrer a empréstimo nos bancos que cobram juros mais altos”, afirmou à Agência Brasil.
Para quem decidir efetuar o pagamento em cota única, o desconto obtido é de 7%. Para garantir o
abatimento o pagamento deve ser efetuado integralmente em fevereiro, segundo o calendário proposto
pela Sefaz-PE.
Fonte: Parente (2022)

Como pode ser visto, a situação norteadora trata do IPVA e o seu desconto no
Estado de Pernambuco, essa situação foi colocada levando em consideração o perfil
dos estudantes e a localização deles, o que também foi levando em conta nas demais
aulas (BERBEL, 2012). Agora, tratando do momento de leitura da situação norteadora,
percebemos que alguns estudantes não estavamrealizando-a, destacando os
estudantes 11 e 12 e isso pode ser configurado diante da falta de hábito e a não leitura
nas aulas de Matemática. Assim sendo, ao observar isso o professor questionou-os
acerca do motivo pelo qual não estavam fazendo a leitura, sendo destacado pelo
estudante 11:“É grande, professor”.
Ao tratar dessa situação, era esperado que com as aulas anteriores, os
estudantes já estivessem aptos à leitura, logo, vemos isso como uma transgressão do
Contrato Didático (BROUSSEAU, 1986, 2008), uma ruptura. Destacamos sobre esse

305

comportamento o que foi escrito por Pais (2002), que a ruptura acontece quando o
aluno mostra desinteresse pela tarefa que lhe é proposta, uma vez que é esperado que
ele se envolva na situação. Com isso, foi preciso o professor enfatizar que esse
momento de leitura, análise e interpretação era importante para o desenvolvimento das
demais tarefas, sendo questionado aos estudantes, de um modo geral, sobre o que
estava sendo tratado na situação. Ao questionar os estudantes, como é mostrado na
transcrição seguinte, o professor confirma o que havia explicitado na negociação do
contrato, que ele estaria como mediador e organizador nas situações didáticas. Em
Souza (2011), para reafirmar a negociação do contrato e não dar respostas aos
estudantes, a professora, em alguns momentos, também fez questionamentos.
Vejamos a transcrição desse momento:

Quadro 35: Recorte da transcrição do momento de questionamento sobre a
situação norteadora da aula 3
Professor – Gente, do que trata essa situação norteadora?
Estudante 11 – Do IPVA. E pode pagar parcelado?
Estudante 10 – Professor, reajuste é aumentar ou diminuir?
Estudante 8 – O que é abatimento?
Fonte: Material da pesquisa (2022)

Observe que mesmo o estudante 11 não querendo fazer a leitura da situação
norteadora por completo, já havia observado sobre o que se trata a notícia.
Destacamos que para colher essas informações dos estudantes, a pergunta
tematizante(usada na introdução de um assunto – você sabe o que é isso?)foi
essencial, para iniciar a discussão (LOVE; MASON, 1995). O questionamento do
professor permitiu que alguns estudassem, perguntassem suas dúvidas, como pode ser
visto no quadro anterior. Assim sendo, para que o professor não facilite as tarefas dos
estudantes, foi permitido que os estudantes pesquisassem na internet as suas dúvidas.
Ao pesquisar, destacamos que na tarefa também foi possível fazer investigações para
esclarecimento de dúvidas, e que a investigação é um tipo de tarefa discutido por Ponte
(2003).
Deste modo, considerando o que foi constatado na pesquisa, denominamos esse
comportamento de estudar, pesquisar para sanar dúvidas derivado do questionamento

306

do professor (ou seja, da sua ação comunicativa assertiva), como Reverberação ou
Efeito Propulsor, ou seja, o questionamento gerado pela pergunta tematizante num
certo momento gera um efeito positivo que não provoca ruptura e nem efeito adverso,
mas sim um efeito positivo no comportamento do aluno. Isso não ficou constatado nos
estudos de Brousseauque identificou apenas efeitos negativos e esta pesquisa
possibilitou identificar um novo elemento no contexto teórico-prático do Contrato
Didático.
Sobre evitar gerar o Efeito Topázio, cabe salientar que para não o provocar o
professor precisa conhecê-lo e acionar a sua metacognição para identificar sua
iminência e não gerá-lo, ou seja, promover a fuga do efeito ou utilizar a ação
comunicativa para gerar o Efeito Propulsor de natureza positiva.
Nesse sentido, agora, vamos tratar dos questionamentos/perguntas elaboradas
pelos estudantes de maneira escrita. Vejamos na figura a seguir as perguntas dos
estudantes 2, 3, 5 e 6:

307

Figura 125: Perguntas elaboradas pelos estudantes 2, 3, 5 e 6 a partir da situação
norteadora da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Vejamos a figura a seguir com as perguntas dos estudantes 7, 8, 9 e 10:

308

Figura 126: Perguntas elaboradas pelos estudantes 7, 8, 9 e 10 a partir da
situação norteadora da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Abaixo, vejamos a figura com perguntas dos estudantes 11, 12 e 13:

309

Figura 127: Perguntas elaboradas pelos estudantes 11, 12 e 13 a partir da
situação norteadora da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Incialmente, destacamos que optamos por expor todas as perguntas porque
fazemos o tratamento delas de maneira global, abordando os pontos positivos e

310

negativos visto em todas. Desse modo, conseguimos observar que todas as perguntas
se adequam com o que foi apresentado na situação norteadora e que o que ficou em
evidência nas perguntas criadas foi a vantagem e desvantagem do pagamento
parcelado ou à vista, e inferimos que diante da situação e as suas informações, os
estudantes fizeram um tratamento analítico do que foi pontuado.
A respeito do questionamento do professor durante a leitura da situação, já
mostrado anteriormente em transcrição, notamos que contribuiu para que o estudante
11 realizasse a leitura e assim elaborasse os seus questionamentos, entretanto, o
estudante 12 fez apenas uma pergunta e que a falta de leitura inicial e o não tratamento
analítico da situação contribuiu para isso.
Assim sendo, sobre o estudante 12, ele ficou pedindo que o professor o
ajudasse, oralizando“professor, o que eu pergunto aqui?”, caso o professor tivesse
facilitado a sua tarefa, estaria evidenciando o efeito Topáziodo Contrato Didático
(BROUSSEAU, 1986, 2008). Arruda (2018) expõe em sua pesquisa de Mestrado que o
efeito Topázio foi bastante visível, destacando que o professor pesquisado facilitava a
tarefa dos estudantes, dando-lhes palavras-chave sobre a resposta que ele espera. É
pertinente pontuar que, essa espera pelo professor para realizar as tarefas, já foi
tratada em análises anteriores, configura uma regra implícita do Contrato Didático
(BROUSSEAU, 1986, 2008) e pode ser derivada de contratos anteriores, como também
foi visto nos estudos de Souza (2011).
Por esse viés, observando esse comportamento do estudante supracitado,
inferimos que interferiu nas tarefas posteriores e isso poderá ser analisado. Para tratar
dos problemas, suas soluções e o preenchimento do Arco a partir dele, vamos expor o
que foi preenchido pelos estudantes a respeito de cada etapa do Arco. Assim sendo,
observemos primeiramente o problema da 1 dessa aula na figura abaixo:

311

Figura 128: Problema 1 da aula 3

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

A partir do problema, observe que é uma questão que envolve acréscimo e
decréscimo, e é um problema de dois ou mais passos. Sobre o primeiro contato com o
problema, mais uma vez destacamos a resistência do estudante 12, na espera
novamente pelo professor, entretanto, notando que o professor não iria dar a resposta
começou a sua resolução. Sobre o preenchimento do Arco, o professor notando que
alguns estudantes estavam resolvendo primeiro o problema, salientou que fossem
seguindo as etapas, como já tinham feito na aula anterior. Vejamos o que foi destacado
pelos estudantes nas figuras seguintes:
Figura 129: Primeira etapa do arco preenchida pelos estudantes 2, 3, 5 e 6 sobre o
problema 1 da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Observemos na figura seguinte o que foi mencionado pelos estudantes 7, 8, 9 e
10:
Figura 130: Primeira etapa do arco preenchida pelos estudantes 7, 8, 9 e 10 sobre
o problema 1 da aula 3

312

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Observemos na figura seguinte o que foi mencionado pelos estudantes 11, 12 e
13:
Figura 131: Primeira etapa do arco preenchida pelos estudantes 11, 12 e 13 sobre
o problema 1 da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Sobre a primeira etapa do arco, observação da realidade, todos os estudantes
expuseram uma análise crítica do que estava sendo tratado, destacando uma relação
com os questionamentos/perguntas por eles elaborados inicialmente e também uma
contribuição da pergunta feita pelo professor no início da discussão sobre a situação
norteadora. Vale salientar, que o destaque dos estudantes também na observação
crítica da realidade foram as vantagens do pagamento do IPVA à vista ou prazo. Sobre
essa etapa, cabe-nos dizer que os estudantes consideraram como tema central da
situação norteadora e do problema matemático as vantagens e desvantagens das
formas de pagamento.

313

Avistemos na figura a seguir o que preenchido na etapa de pontos-chave pelos
estudantes 2, 3, 5 e 6:
Figura 132: Segunda etapa do arco preenchida pelos estudantes 2, 3, 5 e 6 sobre
o problema 1 da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Observemos na figura seguinte o que foi mencionado pelos estudantes 7, 8, 9 e
10:
Figura 133: Segunda etapa do arco preenchida pelos estudantes 7, 8, 9 e 10 sobre
o problema 1 da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Observemos na figura seguinte o que foi mencionado pelos estudantes 11, 12 e
13:

314

Figura 134: Segunda etapa do arco preenchida pelos estudantes 11, 12 e 13 sobre
o problema 1 da aula 3

Fonte: Maerial da pesquisa (2022)

No que tange à etapa de pontos-chave, o que está sendo investigado do
problema, os estudantes, em sua maioria, destacaram que está sendo investigado o
pagamento do IPVA, entretanto, nos chama a atenção o estudante 5 que menciona o
preço de um veículo. Destacamos que esse equívoco se deu em virtude da não
compreensão do problema, o que já foi destacado em outras pesquisas, como algo
recorrente na resolução de problemas (CAGLIARI, 2010).
A respeito dos termos matemáticos e não matemáticos a maioria dos estudantes
não esboça de maneira direta, mas é mencionado juros e aumento. O estudante 2
destaca que o aumento do IPVA gera injustiça social e sobre essa reflexão destacamos
a criticidade dos estudantes (SAZBO et al., 2020). Os estudantes, nessa etapa, fizeram
uso dos conhecimentos linguísticos e semânticos para exporem as suas ideias, através
de leitura, compreensão, interpretação e análise do problema. Vale reiterar que a
interpretação que pontuamos aqui não é apenas a junção dos dados da questão para ir
em busca de uma solução para o problema, mas olhar esse problema sob o ponto de
vista social e econômico, considerando para isso a realidade a qual fazem
parte.Observemos nas figuras seguintes o que foi apresentado pelos estudantes na
etapa de teorização:

315

Figura 135: Terceira etapa do arco preenchida pelos estudantes 2, 3, 5 e 6 sobre o
problema 1 da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Observemos na figura seguinte o que foi mencionado pelos estudantes 7, 8, 9 e
10:
Figura 136: Terceira etapa do arco preenchida pelos estudantes 7, 8, 9 e 10 sobre
o problema 1 da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

316

Observemos na figura seguinte o que foi mencionado pelos estudantes 11, 12 e
13:
Figura 137: Terceira etapa do arco preenchida pelos estudantes 11, 12 e 13 sobre
o problema 1 da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Na etapa de teorização, em que aborda os conteúdos matemáticos envolvidos e
os seus símbolos, os estudantes destacaram porcentagem, juros, as operações
matemáticas básicas, aumento e desconto. Com isso, ao tratar sobre aumento e
desconto, que era o foco do problema, não foi salientado pelos estudantes 5, 7, 8, 9,10,
11, 12 e 13; destacamos que mencionaram a subtração e que isso pode ser visto por
eles como o momento do desconto e a adição como o acréscimo.
Assim sendo, refletimos que os termos matemáticos são compreensíveis pelos
estudantes, embora não saibam uma nomenclatura correta. Quanto aos símbolos, eles
só não foram vistos no Arco do estudante 7, o que representa que a maioria conseguiu
identificar os símbolos matemáticos necessários para a solução do problema.
Observemos nas figuras a seguir o que preenchido pelos estudantes na etapa de
hipóteses de solução:

317

Figura 138: Quarta etapa do arco preenchida pelos estudantes 2, 3, 5 e 6 sobre o
problema 1 da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Observemos na figura seguinte o que foi mencionado pelos estudantes 7, 8, 9 e
10:
Figura 139: Quarta etapa do arco preenchida pelos estudantes 7, 8, 9 e 10 sobre o
problema 1 da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Observemos na figura seguinte o que foi mencionado pelos estudantes 11, 12 e
13:

318

Figura 140: Quarta etapa do arco preenchida pelos estudantes 11, 12 e 13 sobre o
problema 1 da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Na etapa de hipóteses de solução, os estudantes destacaram que observaram
os dados matemáticos, para que daí realizassem as operações matemáticas
necessárias. Nessa etapa, observamos que os estudantes 2 e 11 não relacionaram as
hipóteses de solução com o desenvolvimento do problema, mas com o pagamento do
IPVA do carro e destacaram que o problema poderia ser resolvido pagando o IPVA à
vista, disso inferimos que os estudantes tomaram o problema como seu, colocando-o
em suas vidas e que se tivessem um problema desse tipo pagariam logo o valor para
“se livrar” doproblema. A respeito da maneira como os estudantes resolveram o
problema, vejamosa resolução da questão pelos estudantes nas figuras abaixo:

319

Figura 141: Resolução do problema 1 da aula 2 pelos estudantes 2, 3, 5 e 6

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Na figura seguinte, vejamos a resolução dos estudantes 7, 8, 9 e 10:

320

Figura 142: Resolução do problema 1 da aula 2 pelos estudantes 7, 8, 9 e 10

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Na figura seguinte vejamos a resolução dos estudantes 11, 12 e 13:

321

Figura 143: Resolução do problema 1 da aula 2 pelos estudantes 11, 12 e 13

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Sobre as resoluções apresentadas pelos estudantes, abordamos que as
estratégias foram diferentes: os estudantes 3, 5 e 7 utilizaram regra de três simples
para calcular a porcentagem do aumento e do desconto do IPVA; os estudantes 6, 8, 9,
10 e 11 calcularam utilizando o valor da porcentagem e multiplicando pelo valor real
dividindo-o em 100 partes; os estudantes 2 e 12 justificaram suas respostas, ao invés
de mostrar os cálculos, no entanto, as respostas estão corretas e podem ter realizado
os cálculos em outro material não entregue ao professor, como no próprio caderno.
Chama-nos a atenção as diferentes maneiras utilizadas para o cálculo de
porcentagem feita pelos estudantes e que os métodos escolhidos para resolver os
problemas dependem do conhecimento existente de cada sujeito (YUSUF et al., 2021)
e que os processos cognitivos foram diferentes (BRASIL, 2018). Com isso, destacamos

322

que os estudantes 2, 3, 5, 8, 9, 10, 12 e 13 apesar de utilizam maneiras diferentes para
o tratamento dos dados, conseguiram resolver os problemas adequadamente e que pra
isso conseguiram compreender o problema por meio dos conhecimentos linguísticos e
semânticos, utilizando o conhecimento estratégico para fazer seu planejamento através
do tipo mente lógico-verbal. A resposta da estudante 13, revela a abreviação do
processo de resolução do problema, dado que apenas mostra o valor real mais a
porcentagem e já o resultado, sem evidenciar como fez esses cálculos.
Sobre os erros apresentados, o estudante 6 calculou adequadamente o valor do
aumento, no entanto, mesmo utilizando os valores corretos, calculou errado o valor do
descontorepresentando um erro nos conhecimentos procedimentais. Em relação ao
estudante 7, seu erro foi ao subtrair o valor do desconto, isso representa que ele
conseguiu entender o problema, fez o planejamento, montou as estratégias, mas pecou
ao executá-las.Isso, já havia sido detectado por Gonçalves (2014) em seus estudos nos
quais relata as dificuldades de resolver multiplicações e divisões, mas não havia
salientado a subtração.
Sobre o estudante 11, seus erros são desde a compreensão do problema, não
sabendo identificar e usar os dados o que prejudicou nas demais etapas (ALVARENGA,
2016); podemos observar que ele utilizou a porcentagem de aumento do IPVA e fez
dois cálculos com ela, em cima do valor de R$ 705,00 e R$ 860,00, o que era para
fazer somente do primeiro valor, encontrando o quanto teria aumentado o valor do IPVA
e assim calcular o valor do desconto, que no caso foi de 7%.Esses estudantes, quando
questionados pelo professor se os resultados estavam certos, afirmaram que não
enxergavam outra maneira para resolver. Os estudantes não conseguiram fazer a
avaliação dos seus cálculos, tampouco reconstruir.Quanto aos símbolos matemáticos,
os estudantes 5 e 7 não utilizaram o símbolo de porcentagem na regra de três,
enquanto, o estudante 6 usou erroneamente no cálculo de porcentagem quando
montou a razão do valor da porcentagem com o 100. Sobre isso, os estudantes podem
não saber qual a maneira correta de utilizar e qual momento certo utilizar. Observemos
nas figuras a seguir o que foi preenchido pelos estudantes na etapa de Aplicação à
realidade:

323

Figura 144: Quinta etapa do arco preenchida pelos estudantes 2, 3, 5 e 6 sobre o
problema 1 da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Observemos na figura seguinte o que foi mencionado pelos estudantes 7, 8, 9 e
10:
Figura 145: Quinta etapa do arco preenchida pelos estudantes 7, 8, 9 e 10 sobre o
problema 1 da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Observemos na figura seguinte o que foi mencionado pelos estudantes 11, 12 e
13:

324

Figura 146: Quinta etapa do arco preenchida pelos estudantes 11, 12 e 13 sobre o
problema 1 da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Sobre a última etapa do Arco, aplicação à realidade, o estudante 3, do mesmo
modo que apresentou um erro na etapa de pontos-chave, expondo que estava sendo
investigada a compra de um carro, mais uma vez tratou disso na última etapa. Sobre o
conhecimento construído e análise crítica, os estudantes destacaram que é melhor o
pagamento à vista; o estudante 10, destacou que não iria atrasar o pagamento do IPVA
para não pagar juros. O estudante 12, não completou essa etapa do Arco, oralizando
para o professor estar cansado e que não iria fazer, uma ruptura do Contrato Didático
(1986, 2008), mais uma vez corroboramos do que Pais (2002) assenta, que a ruptura
pode ser derivada do desinteresse do estudante.
De um modo geral, a situação estava ao alcance da maioria (BERNSTEIN,
1996), a linguagem do problema foi adequada, permitiu a conexão dos estudantes com
a realidade através dos seus pontos de vistas traçados e que os estudantes
conseguiram gerenciar informações (BRASIL, 2018). Cada estudante teve um tempo
para montar sua solução, não sendo forçado pelo professor a resolver rapidamente,
considerando para isso ideias de ritmo e sequenciamento e que o desenvolvimento nas
tarefas não é algo unilateral. Os estudantes conseguiram problematizar a realidade
(COLOMBO; BERBEL, 2007) e conseguiram justificar como fariam para que não
fossem prejudicados, no caso com o pagamento de juros (BERBEL, 2012).
O segundo problema da aula tratou de comparar uma situação que estava
envolvido o cálculo de juros compostos. Vejamos o problema na figura abaixo:

325

Figura 147: Problema 2 da aula 3

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

Consideramos o problema não convencional e do tipo puzzle, uma vez que é
preciso leitura cuidadosa, análise e interpretação do que está sendo tratado. Ao tratar
desse problema, com o primeiro contato, sem preencher o Arco, a maioria apresentou
dificuldades,pois não sabiam como fazer o cálculo de juros compostos, sendo preciso a
intervenção do professor mencionado que era juros em cima de juros, fazendo um
exemplo no cálculo, mas sem usar fórmulas. Isso já era esperado, devido ao que foi
pontuado no Questionário a Priori. Destacamos que sobre essa ação do professor, o
intuito não foi facilitar a tarefa dos estudantes, tampouco responder o problema por
eles, mas que não foi visto no momento como uma outra maneira para ajudar os
estudantes.

Logo,

ficou

configurado

como

um

Efeito

do

Contrato

Didático

(BROUSSEAU, 1986, 2008). A maneira como o professor explicou no quadro, foi pegar
um valor hipotético, calcular os juros no primeiro mês e em seguida utilizar o montante
para calcular o segundo mês. Para o professor fazer essa intervençãofoi averiguado o
grau de instrução dos estudantes e como foi visto no jogo de tabuleiro da aula 1, os
estudantes tinham pouco conhecimento sobre os juros compostos. Chamberlim (2010)
descreve que considerar o grau de instrução dos estudantes na resolução de
problemas é algo fundamental.
Assim sendo, após essa intervenção do professor, que pode ser justificada pela
complexidade enxergada pelos estudantes sobre o problema, eles começaram as suas
tarefas. É importante mencionar que se o professor não tivesse feito essa intervenção
muitos estudantes não iriam responder o problema, e que ao considerar as ideias
expostas por Bernstein (1996) sobre a reprodução do Discurso Pedagógico nas salas

326

de aula, o professor/pesquisador não consideraria os diferentes perfis dos estudantes e
suas habilidades para compreender o problema, tampouco a falta de saberes dos
estudantes. Embora, tenha gerado o Efeito Topázio, configurou-se no momento a única
maneira encontrada pelo professor para auxiliar os alunos a começar a resolver as
tarefas. Brousseau (1986) explica que em determinados momentos, os efeitos não são
inevitáveis e isso faz parte da epistemologia do professor.Salientamos que ao longo da
aplicação da Sequência Didática, esta foi a primeira vez que o Efeito Topázio foi
gerado.
Destacamos que caso os estudantes conhecessem a fórmula poderiam utilizá-la,
pois é visto na literatura que quando um sujeito já dispõe de procedimentos prontos
para a resolução de uma situação matemática, temos o que é configurado como
exercício, entretanto, na situação abordada a fórmula não permitiria chegar de imediato
à solução do problema, mas poderia ser utilizada como uma estratégia na busca da
solução.
Diante disso, para tratar das resoluções apresentadas pelos estudantes, vamos
analisar o que foi apresentado por eles ao preencherem o Arco de Maguerez e para
isso observe nas figuras a seguir o apresentado. Vejamos nas figuras a seguir o que foi
preenchido pelos estudantes na etapa de observação da realidade:
Figura 148: Primeira etapa do arco preenchida pelos estudantes 2, 3, 5 e 6 sobre o
problema 2 da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Observemos na figura seguinte o que foi mencionado pelos estudantes 7, 8, 9 e
10:

327

Figura 149: Primeira etapa do arco preenchida pelos estudantes 7, 8, 9 e 10 sobre
o problema 2 da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Observemos na figura seguinte o que foi mencionado pelos estudantes 11, 12 e
13:
Figura 150: Primeira etapa do arco preenchida pelos estudantes 11, 12 e 13 sobre
o problema 2 da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Acerca da primeira etapa do Arco, os estudantes refletiram sobre não ter dinheiro
para pagar o IPVA e assim recorrer ao parcelamento, destacando que essa deve ser
uma opção utilizada apenas em último caso. Destacaram também que muitas pessoas
não tem o dinheiro para realizar o pagamento à vista e por isso recorrem ao
parcelamento. Com a relação a esses apontamentos os estudantes se apropriaram do
que estava sendo discutido e podem ter considerado suas realidades para tratar desses
pontos de vista (BERBEL, 2012). Ao preencher essa etapa e na observação feita pelo
professor, foi questionado sobre os estudantes conhecerem essa opção de
parcelamento do IPVA, sendo exposto pela maioria que não e que muitas vezes as

328

pessoas não efetuam o pagamento do imposto por falta dessa informação. Ao tratar
dessa situação, além de problematizar a realidade (COLOMBO; BERBEL, 2007) ela
tem um caráter informacional, para que os estudantes levem para as suas vidas para
ser aplicada. Mais uma vez, notamos que a estudante 12 não preencheu as etapas do
Arco nessastarefas e entre elas estão a observação da realidade e aplicação à
realidade. Foi notória a análise crítica da realidade ao ser observado o problema.
Vejamos nas figuras a seguir o que foi preenchido pelos estudantes na etapa de
pontos-chave:
Figura 151: Segunda etapa do arco preenchida pelos estudantes 2, 3, 5 e 6 sobre
o problema 2 da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Observemos na figura seguinte o que foi mencionado pelos estudantes 7, 8, 9 e
10:
Figura 152: Segunda etapa do arco preenchida pelos estudantes 7, 8, 9 e 10 sobre
o problema 2 da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

329

Observemos na figura seguinte o que foi mencionado pelos estudantes 11, 12 e
13:
Figura 153: Segunda etapa do arco preenchida pelos estudantes 11, 12 e 13 sobre
o problema 2 da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Em relação à segunda etapa, pontos-chaves, todos abordaram de maneira
correta sobre o que está sendo investigado no problema e destacam que é o quanto o
proprietário teria economizado caso tivesse pago o IPVA em 3x sem juros no lugar de
ter solicitado um empréstimo. Notamos que o estudante 10 destacou os termos
matemáticos, mencionando juros e descontos e o estudante 2 mencionando os juros
que contribuem para a injustiça social. Nesse sentido, os estudantes, em sua maioria,
não mencionaram os termos matemáticos conhecidos, entretanto, isso não configurou
uma falha para que eles errassem a solução do problema e apresentassem um
pensamento reflexivo sobre o problema.
Nas figuras a seguir, mostramos o que foi preenchido na etapa de Teorização:

330

Figura 154: Terceira etapa do arco preenchida pelos estudantes 2, 3, 5 e 6 sobre o
problema 2 da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Observemos na figura seguinte o que foi mencionado pelos estudantes 7, 8, 9 e
10:
Figura 155: Terceira etapa do arco preenchida pelos estudantes 7, 8, 9 e 10 sobre
o problema 2 da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

331

Observemos na figura seguinte o que foi mencionado pelos estudantes 11, 12 e
13:
Figura 156: Terceira etapa do arco preenchida pelos estudantes 11, 12 e 13 sobre
o problema 2 da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Quanto à etapa de teorização, percebemos um avanço quanto aos símbolos,
sendo esboçados por todos os estudantes, no entanto, quanto ao conteúdo matemático
os estudantes 8, 10 e 11 citaram que envolvia juros, mas não o tipo de juros, e que isso
estava muito evidente no enunciado do problema, o que configura falta de atenção. A
não nomeação dos juros compostos pode ser derivada da dúvida inicial dos estudantes,
quando mencionaram que não sabiam como fazer os cálculos. Importante, salientar a
questão da falta de atenção na leitura do problema, também apontada por Gonçalves
(2014).
Observemos nas figuras seguintes o que foi preenchido na etapa de Hipóteses
de solução:

332

Figura 157: Quarta etapa do arco preenchida pelos estudantes 2, 3, 5 e 6 sobre o
problema 2 da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Observemos na figura seguinte o que foi mencionado pelos estudantes 7, 8, 9 e
10:
Figura 158: Quarta etapa do arco preenchida pelos estudantes 7, 8, 9 e 10 sobre o
problema 2 da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Observemos na figura seguinte o que foi mencionado pelos estudantes 11, 12 e
13:

333

Figura 159: Quarta etapa do arco preenchida pelos estudantes 11, 12 e 13 sobre o
problema 2 da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Na etapa de hipóteses de solução, a maioria dos estudantes mencionou que
fariam o tratamento dos dados, observariam os cálculos necessários, veriam o quanto
iria aumentar no valor total no caso dos juros do empréstimo e depois fariam a
subtração do valor do IPVA parcelado. Merece uma especial atenção o que foi colocado
pelos estudantes 8, 9 e 10 que mencionaram que a solução para o problema era não
fazer o empréstimo e que esseaspecto também foi evidente na aula anterior.
Sobre o pensamento dos estudantes, eles querem resolver o problema sem
considerar a interpretação da questão, o tratamento dos dados. Entretanto, esse
pensamento dos estudantes não interferiu nas suas soluções, eles não destacaram na
solução do problema que seria melhor não resolver o problema.
Vejamos nas figuras seguintes a resolução do problema pelos estudantes:

334

Figura 160: Resolução do problema 1 da aula 2 pelos estudantes 2, 3, 5 e 6

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Na figura seguinte apresentamos as resoluções dos estudantes 7, 8, 9 e 10:

335

Figura 161: Resolução do problema 1 da aula 2 pelos estudantes 7, 8, 9 e 10

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Na figura seguinte apresentamos as resoluções dos estudantes 11, 12 e 13:

336

Figura 162: Resolução do problema 1 da aula 2 pelos estudantes 11, 12 e 13

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Por esse viés, tratando das resoluções apresentadas pelos estudantes, inferimos
que a estratégia utilizada por todos estudantes é derivada da explicação do professor
na intervenção da aula e que ele utilizou essa mesma estratégia tratando de uma
situação hipotética: pegou o capital inicial e calculou os juros em cima dele e a cada

337

novo valor foi calculando. Em relação à estudante 2, observa-se que existem duas
maneiras

de

cálculos

esboçados,

isso

aconteceu

devido

ao

momento

de

verificação/monitoramento, no qual a maioria dos estudantes perguntavam se os
cálculos estavam caminhando certo e ao professor observar que ela havia errado, ela
mencionou que ia pesquisar uma maneira fácil de calcular juros compostos,
encontrando a fórmula e refazendo o seu cálculo. Apesar de a estudante ter refeito o
cálculo, chegando ao montante correto do valor do empréstimo, ela não mostrou o
resultado do que foi solicitado, no caso o quanto o cidadão teria economizado no
pagamento parcelado do IPVA em 3x, isso pode ser visto como uma falta de
compreensão da questão (BRAGA, 2020).
Assim sendo, os estudantes 2, 3, 7, 10, 12 e 13 apresentaram os seus cálculos e
chegaram à resposta correta, foi notado que o estudante 3 utilizou a calculadora do
celular e isso pode ser evidenciado na sua resposta ao mostrar várias casas decimais
em seus resultados. O estudante 5, entendeu a proposta da questão, conseguiu
compreendê-la, utilizar os conhecimentos esquemáticos, no entanto, errou na execução
da estratégia, não chegando a uma solução correta.
O estudante 8 começou a executar a estratégia de maneira correta, o que mostra
que ele conseguiu compreender o problema, no entanto, não executou toda a
estratégia, deixando o problema sem responder. O estudante 9 conseguiu chegar ao
montante correto em relação ao empréstimo, entretanto, na hora de efetuar as
operações considerando o valor do IPVA para mostrar o quanto teria economizado,
utilizou o valor do empréstimo, o que configura falta de atenção (GONÇALVES, 2014).
O estudante 11 não realizou muitos cálculos, o que pode ser entendido como a não
compreensão do problema que impediu as demais etapas.
De maneira geral, tratando dos estudantes que resolveram os problemas,
mesmo aqueles que erraram em alguma operação, o tipo de mente é lógico-verbal, não
abreviaram o processo de raciocínio matemático, conseguiram executar a proposta,
fazer a maioria dos cálculos, não ficando em evidência as multiplicações e divisões.
O estudante 13 nos chamou atenção nesse problema, pois diferente do problema
anterior que simplificou a sua resolução, neste, desde o tratamento dos dados à
solução problema, foi a que mais destacou o que estava fazendo e que isso representa

338

um avanço quanto às suas habilidades metacognitivas – prever e planejar (MULYONO;
HADIYANTI, 2017). Sobre a etapa de monitoramento, nesse problema, pela
complexidade talvez, o professor foi muito solicitado para dizer se os estudantes
erraram, mas ele só disse que estava errado, não mostrando onde, com o intuitoque os
estudantes desenvolvessem habilidades de avaliação e de reconstrução. Nesse
problema, consideramos que foi o que mais exigiu esforços cognitivos dos estudantes e
mais tempo dedicado para a resolução, não sendo apressados pelo professor.
Observemos nas figuras seguintes o que foi preenchido pelos estudantes na
etapa de aplicação à realidade:
Figura 163: Quinta etapa do arco preenchida pelos estudantes 2, 3, 5 e 6 sobre o
problema 2 da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Observemos na figura seguinte o que foi mencionado pelos estudantes 7, 8, 9 e
10:
Figura 164: Quinta etapa do arco preenchida pelos estudantes 7, 8, 9 e 10 sobre o
problema 2 da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

339

Observemos na figura seguinte o que foi mencionado pelos estudantes 11, 12 e
13:
Figura 165: Quinta etapa do arco preenchida pelos estudantes 11, 12 e 13 sobre o
problema 2 da aula 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Sobre a última etapa, da aplicação à realidade, os posicionamentos dos
estudantes apresentaram bastante relação com o que foi pontuado na primeira etapa,
destacaram que se não pegar empréstimo não haverá o pagamento de juros, que o
pagamento de juros é algo negativo para a vida do cidadão, que tem que ser pensado
antes de solicitar um empréstimo e observar os juros que podem ser pagos.
Acreditamos que através do Arco e da resolução de problemas o pensamento crítico
dos estudantes ficou em evidência (MAHARANI, 2014), embora seus escritos tenham
sido sucintos.
De um modo geral, nessa aula foi permitido o contato dos estudantes com os
problemas considerando as ideias de ritmo e sequenciamento (BERNSTEIN, 1996), que
as perguntas contribuíram para um maior desenvolvimento dos estudantes e
apropriação do que estava sendo tratado e que a partir das perguntas elaboradas pelos
estudantes, subproblemas podem ser criados. Na aula, com a dificuldade dos
estudantes no problema 2, caso não estivéssemos atentos a como ajudá-los
poderíamos ter evidenciado o Efeito Topázio do Contrato Didático (BROUSSEAU, 1986,
2008), quando não é aceitado que o aluno erre e a resposta é sugerida (SOUZA, 2011).
Pontuamos que a linguagem utilizada pelo professor e nos momentos de dúvidas foi
essencial para que os estudantes refletissem sobre o tema da aula (MEIRELES et al.,

340

2017). Foi proporcionada uma educação problematizadora aguçando o pensamento
crítico (MARTINHO, 2007).

