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                    UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS
CENTRO DE EDUCAÇÃO
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA

EDSON MONTEIRO DE OLIVEIRA JUNIOR

ESTUDO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA: UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA
UTILIZANDO UMA PROPOSTA HÍBRIDA DE ENSINO COM O GEOGEBRA

Maceió
2020

EDSON MONTEIRO DE OLIVEIRA JUNIOR

ESTUDO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA: UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA
UTILIZANDO UMA PROPOSTA HÍBRIDA DE ENSINO COM O GEOGEBRA

Produto Educacional desenvolvido sob
orientação do Prof. Dr. Amauri da Silva Barros
e apresentado à banca examinadora como
requisito parcial à obtenção do título de Mestre
em Ensino de Ciências e Matemática – Área de
Concentração “Ensino de Matemática”, pelo
Programa de Pós-Graduação em Ensino de
Ciências e Matemática da Universidade Federal
de Alagoas.

Orientador: Prof. Dr. Amauri da Silva Barros
Coorientador: Prof. Dr. Givaldo O. dos Santos

Maceió
2020

EDSON MONTEIRO DE OLIVEIRA JUNIOR

ESTUDO DA FUNÇÃO QUADRÁTICA: UMA SEQUÊNCIA DIDÁTICA
UTILIZANDO UMA PROPOSTA HÍBRIDA DE ENSINO COM O GEOGEBRA

Produto Educacional submetido ao corpo docente do
Programa de Pós-graduação em Ensino de Ciências e
Matemática (PPGECIM) da Universidade Federal de
Alagoas, aprovado em 18 de novembro de 2020.

Banca Examinadora:

__________________________________________
Prof. Dr. Amauri da Silva Barros (orientador)
Universidade Federal de Alagoas – IM

___________________________________________
Prof. Dr. Givaldo Oliveira dos Santos (coorientador)
Instituto Federal de Alagoas – Unidade Maceió

__________________________________________
Prof. Dr. José da Silva Barros (membro externo)
Universidade Federal de Alagoas - Campus Arapiraca

___________________________________________
Prof. Dr. Willamys Cristiano Soares Silva (membro externo)
Universidade Federal de Alagoas - Campus Arapiraca

SUMÁRIO

INTRODUÇÃO ........................................................................................................................ 6
1. A SEQUÊNCIA DIDÁTICA PROPOSTA......................................................................... 8
1.1 Apresentação do software Geogebra ................................................................................ 9
1.2 Descrição das etapas da sequência didática .................................................................... 23
1.3 Sugestão de questionário diagnóstico ............................................................................ 24
1.4 Etapas da sequência didática ......................................................................................... 26
1.4.1

Primeira

etapa

–

Aplicação

de

questionário

com

uso

do

aplicativo

Geogebra..............................................................................................................................26
1.4.2 Segunda etapa – Aplicação do terceiro questionário: com utilização de material
concreto ............................................................................................................................... 29
1.4.3 Sugestão de atividade de fixação ................................................................................. 31
2. CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................................ 33
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ................................................................................. 34

6

INTRODUÇÃO

Um dos grandes desafios da educação atual é trabalhar com um aluno normalmente
proveniente de uma escola com aprendizagem transmissiva, centrada na figura do professor.
Logo, este produto educacional, que serviu de base para uma dissertação de mestrado, tem como
proposta a aplicação de uma sequência didática explorando as funções quadráticas utilizando a
metodologia híbrida, mostrando que é possível conciliar o ensino tradicional com uma
metodologia ativa.
Quando se trabalha com ensino apoiado à tecnologias digitais percebe-se que novas
possibilidades se abrem. Em meio ao crescente uso das tecnologias digitais em sala de aula,
este trabalho visou experimentar o Ensino Híbrido e o uso do aplicativo Geogebra como
recursos auxiliadores no processo de aprendizagem do estudo das funções quadráticas.
Daí, este trabalho vem servir a professores de diversas áreas, senão como aplicação
direta, já que neste foi utilizado funções quadráticas, mas como exemplo para que possa adaptar
a outras disciplinas e assuntos. Tendo como autonomia do aluno na construção de sua
aprendizagem, um dos principais focos deste trabalho, o uso das metodologias ativas, saindo
um pouco da didática tradicional de estudo.
O termo didática deriva do grego didaktiké, que tem o significado de arte do ensinar.
Seu uso difundiu-se com o aparecimento da obra de Jan Amos Comenius (l592 –
l6700, Didactica Agna, ou Tratado da arte universal de ensinar tudo a todos, publicada
em l657. Nos dias atuais, deparamo-nos com muitas definições diferentes de didática,
mas quase todas apresentam-se como ciência, técnica ou arte de ensinar.
(NOGUEIRA E OLIVEIRA, 2011, p.5)

Busca-se através desse trabalho ressignificar o objeto celular, tão significativo para os
discentes. Diversas instituições de ensino já fazem uso do aparelho celular como forma de diário
escolar, logo não está tão distante da realidade dos docentes, podendo perfeitamente ser
utilizado com aplicativos educativos, pois quanto aos estudantes, em sua maioria, não haveria
dificuldade de utilização.
A autonomia é obtida através de uma busca constante. Fazer do aluno protagonista de
seu processo de ensino aprendizagem é a principal proposta do Ensino Híbrido.

