SEÇÕES CÔNICAS: uma sequência didática no ensino médio utilizando o GeoGebra
Francisco Aureliano Vidal
PE Francisco Aureliano - Cônicas - PPGECIM.pdf
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1
UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE
CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
FRANCISCO AURELIANO VIDAL
SEÇÕES CÔNICAS: UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA NO ENSINO MÉDIO
UTILIZANDO O GEOGEBRA
Produto educacional desenvolvido sob orientação
do(a) Prof. Dr. Givaldo Oliveira dos Santos e
apresentada à banca examinadora como requisito
parcial à obtenção do Título de Mestre em Ensino
de Ciências e Matemática – Área de Concentração
“Ensino de Matemática”, pelo Programa de PósGraduação em Ensino de Ciências e Matemática
da Universidade Federal de Alagoas.
MACEIÓ
2013
2
SUMÁRIO
1
INTRODUÇÃO......................................................................................... 3
2
A SEQUÊNCIA DIDÁTICA ...................................................................... 5
2.1 Sequência didática utilizando o GeoGebra .............................................. 5
2.2 Proposta de ensino com turmas do ensino médio .................................. 6
2.3 Sugestão de questionário ........................................................................ 8
2.4 As sessões de ensino ............................................................................ 11
2.2.1 Sessão 1: Construção da parábola ........................................................ 11
2.2.2 Sessão 2: Construção da elipse ............................................................ 15
2.2.3 Sessão 3: Construção da hipérbole ....................................................... 21
3
CONCLUSÃO ........................................................................................ 26
4
REFERÊNCIAS ..................................................................................... 28
3
1 INTRODUÇÃO
Neste trabalho apresentamos o produto educacional que desenvolvemos
como parte integrante da nossa dissertação de mestrado na qual propomos uma
sequência didática para o ensino das seções cônicas.
Nessa sequência objetivamos auxiliar o professor de matemática do ensino
médio, especificamente no ensino das seções cônicas (parábola, elipse e hipérbole),
a utilizar uma metodologia diferenciada em que tanto o contexto histórico desse
conteúdo quanto as suas aplicações em outras áreas do conhecimento são
discutidas como forma de motivar os alunos a despertarem o interesse em aprender
este tema.
O software GeoGebra é utilizado como ferramenta para que o aluno possa
visualizar as cônicas em diferentes quadros, também perceba a relação existente
entre a equação e o gráfico de cada uma delas e visualize dinamicamente cada um
de seus elementos, assim, o próprio aluno ao construir a cônica irá perceber por ele
mesmo as suas propriedades.
Ao trabalhar desta forma o professor estará em consonância com o artigo 36
da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB) que trata do currículo do
ensino médio no qual em seu inciso I cita que deve destacar a educação tecnológica
básica além de citar no inciso II que deve ser adotada metodologias de ensino que
estimulem a iniciativa dos estudantes.
Esta proposta fundamentou-se nas teorias de Mudança de Quadros de
Régine Douady (1987) e de Transposição Didática de Yves Chevallard (1991).
Procuramos mostrar essas cônicas como saber a ensinar e em diferentes quadros
de acordo com as duas teorias adotadas.
Inicialmente apresentamos o conceito de sequência didática, em seguida
expomos a nossa sequência que foi desenvolvida por intermédio do software
GeoGebra, fazemos uma explanação da proposta com o detalhamento dos passos
que se deve seguir e de seus objetivos e sugestões para os encontros.
Em seguida discutimos o questionário, elaborado com o propósito de obter
um diagnóstico inicial da turma para que possamos ter uma ideia de quais atividades
os alunos são capazes de realizar.
4
Finalmente apresentamos as sessões de ensino, uma para cada cônica,
iniciando pela parábola, depois a elipse e por fim a hipérbole, onde em cada uma se
discute a equação, o gráfico, as propriedades, os elementos principais e uma breve
sugestão de atividade a ser desenvolvida pelo aluno.
5
2 A SEQUÊNCIA DIDÁTICA
Apresentamos a sequência didática para o ensino das seções cônicas, que foi
elaborada com o propósito de auxiliar o professor de matemática do ensino médio a
promover uma alternativa para a aprendizagem deste tópico da geometria analítica.
Propomos que o professor utilize esta sequência discutindo ao longo de sua
construção as propriedades e características da cônica para tornar mais eficiente o
processo de aprendizado.
Uma seqüência (sic) didática é um esquema experimental de situações
problemas desenvolvido por sessões de ensino a partir de um estudo
preliminar, caracterizando os objetivos específicos de cada problema, a
análise matemática e a análise didática relativas às atividades propostas. A
análise matemática destaca as resoluções possíveis, a forma de controle e
os resultados esperados, enquanto que a análise didática se preocupa com
as variáveis didáticas de situações, pré-requisitos e com a competência.
Variáveis didáticas são elementos matemáticos que estão à disposição do
professor e, que permitem a análise de situações didáticas durante uma
investigação. (HENRIQUES, 2001, p. 61).
Deste modo, esta sequência foi construída para ser aplicada a alunos do
terceiro ano do ensino médio tomando o cuidado de fazer as duas análises citadas
pelo autor. Acrescentamos que de maneira alguma a nossa pretensão é criar uma
proposta inovadora e inusitada em relação ao ensino das seções cônicas, nossa
intenção é proporcionar ao professor de matemática uma alternativa diferente para a
introdução do ensino deste tema.