5.5.1 Autoavaliação 1 da aula 3
A respeito da autoavaliação 1, já que foi apresentada em tópicos anteriores,
optamos por dizer do que a questão tratava e as percepções dos estudantes acerca
dela. Em relação às dificuldades em resolver os problemas utilizando o Arco de
Maguerez, 3 estudantes salientaram que apresentaram dificuldades e que as questões
necessitavam que eles pensassem mais, isso mostra que os estudantes não estão
acostumados com uma Matemática que os faça pensar; 4 estudantes destacaram que
não apresentaram dificuldades e 4 que apresentaram dificuldades parciais.
Sobre as etapas do Arco de Maguerez que os estudantes apresentaram mais
dificuldades, tivemos 2 estudantes com observação da realidade, 1 estudante com
teorização, 2 estudantes com hipóteses de solução, 3 estudantes com aplicação à
realidade e 3 que não apresentaram dificuldades. Os resultados refletem sobre o que
foi discutido anteriormente quando apresentamos o que foi preenchido pelos estudantes
nas etapas, visto que a estudante 12 deixou de preencher algumas etapas e, embora,
outras mesmo sendo preenchidas foram de maneira sucinta. Perceba que o destaque
dado na aplicação à realidade quanto à percepção dos estudantes, mostra que eles não
têm o hábito de refletir sobre a solução de um problema.
Quanto à apresentação de dificuldades em identificar os conteúdos matemáticos
em cada problema, 8 estudantes mencionaram que não apresentaram e 3 que
apresentaram parcialmente. Na análise das etapas, mencionamos que alguns
conteúdos deixaram de ser mencionados, entre eles, juros, isso destaca a dificuldade
parcial dos estudantes, pois conseguiram identificar alguns conteúdos. Em relação ao
problema que apresentaram mais dificuldades, 3 estudantes mencionaram o problema
1, 6 estudantes o problema 2 e 3 nenhum dos problemas. Chama-nos a atenção, que o
que foi respondido pelos estudantes, corrobora com a dificuldade expressa por eles
durante a aula, dado que no problema 2, que tratava de juros compostos, eles não
sabiam como resolver, uma vez que desconheciam como se dava o cálculo desse tipo
de juros.

341

A respeito das dificuldades nosconteúdos dos problemas, acreditamos que a
intervenção do professor contribuiu para que 7 estudantes afirmassem que não
apresentaram dificuldades, mesmo isso sendo evidente no problema 2; 4 estudantes
destacaram a dificuldade no cálculo de porcentagem e no de juros compostos. Apesar
de o cálculo de porcentagem ter sido algo comum durante a maioria das aulas, os
estudantes destacaram a existência de dificuldades.

5.5.2 Autoavaliação 2 da aula 3
Sobre a autoavaliação dos aspectos gerais da aula, com o intuito de investigar as
percepções dos estudantes acerca do desenvolvimento nas aulas, veja o que foi
assinalado pelos estudantes. Sobre o desenvolvimento na aula e na resolução das
tarefas propostas, 100% dos estudantes mencionaram que apresentaram dificuldades,
mas que foram sanadas. A respeito disso, pontuamos a dificuldade apresentada pelos
estudantes na compreensão/representação (PROENÇA, 2018) do problema 2 e a
intervenção do professor.
Em relação à compreensão dos conteúdos abordados na aula, 1 estudante
destacou que apresentou muitas dificuldades, 8 que houve dificuldades, mas foram
sanadas e 2 que não apresentaram dificuldades. Sobre o conteúdo matemático,
destacamos o tratamento com o cálculo de juros compostos que os estudantes não
apresentavam familiaridade. O que, como salientado, interferiu na utilização dos seus
conhecimentos semânticos e, consequentemente, nos conhecimentos procedimentais e
estratégicos.
No que tange aos problemas propostas, 1 estudante destacou que o nível estava
elevado, 6 que estava adequado e 3 que estava mediano. Entretanto, embora eles
tenham apresentado dificuldades no manuseio com o cálculo de juros compostos, a
partir do momento que entenderam o problema, viram que ele poderia ser respondido
de acordo o grau de instrução deles e o conhecimento construído até o nível de
escolaridade. Sobre a linguagem utilizada, 3 estudantes mencionaram não ter
dificuldade para entender, 1 estudante que sentiu dificuldades e 5 que sentiram
dificuldades, mas depois compreenderam. Mais uma vez, destacamos que o

342

compreender depois foi derivado da intervenção do problema, vendo-a como
necessária para um melhor rendimento da turma.
No que concerne a utilização do Arco de Maguerez, 4 estudantes apresentaram
ter dificuldades para seguir e preencher, 2 que não sentiram dificuldades para seguir e
preencher, 3 alegaram sentir dificuldades para seguir, mas não para preencher, 1
estudante aduziu não sentir dificuldades para seguir, mas para preencher. Notamos
com isso que os estudantes sentiram dificuldades no manuseio do Arco a depender da
complexidade do problema e quando é um conteúdo que eles não apresentaram
conhecimento suficiente para o seu tratamento.
Acerca da resolução dos problemas, 5 estudantes aludiram sentir dificuldades
para executar as operações necessárias e 6 que não apresentaram dificuldades.
Quanto às operações necessárias, destacamos mais uma vez, o cálculo de juros
compostos que precisava considerar o cálculo de juros baseado no novo capital a cada
mês passado da aplicação, o que solicitou dos estudantes um tratamento analítico dos
dados. Sobre a comunicação na aula, considerando todos os integrantes da situação
didática, 10 estudantes afirmaram que conseguiram pensar de maneira crítica e expor
as suas ideias e 1 que conseguiu pensar de maneira crítica, mas não expôs as suas
ideias. A respeito da estudante que diz não ter expressado as suas ideias,
consideramos a estudante 12 que não escreveu em algumas etapas do Arco, negandose a fazer isso, mesmo com os questionamentos do professor.
No que se refere à forma que o professor conduziu as aulas, todos os estudantes
consideram como satisfatória, que foi clara e objetiva. Destacamos que as ações do
professor fazem total diferença nas situações de ensino e aprendizagem, contribuindo
para um ambiente favorável.
Sobre o desempenho dos estudantes na aula, 5 estudantes apontaram que foi
ótima, que realizaram as tarefas propostas, apresentaram dificuldades e acertaram a
resolução da maioria dos problemas; 4 consideraram a aula boa, apresentaram
dificuldades e acertaram a metade dos problemas; 2 apontaram a aula como regular,
que tiveram muitas dificuldades e erraram a maior parte da resolução dos problemas.
Inferimos que para os estudantes que consideraram a aula boa, ótima ou regular, é
derivado do que foi abordado na aula e o seu nível de dificuldade. No tocante às

343

considerações a respeito da aula, de um modo geral foi apresentado as dificuldades
nas operações do problema 2 e em completar as etapas do Arco de Maguerez.
Assim sendo, consideramos que as elucidações a respeito dessa aula são
suficientes para termos uma visão de maneira global dos aspectos gerais. Ademais, no
tópico seguinte tratamos da aula 4.

5.6Resultados e discussõesda aula 4
Diante da habituação dos estudantes com o Arco de Maguerez, uma vez que em
três aulas utilizamos material impresso para que eles preenchessem de maneira escrita
cada um dos pontos elencados, nesta aula resolvemos trabalhar com uma tarefa
nomeada por Desafio do Arco que tinha por objetivo fazer com que os estudantes
apresentassem suas considerações sobre a situação norteadora e o problema
investigado de maneira oralizada.
Nesse sentido, a negociação do Contrato Didático para essa aula se fundou na
explicação do que seria realizado, vejamos a fala do professor na transcrição abaixo:
Quadro 36: Recorte da transcrição do momento de negociação do Contrato
Didático na aula 4
Professor – Estudantes, atenção. Nessa aula a atividade será o desafio do Arco de Maguerez, para o
qual vocês terão uma situação norteadora, a partir dessa situação norteadora criarão três perguntas,
responderão um problema matemático e após isso terão que me dizer cada ponto observado das
etapas do Arco de Maguerez.
Estudante 9 – Oxente, professor, entendi nada.
Professor – Vejam só... Ali na mesa temos as etapas do arco que tem a mesma configuração da
folhinha que vocês receberam para preencher nas aulas anteriores, agora, a partir dos problemas
vocês terão que me falar sobre cada etapa de maneira oralizada (falada) sobre o que vocês
observaram, só que antes eu vou entregar a situação norteadora, vocês vão criar as perguntas, irão
lançar o dado e aquele que tirar maior pontuação escolhe o problema que vai resolver.
Estudante 5 – Será individual?
Professor – Não, vocês se dividirão em dois grupos.
Estuante 3 – Então cada grupo responderá um problema e a partir dele vamos dizer como resolvemos
o problema?
Professor – Isso! Peço que prestem atenção ao arco que está na mesa, esses círculos coloridos será o
momento de vocês responderem perguntas fast, ou seja, terão alguns segundos para responder
algumas perguntas envolvendo operações matemáticas, se o grupo não responder corretamente,
passa a vez para o outro.
Estudante 9 – Que coisa difícil, professor. Os problemas são fáceis?
Professor – Daqui a pouco vocês observam isso.
Fonte: Material da pesquisa (2022)

344

Esse momento da explicação de como aconteceria a tarefa apresentouseanegociação do Contrato Didático, em que ficou evidente as funções de cada grupo:
ler a situação norteadora, criar perguntas, responder os problemas e descrever o
solicitado nas etapas do Arco (BROUSSEAU, 1986, 2008). As regras do Contrato
Didático sãotarefas em grupo, responder problemas, analisar o problema, discutir o
problema e refletir sobre ele. Nesse momento, a fala do estudante 9 expressou que a
linguagem do professor não estava clara o suficiente para que todos entendessem e
que isso poderia interferir de maneira negativa no desenvolvimento deles, indo contra o
que é assentado por Habermas (1988) e Bernstein (1996) ao exporem que a linguagem
tem que ser compreensível para todos.
Além disso, o ritmo utilizado pelo professor para explicar poderia não ser
adequado para todos e que é importante essa exposição oral dos estudantes quando
não entendem algo e que é necessário esse momento de perguntas (PONTE;
SERRAZINA, 2000). A ação comunicativa regida nesse primeiro momento exigiu
partilha de diálogo (MEIRELES et al., 2017). Para mais, cabe destacar que o
professor/pesquisador acreditava que estava sendo claro o suficiente ao expor como
fazer a tarefa e que não esperava essa fala da estudante, resultando assim numa
ruptura do contrato e na renegociação a partir de uma nova explicação.
Por esse viés, consideramos que a explicação do professor, embora,
incialmente, não tenha sido clara para todos os estudantes, foi uma orientação de como
se daria o desenvolvimento da tarefa, usando para isso a mediação pedagógica
(MASETTO, 2000). As atitudes e os comportamentos dos estudantes na negociação de
cada papel na situação didática (BROUSSEAU, 1986, 2008) permitiram a gestão de
como aconteceria os momentos de ensino e aprendizagem (KUZNIAK, 2004).
Na organização dos grupos, agora divididos em dois, no grupo 1 estavam os
Estudantes 1, 2, 3, 4, 12 e 13 e no grupo 2 os Estudantes 4, 6, 8, 9, 10 e 11,
destacamos que a estudante 7 novamente não compareceu à aula e isso foi recorrente
até a última, que pode ser derivado da pesquisa ter sido realizada em contraturno.
Assim, após esse momento, foi feita a entrega da situação norteadora desta
aula, vejamosno quadro abaixo:

345

Quadro 37: Situação norteadora da aula 4
Rendimento da poupança hoje - 08/01/2022

Foto: Divulgação Rendimento da poupança hoje - 11/01/2022
O Banco Central divulgou nesta terça-feira (11/01) o rendimento da poupança referente ao dia 08 de
janeiro de 2022. O rendimento da poupança mensal ficou em 0,5677 para depósitos feitos a partir de
04.05.2012 e anteriores a 03.05.2012, por que a Taxa Selic está em 9,25% a.a.

Preço de TV

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

A situação em questão trata do rendimento da poupança e da compra de uma
TV. Para a situação, consideramos novamente a realidade com ponto de partida
(BERBEL, 2012). Ao tratar do primeiro contato dos estudantes com a situação, no caso
a leitura, por ter menos texto, notamos que os estudantes apresentaram uma certa
dificuldade na discussão, sendo preciso a intervenção do professor, utilizando para isso
a pergunta como pontapé para a reflexão (LOVE; MASON, 1995). Observemos a
transcrição abaixo:
Quadro 38: Recorte da transcrição do primeiro do contato dos estudantes com a
situação norteadora da aula 4
Estudante 10 – Estou entendendo é nada disso.
Professor – Entendendo nada?
Estudante 10 – Sim, professor.
Estudante 1 – Observa que tem duas situações diferentes, tenta relacionar elas.
Professor – Isso, tente relacionar os dois contextos.
Fonte: Material da pesquisa (2022)

A dificuldade com a análise das situações em conjunto, visto que nas aulas
anteriores não foi trabalhado assim, poderia interferir na análise crítica dos estudantes

346

durante o decorrer da aula, por isso a necessidade de intervenção do professor. Nesse
momento o professor fez a intermediação, entretanto, a fala de um estudante foi
suficiente para ajudar os demais, então podemos dizer que os estudantes se apoiaram
uns aos outros (BROUSSEAU, 1986). Para isso, também destacamos que o professor
precisa contribuir para o desenvolvimento de estudantes criativos (MARAHANI, 2014),
não dando respostas, nem facilitando as suas tarefas, para não recorrer a efeitos do
Contrato Didático (BROUSSEAU, 1986).
Desse modo, veja as perguntas criadas pelos grupos a partir da situação
norteadora na figura abaixo:
Figura 166: Perguntas criadas a partir da situação norteadora da aula 4

Fonte: Material da pesquisa (2022)

347

A partir da análise das perguntas elaboradas pelos estudantes, notamos que os
grupos enfatizaram apenas a situação da compra e isso pode ser desencadeado da
não familiaridade dos estudantes com a questão do rendimento da poupança e também
do relacionamento entre as duas situações. Apesar do estudante 1 ter salientado de
maneira oral que o outro estudante relacionasse as duas situações, notamos que o
grupo dele também não fez isso. Diante disso, mesmo sendo elaboradas perguntas
sobre a situação 2, elas se adequam ao tema tratado e que a compra de uma TV,
considerando o contexto social dos estudantes, está mais próxima das suas realidades
e que a linguagem da situação 2 permite uma maior compreensão do tema em
evidência (MEIRELES et al., 2017). Para mais, o perfil dos estudantes não contribuiu
para o envolvimento na situação 1, no entanto, essa abordagem é necessária para a
construção de novos saberes.
Assim sendo, percebendo essas perguntas dos grupos, o professor questionouos sobre não tratarem da questão 1, sendo explicitado pelo estudante 4 que a situação
da 2 era mais fácil de lidar. As perguntas criadas pelos alunos, uma vez que era
esperado que eles tratassem das duas situações em conjunto, representou mais uma
quebra de contrato e que a renegociação foi tentada a partir do questionamento do
professor (BROUSSEAU, 1986, 2008).
Com isso, após o tratamento dessas análises, iremos abordar sobre os
problemas respondidos por cada um dos grupos. Entretanto, antes de mostrar as
resoluções, cabe-nos mencionar que após o lançamento do dado o Grupo 1 ficou
responsável pelo problema 2 e o grupo 2 pelo problema 1. Vejamos na figura a seguir
como foi montada a mesa para o desafio do Arco e os problemas criados a partir dela:

348

Figura 167: Mesa para o desafio do arco e problemas

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

Como observado na figura, sobre a mesa também estavam os problemas, pois
mesmo cada grupo ficando responsável apenas por um problema, eles poderiam ver do
que se tratava o outro. Ambos os problemas são considerados não convencionais, de
aplicação e do tipo puzzle, já que é preciso análise e tratamento dos dados (CHARLES;
LESTER, 1986). Cabe destacar, que as etapas do Arco só foram discutidas após a
resolução dos problemas porque o Arco contempla o problema desde a sua
leitura/interpretação à aplicação de saberes construídos na realidade, a forma como
impacta (BERBEL, 2012).
Assim sendo, quando os grupos fizeram a leitura do problema, o professor
questionou sobre as possíveis dúvidas, usando para isso o tipo de pergunta
tematizante, uma vez que ela contribui para a introdução a um conteúdo ou questão
(MENEZES, 1995). Sobre questionamento inicial, todos os grupos relataram
dificuldades, indagando como resolveria esse tipo de problema, isso pode ter ocorrido
em virtude da mesma situação da aula 3, em que os alunos não saberem como tratar
questões que envolvem os conteúdos de juros compostos. Assim, como exposto na
pesquisa de Mayer (1987), de Cagliari (2010), de Gonçalves (2014) e Proença et al.
(2020) os estudantes não conseguiram compreender o problema e, tampouco,
interpretá-lo o que pode prejudicar no desenvolvimento da solução.Entretanto, o

349

professor mencionou que os estudantes tentassem lembrar do que foi trabalhado na
aula anterior, sendo mencionado pelo estudante 1 “juros compostos é juros em cima de
juros, né?!,”o que serviu para clarear as ideias de todos os grupos. A respeito da fala do
estudante, destacamos a contribuição da aula anterior, e que o tipo de pergunta usado
pelo professor aumentou a comunicação entre grupos e exigiu a partilha de saberes
(MEIRELES et al., 2017) e que os grupos se ajudaram (ONUCHIC, 1999).
Veja na figura abaixo a resoluçãodo grupo 1 do problema 2:
Figura 168: Resolução do grupo 1 ao problema 2

Fonte: Material da pesquisa (2022)

A respeito da solução encontrada pelo grupo 1 ao problema 2, como era uma
situação na qual tinha que analisar situações envolvendo juros simples e juros

350

compostos, o grupo inverteu as situações e fez os cálculos errados, calculou os juros
em cima de juros para situação de juros de simples e para a situação de juros
compostos fez o cálculo dos juros apenas baseado no capital inicial. Assim como
exposto Gonçalvez (2014) a falta de interpretação do problema levou ao erro. Os
estudantes tiveram problemas com os conhecimentos semânticos (MAYER, 1992). Não
destacamos que eles tiveram problemas com o conhecimento estratégico, pois teriam
acertado caso tivessem olhado para os dados com mais atenção. O tipo de mente do
grupo foi o lógico-verbal, pensam com símbolos de maneira adequada, fizeram a
execução da proposta, utilizam os conhecimentos procedimentais, entretanto, não
fizeram o monitoramento/validação da resposta (PROENÇA, 2018).
Vejamos na figura abaixo a resolução do grupo 2 ao problema 1:
Figura 169: Resolução do grupo 2 ao problema 1

Fonte: Material da pesquisa (2022)

351

Em relação ao grupo 2 e a solução do problema 1, o grupo mesmo diante do
problema voltou à situação norteadora e considerou que a TV teria um desconto de
0,5% à vista, considerando o valor pago no boleto e para isso utilizou uma estratégia
adequada, fazendo regra de três simples e em seguida calculando o desconto. Após
esse cálculo inicial, o grupo começou a fazer os seus cálculos baseados nos juros
compostos, que a cada novo mês os juros seriam baseados no novo capital,
destacando no final que seriam necessários 12 meses para que o comprador tivesse o
dinheiro total através de uma aplicação e fizesse a compra da TV à vista. Notamos que
para o grupo chegar a essa conclusão, durante o momento de resolução a etapa de
monitoramento foi de fundamental importância, pois por diversas vezes faziam a
verificação da resposta apresentada e quando viam que tinham errado reconstruíam os
seus cálculos, vejamos isso no diálogo transcrito durante a resolução:
Quadro 39: Transcrição do momento de resolução do problema 1 pelo grupo 2
Estudante 10 – Olha se eu calculei essa porcentagem certa.
Estudante 8 – Confiro na calculadora, né?!
Estudante 10 – Sim, pode ser.
Estudante 9 – Faz direito para a gente não errar.
Estudante 10 – Não pode esquecer que o valor dos juros é sempre calculado em cima do novo valor.
Estudante 8 – Está errado aqui.
Estudante 10 – Vou refazer na calculadora.
Estudante 9 – Agora está certo.
Fonte: Material da pesquisa (2022)

Desse modo, mesmo esse grupo tendo dificuldades no início da interpretação, a
fala do integrante do outro grupo, estudante 1, contribuiu para a articulação e
elaboração das estratégias do grupo 2. O grupo 2 apresentou as habilidades
metacognitivas do monitorar e avaliar de maneira bastante explícita (MULYONO;
HADIYANTI, 2017).
Após a solução dos problemas, foi o momento de tratar as etapas do Arco de
maneira oralizada, o professor estava como mediador na tarefa (BROUSSEAU, 1986)
fazendo as perguntas fast e o que foi considerado em cada etapa pelo grupo. No
lançamento do dado para ver quem começaria explanandosobre o que foi observado
acercadas etapas do Arco, o grupo 1 ganhou. Vejamos a transcriação do momento do
jogo:

352

Quadro 40: Recorte da transcrição do momento do desafio do arco
Professor – O que vocês destacam da etapa de observação da realidade?
Estudante 1 – Qualquer um pode falar? (GRUPO 1)
Professor – Pode, 30 segundos.
Estudante 1 – Aparentemente os juros compostos podem ser mais vantajosos, mas quando a gente
fez os cálculos percebemos que o juro simples saia mais vantajoso por questão de um mês, mas um
mês pode fazer total diferença na hora de pagar uma conta. (GRUPO 1)
Professor – Agora... como vocês avançaram uma etapa, vocês vão para a pergunta fast e vocês só
conseguem avançar para os pontos-chave se acertar essa. Quanto é 25% de 200, 10 segundos?
Estudante 2 – Pode usar calculadora? (GRUPO 1)
Professor – Pode usar não. Pensamento rápido.
Estudante 4 – 50.
Professor – Em relação aos pontos-chave, o que vocês observaram do problema 2?
Estudante 1 – Que o valor do produto pode nos levar ao engano... O ponto-chave principal da questão
era ver o que era mais vantajoso para mim. (GRUPO 1)
Professor – Certo. 20% de 80? 10 segundos.
Estudante 1 – Repita... (GRUPO 1)
Estudante 4 – 16.
Professor – Certo.O que vocês observaram da teorização?
Estudante 3 – Adição, multiplicação, divisão, porcentagem juros simples e também compostos.
(GRUPO 1)
Professor – Certo. 16x4? 2 segundos. Passou!
Estudante 1 – Aí também foi demais. (GRUPO 1)
Estudante 9 – Ah, não... O professor quer que a gente responda. (GRUPO 2)
Estudante 3 – Não, professor, não. (GRUPO 1)
Professor – Brincadeira, 5 segundos.
Estudante 4 – 64. (GRUPO 1)
Professor – Certo. Hipóteses de soluções? 30 segundos.
Estudante 3 – Usamos matemática básica, analisamos os valores que a questão dava, logo
calculamos e encontramos o resultado. (GRUPO 1)
Estudante 12 – Também existem outras formas para encontrar o resultado. (GRUPO 1)
Professor – Certo.
Estudante 9 – Vou fingir um desmaio aqui. (GRUPO 2)
Professor – Pronto! Quanto é 25? 10 segundos.
Estudante 4 – 32.
Estudante 9 – Ô, menino, tu saísses de onde? Rsrsrs (GRUPO 2)
Professor – Agora, a última etapa. Aplicação à realidade?
Estudante 1 – Que muitas vezes a gente se deixa levar por um vendedor e não observa os valores, a
aplicação da realidade pode ser dada a partir do momento que paramos para calcular o quanto pesa
no nosso bolso e como eu posso investir, se fosse aplicar antes do contato com arco aplicaríamos nos
juros compostos por achar que era mais vantajoso.
Fonte: Material da pesquisa (2022)

Como pode ser observado na transcrição, a participação maior foi do grupo 1,
mesmo os seus cálculos expostos do problema sendo errados. Vemos que o grupo
trabalhou em conjunto, evidenciando a importância do trabalho em equipe (GRAESSER
et al., 2017), mesmo tendo alguns estudantes como líderes. O estudante 1, foi quem
praticamente respondeu todas as etapas do Arco, percebendo o seu grau de
participação em todas as aulas e o seu avanço destacado sobre a utilização do Arco. O

353

grupo 1 teve o perfil de liderança e organização, pensamento rápido, entre outros
fatores que contribuíram para realizar o desafio rapidamente. Inferimos que o grupo 1
realizou uma análise crítica da realidade, conseguiu dizer o que estava sendo
investigado, os conteúdos expostos no problema, expor de maneira sucinta o
conhecimento estratégico e que destacaram a forma como a solução pode impactar em
suas vidas.
A respeito do Contrato Didático, inferimos que em vários momentos ocorreu a
quebra de Contrato Didático, principalmente, porque esperava-se que os dois grupos
participassem e que nas perguntas fast, ou nas etapas do Arco, algum grupo não
respondesse. Notamos que mesmo o professor colocando menos tempo nas perguntas
fast, uma forma de renegociação do contrato para que todos participassem, não foi
possível. Os integrantes do grupo 1 tem habilidades muito fortes para o trabalho em
equipe: comunicação, liderança, equidade, criatividade, entre outros. Nessa aula,
pontuamos que a tarefa, mesmo ao alcance de todos precisava de uma nova
configuração para sua aplicação, para assim permitir o envolvimento de todos
(BERNSTEIN, 1996). O ritmo e sequenciamento do grupo 1, foi além do esperado, a
rapidez, o cálculo mental, a desenvoltura para falar das etapas, foi algo muito
articulado.
Cabe destacar que para essa aula, com a dificuldade do grupo 2 em resolver o
problema já que se tratava do cálculo de juros compostos, o professor poderia ter
facilitado a tarefa dos estudantes, evidenciando um efeito do Contrato Didático
(BROUSSEAU, 1986, 2008). Observemos na figura abaixo, os estudantes ao redor da
mesa do desafio do Arco após o desenvolvimento da tarefa:

354

Figura 170: Estudantes após o desafio do arco

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Após o desenvolvimento da aula, foi solicitado que os estudantes apresentassem
as suas percepções também em duas autoavaliações.

5.6.1 Autoavaliação 1 da aula 4
Na primeira autoavaliação, 10 estudantes mencionaram não ter apresentado
dificuldades para resolver problemas utilizando o Arco de Maguerez e 2 que
apresentaram dificuldades parciais. Sobre os 10 estudantes disseram não ter
dificuldades, enxergamos o avanço relativo à proposta aplicada, o hábito de os
estudantes lidarem com problemas a partir do tratamento analítico dos dados e
reflexões sobre eles.
No que tange às dificuldades nas etapas do Arco, 10 estudantes destacaram não
apresentar dificuldades, 1 estudante disse ter dificuldade nas hipóteses de solução, 2
estudantes na aplicação da realidade; notamos que a dificuldade na aplicação à
realidade foi algo muito recorrente, isso mostra que os estudantes têm impasse quanto
a refletirem sobre aplicação do tema tratado em suas realidades e como agiriam frente
a uma situação do tipo.

355

Com isso, nos conteúdos matemáticos presentes em cada problema, 10
estudantes disseram não ter adversidade em identificá-los, entretanto, 2 estudantes
difundiram dificuldades parciais; sobre as dificuldades parciais, mencionamos o
problema respondido pelo grupo 2 que tratava de juros compostos. Ao tratar do
problema que de maneira singular, os integrantes do grupo 2 destacaram dificuldades
em compreender o problema, mas que resgataram conhecimentos construídos de
outros momentos, principalmente, da aula 3 na qual ocorreu a intervenção do professor.
A respeito das dificuldades dos conteúdos matemáticos, foi destacado o cálculo de
juros compostos, não mencionaram porcentagem, o que vemos como um avanço em
relação anterior.