O respeito à autonomia e à dignidade de cada um é um imperativo ético e não um
favor que podemos ou não conceder uns aos outros. Precisamente porque éticos
podemos desrespeitar a rigorosidade da ética e resvalar para a sua negação, por isso é
imprescindível deixar claro que a possibilidade do desvio ético não pode receber outra
designação senão a de transgressão. É nesse sentido que o professor autoritário, que
por isso afoga a liberdade do educando, amesquinhando o seu direito de estar sendo
curioso e inquieto. Saber que devo respeito à autonomia e à identidade do educando
exige de mim uma prática em tudo coerente com este saber. (Freire,2000, p.66-67).

7

Segundo a fala de Paulo Freire (2000, p.66-67), não devemos ser autoritários, pois
usurpa a chance da descoberta pelo aluno, mas devemos mostrar a importância, dar um
significado ao que está sendo estudado, como a utilização de material concreto e a associação
com problemas do nosso dia a dia, como os problemas sobre funções quadráticas utilizadas em
nossos questionários.

8

1. A SEQUÊNCIA DIDÁTICA PROPOSTA

Nesta proposta apresenta-se uma sequência didática com a utilização da metodologia
híbrida. A sequência visa colaborar com professores que pretendam experimentar o uso de
metodologias ativas, visando agregar uma maior participação ativa do aluno nas aulas ou
encontros.
É preciso coletar dados para assim poder compreender a real causa das dificuldades
encontradas por alunos com respeito a aprendizagem da matemática. Com a sequência didática
proposta, pode-se trazer uma resposta contundente sobre o ganho de aprendizagem pelo aluno.
Logo, após a aplicação do segundo questionário sobre gráficos de funções quadráticas,
com a utilização do Geobebra, pode-se verificar se houve compreensão por parte do aluno
quando as alterações causadas com as mudanças de coeficientes.
Fazer do aluno protagonista de seu aprendizado, sendo o professor mediador, intervindo
quando necessário, é o foco de aplicação desta sequência. A escolha de bons materiais para que
o aluno possa apreciar em casa também é de suma importância, como exemplo temos vídeo
aulas, leituras de material em PDF ou mesmo cópias de materiais do assunto abordado.
Com o avanço da tecnologia os alunos que temos hoje possuem uma visão diferente do
mundo e estão mais familiarizados com as tecnologias. Assim, o Ensino Híbrido surge como
uma boa opção para o desenvolvimento da aprendizagem.
Híbrido significa misturado, mesclado, blended. A educação sempre foi misturada,
híbrida, sempre combinou vários espaços, tempos, atividades, metodologias, públicos.
Esse processo, agora, com a mobilidade e a conectividade, é muito mais perceptível,
amplo e profundo: é um ecossistema mais aberto e criativo. Podemos ensinar e
aprender de inúmeras formas, em todos os momentos, em múltiplos espaços. Híbrido
é um conceito rico, apropriado e complicado. Tudo pode ser misturado, combinado, e
podemos, com os mesmos ingredientes, preparar diversos “pratos”, com sabores
muito diferentes. [Moran e Bacich 2015, p. 22].

Pela fala de Moran e Bacich (2015) podemos trabalhar funções quadráticas dentro de
uma metodologia híbrida ampliando ainda mais nossa capacidade de discutirmos e nos
aprofundarmos no assunto. Assim, o desenvolvimento dessa sequência didática será
desenvolvida dentro de tal metodologia.
Para Zabala (1998, p. 18) uma sequência é “um conjunto de atividades ordenadas,
estruturadas e articuladas para a realização de certos objetivos educacionais, que têm um
princípio e um fim conhecidos tanto pelos professores como pelos alunos”. Procuraremos
detalhar bem a aplicação dessa sequência para que professores não tenham dificuldade em
aplicá-la.