2.1 Sequência didática utilizando o GeoGebra
Desenvolvida por intermédio do software GeoGebra, esta sequência mostra
de uma forma dinâmica as propriedades de cada uma das três cônicas (parábola,
elipse e hipérbole) de modo que se possa visualizar por meio desse software as
animações de algumas propriedades que as caracterizam. Pretende-se proporcionar
ao professor mais uma ferramenta que pode contribuir com o aprendizado, por parte
do aluno, das seções cônicas. Sua aplicação segue a proposta de Henriques (2001)
sobre desenvolvimento de uma sequência didática de acordo com a definição a
seguir:
6
Entendemos por desenvolvimento de uma seqüência (sic) didática, a
aplicação por sessões, o estudo preliminar realizado pelo pesquisador
(professor) com base nos fundamentos que figuram o estudo em questão,
caracterizando as atividades a serem desenvolvidas pelos alunos durante o
trabalho de campo, no laboratório de informática ou sala de aula.
(HENRIQUES, 2001, p. 61).
Essa sequência considera as seções cônicas como saber a ser ensinado, de
acordo com a teoria da Transposição Didática proposta por Chevallard (1991), isto é,
o saber contido nos livros didáticos, mas que precisam ainda passar pelo critério do
professor o qual deve verificar e adequar esses conteúdos à sala de aula. Em
relação à teoria de Mudança de Quadros proposta por Douady (1987), vários
quadros são utilizados nessa sequência dos quais citamos o quadro geométrico, o
quadro algébrico, o quadro numérico, o quadro de funções e o quadro da geometria
analítica. Essas ideias serviram de referenciais teóricos para esta pesquisa.
2.2 Propostas de ensino
O objetivo principal deste trabalho é proporcionar ao professor de matemática
uma sequência didática para o ensino de cônicas utilizando o software GeoGebra,
para que este conteúdo seja abordado de forma mais interativa interpretando o
panorama histórico dos problemas, envolvendo cônicas e sua aplicações.
Para se realizar esta proposta é preciso seguir alguns passos:
1. Investigar por meio de aplicação de questionário até que ponto o tema
seções
cônicas
é
importante,
na
visão
do
aluno,
para
o
desenvolvimento das tecnologias;
2. Diagnosticar a forma como o conteúdo “seções cônicas” é encarado
pelo aluno em sala de aula;
3. Discutir o contexto histórico das seções cônicas;
4. Observar
a
aplicabilidade
das
cônicas
em
outras
áreas
do
conhecimento;
5. Apresentar aos alunos o software GeoGebra e ensiná-los a usar as
ferramentas que serão utilizadas nestas atividades;
6. Fazer uma análise a priori do panorama dos conhecimentos
disponíveis dos alunos;
7
7. Aplicar cada uma das sessões da sequência e realizar as atividades
propostas, de acordo com o nível da turma, identificado no diagnóstico;
8. Fazer uma análise de cada seção cônica durante a realização das
sessões.
Esta sequência didática tem como propósitos enfatizar uma discussão acerca
dos seguintes tópicos:
O contexto histórico das seções cônicas é necessário e precisa ser
apresentado;
A aplicabilidade das cônicas em outras áreas do conhecimento deve
ser discutida, com o propósito de as mesmas serem identificadas em
situações reais;
As propriedades que caracterizam cada cônica, bem como seus
elementos, devem ser debatidas ao longo da construção;
As diferenças entre as elipses, as parábolas e as hipérboles devem ser
enfatizadas;
As equações de cada uma das três cônicas precisam ser analisadas e
suas diferenças abordadas;
Os gráficos da parábola, da elipse e da hipérbole devem ser analisados
em todos os seus aspectos.
Ao final da aplicação das sessões de ensino e das intervenções posteriores
do professor da turma complementado com suas colocações e resolução de
exercícios, espera-se que o aluno seja capaz de:
Caracterizar as seções cônicas;
Associar os diferentes tipos de gráficos de cada uma das seções
cônicas com suas respectivas equações;
Perceber a relação existente entre a equação e o gráfico de uma seção
cônica;
Determinar os elementos de uma cônica a partir de seu gráfico;
Construir o gráfico de uma cônica a partir de seus elementos;
Ser capaz de citar exemplos do cotidiano sobre cada cônica.
No ensino médio o aluno que possui essas habilidades mostra que
compreendeu o assunto referente às “cônicas” neste nível. Deste modo as etapas de
nossa investigação foram elaboradas buscando atingir os objetivos propostos acima.
8
Organizamos os encontros com os alunos de acordo com o quadro 1:
QUADRO 1: Previsão para 10 encontros
1º encontro
2º encontro
3º encontro
4º encontro
5º encontro
6º encontro
7º encontro
8º encontro
9º encontro
10º encontro
Aplicação de questionário referente ao tema seções cônicas.
Leitura, comentários e questionamentos do texto histórico.
Comentários dos aportes históricos adquiridos em outras
fontes.
Discussão a respeito das aplicações práticas das seções
cônicas.
Apresentação do software GeoGebra e familiarização dos
alunos com o programa.
Aplicação da sessão de ensino referente à parábola.
Resolução da atividade 1.
Aplicação da sequência didática envolvendo a elipse.
Resolução da atividade 2.
Aplicação da sequência didática envolvendo a parábola.
Resolução da atividade 3.
FONTE: Autor, 2013
Propomos que se trabalhe com alunos do terceiro ano do ensino médio, pois
em geral é nesse período que os professores abordam este tema.
2.3 Sugestão de questionário
A seguir uma sugestão de questionário que tem como propósito identificar a
familiaridade dos alunos com as seções cônicas, suas expectativas em relação a
este estudo e de se fazer uma análise a priori da situação didática. Claro que o
professor da turma já deve saber até que ponto seus alunos estão aptos ou não para
trabalhar este tema, desta forma sugerimos sua aplicação, mas o mesmo pode fazer
algumas adaptações de acordo com o que achar necessário.