5.6.2 Autoavaliação 2 da aula 4
No que diz respeito àautoavaliação 2, 8 estudantes disseram ter dificuldades no
desenvolvimento da aula na resolução das tarefas propostas e 4 disseram não ter
dificuldades. Essa dificuldadesalientada pode ter sido do tratamento dado ao Arco de
Maguerez, por meio do desafio, na qual os estudantes tinham que expor de maneira
oralizada as suas falas. Na compreensão dos conteúdos na aula, 6 estudantes
mencionaram ter apresentado dificuldades, mas que foram sanadas e 6afirmaram que
não apresentaram dificuldades. Sobre o aprendizado, 4 estudantes disseram ter
aprendido razoavelmente e 8 que aprenderam bastante. Mencionamos que o
tratamento dado às etapas no desafio podem ter contribuído para as percepções dos
alunos, uma vez que exigiu deles mais esforços quanto à colaboração, interatividade,
rapidez, entre outros.
Nos problemas propostas, 9 estudantes disseram que o nível estava adequado e
3 que estava mediano. Sobre o tratamento do mediano, inferimos que a aula passada
contribuiu para essa percepção ao abordar o cálculo de juros compostos. No que diz
respeito à linguagem utilizada nos problemas, 8 estudantes destacaram não apresentar
dificuldades para entender e 4 que sentiram dificuldades, mas depois compreenderam.
A linguagem considerada é algum fundamental para a apropriação dos estudantes
sobre o que estava sendo tratado e mesmo que não consigam entender inicialmente, é
preciso esforços dos alunos para uma análise mais atenciosa.

356

A respeito da utilização do Arco de Maguerez, como foi o desenvolvimento do
desafio do Arco, foi mencionado pelos estudantes que não sentiram dificuldades,
entretanto, notamos em suas falas orais que teriam dificuldades para falar de cada
etapa e que com maior tempo para escrever teriam uma melhor análise de cada
situação. Cabe destacar, que sobre as etapas o grupo 1 liderou no desafio do Arco.
Sobre as dificuldades para executar as operações necessárias nos problemas, 1
estudante disse que teve e 11 que não possuíram, vemos que o trabalho em equipe
contribuiu para o tratamento positivo desses dados. Ao tratar da comunicação, todos os
estudantes pontuaram que conseguiram pensar de maneira crítica e expor as suas
ideias e julgamos isso como importante na elaboração de problemas a partir da
situação norteadora. Ao considerar a condução da aula feita pelo professor, todos
destacam como satisfatória, clara e objetiva.
Quanto ao desempenho dos estudantes nessa aula, notamos um crescimento
quanto à percepção do excelente, o que destaca o entusiasmo e o envolvimento dos
estudantes em tarefas que vão além do material escrito (impresso), colocando à
disposição deles jogos e desafios. De um modo geral, sobre as considerações da aula,
foi destacado que o momento foi ótimo, que a aula foi divertida, interativa, agradável e
produtiva. Cabe destacar que as percepções dos pesquisadores, muitas vezes, não são
suficientes para tratar sobre o que estudantes consideraram a respeito de uma situação
de ensino e aprendizagem, mas que a visão dos estudantes é fundamental para
mudanças na prática do professor.
Assim sendo, damos por satisfeito o que foi tratado sobre a aula 4, e a partir do
próximo tópico esboçamos a análise e discussão da aula 5.

5.7Resultados e discussõesda aula 5
Como salientado em tópicos anteriores, a aula 5, último dia de aplicação, foi
dividida em dois momentos, o primeiro momento foi a aplicação de um jogo digital, ao
considerar que as Tecnologias da Informação e Comunicação (TDICs) são recursos
que devem ser implementados nas salas de aula e a familiaridade dos adolescentes do
século XXI com esse tipo de ferramenta, enfatizando a inserção dos alunos na cultura
digital conforme propõe a BNCC (BRASIL, 2018, p. 9) na competência geral 5:

357

Compreender, utilizar e criar tecnologias digitais de informação e comunicação
de forma crítica, significativa, reflexiva e ética nas diversas práticas sociais
(incluindo as escolares) para se comunicar, acessar e disseminar informações,
produzir conhecimentos, resolver problemas e exercer protagonismo e autoria
na vida pessoal e coletiva.

. Com isso, esse primeiro momento foi realizado de forma individual, no qual os
estudantes utilizaram os seus aparelhos celulares para acessar a ferramenta. Vejamos
a transcrição da fala do professor para essa aula:
Quadro 41: Recorte da transcrição do momento inicial da aula 5
Professor – Vejam, estudantes, nessa aula teremos duas atividades, um jogo digital e a elaboração de
um problema matemático a partir de uma situação norteadora.
Estudante 9 – Como a gente vai acessar um jogo digital sem internet?
Professor – Calma! Eu vou rotear internet do meu celular, vou disponibilizar o link do jogo no grupo e a
partir daí vocês farão suas atividades.
Estudante 1 – Agora sim!
Professor – Cada problema no jogo trata de uma situação da realidade, mas não teremos o que
chamamos até agora de situação norteadora.
Estudante 13 – Entendi, professor.
Fonte: Material da pesquisa (2022)

Nessa explicação de como a aula acontecerá, já observamos a negociação das
funções de cada parceiro na situação didática (BROUSSEAU, 1986, 2008). Não foi
observado momentos de ruptura, acreditamos que a linguagem utilizada para a
explicação estava ao alcance de todos (BERNSTEIN, 1996). Assim sendo, foi
disponibilizado o jogo para os estudantes. O intuito foi verificar como os estudantes
agiriam durante a execução da ferramenta.
Ao tratar do envolvimento dos estudantes no jogo, observamos que enquanto
alguns estudantes estavam apressados para logo resolver os problemas e assim
concluir o jogo, a fala doestudante 13 “eu quero acertar tudo, vou fazer devagar,
direito”, chamou-nos a atenção, pois evidenciou que ele não queria apenas responder
de qualquer modo os problemas, mas que além disso queria acertar. Cabe ressaltar
que os estudantes que estavam interessados em resolver de maneira para acertar as
questões, estavam fazendo os seus cálculos em papéis destinados para rascunho.
Observemos as fotos abaixo com os estudantes durante a execução do jogo:

358

Figura 171: Estudantes na execução do jogo

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Percebemos que a falta de interesse maior nas questões foi do estudante 8, que
é o perfil que apresentou maior dificuldade no envolvimento das tarefas individuais. No
entanto, o professor salientou que era importante o envolvimento de todos e que no
final, teria um ranking com o resultado de todos. A falta de interesse do estudante, mais
uma vez, evidencia uma ruptura do Contrato Didático (PAIS, 2002).Nessa aula, tivemos
a presença de 11 estudantes, faltando os estudantes 7 e 12 por motivos
desconhecidos.
Assim sendo, como expusemos a ideia do ranking, os estudantes no final
poderiam colocar seus nomes, ver suas pontuações e colocações, o que mostrou que o
estudante 3 não ficando satisfeito com a sua pontuação, pediu para refazer a tarefa e o
professor mencionou que ele poderia. Destacamos sobre isso a vontade do estudante

359

no envolvimento da tarefa e a maneira que ele poderia rever em que errou, podendo
reconstruir as suas soluções.
O estudante 2 manifestou que estava com dificuldades em resolver alguns
problemas, inferimos que isso pode derivar da não compreensão das situações
envolvidas, entretanto, foi orientado pelo professor a fazer a releitura da situação e
assim tentar resolver. Observamos, de um modo geral, que como as questões tinham
enunciado mais simples, com poucos dados, as suas resoluções eram mais rápidas
(ideias de ritmo e sequenciamento) e que estavam ao alcance da maioria dos
estudantes (BERNSTEIN, 1996).
Desse

modo,

orelacionamento

interpessoal

também

contribuiu

para

o

desenvolvimento, uma vez que notamos vários momentos nos quais os estudantes
perguntavam aos seus colegas como eles fizeram tal questão, mas que eles não deram
as respostas, já que queriam ser os vencedores no ranking. Vejamos o que os
estudantes salientaram das questões nas etapas do Arco preenchidas de maneira
individual. É relevante mencionar que nas etapas do Arco, tínhamos consciência de que
como tratava de 5 questões e só um Arco foi preenchido para o todo, algumas etapas
poderiam evidenciar a discussão de só um problema ou mais, tipo as de hipóteses de
solução, uma vez que não foi utilizada a mesma estratégia em todos os problemas.
Primeiramente, observemos na figura abaixo as questões utilizadas no jogo virtual:

360

Figura 172: Questões do jogo digital

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

Por esse viés, como 11 estudantes participaram da atividade, vamos expor todos
os Arcos preenchidos por eles. Para isso organizamos a exposição aqui na dissertação
em três figuras, sendo que vamos apresentando os estudantes que dizem respeito aos
Arcos esboçados. Vejamos na figura abaixo o preenchimento do Arco feito pelos
estudantes:

361

Figura 173: Primeira etapa do arco preenchida de acordo com o jogo

Fonte: Material da pesquisa (2022)

No que tange à primeira etapa, nos chama a atenção sobre o que os estudantes
1, 2, 6 esboçaram, que analisaram sobre o manuseio com o jogo, entretanto, esse não
era o objetivo e podemos inferir que após eles resolverem os problemas já tinham
esquecido sobre o que se tratava. O estudante 3 destacou na sua análise, descrevendo
que as pessoas tinham que ter o mínimo de conhecimento de Matemática Financeira
para pode se sair bem em sociedade; a percepção do estudante 3 diz respeito aos juros
que estavam presentes nas situações. Os demais estudantes expuseram aspectos
gerais: o agir em situações diversas, principalmente nas que existem o acréscimo de
juros. A partir disso, percebemos que as análises dos estudantes 1, 2 e 6 foram contra
o que havia sido solicitado.

362

Na figura abaixo observemos o que foi preenchido pelos estudantes na segunda
etapa do Arco:
Figura 174: Segunda etapa do arco preenchida de acordo com o jogo

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Na etapa dos pontos-chave, alguns estudantes consideraram que o que estava
sendo investigado eram suas habilidades sobre o manuseio com o jogo. Outros
pontuaram sobre situações que envolviam juros, aumentos, descontos. Notamos que
algumas respostas, de estudantes diferentes, estão iguais e que eles solicitaram ajuda
do outro, respondendo da mesma maneia. Diante disso, pontuamos que a não
utilização de uma situação norteadora inicial e o jogo abordando cinco questões, pode
ter contribuído para essa abordagem.

363

Na figura seguinte apresentamos as percepções dos estudantes na etapa de
teorização:
Figura 175: Terceira etapa do arco preenchida de acordo com o jogo

Fonte: Material da pesquisa (2022)

364

Na etapa de Teorização, sobre os conteúdos matemáticos abordados nos
problemas, todos conseguiram identificar, entretanto, nem todos esboçaram os
símbolos. A questão dos símbolos foi uma falha recorrente em todas as aulas, podemos
inferir que se trata de uma regra implícita do Contrato Didático (BROUSSEAU, 1986,
2008), todavia, não foram todos os estudantes que deixaram de mencionar os
símbolos.
Observemos na figura a seguir o que foi preenchido na etapa de hipóteses de
solução:
Figura 176: Quarta etapa do arco preenchida de acordo com o jogo

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Quanto à etapa de hipóteses de solução, foi destacado que foram analisando os
dados e como se tratava de questões de múltipla escolha, o estudante 1 destacou a

365

eliminação como uma estratégia para chegar ao resultado, isto é, observou como a
resposta se adequaria melhor ao que estava sendo solicitado e assim foi descartando
as que não eram cabíveis para ele.
Vejamos na figura seguinte o que foi preenchido pelos estudantes na última
etapa do Arco:
Figura 177: Quinta etapa do arco preenchida de acordo com o jogo

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Na aplicação à realidade, dois pontos de vista ficaram evidentes (SILVA; FEIL,
2020), foram eles: reação diante das situações e como poderiam resolver os problemas
no contexto real. Nesse sentido, apesar de os estudantes irem contra o solicitado nas
primeiras etapas, o que configura uma ruptura do Contrato Didático (BROUSSEAU,

366

1986, 2008), notamos que no final eles manifestaram uma reflexão crítica, mesmo que
sucinta, diante do tratamento que foi dado às questões do jogo.
Por fim, como última tarefa da aplicação do Produto Educacional, os estudantes,
novamente divididos em grupos, teriam que a partir de uma situação norteadora
elaborar um problema matemático. É importante mencionar, que o nosso foco no
estudo não foi a elaboração de problemas, mesmo sabendo que muitas pesquisas
tratam disso, mas pontuamos que o contato dos estudantes nas demais aulas com
problemas diversos poderia contribuir para isso, além de explorar a sua criatividade,
vista como uma habilidade do século XXI (SZABO et al., 2020). Na BNCC (BRASIL,
2018) também é salientado sobre as habilidades dos estudantes resolverem e
elaborarem problemas, como pode ser visto nas habilidades utilizadas neste estudo
para a confecção do Sequência Didática.
Desse modo, para a tarefa como fez parte da aula 5, foi preciso uma segunda
negociação, dessa vez solicitando que os estudantes se organizassem em grupos e a
que partir de uma situação norteadora criassem perguntas, elaborassem um problema,
resolvessem e preenchessem as etapas do Arco. Ficam visíveis as regras do Contrato
Didático: trabalho em grupo, ler a situação norteadora, elaborar o problema, preencher
o Arco de acordo com o problema criado (BROUSSEAU, 1986, 2008).
Vejamos a situação norteadora da tarefa:
Figura 178: Situação norteadora da segunda tarefa da aula 5

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

367

Consideramos o Diário de Pernambuco para essa tarefa, por considerar ainda
mais o contexto dos estudantes e a elaboração dos problemas, visto que é possível a
ligação entre a realidade e a sala de aula por meio da elaboração de problemas. Além
disso, pontuamos que é através da realidade que os estudantes buscarão sentido para
o que vão explorar (BERBEL, 2012).
Assim sendo, a partir da situação norteadora os estudantes criaram perguntas,
sobre isso, vimos o avanço em relação à tarefa de ambientação, não sendo necessária
a intervenção do professor e como era uma tarefa de elaboração, eles ficaram bem
livres. Desse modo, podemos dizer que o professor deu tempo para os estudantes
(ONUCHIC, 1999), contribuindo para o fortalecimento de estudantes criativos
(MAHARANI, 2014) e considerando ideias de ritmo e sequenciamento (BERNSTEIN,
1996).
Por esse viés, como os grupos estavam livres para a tarefa, enquanto uns faziam
as perguntas, outros estavam elaborando os problemas. Vejamos na figura a seguir as
perguntas do grupo 1 (estudante 1, 3 e 4):
Figura 179: Perguntas elaboradas pelo grupo 1

Fonte: Material da pesquisa (2022)

A respeito do trabalho realizado por esse grupo, destacamos a contribuição e
relação das perguntas feitas como a elaboração do problema. Vejamosque perguntas
foram a respeito dos juros no caso do parcelamento e o problema elaborado sobre o
pagamento de juros (como mostrado na figura seguinte). Destacamos que as perguntas
se adequam com a situação norteadora e que o problema elaborado também:

368

Figura 180: Problema elaborado e respondido pelo grupo 1

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Sobre o problema construído, destacamos que ele é de dois ou mais passos
(CHARLES; LESTER, 1986). O grupo fez os cálculos matemáticos precisos, enquanto
um respondia outro integrante fazia a verificação da resposta. Observemos o que foi
preenchido pelo grupo no Arco referente ao problema elaborado:

369

Figura 181: Arco preenchido de acordo com o problema elaborado pelo grupo 1

Fonte: Material da pesquisa (2022)

O grupo fez a análise da realidade, disse o que estava sendo investigado, os
conteúdos matemáticos envolvidos (não mostrou os símbolos), mostrou como fizeram
para responder, entretanto, na etapa de aplicação à realidade, o grupo tratou do
parcelamento de maneira global, como ser visto na figura seguinte na apresentação do
Arco preenchido de acordo com o problema.
Vejamos agora as perguntas elaboradas pelo grupo 2:
Figura 182: Perguntas elaboradas pelo grupo 2

Fonte: Material da pesquisa (2022)

370

O grupo 2 também conseguiu fazer a análise da situação norteadora e a partir
dela criar perguntas condizentes e percebemos que as perguntas têm uma íntima
relação com o problema criado, uma vez que a ideia central das perguntas em relação
à situação norteadora foi sobre desconto e isso também foi elucidado no problema.
Vejamos a figura seguinte com o problema elaborado e a sua resolução:
Figura 183: Problema elaborado e respondido pelo grupo 2

Fonte: Material da pesquisa (2022)

A respeito do problema, apesar de ter problemas linguísticos, no que diz respeito
à sua articulação entre o que o grupo queria questionar, é notório que além do tema

371

exposto na situação norteadora, o grupo utilizou outros conhecimentos da vida pessoal,
ao tratar do Auxílio Emergencial, benefício pago às famílias em vulnerabilidade social
no período da pandemia. O grupo ao expor a sua resolução, não mostrou no papel
como calculou 65% de 550, podendo ter realizado em outro material não entregue ao
professor/pesquisador. Vejamos o que foi preenchido pelo grupo no arco com relação
ao problema elaborado:
Figura 184: Arco preenchido de acordo com o problema elaborado pelo grupo 2

Fonte: Material da pesquisa (2022)

O grupo fez o tratamento dos dados de forma adequada em todas as etapas do
Arco, destacou que é positivo se ter desconto na conta de energia, o que está
investigado no problema, os conteúdos matemáticos envolvidos no problema, como
pode resolver o problema e como acontece a sua aplicação à realidade.
A respeito do grupo 3, observemos na figura abaixo como os estudantes
elaboraram suas perguntas:

372

Figura 185: Perguntas elaboradas pelo grupo 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

A respeito do grupo 3, as perguntas estão de acordo com a situação norteadora
e elas se relacionam com o problema elaborado. A pergunta 3 nos chama atenção e
poderia ser algo investigado pelo grupo, uma vez que questionaram se as pessoas não
cadastradas no Cadúnico também tem desconto na fatura na conta de energia e isso
configura que o grupo relacionou a situação tratada com aspectos de suas vidas
(BERBEL, 2012). Vejamos na figura a seguir o problema elaborado pelo grupo 3 e a
resolução:
Figura 186: Problema elaborado e respondido pelo grupo 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

373

Do mesmo modo que no grupo 2, o grupo 3 apresentou uma dificuldade de
articulação de ideias para a elaboração do problema, no entanto, o que está sendo
investigado dá para ser notado a partir do que foi preenchido na etapa dos pontoschave do Arco. As ideias expostas pelo grupo nas etapas de observação e aplicação à
realidade, ao tratarem dos impostos, estão relacionadas às mencionadas na aula 2, que
o mesmo grupo ao expor sobre essas duas etapas trouxe à tona a ideia de impostos e
inferimos que eles apresentam dificuldades de focar no tema da situação que está
sendo discutida. Observemos a figura seguinte com o que foi preenchido pelos grupos
no Arco:
Figura 187: Arco preenchido de acordo com o problema elaborado pelo grupo 3

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Para mais, observamos que as demais etapas, mesmo sucintas, foram
preenchidas de acordo e que ocorreu o momento de representação/compreensão dos
problemas criados, planejamento, execução e monitoramento das respostas.
Diante as elucidações feitas à cada grupo de modo particular, agora iremos
traçar algumas considerações sobre a tarefa de maneira geral. Ao considerar essa
tarefa para os estudantes, apontamos que ocorreu o fortalecimento de uma perspectiva

374

de aprendizagem mais voltada para a construção de estratégias pelos próprios
estudantes (COLOMBO; BERBEL, 2007). Berbel (2012) aponta que é por meio da
realidade que se busca sentido, explicação e justificavas para transformá-la e que
inferimos que isso foi possível diante dessa tarefa que os estudantes realizaram. Os
estudantes procuraram respostas para as suas próprias perguntas e que isso contribuiu
para

o

hábito

de

questionar-se

(ECHEVERRÍA;

POZO,

1998).

Habilidades

metacognitivas ficaram visíveis: leitura, análise, reflexão, previsão, planejamento,
monitoramento e avaliação (MULYONO; HADIYANTI, 2017). Observemos na figura
abaixo, os grupos no desenvolvimento dessa atividade:
Figura 188: Grupos no desenvolvimento da atividade de elaboração de problemas

Fonte: Material da pesquisa (2022)

Assim sendo, para a execução dessa tarefa foi preciso a liberdade de
pensamento, os grupos não estando sob controle ou pressão (MAHARANI, 2014). As
ideias de ritmo de cada grupo tiveram que ser consideradas, do mesmo modo as de
sequenciamento, uma vez que as habilidades de pensamento e articulação de ideias
são divergentes (BERNSTEIN, 1996).
Na articulação entre situação norteadora, perguntas e elaboração os problemas,
foi desenvolvido nos estudantes a capacidade de gerenciar informações (BRASIL,
1997). Não observamos nessa atividade quebra de contrato, uma vez que os grupos
estavam dispostos a fazerem as tarefas, entretanto, quando a tarefa é individual a
quebra de contrato é mais recorrente, ou seja, observamos que de um modo geral em
tarefas em grupo, quando eles têm apoio uns dos outros se mostram mais engajados. A
aprendizagem dos estudantes aconteceu no decorrer das situações, isto é, o processo

375

foi realizado (BROUSSEAU, 2008). A relação do estudante com o meio, através da
troca de informações codificadas e não codificadas foi de fundamental importância.
Ademais, a partir de agora iremos tratar das autoavaliações desta aula.

5.7.1 Autoavaliação 1 da aula 5
A respeito dos estudantes apresentarem dificuldades em preencher o Arco de
Maguerez após a execução do jogo, 7 estudantes disseram que não apresentaram
dificuldades e 4 estudantes dificuldades parciais. Sobre isso, destacamos o que foi
salientando, que pelo fato de o jogo tratar de 5 problemas, os estudantes poderiam ter
dificuldades para o tratamento das etapas, uma vez que diversos pontos foram
investigados. No entanto, os estudantes terem destacado dificuldades parciais é um
grande avanço, já que conseguem refletir sob diversos problemas em um único Arco.
Quanto às etapas do Arco em que foi perguntado em qual apresentaram mais
dificuldades, 5 estudantes assinalaram a aplicação à realidade, 5 estudantes disseram
não ter dificuldades e 1 estudante destacou a observação da realidade. Sobre as duas
etapas destacadas, são aquelas que exigem dos estudantes uma reflexão que vai além
de uma solução numérica. Foi um avanço menos de 50% dos estudantes dizer que não
apresentaram dificuldades, o que foi contrário em uma autoavaliação da aula 1.
Acerca da identificação dos conteúdos matemáticos durante o jogo, 8 estudantes
disseram não ter dificuldade, 1 estudante destacou ter dificuldade e 2 estudantes
apontaram dificuldades parciais. Notamos isso também como um avanço em relação à
aula 1 e a contribuição da proposta aplicada. Na percepção do jogo, 9 estudantes
destacaram nível mediano e 2 estudantes como fácil. A partir disso, eles melhoraram o
tratamento com os conteúdos abordados durante a aplicação da Sequência Didática e
que o jogo digital, por utilizar a tecnologia, pode ter contribuído para o envolvimento de
todos. No que diz respeito às dificuldades na execução do jogo diante das tecnologias
digitais, foi esboçado que conseguiram realizar a atividade proposta, no entanto,
disseram que a dificuldade era apenas resolver as questões. Assim sendo, eles não
tiveram dificuldade com as ferramentas digitais, o que é bastante positivo, pois o jogo
auxiliou de certo modo na inserção desses alunos na cultura digital.

376

No que concerne à elaboração do problema envolvendo Matemática Financeira,
10 estudantes mencionaram que conseguiram e não apresentaram dificuldades; 1
estudante disse que não estava acostumado a elaborar problemas nas aulas de
Matemática. Pontuamos que o tratamento com os problemas nas aulas anteriores
contribuiu para isso, do mesmo que as situações norteadoras permitiram a criação de
subproblemas, contribuindo para a elaboração do problema nessa aula final. Sobre
escrever o enunciado do problema encaixando os conceitos de Matemática Financeira
considerando a situação real na qual ele foi baseado, foi afirmado por 7 estudantes que
sim, mas com dificuldades e 4 estudantes disseram não ter dificuldades. Sobre os que
disseram ter dificuldades, embora pouca, vemos isso como um maior grau de instrução
ao tratar da primeira aula e dos conhecimentos semânticos (MAYER, 1992).
No que tange à elaboração das 3 perguntas propondo os questionamentos para
o debate em sala de aula, todos os estudantes destacaram que sim e sem dificuldades.
Perceba o avanço em relação à aula 1 que o professor tinha que questionar os
estudantes para iniciar a discussão. Sobre a importância que se aborde problemas da
realidade nas aulas de Matemática para a aprendizagem dos conteúdos, foi assinalado
que sim e que é importante porque conseguem ver as aplicações dos conteúdos, tendo
mais sentido e podendo discutir os problemas reais desenvolvendo a criticidade. Assim,
julgamos como importante a ligação entre realidade e sala de aula (os temas
discutidos) por meio da resolução de problemas e que através da realidade se busca
sentido, explicação e justificativa para transformar os hábitos na vida em sociedade
(BERBEL, 2012)
Em relação à necessidade de seguir etapas para a resolução de problemas,
todos julgaram importante e que estruturam e organizam a forma de resolução. Desse
modo, pontuamos acercada importância das etapas do Arco de Maguerez, sendo
possível uma análise de maneira geral sobre os processos de pensamento durante a
resolução de questões, indo além de processos puramente matemáticos, isto é,
permitiu a interpretação, análise dos dados, resultados e reflexões sobre isso.

5.7.2 Autoavaliação 2 da aula 5

377

Tratando agora da autoavaliação dos aspectos gerais da aula, sobre o
desenvolvimento na aula e na resolução das tarefas, 4 estudantes disseram ter
dificuldades, mas que foram sanadas e 7 estudantes que não apresentaram
dificuldades. Vemos que as dificuldades no processo de aprendizagem não deixarão de
existir, mas que é possível contribuir para a sua melhoria para que a aprendizagem
aconteça. No que concerne à compreensão dos conteúdos abordados na aula, 3
estudantes afirmaram ter dificuldades, mas que conseguiram entender e 8 estudantes
que não tiveram dificuldades na compreensão. Enxergamos o número de estudantes
que entenderam sem dificuldades como algo bastante positivo, e que o trabalho com
tarefas articuladas contribuiu para isso.
A respeito do aprendizado na aula, 9 estudantes salientaram ter aprendido
bastante e 2 estudantes razoavelmente, notamos que sobre essa questão, nas aulas
anteriores o número de estudantes que marcavam a opção de ter aprendido
razoavelmente era superior ao dessa aula, e que com o passar das tarefas foi visível a
melhoria da aprendizagem. Os problemasutilizados, dessa vez no jogo digital, 7
estudantes disseram que o nível estava adequado e 4 estudantes assinalaram nível
mediano. A linguagem nos problemas foi pontuada por 7 estudantes como de fácil
entendimento e por 4 estudantes que sentiram dificuldades, mas que entenderam.
Considerar o nível de instrução dos estudantes nos problemas que serão trabalhados é
algo fundamental para um maior aproveitamento de todos.
Ao tratar da utilização do Arco de Maguerez, foi apontado por 9 estudantes que
não sentiram dificuldades para preencher e por 2 que apresentaram dificuldades e
nessa questão comparada às outras aulas, também enxergamos como algo muito
positivo, pois o melhoramento com o manuseio do Arco foi algo que ficou em evidência
e que os estudantes precisam se habituar a resolver problemas por um viés
problematizador, que solicite deles reflexões críticas sobre o tema tratado.
A respeito da execução com as operações matemáticas básicas, os 11
estudantes mencionaram não sentir dificuldades e observamos que nas outras
autoavaliações sempre havia estudantes que mencionaram ter dificuldades, daí
inferimos que a Sequência Didática também contribuiu para essa melhoria. A
comunicação

entre

professor-estudante

e

estudante-estudante

todos

também

378

destacaram que conseguiram pensar de maneira crítica e expor as suas ideias, no final,
notamos que isso se repetiu nesta aula e na anterior.
A aula foi considerada como satisfatória, clara e objetiva por todos os
estudantes. Quanto ao desempenho na aula, chamou-nos a atenção que os estudantes
pontuaram como excelente e ótima, sendo 8 estudantes como excelente e 3 como
ótima, e que apesar das dificuldades, acertaram a resolução dos problemas. A esse
respeito nas aulas anteriores alguns estudantes pontuavam a aula como boa, vemos
que a inserção das tecnologias digitais contribuiu para melhorar a avaliação sobre esse
aspecto. Nas considerações gerais a respeito da aula, foi mencionado que a aula foi
ótima e que gostaram da proposta, no entanto, por falta de atenção acabaram errando
algumas questões. Os estudantes conseguiram enxergar que a falta de atenção pode
ser algo prejudicial na execução de suas tarefas e isso contribui para um melhor
desenvolvimento em tarefas propostas futuras.
Ademais, pontuamos que a apresentação, análise e discussão das cinco aulas,
foi essencial para termos uma visão global da contribuição da Ação Comunicativa, da
Resolução de Problemas, do Arco de Maguerez e do Discurso Pedagógico, na
investigação que considere o Contrato Didático e que no tópico seguinte trataremos das
percepções dos estudantes após a aplicação da Sequência Didática por meio de um
Questionário a Posteriori, que encerra a aplicação do Produto Educacional.