9

1.1 Apresentação do software Geogebra

A informatização na educação já vem ocorrendo a um bom tempo, um leque de
aplicativos para uso em sala de aula vem sendo desenvolvido, porém percebe-se a pouca
utilização por parte dos professores.
É importante que professores conheçam as possibilidades que a tecnologia pode trazer
para os conteúdos transmitidos em sala. As mídias digitais trazem um acervo carregado de
imagens, que facilitam a compreensão, pois podem ajudar a dinamizar o processo de
aprendizagem. Mas para isso é preciso que professor e aluno estejam atuantes, aliando a teoria
e a prática.
A utilização das tecnologias no processo de aprendizagem não dispensa o uso dos
recursos didáticos tradicionais, pois segundo LORENZATO (1991),
Os recursos interferem fortemente no processo de ensino e aprendizagem; o uso de
qualquer recurso depende do conteúdo a ser ensinado, dos objetivos que se deseja
atingir e da aprendizagem a ser desenvolvida, visto que a utilização de recursos
didáticos facilita a observação e a análise de elementos fundamentais para o ensino
experimental, contribuindo com o aluno na construção do conhecimento.
(LORENZATO, 1991)

Mesmo com o uso de tecnologias o quadro branco e pincel, o livro didático e aula
expositiva ainda tem seu lugar de importância, e podem estar alinhadas aos recursos
tecnológicos mais atuais.
Para Moran “ensinar com as novas mídias será uma revolução se mudarmos
simultaneamente os paradigmas convencionais do ensino, que mantêm distantes professores e
alunos. Caso contrário, conseguiremos dar um verniz de modernidade, sem mexer no
essencial”. (MORAN, 2000, p. 63)
Então, é preciso extrair o melhor do alinhamento entre as práticas docentes mais
tecnológicas e mais tradicionais, e talvez a formação continuada seja o mais adequado para unir
essas práticas.
Assim, o Geogebra se mostra como uma ótima opção de uso em diversas situações no
ensino de uma matemática mais prática, visto que é um aplicativo gratuito, com vários recursos
e podendo ser utilizado em várias plataformas, ainda podendo ser utilizado sem a necessidade
de internet. Este trabalho foi desenvolvido com a versão para smartphones, visto a facilidade
de instalação em qualquer aparelho celular, tendo todos os alunos o aparelho.
Devido à grande quantidade de ferramentas para utilização em diversas áreas da
matemática, o Geogebra é uma excelente alternativa no Ensino de matemática. Segundo

10

Hohenwarter (2009, p. 6), seu criador, “o Geogebra é um software de matemática dinâmica que
junta geometria, álgebra e cálculo”.
Agora apresentaremos as funções que usaremos no Geogebra, aplicativo que seria
utilizado para melhor compreensão do estudo do gráfico da função quadrática. Iniciamos a
apresentação com um passeio pela interface do aplicativo, mostrando alguns dos recursos e
funcionalidades do programa. Nos atemos a explicar apenas as funcionalidades que iremos
utilizar em nossa pesquisa.
Primeiramente mostraremos o passo-a-passo da instalação, seja na versão para
smartphone, a escolhida para ser utilizada em nosso trabalho, ou a versão para computadores.
Na versão para smartphone a instalação pode ser realizada pelo aplicativo da loja, a
depender do sistema. Se o sistema for o android1 o aplicativo se encontra na playstore2 por
exemplo. No campo de busca da loja para encontrar basta digitar Calculadora Gráfica
Geogebra, pois existem outras versões do aplicativo, e clicar em instalar, como na imagem
abaixo.

1

Sistema operacional muito utilizado em dispositivos móveis.

2

Loja oficial de aplicativos para o sistema android.

11

Imagem 1 - Tela de instalação no aplicativo loja

Fonte: Play Store3, 2020.

Após a instalação aparecerá as opções abrir ou desinstalar o aplicativo, como consta na
imagem abaixo. Ao clicar em abrir o aplicativo será iniciado.
Imagem 2 - Tela após a instalação

Fonte: Play Store, 2020.

3

Play Store é um serviço de distribuição digital de aplicativos, jogos, filmes, programas de televisão,

músicas e livros, desenvolvido e operado pela Google.

12

Além da instalação pelo aplicativo loja do smartphone, há a possibilidade de instalação
pelo site www.geogebra.org. Onde, há a possibilidade de execução do aplicativo sem a
necessidade de instalação, apenas clicando em “start calculator”, como visto na imagem logo
abaixo.
Imagem 3 - Tela de instalação pelo site.

Fonte: Site do Geogebra, 2020.

Acessando o site www.geogebra.org pode-se baixar o aplicativo para se trabalhar de
forma offline4, clicando no canto esquerdo em “baixar aplicativos”. Será aberta uma janela com
algumas opões de aplicativos para baixar, deve-se escolher a opção “Calculadora Gráfica” e
clicar em download. Ao clicar em download o site faz automaticamente a escolha do formato
do arquivo, de acordo com a plataforma acessada, como segue nas duas imagens logo abaixo.

4

Sem que haja necessidade de estar conectado à internet.

13

Imagem 4 - Tela de instalação pelo site.

Fonte: Site do Geogebra, 2020.

14

Imagem 5 - Tela de download pelo site, 2020.

Fonte: Site do Geogebra,2020.

15

Imagem 6 - Interface inicial do Geogebra, 2020.

Fonte: Autor do trabalho, 2019.