A aplicação deste questionário será importante para a obtenção de algumas
informações que consideramos úteis para esta proposta: Investigar até que ponto o
tema seções cônicas é importante, na visão do aluno, para o desenvolvimento das
tecnologias; Diagnosticar a forma como o conteúdo “seções cônicas” é encarado
pelo aluno em sala de aula; e Observar a aplicabilidade das cônicas em outras áreas
do conhecimento.
No quadro a seguir a sugestão do questionário:
9
QUADRO 2: Sugestão de questionário
QUESTIONÁRIO
1. Nome: ________________________________________________________
2. Sexo:
(
) Masculino
(
) Feminino
3. Escola: _______________________________________________________
4. Município: _____________________________________________________
5. Você está estudando ou já estudou geometria analítica?
(
) Sim
(
) Não
(
) Não sei
6. Em caso afirmativo, que conteúdos de geometria analítica você já estudou?
(
) Estudo do ponto
(
(
) Estudo da circunferência
(
) Não sei
) Estudo da reta
(
) Seções cônicas
(
) Outro____________________
7. Você sabe quais conteúdos são estudados em cônicas?
(
) Sim
(
) Não
Caso afirmativo diga qual(is):
________________________________________________________________
________________________________________________________________
8. Você considera o tema cônicas importante para o desenvolvimento das tecnologias?
(
) Sim
(
) Não
(
) Não sei
9. Você conhece alguma aplicação das cônicas no seu dia a dia?
(
) Sim
(
) Não
Caso afirmativo diga qual(is):
________________________________________________________________
________________________________________________________________
10. Que tipo de recursos você acha que pode ser utilizado para se aprender às seções cônicas?
(
) Experimentos
(
) Softwares
(
) Dobraduras
(
) Barbante, régua, lápis e pregos
(
) Outros: ____________________
11. Você conhece algum experimento sobre cônicas?
(
) Sim
(
) Não
(
) Não sei
12. Você acha que as atividades de Seções Cônicas utilizando experimentos podem contribuir
para sua aprendizagem?
(
) Sim
(
) Não
(
) Não sei
13. Você acha que as atividades de Seções Cônicas utilizando programas de computador podem
contribuir para melhorar sua aprendizagem sobre este conteúdo?
(
) Sempre (
) Na maioria das vezes
(
) Raramente
(
) Nunca
14. A matemática vista no estudo das Seções Cônicas pode contribuir para desenvolver o
10
espírito de curiosidade em relação à matemática do dia a dia?
(
) Sempre (
) Na maioria das vezes
(
) Raramente
(
) Nunca
15. Você considera que a matemática aprendida sobre as Seções Cônicas tem relação com a
sua realidade?
(
) Sempre (
) Na maioria das vezes
(
) Raramente
(
) Nunca
16. Qual(is) áreas do conhecimento você considera que pode(m) ser utilizado(s) o conhecimento
adquirido no estudo das seções cônicas?
(
) Física
(
(
) Astronomia
) Engenharia
(
) Óptica
(
) Arquitetura
(
) Outra(s) ___________
17. Você acha que os seus conhecimentos anteriores são suficientes para acompanhar o
conteúdo de Cônicas?
(
) Sim
(
) Não
(
) Não sei
18. Você considera que a organização dada aos conteúdos de Cônicas podem facilitar a sua
compreensão?
(
) Sim
(
) Não
(
) Não sei
FONTE: Autor, 2012
Este questionário objetiva apenas a obtenção de um diagnóstico inicial a
respeito do panorama dos conhecimentos disponíveis dos alunos antes da aplicação
da sequência didática. Com o propósito de planejarmos melhor a forma como será
abordado os próximos encontros baseados nas conclusões acerca das respostas
dadas pelos alunos.
2.4 As sessões de ensino
De acordo com o quadro 1 da página 8, antes da aplicação das sessões de
ensino no planejamento dos encontros deve ser incluído os comentários dos aportes
históricos adquiridos em outras fontes a respeito das seções cônicas, a discussão a
respeito das aplicações práticas das seções cônicas e também a apresentação do
software GeoGebra e familiarização dos alunos com este programa.
Após estes encontros discute-se cada cônica aplicando as sessões que
definiremos abaixo. Vale lembrar que estas sessões são apenas introdutórias a cada
cônica, depois de suas aplicações vêm os momentos de intervenção e
complementação do professor com suas explicações e aplicação das atividades
sugeridas nos livros didáticos para que, de fato, a aprendizagem se concretize.
11
2.4.1 Sessão 1: Construção de uma Parábola
Nessa atividade buscamos apresentar as propriedades da parábola e seus
elementos, ao mesmo tempo em que se percebem as mudanças ocorridas quando
variamos os valores numéricos do parâmetro e das coordenadas do vértice,
mudanças essas que acontecem desde sua equação até a concavidade da parábola
e sua abertura. Pode-se visualizar também a propriedade que caracteriza a parábola
em relação ao foco e a reta diretriz quando analisamos um ponto sobre a mesma e
sua distância a esses elementos.
Ao longo de sua realização sugerimos que o professor discuta outras
questões que achar relevantes relacionadas às características da parábola. A figura
15 foi construída utilizando o GeoGebra 4.2 seguindo os passos sugeridos nesta
sessão.
Figura 1: Parábola construída no GeoGebra
FONTE: Autor, 2013
FERRAMENTAS NECESSÁRIAS:
12
A seguir apresentamos a estrutura dessa sessão de ensino que trata da
parábola:
OBJETIVO: Proporcionar a aprendizagem sobre a parábola, tais como
sua equação algébrica, seu gráfico e seus principais elementos.