5.8 O questionário a posteriori
Exposto em seção anterior, o Questionário a Posteriori teve por objetivo
averiguar as percepções dos estudantes após a aplicação da Sequência Didática.
Assim sendo, por meio dele será possível observar as considerações feitas sobre as
aulas de um modo geral, a respeito das principais dificuldades, da contribuição da
abordagem aplicada para a construção de saberes e se as ações do professor foram
favoráveis nas situações de ensino e aprendizagem.
Diante disso, o Questionário a Posteriori foi composto por 22 questões, as quais
foram apresentadas também na seção anterior e que agora iremos discutir a respeito
das respostas dos estudantes. Responderam o Questionário a Posteriori 12 estudantes,
uma vez, como salientado, mesmo fazendo parte da pesquisa 13, um estudante não

379

frequentou as aulas 4 e 5 e não compareceu também no dia que foi aplicado este
questionário.
Assim sendo, na questão 1 questionamos a respeito dos problemas envolvendo
a Matemática Financeira partirem de contextos reais, pois a partir dela saberíamos o
que os estudantes acharam com a aplicação dessa abordagem, ao considerar a
realidade como ponto de partida. Observemos na figura abaixo o que foi assinalado:
Figura 189: Gráfico das respostas da questão 1 do Questionário a Posteriori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

Nessa questão, 100% dos estudantes assinalaram que os problemas criados a
partir de situações reais contribuíram muito para a construção de saberes envolvendo
Matemática Financeira. Diante disso, pontuamos que o que era esperado por nós, ao
utilizar situações norteadoras a partir da realidade e permitir o tratamento dos dados de
cada questão por meio análise, resultados e reflexões, permitiu uma nova roupagem ao
tratar da Resolução de Problemas e a importância da utilização dessa abordagem com
a utilização da realidade como ponto de partida e aplicação nela (BERBEL, 2012).
Na questão 2, questionamos a respeito das aulas nas quais os estudantes
apresentaram mais dificuldades. Observemos a figura abaixo:

380

Figura 190: Gráfico das respostas da questão 2 do Questionário a Posteriori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação(2022)

Nessa questão, pontuamos que já era esperado esse tratamento sobre a aula 3,
dado que nela as tarefas foram realizadas de maneira individual, que estudantes
apresentaram resistência para preencher o Arco e, principalmente, a dificuldade e os
erros na questão que tratava de juros compostos, pois eles não tinham conhecimento
de como se dava o cálculo nesse tipo de juro. Cabe destacar que na primeira aula, no
que concerne em especial à tarefa de ambientação, também já esperado, pois foi o
primeiro contato dos estudantes com o Arco de Maguerez, embora os problemas
fossem de fácil entendimento.
A questão 3, tratou dos conteúdos que foram cobrados nos problemas e as
dificuldades dos estudantes. Vejamos a figura abaixo:

381

Figura 191: Gráfico das respostas da questão 3 do Questionário a Posteriori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação(2022)

Sobre as dificuldades, embora elas não tenham acontecido em todas as aulas,
ficou em evidência principalmente no cálculo de juros, mas que com a intervenção do
professor foi possível que os estudantes se envolvessem em suas tarefas e, assim,
resolvessem o que era proposto, mesmo que, por algumas vezes, não tenham
conseguido chegar a uma solução correta nos problemas. Cabe salientar, o quanto foi
contribuído para a aprendizagem desses estudantes sobre esses conteúdos, pois
61,53% dos estudantes assinalaram no Questionário a Priori que tinham dificuldades,
principalmente em juros e porcentagem.
Na questão 4, indagamos sobreas perguntas feitas pelo professor durante e após
a resolução dos problemas. Vejamos a figura abaixo com as respostas:

382

Figura 192: Gráfico das respostas da questão 4 do Questionário a Posteriori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação(2022)

Ao tratar dessa questão, precisamos discutir a respeito das duas percepções dos
estudantes. Os que afirmaram que as perguntas do professor contribuíram para o
compartilhamento de ideias na resolução de problemas, vemos como algo bastante
positivo, uma vez que no Questionário a Priori os sujeitos de pesquisa responderam
que não eram direcionados pelo professor para argumentarem de maneira crítica, algo
que é necessário para o desenvolvimento das habilidades do século XXI (SZABO et al.,
2020).
Entretanto, os estudantes que assinalaram que pouco contribuiu para o
compartilhamento de ideias, acreditamos que para esses as perguntas podem não ter
sido suficientes e que as dificuldades para expor as suas ideias podem ter interferido a
respeito dessa resposta. Ainda cabe dizer que não vemos isso como negativo, dado
que é impossível a alcançar todos os estudantes em uma situação didática, mas que
cabe-nos pensar sobre novos questionamentos.
Na questão 5, perguntamos sobre as dificuldades na execução dos jogos,
vejamos a figura abaixo:

383

Figura 193: Gráfico das respostas da questão 5 do Questionário a Posteriori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação(2022)

Apesar de uma parcela dos participantes mencionarem ter poucas dificuldades,
salientamos que é importante a diversificação de tarefas em uma Sequência Didática.
Na questão 6, questionamentos sobre o agir do professor em sala de aula,
vejamos o resultado na figura a seguir:
Figura 194: Gráfico das respostas da questão 6 do Questionário a Posteriori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação(2022)

384

Constatamos que por mais que o professor em alguns momentos não fez o que
os estudantes queriam, no caso dar as respostas nos problemas ou facilitar as suas
tarefas, (gerando o Efeito Topázio) isso não foi visto como ruim para eles. Sobre isso
inferimos que o professor tem que organizar e mediar as situações de aprendizagem,
para que os estudantes reflitam e busquem outras estratégias para o que estão
fazendo.
Na questão 7, a pergunta foi sobre o comportamento do professor quando os
estudantes apresentaram dúvidas. Vejamos a figura abaixo:
Figura 195: Gráfico das respostas da questão 7 do Questionário a Posteriori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

No que concerne ao que foi assinalado pelos estudantes, os resultados
reafirmam o que já pontuamos nas análises e discussões, em que relatamos que
quando surgiam dúvidas ou os estudantes não tinham domínio do conteúdo, não foi
dado respostas, mas que buscou-se explicar de maneira que eles compreendessem e
foram feitos questionamentos com o intuito de contribuir para o pensamento reflexivo.
Apenas uma vez foi gerado o Efeito Topázio, o que consideramos que naquela
situação, não houve como evitá-lo.

385

Na questão 8, tratamos da linguagem utilizada nas situações norteadoras, nos
problemas e pelo professor. Observemos o que foi assinalado pelos estudantes na
figura abaixo:
Figura 196: Gráfico das respostas da questão 8 do Questionário a Posteriori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação(2022)

Grande parte dos estudantes julgou a linguagem como adequada, a respeito
disso pontuamos a necessidade de o material didático estar de acordo com o grau de
instrução dos sujeitos envolvidos nas situações didáticas, pois isso permitirá uma maior
contemplação na resolução de problemas, dado que se não compreendem a
linguagem, não fazem uma representação correta do problema o que acaba interferindo
em todo o seu desenvolvimento.
Na questão 9, foi questionado sobre as dificuldades de ler e interpretar os
problemas. Vejamos na figura a seguir:

386

Figura 197: Gráfico das respostas da questão 9 do Questionário a Posteriori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação(2022)

O que foi assinalado pelos estudantes corrobora com as ideias da questão
anterior, pois a linguagem considerando o nível de instrução dos alunos permitiu a
leitura e interpretação das situações. Ademais, mesmo com uma linguagem que permite
o entendimento por todos, sabemos que equívocos na interpretação e tratamento
analítico dos dados pode acontecer.
Sobre os estudantes que marcaram poucas dificuldades, não foi mencionado
quais eram. Além disso, cabe salientar que as percepções iniciais dos estudantes sobre
considerar situações da realidade e a sua ajuda na compreensão dos problemas, cerca
de 61,54% dos pesquisados colocaram que pouco ajudaria e que vemos que isso
contribuiu para o que foi pontuado agora no Questionário a Posteriori.
Na questão 10, indagamos sobre a dificuldade de separar os dados das
questões e enquadrá-los na resolução dos problemas. Segue a figura a seguir com o
resultado:

387

Figura 198: Gráfico das respostas da questão 10 do Questionário a Posteriori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação(2022)

Sobre os estudantes que disseram ter dificuldades, isso pode ter acontecido pelo
fato de, na maioria das vezes, ser preciso voltar à situação norteadora, já que os dados
delas também eram precisos para resolver os problemas.
Na questão 11 perguntamos sobre a dificuldade de validação das respostas
pelos estudantes, vejamos a figura abaixo:
Figura 199: Respostas da questão 11 do Questionário a Posteriori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação(2022)

388

No que diz respeito a essa questão, pontuamos que o professor questionava
sobre os estudantes acreditarem que as suas respostas estavam corretas, contribuindo,
assim, para que eles fizessem uma avaliação da solução apresentada. Os estudantes
que mencionaram ter dificuldades foram aqueles que solicitavam que o professor
dissesse se o cálculo estava certo ou errado.
Na questão 12 perguntamos sobre a contribuição dos problemas/questões para a
construção de saberes e aplicação na realidade. Observemos a figura abaixo:
Figura 200: Gráfico das respostas da questão 12 do Questionário a Posteriori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação(2022)

Foi salientado por todos que as questões contribuíram, a maioria considerou
como uma grande contribuição, em contrapartida, uma pequena parcela, 1 estudante,
destacou ter contribuído parcialmente. Mais uma vez, nesse ponto, destacamos o que
foi assinalado pelos estudantes no Questionário a Priori, no qual, a maioria dos
estudantes disse que considerar situações reais pouco ajudaria para entender os
conteúdos matemáticos e que agora a percepção é outra.
A questão 13 foi sobre conseguir compreender as noções de Matemática
Financeira com os problemas colocados. Apresentamos o resultadoa figura o a seguir:

389

Figura 201: Gráfico das respostas da questão 13 do Questionário a Posteriori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação(2022)

Todos destacaram que conseguiriam compreender, embora alguns tenham
apresentado dificuldades e outros não. Destacamos que o perfil cognitivo dos
estudantes não é homogêneo e que seria muito difícil fazer com que todos
compreendessem sem dificuldades.Na questão 14, buscamos investigar a percepção
acerca de resolver problemas envolvendo conhecimentos matemáticos e o resultado foi
este:
Figura 202: Gráfico das respostas da questão 14 do Questionário a Posteriori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação(2022)

390

No Questionário a Priori vimos que alguns estudantes disseram que não
resolviam problemas cotidianos com o conhecimento matemático, desconheciam a
aplicação dessa Ciência, agora o posicionamento de todos foi que conseguem resolver,
isto é, a partir da Sequência Didática, utilizando a realidade, foi possível que eles
enxergassem isso e dessem um outro tratamento à Matemática Financeira.
Na questão 15, buscamos que os estudantes avaliassem as questões colocadas
para eles nas aulas e o resultado está na figura a seguir:
Figura 203: Gráfico das respostas da questão 15 do Questionário a Posteriori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação(2022)

As questões foram avaliadas como excelentes e boas, essa apreensão dos
estudantes é muito importante, pois mesmo mostrando dificuldades em alguns
problemas, consideraram a sua relevância.
Na questão 16, indagamos sobre o Arco de Maguerez na resolução de
problemas. Observemos a figura a seguir:

391

Figura 204: Gráfico das respostas da questão 16 do Questionário a Posteriori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação(2022)

A ferramenta foi colocada como ótima e excelente, pois conseguiram organizar e
direcionar a resolução, partindo de problemas que abordavam questões do cotidiano.
Em relação a essa exposição, vemos que a nossa proposta somada à resolução de
problemas direcionou de maneira mais global os estudantes em suas resoluções e
permitiram um tratamento analítico das situações sob diversos vieses.
Na questão 17, foi buscado saber a respeito das etapas do Arco de Maguerez
expostas como essenciais, sendo o resultado exposto na figura a seguir:
Figura 205: Gráfico das respostas da questão 17 do Questionário a Posteriori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação(2022)

392

Chamou-nos a atenção que alguns estudantes assinalaram todas as etapas, por
isso acrescentamos essa opção no tratamento das questões e com base nisso vemos a
importância dada ao Arco e a maneira como ele foi importante para resolução dos
problemas. Não menos importante, foi o destaque dado aos pontos-chave, o qual trata
do que está sendo investigado, permitindo a apropriação das informações (BERBEL,
2012).
A observação da realidade e aplicação nela também foram destacadas, assente
nisso, pontuamos que para os estudantes foi relevante abordar os seus diversos pontos
de vista no primeiro contato com o problema e após a resolução matemática do
problema, essas duas etapas oportunizaram uma maior reflexão do problema e o
desenvolvimento da criticidade.
Ao contrário, na questão18, questionamos os estudantes a respeito de qual ou
quais etapas do Arco poderiam ser excluídas com o intuito de otimizar a sua utilização
na resolução de problemas e o resultado está na figura a seguir:
Figura 206: Gráfico das respostas da questão 18 do Questionário a Posteriori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação(2022)

393

Nesta questão, também tivemos que acrescentar a opção nenhuma, dado que
alguns estudantes não assinalaram as etapas, pontuando que todas eram necessárias.
No que concerne o tratamento com a teorização, percebemos que os participantes da
pesquisa apresentaram dificuldades, algumas vezes, para dizer sobre o conteúdo
matemático abordado no problema e por esse motivo podem ter mencionado essa
etapa. Quanto às hipóteses de solução já esperávamos que isso acontecesse, no
entanto, nos surpreendemos que um estudante assinalou. Os estudantes que
marcaram a aplicação à realidade, foram aqueles que na aula 3, tarefa individual,
apresentaram resistência no preenchimento, sendo que um deixou de preencher.
Na questão 19, perguntamos sobre como eles consideram o Arco: metodologia
da problematização, ferramenta de resolução de problemas, metodologia de ensino e
método de aprendizagem. Observemos a figura a seguir, com o resultado:
Figura 207: Gráfico das respostas da questão 19 do Questionário a Posteriori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação(2022)

Já esperávamos que os estudantes o tratariam como ferramenta de resolução de
problemas e metodologia de ensino, no entanto, fomos surpreendidos por não terem
assinalado como metodologia da problematização. Assim sendo, por mais que essa
alternativa não tenha sido destacada por eles, como foi visto, todas as situações

394

norteadoras e os problemas foram problematizados, considerando o Arco e também as
perguntas criadas por eles para as discussões.
Na questão 20, perguntamos sobre a experiência com o Arco e a sua utilização
na resolução de problemas. Vejamos o resultado exposto na figura a seguir:
Figura 208: Gráfico das respostas da questão 20 do Questionário a Posteriori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

Embora tenha sido destacado por algunsque algumas etapas do Arco poderiam
ser excluídas, apontado em questão anterior, essa visão deles sobre a utilização e
manuseio do Arco reafirma, mais uma vez, a necessidade de considerar as diferentes
tarefas matemáticas a partir da realidade.
Na questão 21, perguntamos sobre o agir comunicativo do professor durante a
aplicação das atividades. Vejamos a figura a seguir que apresenta as respostas:

395

Figura 209: Gráfico das respostas da questão 21 do Questionário a Posteriori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

Observamos que todos pontuaram que o agir comunicativo contribuiu muito para
o processo de aprendizagem e sobre isso destacamos a importância do trabalho com a
Teoria da Ação Comunicativa (HABERMAS, 1988).
Na questão 22, a pergunta tratou da aprendizagem de um modo geral sobre os
conceitos de Matemática Financeira por meio da Resolução de Problemas e do Arco de
Maguerez. Observemos o resultadona figura abaixo:
Figura 210: Gráfico das respostas da questão 22 do Questionário a Posteriori

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

396

Todos os estudantes pontuaram que aprenderam com a utilização das
abordagens, a maioria destacando plenamente e a minoria parcialmente.
Ademais, acerca de todas as elucidações neste tópico do Questionário a
Posteriori, notamos que a aprendizagem dos estudantes não é algo unilateral, o que é
considerado difícil para um, não é para todos.
Os Contratos Didáticos não podem ser rígidos e fixos que funcionem apenas
com negociações e sem rupturas, as rupturas são necessárias para que novos
momentos de aprendizagem sejam criados a partir da renegociação. O conhecimento
chegar ao alcance de todos é um desafio, mas nós, enquanto professores e
pesquisadores, podemos contribuir para isso, tornando as situações didáticas
ambientes de aprendizagem favoráveis para o estudante e para o professor na gestão
de um saber. Não podemos dizer que alguém sabe mais ou sabe menos, mas que
existem saberes diferentes e que eles poderão servir no tratamento que é dado a uma
situação norteadora. A diversificação dos materiais didáticos também é algo preciso.
Notamos que com o desenvolvimento de tarefas articuladas, os estudantes podem
melhorar os seus conhecimentos a respeito dos conteúdos matemáticos.
Assim sendo, enxergamos como suficiente para o tratamento deste tópico as
ideias apontadas e que na próxima seção traçaremos as considerações finais acerca do
estudo.

397

CONSIDERAÇÕES FINAIS
A princípio, antes de apontarmos as percepções acerca das análises,
investigando de que maneira elas podem favorecer para as práticas de ensino e
aprendizagem envolvendo Matemática Financeira, é preciso que recobremos alguns
pontos desta pesquisa.
Assim, pontuamos que o estudo teve como problema de pesquisa A partir da
proposição de uma Sequência Didática por meio da Resolução de Problemas e do
manuseio do Arco de Maguerez para tratar de Matemática Financeira, de que maneira é
possível explicar a ressignificação de saberes de alunos da 3ª série do Ensino Médio,
tomando como base a Ação Comunicativa, o Discurso Pedagógico, o Contrato Didático
e seus elementos?e por objetivo geral investigar, a partir da proposição de uma
Sequência Didática utilizando a Resolução de Problemas sobre Matemática Financeira
e o manuseio do Arco de Maguerez, as negociações, regras, rupturas e renegociações
do Contrato Didático, bem como a fuga dos efeitos perversos do Contrato Didático, e as
contribuições para ressignificação de saberes, tomando como base a Ação
Comunicativa e o Discurso Pedagógico em uma turma da 3ª série do Ensino Médio.
Em vista disso, para o desenvolvimento da pesquisa planejamos, elaboramos e
aplicamos uma Sequência Didática que considerou a Resolução de Problemas, o Arco
de Maguerez, a Teoria da Ação Comunicativa, a Teoria do Discurso Pedagógico e os
papéis dos estudantes e do professor em situações de ensino e aprendizagem
considerando o Contrato Didático.
Com isso, até chegarmos ao capítulo em que efetuamos as análises neste
estudo, discutimos, inicialmente, a Teoria das Situações Didáticas, abordando sobre
professor-estudante-saber; pontuamos acerca da noção de Contrato Didático e seus
efeitos, em que discorremos sobre as funções e ações dos estudantes e do professor;
tratamos da Teoria da Ação Comunicativa e do Discurso Pedagógico, nas quais
dialogamos a respeito da linguagem como peça fundamental para embasamento em
discussões, os tipos de perguntas e suas contribuições para o ensino e aprendizagem
da Matemática. Nesse sentido, discorremos também a respeito das correlações entre
as teorias supracitadas, destacando que a linguagem permitirá o entendimento

398

interpessoal entre diversos sujeitos em uma situação didática e que é utilizada para
construção/apreensão do conhecimento.
Em seguida, concebendo que o ensino de Matemática deve se dar a partir da
problematização, considerando o estudante como sujeito ativo no processo de
aprendizagem, dialogamos a respeito da Resolução de Problemas inserida numa
abordagem de ensino, sendo utilizada no Arco de Maguerez ao considerar a
Matemática como uma ciência aplicada socialmente e o seu ensino a partir da realidade
e aplicação nela, permitindo, assim, leitura, interpretação, análise, tratamento de dados
e reflexão crítica. Por conseguinte, discorremos sobre a Matemática Financeira nos
documentos norteadores da Educação Básica Nacional e como é abordada nos livros
didáticos aprovados pelo PNLD. Por fim, recuperamos o caminho metodológico desta
redação, enquadrando-a como pesquisa qualitativa por meio de um estudo de caso,
descrevendo o ambiente em que se deu o traquejo prático da investigação, os sujeitos
envolvidos, a concepção da Sequência Didática e a sua aplicação.
Dito isso, diante dos dados coletados, analisamos todas as tarefas dos treze
estudantes, os quais chamamos de estudantes 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 e 13.
Em relação às tarefas analisadas, dividimo-las de acordo com as suas aplicações que
se sucederam durante cinco aulas, tratando também do Questionário a Priori e
Posteriori. Para as análises, constituímos algumas categorias que tratam: das
negociações, regras, rupturas, renegociações e efeitos do Contrato Didático; das
interações discursivas, adequação de questionamentos, tipos de perguntas e a
contribuição do relacionamento interpessoal no desenvolvimento de tarefas; das
adequações do que estava sendo discutido com o perfil dos estudantes, o envolvimento
nas tarefas e ideias de ritmo e sequenciamento; das etapas do Arco de Maguerez, da
Resolução de Problemas e dos conhecimentos utilizados na busca de solução de
problemas.
No que concerne às análises feitas, refletimos, acerca das cinco aulas, bem
como do Questionário a Priori e Posteriori. Tratando das situações norteadoras e o
primeiro contato dos estudantes durante as aulas, notamos que a figura do professor é
importante ao questionar sobre o que está sendo tratado, para que assim o debate seja
iniciado; um outro ponto é a importância de os estudantes exporem seus pontos de

399

vista e a criação de perguntas, que podem ser consideradas subproblemas do tema
tratado e que o conhecimento expresso pelos sujeitos vai além da Matemática. Com
isso, destacamos que contextualizar as aulas de Matemática, permitindo a leitura e
reflexão da realidade para o trabalho com a Resolução de Problemas é algo necessário,
pois a Matemática vai além de uma solução numérica vista na resolução de uma
questão, ela tem um viés problematizador.
Precisamos considerar que não existe uma Matemática escolar e outra fora
desse espaço, mas que os estudantes como sujeitos sociais devem ter contato com
problemas advindos da realidade em que a Matemática seja necessária para sua
solução. Sobre isso, destacamos dois posicionamentos diferentes dos sujeitos de
pesquisa, primeiramente, uma parte pontuou no Questionário a Priori que não resolviam
problemas cotidianos com conhecimento matemático e que acreditavam que considerar
a realidade nas aulas de Matemática pouco contribuiria para o entendimento dos
conteúdos, entretanto, ao responder o Questionário a Posteriori suas percepções foram
modificadas, sendo salientado, no final, que a Matemática é necessária para resolver
problemas em sociedade e que a proposta ao considerar a realidade os ajudou no
entendimento dos conteúdos diversos.
Assim sendo, destacamos que a Ação Comunicativa foi essencial no
desenvolvimento do estudo da aula inicial à última aula, pois permitiu a partilha de
saberes entre os estudantes, fazendo com que eles buscassem um entendimento
comum acerca do que estava sendo tratado e realizassem suas tarefas. Como já foi
salientado por Martinho (2007), a interação na sala de aula propicia novas descobertas
e isso foi visto no desenvolvimento da pesquisa.
Ainda sobre a Ação Comunicativa ela permitiu que no preenchimento do Arco de
Maguerez, os estudantes refletissem, nas tarefas em grupo, sobre o que seria mais
adequado para ser esboçado em cada etapa, assim, mencionamos, como afirma Ponte
(2003), que a comunicação foi essencial durante a execução com o Arco, pois ajuda a
clarificar e refinar as ideias, além de que é um momento no qual o conhecimento é
construído e compartilhado.
Para mais, a Ação Comunicativa manifestada pelo professor estimulou os
estudantes a pensarem criticamente e discutirem ao preencher o Arco, mesmo que, por

400

vezes, alguns estudantes deixassem de preencher alguma etapa do Arco ou a fizessem
de maneira sucinta ou de maneira oralizada, como foi no caso do desafio do
Arco.Assim, a ação comunicativa do professor impulsiona ações comunicacionais dos
alunos, ou seja, a ação comunicativa primária do professor pode gerar a ação
comunicativa secundária dos alunos – falar, se comunicar com seus pares para resolver
o problema, e deste modo passa a ser a ação comunicativa principal por causa do
protagonismo do aluno. Por outro lado, é importante destacar que o professor deve
conhecer os tipos de perguntas que são mais adequadas a serem feitas durante a ação
comunicativa, uma vez que cada uma possui uma finalidade que contribui para
aumentar o nível de comunicação.
Outrossim, a Ação Comunicativa destacada no contexto da Teoria das Situações
Didáticas, do Contrato Didático e do Arco de Maguerez, quando se observa as
interações em sala de aula, é um elemento fundamental, pois auxilia no
desenvolvimento da competência geral 7 que trata da argumentação (BRASIL, 2018),
uma vez que proporciona um ambiente de dialogismo, a interação, consensos e mesmo
de dissensos, necessários em processos de aprendizagem e mediados pela linguagem.
É importante pontuar que as aulas de Matemática ministradas na maioria das
escolas públicas brasileiras não oportunizam momentos para que os estudantes
manifestem suas ideias, expliquem suas estratégias de resolução de tarefas
matemáticas, explanem sobre a relaçãodo conhecimento matemático com a realidade,
assim como há uma preponderância pelos exercícios em detrimento da resolução de
problemas, no que diz respeito às tarefas matemáticas selecionadas pelo professor
para as aulas. Deste modo, limita-se o desenvolvimento de habilidades e competências,
uma vez que predomina um tipo de tarefa, que são os exercícios, que focam em
mecanização de procedimentos, como pontuam Lozada e D’ Ambrosio (2018).
Infelizmente, constatamos, seja do ponto de vista de nossa experiência docente,
seja do ponto de vista de pesquisador, que é difícil uma pesquisa sobre processo de
ensino e aprendizagem de Matemática que faça os alunos escreverem, porque eles têm
a Matemática apenas como uma área em que vão fazer cálculos, sem buscar
significados e é um pesar que muitos professores ainda enfatizem isso em suas aulas.
Essa postura docente geralmente é derivada da formação inicial e das crenças

401

enraizadas que se assentam nas práxis docentes e a esse respeito Azcárate (1999, p.
128) explica que “em geral, asconcepções tendem a reproduzir o comportamento
docente que foi assimilado comoaluno e o que tem sido eficaz em sua experiência
profissional, sem refletir o porquê,o para quê de sua atuação profissional”.
Assim, esta pesquisa também abre novos horizontes para se repensar este
cenário, tanto em relação à questão de se proporcionar diferentes tipos de tarefas nas
aulas de Matemática para que os estudantes desenvolvam uma ampla gama de
habilidades e competências matemáticas, assim como os professores possam estimular
o processo argumentativo nas aulas de Matemática, o qual os alunos podem apresentar
justificativas, discutir hipóteses levantadas, contrapor-se em relação às formas de se
resolver uma questão, indagar e questionar, comunicar ideias, o que é também um
estímulo ao protagonismo para a construção do conhecimento.
Reiteramos o que coloca Ponte (2003) ao afirmar que a comunicação é algo
essencial no processo de ensino e de aprendizagem e que promove a interação,
negociação de significados, construção de conjecturas, seja de modo oral ou escrito,
visando desenvolver também a competência escritora, uma vez que os alunos também
não estão habituados a escrever textos nas aulas de Matemática, sendo que quando
têm oportunidade, em razão do que pontuamos, eles acabam redigindo respostas
sucintas, desprovidas de um repertório argumentativo e assim comunicam apenas
resultados numéricos ou pequenas descrições de procedimentos matemáticos.
Com isso, cabe-nos pontuar a respeito da importância das etapas do Arco de
Maguerez, pois além de tratar a realidade como ponto de partida, permite um olhar
global sobre a resolução dos problemas pelos estudantes e suas reflexões críticas
sobre eles, ou seja, oArco contribui significativamente para promover uma integração
direta com a realidade, analisando questões sociais que permeiam o cotidiano dos
estudantes, dando ênfase à criticidade e ao pensamento analítico-reflexivo.
Nesse sentido, trazemosnovamente as colocações deBerbel (2012) pontuadas
no texto desta dissertação, em que o autor afirma que através da análise da realidade
se busca sentido, explicação e justificativas para transformá-la, indo ao encontro do que
Freire (1989) enfatiza acerca da importância da leitura do mundo para desenvolver o
pensamento crítico-reflexivo. Então, defendemos que dentre as abordagens de

402

resolução de problemas, os professores deem preferência para problemas da realidade,
que também são importantes para a formação cidadã na medida que permitem a
imersão dos alunos nos problemas de sua realidade, discutindo-os, apontando soluções
e tomando decisões para mudá-la.
Esse viés voltado para a formação cidadã foi identificado ao longo da resolução
dos problemas com o uso do Arco e reforçado quando os alunos foram solicitados a
elaborar questionamentos e embora não tenha sido o foco desta pesquisa, o Arco de
Maguerez tem relações com a Educação Matemática Crítica proposta por Skovsmose
(2001) que aborda aspectos como democracia, empoderamento, emancipação, num
contexto de se refletir sobre o papel da Matemática na sociedade considerando o seu
poder formatador e as estruturas de poder. Aqui fica uma sugestão para pesquisas
futuras que verifiquem as relações do Arco de Maguerez com a Educação Matemática
Crítica.
Quanto às etapas do Arco, notamos que, de forma geral, os estudantes não
apresentaram dificuldades ao tratar da observação da realidade e aplicação nela,
fazendo leitura, interpretação, análise dos dados e reflexão crítica.
Cabe fazer dois apontamentos importantes antes de fazer colocações às etapas
do Arco: o primeiro em relação à criatividade para elaborar estratégias diferentes para
resolução do problemas pouco foi visto, os alunos costumavam utilizar estratégias
parecidas, e concluímos que nesse aspecto, a utilização do Arco contribuiu para iniciar
um trabalho para desencadear a criatividade, que deverá ter continuidade, para não
interromper os resultados alcançados de modo geral.
O segundo apontamento se relaciona com a tendência de alunos do grupo
pesquisado de abreviar o raciocínio, simplificar, não demonstrar como obtiveram o
resultado. Inferimos que seja decorrente de realizar mentalmente o cálculo ou “chutar a
resposta” ou copiar do colega ou ainda realizar o cálculo no caderno e somente passar
o resultado final para a folha da tarefa. De qualquer modo, esse fenômeno de omissão
de procedimentos deve ser acompanhado, pois podem sinalizar que dificuldades na
compreensão do conteúdo ou negligência do aluno em relação à sua aprendizagem,
produzindo respostas incorretas e/ou corretas em que não houve desenvolvimento e

403

nem mobilização da estrutura cognitiva, ou seja, houve apenas a preocupação em
entregar logo algo para o professor e se livrar da tarefa.
De maneira mais detalhada, na etapa de observação da realidade, em sua
grande maioria, os estudantes esboçaram o que tinha da realidade do problema,
conseguindo fazer uma relação entre o que estava no problema e situações de suas
vidas. Assim sendo, inferimos que foi possível uma ligação entre a sala de aula a
realidade com a utilização do Arco de Maguerez e que isso foi visto nessa primeira
etapa.
Quanto aos Pontos-chave, que questionavam sobre o que estava sendo tratado
nos problemas e os termos matemáticos e não matemáticos, mesmo com problemas
mais curtos nas aulas iniciais, era preciso releitura por parte dos estudantes para que
compreendessem o que estava sendo questionado, mas que isso evoluiu com o passar
das aulas, sendo destacado em aulas posteriores que grande parte dos envolvidos na
pesquisa conseguiam compreender os problemas. No entanto, percebemos que
referente aos termos matemáticos e não matemáticos, eles tinham mais facilidade para
descrever os termos matemáticos e que em alguns momentos deixavam de mencionar
ambos, o que representou dificuldade nos conhecimentos semânticos acerca dos
problemas. É pertinente mencionar que, em alguns momentos, os estudantes perdiam o
foco do que tratava o problema, representando falta de atenção e falha nos
conhecimentos linguísticos. Ainda sobre a etapa dos Pontos-chave, que também vimos
a etapa de representação/compreensão do problema, em alguns casos, os estudantes
entendiam o problema com uma certa facilidade e conseguiam resolvê-lo de maneira
mais rápida, utilizando de estratégias mentais.
Quanto à etapa de Teorização, em alguns casos, os estudantes não expuseram
os conteúdos tratados no problema. Acerca disso, dois pontos precisam ser elencados:
que os estudantes podem ter dificuldades com os conhecimentos semânticos e que ter
enunciados claros é preciso para uma melhor compreensão do problema, e que ter
situações de aprendizagem que estejam ao alcance da maioria dos estudantes é
fundamental, como afirmado na Teoria do Discurso Pedagógico. Ainda sobre a etapa de
Teorização, destacamos o avanço em relação aos símbolos matemáticos empregados
nas resoluções, pois em aulas iniciais os estudantes não expuseram e em aulas