Na imagem 6 apresentamos a interface inicial do aplicativo. A seguir explicamos sobre
cada ícone e função do aplicativo que iríamos utilizar.
Imagem 7 - Menu para salvar imagens.

Fonte: Autor do trabalho, 2019.

16

Imagem 8 - Abertura do menu para salvar imagens.

Fonte: Autor do trabalho, 2019.

Nas imagens 7 e 8 temos a apresentação de um menu muito importante, menu de
salvamento dos gráficos e figuras geométricas criadas. Podendo ainda o arquivo criado ser
exportado como imagem para alguma rede social. Ainda no mesmo menu é possível iniciar um
novo arquivo.
Imagem 9 - Menu para exibir malhas e eixos.

Fonte: Autor do trabalho, 2019

17

Na imagem 9 vemos que é possível exibir ou esconder os eixos, além de escolher o tipo
de malha, inserir uma legenda, ou mesmo calcular distâncias, comprimentos ou perímetro. Logo
abaixo, na imagem 10, veremos a função “Entrada”.
Imagem 10 - Função entrada.

Fonte: Autor do trabalho, 2019.

Ao clicar no ícone que lembra uma calculadora, como na imagem 10, teremos a abertura
da função entrada, onde poderemos digitar as leis de formação das funções desejadas e obter
seus respectivos gráficos. É possível digitar várias funções em um mesmo plano cartesiano,
assim poder comparar as alterações nos gráficos a partir da mudança de coeficientes. Na
imagem 11 veremos como acessar as ferramentas de desenho geométrico.

18

Imagem 11 - Ferramentas de desenho geométrico.

Fonte: Autor do trabalho, 2019.

Imagem 12 - Ferramentas de desenho geométrico iniciada.

Fonte: Autor do trabalho, 2019.

19

Na ferramenta de desenho geométrico, como visto nas imagens 11 e 12, temos, por
exemplo, a ferramenta de seleção
de controle deslizante

, a ferramenta para inserção de pontos

, a ferramenta

, a ferramenta para a inserção de dois objetos

, a ferramenta

para criar gráficos a partir de dois pontos

, a partir de três pontos

, ou mesmo outras

ferramentas como fazer um ponto deslizar sobre uma reta, efetuar medições de ângulos,
comprimento e área, encontrar as raízes a partir do gráfico de uma função, construí retas
paralelas e perpendiculares, vetores, construção de círculos, cônicas, entre outras funções.
Iremos nos ater neste trabalho apenas as ferramentas que serão utilizadas para nossas
construções. Na imagem 8 a seguir temos a função “Entrada”.
Imagem 13 - Função inserir entrada.

Fonte: Autor do trabalho, 2019.

20

Imagem 14 - Função entrada – teclado.

Fonte: Autor do trabalho, 2019.

Como está posto acima nas imagens 13 e 14, ao clicar em “Entrada” temos a
possibilidade de digitar nossa função e, a partir daí, explorar os recursos do aplicativo que
venham a nos facilitar a compreensão sobre nosso estudo. Ao digitar mais de uma função, o
próprio aplicativo as nomeia como f(x), g(x), h(x), e assim por diante. Além de atribuir uma cor
diferente a cada gráfico de função, podendo esta formatação ser alterada, como veremos na
imagem 15 abaixo.
Imagem 15 - Formatação da função.

Fonte: Autor do trabalho, 2019.

21

Podemos duplicar, apagar ou alterar configurações do gráfico da nossa função digitada
no campo “Entrada” clicando no ícone de três pontos ao lado da função, como visto na imagem
15 acima. Podemos alterar cor do gráfico, espessura, estilo da linha, habilitar rastro ao
movimentar o gráfico, modificar o nome atribuído ao gráfico, entre outras opções.
Imagem 16 - Desfazer ação.

Fonte: Autor do trabalho, 2019.

Se por algum motivo fizermos algo errado com nossa construção, não há problema,
podemos desfazer as últimas ações feitas clicando no ícone de desfazer, como visto na imagem
16 acima. Na imagem 17 abaixo veremos a possibilidade de ampliar o espaço para visualização
de nosso plano cartesiano.

22

Imagem 17 - Ampliar plano.

Fonte: Autor do trabalho, 2019.

Imagem 18 - Plano ampliado.

Fonte: Autor do trabalho, 2019.

Nas imagens 17 e 18 acima temos a opção de ampliar o campo de visualização de nossa
construção no plano cartesiano. Além dessa opção, também podemos aumentar e diminuir o
zoom em nossa construção utilizando dois dedos ao mesmo tempo sobre a tela do celular, de
forma a juntar os dedos ou afastar os dedos.

23

Essas, mostradas acima, são algumas das funções do Geogebra que serão utilizadas em
nossa sequência didática.