TEMPO PREVISTO: 2 aulas de 50 minutos.
PÚBLICO ALVO: Alunos do 3º ano do ensino médio que tenham
estudado em geometria analítica o ponto, a reta e a circunferência.
ETAPAS: Utilizando a versão 4.2 do GeoGebra, o aluno seguirá as 18
etapas sugeridas a seguir:
1 – Abra um novo arquivo no GeoGebra;
2 – Selecione a ferramenta Controle Deslizante
, clique na Zona
Gráfica chame o deslizante de ‘p’, defina o intervalo de -5 a 5 e o incremento 0,1,
clique em Aplicar;
3 – Repita o passo 2, mudando somente o nome do deslizante para ‘x’’ e
novamente faça o mesmo mudando o nome do deslizante para ‘y’’;
4 – Clique no campo de Entrada Algébrica, digita F=(x’+p/2,y’) e tecle enter,
este será o foco da parábola;
5 – Clique no campo de Entrada Algébrica, digita V=(x’,y’) e tecle enter,
este será o vértice da parábola;
6 – No campo de Entrada Algébrica e digite (y–y’)^2=2*p*(x–x’) esta curva
é uma parábola com vértice no ponto (x’, y’);
7 – No campo de Entrada Algébrica e digite o x=x’-p/2, esta será a reta
diretriz da parábola;
8 – Selecione a ferramenta Reta definida por Dois Pontos
, clique no
ponto F e em seguida no ponto V, este é o eixo de simetria da parábola;
9 – Mude a cor da parábola clicando na mesma com o botão direito do mouse
e escolha Propriedades, escolha a cor de sua preferência ainda em propriedades
clique na reta a que é a diretriz e escolha outra cor, faça o mesmo com reta b que é
o eixo de simetria;
13
10 – Escolha a ferramenta Inserir Texto
, clique na Janela de
Visualização e digite ‘Elementos da parábola:’ tecle enter e digite ‘Equação:’,
ainda na janela escolha o objeto c, tecle enter e digite ‘Foco:’ escolha o objeto F
tecle enter e digite ‘Vértice:’ escolha o objeto V tecle enter e digite ‘Eixo de
simetria:’ escolha o objeto b, tecle enter e digite ‘Reta diretriz:’, escolha o objeto a,
tecle enter e digite ‘Parâmetro:’, escolha o objeto p, clique em OK;
11 – Selecione a ferramenta Novo Ponto
, clique na parábola e terá o
ponto A;
12 – Selecione a ferramenta Reta Perpendicular
, clique no ponto A e
em seguida na reta diretriz da parábola;
13 – Selecione a ferramenta Interseção de Dois Objetos
, clique na reta
diretriz da parábola e em seguida clique na reta perpendicular e terá o ponto B,
esconda a reta perpendicular clicando na bolinha ao lado da reta d na janela
algébrica;
14 – Selecione a ferramenta Segmento definido por Dois Pontos
,
clique no ponto F e em seguida no ponto A e novamente clique em A e depois em B
e teremos os segmentos AF e AB cujos valores serão e e f;
15 – Com o botão direito clique no segmento AF e seleciona Exibir Rótulo e
aparecerá a letra f que representa o segmento, faça o mesmo com o segmento AB e
aparecerá a letra e;
16 – Com o botão direito do mouse clique em p na janela algébrica, escolha
Animar e observe o que acontece com a parábola enquanto os valores de p variam.
Repita este procedimento para parar a animação;
17 – Com o botão direito do mouse clique no ponto A e escolha Animar e
observe os valores de d e e. Repita este procedimento para parar a animação;
18 – Faça o mesmo com x’ e y’ e observe o que acontece com cada
elemento da parábola.
AVALIAÇÃO: Esperamos que os alunos associem a elipse com sua
respectiva equação, também com seu gráfico, entendam quais são seus
14
principais elementos, caracterizem suas propriedades e relacionem o seu
gráfico com a sua equação.
QUADRO 3: Sugestão de atividade sobre a parábola
Atividade
1- Repita o procedimento utilizando o ponto do passo 4 como F=(x’, y’+ p / 2) e a equação do passo
6 como (x – x’)^2=2*p*(y – y’), que mudanças devemos efetuar na reta do passo 7 para que continue
sendo a reta diretriz da parábola? Que diferença você observa entre as duas parábolas construídas?
2- Ao efetuar o passo 16 o que acontece com a concavidade da parábola? E quando o valor de p se
anula (p=0)? E quando p se distancia do zero?
3- E no passo 17 o que acontece com os valores de d e e? Por que isto acontece?
4- Quais elementos da parábola se alteram quando realizamos o passo 16? E o passo 17?
5- Determine a equações reduzidas das parábolas a seguir:
a)
b)
6- Em cada parábola do exercício anterior determine cada um de seus elementos preenchendo o
quadro a seguir:
Elementos
Parábola
Equação
Foco
Eixo de simetria
Reta diretriz
Parâmetro
7- Uma parábola tem foco F(-1, 8) e diretriz dada pela equação y = 5. Determinar as coordenadas do
vértice e a equação dessa parábola. Construa, no caderno, o gráfico dessa parábola.
8- Olhando ao seu redor e observando atentamente o ambiente que o cerca, procure lembrar de
outros lugares e situações, e cite objetos do cotidiano que lembram a parábola, se necessário, circule
por diversos ambientes da escola e relate esses objetos.
15
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
9- Qual(is) áreas do conhecimento você considera que pode(m) ser utilizado(s) o conhecimento
adquirido no estudo das seções cônicas?
(
) Física
(
) Engenharia
(
) Arquitetura
(
) Astronomia
(
) Óptica
(
) Tecnologias
(
) Outra(s)_________________________
10- Cite alguns exemplos de acordo com a aplicação da parábola nessas áreas.