404

posteriores em todas as tarefas entregues eles foram expostos, não todos, mas em sua
grande maioria.
No que diz respeito à etapa de Hipóteses de Solução, notamos que existe um
déficit nos conhecimentos estratégicos, pois, em muitos casos, os estudantes não
conseguiam descrever como planejaram e executaram suas estratégias para chegar à
solução do problema, destacando que foi passo a passo, mas não mencionavam os
passos, como separaram os dados, quais dados foram utilizados, entre outros. Cabe
destacar que nessa etapa, nas análises dos dados, apresentamos as resoluções dos
problemas expostas pelos alunos e que sobre elas: em alguns casos os estudantes a
fizeram mentalmente, abreviando o raciocínio; que o tipo de mente em evidência foi o
lógico-verbal; que apresentam dificuldades para validar respostas e não enxergam onde
erraram; que a maneira como os estudantes se articulam para resolver um problema é
diferente (os processos cognitivos) e que, como mostrado, tiveram vezes que
mostraram a solução de maneira descritiva e não colocaram os cálculos – mesmo isso
sendo poucas vezes, inferimos o desenvolvimento da competência leitora, escritora e
da argumentação.
Sobre a última etapa do arco, Aplicação à Realidade, os estudantes trouxeram
significados para o resultado numérico encontrado nos problemas, traçando suas
considerações e percepções sobre o que era abordado. Acerca dessa etapa e o que foi
mencionado nos achados da pesquisa, as respostas dos estudantes evidenciaram que
eles detectaram a realidade nas situações matemáticas e como agiriam caso os
problemas acontecessem com eles e, logo, os impactos da Matemática Financeira.
Destacamos que eles analisaram a realidade, buscaram sentido, explicações e
justificativas para transformá-la. Logo, se o estudante aprende para que serve a
Matemática, ele consegue aplicá-la. Sob esse viés, é importante frisar que se os
professores utilizassem problemas que tratem da realidade corriqueiramente,
habituariam os estudantes.
Nas etapas do Arco, de maneira geral, do início ao fim do desenvolvimento do
estudo, além das ponderações, percebemos que os estudantes também apresentaram
avanço em relação à escrita e que eles, por ora, parecem se habituar a escrever as
respostas nas etapas do Arco, mas isso não aconteceu de maneira linear, sempre havia

405

um ou outro que deixava as respostas incompletas ou deixava o espaço sem fazer
nada.
Um outro ponto, é que nas dificuldades do que preencher no Arco, as perguntas
tematizantes ajudaram na guia do Arco, pois tinham como intuito saber mais sobre o
que estava sendo investigado no problema: o que o problema aborda? o que você
enxerga nele sobre a realidade?. Sobre as perguntas de inquirição, elas também
desenvolveram um papel importante, já que possibilitavam ao professor pedir para que
eles dissessem mais do que já haviam exposto, que mostrassem um certo
conhecimento sobre o que era tratado, o que sabiam, se entenderam, para que
pudessem com base nas informações manifestadas defender suas ideias.
Sobre a utilização dos problemas curtos, esta opção decorreu, pois com os
problemas longos apresentavam mais dificuldades, justamente pelo fato de não terem o
hábito da leitura. O alunado de hoje apresenta duas características que se evidenciam
nas aulas: primeiro ele não sabe ler, se não sabe ler, não interpreta; se ele não
interpreta, não encontra meios para ir em busca de uma solução. A leitura vai além de
conhecer as palavras, é preciso decodificar o que está exposto.
Para mais, ainda foi salientado pelos estudantes que tiveram dificuldades para
seguir o Arco, ir de acordo com as etapas, mas não para preencher o que era solicitado.
Ademais, a relação dos estudantes com o meio - os problemas e utilização do Arco -,
destacou que as informações codificadas, por meio dos símbolos e exposições das
suas ideias, foram de fundamental importância para entendermos como os estudantes
se articularam na busca de soluções e aquilo que aparentam possuir mais familiaridade.
Com isso, notamos também que quando o trabalho é desenvolvido em equipe
existe um maior envolvimento dos estudantes, tanto nas etapas do Arco, quanto na
discussão sobre os seus pontos de vista e na discussão de como resolver o problema.
Acerca dessas ponderações, destacamos a importância do relacionamento interpessoal
mencionado na Teoria da Ação Comunicativa e que o desenvolvimento das tarefas em
equipe pode proporcionar uma maior partilha de saberes e que quanto mais os
estudantes se comunicam mais podem aprender, pois o que é de conhecimento de um
deles pode não ser de um outro, uma vez que existem saberes diferentes.

406

É relevante mencionar, que diante dos achados da pesquisa, os estudantes
apresentaram resistência incialmente para seguir etapas e que, por vezes, não queriam;
embora, nas autoavaliações tenham esboçado que é importante. Como visto, na aula
de ambientação, os estudantes primeiro resolviam os problemas para depois fazer o
preenchimento das etapas do Arco, entretanto, isso foi mudando de acordo com a
familiaridade deles com a proposta, pois conseguiram notar que as etapas do Arco
permitem uma análise mais global do problema: o que está sendo investigado, o
conteúdo tratado, os termos matemáticos e não matemáticos, entre outros.
Essa ação de resolver primeiro o problema para depois preencher o Arco,
denominamos de Inversão de Utilização. A proposta era que o Arco fosse um guia para
organizar a resolução e não uma espécie de “questão acessória” a ser preenchida após
a resolução matemática da situação norteadora. Isso evidenciou que o pensamento dos
alunos não é linear, não há uma aderência dos jovens em seguir passos/regras quando
se trata de resolver problemas(VIANA; LOZADA, 2020) e nem afeição com situações as
quais venham considerar como engessadas, eembora, em muitas ocasiões tenham
acertado a resolução fazendo a inversão na utilização do Arco, eles acabaram
rompendo o contrato.
Assim sendo, considerando a Matemática Financeira como saber discutido em
todas aulas, cabe-nos pontuar o avanço dos estudantes em relação ao cálculo de
porcentagem, acréscimo, decréscimos e de juros, uma vez que afirmaram no
Questionário a Priori sobre suas dificuldades, sendo visto no decorrer das aulas que a
intervenção do professor não era necessária a todo momento, uma vez que recobravam
o que havia trabalhado em aulas anteriores e que o relacionamento interpessoal
contribuía para isso. Notamos que houve avanço em relação as estratégias para o
cálculo de porcentagem, pois, em um primeiro, era utilizada uma única maneira pelos
sujeitos, sendo visto na aula 3 que foi modificada. Diante disso, consideramos que os
estudantes apresentaram avanços em relação ao aprendizado com a Matemática
Financeira e os conteúdos que a englobam ao considerar a primeira e a última aula, e
que foi contribuído para a ressignificação de saberes.
Foi perceptível que por mais que nas negociações do Contrato Didático, as
funções e papéis dos parceiros nas situações estivessem claras, as rupturas e

407

renegociações aconteceram, uma vez que o dinamismo de uma aula não é unilateral,
mas que é preciso uma conduta adequada do professor para que saiba lidar com essas
situações e assim favorecer momentos de aprendizagem.
A respeito das regras, algumas estavam claras e foram vistas como explícitas (o
estudante ler a situação norteadora, resolver o problema), entretanto, também tivemos
evidência de regras implícitas que foram derivadas dos tipos de perguntas realizados
pelo professor: o professor perguntava, os estudantes respondiam e assim gerava uma
discussão, sendo pertinente também o esclarecimento de dúvidas dos estudantes;
também observamos a questão dos símbolos matemáticos que foi recorrente a não
exposição de todos os símbolos envolvidos na resolução dos problemas na etapa de
Teorização do arco.
No que concerne às negociações e rupturas, o Contrato Didático era negociado,
rompido (os estudantes não faziam o que era esperado pelo professor) e,
consequentemente, renegociado, principalmente na aula de ambientação. Cabe
salientar que nas aulas posteriores as rupturas continuaram acontecendo, mas não era
algo global (com todos os estudantes), visto que foi evidenciada quando alguns não
queriam fazer o que era solicitado, como por exemplo, preencher uma etapa do Arco.
Algo que chamou a atenção, tratando das negociações e rupturas, foi o momento
que ao explicar uma tarefa na aula 4, não ficou claro para o estudante o que ele teria
que fazer e disso configuramos que o professor não utilizou um ritmo adequado para
explicação, ao considerarmos a Teoria do Discurso Pedagógico, e que acabou gerando
uma ruptura do contrato, uma vez que houve manifestação oral do estudante para dizer
que não entendeu e que o professor precisou buscar outra maneira para expor o que
teriam que fazer, uma renegociação. Essa ruptura, foi consciente pelo estudante, pois
não queria ser prejudicado pelo fato de não ter entendido os comandos do professor e
que nos leva a refletir sobre a maneira como o professor age quando orienta uma tarefa
e que ideia de ritmo e as ações comunicativas foram fundamentais para seguir com um
contrato. As rupturas, no que diz respeito aos estudantes não quererem fazer a tarefa
ou não preenchimento do Arco, foi mais recorrente quando estavam resolvendo os
problemas de maneira individual, pois com o apoio dos outros se mostram mais
engajados.

408

Sobre as negociações, rupturas e renegociações, mencionamos que o
dinamismo de uma sala de aula não é unilateral, isto é, não acontece de maneira linear
e somos surpreendidos na gerência de uma tarefa matemática. As rupturas aparecem
como necessárias na gestão de um saber, para que a aprendizagem aconteça: nem
sempre ela deve ser vista como algo negativo.
Notamos que durante alguns momentos alguns efeitos do Contrato Didático
poderiam ser evidenciados, principalmente, quando o estudante espera que o professor
facilite a sua tarefa e der as respostas, no entanto, diante do fazer com que o estudante
pense e que ele tenha tempo para pensar e refletir, isso pode ser modificado. Com o
intuito de fazer o estudante pensar, mencionamos a relevância da Ação Comunicativa
regida por tipos de perguntas, a contribuição da Resolução de Problemas e do Arco de
Maguerez. Sobre as perguntas utilizadas, é preciso dizer que é relevante o professor ter
conhecimento dos tipos de perguntas que podem ser utilizadas durante a resolução dos
problemas e condução nas aulas, para ter uma maior efetivação das respostas dos
estudantes e nas reflexões acerca do que é tratado.
Ainda sobre os Efeitos do Contrato Didático, outro ponto precisa ser mencionado,
que no estudo mesmo com a tentativa de fuga dos efeitos, em uma aula foi evidenciado
o Efeito Topázio, pois, diante da dificuldade dos estudantes com o conteúdo, o
professor, não vendo outra maneira no momento, explicou uma questão modelo para
que eles conseguissem resolver o problema.
À vista disso, sabemos que na teoria é mencionado que dar dicas é considerado
um Efeito, entretanto, precisamos saber diferenciar a existência do efeito quando não
quer fazer a tarefa (não está disposto) e quando ele não consegue por falta de
conhecimento. Esse efeito, como visto na literatura, é um dos mais frequentes nas
situações de ensino e aprendizagem, mas que vimos ele como preciso para
desbloquear estudantes com dificuldades acerca do conteúdo tratado. Reiteramos
ainda que ele pode possuir uma modulação ambivalente: ajuda que tem dificuldade
(positivo) e ajuda quem não está disposto (negativo), e que o professor deve estar
consciente da sua utilização para organizar uma situação favorável de aprendizagem.
Ainda sobre o Efeito Topázio, verificamos dois trabalhos publicados por
Brousseau (1983; 1984) e notamos que ao falar sobre os efeitos, o autor parte do ponto

409

de vista das atitudes do docente para que gerá-los, assim não foi identificado nesses
escritos originais, como um polo provocador, o aluno. Nesse sentido, é que postulamos
anteriormente que o EfeitoTopázio tem uma modulação ambivalente provocada por um
dos atores da situação didática, que é o aluno e que estudos futuros venham a se
aprofundar nesse aspecto que identificamos.
Destarte, consideramos que a aprendizagem é construída a partir de um
processo que se dá diante da articulação de tarefas. Esse processo construtivo deve
considerar abordagens diversas, destacamos aqui a utilização do Arco de Maguerez no
trabalho com a Resolução de Problemas, pois diante de situações norteadoras oriundas
da realidade os estudantes se apropriam de uma melhor maneira sobre o que está
sendo investigado no problema, discutem sobre ela e se comunicam com os demais
integrantes da situação didática por meio da oralidade. As aulas de Matemática são
ambientes de investigação, análise, tratamento de dados, busca de soluções e
reflexões.
Ademais, inferimos que o problema de pesquisa desta dissertação foi respondido
e que o objetivo foi alcançado, uma vez que a Resolução de Problemas vai além
resolver um problema apenas matemático, mas que é um processo de descoberta e
isso foi evidenciado no tratamento das etapas do Arco de Maguerez, sendo possível
explicar a aprendizagem dos estudantes. Considerando a Resolução de Problemas, a
Ação Comunicativa, o Discurso Pedagógico e o Contrato Didático e seus elementos,
pontuamos que foi permitido aos estudantes a mobilização de conhecimentos e o
desenvolvimento de capacidades para gerenciar informações. O desenvolvimento do
estudo contribuiu para o desenvolvimento de habilidades necessárias no presente
século, entre elas: habilidades de aprendizagem (pensamento crítico, criatividade,
colaboração e comunicação); habilidades de alfabetização (informacional); habilidades
para a vida (flexibilidade, liderança, iniciativa e produtividade).
Outrossim, cabe-nos pontuar que as hipóteses iniciais do estudo foram
comprovadas, que os estudantes ao se depararem com tarefas diferentes das habituais
ocorre quebra de Contrato Didático e que as renegociações foram necessárias.
Percebemos também que alguns efeitos do Contrato Didático poderiam ser
evidenciados e que um deles foi preciso para ajudar estudantes com dificuldades,

410

entretanto, a Ação Comunicativa do professor e as ideias de ritmo e sequenciamento do
Discurso Pedagógico, considerando o seu papel na situação didática, contribuíram para
a fuga desses efeitos e que os estudantes foram os responsáveis pelo desenvolvimento
de suas tarefas e o desenvolvimento de suas aprendizagens.
Destacamos como ensejo uma possível investigação futura sobre a elaboração
de problemas matemáticos a partir de situações norteadoras e a utilização do Arco de
Maguerez, dado que apontamos de maneira sucinta algo neste estudo, mas não foi o
nosso foco.
Um ponto que queremos destacar para investigações futuras, é que nos estudos
de Brousseau (1986, 2008), ele discutiu apenas efeitos de natureza negativa que
implicariam no aprendizado dos estudantes e que o professor tende a facilitar as tarefas
deles, entretanto, identificamos nesta dissertação que efeitos já vistos na literatura –
Efeito Topázio - podem ter um viés positivo e que é preciso para ajudar estudantes com
dificuldades, e que precisamos de olhar mais criterioso sobre esse efeito. Ainda sobre o
mesmo efeito, inferimos, que quando tentamos fugir dele quando o estudante não
estava disposto a fazer a tarefa e pedia respostas para o professor, veio à tona um
efeito positivo, que chamamos de Efeito Propulsor, que foi impulsionado pelo tipo de
pergunta tematizante, buscando saber mais do estudante acerca do tema tratado e que
fez com que ele se envolvesse com a situação e tentasse resolvê-la. Assim sendo, em
outros estudos, pretendemos investigar a utilização dos tipos de perguntas, utilizando
da Ação Comunicativa, na fuga de Efeitos do Contrato Didático, com o intuito de gerar
efeitos propulsores de natureza positiva.
Por fim, é preciso acrescentar que, no momento, essas são as considerações
possíveis diante da pesquisa realizada e nas análises concretizadas, sendo que o Arco
de Maguerez não só trouxe novas considerações sobre a resolução de problemas nas
aulas de Matemática, mas também sobre aspectos de outras teorias que serviram de
aporte teórico. Diante disso, propomos, como um estímulo para pesquisas futuras, uma
complementação do esquema da Teoria das Situações Didáticas, como se vê abaixo:

411

Figura 211: Esquema da relação professor-aluno-saber com complementações

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2023)

Quanto ao Arco de Maguerez, recomendamos a utilização na Educação Básica
da versão que propomos nesta dissertação com as etapas detalhadas por estar
didaticamente explicitada para esta etapa da escolarização, com a sugestão de que a
avaliação seja formativa com o uso de rubricas, por exemplo.
Esperamos que outros trabalhos venham a elucidar outros aspectos da
resolução de problemas com o Arco de Maguerez na Educação Básica, considerando
que a pesquisa relatada nesta dissertação trouxe resultados além do esperado partindo
de que o Arco não é comumente utilizado e assim, possa disseminá-lo.
No entanto, outras ponderações acerca da temática abordada poderão ser
realizadas em investigações futuras, como a escrita de artigos, a partir do corpus
coletado, ou pesquisa a nível de doutoramento, contemplando aquilo que possivelmente
tenha se mostrado insuficiente nesta dissertação de Mestrado.

412

REFERÊNCIAS

ALLEVATO, N. S. G.; ONUCHIC, L. DE LA R. As conexões trabalhadas através da
Resolução de Problemas na formação inicial de professores de Matemática.RENciMA:
Revista de Ensino de Ciências e Matemática, São Paulo, v. 10, n. 2, p. 1-14, 2019.
ALLEVATO, N. S. G.; ONUCHIC, L. R. Ensino-Aprendizagem-Avaliação de Matemática:
por que Através da Resolução de Problemas? In. ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S.
G.; NOGUTI, F. C. H.; JUSTULIN, A. M. (Orgs.) Resolução de Problemas: Teoria e
Prática. Jundiaí: Paco, 2014.
ALLEVATO, N. S. G.; ONUCHIC, L. R. Ensinando Matemática na sala de aula através
da Resolução de Problemas. Boletim GEPEM, Rio de Janeiro, n. 55, p. 1-19, 2009.
ALMEIDA, F. A. Sequência didática da proposição a aplicação: uma análise das
interações em sala de aula sob o ponto de vista das situações adidáticas. 224f.
Dissertação (Mestrado em Educação em Ciências e Matemática) – Universidade
Federal de Pernambuco, Caruaru, 2019.
ALMEIDA, F. E. L.O. O contrato didático na passagem da linguagem natural para a
linguagem algébrica e na resolução da equação na 7ª série do ensino
fundamental. 161 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências) – Programa de
Pós-graduação em Ensino das Ciências – Universidade Federal Rural de Pernambuco,
Recife, 2009.
ALMEIDA, F. E. L. O contrato didático e as organizações matemáticas e didáticas:
analisando suas relações no ensino da equação do segundo grau a uma incógnita. 305
f. Tese (Programa de Pós-Graduação em Ensino das Ciências) - Universidade Federal
Rural de Pernambuco, Recife, 2016.
ALVARENGA, D.; VALE, I. A exploração de problemas de padrão: um contributo para
odesenvolvimento do pensamento algébrico. Revista Quadrante, Portugal, v. 16, n. 1,
p. 27 -55, 2007.
ALVARENGA, K. B.; ANDRADE, I. D.; SANTOS, R. J. Dificuldades na resolução de
problemas básicos de matemática: um estudo de caso do agreste sergipano.
Amazônia:Revista de Educação em Ciências e Matemática, Belém-PA, v.12, n. 24,
p. 39-52, 2016.
ANDRADE, S. Ensino-aprendizagem de matemática via resolução, exploração,
codificação e descodificação de problemas. 295 f. Dissertação (Mestrado em
Educação Matemática) – Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade
Estadual Paulista, Rio Claro, 1998.

413

ANDRADE, T. M. Matemática interligada: grandezas, sequências e matemática
financeira. 1. ed. São Paulo: Scipione, 2020.
ANDRÉ, M. Questões sobre os fins e sobre os métodos de pesquisa em educação.
Revista Eletrônica de Educação. São Carlos, SP: UFSCar, v. 1, n. 1, p.119-131,
2007.
ARAGÃO, L. M. C. Razão comunicativa e teoria social crítica em Jurgen Habermas.
Rio de Janeiro: Tempo Brasileiro, 1992.
ARÁUJO, F. A. Rompendo o contrato didático: a utilização de estratégias
metacognitivas na resolução de problemas algébricos. Tese (Programa de PósGraduação em Educação) - Universidade Federal de Pernambuco, Recife, 2009.
ARAUJO, N. K. S. Dificuldades na resolução de problemas básicos de matemática:
um estudo de caso do agreste sergipano. 129f. Dissertação (Programa de PósGraduação em Ensino de Ciências Naturais e Matemática) – Universidade Federal de
Sergipe, São Cristóvão, 2015.
ARRUDA, M. C. S. O contrato didático na educação de jovens e adultos: um olhar
metacognitivo sobre as aulas de matemática. 2018. 101 f. Dissertação (Programa de
Pós-Graduação em Ensino das Ciências) - Universidade Federal Rural de Pernambuco,
Recife, 2018.
AZCÁRATE, P. El conocimiento profesional: naturraleza, fuentes, organización y
desarollo. Quadrante, U. Lisboa, v. 8, 1999.
BAHTIYAR, A.; CAN, B. An investigation of problem-solving skills of preservice science
teachers. AcademicJournals: EducationalResearch na Reviews, v. 11, p. 2108 – 2115.
2016.
BARDIN, L. Análise de conteúdo. Tradução: Luis Antero Reto, Augusto Pinheiro. 1.
ed. São Paulo: Edições 70, 2016.
BERBEL, N. A. N. A metodologia da problematização com o Arco de Maguerez:
uma reflexão teórico-epistemológica. Lodrina: EDUEL, 2012.
BERNSTEIN, B. A estruturação do discurso pedagógico: classe, códigos e controle.
Petrópolis: Vozes, 1996.
BERNSTEIN, B. Pedagogía, control simbólico e identidad: teoria, investigación y
crítica. Madrid: EdicionesMorata, 1998.
BOAVIDA, A. M.; PAIVA, A. L.; CEBOLA, G.; VALE, l.; PIMENTEL, T. A Experiência
Matemática no Ensino Básico: Programa de Formação Continuada em Matemática

414

para Professores dos 1.º e 2.º Ciclos do Ensino Básico. Lisboa: Ministério da Educação,
Direcção-Geral de Inovação e de Desenvolvimento, 2008.
BOGDAN, R.; BIKLEN, S. K. Qualitative research for education. Boston: Allyn and
Bacon, Inc. 1982.
BONJORNO, J. R. Prisma matemática: sistemas, matemática financeira e grandezas –
Ensino Médio – Matemática e suas tecnologias. 1. ed. São Paulo: Editora FTD, 2020.
BORDENAVE, J. D.; PEREIRA, A. P. Estratégias de ensino-aprendizagem. 33. ed.
Petrópolis: Vozes, 2015.
BRAGA, E. S. O. Resolução de problemas no ensino da matemática: algumas
considerações. EM TEIA: Revista de Educação Matemática e Tecnológica
Iberoamericana, Recife, v.11, n. 1, p. 1-21, 2020.
BRASIL. Secretaria de Ensino Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:
matemática, 1º e 2º Ciclos. Brasília: SEF/MEC, 1997.
BRASIL. Secretaria de Ensino Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais:
matemática, 3º e 4º Ciclos. Brasília: SEF/MEC, 1998.
BRASIL. Secretaria de Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio.
Brasília: SEF/MEC, 1999.
BRASIL. Secretaria de Educação. Parâmetros Curriculares Nacionais Mais - Ensino
Médio. Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares.
Brasília: SEF/MEC, 2002.
BRASIL. Secretaria de Educação. Orientações Curriculares para o Ensino Médio:
ciências da natureza,matemática e suastecnologias. Brasília: MEC, 2006.
BRASIL. Ministério da Educação. Guia de Livros Didáticos PNLD 2008: Matemática.
Brasília: MEC, 2007.
BRASIL. Resolução CNE/CEB/2/2008 - Estabelece diretrizes complementares, normas
e princípios para o desenvolvimento de políticas públicas de atendimento da Educação
Básica do Campo. MEC: Brasília - DF, 2008.
BRASIL. Secretária de Educação. Base Nacional Comum Curricular: Ensino
Fundamental e Médio. Brasília, 2018.
BRASIL. Ministério da Educação. Relatório Brasil no PISA 2018. Disponível em:
https://download.inep.gov.br/acoes_internacionais/pisa/documentos/2019/relatorio_PIS
A_2018_preliminar.pdf . Acesso em: 25 de dez. 2021.

415

BRASIL, CAPES. Documento de Área – Ensino. Brasília, 2019.
BRITO, M. R. F. Alguns aspectos teóricos e conceituais da solução de problemas
matemáticos. In: BRITO, M. R. F. (Org.). 2. ed. Solução de problemas e a matemática
escolar. Campinas: Alínea, 2010.
BRITO, M. R. F. É possível avaliar a aprendizagem com o modelo ENADE? Estudos,
Brasília, v. 40, p.156-167, 2012.
BROUSSEAU, G. Le rôle central Du contrat didactique dando l'analyse et La
construction dês situations d'enseignement et d'appesentissage.Actes du coloque
de latroisieme Université d'ete de didactique des mathématiques d'Olivet, p.1-9, 1984.
BROUSSEAU, G. Les effets du contrat didactique. École d'été de didactique dês
mathématiques d'Olivet, p. 1-16, 1983.
BROUSSEAU, G. Fondementes e méthodes de ladidactique dês mathématiques. In:
Recherche em Didactique des Mathématiques, v. 7, n. 2, p. 33 – 115, 1986.
BROUSSEAU, G. Theóries dês situations didactiques. Conférence de Montreal, 1997.
Disponível em: http://math.unipa.it/~grim/brousseau_montreal_03.pdf. Acesso em: 21
de mar. 2021.
BROUSSEAU, G. Introdução ao estudo da Teoria das Situações Didáticas:
conteúdos e métodos de ensino. Tradução: Camila Bogea. São Paulo: Ática, 2008.
CAGLIARI, L. C. Alfabetização & linguística. São Paulo: Scipione, 2010.
CARSON, J. A Problem With Problem Solving: Teaching Thinking Without Teaching
Knowledge. The Mathematics Educator, v. 17, n. 2, p. 7-14, 2007.
CHAMBERLIN, S. A. Mathematical Problems That Optimize Learning for Academically
Advanced Students in Grades K±6. Journal of Advanced Academics, v.22, n.1, p. 5276, 2010.
CHAPMAN, O. Mathematics teachers’ knowledge for teaching problem solving. Revista
Lumat, v. 3, n. 1, 2015.
CHARLES, R; LESTER, F. Mathematical problem solving. Springhouse: Learning
Institute, 1986.
CHAVANTE, E. Quadrante Matemática e suas tecnologias: estatística, probabilidade
e matemática financeira. 1. ed. São Paulo: Edições SM, 2020.
CHEVALLARD, Y; BOSCH, M; GASCÒN, J. Estudar Matemáticas: o elo perdido

416

entre o ensino e a aprendizagem. Porto Alegre: Artes Médicas, 2001.
CHIZZOTTI, A. Pesquisa em ciências humanas e sociais.5. ed. São Paulo: Cortez,
2001.
CLARK, U. Bernstein’s theory of pedagogic discourse: linguistics, educational policy and
practice in the UK English/literacy classroom. EnglishTeaching: Practiceand Critique,
Reino Unido, v. 4, n. 3, p. 32-47, 2005.
COLOMBO, A. A.; BERBEL, N. A. N. A metodologia da problematização com o arco de
Maguerez e sua relação com os saberes de professores. Semina: Ciências Sociais e
Humanas, Londrina, v. 8, n. 2, p. 121-146, 2007.
DANTE, L. R. Matemática em contextos: estatística e matemática financeira. 1. ed.
São Paulo: Ática, 2020.
DEGRAVA, C. F. Gerando possibilidades concretas de uso da proposta curricular
doEstado com metodologias investigativas. Dissertação (Programa de PósGraduação em Mestrado Profissional em Matemática em Rede nacional) – Instituto
deCiências Matemáticas e de Computação, Universidade de São Paulo, 2013.
ECHEVERRÍA, M. D. P. P.; POZO, J. I. Aprender a resolver problemas e resolver
problemas para aprender. In: POZO, J.I. (Org.). A solução de problemas: aprender a
resolver, resolver para aprender. Porto Alegre: ArtMed, p. 13-42, 1998.
ELOI, Q. C. Relações entre o contrato didático potencial (CDP) proposto na
abordagem do livro didático e o contrato didático estabelecido entre professor e
alunos quando se tem o saber função afim em cena em uma turma de 1º ano do
ensino médio. 202 f. Dissertação (Programa de Pós-Graduação em Ensino das
Ciências) - Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, 2019.
FERNANDES, J. A. S.; FASSARELA, L. S. Contribuições da metodologia Resolução
deProblemas ao ensino-aprendizagem dedivisibilidade: um estudo de caso. Revista
Educação Matemática Debate, Montes Claros – MG, v. 4, n. 10, p. 1-25, 2020.
FIEDLER, R. C. P. ATeoria da Ação Comunicativa de Habermas e uma nova
propostade desenvolvimento e emancipação do humano. Revista da Educação,
Guarulhos, v.1, n.1, p. 93-100, 2006.
FILLOUX, J. Du contratpédagogique. Paris: Dunond, 1974.
FONSECA, M. G.; GONTIJO, C. H. Pensamento Crítico e Criativo em Matemática: uma
Abordagem a partir de Problemas Fechados e Problemas Abertos. Revista
Perspectivas da Educação Matemática, v. 14, n.34, p. 1-18, 2021.

417

FREIRE, P. A importância do ato de ler: em três artigos que se completam. São
Paulo: Autores Associados. Cortez, 1989.