1.2 Descrição das etapas da sequência didática

Neste ponto iremos descrever as etapas de nossa sequência, onde, segundo Zabala
(1998, p. 18), uma sequência didática é definida como “um conjunto de atividades ordenadas,
estruturadas e articuladas para a realização de certos objetivos educacionais, que têm um
princípio e um fim conhecidos tanto pelos professores como pelos alunos.”
Já para Oliveira (2013, p. 39) uma sequência didática é “um procedimento simples que
compreende um conjunto de atividades conectadas entre si, e prescinde de um planejamento
para delimitação de cada etapa e/ou atividade para trabalhar os conteúdos disciplinares de forma
integrada para uma melhor dinâmica no processo de ensino-aprendizagem.”
Baseado no que dizem os autores citados, a sequência didática proposta neste trabalho
proporciona uma alternativa para se trabalhar matemática nos ensinos fundamental e médio. O
Ensino Híbrido aliado as TIC’s se dispõe com boa perspectiva de aplicação em diversos
assuntos e áreas da Educação.
Esta sequência se limitará a trabalhar com Ensino Híbrido aplicado ao estudo de funções
quadráticas, com a utilização do software Geogebra e materiais concretos.
No início da utilização do software Geogebra é preciso que o professor se familiarize
com os recursos e sua utilização, não podendo o mesmo aplicar a sequência sem antes cumprir
esta etapa.
Ao trabalhar com a metodologia de Ensino Híbrido o professor precisa traçar bem as
estratégias e fazer boa escolha dos materiais a serem utilizados, como vídeos ou materiais em
pdf.
Com o objetivo de organizar a aplicação da sequência didática decidimos dividir tal
aplicação em sete encontros, da seguinte forma:


1º encontro: Debate sobre como será disposta a aplicação da sequência;



2º encontro: Aplicação do questionário diagnóstico;



3º encontro: Discussão a respeito das respostas obtidas através do questionário
diagnóstico e envio do material necessário para resolução do segundo questionário;

24



4º encontro: Apresentação do aplicativo Geogebra, destacando suas principais funções
e ferramentas, visando a familiarização dos estudantes com o aplicativo e aplicação do
segundo questionário (com a utilização do Geogebra);



5º encontro: Discussão sobre as respostas obtidas no segundo questionário e envio de
material para resolução do terceiro questionário;



6º encontro: Aplicação do terceiro questionário (com material concreto e máximos e
mínimos de funções quadrática);



7º encontro: Discussão das respostas do terceiro questionário e verificação de
aprendizagem da pesquisa.

Deixamos aqui nossas sugestão para que esta sequência possa ser aplicada em turmas
de nono ano e primeiro ano do Ensino Médio, visto que a maior parte dos livros didáticos
abordam funções quadráticas nestas séries, mas fica a cargo do professor, pois a aplicação do
questionário pode ser utilizada como forma de recordar o assunto.

1.3 Sugestão de questionário diagnóstico

Este questionário tem o objetivo de descobrir a que nível de conhecimento sobre o
assunto se encontra cada aluno e, a partir desta informação, tomar diretrizes com respeito a
melhor estratégia a utilizar para que o assunto abordado tenha maior compreensão por parte dos
alunos.
Todavia o professor deverá adequar as perguntas a turma e aos alunos em foco, visto
que este questionário foi aplicado com um objetivo específico, que pode divergir parcialmente
ou por completo do esperado pelo professor aplicador.
Ressaltamos que este questionário tem grande importância para o desenvolvimento
desta pesquisa, servindo de aporte para a tomada de decisões e moldagem dos próximos
questionários. Segue no quadro abaixo o questionário.
Quadro 1 - Questionário diagnóstico.

QUESTIONÁRIO:

1. Sexo: (

) Masculino

(

) Feminino

2.
Escola:
___________________________________________________________________

25

3.
Município:
________________________________________________________________
4. Idade: ________________
5. Você sabe o que é uma função?
( ) Sim
( ) Não
Em caso afirmativo, escreva com suas palavras o que é uma função.
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
____
6. Você sabe o que é uma função quadrática?
( ) Sim
( ) Não
Em caso afirmativo, escreva com suas palavras o que é uma função quadrática.
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
____
7. Você considera o estudo das funções importante?
( ) Sim
( ) Não
Justifique:
_________________________________________________________________________
__
_________________________________________________________________________
__
8. Você sabe onde podemos utilizar os conhecimentos das funções quadráticas em nosso dia
a dia?
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
____
9. Você sabe quais os coeficientes da função quadrática?
( ) Sim
( ) Não
Em caso afirmativo, explique com suas palavras quais são os coeficientes da função
quadrática.
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
____
10. Você sabe qual o comportamento do gráfico de uma função quadrática com relação aos
coeficentes?
( ) Sim
( ) Não

26

Em caso afirmativo, explique com suas palavras quais as mudanças ocorridas no
comportamento do gráfico de uma função quadrática com as mudanças de valor dos
coeficientes.
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
____
11. Em uma função quadrática do tipo f(x) = ax2 + bx + c, você saberia dizer qual a variável
dependente? E qual a independente?
( ) Sim
( ) Não
Em caso afirmativo, justifique.
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
____
12. Você conhece o aplicativo Geogebra?
( ) Sim
( ) Não
13. Você já utilizou o aplicativo Geogebra na construção de gráficos de funções quadráticas?
( ) Sim
( ) Não
Em caso afirmativo, escreva como foi sua experiência.
_________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________
____

Fonte: Autor do trabalho, 2019.