Áreas
Exemplo(s) de aplicação da parábola
Física
Astronomia
Engenharia
Arquitetura
Óptica
Tecnologias
Outras
11- Relacione a segunda coluna de acordo com a primeira:
( 1 ) Menaecmus
( ) Em sua análise dos movimentos dos projéteis descobriu que a
sua trajetória, desprezando-se a resistência do ar, é uma parábola.
( 2 ) Apolônio
(
) Propôs aperfeiçoamentos às seções cônicas sob um novo ponto de
vista, especialmente em relação ao contexto prático, demonstrou
que os planetas movem-se em torno do Sol em trajetórias elípticas
com o Sol num dos focos.
( 3 ) Tâbit ibn Qorra
(
) Descobriu as seções cônicas e utilizou três tipos de cones (tendo,
no vértice, ângulo reto, ângulo agudo ou ângulo obtuso) sendo
cada cone cortado por um plano perpendicular a um elemento do
cone (uma geratriz). Desta forma dependendo do ângulo
obteremos a parábola, a elipse ou a hipérbole.
( 4 ) Johann Kepler
( ) Recebeu dos antigos o nome de “o grande Geômetra”, autor de
“As Cônicas” uma obra composta por oito livros na qual
aperfeiçoou e aprofundou muito este tema, mostrou que é possível
obter de um único cone a elipse, a hipérbole e a parábola apenas
variando o ângulo de inclinação do plano de secção, também
substituiu o cone de uma só folha por um cone de duas folhas e
essa mudança fez da hipérbole a curva de dois ramos que
conhecemos hoje, deu as designações elipse, parábola e
hipérbole usadas até hoje para essas curvas devido as suas
propriedades.
( 5 ) Galileu Galilei
(
) Sua obra foi decisiva para a manutenção das obras de
Apolônio sobre seções cônicas no sentido de proporcionar aos
seus sucessores o mais completo material sobre o tema. De
16
importância especial são suas traduções dos Livros V, VI e VII das
Secções cônicas de Apolônio, pois somente através delas esses
Livros se preservaram. Ele escreveu também sobre astronomia,
cônicas, álgebra elementar, quadrados mágicos e números
amigáveis.
12- Cite outros nomes históricos relacionados às seções cônicas.
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
FONTE: Autor, 2013
Ao final dessa sessão o professor da turma poderá complementar com suas
explicações e resolver exercícios para uma melhor compreensão por parte do aluno
a respeito da parábola.
4.4.2 Sessão 2: Construção de uma Elipse
Nesta sessão, apresentamos algumas das propriedades da elipse, seus
elementos principais e buscamos mostrar como a sua equação varia quando
modificamos alguns de seus elementos. Discutimos também a propriedade da
distância de um ponto aos focos que caracteriza a elipse. Ao construir a elipse no
GeoGebra propomos que o professor ressalte outras questões que achar pertinente
enquanto realiza esta atividade com os alunos. Apresentamos na figura 16 a
construção da elipse utilizando o GeoGebra 4.2 que seguiu as etapas sugeridas.
Figura 2: Elipse construída no GeoGebra
Fonte: Autor, 2013
17
FERRAMENTAS NECESSÁRIAS:
Esta sessão tem a seguinte estrutura:
OBJETIVO: Proporcionar a aprendizagem sobre a elipse, tais como
sua equação algébrica, seu gráfico, seus principais elementos, suas
propriedades e a relação entre o seu gráfico e sua equação.
TEMPO PREVISTO: 2 aulas de 50 minutos.
PÚBLICO ALVO: Alunos do 3º ano do ensino médio que tenham
estudado em geometria analítica o ponto, a reta e a circunferência.
ETAPAS: Utilizando a versão 4.2 do GeoGebra, o aluno seguirá as 23
etapas sugeridas abaixo:
1 – Abra um novo arquivo no GeoGebra;
2 – Selecione a ferramenta Controle Deslizante
, clique na Zona
Gráfica chame o deslizante de ‘a’, defina o intervalo de -5 a 5 e o incremento 0,1,
clique em Aplicar;
3 – Repita o passo 2, mudando somente o nome do deslizante para ‘b’, faça o
mesmo para ‘x’’ e ‘y’’;
4 – Adéque a janela a uma melhor visualização utilizando a ferramenta
Mover
, faça variar os valores de a para 5 e de b para 3 e com a ferramenta
Mover Janela de Visualização
, depois clique na área gráfica com o botão
direito e escolha Visualização Padrão;
5 – No campo de Entrada Algébrica digite c = sqrt(a^2-b^2) tecle Enter;
18
6 – No campo de Entrada Algébrica digite o seguinte código: (xx’)^2/a^2+(y-y’)^2/b^2=1, tecle Enter, mude o tipo de equação da elipse clicando
na mesma com o botão direito do mouse e escolhendo Equação, mude também a
cor da elipse clicando na mesma com o botão direito do mouse, escolhendo
Propriedades, depois Cor e escolha a cor de sua preferência;
7 – No campo de Entrada Algébrica digite F_1=(x’+c,y’) tecle Enter e
F_2=(x’-c,y’) tecle Enter, estes serão os focos da elipse;
8 – No campo de Entrada Algébrica digite C=(x’,y’) tecle Enter, este ponto C
será o centro da elipse;
9 – No campo de Entrada Algébrica digite e=c/a tecle Enter que será a
excentricidade da elipse;
10 – Selecione a ferramenta Novo Ponto
, clique na elipse e terá um
ponto A pertencente a mesma;
11 – Selecione a ferramenta Segmento definido por Dois Pontos
,
clique no ponto F2 e depois clique no ponto A;
12 – Repita o passo 11, mudando somente o ponto F2 por F1, mude a cor
desses dois segmentos clicando no mesmo com o botão direito do mouse,