FREITAS, T. S.; ANDRADE, S.; CARDOSO, T. M. R. F. L. Um olhar em rede para as
produções em resolução de problemas nos ENEMs (1987 – 2016). REnCiMa – Revista
de Ensino de Ciências e Matemática, São Paulo, v. 12, n. 5, p. 1-18, 2021.
GAGNÉ, R. M. Como se realiza a aprendizagem. Tradução de Therezinha Maria
Ramos Tovar. Rio de Janeiro: Livros Técnicos e Científicos, 1974.
GARCIA GAY, M. R. Práticas na escola: matemática e suas tecnologias. 1. ed.São
Paulo: Moderna, 2020.
GIL, A. C. Como elaborar projetos de pesquisa. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2008.
GOERGEN, P. Educação e valores no mundo contemporâneo. Revista Educação e
Sociedade, Campinas, v. 26,n. 92, p. 983-1011, 2005.
GONÇALVES, A. Análise das estratégias e erros dos alunos do 9º ano em
questões de álgebra baseadas no Saresp de 2008 a 2011. 178 p. Dissertação
(Mestrado em Educação Matemática) – Pontifícia Universidade Católica de São Paulo,
São Paulo, 2014.
GONÇALVEZ, M. A. S. Teoria da ação comunicativa de Habermas:Possibilidades de
uma ação educativa de cunhointerdisciplinar na escola. Revista Educação e
Sociedade, v. 20, n. 66, p. 125-140, 1999.
GONÇALVES, T. C. O sistema financeiro brasileiro: evolução do crédito no Brasil
pósPlano Real. 2007. Monografia (Graduação em Ciências Econômicas) – Fundação
Armando Alvares Penteado, São Paulo, 2007.
GRAESSER, A.; KUO, B.; LIAO, C. Complex problem solving in assessments of
collaborative problem solving. JournalofIntelligence,v. 5, n. 2, 2017.
GRANDO, N. I.; SCHNEIDER, I. J. Matemática financeira: alguns elementos históricos e
contemporâneos. Zezetiké, Unicamp, v. 18, n. 33, p. 43-62, 2010.
GUERIOS, E.; MEDEIROS JR, R. J. Resolução de problemas de matemática no ensino
fundamental: uma perspectiva didática. In: BRANDT, C. F.; MORETTI, M. T. (Orgs)
Ensinar e aprender matemática: possibilidades para a prática educativa. Ponta
Grossa: Editora UEPG, 2016.
GUTIERREZ; G. L.; ALMEIDA, M. A. B. Teoria da Ação Comunicativa
(Habermas):estrutura, fundamentos e implicações do modelo. Revista Veritas, Porto
Alegre, v. 58, n. 1, p. 151-173, 2013.

418

HABERMAS, J. Teoria de laAcción Comunicativa. Trad. Manuel Jiménez Redondo.
Madrid: Taurus, 1988.
HABERMAS. J. Teoria do Agir Comunicativo. Rio de Janeiro: Tempo Brasileiro, 2014.
HERRLEIN JR, R. Uma introdução ao pensamento de Habermas: Teoria da Ação
Comunicativa. Revista Práksis, Novo Hamburgo, v. 1, p. 49-58, 2007.
HESSEL, R. Inflação rompe teto e é a maior em seis anos. Diário de Pernambuco,
2022.
Disponível
em:
https://www.diariodepernambuco.com.br/noticia/economia/2022/01/inflacao-rompe-tetoe-e-a-maior-em-seis-anos.html . Acesso em: 12 de jan. 2022.
HUBERMAN, S. Cómo se formanloscapacitadores: arte y saberes de suprofesión.
Buenos Aires: Paidós, 1999.
JONNAERT, P.; BORHT, C. Criar condições para aprender: o sócio construtivismo na
formação de professor. Trad. Fátima Murad. Porto Alegre: Artmed Editora, 2002.
KUZNIAK, J. La théoriedessituationsdidactiques de brousseau. L’OUVERT, v. 110, p.
17–33, 2004.
LEITE, M. S. Recontextualização e transposição didática: introdução à leitura de
Basil Bernstein e Yves Chevallard. 1. ed. Araraquara: Junqueira & Marin, 2007.
LEITE, A. F.M.; MIRANDA, P. F.; LOYE, N. Resolução colaborativa de problemas:
resultados brasileiros no Pisa. Ensaio: Avaliação e Políticas Públicas em Educação
[online], v. 30, p. 232–253, 2021.
LESTER JR, F. K. Musings about Research on Mathematical Poblem Solving: 19701994. In: Special 25th anniversary issue of the Hournal for Reasearch in
Mathematics Education. Mathematics EDucationDvelopment Center. School
Education, Indiana Ynuversity, v. 6, p. 660–675, 1994.
LESTER JR, F. K. Thoughts about researchon mathematical problem – solving
instruction. Revista Mathematics Enthusiast, v. 10, 2013.
LIMA, L. Didática comunicativa à luz da teoria da ação comunicativa de Jürgen
Habermas. 71 f. Dissertação (Programa de Pós-graduação em Educação) –
Universidade de Uberaba, Uberlândia-MG, 2020.

LOZADA, C. O. O essencial invisível aos olhos: uma viagem divertida e colorida pela
estrutura da matéria através de uma sequência ensino - aprendizagem para a
introdução de física de partículas elementares na 8ª série do ensino fundamental. 2007.

419

424 f. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e Matemática) – Universidade
Cruzeiro do Sul, São Paulo, 2007.
LOZADA, C. O., D´AMBROSIO, U. Considerações sobre o conceito de equação
presente nos cadernos do professor e as zonas de perfil conceitual de equação.
Revista Paranaense de Educação Matemática, Campo Mourão, Pr, v.7, n.14, p.0738, jul.-dez. 2018
LOVE, E.; MASON, J. Telling and Asking. In: P. Murphy; M. Selinger; J. Bourne; M.
Briggs. Subject learning in primary curriculum: Issues in English, science and
mathematics. Londres: Routledge, p. 241-256, 1995.
LUDKE, M.; ANDRÉ, M. E. D. A. Pesquisa em educação: abordagens qualitativas. 2.
ed. Rio de Janeiro: E. P. U., 2018.
LUPINACCI, M. L. V.; BOTIN, M. L. M. Resolução de problemas no ensino de
matemática. Anais do VIII Encontro Nacional de Educação Matemática, Recife, p. 1–
5, 2004.
MACHADO, B. E. C.; LACERDA, A. G. A comunicação matemática e uma tarefa
exploratória-investigativa: uma proposta mediante a taxa de metabolismo basal.
Revista de Ensino de Ciências e Matemática - REnCiMa, São Paulo, v. 11, n. 4, p. 121, 2020.
MAHARANI, H. R. Creative thinking in mathematics: are we able to solve mathematical
problems in a variety of way?.International Conference on Mathematics, Science,
andEducation, 2014.
MAINARDES, J.; STREMEL, S. A teoria de Basil Bernstein e algumas de suas
contribuiçõespara as pesquisas sobre políticas educacionais e curriculares. Revista
Teias, Rio de Janeiro, v. 2, n. 22, p.31-54,2010.
MAYER, R. E. (1987). Instructional variables that influence cognitive processes during
reading. In: BRITTON, B. K.; GLYNN, S. M. (Orgs.). Executive control processes in
reading. Lawrence Erlbaum Associates, p. 201-216, 1987.
MAYER, R. E. Models for Understanding. Review of Educational Research, v. 59, n.
1, p. 43–64, 1989.
MAYER, R. E. Thinking, problem solving, cognition. 2. ed. New York: WH Freeman
and Company, 1992.
MALHOTRA, N. K.; ROCHA, I.; LAUDISSIO, M. C. ALTHEMAN. E.; BORGES, F.
M..Introdução a Pesquisa de Marketing. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2005.

420

MASETTO, M. T. Mediação Pedagógica e o Uso da Tecnologia. In: MORAN, J. M.
Novas Tecnologias e Mediação Pedagógica. Campinas: Papirus, 2000, p.133-173.
MCINTOSH, R.; JARRETT, D. Teaching mathematical problem solving:
implementing the vision. Portland, Oregon: Mathematics and Science Education Center,
North West Regional Laboratory, 2000.
MARTINHO, M. H. S. S. A comunicação na sala de aula de matemática: um projeto
colaborativo com três professoras do ensino básico. 472 f. Tese (Programa de Pósgraduação em Educação) – Universidade de Lisboa, Lisboa, 2007.
MEIRELES, D. S. L.; MEIRELES, R. F.; TAHIM, A. P. V. O.; CARNEIRO, S. N. V. A
Teoria do Agir Comunicativo e sua contribuição para a relação professor-aluno no
Ensino Superior. Revista Docência no Ensino Superior, Belo Horizonte – MG, v. 7,
n.2, p. 97-112, 2017.
MELO, S. G. S. A interpretação de enunciados em problemas de aritmética: um
estudo das dificuldades dos alunos dos sextos anos do ensino fundamental em uma
escola estadual de Aracaju. 64 p. Dissertação (Mestrado em Ensino de Ciências e
Matemática) – Universidade Federal de Sergipe, São Cristóvão-SE, 2015.
MENDES, I. A. Matemática e investigação em sala de aula: tecendo redes cognitivas
na aprendizagem. São Paulo: Livraria da Física, 2009.
MENEZES, A. P. A. B. Contrato didático e transposição didática: inter-relações entre
fenômenos didáticos na iniciação à álgebra na 6ª série do ensino fundamental. 2006.
Tese (Doutorado). Programa de Pós-Graduação em Educação, Universidade Federal
de Pernambuco, Recife, 2006.
MENEZES, L. Concepções e Práticas de Professores de matemática: Contributos
Para o Estudo da Pergunta.191 f. Dissertação (Programa de Pós-graduação em
Educação) – Universidade de Lisboa, Lisboa, 1995.
MOÇAMBITE, N. S. Situações didáticas na aprendizagem matemática na
perspectiva da construção do conhecimento. 216f. Dissertação (Mestrado em
Ensino de Ciências e Matemática) - Universidade Federal do Amazonas, Manaus, 2016.
MORAIS, A. Basil Bernstein at the micro level of the classroom. British Journal of
Sociology of Education, v. 23, n. 4, p. 550-570, 2002.
MORAIS, A. M.; NEVES, I. P. A teoria de Basil Bernstein: alguns aspectos
fundamentais. Revista Práxis Educativa, Ponta Grossa, v.2, n.2, p.115-130, 2007.
MORAIS, R.S; ONUCHIC, L. R. Uma abordagem histórica da resolução de problemas.
In: ONUCHIC, L. R; ALLEVATO, N. S. G; NOGUTI, F. C. H; JUSTULIN, A. M. (Orgs.).
Resolução de problemas: teoria e prática. Jundiaí: Paco Editorial, 2014.

421

MOTA, F. M.; LOZADA, C. O. Planejamento e execução na metodologia resolução de
problemas: uma abordagem sobre a organização do trabalho pedagógico. In: Ciclo de
Formação Complementar de Professores da Educação Básica: discussão sobre a
BNCC na educação infantil e nos anos iniciais do ensino fundamental, 1, 2021,
Morrinhos - GO.Anais [...],Morrinhos – GO, Omnis Scientia, 2021a, p. 1 - 5. Disponível
em:
even3.com.br/anais/ciclofeformacao2021/335054-planejamento-e-execucao-nametodologia-resolucao-de-problemas--uma-abordagem-sobre-a-organizacao-dotrabalho-peda/. Acesso em: 24 de out. 2021.
MOTA, F. M.; LOZADA, C. O. Uma proposta de atividade envolvendo matemática
financeira:um olhar para sua aplicabilidade. In: ENCONTRO NORTE-NORDESTE DE
MATEMÁTICA APLICADA, 1, 2021, online. Anais [...], Triunfo-PE, Omnis Scientia,
2021b,
p.
27
–
31.
Disponível
em:
https://editoraomnisscientia.com.br/catalogos/ciencias-exatas-e-da-terra/anais-do-iencontro-norte-norderte-de-matematica-aplicada-online/. Acesso em: 13 de jan. 2022.
MOTA, F. M.; LOZADA, C. O. O Discurso Pedagógico e o papel do professor em
tempos de pandemia: um olhar sob a teoria de Basil Bernstein. In: Colóquio
Internacional de Educação, 7, 2021, Joaçaba – SC. Anais [...], Joaçaba, Editora
Unoesc,
2021c,
p.
585
–
591.
Disponível
em:
https://https//portalperiodicos.unoesc.edu.br/coloquiointernacional/issue/view/469.
Acessoem: 10 de nov. 2021.
MULYONOND; HADIYANTI. Analysis of mathematical problem-solving ability based on
metacognition on problem-based learning. JournalofPhysics: Conference Series, p. 16, 2017.
MÜLLER, A. P. K. Resolução de problemas matemáticos no ensino fundamental:
possibilidades a partir da leitura e da escrita. 147 p. Dissertação (Mestrado Profissional
em Ensino de Ciências Exatas) – Centro Universitário Univates, Lajeado-RS, 2015.
MUSSARA, E.; ROGRIGUES, E. V.; SALUCHI, L.; TREVIZAN, W. Conhecer e
transformar: projetos integradores – matemática e suas tecnologias. 1. ed. São Paulo:
Editora Brasil, 2020.
NCTM. An agenda for action. Reston, VA: NCTM, 1980.
NCTM. Curriculum and evaluation standards for school mathematics. Reston, VA:
NCTM, 1989.
NCTM. Principles and standards for school mathematics. Reston: NCTM, 2000.
NCTM. Professional Standards for Teaching Mathematics. National Council of
Teachers of Mathematics, Virginia, 1991. Normas Profissionaispara o Ensino de
Matemática. Tradução da Associação de professores deMatemática, Portugal, 1994.

422

NCTM. Why is Teaching with Problem Solving Important to Student
Learning?NationalCouncilofTeachersofMathematics, v. 13, n. 12, p. 1–6, 2010.
OLIVEIRA, M. M. O contrato didático: análise de contratos diferenciais dos
professores de matemática em turmas de 7° ano do Ensino Fundamental. Dissertação
de Mestrado. 170 f. Dissertação (Programa de Pós-Graduação em Ensino das Ciências)
- Universidade Federal Rural de Pernambuco, Recife, 2010.
OLIVEIRA, M. M. Sequência didática interativa no processo de formação de
professores. Petrópolis, RJ: Vozes, 2013.
ONUCHIC, L. R. Ensino-aprendizagem de Matemática através da Resolução de
Problemas. In: BICUDO, M. A. V (Org.). Pesquisa em Educação Matemática. São
Paulo: Editora UNESP, 1999, p. 199-220.
ONUCHIC, L. R.; ALLEVATO, N. S. G. Pesquisa em Resolução de Problemas:
caminhos, avanços e novas perspectivas. BOLEMA: Boletim de Educação
Matemática, Rio Claro, v. 25, p. 73-98, 2011.
PAIS, L. Didática da Matemática: uma análise da influência francesa. Belo Horizonte:
Autêntica, 2001.
PARENTE, C. IPVA 2022 PE: desconto no valor do imposto em Pernambuco; como
obter? Jornal O Povo, 2022. Disponível em: Jornal O Povo, 2022. Disponível em:
https://www.opovo.com.br/noticias/economia/2022/01/06/ipva-2022-pe-desconto-novalor-do-imposto-em-pernambuco-como-obter.html. Acesso em: 12 de jan. 2022.
PERNAMBUCO. Secretaria de Educação. Base Curricular Comum para as Redes
Públicas de Ensino de Pernambuco: matemática. – Recife, 2008.
PERNAMBUCO. Secretaria de Educação. Parâmetros para a Educação Básica do
Estado de Pernambuco: Parâmetros Curriculares de Matemática para o Ensino
Fundamental e Médio – Recife, 2012.
PERNAMBUCO. Secretaria de Educação. Currículo de Pernambuco: Ensino
Fundamental. Recife, 2018.
PERNAMBUCO. Secretaria de Educação. Currículo de Pernambuco: Ensino Médio.
Recife, 2021.
PÓLYA, G. A arte de resolver problemas: um novo aspecto do método matemático.
Rio de Janeiro: Interciência, 1995.
POMMER, W. M.; POMMER, C. P. R. O contrato didático na sala de aula
matemática.Mato Grosso do Sul: V Seminário de Educação Matemática de Nova
Andradina,
2013.Disponível
em:

423

https://www.researchgate.net/publication/296486778_O_CONTRATO_DIDATICO_NA_
SALA_DE_AULA_DE_MATEMATICA. Acesso em: 08 dez. 2020.
PONTE, J. P. Investigar, Ensinar e Aprender. Actas do Profmat. Lisboa: APM, CD –
ROM, p. 25-39, 2003.
PONTE, J. P. Gestão Curricular em Matemática. In: GTI (Org.).O professor e o
desenvolvimento curricular. Lisboa: APM, p. 11-34, 2005.
PONTE, J. P; SERRAZINA, M. L. Didáctica da Matemática do 1° Ciclo. 1. ed. Lisboa:
Universidade Aberta, p. 260, 2000.
PONTE, J. P. Investigação sobre investigações matemáticas em Portugal. Revista
Investigar em Educação, Lisboa, v. 2, p. 93-169, 2003.
PONTE, J. P. Tarefas no ensino e na aprendizagem da Matemática. In: PONTE, J. P.
(Orgs.). Práticas profissionais dos professores de Matemática.1.ed. Lisboa: Instituto
de Educação da Universidade de Lisboa, 2014, p. 13-27.
PONTE, J. P.; QUARESMA, M. O papel do contexto nas tarefas matemáticas. Revista
Interacções, Santarém, v. 8, n. 22, p. 196 – 216, 2012.
PONTE, J. P.; QUARESMA, M.; MATA-PEREIRA, J.; BAPTISTA, M. Exercícios,
problemas e explorações: Perspectivas de professoras num estudo de aula. Revista
Quadrante, Lisboa, v. 24, n. 2, p. 111-135, 2015.
PINTO, J. M. R. A teoria da ação comunicativa de Jürgen Habermas:conceitos básicos
e possibilidades de aplicação àadministração escolar. Revista Paidéia, Ribeirão Preto,
n. 8, v. 9, p. 77-96, 1995.
PROENÇA, M. C. A Resolução de Problemas na Licenciatura em Matemática:
análise de um processo de formação no contexto do estágio curricular supervisionado.
2012. 208f. Tese (Doutorado em Ensino de Ciências e Matemática) – Faculdade de
Ciências, UNESP, Bauru.
PROENÇA, M. C. de. A visão de professores sobre dificuldades dos alunos na
resolução de problemas. Zetetike, Campinas, SP, v. 25, n. 3, p. 440–456, 2017.
PROENÇA, M. C. Resolução de Problemas: encaminhamentos para o ensino e a
aprendizagem de Matemática em sala de aula. Maringá: Eduem, 2018.
PROENÇA, M. C. Resolução de Problemas: uma proposta de organização do ensino
para a aprendizagem de conceitos matemáticos. Revista de Educação Matemática,
Guarulhos-SP, v. 18, p. 1-14, 2021.
PROENÇA, M. C.; MAIA-AFONSO, É. J.; TRAVASSOS, W. B.; CASTILHO, G. R.
Resolução de Problemas de Matemática: análise das dificuldades de alunos do 9.º ano

424

do ensino fundamental. Amazônia: Revista de Educação em Ciências e Matemáticas,
Belém, v. 16, n. 36, p. 224-243, jul. 2020.
OLIVEIRA, A.; PROENÇA, M. A estratégia da ‘tabela’ na resolução de problemas:
possibilidades e limitações apontadas por licenciandos em Matemática. Revista de
Ensino de Ciências e Matemática, v. 13, n. 2, p. 1-22, 2022.
REIS FILHO, A. M.; SANTOS, R. A. Matemática financeira: educação financeira por
meio dos jogos no 3º ano do Ensino Médio. Repositório Institucional da Universidade
Estadual
de
Goiás,
Goiás,
p.
1-12,
2016.
Disponível
em:http://aprender.posse.ueg.br:8081/jspui/handle/123456789/59.Acesso em: 20 dez.
2021.
ROBERT, J. A origem do dinheiro. 2. ed. São Paulo: Global, 1989.
ROSA, C. P.; RIBAS, Z. C.; BARAZZUTI, M. Análise de livros didáticos. In: Encontro
Nacional PIBID-Matemática, 1, 2012, Santa Maria. Anais [...], Santa Maria, 2012, p. 19.
SANTOS, M. R. Resolução de problemas envolvendo área de paralelogramo: um
estudo sob a ótica do contrato didático e das variáveis didáticas. 150 f. Dissertação
(Programa de Pós-Graduação em Ensino das Ciências) - Universidade Federal Rural de
Pernambuco,Recife, 2005.
SANTOS, G. L. C. Educação financeira: a matemática financeira sob nova
perspectiva. 2005. Dissertação (Mestrado em Educação para a Ciência) –Faculdade de
Ciências, Universidade Estadual Paulista, Bauru, 2005.
SCHOENFELD, A. H. Mathematical Problem Solving. Orlando: Academic Press Inc,
1985.
SCHOENFELD, A. H. Problem solving in the United States, 1970-2008: research na
theory, practice and politics. In: ZDM Mathematics Education. Springer: Kalsruche, p.
537-551, 2008.
SCHOENFELD, A. H. Reflections on Problem Solving Theory and Practice. The
Mathematics Enthusiast, v. 10, p. 9–34, 2013.
SCHOENFEDL, A. H. Learning to Think Mathematically: Problem Solving,
Metacognition, and Sense Making in Mathematics (Reprint). Journal of Education, v.
196, n.2, p. 324-336, 2016.
SCHROEDER, T. L.; LESTER JR, F. K. Developing Understanding in Mathematics via
Problem Solving. In: TRAFTON, P. R.; SHULTE, A. P. (Ed.). New Directions
forElementary School Mathematics. Reston: NCTM, p. 31-42, 1989.

425

SCHWIEGER, R. Why Is Teaching Problem Solving So Difficult?.Proceedings of the
2003 American Society for Engineering Education Annual Conference &
Exposition Copyright, p. 813111-813118, 2003.
SKOVSMOSE, O. Educação Matemática Crítica: a questão da democracia.
Campinas: Papirus, 2001.
SMOLE, K. S.S.; DINIZ, M. I. Resolução de problemas nas aulas de matemática: o
recurso da problemática. Porto Alegre: Penso, 2016.
STANIC, G. M. A.; KILPATRICK, J. Historical perpectives on problem solving
mathematics curricula. In: CHARLES, R. I.;SILVER, E. A. (Eds.) The Teaching and
Assessment of Mathematical Problem Solving. Reston, VA: NCTM e Lawrence
Erlbaum, 1989.
STEIN, M. K.; SMITH, M. S. Mathematical tasks as a framework for reflection: From
research top ratice. Mathematics Teachings in the Middle School, v. 3, n. 4, p. 268275, 1998.
SILVA, M. B. M. Abordagem da Matemática Financeira no Ensino Médio sob a
perspectiva da Educação Financeira. 117f. Dissertação (Mestrado em Matemática).
Centro de Ciência e Tecnologia. Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy
Ribeiro, Campos dos Goytacazes, 2016.
SILVA, C. M. S.; SIQUEIRA FILHO,
Problemas.Brasília: Líber Livro, 2011.

M.

G.

Matemática:

Resolução

de

SILVA, F. S.; FEIL, G. S. A possibilidade da constituição do ser matemático no agir
comunicativo. Revista Eletrônica de Educação Matemática - REVEMAT,
Florianópolis, v.15, p. 01-18, 2020.
SILVA, M. C. A.; GASPARIN, J. L. A teoria da ação comunicativa de Jürgen Habermas
esuas influências sobre a educação escolar. In: SEMINÁRIO NACIONAL DE ESTUDOS
EPESQUISAS, 7, 2006, Campinas. História, Sociedade e Educação no Brasil HISTEDBR: anais eletrônicos. Campinas: Graf. FE: HISTEDBR, 2006. Disponível em:
https://goo.gl/k5acMz. Acesso em: 20abril. 2021.
SOUZA, C. M. P. Contrato didático: negociações, rupturas e renegociações a partir de
uma sequência didática sobre progressão aritmética. 166 f. Dissertação (Programa de
Pós-Graduação em Ensino das Ciências) - Universidade Federal Rural de Pernambuco,
Recife.
STERNBERG, R. J. Psicologia Cognitiva. Tradução de Maria Regina Borges Osório.
Porto Alegre: ArtesMédicasSul, 2001.

426

SZABO, Z. K.; KORTESI, P.; GUNCAGA, J.; SZABO, D.; NEAG, R. Examples of
Problem-Solving Strategies in Mathematics Education Supporting the Sustainability of
21st-Century Skills. Revista Sustainability, v.12, p. 1-28, 2020.
TEIXEIRA, P. J. M.; PASSOS, C. C. M. Um pouco da Teoria das Situações Didáticas
(TSD) de Guy Brousseau. Revista Zetetike, Campinas-SP, v. 21, n. 1, p. 155–168,
2014.
Disponível
em:
https://periodicos.sbu.unicamp.br/ojs/index.php/zetetike/article/view/8646602.
Acesso
em: 10 jan. 2021.
VALE, I.; PIMENTEL, T. Resolução de Problemas. In: PALHARES, Pedro (org.).
Elementos de matemática para professores do Ensino Básico. Lisboa: Lidel, 2004,
p. 7-52.
VERÇOSA, M.; ROCHA, S.; TELES, R. A.M.. Resolução de problemas matemáticos:
aproximações e distanciamentos nos anos iniciais do Ensino Fundamental. Revista
TCC - Revista de divulgação científica do curso de Pedagogia - UFPE, v. 1, p. 1-20,
2010.
VIANA, S. L. S. Metodologias ativas: uma sequência didática sobre probabilidade com
enfoque na aprendizagem baseada em problemas no ensino médio. 2021. 149 f.
Trabalho de Conclusão de Curso (Licenciatura em Matemática) – Instituto de
Matemática, Universidade Federal de Alagoas, Maceió, 2020.
VIANA, S. L. S.; LOZADA, C. O. Aprendizagem baseada em problemas para o ensino
de probabilidade no Ensino Médio e a categorização dos erros apresentados pelos
alunos. Educação Matemática Debate, Montes Claros(MG), v. 4, n. 10, p. 1-28, 2020.
VYGOTSKY, L. S. A formação social da mente: o desenvolvimento dos processos
psicológicos superiores. 6 ed. São Paulo: Martins Fontes, 1998
WRIGT, J. R. Caixa TEM libera empréstimos de até R$ 1.000,00. Rede Jornal
Contábil, 2021. Disponível em: https://www.jornalcontabil.com.br/caixa-tem-liberaemprestimos-de-ate-r-1-000/. Acesso em: 25 de dez. de 2021.
YIN, R. K. Estudo de caso: planejamento e métodos. 4. ed. Porto Alegre: Bookman,
2010.
YUSUF, M.; MURSHID, S. F.; RAHIM, S. S.; EU, L. K. Solving Mathematical Problems
among College Students: Process or Strategy?.Internacional Journal of Academic
Research in Business & Social Sciences, v. 11, n. 4, p. 1144-1152, 2021.
ZABALA, A. A prática educativa: como ensinar. Porto Alegre: Artmed, 1998.

427

APÊNDICES

428

APÊNDICE A: CADERNO DO ALUNO

429

QUESTIONÁRIO A PRIORI

QUESTIONÁRIO A PRIORI - INDIVIDUAL
Nome:
Data:
/
/
Objetivo: Identificar as percepções dos estudantes (sujeitos Idade:
de pesquisa) sobre a Matemática Financeira, a resolução de Sexo: ( ) M ( ) F
problemas, a ação comunicativa e o agir do professor.
Em uma tarefa matemática o a Layout (imagens, designer bonito).
1
que você julga importante?
b Contextualização com a realidade.
c Imagens para representar situações.
d Questões curtas.
e Questões longas.
f
Questões desafiadoras.
Outras:

2

Você tem dificuldades na a
compreensão dos conteúdos b
matemáticos?
c

Sim, muita dificuldade.
Sim, pouca dificuldade.
Não tenho dificuldade.

3

Nas aulas de Matemática, os
seus professores costumam
considerar os pontos de vista
apresentados
por
vocês
alunos?

a

Sim, consideram muito.

b
c
d

Sim, consideram razoavelmente.
Sim, consideram pouco.
Não consideram.

4

5

6

Nas aulas de Matemática, a
você é direcionado pelo b
professor a argumentar de c
maneira crítica?
d

Sim, muito.

Você considera que os
conteúdos
matemáticos
aprendidos em sala de aula
servem
para
resolver
problemas do seu cotidiano?

Muito.
Pouco.
Razoavelmente.
Não servem.

a
b
c
d

Você já resolveu problemas a
cotidianos
utilizando b
conhecimentos matemáticos c

Sim, razoavelmente.
Sim, pouco.
Não.

Justifique sua resposta:

Sim, algumas vezes.
Sim, poucas vezes.
Não resolvi.

430

(calculou os juros de algo,
calculou a área da sua casa,
entre outras situações)?

Apresente a situação ou situações:

7

Se
os
seus
professos a
utilizassem
problemas b
matemáticos relacionados ao c
cotidiano, facilitaria o seu
entendimento?

Sim, muito
Sim, pouco.
Não facilitaria.
Justifique sua resposta.

8

Você apresenta dificuldades
na
compreensão
(ler,
interpretar, recolher dados)
das questões matemáticas?

a
b
c
d

Sim, sempre.
Sim, na maioria das vezes.
Sim, raramente.
Não tenho dificuldades.

9

Na resolução de problemas
matemáticos você costuma
seguir etapas para chegar à
solução (exemplo: faz a leitura
e separa os dados da questão,
executa dos dados e depois
realiza a verificação da sua
solução)?

a
b
c
d

Sim, sempre.
Sim, na maioria das vezes.
Sim, às vezes.
Não.
Justifique sua resposta:

10

Quando
você
apresenta a
dificuldade
em
alguma
questão matemática, como o b
seu professor age?
c
d

Explica de outra maneira para que eu consiga
entender, mas não dá resposta.
Dá logo a resposta.
Pede para que algum colega o ajude.
Faz questionamentos para que eu reflita sobre
a situação.

11

Você apresenta dificuldades a
com
o
cálculo
de b
porcentagem?
c
d

Sim, sempre.
Sim, na maioria das vezes.
Sim, às vezes.
Não.

12

Você apresenta dificuldades a
com o cálculo de juros?
b
c
d

Sim, sempre.
Sim, na maioria das vezes..
Sim, às vezes.
Não.

13

Você apresenta dificuldades a
com o cálculo de acréscimos e b
decréscimos?
c
d

Sim, sempre.
Sim, na maioria das vezes.
Sim, às vezes.
Não.

14

Você considera importante a a

Sim, pois desenvolve o raciocínio lógico e

431

resolução de problemas nas
aulas de Matemática?
b

c

a
b
c
d

analítico.
Mais ou menos, para abordagem de alguns
conteúdos sim, para abordagem de outros
conteúdos não.
Não, pois são muito difíceis, envolvem leitura e
interpretação e demora muito para se chegar à
solução, prefiro exercícios.

15

Na sua opinião, os problemas
matemáticos
estimulam
a
criatividade
para
o
desenvolvimento
de
estratégias de resolução?

Sim, sempre.
Sim, na maioria das vezes.
Sim, às vezes.
Não.

16

Você considera importante a
que tenha etapas para auxiliar b
na resolução de problemas c
matemáticos?

Sim, sempre.
Sim, às vezes.
Não.

17

Os seus professores de
Matemática costumam fazer
perguntas (exemplo: por que
isso é assim? Você concorda
ou discorda? Como? E se
fosse diferente?)?

a
b
c
d

Sim, sempre.
Sim, na maioria das vezes.
Sim, às vezes.
Não.