1.4 Etapas da sequência didática

A seguir temos a descrição das etapas da pesquisa, levando em conta os encontros
anteriores e os próximos encontros, bem como o discorrer da pesquisa.

1.4.1 Primeira etapa – Aplicação de questionário com uso do aplicativo Geogebra

Essa etapa deve ser trabalhada com o Ensino Híbrido. Devem ser enviados links de
vídeos sobre funções quadráticas aos alunos, para que assim eles possam chegar ao encontro
seguinte com algum conhecimento sobre o assunto proposto. Dois questionários foram
elaborados para que os alunos possam responder questões sobre funções quadráticas. A

27

aplicação do questionário diagnósticos trará informações sobre o que os alunos já conhecem
sobre funções quadráticas e sobre o aplicativo Geogebra. Desta forma é possível acompanhar a
evolução dos alunos. Segue abaixo o segundo questionário.
Quadro 2 - Segundo questionário.

1) Encontre os zeros das funções, depois construa os gráficos em um mesmo plano cartesiano
no Geogebra.
1. f(x) = x² - 5x + 1 (a>0 e b<0);
2. f(x) = x² + 3x + 6 (a>0 e b>0);
3. f(x) = x² + 4x +4 (a>0 e b>0);
4. f(x) = - x² + 2x
(a<0 e b>0);
5. f(x) = -x² - 4x - 4 (a<0 e b<0);
6. f(x) = - x² + x - 5 (a<0 e b>0);
2) Agora siga os comandos das questões no Geogebra.

2.1 Tracem, numa mesma janela gráfica, os gráficos das funções do 2º grau
f(x) = x2 – 2x + c, com:
c = - 3, c = 0, c = 1 e c = 4.

a) Que alterações são observadas nos gráficos com a variação de c?
b) Em que ponto cada uma das curvas intercepta o eixo y?

c) Para que valores de c f admite duas raízes reais?
d) Para que valores de c f admite uma raiz real?

e) Para que valores de c f não admitem raízes reais?
2.2 Tracem, numa mesma janela, os gráficos das funções do 2º grau
f(x) = x2 + bx - 3, com:
b = - 4, b = - 1, b = 0, b = 1, b = 2,
Que alterações são observadas nos gráficos com a variação de b?
2.3-

Observe a família de parábolas traçadas na atividade anterior.

28

a) Que tipo de curva o vértice da parábola descreve quando b = 0, b > 0 e b < 0?
b) Trace esta curva na mesma janela gráfica onde está traçada a família de
parábolas.
2.4-

Tracem, numa mesma janela, os gráficos das funções do 2º grau
f(x) = ax2 - 3, com:
a = - 2, a = - 1, a = 1 e a = 2.
a) Que alterações são observadas nos gráficos com a variação de a?
b) O que acontece quando a = 0?

c) O valor de a pode influenciar o número de raízes reais de f ?
d) Determine se possível, a para que f tenha uma única raiz real?
2.5-

Repita a atividade anterior, respondendo as mesmas questões, para
f(x) = ax2 - 2x - 3, com: a = - 2, a =1 e a = 2.

3.0Agora construa em uma mesma janela o gráfico da função
2
f(x) ax – 3x + 2, com a = 1 e a = -1.
a) Que alterações são observadas nos gráficos com a variação de a?
b) Para cada situação a função terá um valor máximo ou mínimo?
Fonte: Autor do trabalho, 2019.

O segundo questionário inicia-se pedindo que os alunos encontrem as raízes de algumas
funções de forma algébrica, no primeiro problema, construindo em seguida os gráficos dessas
funções em um mesmo plano, para que assim possam se familiarizar com o aplicativo e poder
também comparar as mudanças ocorridas.
Ao construírem os gráficos das funções em um mesmo plano, no Geogebra, os alunos
poderão perceber onde se encontram os zeros das funções que encontrarão através dos cálculos
algébricos. Poderão fazer as primeiras associações dos discriminantes (delta) e zeros com as
construções gráficas.