escolhendo Propriedades, depois Cor e escolhe a cor de sua preferência;
13 – No campo de Entrada Algébrica e digite s=f+g tecle Enter;
14 – Selecione a ferramenta Segmento definido por Dois Pontos
,
clique no ponto F2 e depois clique no ponto F1 cujo valor é h;
15 – Selecione a ferramenta Reta Perpendicular
, clique no ponto C,
depois clique no segmento h, agora selecione a ferramenta Interseção de Dois
Objetos
, clique na reta i e na elipse e surgirão os pontos B e D;
16 – Selecione a ferramenta Segmento definido por Dois Pontos
clique no ponto B e depois clique no ponto D;
,
19
17 – Selecione a ferramenta Mediatriz
, clique no ponto B e depois clique
no D e em seguida selecione a ferramenta Interseção de Dois Objetos
, clique
na reta k e na elipse e surgirá os pontos E e F;
18 – Selecione a ferramenta Segmento definido por Dois Pontos
,
clique no ponto E e depois clique no ponto F;
19 – Esconda as retas i e k, os segmentos h, j e l e os pontos B, D, E e F,
clicando na bolinha ao lado dos mesmos na janela de álgebra;
20 – Escolha a ferramenta Inserir Texto
, e digite ‘Elementos da elipse:’
tecle enter e digite ‘Equação:’, ainda na janela escolha o objeto d tecle enter e digite
“Focos:” e escolha objeto “F_1” e “F_2” tecle enter e digite “Distância focal:” e
escolha objeto “h” tecle enter e digite “Eixo menor:” e escolha objeto “j” tecle enter e
digite “Eixo maior:” e escolha objeto “l” tecle enter e digite “Centro:” e escolha
objeto “C” tecle enter e digite “Excentricidade:” e escolha objeto “e” e em seguida
clique em OK;
21 – Com o botão direito do mouse clique no controle deslizante a, escolha
Animar e observe o que acontece com a elipse. Repita este procedimento para
parar a animação;
22 – Faça o mesmo com o controle deslizante b. Repita este procedimento
para parar a animação;
23 – Com o botão direito do mouse clique em A e escolha Animar e observe
os valores de f, g e s. Repita este procedimento para parar a animação.
AVALIAÇÃO: Espera-se que os alunos associem a elipse com sua
equação e com seu gráfico, compreendam seus principais elementos,
caracterizem suas propriedades e relacionem o seu gráfico com a sua
equação.
QUADRO 4: Sugestão de atividade sobre a elipse
Atividade
1- Repita o procedimento utilizando a equação do passo 6 como (y-y’)^2/a^2+(x-x’)^2/b^2 = 1, que
20
mudanças devemos efetuar nos pontos do passo 7 como F1 e F2 para que continuem sendo os focos
da elipse? Que diferença você observa entre as elipses?
2- O que acontece com os elementos da elipse quando se realiza o passo 21? Em sua opinião, por
que isso acontece?
3- O que acontece com os elementos da elipse quando se realiza o passo 22? Por que isso ocorre?
4- No passo 23 o que acontece com os valores de f, g e s?
5- Ao efetuar os passos 21 e 22 em determinado momento temos a=b, o que acontece com o valor de
e na elipse nesse instante e com os focos da mesma? Que outra figura geométrica temos que se
parece com a elipse nesse instante?
6- Observe os elementos da Janela de Visualização e os mesmos na Janela de Álgebra, que
conclusões podemos tirar da relação que existe entre cada um deles?
7- Determine as equações reduzidas de cada cônica a seguir:
a)
b)
8- Em cada cônica do exercício anterior determine cada um de seus elementos preenchendo o
quadro a seguir:
Elementos
Equação
Focos
Centro
Excentricidade
Distância focal
Eixo maior
Eixo menor
2
2
9- Dada a elipse (x + 2) + (y + 1) = 1, determinar:
100
a) o centro
b) o eixo real
c) os vértices
d) o eixo imaginário
36
Elipse
21
e) os focos
f) o gráfico da elipse
10- Olhando ao seu redor e observando atentamente o ambiente que o cerca, procure lembrar de
outros lugares e situações, e cite objetos do cotidiano que lembram a elipse, se necessário, circule
por diversos ambientes da escola.
_________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________
11- Cite alguns exemplos de acordo com a aplicação da elipse em outras áreas do conhecimento.
Áreas
Exemplo(s) de aplicação da elipse
Física
Astronomia
Engenharia
Arquitetura
Óptica
Tecnologias
Outras
12- Qual grande nome histórico está relacionado a aplicação da elipse, em especial na
astronomia?_______________________________________________________
FONTE: Autor, 2013
Da mesma forma que na parábola, sugerimos que o professor complemente
com suas intervenções para uma melhor compreensão.
4.4.3 Sessão 3: Construção de uma Hipérbole
Nesta sessão, assim como na elipse, também apresentamos algumas das
propriedades, os elementos principais e buscamos mostrar como a equação da
hipérbole muda quando variamos alguns de seus elementos. Discutimos também a
propriedade da distância de um ponto da hipérbole aos focos que a caracteriza.
O professor, ao construir a hipérbole no GeoGebra, pode discutir outras
questões pertinentes a este conteúdo durante a realização desta atividade com os
alunos. A construção da hipérbole utilizando o GeoGebra 4.2 seguindo as etapas
sugeridas na sessão de ensino 3 que trata dessa cônica é apresentada na figura 17.