18

Quando os seus professores
de
Matemática
estão
explicando algo eles utilizam
uma linguagem que você
consegue
entender?
Eles
explicam de maneira que a
maioria
dos
estudantes
consiga acompanhar?

a
b
c
d

Sim, sempre.
Sim, na maioria das vezes.
Sim, às vezes.
Não.

432

MATERIAL DA AULA 1

ATIVIDADE DE AMBIENTAÇÃO
ATIVIDADE REALIZADA EM GRUPO
SITUAÇÃO NORTEADORA E SEUS DESDOBRAMENTOS
No site das Casas Bahia, o Smartphone Samsung Galaxy M13 Azul 128GB, 4GB RAM,
Processador Octa-Core, Câmera Tripla Traseira, Selfie de 8MP, Tela Infinita de 6.6" e
Dual Chip está sendo vendido com algumas condições. Observe as figuras abaixo:

433

ESCREVA QUESTIONAMENTOS (PERGUNTAS) PARA DEBATER O TEMA
ABORDADO NA SITUAÇÃO NORTEADORA SOB O PONTO DE VISTA SOCIAL E
ECONÔMICO

Pergunta 1:
Pergunta 2:
Pergunta 3:

Considere as condições de venda do Smartphone para a resolução dos problemas a
seguir:
1.
Se o comprador optar por fazer o parcelamento do smartphone em 11x,
qual será o valor dos juros pagos em relação ao valor à vista do aparelho? E se a
compra for realizada em 12x?

Resolução

434

Agora preencha os dados abaixo segundo os aspectos elencados pelo Arco de
Maguerez, com base no problema 1:
ASPECTOS

OBSERVAÇÃO DA REALIDADE: Faça
uma análise crítica da realidade exposta
no problema, escrevendo seu ponto de
vista. O que esses dados matemáticos
implicam na realidade? Têm impacto para
a vida das pessoas?
PONTOS-CHAVE: O que está sendo
investigado? Identifique aqui os conceitos
matemáticos
e
não-matemáticos
envolvidos no problema por meio de
termos, como por exemplo: pontos-chave:
lucro, renda, juros, aumento, desconto,
aumento da pobreza, injustiça social, etc.
Em seguida, escreva o que cada termo
significa.
Qual
é
conteúdo
TEORIZAÇÃO:
matemático envolvido no problema, qual a
teoria matemática que o problema
abrange, quais são as propriedades dessa
teoria
matemática,
quais
símbolos
matemáticos são utilizados por essa teoria
matemática?
HIPÓTESES DE SOLUÇÃO: De que
forma posso resolver matematicamente
esse problema? Existe mais de uma forma
de resolver o problema? Como devo fazer
o tratamento dos dados, como selecionar
e separar os dados para resolver o
problema, como aplicar corretamente a
teoria matemática, que análises devo
fazer, que registros devo utilizar para os
dados coletados (operações matemáticas,
gráficos, fluxogramas).
APLICAÇÃO À REALIDADE: Como essa
solução do problema se reflete na
realidade quando for aplicada? O que
esse resultado numérico representa na
realidade, qual o impacto dessa
Aplicação do que foi registrado, analisado
e discutido na realidade.

DESCRIÇÃO (ESCREVA A RESPOSTA
COM BASE NAS PERGUNTAS-GUIAS DE
CADA ASPECTO)

435

2.
Considere que João queira comprar esse smartphone à vista, no entanto,
ele tem, no momento, R$ 1.000,00, o que não é suficiente para realizar a compra.
Se ele aplicar esse dinheiro à taxa de 0,5% a.m sob o regime de capitalização
simples, em quantos meses ele poderá comprar o telefone à vista, considerando
que o preço do telefone permaneça sem alteração?
Resolução

Agora preencha os dados abaixo segundo os aspectos elencados pelo Arco de
Maguerez, com base no problema 1:
ASPECTOS

OBSERVAÇÃO DA REALIDADE: Faça
uma análise crítica da realidade exposta
no problema, escrevendo seu ponto de
vista. O que esses dados matemáticos
implicam na realidade? Têm impacto para
a vida das pessoas?
PONTOS-CHAVE: O que está sendo
investigado? Identifique aqui os conceitos
matemáticos
e
não-matemáticos
envolvidos no problema por meio de
termos, como por exemplo: pontos-chave:
lucro, renda, juros, aumento, desconto,
aumento da pobreza, injustiça social, etc.
Em seguida, escreva o que cada termo
significa.
Qual
é
conteúdo
TEORIZAÇÃO:
matemático envolvido no problema, qual a
teoria matemática que o problema

DESCRIÇÃO (ESCREVA A RESPOSTA
COM BASE NAS PERGUNTAS-GUIAS DE
CADA ASPECTO)

436

abrange, quais são as propriedades dessa
teoria
matemática,
quais
símbolos
matemáticos são utilizados por essa teoria
matemática?
HIPÓTESES DE SOLUÇÃO: De que
forma posso resolver matematicamente
esse problema? Existe mais de uma forma
de resolver o problema? Como devo fazer
o tratamento dos dados, como selecionar
e separar os dados para resolver o
problema, como aplicar corretamente a
teoria matemática, que análises devo
fazer, que registros devo utilizar para os
dados coletados (operações matemáticas,
gráficos, fluxogramas).
APLICAÇÃO À REALIDADE: Como essa
solução do problema se reflete na
realidade quando for aplicada? O que
esse resultado numérico representa na
realidade, qual o impacto dessa Aplicação
do que foi registrado, analisado e
discutido na realidade.

3.
Se o preço do Smartphone à vista é de R$ 1.099,00 e em 10x que é, sem
juros, R$ 1.221,11, segundo a loja. Caso o consumidor opte por realizar o
pagamento em 10x, quanto porcento ele pagará a mais referente ao valor à vista?
Realmente não houve juros?
Resolução

437

Agora preencha os dados abaixo segundo os aspectos elencados pelo Arco de
Maguerez, com base no problema 1:
ASPECTOS

OBSERVAÇÃO DA REALIDADE: Faça
uma análise crítica da realidade exposta
no problema, escrevendo seu ponto de
vista. O que esses dados matemáticos
implicam na realidade? Têm impacto para
a vida das pessoas?
PONTOS-CHAVE: O que está sendo
investigado? Identifique aqui os conceitos
matemáticos
e
não-matemáticos
envolvidos no problema por meio de
termos, como por exemplo: pontos-chave:
lucro, renda, juros, aumento, desconto,
aumento da pobreza, injustiça social, etc.
Em seguida, escreva o que cada termo
significa.
Qual
é
conteúdo
TEORIZAÇÃO:
matemático envolvido no problema, qual a
teoria matemática que o problema
abrange, quais são as propriedades dessa
teoria
matemática,
quais
símbolos
matemáticos são utilizados por essa teoria
matemática?
HIPÓTESES DE SOLUÇÃO: De que
forma posso resolver matematicamente
esse problema? Existe mais de uma forma
de resolver o problema? Como devo fazer
o tratamento dos dados, como selecionar
e separar os dados para resolver o
problema, como aplicar corretamente a
teoria matemática, que análises devo
fazer, que registros devo utilizar para os
dados coletados (operações matemáticas,
gráficos, fluxogramas).
APLICAÇÃO À REALIDADE: Como essa
solução do problema se reflete na
realidade quando for aplicada? O que
esse resultado numérico representa na
realidade, qual o impacto dessa Aplicação
do que foi registrado, analisado e
discutido na realidade.

DESCRIÇÃO (ESCREVA A RESPOSTA
COM BASE NAS PERGUNTAS-GUIAS DE
CADA ASPECTO)

438

4.
Suponha que seu José irá realizar a compra de dois desses smartphones
para os seus filhos, Joana e Maurílio. Referente à forma de pagamento, caso ele
opte por realizar o pagamento em 11x, qual o valor pago por seu José após quitar
os celulares? Quanto porcento ele teria economizado caso tivesse realizado o
pagamento á vista? Qual o valor dos juros pago por ele?
Resolução

Agora preencha os dados abaixo segundo os aspectos elencados pelo Arco de
Maguerez, com base no problema 1:
ASPECTOS

OBSERVAÇÃO DA REALIDADE: Faça
uma análise crítica da realidade exposta
no problema, escrevendo seu ponto de
vista. O que esses dados matemáticos
implicam na realidade? Têm impacto para
a vida das pessoas?
PONTOS-CHAVE: O que está sendo
investigado? Identifique aqui os conceitos
matemáticos
e
não-matemáticos
envolvidos no problema por meio de
termos, como por exemplo: pontos-chave:
lucro, renda, juros, aumento, desconto,
aumento da pobreza, injustiça social, etc.
Em seguida, escreva o que cada termo
significa.
Qual
é
conteúdo
TEORIZAÇÃO:
matemático envolvido no problema, qual a

DESCRIÇÃO (ESCREVA A RESPOSTA
COM BASE NAS PERGUNTAS-GUIAS DE
CADA ASPECTO)

439

teoria matemática que o problema
abrange, quais são as propriedades dessa
teoria
matemática,
quais
símbolos
matemáticos são utilizados por essa teoria
matemática?
HIPÓTESES DE SOLUÇÃO: De que
forma posso resolver matematicamente
esse problema? Existe mais de uma forma
de resolver o problema? Como devo fazer
o tratamento dos dados, como selecionar
e separar os dados para resolver o
problema, como aplicar corretamente a
teoria matemática, que análises devo
fazer, que registros devo utilizar para os
dados coletados (operações matemáticas,
gráficos, fluxogramas).
APLICAÇÃO À REALIDADE: Como essa
solução do problema se reflete na
realidade quando for aplicada? O que
esse resultado numérico representa na
realidade, qual o impacto desse
Aplicação do que foi registrado, analisado
e discutido na realidade.

440

AUTOAVALIAÇÃO (ATIVIDADE DE AMBIENTAÇÃO) – INDIVIDUAL
Nome:
Data:
/
Você apresentou dificuldades a Sim.
1
em resolver os problemas b Não.
utilizando o Arco de Maguerez?
c Parcialmente.
Justifique a sua resposta:

2

3

Em qual das etapas do Arco de a
Maguerez você apresentou
b
mais dificuldades?
c

Observação da realidade.
Pontos-chave.
Teorização.

d
e

Hipóteses de solução.
Aplicação à realidade.

f

Não apresentei dificuldades.
Justifique a sua resposta:

Você apresentou dificuldades a
em identificar o(s) conteúdo(s) b
matemáticos
em
cada c
problema?

Sim.
Não.
Parcialmente.

Justifique sua resposta:

4

Em qual ou quais problemas a
desta aula você apresentou b
mais dificuldades?
c
d

Problema 1.
Problema 2.
Problema 3.
Problema 4.

Quais foram as dificuldades?
5

Você tem dificuldades em Resposta:
algum
dos
conteúdos
matemáticos contemplados nos
problemas?
Em
quais?
Justifique sua resposta.

/

441

Material do Jogo de Tabuleiro

SITUAÇÃO NORTEADORA E SEUS DESDOBRAMENTOS
Considere a notícia divulgada pelo Jornal Contábil para participação no jogo a seguir:
Caixa Tem libera empréstimos de até R$ 1.000
O Caixa Tem está liberando empréstimos de até R$ 1.000,00 para as pessoas que
estão negativadas. De acordo com a Caixa Econômica Federal, as parcelas de
pagamento podem ser parceladas em 18 a 24 vezes. Já as taxas de juros ao mês são
de 3,99%.
Crédito Caixa Tem
É um empréstimo destinado aos clientes da Caixa, nos valores entre R$ 300 e R$ 1.000
e com prazo para pagamento de até 24 meses, disponível para contratação direto pelo
aplicativo Caixa Tem, com jornada 100% digital e simples.
Quem pode solicitar?
Segundo o banco, vão poder solicitar o empréstimo, os clientes da Caixa, a partir da
liberação para solicitação e atualização cadastral, que ocorrerá nos períodos indicados
no calendário de abertura escalonada.
Só terá direito ao empréstimo quem for aprovado pela análise de crédito realizada pela
a instituição, automaticamente pelo Caixa Tem. Depois da atualização cadastral e ter o
limite disponível para contrastar. Quem tiver restrição em órgãos de proteção ao crédito
como SPC/Serasa, não poderá solicitar o crédito.
Para quem ainda não é cliente Caixa Tem vai poder abrir sua conta Poupança+,
conforme calendário específico, a partir do dia 8 de novembro de 2021.
Quais são os tipos de empréstimos liberados pelo o aplicativo?
O aplicativo oferece duas modalidades de empréstimos, que podem ser solicitadas
automaticamente pelo Caixa Tem.
Crédito Caixa Tem pessoal: o cliente poderá utilizar para cobrir despesas gerais e
pagamentos de contas, pois esse empréstimo é de livre destinação.
Crédito Caixa Tem para seu negócio: crédito produtivo orientado para despesas com
fornecedores, salário de ajudantes/funcionários, contas de água, luz e aluguel, compra
de matérias-primas e mercadorias para revenda, entre outros.
Fonte: Wrigt (2021)
Como é sabido, o Caixa Tem foi, durante o período pandêmico, uma das
principais ferramentas para que os cidadãos brasileiros recebessem o Auxílio
Emergencial (programa do governo federal brasileiro como subsídio ao mais
vulneráveis durante a pandemia da Covid-19). Assim sendo, considere a notícia
apresentada para o desenvolvimento do jogo Pensando Rápido Sobre Matemática

442

Financeira, que tem como recursos: um tabuleiro, cartões de perguntas, dados e
marcadores.

443

444

Cartões de Perguntas e Respostas

PERGUNTA
Em um empréstimo é
cobrada a taxa de juros sob
capitalização composta, os
juros crescem de forma
linear ou exponencial?
RESPOSTA E EXPLICAÇÃO
Exponencial, para
verificação você poderá
pegar um determinado
capital e fazer uma
simulação utilizando o
mesmo tempo e taxa de
juros e, por fim, analisar o
comportamento dos dados
por meio de um gráfico.
PERGUNTA
Pedro está precisando de R$
300,00 para quitar uma
dívida, o que compensa
mais: solicitar um
empréstimo no caixa tem ou
em outro banco que a taxa é
de 3,89% ao mês (considere
que ele pagará qualquer um
dos empréstimos em 4
meses)?
RESPOSTA E EXPLICAÇÃO
Pegar o empréstimo em um
outro banco
PERGUNTA
Por que na realização de um
empréstimo os juros são
sempre cobrados sob taxa
de juros compostos?
RESPOSTA E EXPLICAÇÃO
Porque a sua incidência
ocorre sobre o valor
acumulado da dívida ao
invés do capital inicial,
fazendo com que os juros
aumentem a cada mês,
gerando, assim, um
montante total maior do que
a dos juros simples

PERGUNTA
Em um empréstimo é
cobrada a taxa de juros sob
capitalização simples, os
juros crescem de forma
linear ou exponencial?
RESPOSTA E EXPLICAÇÃO
Linear, para verificação você
poderá pegar um
determinado capital e fazer
uma simulação utilizando o
mesmo tempo e taxa juros e,
por fim, analisar o
comportamento dos dados
por meio de um gráfico.

PERGUNTA
Com o aumento da inflação a
taxa de juros também
aumenta? Justifique sua
resposta.

PERGUNTA
Quais as variáveis
envolvidas no cálculo de
juros simples?
RESPOSTA E EXPLICAÇÃO

PERGUNTA
Quais as variáveis
envolvidas no cálculo de
juros compostos?

J = Juros, C = Capital, i =
taxa de juros, t = tempo

PERGUNTA
Na realização de um
empréstimo no Caixa Tem, o
que seria mais vantajoso
para o cliente, pagar em 18
ou 24 meses?
RESPOSTA E EXPLICAÇÃO
Pagar em 18 meses, uma vez
que em empréstimo é
cobrado taxa de juros
compostos.

RESPOSTA E EXPLICAÇÃO
Sim!

RESPOSTA E EXPLICAÇÃO
J = juros, C = capital, M =
montante. I = taxa de juros,
t= tempo.

PERGUNTA
Seu José solicitará um
empréstimo no Caixa Tem no
valor de R$ 500,00, após
quitar o empréstimo, o
montante seria maior na taxa
de juros simples ou
compostos?
RESPOSTA E EXPLICAÇÃO
Na taxa de juros compostos.

445

PERGUNTA
O que são juros?
RESPOSTA E EXPLICAÇÃO
Remuneração cobrada pelo
empréstimo de dinheiro.

PERGUNTA
Os empréstimos no Caixa
Tem variam de R$ 300,00 a
R$ 1.000,00, quanto porcento
o menor valor representa do
maior valor do empréstimo?
RESPOSTA E EXPLICAÇÃO
30%

PERGUNTA
Matematicamente falando, o
que é capital?
RESPOSTA E EXPLICAÇÃO
Possível resposta: ao
conjunto dos bens utilizados
na atividade produtiva, com
um objetivo reprodutivo.

PERGUNTA
O que vem a ser Montante na
Matemática?
RESPOSTA E EXPLICAÇÃO

PERGUNTA
Amortizar é pagar uma dívida
gradualmente ou prestações.
Quais os sistemas de
amortização mais utilizados?
RESPOSTA E EXPLICAÇÃO
Sistema Price e Sistema de
Amortização Constante
(SAC)

PERGUNTA
Seu Pedro solicitou no Caixa
Tem um empréstimo no valor
de R$ 800,00 para quitar uma
dívida de R$ 640,00. Quanto
porcento a dívida representa
do valor do empréstimo
solicitado?
RESPOSTA E EXPLICAÇÃO
80%

Soma do capital com o juro.

446

Dados e Marcadores

447

Nome:
1

AUTOAVALIAÇÃO (JOGO DE TABULEIRO) – INDIVIDUAL
Data:

Você apresentou dificuldades a
em identificar o(s) conteúdo(s) b
matemáticos
em
cada c
problema?

Sim.
Não.
Parcialmente.
Justifique a sua resposta:

2

3

A respeito do jogo qual sua a
percepção?
b
c

Jogo fácil
Jogo difícil.
Jogo mediano.
Justifique a sua resposta:

Você tem dificuldades em Resposta:
algum
dos
conteúdos
matemáticos contemplados nos
problemas?
Em
quais?
Justifique sua resposta.

/

/

448

Material da Aula 2

ATIVIDADE REALIZADA EM GRUPO
SITUAÇÃO NORTEADORA E SEUS DESDOBRAMENTOS
Em janeiro de 2022, foi divulgado no Diário de Pernambuco uma notícia referente à
inflação. Observe a notícia abaixo:

Inflação rompe teto e é a maior em seis anos

Arte: CB
A inflação terminou 2021 com variação acima de 10% pela primeira vez desde 2015,
corroendo a renda e o poder de compra da população. Segundo o Instituto Brasileiro de
Geografia e Estatística (IBGE), o Índice de Preços ao Consumidor Amplo (IPCA), subiu
0,73% em dezembro, acima das estimativas do mercado, resultando em uma variação de
10,06% no acumulado do ano. Isso significa que, em cada R$ 1 mil de salário do
trabalhador, R$ 100 foram engolidos pelo dragão da inflação ao longo de 2021.
Todos os nove grupos pesquisados pelo IBGE registraram aumento de preços, com
destaque para o de transportes, que acumulou alta de 21,03% no ano e foi responsável por
41,2% da variação do IPCA. A gasolina e o etanol tiveram altas de 47,49% e de 62,23%,
respectivamente.
A variação anual do indicador superou a taxa de 4,52% de 2020 e o teto da meta de
inflação de 2021, de 5,25%. Outro vilão foi a energia elétrica residencial, que acumulou
elevação de 21,21%, por conta da estiagem e do uso das usinas térmicas. "Boa parte dessa
alta do IPCA foi explicada pelos aumentos dos preços da energia elétrica e dos
combustíveis. Eles responderam por cerca de 50% da inflação acumulada no índice no ano
passado", explicou André Braz, coordenador dos Índices de Preços do Instituto Brasileiro de
Economia da Fundação Getulio Vargas (FGV Ibre).
Na avaliação de Braz, a desvalorização do real perante o dólar, de 7%, também teve
impacto na inflação, assim como os problemas na safra devido à crise hídrica. Ele ressaltou
que a quebra da safra da cana de açúcar ajudou os preços do açúcar e do etanol subirem.
O café moído, por conta das geadas em julho, registrou alta de 50,24%, em 2021.
Fonte: Hessel (2022)

449

ESCREVA QUESTIONAMENTOS (PERGUNTAS) PARA DEBATER O TEMA
ABORDADO NA SITUAÇÃO NORTEADORA SOB O PONTO DE VISTA SOCIAL E
ECONÔMICO

Pergunta 1:
Pergunta 2:
Pergunta 3:

Considerando a notícia, responda os problemas a seguir:
1.
Nos postos de gasolina do Agreste Meridional de Pernambuco, no início de
2021 a gasolina custava, em média, R$ 4,20, chegando no final do ano, em
média, a R$ 6,30. Diante da notícia, sabe-se que esse produto sofreu um grande
acréscimo no ano em questão, o que impactou, sobremaneira, para que a
inflação terminasse o ano com variação acima de 10%. É sabido que o aumento
nesse produto interfere na vida do cidadão Pernambuco e, principalmente, em
suas finanças. Considerando isso, Paulo que é Fiscal de Obras e trabalha em
uma cidade vizinha de onde mora com salário de R$ 1.200,00, gasta, em média,
100 litros de gasolina mensal para ir trabalhar usando sua motocicleta. Quantos
porcento representa o seu gasto de combustível no seu salário no inicio 2021? E
no final de 2021? O aumento da inflação representa desconforto para o
trabalhador?
Resolução

450

Siga o Arco de Maguerez como norteador durante a resolução do problema e
preencha os espaços vazios.

451

2.
Alimento que faz parte da dieta do pernambucano, o arroz, também sofreu
aumento no ano de 2021. Sua taxa de inflação é de, em média, 40%. Agora, o
alimento é um dos que mais pesa no bolso dos responsáveis pela alimentação de
suas famílias. Seu José, que vive de um salário mínimo (R$ 1.212,00), fazendo os
seus cálculos, percebeu que em dezembro de 2020 comprava, por mês, 5kg de
arroz por R$ 3,20 cada kg. Considerando o aumento, quanto do salário de seu
José é destinado a compra de 5kg de arroz nos dias de hoje?

Resolução

452

Siga o Arco de Maguerez como norteador durante a resolução do problema e
preencha os espaços vazios.

453

AUTOAVALIAÇÃO (AULA 2) – INDIVIDUAL
Nome:
Data:
1
Você apresentou dificuldades a Sim.
em resolver os problemas b Não.
utilizando o Arco de Maguerez?
c Parcialmente.
Justifique a sua resposta:

2

Em qual das etapas do Arco de a
Maguerez você apresentou
b
mais dificuldades?
c
d
e
f

3

Você apresentou dificuldades a
em identificar o(s) conteúdo(s) b
matemáticos
em
cada c
problema?

Observação da realidade.
Pontos-chave.
Teorização.
Hipóteses de solução.
Aplicação à realidade.
Não apresentei dificuldades.
Justifique a sua resposta:

Sim.
Não.
Parcialmente.
Justifique a sua resposta:

4

Em qual ou quais problemas a
desta aula você apresentou b
mais dificuldades?

Problema 1.
Problema 2.
Quais foram as dificuldades?

5

Você tem dificuldades em Resposta:
algum
dos
conteúdos
matemáticos contemplados nos
problemas?
Em
quais?
Justifique sua resposta.

/

/

454

Material da Aula 3

ATIVIDADE REALIZADA INDIVIDUALMENTE
SITUAÇÃO NORTEADORA E SEUS DESDOBRAMENTOS
Em janeiro de 2022, foi divulgado pelo jornal O Povo uma notícia sobre o Imposto
Sobre Propriedade de Veículo Automotor (IPVA) em Pernambuco. Observe abaixo:
IPVA 2022 PE: desconto no valor do imposto em Pernambuco; como obter?

Desconto do IPVA 2022 PE: desconto no valor do imposto em Pernambuco; como obter?(foto:
Unsplash)

O pagamento antecipado em cota única do Imposto sobre a Propriedade de Veículos
Automotores (IPVA) 2022 pode gerar abatimento no valor do tributo. Em Pernambuco
(PE) é possível parcelar em três vezes, mas sem obter desconto, sendo o calendário de
pagamento organizado com base no último dígito da placa do veículo.
Segundo Miguel José Ribeiro de Oliveira, diretor executivo de Estudos e Pesquisas
Econômicas da Associação Nacional de Executivos de Finanças, Administração e
Contabilidade (Anefac), os descontos para pagamentos à vista são, muitas vezes, a
retirada de juros associados ao parcelamento.
“Para quem tem o dinheiro para pagar à vista, sempre vale a pena porque o desconto é
maior do que o rendimento de poupança ou de um fundo de investimento. Quem não tem
o dinheiro é melhor parcelar do que recorrer a empréstimo nos bancos que cobram juros
mais altos”, afirmou à Agência Brasil.
Para quem decidir efetuar o pagamento em cota única, o desconto obtido é de 7%. Para
garantir o abatimento o pagamento deve ser efetuado integralmente em fevereiro,
segundo o calendário proposto pela Sefaz-PE.
Fonte: Parente (2022)

455

ESCREVA QUESTIONAMENTOS (PERGUNTAS) PARA DEBATER O TEMA
ABORDADO NA SITUAÇÃO NORTEADORA SOB O PONTO DE VISTA SOCIAL E
ECONÔMICO

Pergunta 1:
Pergunta 2:
Pergunta 3:

Considerando a notícia, responda os problemas a seguir:

1.
Os carros da marca Volkswagen e modelo Gol são, em Pernambuco,
um dos carros mais populares. Em 2021 o IPVA desse modelo de carro
custou em média R$ 705,00. Sabendo que de 2021 para 2022 o reajuste do
IPVA foi de, em média, 22%, qual o valor pago por um proprietário de carro
nesse modelo no ano de 2022, considerando que ele optou por pagar à
vista e teve um desconto de 7%?
Resolução

456

Siga o Arco de Maguerez como norteador durante a resolução do problema e
preencha os espaços vazios.

457

2.

Mesmo indo contra a notícia, para não deixar de pagar o IPVA de seu

carro à vista, seu João, não possuindo todo o valor em mãos optou por fazer
um empréstimo. O seu automóvel é da marca Chevrolet e modelo Corsa ano
2005 e o valor do seu IPVA era de R$ 618,00 (sem desconto). Sabendo disso, o
empréstimo feito por seu João foi de R$ 600,00 para ser pago em 6 parcelas
sendo cobrado sob ele uma taxa de juros composto de 3% ao mês. Diante
disso, se o seu João tivesse optado por realizar o pagamento do IPVA
parcelado (em 3x) quanto ele teria economizado referente à quantia paga ao
quitar o empréstimo?
Resolução

458

Siga o Arco de Maguerez como norteador durante a resolução do problema e
preencha os espações vazios.

459

AUTOAVALIAÇÃO (AULA 3) – INDIVIDUAL
Nome:
Data:
1
Você apresentou dificuldades a Sim.
em resolver os problemas b Não.
utilizando o Arco de Maguerez?
c Parcialmente.
Justifique a sua resposta:

2

Em qual das etapas do Arco de a
Maguerez você apresentou
b
mais dificuldades?
c
d
e
f

3

Você apresentou dificuldades a
em identificar o(s) conteúdo(s) b
matemáticos
em
cada c
problema?

Observação da realidade.
Pontos-chave.
Teorização.
Hipóteses de solução.
Aplicação à realidade.
Não apresentei dificuldades.
Justifique a sua resposta:

Sim.
Não.
Parcialmente.
Justifique a sua resposta:

4

5

Em qual ou quais problemas a
desta aula você apresentou
b
mais dificuldades?

Problema 1.
Problema 2.

Você tem dificuldades em Resposta:
algum
dos
conteúdos
matemáticos contemplados nos
problemas?
Em
quais?
Justifique sua resposta.

/

/

460

Material da Aula 4
ATIVIDADE REALIZADA EM GRUPO – DESAFIO DO ARCO
No Desafio do Arco, diante da situação norteadora e dos problemas colocados, o
intuito é que os estudantes respondam de maneira oralizada as suas percepções
acerca do que está sendo tratado, considerando para isso as etapas do Arco de
Maguerez. Nesse sentido, o grupo de estudantes deve ser dividido em duas equipes,
cada qual com um problema em mãos tendo que percorrer o Arco esboçando de
maneira oralizada o que observaram da realidade, os pontos-chave, a teorização, as
hipóteses de solução e a aplicação à realidade. Desse modo, como a ideia é trabalhar
com equipes, a cada nova etapa do Arco os estudantes precisam responder perguntas
fasts (rápidas) sobre conhecimentos matemáticos básicos, como por exemplo a raiz
quadrada de um número, uma potenciação, entre outras e a equipe que responde
primeiro tem o direito de fala na etapa do Arco, tornando-se vencedor do desafio o
grupo que responde adequadamente todas as etapas e o problema tratado. Os
problemas utilizados são o 1 e 2 que estão colocados na página seguinte. O Arco pode
ser reproduzido em A3 ou em cartolina como foi efetuado para a aplicação na pesquisa
para a dissertação como vemos abaixo:
Arco de Maguerez montado na mesa para o Desafio

Fonte: Elaborado pelo autor da dissertação (2022)

461

SITUAÇÃO NORTEADORA E SEUS DESDOBRAMENTOS
Observe as notícias abaixo:

Rendimento da poupança hoje - 08/01/2022

Foto: Divulgação Rendimento da poupança hoje - 11/01/2022

O Banco Central divulgou nesta terça-feira (11/01) o rendimento da poupança referente
ao dia 08 de janeiro de 2022. O rendimento da poupança mensal ficou em 0,5677 para
depósitos feitos a partir de 04.05.2012 e anteriores a 03.05.2012, por que a Taxa Selic
está em 9,25% a.a.
Fonte: Investimentos e notícias (2022)

Preço de TV

Fonte: Arquivo do autor.

462

ESCREVA QUESTIONAMENTOS (PERGUNTAS) PARA DEBATER O TEMA
ABORDADO NA SITUAÇÃO NORTEADORA SOB O PONTO DE VISTA SOCIAL E
ECONÔMICO

Pergunta 1:
Pergunta 2:
Pergunta 3:

Considerando a notícia, responda os problemas a seguir:

1.

Pedro deseja comprar uma TV da que foi exposta na situação 2, sabendo

que o produto à vista tem desconto de 5%. Se ele tem uma quantia de R$ 1.280,00
e fizer uma aplicação na poupança à taxa de juros compostos, quantos meses ele
precisará deixar o dinheiro render à taxa de 0,5% ao mês (rendimento atual da
poupança, em média) para comprar a TV à vista?
Resolução

463

2.
Pedro ainda dispondo dos seus R$ 1.280,00, apareceram duas
possibilidades, aplicar o dinheiro na poupança à taxa de juros compostos de
0,5% ao mês ou emprestar ao seu compadre João à taxa de juros simples de
0,8% ao mês. Qual possibilidade seria mais vantajosa para comprar a TV o mais
rápido possível pelo preço de à vista?
Resolução

.