29

No item 2.1 do segundo questionário é proposta uma função fixa, variando apenas o
coeficiente “c” (termo independente). Pergunta-se em quais pontos os gráficos das funções
cortam o eixo “y”, e para qual valor de “c” a função admite uma, duas ou nenhuma raiz real.
No item 2.2 do segundo questionário é pedido que se construa uma função com os
coeficientes “a” e “c” fixos e com a alteração do coeficiente “b” para que assim se possa
perceber quais as mudanças no gráfico com a alteração apenas do coeficiente “b”. Primeiro os
alunos precisam resolver algebricamente e, posteriormente, construir todas as funções no
Geogebra.
No item 2.3 cada aluno precisa explicar como percebe a parábola. Sendo assim,
cada aluno precisa identificar com a junção dos vértices das parábolas construídas com a
alteração do coeficiente “b” que curva é formada.
No item 2.4 temos uma mudança no coeficiente “a” com os demais coeficientes
constantes. Deve ser pedido aos alunos que encontrem os zeros das funções e suas coordenadas
dos vértices de forma algébrica. Logo após pedir que construam as funções pedidas no
Geogebra, como na imagem 4 abaixo. Após essas construções pedidas os alunos devem ser
convidados a responder as perguntas do item 2.4.
. Então, no item 2.4 é perguntado aos alunos sobre alterações sofridas pelo gráfico, o
que acontece se o valor de “a” for nulo, se o valor de “a” pode influenciar no número de raízes
e o valor de “a” para que se tenha uma única raiz.
1.4.2 Segunda etapa – Aplicação do terceiro questionário: com utilização de material
concreto e máximos e mínimos de funções quadráticas.

No terceiro questionário é possível explorar os máximos e mínimos de funções
quadráticas, dentro da metodologia de Ensino Híbrido. Trabalhando problemas de aplicação
prática, mas antes da aplicação do questionário devem ser sugeridos vídeos sobre máximos e
mínimos de funções quadráticas. No momento do encontro para resolução do terceiro
questionário, antecedendo a aplicação do mesmo, é importante debater sobre os assuntos postos
em vídeos, de forma que os alunos estejam no centro do debate e o professor apenas interfira
quando necessário para mediar. Após o debate devem ser entregues aos alunos caixas de fósforo
para que possam interpretar de forma concreta o problema, utilizando máximo de função
quadrática. Abaixo podemos ver os problemas do terceiro questionário da sequência didática.

30

Quadro 3 - Terceiro questionário.

1) Utilize 20 palitos e tente formar retângulos.

a) Desenhe todos os retângulos que consegue formar com os 20 palitos, expressando as
medidas dos lados, seus perímetros e suas áreas.

b) Qual o valor do perímetro de cada um?

c) Qual deles possui maior área?

d) Qual o algoritmo que define a área máxima?

e) Através do algoritmo encontre a área máxima e a medida do lado que produz a área
máxima.

2) Uma empresa produz um determinado produto com o custo definido pela seguinte função
C(x) = x² – 80x + 3000. Considerando o custo C em reais e x a quantidade de unidades
produzidas, determine a quantidade de unidades para que o custo seja mínimo e o valor desse
custo mínimo.

Fonte: Autor do trabalho, 2019

No item “a” do problema 1 do terceiro questionário é pedido aos alunos que com 20
palitos formem todos os retângulos possíveis, e anotem seus lados, perímetros e áreas. O fato
dos alunos conseguirem resolver o problema , partindo de material concreto, nos remete a Piaget
(1990, p. 46), onde diz que o ser humano não será capaz de executar tarefas abstratas sem antes
executar tarefas concretas.

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Nos itens “b” e “c” do problema 1 do terceiro questionário os alunos devem responder
qual o perímetro de cada retângulo construído com palitos e qual deles possui maior área,
respectivamente.
No item “d” do problema 1 foi perguntado qual o algoritmo que define a área máxima.
É esperado que os alunos, a partir da utilização de material concreto, consigam escrever o
algoritmo. Os alunos terão que juntar duas equações, a de um perímetro de lados “x” e “y” e a
expressão da área com as mesmas medidas de lado.
Já no item “e” os alunos terão que utilizar o algoritmo encontrado no item “d” para
encontrar a área máxima e o lado que produz a área máxima. Para encontrar as respostas pedidas
no item “e” os alunos utilizarão duas fórmulas conhecidas para cálcular o “x” do vértice e o “y”
do vértice, pois como o coeficiente “a” da função é negativo, a função admitirá um valor
máximo.
No problema dois os alunos devem responder sobre a quantidade de unidades a ser
produzida para que o custo seja mínimo, além de encontrar o valor desse custo mínimo. É
esperado que os alunos percebam que o fato do coeficiente “a” ser positivo implica na função
ter um valor mínimo, logo, utilizar as fórmulas para calcular as coordenadas do vértice da
parábola seria uma opção.
Esse terceiro questionário deve ser aplicado levando em consideração um roteiro de
encontros pré-definidos, para que assim o professor possa traçar estratégias que surtam o efeito
necessário. No encontro após a aplicação do questionário deve-se discutir sobre as dúvidas que
surgiram durante a resolução dos problemas, e verificar se tais foram sanadas com a resolução
do mesmo.