22
Figura 3: Hipérbole construída no GeoGebra
FONTE: Autor, 2013
FERRAMENTAS NECESSÁRIAS:
A estrutura dessa sessão é a seguinte:
OBJETIVO: Proporcionar a aprendizagem sobre a hipérbole, tais como
sua equação algébrica, seu gráfico, seus principais elementos, suas
propriedades e a relação entre o seu gráfico e sua equação.
TEMPO PREVISTO: 2 aulas de 50 minutos.
PÚBLICO ALVO: Alunos do 3º ano do ensino médio que tenham
estudado em geometria analítica o ponto, a reta e a circunferência.
ETAPAS: Utilizando a versão 4.2 do GeoGebra, o aluno seguirá as 22
etapas relacionadas abaixo:
1 – Abra um novo arquivo no GeoGebra;
23
2 – Selecione a ferramenta Controle Deslizante
, clique na Zona
Gráfica chame o deslizante de ‘a’, defina o intervalo de -5 a 5 e o incremento 0,1,
clique em Aplicar;
3 – Repita o passo 2, mudando somente o nome do deslizante para ‘b’, faça o
mesmo para ‘x’’ e ‘y’’;
4 – No campo de Entrada Algébrica digite c=sqrt(a^2+b^2);
5 – No campo de Entrada Algébrica digite o seguinte código: (x-x’)^2/a^2(y-y’)^2/b^2=1, mude o tipo de equação da hipérbole clicando na mesma com o
botão direito do mouse e escolhendo Equação;
6 – No campo de Entrada Algébrica digite F_1=(x’+c,y’) tecle enter e em
seguida digite F_2=(x'-c, y') e tecle enter, estes serão os focos da hipérbole;
7 – No campo de Entrada Algébrica digite C=(x’,y’), este ponto C será o
centro da hipérbole;
8 – No campo de Entrada Algébrica digite e=c/a que será a excentricidade
da hipérbole;
9 – Selecione a ferramenta Novo Ponto
, clique na hipérbole e marca o
ponto A;
10 – Selecione a ferramenta Segmento definido por Dois Pontos
,
clique no ponto F1 e em seguida no ponto A, clica novamente no ponto A depois no
ponto F2 e teremos os segmentos F1A e AF2, cujos valores são f e g;
11 – No campo de Entrada Algébrica digite s=abs(f-g); mude a cor dos
segmentos f e g e da constante s clicando em um deles com o botão direito do
mouse, escolhendo Propriedades, depois Cor e escolha a cor de sua preferência,
para mudar a cor dos outros dois objetos basta selecioná-los e escolher a mesma
cor mude também a cor da hipérbole clicando na mesma e escolhendo a cor de sua
preferência;
12 – Selecione a ferramenta Segmento definido por Dois Pontos
clique no ponto F2 e depois clique no ponto F1, cujo valor é h;
,
24
13 – Selecione a ferramenta Interseção de Dois Objetos
, clica no
segmento h e na hipérbole e surgirão os pontos B e D;
14 – Selecione a ferramenta Segmento definido por Dois Pontos
,
clique no ponto B e depois clique no ponto D e teremos o segmento i;
15 – Selecione a ferramenta Mediatriz
, clique no ponto F1 e depois
clique no F2 e terá a reta j, em seguida selecione a ferramenta Segmento com
Comprimento Fixo
, clica em C digita b clica em OK, seleciona a ferramenta
Mover e arraste o ponto E noventa graus no sentido anti-horário, repita este
procedimento e terá o ponto F, arraste-o noventa graus no sentido horário.
16 – Esconda a reta j clicando na bolinha ao lado da letra j na janela
algébrica, faça o mesmo com os segmentos k e l;
17 – Selecione a ferramenta Segmento definido por Dois Pontos
,
clique no ponto E e depois clique no ponto F e teremos o segmento m;
18 – Esconda os segmentos h, i e m e os pontos B, D, E e F clicando na
bolinha ao lado dos mesmos na janela algébrica;
19 – Selecione a ferramenta Inserir Texto
, clique área gráfica e digite
‘Elementos da hipérbole:’ tecle enter e digite ‘Equação:’ e escolha objeto ‘d’ tecle
enter e digite ‘Focos:’ e escolha objeto ‘F1’ e ‘F2’ tecle enter e digite ‘Distância
focal:’ e escolha objeto ‘h’ tecle enter e digite ‘Eixo real:’ e escolha objeto ‘m’ tecle
enter e digite ‘Eixo imaginário:’ e escolha objeto ‘i’ tecle enter e digite ‘Centro:’ e
escolha objeto ‘C’ tecle enter e digite ‘Excentricidade:’ e escolha objeto ‘e’ e clica
em OK;
20 – Com o botão direito do mouse clique no controle deslizante a, escolha
Animar e observe o que acontece com a hipérbole. Repita este procedimento para
parar a animação;
21 – Faça o mesmo com o controle deslizante b. Repita este procedimento
para parar a animação;
25
22 – Com o botão direito do mouse clique em A e escolha Animar e observe
os valores de f, g e s. Repita este procedimento para parar a animação.
AVALIAÇÃO: Espera-se que os alunos associem a hipérbole com sua
respectiva equação, também com seu gráfico, entendam quais são seus
principais elementos, caracterizem suas propriedades e relacionem o seu
gráfico com a sua equação.
QUADRO 5: Sugestão de atividade sobre a elipse
Atividade
1- Repita o procedimento utilizando a equação do passo 6 como (y-y’)^2/a^2-(x-x’)^2/b^2 =
1, que mudanças devemos efetuar nos pontos do passo 7 como F1 e F2 para que continuem
sendo os focos da hipérbole? Que diferença você observa entre as hipérboles?