464

Siga o Arco de Maguerez como norteador durante a resolução do problema e
preencha os espações vazios.

465

AUTOAVALIAÇÃO (AULA 4) – INDIVIDUAL
Nome:
Data:
1
Você apresentou dificuldades a Sim.
em resolver os problemas b Não.
utilizando o Arco de Maguerez?
c Parcialmente.
Justifique a sua resposta:

2

Em qual das etapas do Arco de a
Maguerez você apresentou
b
mais dificuldades?
c
d
e
f

3

Você apresentou dificuldades a
em identificar o(s) conteúdo(s) b
matemáticos
em
cada c
problema?

Observação da realidade.
Pontos-chave.
Teorização.
Hipóteses de solução.
Aplicação à realidade.
Não apresentei dificuldades.
Justifique a sua resposta:

Sim.
Não.
Parcialmente.
Justifique a sua resposta:

4

5

Você apresentou dificuldades a
na resolução do problema?
b
c

Sim
Não
Parcialmente
Quais foram as dificuldades?

Você tem dificuldades em Resposta:
algum
dos
conteúdos
matemáticos contemplados nos
problemas?
Em
quais?
Justifique sua resposta.

/

/

466

Materi da Aula 5
RECURSO DIDÁTICO NORTEADOR
ATIVIDADE 1 - Jogo digital: Problemas de Matemática Financeira

Sobre o jogo: O jogo intitulado Problemas de Matemática Financeira foi desenvolvido no
Wordwall (plataforma on-line e gratuita) pelo autor desta proposta e diz respeito a um
questionário composto por cinco questões sobre Matemática Financeira, levando em
consideração situações baseadas em contextos reais.
Link do jogo: https://wordwall.net/pt/resource/19185884;
Execução do jogo: o estudante por meio do link acessará ao jogo e encontrará algumas
situações matemáticas sobre Matemática Financeira.
Questões do jogo

467

468

Diante da execução do jogo digital, faça o preenchimento do Arco de Maguerez.

469

ATIVIDADE REALIZADA EM GRUPO
ATIVIDADE 2 – ELABORANDO E RESOLVENDO PROBLEMAS DE MATEMÁTICA
FINANCEIRA
SITUAÇÃO NORTEADORA
Leia a notícia abaixo e a partir dela elabore um problema envolvendo conceitos de
Matemática Financeira, apresentando a resolução, explicando por meio do Arco de
Maguerez e propondo questionamentos sociais e econômicos a partir da realidade
apresentada pela notícia de jornal.

A Neoenergia Pernambuco, no Cabo de Santo Agostinho, vai oferecer até 65% de
desconto na fatura de energia dos clientes de baixa renda da região. Os interessados
devem estar inscritos no CadÚnico do Governo Federal e possuir o Número de
Identificação Social (NIS) ou o Benefício de Prestação Continuada (BPC). Ainda será
possível fazer negociação de dívidas, podendo dividir o débito em até 24 parcelas no
crédito. Outros serviços, como: pedido de nova ligação, troca de titularidade, religação,
entre outros, também serão realizados.
Fonte: Adaptado do Diário de Pernambuco, 23/09/2022

ESCREVA QUESTIONAMENTOS (PERGUNTAS) PARA DEBATER O TEMA
ABORDADO NA NOTÍCIA SOB O PONTO DE VISTA SOCIAL E ECONÔMICO

Pergunta 1:
Pergunta 2:
Pergunta 3:

470

PROBLEMA ELABORADO –ESCREVA O ENUNCIADO

APRESENTE A RESOLUÇÃO MATEMÁTICA DO PROBLEMA

471

FAÇA A ANÁLISE DO PROBLEMA COM O ARCO DE MAGUEREZ

472

AUTOAVALIAÇÃO (AULA 5) – INDIVIDUAL
Nome:
Data:
1
Você apresentou dificuldades a Sim.
em preencher o Arco de b Não.
Maguerez após a execução do
c Parcialmente.
jogo?
Justifique a sua resposta:

2

Em qual das etapas do Arco de a
Maguerez você apresentou
b
mais dificuldades?
c
d
e
f

3

Você apresentou dificuldades a
em identificar o(s) conteúdo(s) b
matemáticos durante o jogo?
c

/

/

Observação da realidade.
Pontos-chave.
Teorização.
Hipóteses de solução.
Aplicação à realidade.
Não apresentei dificuldades.
Justifique a sua resposta:

Sim.
Não.
Parcialmente.
Justifique a sua resposta:

4

A respeito do jogo, qual a sua a
percepção?
b
c

Jogo fácil.

5

Você apresentou dificuldades
na execução no envolvimento
com o jogo diante das
tecnologias digitais?

Justifique a sua resposta

6

Você conseguiu elaborar
problema
envolvendo
conteúdo de Matemática
Financeira?

Sim e não tive dificuldades.
Sim, mas com certa dificuldade, pois não
estou acostumado (a) a elaborar
problemas nas aulas de Matemática.
Não consegui elaborar o problema.

o a
o b

c
7

Você

teve

dificuldade

de a

Jogo mediano.
Jogo difícil.
Justifique a sua resposta:

Sim, tive muita dificuldade.

473

8

escrever o enunciado do b
problema encaixando os
c
conceitos
de
Matemática
Financeira considerando a
situação real na qual ele foi
baseado?

Sim, tive pouca dificuldade.
Não tive dificuldade.

Você conseguiu elaborar as 3 a
perguntas
propondo
os
questionamentos para debater b
o tema?

Sim, sem dificuldade.

c

Sim, mas com certa dificuldade, pois não
estou acostumado (a) a elaborar questões
nas aulas de Matemática.
Não consegui, tenho dificuldade com
escrita e também não estou acostumado
(a) elaborar questões nas aulas de
Matemática.

9

Você considera importante que a
se aborde problemas da
realidade
nas
aulas
de
Matemática
para
a
aprendizagem dos conteúdos?
b

Sim, é importante porque conseguimos ver
as aplicações dos conteúdos, tem mais
sentido e podemos discutir os problemas
reais desenvolvendo nossa
criticidade.
Não, não é importante, basta que os
problemas
foquem
nos
conteúdos
matemáticos. sem necessariamente estar
ligado à vida real.

10

Você considera necessário a
seguir etapas para resolução
de problemas matemáticos?
b

Sim, pois estruturam e organizam a forma
de resolução.
Não, não são necessárias, a resolução
depende de raciocínio e elaboração de
estratégias e não de etapas.

474

QUESTIONÁRIO A POSTERIORI

QUESTIONÁRIO A POSTERIORI - INDIVIDUAL
Nome:
Data:
/
/
Objetivo: Averiguar as percepções dos estudantes (sujeitos Idade:
Sexo: ( ) M ( ) F
de pesquisa) após a aplicação da sequência didática.
1
O que você achou dos a Contribuíram muito para a construção do meu
problemas
matemáticos
conhecimento sobre Matemática Financeira.
envolvendo
Matemática b Contribuíram razoavelmente para a construção
Financeira partirem de contextos
do meu conhecimento sobre Matemática
reais?
Financeira..
c Contribuíram pouco para a construção do meu
conhecimento sobre Matemática Financeira.
d Não contribuíram para a construção do meu
conhecimento sobre Matemática Financeira.
2

Ocorreram cinco aulas com a 1ª aula, jogo do tabuleiro.
atividades, em qual delas você b 2ª aula, notícia do IPVA.
considera
que
teve
mais c 3ª aula, notícia da inflação.
dificuldade?
d 4ª aula, notícia do rendimento da poupança e
preço da TV.
e 5ª aula, jogo digital e atividade de elaboração
de problema.
Justifique sua resposta:

3

Sobre os conteúdos que foram a Sim, bastante dificuldade.
abordados nas questões (juros, b Sim, pouca dificuldade.
porcentagem, acréscimos e c Não tive dificuldade.
decréscimos, taxas), você teve
dificuldades?

4

Sobre as perguntas que o a Contribuíram muito para o compartilhamento
professor fez durante e após a
de ideias dos estudantes.
resolução dos problemas (Por b Contribuíram pouco para o compartilhamento
quê? Como? O quê? Você
de ideias dos estudantes.
discorda ou concorda?) o que c Contribuíram razoavelmente para o
você considera sobre elas?
compartilhamento de ideias dos estudantes.
d Não contribuíram muito para o
compartilhamento de ideias dos estudantes.

5

Você apresentou dificuldades na a Sim, pouca dificuldade.
execução dos jogos?
b Sim, muita dificuldade.
c Não apresentei dificuldade.

475

6

Sobre o agir do professor nas a Muito adequado.
atividades,
o
que
você b Pouco adequado.
considera?
c Razoavelmente adequado.
d Inadequado.

7

De que maneira o professor o a Explicando de outra maneira, mas sem dar a
ajudou quando você apresentou
resposta.
dificuldade?
b Dando as respostas.
c Não ajudou.
d Fazendo questionamentos para que eu
refletisse sobre a situação.

8

A linguagem utilizada nas
notícias, nos problemas e pelo
professor estava adequada para
você?

9

Você teve dificuldades na a Sim, muita dificuldade.
compreensão das questões b Sim, pouca dificuldade.
colocadas (ler, interpretar)? Qual c Não tive dificuldade.
a principal dificuldade?
Justifique sua resposta:

10

Você teve dificuldades em a Sim, muita dificuldade.
separar os dados das questões b Sim, pouca dificuldade.
e enquadrá-los na resolução do c Não tive dificuldade..
problema?

11

Você teve dificuldade em validar a Sim, muita dificuldade.
suas respostas, isto é, verificar b Sim, pouca dificuldade.
se estavam realmente corretas? c Não tive dificuldade.

12

As questões contribuíram para a
construção
do
seu
conhecimento e a aplicação dele
em situações cotidianas?

13

Você conseguiu compreender a Sim, sem dificuldade.
noções
de
Matemática b Sim, mas com dificuldade.
Financeira diante dos problemas c Não conseguir compreender.
colocados?

a
b
c
d

a
b
c
d

Muito adequada.
Pouco adequada.
Razoavelmente adequada.
Inadequada.

Contribuíram muito.
Contribuíram pouco.
Contribuíram razoavelmente.
Não contribuíram.

476

14

Você agora consegue perceber a Sim, sem dificuldade.
que
podemos
resolver b Sim, mas com dificuldade.
problemas cotidianos utilizando c Não consigo perceber.
conhecimentos matemáticos?

15

Como você avalia as questões a Excelentes.
colocadas para você?
b Boas.
c Ótimas.
d Regulares.
e Ruins.

16

Sobre o Arco de Maguerez a Excelente ferramenta, pois organiza e direciona
como ferramenta na resolução
a resolução, partindo de problemas reais,
de problemas, você considera
contextualizados e desenvolve a criticidade.
que seja:
b Ótima ferramenta, estrutura a resolução do
problema e faz refletir sobre as questões do
cotidiano.
c Boa ferramenta e estrutura a resolução do
problema.
d Ferramenta regular, pois é muito descritivo e
faz com que demore a resolução.
e Ferramenta ruim, muitos passos e tira o foco
da Matemática.

17

Qual dessas etapas você a Observação da realidade.
considera essencial no Arco de b Pontos-chave.
Maguerez?
c Teorização.
d Hipóteses de solução.
e Aplicação à realidade.

18

Qual dessas etapas você
considera que poderia ser
excluída do Arco de Maguerez
com a finalidade de otimizar o
uso do Arco na Resolução de
Problemas?

a
b
c
d

Observação da realidade.
Pontos-chave.
Teorização.
Hipóteses de solução.

e Aplicação à realidade.

19

Você considera
Maguerez como:

20

Sobre o Arco de Maguerez, a Muito eficiente.
considerando a sua experiência b Pouco eficiente.
com a utilização na resolução c Não foi eficiente.
dos problemas, em sua opinião
ele foi:

21

O

agir

o

Arco

comunicativo

de a
b
c
d

Metodologia de problematização .
Ferramenta de resolução de problemas.
Metodologia de ensino.
Método de aprendizagem.

do a Contribuiu muito.

477

professor durante a aplicação b Contribuiu pouco.
das atividades das aulas c Contribuiu razoavelmente.
contribuiu para o seu processo d Não contribuiu.
de aprendizagem?
22

De um modo geral, por meio das a Sim, plenamente.
atividades
propostas
você
conseguiu
aprender
os b Sim, parcialmente
conceitos
de
Matemática
Financeira
por
meio
dos c Não consegui.
problemas e com a utilização do
Arco de Maguerez?

478

ANEXOS

479

ANEXO A - PARECER CONSUBSTANCIADO DO CEP

480

481

482

483

484

485

ANEXO B (FOLHA DE ROSTO PARA PESQUISA ENVOLVENDO
SERES HUMANOS)

486

ANEXO C (DECLARAÇÃO DE CUMPRIMENTO DAS NORMAS DA
RESOLUÇÃO
RESULTADOS

N°

466/12

E

510/16DE

ESOBRE

O

USO

MATERIAL/DADOS COLETADOS)

E

PUBLICIZAÇÃO

DOS

DESTINAÇÃO

DO

487

ANEXO

D

INTERESSE)

(DECLARAÇÃO

DE

ISENÇÃO

DE

CONFLITO

DE

488

ANEXO

E

(DECLARAÇÃO

INSTALAÇÕES PARA
CONSEQUÊNCIAS)

O

DE AUTORIZAÇÃO, INFRAESTRUTURA E
DESENVOLVIMENTO DA PESQUISA E SUAS

489

490

ANEXO F (TERMO DE ASSENTIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO T.A.L.E.)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Termo de Assentimento Livre e Esclarecido (T.A.L.E.)
Assinado pelo aluno participante da pesquisa

INSTITUIÇÃO DE VÍNCULO DO PESQUISADOR: Universidade Federal de Alagoas
Pesquisador responsável: Felipe Miranda Mota
E-mail do pesquisador responsável:felipemiranda.mat@gmail.com
Orientadora: Profa. Dra. Claudia de Oliveira Lozada
Você está sendo convidado (a) a participar como voluntário (a) da pesquisa O
CONTRATO DIDÁTICO EM UMA TURMA DA 3ª SÉRIE DO ENSINO MÉDIO:
CONTRIBUIÇÕES DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS, DO ARCO DE MAGUEREZ
E DA AÇÃO COMUNICATIVA NO TRABALHO COM A MATEMÁTICA
FINANCEIRA, vinculada ao Programa de Mestrado em Ensino de Ciências e
Matemática da Universidade Federal de Alagoas que tem por objetivoInvestigar, a
partir da proposição de um tipo de tarefa matemática utilizando a Resolução de
Problemas envolvendo Matemática Financeira e do manuseio com o Arco de
Maguerez, o rompimento das regras de Contrato Didático, bem como a fuga dos
efeitos perversos do Contrato Didático, e as contribuições para a construção de
novos conhecimentos, tomando como base a Ação Comunicativa do professor
em uma turma da 3ª série do Ensino Médio.O estudo se destina a contribuir para a
melhoria da aprendizagem dos conceitos de Matemática Financeira, bem como o
envolvimento do estudante nas situações diversas de ensino e aprendizagem,
considerando-o como sujeito ativo, crítico e reflexivo. A coleta de dados será
realizada por meio de gravações, videografia, questionário a priori e a posteriori,
sequência didática (sequência de atividades) e diário de bordo sendo coletados
durante as aulas de Matemática na Escola de Referência em Ensino Médio Padre
Antônio Barbosa Júnior.
Esta pesquisa conta com a participação somente alunos de 16 a 17anos e que estão
na 3ª série do Ensino Médio, por esse motivo você foi escolhido para esta pesquisa.
Você não precisa participar da pesquisa se não quiser, é um direito seu e não terá
nenhum problema se desistir.
A pesquisa será feita na Escola de Referência em Ensino Médio Padre Antônio
Barbosa Júnior, onde você irá responder questionário e atividades eparticipar de
atividades em grupo, como em jogos educativos com material concreto e jogos

491

digitais. Para isso, será utilizado celular/tablet com o sistema Android ou IOS, pois irá
manusear o aplicativo e realizar atividades por meio dos aparelhos, também será feito
o registro fotográfico de todas as etapas da pesquisa com alguns momentos que serão
gravados.
Quanto aos riscos que a participação na pesquisa pode lhe trazer, estão: apresentar
desconfortos nos momentos de realização das atividades e nas interações com outros
sujeitos, no entanto, será proporcionado a eles situações favoráveis para que não se
sintam assim; que a aprendizagem do estudante não se consolide, o que não
representa um dano irreparável, dado que isso pode acontecer no processo de
aprendizagem e através de estratégias diversificadas pode ser modificado. Caso você
se sinta constrangido durante os registros fotográficos e gravações que serão
realizados durante as atividades, você pode realizar a atividade quando acha melhor.
Acerca das gravações, é importante mencionar que serão utilizadas somente para fins
de análise de dados no âmbito da pesquisa e que ficarão sob tutela e
responsabilidade do pesquisador.
Quanto à utilização das plataformas digitais, será exclusiva para a execução de
atividades matemáticas por meio de jogos durante a realização da pesquisa de
maneira presencial, ou seja, não envolve momentos a distância. Além disso, nos jogos
digitais não há coleta de dados pessoais ou dados sensíveis dos participantes. Logo,
não há riscos de exposição desse tipo de dado no meio digital/virtual. Os dados
coletados, no caso como os estudantes executaram os jogos, serão utilizados
somente para fins de análise e ficarão sob tutela do pesquisador.
Para este estudo, precisamos que você permita a coleta de dados por meio do
recolhimento das atividades que você realizará, como responder os questionários e
resolver as atividades propostas.
Quem vai coletar o material é o pesquisador responsável Felipe Miranda Mota.
Os riscos da coleta são baixos (que os estudantes podem apresentar desconfortos
nos momentos de realização das atividades e nas interações com outros sujeitos, no
entanto, será proporcionado a eles situações favoráveis para que não se sintam
assim; que a aprendizagem do estudante não se consolide, o que não representa um
dano irreparável, dado que isso pode acontecer no processo de aprendizagem e
através de estratégias diversificadas pode ser modificado), mas caso aconteça algo
com você por causa da coleta, nós daremos toda a assistência necessária.
Ninguém pode forçar você a participar deste estudo e você tem toda a liberdade de
deixar de participar do estudo a qualquer momento sem que isso lhe traga algum
problema.
Seu nome e o nome de seus pais/responsáveis não serão divulgados em nenhum
momento e suas informações serão analisadas junto com as de outros participantes.
Você será indenizado(a) pelo pesquisador por qualquer dano que venha a sofrer com
a sua participação na pesquisa.

492

O estudo não acarretará nenhuma despesa para você e também você não receberá
nada para participar desta pesquisa, sendo que a sua participação é importante, pois
ajudará a melhorar o ensino e a aprendizagem de Matemática na Educação Básica,
com a utilização de recursos e atividades mais dinâmicas e atrativas. Também irá
acontecer coisas boas durante a pesquisa como a interação com os colegas, com os
materiais didáticos utilizados nas atividades, desenvolvendo o conhecimento sobre
Matemática Financeira.
Como dissemos, o estudo não acarretará nenhuma despesa para você, caso aconteça
você será indenizado(a) por qualquer dano que venha a sofrer com a sua participação
na pesquisa e também receberá uma via do Termo de Consentimento Livre e
Esclarecido assinado por todos.
As suas informações ficarão sob sigilo, ninguém saberá que você está participando da
pesquisa; não falaremos para outras pessoas, nem daremos a estranhos as
informações que você nos der. Há um risco de perda e exposição dos dados,
entretanto, o pesquisador ficará responsável por manter todo o material em segredo e
não divulgar.
Os resultados da pesquisa serão registrados numa dissertação e também será
construído um produto educacional para os demais professores, com a finalidade de
conhecerem como foram realizadas as atividades aplicadas. Os resultados finais da
pesquisa serão publicados em formato de artigos científicos em revistas científicas,
mas sem identificar seus dados pessoais e imagens.
Em qualquer etapa do estudo, você terá acesso ao pesquisador responsável pela
pesquisa para esclarecimento de dúvidas, pelo telefone (87) 9.8119-9807 ou mandar
um e-mail para felipemiranda.mat@gmail.com.
Quando terminarmos a pesquisa vamos organizar um mural na escola contendo os
registros das atividades realizadas. Se você tiver alguma dúvida, entre em contato.
O Comitê de Ética em Pesquisa da Universidade Federal de Alagoas (CEP/UFAL)
analisou e aprovou esta pesquisa. Cabe ressaltar, que a função do CEP/UFAL é de
resguardar os interesses, a integridade, e dignidade dos sujeitos da pesquisa, visando
garantir o respeito e a prevenção de danos. Para mais, é um órgão de fundamental
importância para toda e qualquer instituição de ensino e pesquisa, uma vez que
contribui para a qualidade das pesquisas e para a discussão do papel da pesquisa

CONSENTIMENTO PÓS INFORMADO

Eu, __________________________________________ aceito participar da pesquisa
“O Contrato Didático em uma turma da 3ª série do Ensino Médio: contribuições
da Resolução de Problemas, do Arco de Maguerez e da Ação Comunicativa no
trabalho com a Matemática Financeira”. Entendi que posso dizer “sim” e participar,

493

mas que, a qualquer momento, posso dizer “não” e desistir e que ninguém vai ficar
chateado. Declaro que os pesquisadores tiraram minhas dúvidas e recebi uma cópia
deste termo.

Autorização de uso de imagem e/ou voz:
( ) sim, autorizo o uso da minha imagem e/ou voz.
( ) não,não autorizo a divulgação da minha imagem e/ou voz.

Maceió/AL, _____ de ________________ de_________.

494

ANEXO G (TERMO DE ESCLARECIMENTO LIVRE E ESCLARECIDO - T.L.C.E.)

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
Termo de Esclarecimento Livre e Esclarecido (T.L.C.E.)
Assinado pelo (a) responsável legal pelo (a) menor de 18 anos que está participando da
pesquisa

INSTITUIÇÃO DE VÍNCULO DO PESQUISADOR: Universidade Federal de Alagoas
Pesquisador responsável: Felipe Miranda Mota
E-mail do pesquisador responsável: felipemiranda.mat@gmail.com
Orientadora: Profa. Dra. Claudia de Oliveira Lozada
O(A) seu(sua) filho(a) está sendo convidado a participar do projeto de pesquisa O
Contrato Didático em uma turma da 3ª série do Ensino Médio: contribuições da
Resolução de Problemas, do Arco de Maguerez e da Ação Comunicativa no
trabalho com a Matemática Financeira, cujo pesquisador responsável é Felipe
Miranda Mota. O objetivo da pesquisaéInvestigar, a partir da proposição de um
tipo de tarefa matemática utilizando a Resolução de Problemas envolvendo
Matemática Financeira e do manuseio com o Arco de Maguerez, o rompimento
das regras de Contrato Didático, bem como a fuga dos efeitos perversos do
Contrato Didático, e as contribuições para a construção de novos
conhecimentos, tomando como base a Ação Comunicativa do professor e dos
est em uma turma da 3ª série do Ensino Médio.O(A) seu(sua) filho(a) está sendo
convidado porque faz parte da quadro de estudantes da instituição na qual a
pesquisa será desenvolvida, bem como da turma será desenvolvida a pesquisa.
O(A) Sr(a). tem de plena liberdade de recusar a participação do seu(sua) filho(a) ou
retirar seu consentimento, em qualquer fase da pesquisa, sem penalização alguma
para o tratamento que ele(a) recebe na Escola de Referência em Ensino Médio Padre
Antônio Barbosa Júnior, onde a pesquisa está sendo realizada.
Esta pesquisa conta com a participação somente alunos de 16 a 17 anos e que estão
na 3ª série do Ensino Médio, por esse motivo o(a) seu/sua filha(o) foi escolhido para
esta pesquisa.
Quem vai coletar o material é o pesquisador responsável Felipe Miranda Mota.

495

Caso aceite a participação do (a) seu/sua filho(a), esta participação consiste em
responder questionários e atividades propostas, participar de atividades em grupo,
como em jogos educativos com material concreto e jogos digitais,sendo coletados
durante as aulas de Matemática na Escola de Referência em Ensino Médio Padre
Antônio Barbosa Júnior. Para isso, será utilizado celular/tablet com o sistema Android
ou IOS, pois irá manusear o aplicativo e realizar atividades por meio dos aparelhos,
também será feito o registro fotográfico de todas as etapas da pesquisa com alguns
momentos que serão gravados, sendo que os riscos são baixos. Caso o (a) seu/sua
filho(a), se sinta constrangido durante os registros fotográficos e gravações que serão
realizados durante as atividades, ele/ela pode realizar a atividade quando achar
melhor.
Assim, solicitamos explicitamente autorização para registro de imagem e de som do
participante, por meio de registro fotográfico e de vídeo, garantindo a
confidencialidade e a privacidade, a proteção da imagem e a não estigmatização dos
participantes da pesquisa, garantindo a não utilização das informações em prejuízo
das pessoas e/ou das comunidades, inclusive em termos de autoestima, de prestígio
e/ou de aspectos econômico-financeiros. A identidade de seu/sua filho (a) será
mantido em sigilo.
Garantimos ao(à) Sr(a) a manutenção do sigilo e da privacidade da participação do (a)
seu/sua filho(a) e de seus dados durante todas as fases da pesquisa e posteriormente
na divulgação científica. Os resultados da pesquisa serão registrados numa
dissertação e também será construído um produto educacional para os demais
professores, com a finalidade de conhecerem como foram realizadas as atividades
aplicadas. Os resultados finais da pesquisa serão publicados em formato de artigos
científicos em revistas científicas, mas sem identificar seus dados pessoaisdo (a)
seu/suafilho(a) e imagens.
As informações do (a) seu/sua filho(a) ficarão sob sigilo, ninguém saberá que ele/ela
está participando da pesquisa; não falaremos para outras pessoas, nem daremos a
estranhos as informações que ele/ela nos der. Há um risco de perda e exposição dos
dados, entretanto, o pesquisador ficará responsável por manter todo o material em
segredo e não divulgar.
O estudo não acarretará nenhuma despesa para o (a) seu/sua filho(a) e também
ele/ela não receberá nada para participar desta pesquisa, sendo que a sua
participação dele/dela é importante, pois ajudará a melhorar o ensino e a
aprendizagem de Matemática na Educação Básica, com a utilização de recursos e
atividades mais dinâmicas e atrativas. Também irá acontecer coisas boas durante a
pesquisa como a interação de seu/sua filha (o) com os colegas, com os materiais
didáticos utilizados nas atividades, desenvolvendo o conhecimento sobre Matemática
Financeira.
Nesta pesquisa os riscos para o (a) seu/suafilho(a) são baixos (o estudante pode se
sentir desconfortável nos momentos de interação e gravações; a aprendizagem pode
não acontecer, não que não representa um dano irreparável, uma vez que isso pode
acontecer no processo de aprendizagem), mas caso aconteça algo com ele/ela por
causa da coleta de dados, nós daremos toda a assistência necessária. Quanto à
utilização das plataformas digitais, será exclusiva para a execução de atividades

496

matemáticas por meio de jogos durante a realização da pesquisa de maneira
presencial, ou seja, não envolve momentos a distância. Além disso, nos jogos digitais
não há coleta de dados pessoais ou dados sensíveis dos participantes. Logo, não há
riscos de exposição desse tipo de dado no meio digital/virtual. Os dados coletados, no
caso o desenvolvimento dos estudantes nos jogos, serão utilizados somente para fins
de análise e ficarão sob tutela do pesquisador.
O(a) seu/sua filho(a) será indenizado(a) pelo pesquisador por qualquer dano que
venha a sofrer com a sua participação na pesquisa.
Em qualquer etapa do estudo, você terá acesso ao pesquisador responsável pela
pesquisa para esclarecimento de dúvidas, pelo telefone (87) 9.8119-9807 ou mandar
um e-mail para felipemiranda.mat@gmail.com.
Quando terminarmos a pesquisa vamos organizar um mural na escola contendo os
registros das atividades realizadas. Se você tiver alguma dúvida, entre em contato.
O Comitê de Ética em Pesquisa da Universidade Federal de Alagoas (CEP/UFAL)
analisou e aprovou esta pesquisa. Cabe ressaltar, que a função do CEP/UFAL é de
resguardar os interesses, a integridade, e dignidade dos sujeitos da pesquisa, visando
garantir o respeito e a prevenção de danos. Para mais, é um órgão de fundamental
importância para toda e qualquer instituição de ensino e pesquisa, uma vez que
contribui para a qualidade das pesquisas e para a discussão do papel da pesquisa
Você receberá uma via do Termo de Consentimento Livre e Esclarecido assinado por
todos.
CONSENTIMENTO PÓS-INFORMAÇÃO

Eu, _________________________________________, declaro que concordo que
meu(minha)
filho(a)
_________________________________________________________
(nome
completo do menor de 18 anos) participe desta pesquisa,tendo compreendido
perfeitamente tudo o que me foi informado sobre a participação no mencionado estudo
e estando consciente dos meus direitos, das responsabilidades, dos riscos e dos
benefícios que a participação implicam, concordo em autorizar a participação do
menor e para isso eu DOU O MEU CONSENTIMENTO SEM QUE PARA ISSO EU
TENHA SIDO FORÇADO OU OBRIGADO.
Maceió, ____ de _______________de 2022.

Endereço da equipe da pesquisa (OBRIGATÓRIO):
Instituição: Universidade Federal de Alagoas
Endereço: Av. Lourival Melo Mota, Tabuleiro do Martins
Complemento:

497

Cidade/CEP: Maceió/57072-900
Telefone:
Ponto de referência:
Contato de urgência: Felipe Miranda Mota
Endereço: Sítio Catonho
Complemento: Casa
Cidade/CEP: Jupi-PE, 55.395-000
Telefone: (87) 9.8119-9807
Ponto de referência:
ATENÇÃO: O Comitê de Ética da UFAL analisou e aprovou este projeto de pesquisa.
Para obter mais informações a respeito deste projeto de pesquisa, informar
ocorrências irregulares ou danosas durante a sua participação no estudo, dirija-se ao:
Comitê de Ética em Pesquisa da Universidade Federal de Alagoas
Prédio do Centro de Interesse Comunitário (CIC), Térreo, Campus A. C. Simões,
Cidade Universitária
Telefone: 3214-1041 – Horário de Atendimento: das 8:00 às 12:00h.
E-mail: cep@ufal.br

Assinatura ou impressão datiloscópia do
(a) responsável legal e rubricar as demais
folhas

Nome e Assinatura do Pesquisador pelo
estudo (Rubricar as demais páginas)

ANEXO H (SOLICITAÇÃO DE AUTORIZAÇÃO PARA PESQUISA
CIENTÍFICO-ACADÊMICA)

498

499