1.4.3 Sugestão de atividade de fixação

É proposta a seguir uma atividade de fixação, baseada nas três primeiras etapas da
sequência proposta.
Quadro 4 - Atividade referente a construção de gráfico de função quadrática com o Geogebra e máximos e
mínimos de função quadrática.

1. Tracem, com o Geogebra, numa mesma janela gráfica, os gráficos das funções do
2º grau
f(x) = 2x2 – 4x + c, com:
c = - 2, c = 0, c = 1 e c = 2.

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a) Que alterações são observadas nos gráficos com a variação de c?
b) Em que ponto cada uma das curvas intercepta o eixo y?
c) Para que valores de c f admite duas raízes reais?
d) Para que valores de c f admite uma raiz real?
e) Para que valores de c f não admitem raízes reais?

2. Utilize 40 palitos e tente formar retângulos.

a) Desenhe todos os retângulos que consegue formar com os 40 palitos, expressando as
medidas dos lados, seus perímetros e suas áreas.

b) Qual o valor do perímetro de cada um?

c) Qual deles possui maior área?

d) Qual o algoritmo que define a área máxima?

e) Através do algoritmo encontre a área máxima e a medida do lado que produz a área
máxima.

Fonte: Autor do trabalho, 2019

O objetivo dessa atividade é avaliar a compreensão dos alunos de acordo com o que foi
trabalhado nos questionários, proporcionando aos estudantes a aquisição dos conhecimentos
necessários sobre função quadrática, de acordo com o que foi planejado.

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2. CONSIDERAÇÕES FINAIS

Este trabalho teve o intuito de possibilitar ao professor de matemática, ou mesmo de
outras áreas, a ter uma breve visão de que é possível trabalhar um conteúdo de matemática com
a metodologia de Ensino Híbrido, utilizando recursos tecnológicos e modelagem de problemas.
É importante que o professor possa se aproximar mais dos alunos, assim este trabalho
pode proporcionar esta aproximação. Os encontros e debates programados tem o intuito de
ouvir mais os alunos, ao passo que o professor corrige as distorções que venham a surgir,
mediando os debates e discussões nos encontros, permitindo assim que os alunos fixem melhor
o conteúdo.
O uso da tecnologia nas aulas é cada vez mais recorrente nos dias de hoje, desta forma
a utilização do smartphone na construção de funções quadráticas é muito importante para que
os alunos possam perceber transformações nos gráficos, que talvez não vissem sem a utilização
da tecnologia.
Ressignificar uma ferramenta abominada por muitos professores, porém muito
apreciada pelos alunos, como os aparelhos celulares, traz à tona esperança por aulas com alunos
mais motivados.
Desta forma é esperado que a aplicação dessa sequência didática venha contribuir de
forma significativa na consolidação do aprendizado de muitos estudantes, e que ofereça mais
uma alternativa de aplicação da função quadrática por parte de professores. E que outros
professores se sintam desafiados a envolver os mais diversos assuntos em suas pesquisas
utilizando a metodologia do Ensino Híbrido.

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REFERÊNCIAS

NOGUEIRA, Regina da Silva; OLIVEIRA, Ernesto Borba. A importância da Didática no
Ensino Superior, 2011. Disponível em
http://www.ice.edu.br/TNX/storage/webdisco/2011/11/10/outros/75a110bfebd8a88954e5f511
ca9bdf8c.pdf. Acesso em 22/02/2020
Freire, Paulo. Pedagogia da autonomia: saberes necessários à prática educativa. 50. ed.
Rio de Janeiro: Paz e Terra, 2000. 165 p.
MORAN, José Manuel. BACICH, Lilian. Aprender e ensinar com foco na educação
híbrida.
Disponível em http://www2.eca.usp.br/moran/wpcontent/uploads/2015/07/hibrida.pdf.
Acesso em 22/02/2020.
ZABALA, A. A prática educativa: como ensinar. Porto Alegre: Artmed, 1998.
LORENZATO, S. Porque não ensinar geometria? Educação Matemática em Revista.
Sociedade brasileira em Educação Matemática – SBEM. Ano III. 1º semestre 1995.
MORAN, José Manuel et al. Novas tecnologias e mediação pedagógica. 6. ed. Campinas:
Papirus, 2000.
HOHENWARTER, M.; HOHENWARTER, J. Ajuda GeoGebra: Manual Oficial da
Versão 3.2. Tradução e adaptação para português de Portugal António Ribeiro. Lisboa, 2009.

OLIVEIRA, Maria Marly. Sequência didática interativa no processo de formação de
professores. Petrópolis, RJ: Vozes, 2013.
Piaget, J. (1990). Seis Estudos de Psicologia (N.C. Pereira, trad.). Lisboa: Publicações D.
Quixote.