2- O que acontece com os elementos da hipérbole quando se realiza o passo 20? Em sua
opinião, por que isso acontece?
3- O que acontece com os elementos da hipérbole quando se realiza o passo 21?
4- No passo 22 o que acontece com os valores de f, g e s? Por que isso ocorre?
5- Faça o que se pede no passo 20 agora com os valores de x’ e, em seguida, faça com y’.
Observe o quais elemento da hipérbole varia e preencha o quadro abaixo.
Elementos da hipérbole
Varia
Não varia
Equação
Focos
Distância focal
Eixo real
Eixo imaginário
Centro
Excentricidade
6- Observe os elementos da janela de Visualização e os mesmos na Janela de Álgebra, que
conclusões podemos tirar da relação que existe entre cada um deles?
7- Determine as equações reduzidas de cada cônica a seguir:
a)
b)
26
8- Em cada cônica do exercício anterior determine cada um de seus elementos preenchendo
o quadro a seguir:
Elementos
Hipérbole
Equação
Focos
Centro
Excentricidade
Distância focal
Eixo real
Eixo imaginário
2
2
9- Dada a hipérbole (x + 2) - (y + 1) = 1, determinar:
100
36
a) o centro
b) o eixo real
c) os vértices
d) o eixo imaginário
e) os focos
f) o gráfico da hipérbole
10- Olhando ao seu redor e observando atentamente o ambiente que o cerca, procure
lembrar de outros lugares e situações, e cite objetos do cotidiano que lembram a hipérbole, se
necessário, circule por diversos ambientes da escola.
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
11- Cite alguns exemplos de acordo com a aplicação da hipérbole em outras áreas do
conhecimento.
Áreas
Física
Exemplo(s) de aplicação da elipse
27
Astronomia
Engenharia
Arquitetura
Óptica
Tecnologias
Outras
12- Quais grandes nomes históricos estão relacionados a hipérbole?
___________________________________________________________________________
___________________________________________________________________________
FONTE: Autor, 2013
Aqui também sugerimos que seja feito um complemento por parte do
professor com suas explicações e resoluções de exercícios para que os objetivos
propostos sejam alcançados.
Ao trabalhar desta forma o professor estará em consonância com o artigo 36
da Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB) que trata do currículo do
ensino médio no qual em seu inciso I cita que deve destacar a educação tecnológica
básica além de citar no inciso II que deve ser adotada metodologias de ensino que
estimulem a iniciativa dos estudantes. Também iremos mobilizar outras ferramentas
na visualização das cônicas de acordo com a teoria da Mudança de Quadros
proposta por Régine Douady (1987) explorando-as, ao mesmo tempo, no quadro
algébrico e no geométrico. E ao permitir que as propriedades e características
dessas seções sejam mais bem assimilados pelos alunos através do GeoGebra,
estamos, de certo modo, realizando algumas transformações e adaptações a qual
Chevallard (1991) chama de Transposição Didática.
3 CONCLUSÃO
Com este trabalho pretendemos oferecer ao professor de matemática do
ensino médio uma proposta de ensino diferenciada para as seções cônicas, desta
forma procuramos trabalhar as definições, propriedades, equações, elementos
28
principais, gráficos e também a relação existente entre eles de uma forma dinâmica
utilizando o software GeoGebra.
Acreditamos que ao trabalhar desta forma e fazendo as complementações
necessárias, o professor irá fazer com que aluno não só aprenda este conteúdo
enquanto saber a ensinar como também desperte o interesse pelo fato de
compreender que as seções cônicas não são apenas mais um tópico a ser estudado
por compor o currículo contido no livro didático e sim um tópico rico em sua
constituição que foi construído ao longo dos séculos e possui diversas utilidades
também em outras áreas do conhecimento.
Buscamos provocar uma reflexão acerca do ensino deste conteúdo e
incentivar o uso da história da matemática como recurso pedagógico no ensino da
matemática, o uso de suas aplicações tanto no cotidiano quanto em outras áreas e o
uso do software de geometria dinâmica GeoGebra como instrumento de visualização
e manipulação das propriedades de cada cônica.
Para tanto sugerimos uma abordagem de alguns dos principais tópicos da
história deste tema desde a obra de Apolônio de Perga até as aplicações modernas
das seções cônicas como forma de incentivo pela busca de resultados positivos no
ensino.
Nossa intenção foi mostrar ao professor uma alternativa para o ensino das
seções cônicas em que o aluno construa e perceba por ele mesmo as relações
existentes entre seus conceitos utilizando as mudanças de quadros propostas por
Douady (1987), principalmente o quadro algébrico e o geométrico.
Esperamos que este estudo possa contribuir para uma melhor compreensão
do aluno acerca de nosso tema e que auxilie o professor em seu ensino.
4 REFERÊNCIAS
ALMOULOUD, Saddo Ag. Fundamentos de Didática da Matemática. Curitiba: Ed.
UFPR, 2007.
CHEVALLARD, Yves. La transposición didáctica: Del saber sabio al saber
enseñado. Tradução Claudia Gilman. Madri, 1991.
BRASIL. Ministério de Educação e Cultura. LDB - Lei nº 9394/96, de 20 de
29
dezembro de 1996. Estabelece as diretrizes e bases da Educação Nacional.
Brasília: MEC, 1996.
HENRIQUES, Afonso. Dinâmica dos elementos da geometria plana em ambiente
computacional cabri-géométri II. Ilhéus: Editus, 2001.
HOHENWARTER, Markus; HOHENWARTER, Judith. Ajuda GeoGebra: Manual
Oficial da Versão 3.2. Tradução e adaptação para português de Portugal António
Ribeiro. Lisboa, 2009.
